Coerenza e decoerenza

POLITECNICO DI TORINO

Facolta di Ingegneria dell’informazioneCorso di Laurea in Ingegneria Elettronica

Tesi di Laurea

Coerenza e decoerenzaAspetti classici e quantistici

Relatori:prof. Mario Vadacchinoprof. Mario Rasetti

Candidato:Francesco Cascio

Settembre 2002

Sommario

La coerenza di fase, tra onde nella fisica classica, tra stati nella meccanica quanti-stica, e la fonte di numerosi fenomeni dai notevoli risvolti teorici ed applicativi: inquesto lavoro abbiamo studiato l’origine della coerenza, i suoi effetti e i motivi delsuo venir meno, con particolare riguardo agli aspetti quantistici.

Dopo una breve analisi dell’interferenza di due sorgenti monocromatiche, nelprimo capitolo si discute la natura e l’interpretazione degli stati di sovrapposizione,seguendo prima l’analisi proposta da Feynman, e poi tenendo conto delle posizionidi Accardi. In particolare si analizza in dettaglio il criterio dell’invariante statisticoe la necessita di una probabilita quantistica.

Nel secondo capitolo si svolge un’analisi generale dei fenomeni di coerenza ottica.Dapprima si discutono, nell’ambito classico, le conseguenze della natura estesa dellesorgenti luminose, e soprattutto dell’incoerenza delle sorgenti termiche.

Dopo aver discusso brevemente le nozioni di coerenza spaziale e temporale, siintroduce e discute approfonditamente la nozione di coerenza ottica del primo e delsecondo ordine.

In quest’ambito si studia la coerenza ottica di alcuni semplici campi, consideran-do in particolare gli stati di Fock, il campo prodotto da una sorgente laser (statocoerente), e quello di una sorgente termica convenzionale, con riferimento all’inter-ferenza di due fenditure per la coerenza ottica del primo ordine, e all’esperimento diHanbury-Brown e Twiss per quella del secondo ordine.

Nel terzo capitolo si analizza il fenomeno (quantistico) della decoerenza, ossiadel venir meno dei tratti caratteristici della meccanica quantistica in favore di ca-ratteristiche classiche. Dopo aver introdotto la nozione di decoerenza, ed alcuneproblematiche relative (in particolare il problema della misura e la riduzione de-gli stati), si analizza la decoerenza indotta dall’ambiente mediante alcuni modellidell’ambiente di complessita crescente.

Infine si discute un metodo, proposto recentemente da Morigi e al., per misurarela dinamica irreversibile (decoerente) di un oscillatore armonico interagente con unsistema a due livelli.

I

II

Indice

Sommario I

1 Fenomeni di interferenza 11.1 Fenomeni classici di interferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 L’interferenza di onde perfettamente sinusoidali . . . . . . . . 11.1.2 L’interferometro di Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 L’interferenza nella meccanica quantistica . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.1 Interferenza di stati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.2 L’interpretazione e il dualismo onda-corpuscolo . . . . . . . . 101.2.3 La radice probabilistica dei problemi . . . . . . . . . . . . . . 131.2.4 La soluzione ortodossa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.5 La soluzione delle logiche quantistiche . . . . . . . . . . . . . . 151.2.6 La soluzione della probabilita quantistica . . . . . . . . . . . . 161.2.7 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Coerenza ed incoerenza ottica 212.1 Le origini della non perfetta monocromaticita . . . . . . . . . . . . . 212.2 Coerenza della luce termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3 Introduzione alla coerenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3.1 Coerenza spaziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.2 Coerenza temporale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4 Coerenza ottica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.4.1 Funzioni di correlazione del campo . . . . . . . . . . . . . . . 422.4.2 Coerenza ottica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.4.3 Coerenza ottica e indipendenza statistica . . . . . . . . . . . . 45

2.5 Coerenza ottica del primo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.5.1 Analisi quantistica dell’interferenza da due fenditure . . . . . . 502.5.2 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.6 Coerenza ottica del secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.6.1 L’esperimento di Hanbury-Brown e Twiss . . . . . . . . . . . 612.6.2 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

III

3 La decoerenza 693.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.1.1 Cos’e la decoerenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.1.2 Il problema della misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.2 Misure bit-a-bit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.2.1 L’interazione sistema-rivelatore e la pre-misura . . . . . . . . . 743.2.2 L’interazione con un ambiente a due stati e la decoerenza . . . 80

3.3 La dinamica della decoerenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.4 Misurare la decoerenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.4.1 Misura della dinamica irreversibile . . . . . . . . . . . . . . . 87

Appendici 93

A La probabilita classica 97A.1 Lo spazio delle probabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97A.2 La probabilita condizionata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100A.3 Prodotto cartesiano di spazi campione . . . . . . . . . . . . . . . . . 103A.4 Indipendenza statistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

B Processi stocastici 105B.1 Medie temporali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105B.2 Medie statistiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

B.2.1 Densita di probabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106B.2.2 Medie lineari e quadratiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

B.3 Processi stocastici stazionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111B.4 Processi ergodici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

C Segnale analitico 113C.1 Segnale analitico: definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113C.2 Segnali quasi-monocromatici ed inviluppo complesso . . . . . . . . . . 115C.3 Funzione di correlazione di segnali reali e dei corrispondenti segnali

analitici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

D Sistemi a due stati 119D.1 Gli effetti di una perturbazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

D.1.1 Effetti statici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120D.1.2 Effetti dinamici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

D.2 Le matrici di Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122D.2.1 Studio degli operatori di Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123D.2.2 Ulteriori proprieta delle matrici di Pauli . . . . . . . . . . . . 127

IV

E Il formalismo dell’operatore densita 131E.1 L’operatore densita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

E.1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131E.1.2 Gli stati puri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133E.1.3 Le miscele statistiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135E.1.4 I sistemi composti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

E.2 La master equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140E.2.1 Calcolo mediante il metodo delle perturbazioni . . . . . . . . . 140

Bibliografia 143

V

VI

Capitolo 1

Fenomeni di interferenza

In questo capitolo esamineremo in dettaglio l’interferenza, prima nella sua piu notamanifestazione nell’ambito della fisica classica (interferenza di due onde sinusoidali,con riferimento, in particolare, al caso delle onde elettromagnetiche), e poi l’interfe-renza di due stati nella meccanica quantistica, evidenziando le analogie e le differenzetra i due casi.

1.1 Fenomeni classici di interferenza

Il modello ondulatorio della luce fu introdotto nel 1801 da Young, e successivamentericevette un inquadramento teorico completo nella teoria dell’elettromagnetismo diMaxwell.

Il semplice modello ondulatorio di Young ci permette di affrontare una primaanalisi dell’interferenza, capace di chiarirne le caratteristiche essenziali.

Vedremo nel prossimo capitolo un’analisi piu avanzata capace di tener conto dinon idealita quali la non perfetta monocromaticita dell’onda, le dimensioni finitedella sorgente, e soprattutto la statistica della luce emessa dalla sorgente. Si trattadi caratteristiche assolutamente non trascurabili se vogliamo giustificare il perchenon sempre si ottiene interferenza, e che ci permetteranno di distinguere tra sor-genti di luce profondamente differenti come la luce termica, emessa da una sorgentetradizionale (lampada ad incandescenza, ad arco ecc.), e quella emessa da un laser.

1.1.1 L’interferenza di onde perfettamente sinusoidali

Cominciamo con l’esaminare l’interferenza prodotta da due sorgenti luminose σ1

e σ2 (di coordinate r1, e r2 rispettivamente, come illustrato nella figura 1.1) chegenerino onde perfettamente monocromatiche alla frequenza f0: le onde generate datali sorgenti sono dette coerenti in quanto la loro differenza di fase e costante.

1

1 – Fenomeni di interferenza

Figura 1.1.

Supponiamo che le due sorgenti generino entrambe un campo con la stessapolarizzazione, in modo da poter trascurare la natura vettoriale del campo elet-tromagnetico. Infine assumiamo, per semplicita, che le due sorgenti emettano infase.

Il campo prodotto nel punto r, all’istante t, dalla sorgente i-esima posta in ri,avra la forma

Ei(r,t) = E0i(r) cos(ω0t− k|r − ri|) (1.1)

ove E0i(r) > 0 e l’ampiezza del campo, ω0 = 2πf0 la sua pulsazione, e k la costantedi propagazione, che, nel vuoto, risulta k = 2π

λ0, essendo λ0 = c/f0 la lunghezza

d’onda, e c la velocita di propagazione della luce nel vuoto.

In base al principio di sovrapposizione degli effetti, il campo totale in un puntodi coordinata r, all’istante t, sara

E(r,t) = E1(r,t) + E2(r,t). (1.2)

Ricordiamo ora che la somma di funzioni sinusoidali isofrequenziali e sempreuna funzione sinusoidale con la stessa frequenza: Ei(r,t) risultera quindi un camposinusoidale con la stessa frequenza f0 (e la stessa costante di propagazione k) dellesorgenti. Restano da calcolare il modulo e la fase.

Posto

Ei(r,t) = ReE0i(r)eωt−k|r−ri| ≡ ReEi (1.3)

la (1.2) puo quindi essere scritta

E = E1 + E2 = E01e−iks1 + E02e

−iks2 = E0 eiα (1.4)

2

1.1– Fenomeni classici di interferenza

ove si e posto si = |r − ri|, e

E20 = E2

01 + E202 + 2E01E02 cos δ (1.5a)

tanα = −E01 sin ks1 + E02 sin ks2

E01 cos ks1 + E02 cos ks2

(1.5b)

δ = k(s1 − s2) (1.5c)

ove δ = δ(r) racchiude la dipendenza dalle coordinate spaziali che ci interessa ai finidell’interferenza.

Dalla (1.5a) vediamo infatti che per δ = 2nπ, con n = 0,1,2, . . . si ha un massimodel modulo dell’ampiezza (interferenza costruttiva), mentre per δ = (2n + 1)π,sempre con n = 0,1,2, . . ., si ha un minimo del modulo dell’ampiezza (interferenzadistruttiva), e quindi

δ =

2nπ ⇒ E0,max = E01 + E02

(2n+ 1)π ⇒ E0,min = |E01 − E02|.n = 0,1,2 . . . (1.6)

Ricordando che k = 2πλ0

, tali condizioni equivalgono a

s1 − s2 =

nλ0 interferenza costruttiva, E = E0,max

(2n+ 1)λ0

2interferenza distruttiva, E = E0,min.

(1.7)

Queste condizioni definiscono, nello spazio, dei paraboloidi di rotazione con i fuo-chi nelle due sorgenti. Le frange di interferenza che osserviamo sullo schermo diosservazione non sono altro che l’intersezione di tali superfici con lo schermo. Peruno schermo parallelo all’asse che congiunge le due sorgenti, come quello che stiamoconsiderando, tali intersezioni sono curve iperboliche. Se tuttavia lo schermo e agrande distanza dalle sorgenti (a/D 1) e ci limitiamo a regioni vicine al piano disimmetria (x/D 1), le frange risultano pressoche rettilinee, tra di loro parallele,e perpendicolari all’asse che congiunge le due sorgenti.

L’intensita e le frange di interferenza

Per un campo elettromagnetico l’intensita istantanea e definita come il modulo delvettore di Poynting, e rappresenta l’energia che all’istante t fluisce nell’unita ditempo attraverso la superficie unitaria disposta ortogonalmente alla direzione dipropagazione.

Tutti gli strumenti utilizzati in ottica per rivelare il campo elettromagnetico(compreso il nostro occhio) sono sensibili all’intensita piuttosto che al campo vero eproprio, pertanto e l’intensita la grandezza che considereremo per discutere gli effettidell’interferenza.

3


Nel caso dell’onda monocromatica che risulta dalla (1.4), l’intensita e proporzio-nale al quadrato del campo1

I(r,t) ∝ E2(r,t) = E20(r) cos2[ω0t+ α(r)]. (1.8)

Sviluppando l’espressione del coseno al quadrato, a meno di un fattore di pro-porzionalita, risulta

I(r,t) =E2

0

21 + cos[2(ω0t+ α)]. (1.9)

Dalla (1.9) rileviamo subito come l’intensita risulta una funzione sinusoidale confrequenza doppia rispetto al campo.

Le frequenze ottiche sono dell’ordine di f0 ∼ 1015 Hz, ossia il periodo delle oscilla-zioni e T0 = 1/f0 ∼ 10−15 s, mentre i tempi di risposta degli apparati usuali arrivanoal piu a Tr ∼ 10−12 s. Ne segue che la grandezza effettivamente misurata dagli ap-parecchi e la media temporale dell’intensita, effettuata sul tempo di risposta dellostrumento

I(r,t) ≡< I(r,t) >Tr,

1

Tr

∫ t+Tr/2

t−Tr/2

I(r,t′) dt′. (1.10)

Se poi teniamo conto che Tr T0, per una funzione sinusoidale come la (1.9), I(r,t)risulta indipendente dal tempo, ed e uguale quindi alla media temporale

I(r) '< I(r) >≡< I(r,t) >t= limT→∞

1

T

∫ T/2

−T/2E2(r,t) dt =

E20(r)

2(1.11)

Tenuto conto dell’espressione di E0 (1.5a), si ha quindi

I = I1 + I2 + 2

√I1I2 cos δ (1.12)

ove si e posto

I i =1

2E2

0i i = 1,2. (1.13)

Dalle (1.6) allora otteniamo i valori massimi e minimi dell’intensita che possiamovedere sullo schermo di osservazione al variare del punto di osservazione X (checomporta una variazione della differenza di fase δ)

Imax =1

2(E01 + E02)

2 (1.14a)

Imin =1

2(E01 − E02)

2. (1.14b)

1Tenendo conto del campo magnetico si dimostra che il coefficiente di proporzionalita e 1Z

, ove

Z =√µ/ε e l’impedenza caratteristico del mezzo, che nel vuoto vale Z0 =

√µ0/ε0 = 377Ω. Nel

seguito per semplicita si scrivera che I = E2 sottintendendo tale coefficiente di proporzionalita.

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Definiamo ora la visibilita delle frange di interferenza come

ν ,Imax − Imin

Imax + Imin

. (1.15)

Evidentemente 0 ≤ ν ≤ 1, e

ν = 1 per Imin = 0 (1.16a)

ν = 0 per Imax = Imin. (1.16b)

In pratica poi ν ' 1 per Imax Imin, cioe si ha massima visibilita delle frange diinterferenza quando i massimi sono molto pronunciati rispetto ai minimi.

Nel caso in esame la visibilita risulta

ν =2E01E02

E201 + E2

02

=2√I1I2

I1 + I2

=2√%

%+ 1(1.17)

ove % = I1/I2.Tale funzione ha un unico massimo in corrispondenza di % = I1/I2 = 1, ovvero

per E01 = E02. In tale caso abbiamo E0,max = 2E01, E0,min = 0, che in termini diintensita vuol dire

Imax = 4E201 = 4I1 (1.18a)

Imin = 0. (1.18b)

Per due sorgenti identiche, quindi, per via dell’interferenza, nei punti di massimol’intensita risulta ben il quadruplo dell’intensita che si avrebbe se ci fosse una solasorgente; d’altra parte l’intensita si annulla del tutto nei punti di minimo.

Ribadiamo infine un aspetto molto importante di quanto appena visto: la visibi-lita delle frange di interferenza generate da due sorgenti monocromatiche identicherisulta massima

ν = 1. (1.19)

Calcolo delle posizioni dei massimi e minimi nella figura di interferenza

L’espressione dell’intensita (1.12) non mostra immediatamente come appare la figuradi interferenza sullo schermo di osservazione: cio che ci proponiamo di ricavare ora eun’espressione in cui risulti esplicita la dipendenza dalla coordinata x sullo schermo.

Consideriamo il caso in cui la distanza a tra le fenditure e piccola rispetto alladistanza D dallo schermo di osservazione o analogamente il caso in cui poniamo loschermo all’infinito (usando ad esempio una opportuna lente).

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In questo caso possiamo stimare facilmente la differenza di fase tra i due percorsidei raggi luminosi. In base a semplici ragionamenti geometrici (si veda la figura 1.1)risulta

δ = k(s1 − s2) = ka sin θ. (1.20)

Le condizioni (1.7) valgono allora

sin θ =

n λ0

ainterferenza costruttiva: massimo dell’intensita media,

(2n+1)2

λ0

ainterferenza distruttiva: minimo dell’intensita media.

(1.21)

Per θ 1 si puo approssimare il seno dell’angolo con l’angolo stesso: per θ 1 siha la semplice relazione sin θ ≈ θ ≈ x

D, e quindi si ottiene

I(x) = I1 + I2 + 2

√I1I2 cos

(2π

a

λ0Dx

)(1.22)

che e l’espressione che cercavamo. Nel caso I1 = I2 si ha semplicemente

I(x) = 2I1

[1 + cos

(2π

a

λ0Dx

)]. (1.23)

Le posizioni dei massimi e dei minimi sono

xmax = nλ0D

a(1.24a)

xmin =(2n+ 1)

2λ0D

a(1.24b)

ove n = 0,1,2 . . ., per cui risulta un massimo centrale per x = 0, e poi via via unalternarsi lungo, l’asse x, di minimi e massimi, con un periodo spaziale pari a

∆x = λ0D

a. (1.25)

Per della luce visibile, essendo λ0 ∼ 0.5µm, si ottengono delle frange separate dicirca ∆x ∼ 0.5 mm per D/a ∼ 103.

Osserviamo infine che, se le due sorgenti avessero una differenza di fase (costante)∆ϕ = ϕ1 − ϕ2, allora si avrebbe

δ = k(s1 − s2) +∆ϕ. (1.26)

L’intensita risulterebbe

I(x) = 2I1

[1 + cos

(2π

a

λ0Dx−∆ϕ

)](1.27)

e il massimo centrale, e tutta la figura di interferenza risulterebbero traslati di

xm =λ0

2π

D

a=∆ϕ

2π∆x. (1.28)

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Figura 1.2. Rappresentazione schematica di un interferometro di Young su cuiincide un’onda piana. E rappresentata pure l’intensita media, con il caratte-ristico andamento oscillante dovuto all’interferenza (trascurando gli effetti della

diffrazione).

1.1.2 L’interferometro di Young

Per realizzare sperimentalmente un allestimento capace di riprodurre quanto vistoin precedenza sono possibili varie soluzioni, tra cui l’uso di due laser che simulino ledue sorgenti sinusoidali.

In questa sede tuttavia ci limitiamo a generare due siffatte sorgenti coerenti me-diante un interferometro di Young (figura 1.2), su cui incide un’onda piana2 mono-cromatica e per semplicita assumiamo che il fronte d’onda sia parallelo agli schermi,in modo che l’onda incida sulle due fenditure con la stessa fase: in base al prin-cipio di Huygens, le due fessure situate nei punti P1 e P2 (con coordinata r1 e r2

rispettivamente) si comportano come sorgenti secondarie sinusoidali (coerenti, vistoche le onde sono originate sempre dalla stessa onda perfettamente monocromatica),che, per fessure sufficientemente piccole (rispetto alla lunghezza d’onda dell’ondaincidente), possiamo considerare puntiformi: esse svolgono quindi il ruolo delle duesorgenti puntiformi σ1 ed σ2.

Per il resto vale quanto detto in precedenza, e sullo schermo di osservazioneappare una figura di interferenza, composta da frange chiare e scure alternate, e

2In pratica si usa una sorgente sufficientemente piccola da poterla considerare puntiforme, postaa grande distanza dallo schermo con le due fenditure, in modo da poter considerare piana l’ondanelle prossimita delle due fenditure. Analizzeremo nel capitolo successivo gli effetti dell’estensionespaziale della sorgente.

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non la semplice somma degli effetti provocati da ciascuna fenditura singolarmente(ovvero quando l’altra e chiusa).

Il risultato importante, anche in questo caso, e che per una sorgente perfetta-mente monocromatica, si ha massima visibilita delle frange d’interferenza. Questorisultato non dipende, in particolare dalla distanza a tra le due fenditure.

1.2 L’interferenza nella meccanica quantistica

Analizziamo ora il fenomeno dell’interferenza, nella meccanica quantistica: volendosvolgere un’analisi parallela a quella vista nel caso classico, considereremo l’interfe-renza di fotoni, ma quanto diremo avra validita molto generale, in quanto le carat-teristiche ondulatorie nella meccanica quantistica sono associate a qualsiasi tipo diparticella, secondo la legge di de Broglie

λ =h

|p| (1.29)

essendo, per una particella “classica”, p = mv, la quantita di moto ad essa relativa.Discuteremo approfonditamente nel seguito la natura di tale dualismo onda-cor-

puscolo.

Diciamo subito che la radice dei fenomeni di interferenza risiede nella combinazionetra

• il principio di sovrapposizione degli stati, secondo cui qualsiasi combinazionelineare degli stati che un sistema puo assumere e a sua volta uno stato possibiledel sistema, e

• il postulato secondo cui, dato un sistema nello stato normalizzato |ψ〉, la pro-babilita di trovare come risultato della misura di una grandezza A l’autovalorean del corrispondente operatore osservabile A e dato da

P|ψ〉(an) = |〈un|ψ〉|2 (1.30)

essendo |un〉 l’autovettore normalizzato di A associato ad an.

1.2.1 Interferenza di stati

L’interferometro di Young, figura 1.3, ci fornisce, anche in questo caso, un ottimoesempio per illustrare queste idee.

Supponiamo che la sorgente σ sia cosı debole da poter assumere che emetta unfotone alla volta, e che tutti i fotoni siano uguali (o meglio preparati identicamente

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1.2– L’interferenza nella meccanica quantistica

Figura 1.3. Rappresentazione dell’esperimento di interferenza di particelle quan-tistiche.

nello stato |φ〉) in modo che possiamo considerare come esperimento elementarequello relativo ad un solo fotone, e la successione di fotoni come la realizzazione diun ensemble statistico (repliche dello stesso esperimento).

Sia poi |ψi〉, con i = 1,2 il vettore di stato normalizzato relativo al passaggio delfotone attraverso la fenditura i-esima.

Lo stato del fotone che trova entrambe le fenditure aperte sara dato dalla sommadei due stati |ψi〉, opportunamente normalizzata:

|ψ12〉 = (|ψ1〉+ |ψ2〉)/√

2. (1.31)

Chiariamo innanzitutto il significato degli stati |ψ1〉, |ψ2〉 e |ψ12〉.I vari casi cui essi si riferiscono (una sola fenditura aperta, o ambedue aperte) li

possiamo considerare [11] come preparazioni effettuate mediante lo schermo con lefenditure Σs, a partire dai fotoni nello stato |φ〉 provenienti dalla sorgente σ. Talipreparazioni sono differenti e incompatibili, in quanto, nel caso in cui diciamo che ilfotone passa attraverso la fenditura 1 ci riferiamo ad un apparato in cui la fenditura2 e fisicamente ostruita, viceversa se il fotone passa dalla fenditura 2 e ostruita la 1,e questi due allestimenti sono incompatibili sia tra di loro, sia con l’allestimento incui ambedue le fenditure sono aperte.

Possiamo formalizzare il passaggio attraverso lo schermo Σs, secondo i casi,mediante i proiettori

S1 = |1〉〈1| solo la fenditura 1 aperta, (1.32a)

S2 = |2〉〈2| solo la fenditura 2 aperta, (1.32b)

S12 = |1〉〈1|+ |2〉〈2| entrambe le fenditure aperte (1.32c)

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ove |i〉 indica che la fenditura i-esima e aperta e 〈i|j〉 = δij. Risulta infatti

Si |φ〉 = |i〉〈i| |φ〉 = 〈i|φ〉 |i〉 = |ψi〉 i = 1,2 (1.33a)

S12 |φ〉 = (|1〉〈1|+ |2〉〈2|) |φ〉 = |ψ1〉+ |ψ2〉 =√

2 |ψ12〉 . (1.33b)

Essendo i proiettori degli osservabili, le precedenti operazioni corrispondono airisultati delle misure delle grandezze corrispondenti. In particolare per quanto ri-guarda S1 e S2 siamo interessati ai risultati relativi all’autovalore 1, mentre perquanto riguarda S12, poiche non distinguiamo tra il passaggio da una o dall’altrafenditura, abbiamo considerato la proiezione sugli autospazi associati ad entrambigli autovettori |1〉 e |2〉 .

La densita di probabilita di rivelare il fotone nello stato |ψ12〉 in un intorno delpunto X dello schermo di osservazione, compreso tra x e x+dx, sara allora, in basealla (1.30),

P12(x) = |〈x|ψ12〉|2 =1

2

(|〈x|ψ1〉|2 + |〈x|ψ2〉|2 + 2Re〈x|ψ1〉〈x|ψ2〉∗

)(1.34a)

ovvero, osservando che ψ12(x) = 〈x|ψ12〉,

P12(x) = |ψ12(x)|2 =1

2

[|ψ1(x)|2 + |ψ2(x)|2 + 2Reψ1(x)ψ

∗2(x)

]. (1.34b)

Essendo poiPi(x) = |ψi(x)|2, i = 1,2 (1.35)

la densita di probabilita di trovare un fotone che e passato dalla fenditura i-esimain un intervallo dello schermo di osservazione tra x e x+ dx, possiamo scrivere

P12(x) =1

2P1(x) +

1

2P2(x) + Reψ1(x)ψ

∗2(x) (1.36)

che e l’espressione quantistica della (1.12).

1.2.2 L’interpretazione e il dualismo onda-corpuscolo

A questo punto viene naturale interpretare la (1.36) dicendo che il caso in cui sonoaperte entrambe le fenditure presenta effetti di interferenza, analogamente al ca-so visto nel paragrafo 1.1.1: come per l’intensita, la probabilita con entrambe lefenditure aperte non e la semplice somma (pesata) delle probabilita con una solafenditura aperta:

P12(x) 6= p1P1(x) + p2P2(x) (1.37)

10


ove p1 = p2 = 12

sono le probabilita del passaggio attraverso una o l’altra fenditura,che nel nostro caso sono uguali visto che le due fenditure hanno la stessa ampiezza.

Cio evidenzia l’aspetto ondulatorio dei fotoni: essi generano interferenza comedelle onde.

Tuttavia, come detto sin dall’inizio, le particelle quantistiche manifestano siacaratteristiche ondulatorie che corpuscolari: l’aspetto corpuscolare consiste nel fat-to che esse vengono rilevate sempre in unita discrete, e la figura d’interferenza eun effetto cumulativo, risultato della rivelazioni di molti fotoni, uno dopo l’altro.Ciascuna rivelazione corrisponde sempre esattamente ad un fotone, e mai a mezzofotone o ad un fotone e mezzo.

Seguendo l’intuizione classica relativa alle particelle, quando riveliamo un fotonesullo schermo di osservazione siamo portati a pensare, con Feynman [6], che

Proposizione A: il fotone o passa dalla fenditura 1 oppure passa dalla 2,

essendo queste le uniche alternative.Ammettendo cio, possiamo pensare di suddividere le rivelazioni fatte sullo scher-

mo di osservazione in due classi: quelle dovute a fotoni che sono passati dalla fen-ditura 1, e quelli che sono passati dalla 2. Tale suddivisione tuttavia non e opera-tivamente fattibile con i dati raccolti in un esperimento con entrambe le fenditureaperte: non sappiamo distinguere i due tipi di fotoni.

Quello che possiamo fare e di usare i dati relativi agli esperimenti con una solafenditura aperta: siano n1(x) ed n2(x) il numero di tali rivelazioni avvenute neipressi del punto di coordinata x, e N1, N2 il numero totale di rivelazioni nei due casi(con N1 + N2 = N12, il numero totale di fotoni rivelati con ambedue le fenditureaperte). Quindi in termini di probabilita sara

Pi(x) ≈ni(x)

Ni

(1.38)

e quindi sen12(x) = n1(x) + n2(x) (1.39)

allora

P12(x) ≈n12(x)

N12

=N1

N12

n1(x)

N1

+N2

N12

n2(x)

N2

≈ p1P1(x) + p2P2(x). (1.40)

Il fatto che i risultati sperimentali contraddicono tale espressione, ci porta a conclu-dere, con Feynman, che qualcosa non va nel ragionamento che abbiamo fatto.

Vista la semplicita del ragionamento esposto, siamo indotti a ritenere falsa laProposizione A.

Tuttavia se la sottoponiamo ad una verifica diretta, come suggerisce Feynman,essa risulta vera. Basta, almeno in linea di principio, osservare in maniera non

11


distruttiva, ma tuttavia perturbativa, i fotoni (o comunque le particelle che usiamoper l’esperimento di interferenza) subito dopo il passaggio attraverso le fenditureper localizzare attraverso quale fenditura e avvenuto il passaggio. Risulta che, se ilmeccanismo di osservazione e efficace, allora le frange di interferenza scompaiono:non si riesce a seguire il percorso dei fotoni e avere contemporaneamente interferenza.Viceversa se il meccanismo d’osservazione e inefficace, e non si disturbano troppo ifotoni, permangono le frange d’interferenza3.

A questo punto si impone la seguente conclusione: la distribuzione dei fotonisullo schermo quando li osserviamo e differente da quella che si ha quando non liosserviamo.

Inoltre per quanto riguarda la Proposizione A siamo portati a dire, con Feynman[6, §1-6], che

se si guardano i fori, o piu precisamente, se si ha un apparecchio chee capace di determinare se i fotoni passano attraverso la fenditura 1 o lafenditura 2, allora si puo dire attraverso quale foro e passato il fotone.

Ma quando non si prova a determinare da che parte passi il fotone,quando non c’e niente nell’esperimento che perturbi il fotone, allora nonsi puo dire se il fotone passa attraverso la fenditura 1 oppure la fenditura2.

Affermazioni di tale genere risultano piuttosto difficili da accettare: ne vienefuori infatti l’immagine di una realta che quando non la osserviamo e del tuttodifferente da quando la osserviamo. Tuttavia e questa la posizione assunta dallascuola di Copenhagen, ossia l’interpretazione ortodossa della meccanica quantistica.Per quanto ostica da accettare, essa ha il pregio di essere coerente con gli esperimenti:se la si accetta e la si segue rigorosamente non si incorre in affermazioni che possanoessere contraddette sperimentalmente.

Questa, pero, non e l’unica soluzione al problema. Lo stesso Feynman [5, §1-5] avanza un’altra possibile argomentazione: non e la Proposizione A ad esserefalsa, bensı c’e qualche sottile errore logico nella deduzione che porta alla (1.40). Inparticolare e il metodo di calcolo delle probabilita a dover essere modificato, ossiale probabilita non seguono piu le consuete regole del calcolo delle probabilita, ma in

3Per rendere le cose piu esplicite, Feynman considera l’interferenza tra elettroni, e come rivela-tore di percorso usa propone di usare sorgente luminosa posta dietro le fenditure, in modo che alpassaggio di un elettrone attraverso una fenditura, si generi un bagliore nei pressi della fenditurainteressata. Ora se la localizzazione e buona, le frange d’interferenza scompaiono, per via delleperturbazioni della luce sugli elettroni.

Se invece si usa luce di lunghezza d’onda sufficientemente elevata (e quindi fotoni poco energetici)che disturbino poco gli elettroni, quello che succede, e che il bagliore e cosı ampio da non permetteredi risolvere da quale fenditura esso provenga, e quindi non riusciamo a sapere da quale fenditurae passato l’elettrone. In questo caso pero si ha interferenza.

12


presenza di alternative indistinguibili occorre applicare delle nuove regole (che sonopoi quelle della meccanica quantistica).

1.2.3 La radice probabilistica dei problemi

Approfondiamo questo nuovo approccio, seguendo quanto proposto recentemente daAccardi [1].

Osserviamo che la (1.37), con il segno di uguale, esprime quello che e nota nelcalcolo delle probabilita come teorema delle probabilita composte (si veda il teore-ma A.2.2 nell’appendice A) secondo cui la probabilita di un evento x puo essereespressa come

P(x) = P(1)P(x|1) + P(2)P(x|2). (1.41)

ove P(i) = pi = 12, mentre Pi(x) = P(x|i) = |ψi(x)|2 e la probabilita condizionata

di x dato i, cioe che accada x se e noto che e accaduto i (come al solito i = 1,2).Se tale teorema non risulta applicabile, l’unica spiegazione consiste nel riconosce-

re che qualcuna delle ipotesi su cui si basa non e soddisfatta nel nostro esperimentocon le due fenditure (e in generale, in tutti casi in cui si ha interferenza).

Cio che possiamo dire a questo punto e che, nel caso di interferenza (ovvero disituazioni in cui sono presenti alternative indistinguibili), non vale il teorema delleprobabilita composte. Inoltre la meccanica quantistica ci dice qual e la formula daapplicare, ovvero la (1.36), per fare le corrette previsioni.

Da un punto di vista pragmatico il problema e risolto: abbiamo individuato laformula che non vale, e sappiamo come sostituirla per descrivere correttamente larealta.

Si pone tuttavia il problema di capire esattamente perche non possiamo applicareil teorema delle probabilita composte.

Cerchiamo allora di analizzare nuovamente con maggiore chiarezza i passi e leipotesi fatte [1, cap. V] nella dimostrazione di questo teorema.

A tal fine adotteremo una descrizione precisa dell’esperimento delle due fendi-ture mediante il linguaggio del calcolo delle probabilita classico (di cui si fanno deirichiami nell’appendice A).

1. Siano 1, 2 i punti campione “il fotone passa dalla fenditura i-esima” (i = 1, 2),Uf = 1,2 lo spazio campione, e Bf = ∅,1,2,Uf la σ-algebra, ove con abusodi notazione, abbiamo indicato gli insiemi con lo stesso simbolo degli elementiche li compongono.

In particolare si ha

1 ∪ 2 = Uf (1.42)

1 ∩ 2 = ∅. (1.43)

13


2. Consideriamo a questo punto un nuovo spazio di probabilita, introducendol’evento x =“il fotone viene rivelato nel punto X (di coordinata x) dello scher-mo di osservazione”, che al variare di X genera una famiglia di eventi (anchein questo caso indichiamo con lo stesso simbolo il punto campione e il rela-tivo evento elementare). Sia Uo il relativo spazio campione. Trattandosi diun insieme continuo, per semplicita tralasciamo di scrivere esplicitamente unaσ-algebra, e trattiamo gli eventi x come se fossero discreti.

Consideriamo quindi lo spazio prodotto cartesiano Uf × Uo. Se, con ulterioreabuso di notazione, indichiamo con x l’evento Uf × x dello spazio prodottocartesiano, ed analogamente con i l’evento i × Uo, con i = 1, 2, possiamoscrivere

x = (x ∩ 1) ∪ (x ∩ 2) (1.44)

∅ = (x ∩ 1) ∩ (x ∩ 2) (1.45)

3. Poiche le probabilita (classiche) di eventi disgiunti si sommano, dalle (1.44) e(1.45) segue immediatamente

P(x) = P(x ∩ 1) + P(x ∩ 2) (1.46)

mentre dalle (1.42) e (1.43) otteniamo

P(1) + P(2) = 1. (1.47)

4. Per definizione di probabilita condizionata (A.10)

P(x|i) =P(x ∩ i)P(i)

i = 1,2 (1.48)

ove, secondo il linguaggio del calcolo del calcolo delle probabilita,

P(i) e la probabilita marginale di i (si veda il paragrafo A.3)

P(x ∩ i) la probabilita congiunta di i e x

P(x|i) la probabilita condizionata di i dato x.

5. Otteniamo quindi il teorema delle probabilita composte

P(x) = P(1)P(x|1) + P(2)P(x|2) (1.49)

Come detto se tale teorema non e applicabile, allora necessariamente qualcunodei passi che ci ha portato ad ottenerlo, e che abbiamo evidenziato con cura, nondeve essere accettabile. Tuttavia essendo i passi evidenziati “banalmente coerentidal punto di vista matematico, dobbiamo concludere che almeno uno di essi e basatosu un’ipotesi implicita” che non e soddisfatta nel caso dell’interferenza.

Varie correnti di pensiero hanno proposto varie soluzioni.

14


1.2.4 La soluzione ortodossa

L’interpretazione ortodossa (cioe quella di Copenhagen, in questo caso esemplificatadai ragionamenti di Feynman circa la Proposizione A) assume che non siano validele ipotesi di cui al punto 1 e 3: gli eventi (il fotone passa dalla fenditura) 1 e 2 nonsono incompatibili quando il fotone non e osservato, si ammette cioe che il fotone(quando non e osservato) passi da ambedue le fenditure (come farebbe un’onda).

La soluzione proposta da Peres

Se due eventi non sono disgiunti, si potrebbe applicare la (A.8), che contemplail caso di eventi non disgiunti. Tuttavia e difficile definire correttamente l’eventointersezione 1 ∩ 2 e la sua probabilita.

Peres [11, pag. 38] precisa allora che, nella meccanica quantistica, quando l’unio-ne di due eventi comporta il passaggio attraverso un percorso indeterminato, essanon e piu un evento (non si ha piu una σ-algebra, presupposto essenziale per co-struire uno spazio di probabilita classico), e non vale la regola della somma delleprobabilita usata nel passo 3.

Si osservi che non e in discussione il teorema della somma delle probabilita inse (equazione (A.8)), ma ancora una volta la sua applicabilita, in quanto alcunesituazioni non definiscono un evento in senso quantistico (“il passaggio di un sistemaquantistico attraverso un cammino indeterminato non e il verificarsi di un evento”).

La meccanica quantistica puo allora essere considerata come una nuova teoriaprobabilistica che definisce il calcolo delle probabilita per un nuovo tipo di eventicostruibili a partire da quelli elementari mediante un insieme nuovo di operazioniche tuttavia non permettono di creare una σ-algebra di eventi.

Si osservi infine che il primo passo che non e valido e ancora il passo 1, cioesiamo sempre nell’ambito dell’interpretazione ortodossa, sebbene l’approccio opera-zionistico di Peres evita accuratamente affermazioni circa gli oggetti non guardati.

1.2.5 La soluzione delle logiche quantistiche

In queste teorie, avanzate inizialmente da Birkhoff e von Neumann, si assume chenon sia valida un’ipotesi implicita nel punto 2: la legge distributiva della logicaclassica.

Una tale tesi deriva dall’osservazione che alcune affermazioni sui risultati di unesperimento possono essere messe in corrispondenza biunivoca con dei proiettoriortogonali (si vedano ad esempio le (1.32)), e cosı pure i connettivi logici e, o, nonpossono essere messi in corrispondenza con le operazioni definite sui proiettori.

15


Tuttavia i proiettori non soddisfano la legge distributiva, e quindi ne conse-gue che anche le affermazioni sui risultati degli esperimenti non soddisfano la leggedistributiva.

Ad esempio assumiamo le corrispondenze

S1 = |1〉〈1| ←→ il fotone passa dalla fenditura 1, (1.50a)

S2 = |2〉〈2| ←→ il fotone passa dalla fenditura 2 (1.50b)

e facciamo corrispondere il prodotto dei proiettori con il connettivo logico e, lasomma con o.

Allora si vede che essendo

S1S2 = 0 (1.51)

l’affermazione corrispondente “il fotone passa dalla fenditura 1 e dalla fenditura 2”e sempre falsa.

Viceversa, essendo

S1 + S2 = 1 (1.52)

per gli operatori che agiscono nello spazio generato dai due vettori |1〉 , |2〉, alloral’affermazione corrispondente “il fotone passa dalla fenditura 1 o dalla fenditura 2”e sempre vera.

In generale, le logiche quantistiche si propongono di costruire un modello ma-tematico di tutte le proposizioni fisicamente significative, in modo che vi sia unacorrispondenza tra operazioni nel modello matematico e i connettivi logici con iquali si puo operare sulle proposizioni. Un tale programma presenta tuttavia delledifficolta, ad esempio la connessione logica tra le affermazioni “la particella e loca-lizzata tra x e x + ∆x” e “la particella ha una quantita di moto tra p e p + ∆p”dovrebbe essere sempre falsa secondo i modelli della logica quantistica sinora svi-luppati, mentre sappiamo che essa risulta vera quando le incertezze sulla posizionee sulla quantita di moto soddisfano le relazioni di indeterminazione di Heisemberg.

1.2.6 La soluzione della probabilita quantistica

La probabilita quantistica, nella formulazione proposta da Accardi, accetta i primipassi, e rivolge le critiche alle ipotesi implicite nel punto 4: non e detto che laformula di Bayes sia applicabile e che, quindi, si possano identificare le probabilitacondizionate con quelle congiunte (e di conseguenza non si puo applicare il teoremadelle probabilita composte).

Ricordiamo il significato degli eventi congiunti

x ∩ i = il fotone arriva in x e passa per la fenditura i (1.53)

16


e condizionati

x|i = il fotone arriva in x dato che sia passato per la fenditura i. (1.54)

Quest’ultimo corrisponde a un esperimento in cui solo la fenditura i e aperta (con-dizionamento fisico). Di piu incerta interpretazione e l’evento congiunto: l’evento“il fotone arriva in x e passa per la fenditura i”, in questo caso non prevede nessunaverifica sperimentale, nel senso che entrambe le fenditure sono aperte e non c’e alcunrivelatore di percorso (condizionamento tautologico o classico).

Ora la (1.48) non vale nel caso di condizionamento fisico, ma vale solo nel casodel condizionamento tautologico o classico in cui le scelte sono sempre tutte possi-bili. Cio equivale a valutare sperimentalmente le probabilita P(x∩ i), ma sappiamoche non possiamo fare cio senza disturbare il sistema: occorre quindi introdurreesplicitamente un rivelatore R che individui attraverso quale fenditura sia passata ilfotone. In questo caso non si valutera piu P(x∩ i) bensı P(x∩ i|R), e l’evento dellarivelazione della particella nel punto X sara sempre condizionato dal rivelatore R,cosicche alla fine misureremo P(x|R).

Sappiamo pero gia che questa e una situazione differente, nella quale in partico-lare vale il teorema delle probabilita composte.

L’invariante statistico della doppia fenditura

La non validita della formula di Bayes e legata all’impossibilita di stabilire unarelazione tra delle probabilita che provengono da esperimenti incompatibili.

Come mostrato nell’appendice A, pag. 101, la definizione di probabilita condi-zionata (A.10) a partire da uno spazio di probabilita preesistente, costituisce unabuona definizione di probabilita.

Tuttavia nel nostro caso non si tratta di definire una probabilita condizionata apartire da un altro spazio di probabilita, ma del procedimento inverso: assegnare del-le probabilita (quelle congiunte e quelle marginali) a partire da quelle condizionate,e, in generale, cio non e possibile.

Una tale assegnazione e possibile solo se e possibile definire un unico modellostatistico classico (nel senso di kolmogoroviano) per descrivere i dati sperimentalimediante i quali calcoliamo le frequenze relative, che corrispondono alle probabilitadi cui discutiamo teoricamente.

Teorema 1.1 (dell’invariante statistico). Siano date le probabilita

P(x|1), P(x|2), P(x) (1.55)

che sono le uniche rilevabili sperimentalmente (mediante frequenze relative).Affinche le probabilita

P(1), P(2), P(x ∩ 1), P(x ∩ 2) (1.56)

17


siano descrivibili mediante uno stesso modello statistico classico le (1.55) devonosoddisfare la relazione [1, pag. 179]

P(x)− P(x|2)P(x|1)− P(x|2) ∈ (0,1), (1.57a)

o equivalentementeP(x)− P(x|1)P(x|2)− P(x|1) ∈ (0,1). (1.57b)

Dimostrazione. Per semplicita di scrittura poniamo

x1 = P (x ∩ 1) x2 = P (x ∩ 2) (1.58a)

x3 = P (1) x4 = P (2) (1.58b)

che sono le incognite del problema, e

c1 = P (x|1) c2 = P (x|2) (1.59a)

c3 = P (x) (1.59b)

che sono i dati noti dagli esperimenti.Affinche si possa usare un unico modello probabilistico classico per descrivere i dati

sperimentali dovranno essere verificate le (1.46), (1.47) e (1.48) ossia

x3 + x4 = 1x1 + x2 = c3

c1x3 − x1 = 0c2x4 − x2 = 0

(1.60)

Inoltre le varie xi (i=1,2,3,4) dovranno rappresentare delle probabilita (cosı come lo sonole cj con j = 1,2,3). Escludendo i casi banali in cui le incognite e le costanti sono nulle ouguali a uno, occorre che sia

0 < xi < 1 ∀cj ∈ (0,1), i = 1,2,3,4, j = 1,2,3. (1.61)

La soluzione del sistema e piuttosto semplice e porge

x1 = c1c2−c3c2−c1

x2 = c2c1−c3c1−c2

x3 = c2−c3c2−c1

x4 = c1−c3c1−c2

(1.62)

Affinche poi 0 < x1 < 1, essendo x1 = c1x3, con 0 < c1 < 1 vediamo subito che bastarichiedere che 0 < x3 < 1.

18


Affinche 0 < x3 < 1 dovra essere

0 <c2 − c3c2 − c1

< 1 (1.63)

che, tenuto conto delle (1.58), e, a meno di moltiplicare numeratore e denominatore per-1, il primo invariante statistico (1.57a) che cercavamo.

L’altro (1.57b) si ricava in maniera analoga dalla condizione 0 < x4 < 1.

Osservazione. Le due espressioni dell’invariante statistico sono equivalenti.Il primo invariante equivale a

0 < c3 − c2 < c1 − c2 per c1 − c2 > 00 > c3 − c2 > c1 − c2 per c1 − c2 < 0

(1.64)

dalle quali otteniamo c1 < c3 < c2 per c1 < c2c1 > c3 > c2 per c1 > c2.

(1.65)

Per il secondo invariante, in maniera analoga avremo

0 < c3 − c1 < c2 − c1 per c2 − c1 > 00 > c3 − c1 > c2 − c1 per c2 − c1 < 0

(1.66)

dalle quali otteniamo nuovamente la (1.65): le condizioni imposte dai due invarianti statistici sonoin realta una sola, per questo basta verificare che risulti soddisfatto solo uno dei due.

Le (1.65) sono poi semplici da rappresentare graficamente: la regione da esse delimitataall’interno del cubo 0 < cj < 1, j = 1,2,3 e rappresentata nella figura 1.4.

Puo essere utile esprimere le condizioni dell’invariante statistico secondo la forma delle (1.65),che in termini di probabilita valgono

P (x|1) P (x) > P (x|2) per P (x|1) > P (x|2) . (1.67)

1.2.7 Conclusioni

Come evidenziato piu volte da Accardi stesso, quello degli invarianti statistici eun criterio per verificare a posteriori se i dati provenienti da vari esperimenti sonodescrivibili all’interno di un unico modello probabilistico classico. Al fisico si ponetuttavia il problema, di scegliere quale modello probabilistico (classico o quantistico)adottare per fare delle previsioni sui risultati di un esperimento.

Per essere concreti: in un esperimento di interferenza come quello analizzato,date delle particelle con determinate caratteristiche fisiche (massa, ecc) ed uscentidalla sorgente σ con una certa velocita, si avranno frange d’interferenza? Ovveroqual e la probabilita P (x) di rivelare le particelle in una determinata regione delloschermo di osservazione?

19


Figura 1.4. Rappresentazione grafica delle condizioni imposte dall’invariante sta-tistico. Nella figura di sinistra sono rappresentati i piani corrispondenti alle con-dizioni c2 = c1, c3 = c1 e c3 = c2, mentre nella figura di destra e rappresentata la

regione di spazio delimitata dall’invariante statistico c3−c2c1−c2 ∈ (0,1).

La risposta puo essere data utilizzando il modello quantistico: si calcola P (x),e si valuta la distanza tra le frange, confrontandola con il potere di risoluzione degliapparati utilizzati per rilevare le frange.

A poco serve invece da questo punto di vista il criterio dell’invariante statistico,che richiede la conoscenza di P (x) .

In caso di presenza di un rivelatore di percorso la risposta e piu difficile, in quantooccorre valutare quanto il rivelatore di percorso perturbi il comportamento delleparticelle. E peraltro evidente, che se il potere risolutore delle frange e incapace dirivelare le frange sin dall’inizio, allora possiamo trascurare gli effetti del rivelatore dipercorso (sempre che esso non sia troppo invasivo), e affermare che la sua presenzanon altera i risultati dell’esperimento: e il caso di particelle classiche, in cui nonsolo la particella viene perturbata poco dal rivelatore di percorso, ma le frange diinterferenza non sarebbero state rilevabili in ogni caso!

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Capitolo 2

Coerenza ed incoerenza ottica

Nel paragrafo 1.1 abbiamo parlato di coerenza (di fase) con riferimento al caso dionde o campi perfettamente sinusoidali la cui differenza di fase e costante, e abbiamovisto che tale condizione genera fenomeni di interferenza.

In questo capitolo vedremo, in particolare, alcune ragioni per le quali il sempli-ce modello usato nel paragrafo 1.1.1 di onde perfettamente sinusoidali, e incapacedi render conto del venir meno, in alcune situazioni sperimentali, dei fenomeni diinterferenza.

Inquadreremo poi l’interferenza prodotta da due onde in uno schema piu generale,mediante le nozioni di coerenza spaziale e temporale, per poi passare all’approcciodella coerenza ottica.

Ed infine affronteremo, dal punto di vista quantistico, il problema della coerenzaottica, studiando la coerenza ottica di alcuni semplici campi, in particolare il campoprodotto da una sorgente laser (che e altamente coerente) e quello di una sorgentetermica convenzionale.

2.1 Le origini della non perfetta monocromaticita

Abbiamo visto nel paragrafo 1.1 che le onde perfettamente monocromatiche mostra-no coerenza di fase (e massima visibilita) qualunque sia la distanza spaziale tra ledue sorgenti, e qualunque sia il ritardo tra le due onde.

Le onde elettromagnetiche che stiamo considerando sono emesse da atomi chepassano da uno stato eccitato (d’energia E2) ad uno di livello energetico inferioreE1 emettendo energia sotto forma di radiazione elettromagnetica, alla pulsazioneω0 = E2−E1

~.

Tale radiazione tuttavia non e perfettamente monocromatica. Le varie ragionidi questa non perfetta monocromaticita sono molteplici ed intimamente legate alprocesso di emissione.

21

2 – Coerenza ed incoerenza ottica

Limitandoci al caso dell’emissione spontanea, una prima sorgente di non mono-cromaticita e la durata limitata dell’emissione di ciascun atomo.

Poi abbiamo la presenza di componenti di diversa frequenza, dovuta a differentitransizioni: in questo caso, tuttavia, la presenza di piu componenti spettrali, dovutaad atomi che effettuano salti energetici ben distinti, origina solo delle righe distintee in genere ben separate data la natura discreta dei livelli atomici. Pertanto essapuo essere eliminata mediante opportuni filtri.

Ed infine abbiamo dei fenomeni dovuti alla presenza di piu atomi immersi in unambiente“rumoroso”che disturba in qualche modo l’emissione, causando dei bruschie imprevedibili salti della fase di ciascuna componente.

Tutti questi fenomeni originano uno spettro che non e esattamente una riga: siparla pertanto di allargamento di riga.

E usuale la distinzione in allargamento omogeneo, dovuto al comportamento diun insieme di atomi indistinguibili, che si comportano tutti allo stesso modo, edallargamento inomogeneo, dovuto a piccole differenze tra un atomo e l’altro, non piuindistinguibili.

Secondo questa classificazione, sono di tipo omogeneo l’allargamento naturaledovuto al processo di emissione spontanea, le transizioni verso altri livelli, le collisioni(elastiche) che causano delle brusche variazioni di fase, quelle (inelastiche) con ifononi o altri atomi.

Sono invece di tipo inomogeneo l’allargamento dovuto alle impurita o quello pereffetto Doppler1.

Tale distinzione e molto importante nella teoria del laser, perche i due tipi diallargamento originano due differenti andamenti della saturazione del guadagno alcrescere della potenza, ma per l’analisi che ci interessa e del tutto trascurabile.

Per comprendere il meccanismo e gli effetti dell’allargamento, vediamo piu indettaglio il caso dell’allargamento naturale e quello dovuto alle collisioni.

Allargamento naturale della linea spettrale

La luce emessa da un singolo atomo puo essere considerata con buona approssimazio-ne, come un’onda sinusoidale di durata limitata a τd, che e il tempo di decadimentodegli atomi della sorgente luminosa (τd ∼ 10−8 s):

E(t) = pτd(t)E0 cos(ω0t) (2.1)

essendo pτd(t) = 1 per −τd/2 < t < τd/2, e nulla altrove.

1Il fatto che gli atomi siano in continuo moto per semplice agitazione termica, comporta chedurante l’emissione di una singola onda, la frequenza della radiazione emessa risulta, per effettoDoppler, maggiore o minore di quella di un atomo idealmente fermo, a secondo del verso in cui simuove l’atomo rispetto a quello in cui consideriamo la propagazione della luce.

22

2.1– Le origini della non perfetta monocromaticita

Lo spetto corrispondente non sara piu una riga in corrispondenza della frequenzaf0, ma risultera allargato secondo la funzione di riga

E0sin[(ω − ω0)τd/2]

ω − ω0

(2.2)

dalla quale e evidente un allargamento della banda del segnale troncato rispettoad uno perfettamente sinusoidale. In particolare vale la relazione (relazione diindeterminazione tempo-frequenza)

∆ω∆t ' 1 (2.3)

ove possiamo assumere ∆t ∼ τd, e ∆ω ∼ ω − ω0.Un valore tipico del tempo di decadimento e τd ∼ 10−8 s.Per quanto riguarda la luce termica, l’effetto dell’allargamento naturale, seb-

bene presente, risulta in genere trascurabile rispetto agli altri tipi di allargamen-to di riga: pertanto assumeremo che il campo emesso dagli atomi indisturbati siaapprossimativamente sinusoidale.

Un tale allargamento e legato proprio al processo di emissione, e pertanto epresente anche nel caso di un laser: tuttavia in questo caso l’emissione stimolatapermette di mantenere la coerenza di fase tra le varie onde emesse dai vari atomi intempi differenti, superando quindi le limitazioni imposte dal processo di emissione.

Allargamento dovuto alle collisioni

Per via dell’agitazione termica, tra gli atomi avvengono continue collisioni, con untempo medio tra due collisioni τcoll ∼ 10−11 s, il che comporta che, durante il tempodi decadimento di un atomo avvengano circa τd

τcoll∼ 10−8

10−11 = 103 collisioni. Tuttavia

alle frequenza ottiche (f0 ∼ 1015 Hz, T0 = 10−15 s) nell’intervallo di tempo tra duecollisioni sono presenti sempre un elevato numero di oscillazioni complete e nondisturbate ( τcoll

T0∼ 10−11

10−15 = 104), tanto da poter parlare ancora ragionevolmente disegnale sinusoidale.

Ora mentre i precedenti effetti di allargamento di riga comportavano sostan-zialmente una lenta modulazione in ampiezza del segnale sinusoidale, le collisionicomportano un suo brusco sfasamento casuale, cosı che persino la radiazione emessada un singolo atomo ha una coerenza di fase (ovvero e continua) in media solo perun tempo τcoll.

Solo nel caso dell’emissione stimolata (ovvero del laser) si riesce a mantenere lacoerenza di fase tra le emissioni dei vari atomi, superando anche i limiti impostidalle collisioni.

Rimuoviamo quindi l’ipotesi di campi perfettamente sinusoidali. Tuttavia e evi-dente da quanto detto, che il campo mantiene certe caratteristiche sinusoidali, anche

23


se per intervalli di tempo limitati. Pertanto nel seguito considereremo dei campiquasi-monocromatici, ovvero dei campi per i quali la larghezza di banda ∆f e moltopiu piccola della frequenza di centro banda f0: si tratta di un’ipotesi ragionevole permolte applicazioni.

2.2 Coerenza della luce termica

L’effetto degli sfasamenti casuali cui e soggetta la luce termica e una statistica dellaluce gaussiana. Piu precisamente, se consideriamo [7, §4.4] tutti gli atomi di unasorgente termica che emettono luce ad una particolare frequenza f0, il campo totalerisulta dalla somma di tante onde (sinusoidali, almeno in prima approssimazione).Ciascun atomo e tuttavia indipendente dagli altri, per cui i vari contributi avrannouna fase casuale φn(t), la cui dipendenza dal tempo tiene conto degli sfasamentidovuti alle collisioni. Avremo cioe

E(t) =N∑

n=1

En(t) =N∑

n=1

E0nei[ω0t+φn(t)] (2.4)

essendo N il numero di atomi che emettono alla pulsazione ω0 = 2πf0, e E0n leampiezze del campo emesso da ciascun atomo.

Se ora assumiamo, per semplicita, che le ampiezze siano tutte uguali E0n = E0,allora

E(t) = E0 eiω0t

N∑

n=1

eiφn(t) = E0 eiω0ta(t)eiδ(t) (2.5)

ove si e posto

a(t)eiδ(t) =N∑

n=1

eiφn(t) (2.6)

che altro non e che il cammino totale percorso nel classico problema del randomwalk.

Il cammino totale a(t) all’istante t puo variare tra 0 e N . E facile verificare allorache l’ampiezza media del cammino risulta

< a(t) >e=√N. (2.7)

Inoltre si ha che la probabilita che ad un particolare istante l’ampiezza del camminosia a(t) e

Pa(t) =1

πNe−

a2(t)N (2.8)

cioe l’ampiezza a(t) ha una distribuzione di probabilita gaussiana, centrata nell’o-rigine, da cui la denominazione di luce gaussiana per la luce emessa da sorgentitermiche.

24

2.2– Coerenza della luce termica

Valutiamo ora l’intensita media della luce termica.A tal fine supponiamo che a(t) e δ(t) varino lentamente rispetto alla portante

sinusoidale (f0 ∼ 1015 s). L’intensita media su un periodo risulta allora

< |E(t)|2 >T0= E20a

2(t) (2.9)

mentre l’intensita misurata con un rivelatore e la media su un tempo Tr T0, parial tempo di risposta dello strumento, per cui

I(t) =< |E(t)|2 >Tr= E2

0 < |a(t)|2 >Tr. (2.10)

Se supponiamo la sorgente stazionaria possiamo innanzitutto approssimare la mediasu Tr con quella su tutto l’asse dei tempi (inoltre essendo ragionevolmente validaanche l’ipotesi ergodica, ometteremo il pedice che le distingue)

< |a(t)|2 >Tr'< |a(t)|2 >t=< |a(t)|2 >=

⟨N∑

n=1

eiφn

N∑

m=1

e−iφm

⟩. (2.11)

Ora per m = n abbiamo la somma di N termini pari a 1, per cui risulta

< |a(t)|2 >= N +

⟨N∑

n=1

eiφn

N∑

m6=n

m=1

e−iφm

⟩(2.12)

che, tenuto conto del ruolo simmetrico di n e m, possiamo riscrivere come

< |a(t)|2 >= N + 2

⟨N∑

n>m=1

cos(φn − φm)

⟩= N, (2.13)

ove, poiche le fasi φn variano in maniera casuale sul lungo periodo2, il coseno havalor medio nullo, per cui l’intensita media risulta

I '= N E20 ∀Tr > τc. (2.14)

Si osservi in particolare che con un rivelatore con tempo di risposta Tr > τc lefluttuazioni dell’intensita (che possono variare nell’intervallo [0, N 2E2

0 ]) non vengonorilevate.

Interferenza di luce termica

Consideriamo lo schema mostrato nella figura 2.1, con una sorgente puntiformegaussiana presente nell’origine O.

2Ovvero per qualunque intervallo maggiore del tempo di coerenza τc, che e proprio il tempoentro il quale le fasi sono, mediamente, costanti, e quindi resta costante la differenza di fase φn−φm.

25


Figura 2.1. Schema generale di un esperimento di interferenza. La sorgente eposta nell’origine O.

Il campo nel punto r, come nella (1.2), sara

E(r,t) = E1(r,t) + E2(r,t) (2.15)

ove Ei(r,t) e il campo prodotto in r dall’onda proveniente dalla fenditura in ri.Come al solito supponiamo che le fenditure siano cosı piccole da originare delle

onde sferiche, e che la distanza del punto di osservazione dalla sorgente sia moltomaggiore della lunghezza d’onda λ0. Ponendo per semplicita

si = |ri − r| λ0 (2.16a)

ti = t− sic

(2.16b)

essendo c la velocita di propagazione della luce, il campo prodotto in r all’istante tdalla fenditura i-esima sara

Ei(r, t) =1

siEi (ti) =

1

siE (ri, ti) (2.17)

ove Ei(t) ≡ E (ri, t) e il campo generato in ri dalla sorgente posta nell’origine.La (2.15) vale allora

E(r, t) =1

s1

E(r1, t−

s1

c

)+

1

s2

E(r2, t−

s2

c

)=

' 1

R[E(r1, t− s1/c) + E(r2, t− s2/c)] (2.18)

ove si e supposto di limitarci a punti vicini all’asse di simmetria, per i quali s1 ≈ s2 ≈R. Tale approssimazione (all’ordine zero rispetto alla differenza s2−s1) e valida solo

26


per il termine 1/si. Per il termine presente all’interno dell’espressione del campo,trattandosi di un termine di fase, l’approssimazione all’ordine zero in generale none sufficientemente buona visto che le fasi originano un termine del tipo k(s2 − s1),che richiede un’approssimazione di ordine superiore.

L’intensita media osservata in un punto r vale allora

I(r,t) =< |E(r,t)|2 >=

=1

R2

[< |E1(r, t)|2 > + < |E2(r, t)|2 > +

+ < E1(r, t)E∗2 (r, t) > + < E∗1 (r, t)E2(r, t) >]

=

= I1(r,t) + I2(r,t) +1

R2

[< E(r1, t− s1/c)E∗(r2, t− s2/c) > +

+ < E∗(r1, t− s1/c)E(r2, t− s2/c) >]

(2.19)

che possiamo riscrivere come

I(r,t) = I1(r,t) + I2(r,t) +2

R2ReG(1)(x1, x2). (2.20)

ove xi = (ri, t−si/c) = (ri, ti), e si e introdotta la funzione di correlazione (classica)del campo elettromagnetico

G(1)(x1, x2) ,< E∗(x1)E(x2) > (2.21)

della quale vedremo nel paragrafo 2.4.1 un suo studio piu approfondito, nell’ambitodell’ottica quantistica.

Nell’espressione dell’intensita (2.20), riconosciamo le intensita prodotte da cia-scuna fenditura I i(r,t) ∝ G(1)(xi, xi), piu un termine aggiuntivo proporzionale aReG(1)(x1, x2) che e proprio il termine di interferenza. Per evidenziare megliol’effetto di quest’ultimo, conviene riscrivere la funzione di correlazione come

G(1)(x1, x2) = |G(1)(x1, x2)| eiθ(x1, x2) (2.22)

con θ(x1, x2) = ]G(1)(x1, x2) la fase della funzione di correlazione.

La media che figura nella (2.21), cosı come quella dell’intensita, va intesa comemedia temporale su di un periodo Tr pari al tempo di risposta quello del fotorivela-tore. Per campi stazionari le medie non dipendono dal tempo, ma solo dal ritardoτ = t1 − t2.

27


In tale caso la funzione di correlazione (2.21), esplicitando la dipendenza tempo-rale, vale

G(1)(x1,x2) =1

Tr

∫ Tr

0

E∗(r1,t− s1/c)E(r2,t− s2/c)dt

=1

Tr

∫ Tr− s1c

− s1c

E∗(r1,t′)E(r2,t

′ + τ)dt′

=1

T

∫ Tr

0

E∗(r1,t′)E(r2,t

′ + τ)dt′ (2.23)

ove, nei limiti d’integrazione, trattandosi di un campo stazionario, si e traslatol’intervallo d’integrazione, e si e posto

τ =s2 − s1

c= t2 − t1. (2.24)

Quindi possiamo scrivere

G(1)(x1,x2) = G(1)(r1,r2; t1,t2) = G(1)(r1,r2; τ) (2.25)

evidenziando esplicitamente che la funzione di correlazione dipende solo dal ritardoτ tra i due campi.

In particolar modo la fase θ(r1,r2; τ) = ]G(1)(r1,r2; τ) dipende solo da τ , ossiadalla differenza dei cammini ottici, analogamente a quanto avevamo visto nel casodi onde monocromatiche.

L’intensita vale pertanto

I(r,t) =1

R2

[G(1)(r1,r1; 0)+G(1)(r2,r2; 0)+2|G(1)(r1,r2; τ)| cos θ(r1,r2; τ)

](2.26)

che e analoga alla eq. (1.12): visto cha al variare del punto r sullo schermo diosservazione, varia solo τ , il termine con il coseno e ancora una volta quello cheorigina le frange di interferenza, mentre l’inviluppo delle frange e dato dal modulodella funzione di correlazione del campo uscente dalle due fenditure.

Si osservi comunque che cio che a noi interessa e la coerenza del campo nei puntir1 e r2, ed e solo per via dell’apparato sperimentale usato che ricorriamo all’intensitain r per evidenziare i fenomeni di interferenza.

Dalla (2.26) risulta poi

Imax =1

R2

[G(1)(r1,r1; 0) +G(1)(r2,r2; 0) + 2|G(1)(r1,r2; τ)|

](2.27a)

Imin =1

R2

[G(1)(r1,r1; 0) +G(1)(r2,r2; 0)− 2|G(1)(r1,r2; τ)|

](2.27b)

28


per cui, ricordando la definizione di visibilita (1.15), si ha

ν ≡ Imax − Imin

Imax + Imin

=

= 2|G(1)(r1,r2; τ)|

G(1)(r1,r1; 0) +G(1)(r2,r2; 0)=

= 2

√I1I2

I1 + I2

∣∣∣∣∣G(1)(r1,r2; τ)√

G(1)(r1,r1; 0)G(1)(r2,r2; 0)

∣∣∣∣∣ =

= 2

√I1I2

I1 + I2

|g(1)(r1,r2; τ)| (2.28)

ove si e introdotto il coefficiente di correlazione del primo ordine

g(1)(x1,x2; ) ,G(1)(x1,x2)√

G(1)(x1,x1)G(1)(x2,x2). (2.29)

Dalla (2.28) risulta evidente la sostanziale equivalenza tra il modulo del coeffi-ciente di correlazione e la visibilita. In particolare se il campo che incide sulle duefenditure ha uguale intensita I1 = I2, allora ν = |g(1)(x1,x2)|, e la condizione di mas-sima visibilita delle frange d’interferenza equivale ad un coefficiente di correlazionedi modulo unitario.

A questo punto non resta che calcolare la funzione di correlazione nel caso speci-fico di un campo con statistica gaussiana (2.5), che, in virtu dell’ergodicita del cam-po, possiamo calcolare come media temporale (sul tempo di risposta del rivelatoreTr τc):

G(1)(x1,x2) =1

Tr

∫ Tr

0

E∗(r1,t1)E(r2,t1 + τ)dt1

=N∑

n,m=1

E20e

ik(s1−s2) 1

Tr

∫ Tr

0

ei[φm(t1+τ)−φn(t1)]dt1. (2.30)

Ora poiche le fasi formano un insieme di variabili casuali indipendenti uniforme-mente distribuite tra 0 e 2π, per n 6= m anche la loro differenza e uniformementedistribuita, e il contributo alla (2.30) e nullo.

Per n = m abbiamo invece la differenza tra i valori della stessa fase a due istantitemporali differenti: ciascuna fase φn(t), cambia mediamente dopo un tempo τc,pertanto la differenza δn = φn(t1)− φn(t1 + τ) assume un valore casuale per τ > τc,che come prima da un contributo nullo alla (2.30), per cui

G(1)gauss(r1,r2; τ) = 0 per τ ≥ τc. (2.31)

29


Figura 2.2. Grafici di una realizzazione delle fase φn(t), φn(t+τ) e della differenzadi fase δn = φn(t)− φn(t+ τ), nel caso τ < τc.

Per τ < τc invece la differenza di fase δn = φn(t1)− φn(t1 + τ) e nulla quando ledue fasi si sovrappongono, ed assume un valore casuale altrimenti (figura 2.2).

Su un intervallo di durata τc, l’integrale presente nella (2.30) vale quindi∫ τ

0

eiδndt1 +

∫ τc

τ

dt1 = τ eiδn + (τc − τ) (2.32)

e, se vogliamo calcolarne il valor medio, basta dividere tale espressione per τc. L’inte-grale esteso a tutto l’intervallo Tr risulta allora uguale alla somma di tanti contributianaloghi, e i termini τ eiδn tenderanno, in media, a cancellarsi lasciando solo quellidel tipo τc− τ , che, se poniamo Tr = Mτc, danno luogo ad un contributo M(τc− τ)che poi dovendo essere diviso per Tr porge, in media, sempre un contributo del tipoτc−ττc.In definitiva si ha

G(1)gauss(r1,r2; τ) = NE2

o

τc − ττc

eik(s1−s2) per τ < τc. (2.33)

30


Figura 2.3. Modulo del coefficiente di correlazione del primo ordine per un cam-po monocromatico (perfettamente coerente) e uno termico (gaussiano), secondo il

semplice modello utilizzato e uno piu realistico con spettro gaussiano.

Essendo poi G(1)gauss(xi,xi) = NE2

0 , il coefficiente di correlazione vale

g(1)gauss(r1,r2; τ) =

τc−ττc

eik(s1−s2) per 0 ≤ τ < τc,

0 per τ ≥ τc(2.34)

ovvero in modulo, tralasciando l’indicazione esplicita dei due punti r1, r2,

|g(1)gauss(τ)| =

τc−ττc

per 0 ≤ τ < τc,

0 per τ ≥ τc.(2.35)

In questo risultato possiamo riscontrare le caratteristiche essenziali, che si ritrova-no anche in analisi piu raffinate3: la luce di una sorgente termica puo essere coerentesolo per τ = 0 (coerenza spaziale), risulta parzialmente coerente per 0 < τ < τc,e risulta completamente incoerente per τ τc. Un comportamento ben differente

3Espressioni piu realistiche del coefficiente di correlazione del primo ordine si ottengono model-lando adeguatamente lo spettro di potenza del processo. In particolare [15, §3.6] per uno spettrolorentziano si ottiene

|g(1)gauss(τ)| = e−γτ (2.36)

mentre se lo spettro e esso stesso gaussiano si ha

|g(1)gauss(τ)| = e−γ2τ2

(2.37)

con γ ∼ 1/τc.

31


da quello di un’onda perfettamente monocromatica per la quale il coefficiente dicorrelazione e identicamente uguale ad uno.

In definitiva in un interferometro di Young illuminato da una sorgente termicadisposta simmetricamente rispetto alle fenditure, si ha coerenza spaziale perfettasolo nei pressi dell’asse di simmetria (e in generale, per una sorgente non simmetricanei pressi del massimo principale), ove τ = 0.

In corrispondenza dei massimi dell’intensita di ordine n risulta, in base alla (1.7)

τ =s2 − s1

c=

n

f0

(2.38)

per cui, per della luce termica visibile con τc ∼ 10−12 s, dovrebbero essere visibilicirca n = τc

T0∼ 10−12 s

10−15 s= 103 frange di interferenza, in quanto durante il tempo di

coerenza la luce termica, dovrebbe comportarsi come un’onda monocromatica. Inpratica, tuttavia, i vari allargamenti di riga, e soprattutto gli effetti di diffrazionedovuta alle dimensioni non trascurabili delle fenditure e l’estensione spaziale dellasorgente fanno sı che siano visibili molte meno frange.

Se si usa un laser il tempo di coerenza e decisamente maggiore (anche se noninfinito): valori usuali, come detto anche in precedenza, sono dell’ordine di τc ∼10−4 s.

A questo punto (ovvero tenuto conto della sola statistica del primo ordine) ladifferenza tra la luce emessa da un laser e quella di una sorgente termica sembra sololegata ad un tempo di coerenza maggiore. Vedremo che vi e anche una profondadifferenza qualitativa, ma a tal fine occorre analizzare le proprieta statistiche delsecondo ordine, e tenere in conto la natura quantistica della luce.

2.3 Introduzione alla coerenza

Puntualizziamo ora alcuni concetti relativi alla coerenza.

2.3.1 Coerenza spaziale

Data un’onda elettromagnetica monocromatica o quasi-monocromatica si fissi unfronte d’onda (diciamo all’istante t = 0) e si considerino due punti P1 e P2 su diesso. Siano E1(t) e E2(t) rispettivamente i campi nei due punti.

Per come abbiamo fissato i due punti (ovvero per la definizione stessa di frontedi fase), i campi nei due punti sono in fase all’istante t = 0 (ovvero la differenza difase e nulla). Diremo allora che il campo mostra una perfetta coerenza tra i duepunti se tale differenza di fase resta nulla ∀t > 0 (e l’insieme dei punti per i quali siha perfetta coerenza e l’area di coerenza). Se tale condizione dovesse valere per duequalsiasi punti del fronte d’onda, diremo che si ha perfetta coerenza spaziale.

32

2.3– Introduzione alla coerenza

Figura 2.4. Rappresentazione schematica di un interferometro di Young con unasorgente estesa. I1, I2 sono le intensita medie prodotte da ciascuna fenditurasingolarmente (ovvero quando l’altra e chiusa) tenendo conto anche della diffrazionedovuta a fenditure non puntiformi, Icoer l’intensita media prodotta nel caso dibuona coerenza, mentre I inc e relativo al caso di sovrapposizione di onde incoerenti.

L’interferometro di Young

Un apparato sperimentale che permette di mettere in evidenza questo tipo di coe-renza e l’interferometro di Young (figura 2.4), che ora analizzeremo in maniera piudettagliata.

Supponiamo che la luce venga generata da una sorgente σ, con dimensione carat-teristica trasversale pari a ∆S. Le fenditure in P1 e P2, sullo schermo Σs, sarannocoincidenti con i due punti nei quali vogliamo testare la coerenza spaziale. Per sem-plicita supporremo (come illustrato in figura) che le due fenditure siano sistematesimmetricamente rispetto alla sorgente, e che le dimensioni di tali fenditure sianosufficientemente piccole da poter trascurare gli effetti di diffrazione.

Diremo che le frange d’interferenza sullo schermo di osservazione Σo sono lamanifestazione della coerenza del campo nei due punti P1 e P2.

Si osservi che se la sorgente fosse puntiforme, la sua non perfetta monocromaticitanon creerebbe grossi problemi: a ciascun treno di onde pressoche monocromaticosi puo applicare quanto visto per delle onde perfettamente monocromatiche (par.1.1.1), e i vari treni di onde differiscono sostanzialmente per un fattore di fase chenon altera la figura d’interferenza.

Nel caso di una sorgente estesa quasi-monocromatica risulta invece che si hannofrange di interferenza solo se i due punti P1 e P2 sono sufficientemente vicini, ovverose

∆θ ≤ λ0

2∆S(2.39)

33


Figura 2.5. Effetti della traslazione della sorgente sulla figura d’interferenza. Ii el’intensita dovuta solo alla sorgente σi, i = 0,1

ove∆θ e l’angolo sotto il quale sono viste le due fenditure dalla sorgente, λ0 = c/f0 lalunghezza d’onda media del fascio luminoso, e ∆S la dimensione caratteristica dellasorgente. La corrispondente massima distanza tra i due punti P2P1 che permette diavere interferenza e detta lunghezza di coerenza trasversale.

Dimostrazione. Si consideri inizialmente una sorgente singola puntiforme e monocromatica, dispo-sta simmetricamente rispetto alle due fenditure. Il campo da essa generato

E(t) = E0 cos(ωt) (2.40)

generera nei punti Pi i campi

Ei(t) = E0i cos(ωt− kRi) i = 1,2. (2.41)

Ora nel caso in esame con una disposizione simmetrica E01 = E02, e ϕ1 = kR1 = kR2 = ϕ2, e atutti gli effetti possiamo applicare quanto visto nel paragrafo 1.1.1, con delle onde perfettamente infase (∆ϕ = ϕ1−ϕ2 = 0), ottenendo una figura d’interferenza con il massimo principale in posizionecentrale rispetto alle due fenditure.

Se ora consideriamo una sorgente sempre puntiforme ma collocata ad una delle estremitadella sorgente estesa σ (σ1 nella figura 2.5), a parte una differenza nell’attenuazione dell’ampiezza,trascurabile in prima approssimazione, avremo R′

1 6= R′2, e quindi una differenza di fase non nulla

tra i campi in P1 e P2. Come visto nella (1.28) cio comporta uno spostamento del massimoprincipale della figura d’interferenza di

xm =∆ϕ

2π∆x (2.42)

essendo ∆x = Daλ0 la separazione tra due massimi (o due minimi) della figura d’interferenza.

Ora affinche non si abbia la cancellazione della figura di interferenza, richiediamo che i massimigenerati da una tale sorgente non cadano nei pressi dei minimi generati da una sorgente puntiformedisposta simmetricamente:

|xm| <∆x

2. (2.43)

34


A questo punto basta usare l’espressione di xm in funzione di ∆x per ottenere

|∆ϕ| < π (2.44)

ed esprimendo ∆ϕ in funzione della distanza della sorgente dallo schermo con le fenditure abbiamo

|R1 −R2| <λ0

2. (2.45)

Ora possiamo approssimare le espressioni di Ri come

R1 =

√R2 +

(∆S − a

2

)2

' R[1 +

1

2

(∆S − a/2)2R2

](2.46a)

R2 =

√R2 +

(∆S +

a

2

)2

' R[1 +

1

2

(∆S + a/2)2

R2

](2.46b)

ove ∆S e la distanza della sorgente dall’asse di simmetria, e quindi

|R1 −R2| 'a∆S

R(2.47)

per cui la condizione di coerenza spaziale (2.43) vale

a∆S

R<λ0

2. (2.48)

Il ragionamento e le conclusioni viste non cambiano se si considerano due sorgenti elementariposte ai due estremi della sorgente estesa σ, in quanto nella discussione svolta in precedenza sifaceva riferimento allo sfasamento ∆ϕ introdotto dalla disposizione asimmetrica della sorgente.

Infine, per esprimere la condizione di coerenza spaziale in termini di angoli, basta osservareche

a

R= 2 tan

∆θ

2' ∆θ (2.49)

e quindi

∆θ <λ0

2∆S.(2.50)

La (2.39) e sostanzialmente dovuta alla natura non puntiforme della sorgente, epossiamo giustificarla osservando [8, §4.2] che ciascuna sorgente elementare presentenella sorgente σ origina delle frange di interferenza proprie sullo schermo di osser-vazione (come visto nel paragrafo 1.1.1). Tuttavia data l’estensione spaziale dellasorgente, e la sua natura incoerente, sullo schermo vengono a sovrapporsi figure diinterferenza con massimi e minimi in posizioni differenti. Tali differenze aumenta-no all’aumentare della separazione tra le due fenditure, fino alla cancellazione dellafigura di interferenza totale.

E importante evidenziare come, nonostante le varie sorgenti elementari che for-mano la sorgente σ siano incoerenti, e quindi in ultima analisi la sorgente sia (parzial-mente) incoerente, nelle condizioni (2.39), si hanno frange di interferenza, rivelando

35


Figura 2.6. Scema che illustra l’origine della coerenza spaziale nei due punti P1 eP2 a partire da due sorgenti incoerenti S1 e S2.

la coerenza tra i campi nei due punti P1 e P2 : pur di porsi a sufficiente distanza dauna qualsiasi sorgente, si possono ottenere fenomeni di interferenza.

Per rendersi conto di come avvenga cio, si considerino due sorgenti puntiformi S1

e S2 quasi-monocromatiche, con la stesse caratteristiche spettrali ma incoerenti (oin altri termini, statisticamente indipendenti: possiamo considerarle come il modellodi due atomi distinti della sorgente σ).

I due treni d’onda che da ciascuna di esse partono verso i punti P1 e P2 (si vedala figura 2.6) generano in questi punti i campi:

E1(t), E2(t) nel punto P1 (2.51a)

E ′1(t), E ′2(t) nel punto P2. (2.51b)

Sia Rij = SiPj, e consideriamo la sorgente S1: se la differenza tra R11 ed R12 epiccola rispetto alla lunghezza di coerenza, allora

E1(t) ' E ′1(t) (2.52a)

a meno di un fattore di fase determinato e costante (dipendente essenzialmente dallageometria). Analogamente per S2: se R21 ' R22

E2(t) ' E ′2(t). (2.52b)

Sommando localmente i campi si ha:

E(P1; t) = E1(t) + E2(t) = E ′1(t) + E ′2(t) = E(P2; t) (2.53)

e quindi, nonostante l’indipendenza statistica tra E1(t) e E2(t), il campo totale in P1

risulta correlato a quello in P2.

36


Figura 2.7. Definizioni degli angoli per la condizione di coerenza spaziale, in basealla quale deve essere ∆θ ≤ λ0

2∆S , o equivalentemente ∆θ′ ≤ λ02a corrispondenti

rispettivamente agli angoli solidi ∆ω e ∆ω′.

L’area di coerenza

Con riferimento alla figura 2.4, l’area di coerenza e la regione intorno al punto Qnella quale possiamo scegliere i punti P1 e P2 per avere frange di interferenza conuna buona visibilita:

∆A ∼ (R∆θ)2 ∼(Rλ0

∆S

)2

(2.54)

ove si e usata la (2.39).Calcoliamo i valori delle aree di coerenza per alcuni casi significativi. Per agevo-

lare i calcoli conviene elaborare l’espressione dell’area di coerenza: osserviamo cheessendo

∆Ω ,(∆A)2

R2∼ (∆θ)2 (2.55)

l’angolo solido sotteso dall’area di coerenza4, usando la (2.54) si ha

∆Ω ∼(λ0

∆S

)2

. (2.56)

Alternativamente possiamo definire l’angolo solido sotteso in Q dalla sorgente(corrispondente all’angolo piano ∆ω′ della figura 2.7)

∆Ω′ ,(∆S)2

R2(2.57)

4Un calcolo piu preciso fornisce ∆Ω = π(∆θ)2.

37


ed allora la (2.54) puo essere scritta come

∆A ∼ λ20

∆Ω′ (2.58)

indipendentemente dalla distanza R.Considerando una lunghezza d’onda λ0 = 0,5µm (ottenuta filtrando opportuna-

mente e in maniera uguale la luce delle varie sorgenti), si ha:

Sorgente termica: ∆S = 1 mm, R = 2 m ⇒ ∆A ∼ 1 mm2

Sole : ∆θ′ = 4,65 · 10−3 rad ⇒ ∆A ∼ 3,67 · 10−3 mm2

Stella Beltegeuse: ∆θ′ = 1,15 · 10−7 rad ⇒ ∆A ∼ 6 m2

avendo usato direttamente la (2.54) nel caso della sorgente termica, mentre neglialtri due casi si e usata la (2.58) con ∆Ω ′ = π(∆θ′)2.

Come si vede, una stella (vista dalla terra), data la grande distanza dal punto diosservazione, riesce a produrre un’elevata area di coerenza, contrariamente al soleche produce un’area di coerenza molto inferiore a quella di una sorgente termicaosservata da pochi metri di distanza.

2.3.2 Coerenza temporale

Data sempre un’onda elettromagnetica quasi-monocromatica consideriamo ora ilcampo elettromagnetico in un solo punto P , a due istanti t e t + τ . Se fissato ilritardo τ , la differenza di fase tra il campo all’istante t e quello all’istante t + τrimane costante diremo che il campo e coerente su di un intervallo τ . Se cio dovessevalere qualunque sia il valore di τ , allora parleremo di coerenza temporale perfetta(in caso contrario di parla di coerenza temporale parziale, e il massimo valore diritardo τc viene detto tempo di coerenza).

L’interferometro di Michelson

Un esperimento classico che permette di evidenziare le proprieta di coerenza tempo-rale di un raggio di luce e quello proposto da Michelson nel 1881 mediante l’interfero-metro che porta il suo nome (figura 2.8). La luce proviene da una sorgente luminosaquasi-monocromatica σ, e viene divisa in due fasci dallo specchio semiriflettente Dnel punto P .

A partire da P i due raggi percorrono due percorsi diversi, per poi venire ricom-binati sempre in P con una differenza di percorso ∆l = c∆t (ove c e la velocita dellaluce). Come nell’interferometro di Young i due raggi arrivano poi su uno schermoΣ sul quale si osserva l’intensita della luce, che, nelle opportune condizioni, mostrale caratteristiche frange di interferenza.

38


Figura 2.8. Schema di un interferometro di Michelson per lo studio della coerenzatemporale nel punto P . σ e la sorgente luminosa, D uno specchio semiriflettenteche serve da divisore di fascio, M1, M2 due specchi, di cui il primo mobile e l’altrofisso. Σ lo schermo di osservazione: nello studio della coerenza temporale si osserval’andamento dell’intensita al variare del ritardo introdotto spostando lo specchio

mobile M1.

Risulta che si ottiene interferenza da una sorgente quasi-monocromatica solo perritardi temporali

∆t ∼ 1

∆f(2.59)

e, come detto sopra, il massimo valore di tale ritardo e il tempo di coerenza τc =∆tmax. La corrispondente differenza di percorso ∆l = cτc e detta lunghezza dicoerenza longitudinale.

Possiamo spiegare questi risultati osservando che le frange di interferenza sulloschermo di osservazione sono dovute alla sovrapposizione di onde con frequenzeleggermente differenti per via della non perfetta monocromaticita della sorgente.Al crescere delle ritardo tra i due raggi, la sovrapposizione di onde di differentefrequenza cancella gli effetti di interferenza.

Non ci dilunghiamo oltre in un’analisi quantitativa, ma ricordiamo solo alcuniordini di grandezza per alcuni casi di notevole interesse: una sorgente termica ed unlaser ben stabilizzato.

Sorgente termica: ∆f = 1012 Hz, ∆t = 10−12 s ⇒ ∆l = 0.3 mmSorgente termica mol-to monocromatica:

∆f = 108 Hz, ∆t = 10−8 s ⇒ ∆l = 3 m

Sorgente laser: ∆f = 104 Hz, ∆t = 10−4 s ⇒ ∆l = 30 km.

39


2.4 Coerenza ottica

Vediamo ora una adeguata formalizzazione della nozione di coerenza ottica del primoordine (corrispondente a quelle di coerenza spaziale e temporale viste in preceden-za) mediante gli strumenti della teoria dei processi casuali, e una generalizzazionemediante la nozione coerenza ottica di ordine superiore.

Tratteremo il campo elettromagnetico nella sua forma quantizzata, e per misu-rare un tale campo supponiamo di usare un contatore di fotoni ideale. Un semplicemodello per tale dispositivo consiste in un sistema capace di assorbire un foto-ne, e conseguentemente effettuare una transizione interna aumentando di livelloenergetico.

Scomponiamo l’operatore che descrive il campo (per semplicita elettrico, ma ildiscorso vale per qualunque operatore si usi per tale descrizione) in una parte positivae una parte negativa (con ovvio riferimento alle frequenze)

E(r,t) = i∑

k

√~ωk2ε0

[akuk(r)e−iωkt − a†ku

∗k(r)eiωkt]

= E+(r,t) + E

−(r,t) (2.60)

ove ak, a†k sono gli operatori di annichilazione e creazione per il modo k, con relazioni

di commutazione

[ak,ak′ ] = [a†k,a†k′ ] = 0; [ak,a

†k′ ] = δk,k′ (2.61)

ωk la sua pulsazione, uk(r) delle funzioni modali dipendenti dalla geometria delproblema.

Si e posto

E+(r,t) = i

∑

k

√~ωk2ε0

akuk(r)e−iωkt (2.62)

che si puo dimostrare essere l’operatore corrispondente all’assorbimento di un fotonenei pressi del punto r all’istante t, e, nella teoria quantistica della fotorivelazionesi mostra che corrisponde alle nozione dell’ottica classica di segnale analitico delcampo5. E

E−(r,t) = [E+(r,t)]† (2.63)

ed E−(r,t) corrisponde alla creazione di un fotone nei pressi del punto r all’istantet.

La probabilita che il rivelatore assorba un fotone e data da

Pif = | 〈f |E+(r,t) |i〉 |2 (2.64)

5Nell’appendice C si fanno alcuni richiami su questa rappresentazione di una funzione.

40

2.4– Coerenza ottica

essendo |i〉 lo stato iniziale del campo prima dell’assorbimento, e |f〉 quello finale,dopo l’assorbimento.

L’intensita media in un punto sara, allora, proporzionale alla somma delle pro-babilita relative a tutti6 i possibili stati finali |f〉, e quindi a meno di un coefficientedi proporzionalita,

< I(r,t) > =∑

f

Pif =∑

f

〈i|E−(r,t) |f〉〈f |E+(r,t) |i〉

= 〈i|E−(r,t)E+(r,t) |i〉 (2.65)

ove si e tenuto conto della relazione di completezza∑

f |f〉〈f | = 1. Si osservi poiche se |i〉 = |0〉, cioe siamo in assenza di campo, allora, tenuto conto della (2.60), siottiene = 0, com’e ragionevole che sia.

Se il campo si trova inizialmente in una miscela di stati descritta dalla matricedensita ρ =

∑i pi |i〉〈i| allora l’intensita risultante sara data dalla somma delle

intensita relative a ciascuno stato iniziale, pesate secondo le probabilita pi

< I(r,t) >=∑

i

pi 〈i|E−(r,t)E+(r,t) |i〉 = TrρE

−(r,t)E+(r,t). (2.66)

6Occorrerebbe considerare solo gli stati raggiungibili a partire da quello iniziale, ovvero chedifferiscano da questo di un solo fotone. Tuttavia poiche E+ |i〉 ∝ a |i〉 ∝ |i− 1〉, allora gli stati |f〉con f 6= i− 1 sono ortogonali |i− 1〉 e non danno contributo.

41


2.4.1 Funzioni di correlazione del campo

Possiamo generalizzare quanto visto sopra definendo la funzione di correlazione delprimo ordine7,8 tra campo nel punto x = (r,t) e quello nel punto x′ = (r′,t′) come

G(1)(x, x′) ,< E−(x)E+(x′) >ρ≡ Tr

ρE

−(x)E+(x′)

(2.69)

ove si e introdotta la notazione < · >ρ per evidenziare che si tratta di una mediad’insieme effettuata su un sistema descritto dalla matrice densita ρ. Si tratta del-la versione adatta agli operatori delle medie d’insieme di un processo casuale z(t).Valgono pertanto le usuali considerazioni della teoria dei processi casuali, in par-ticolare, per processi ergodici le medie temporali coincidono con le corrispondentimedie d’insieme.

Nel caso di sorgenti stazionarie, il campo elettromagnetico e, con ottima ap-prossimazione, un processo casuale ergodico. Pertanto, nel seguito, tralasceremo diindicare il pedice per specificare a quale media (quantistica, d’insieme o temporale)ci stiamo riferendo.

Confrontando la (2.69) con la (2.66) si ha

< I(x) >= G(1)(x,x) (2.70)

ovvero l’intensita del campo in un punto e uguale alla funzione di (auto)correlazionedel campo in quel punto9.

7Tale denominazione non e universalmente accettata, nel senso che alcuni autori [9] preferisconoparlare di funzioni di correlazione di ordine 2n (e in tale ambito quella che qui definiamo come fun-zione di correlazione del primo ordine viene indicata da questi autori come funzione di correlazionedel secondo ordine): ovviamente (pur di non fare confusione tra i due contesti) non cambia quasinulla nella sostanza, se non che la notazione del tipo 2n e generalizzabile a funzioni di correlazionedi ordine nm, utili nel caso di mezzi non lineari.

8La definizione che qui si sta dando e una estensione di quanto visto in precedenza per il campoclassico.

Per la precisione la corrispondente espressione classica e quella che usa il segnale analiticoE+(x) ≡ E(r,t) corrispondente al campo classico E(r,t)

G(1)(x, x′) ,< E−(x)E+(x′) > (2.67)

essendo E−(x) = [E+(x)]∗ = E∗(r,t).Risulta poi, in base alla relazione (C.18),

< E(x)E(x′) >= 2Re< E−(x)E+(x′) >. (2.68)

9Si osservi che per T0 < Tr < τc, in base alla (C.23), risulta

I(x) =< E(x)E(x′) >Tr= 2|E+(t)|2 = 2E−(x)E+(x). (2.71)

42


Inoltre postoG

(1)12 (τ) = G(1)(x1,x2) (2.75)

con x1 = (r1,t1), x2 = (r2,t2) e τ = t2 − t1, allora

G(1)12 (0) e la funzione di correlazione spaziale (2.76a)

G(1)ii (τ) e la funzione di correlazione temporale (in ri) (2.76b)

con ovvio riferimento alle proprieta di coerenza spaziale e temporale del campo.Piu in generale, poi, definiamo le funzioni di correlazione di ordine n-esimo del

campo elettromagnetico come

G(n)(x1, . . . ,xn,x′n, . . . ,x

′1) ,< E

−(x1) . . .E−(xn) E

+(x′n) . . .E+(x′1) >ρ

≡ TrρE

−(x1) . . .E−(xn) E

+(x′n) . . .E+(x′1)

(2.77)

essendo x1, . . . ,xn,x′n, . . . ,x

′1, 2n generici punti (spazio-temporali), in genere distinti

(in pratica tuttavia spesso tali punti sono accoppiati, come la notazione suggeri-sce).

Si osservi che le definizione di funzioni di correlazione date sono la naturale esten-sione delle funzioni di correlazione di processi casuali, con l’accortezza di ordinarenormalmente gli operatori del campo. Pertanto, sebbene in genere ci riferiremo adun campo quantizzato, quello che diremo puo riferirsi in egual modo ai campi classici(e quando cio non sara vero lo evidenzieremo esplicitamente).

Proprieta delle funzioni di correlazione

Vediamo delle semplici ma utili proprieta delle funzioni di correlazione appena de-finite (peraltro analoghe a quelle delle funzioni di correlazione dei processi casuali)che si ricavano facilmente, scegliendo opportunamente A, a partire dalla relazione

TrρA†

A≥ 0 (2.78)

Nel caso quantistico possiamo definire l’operatore corrispondente

I(x) = E−(x)E+(x) (2.72)

ed quindi risultaI(x) = 2 < I(x) >= 2G(1)(x,x) (2.73)

pur di intendere con I(x) l’intensita media non solo sul tempo Tr di risposta del fotorivelatore,ma anche su un gran numero di fotorivelazioni relative allo stesso campo, per cui si e usata lanotazione

< I(x) >=< I(x) >= G(1)(x,x) (2.74)

ove si e pure tralasciato il fattore 2 che figurava nelle espressioni precedenti, includendolo di fattonel coefficiente di proporzionalita a meno del quale avevamo definito l’intensita.

43


che, a sua volta, segue dal fatto che A†A risulta non negativo10, qualunque sial’operatore (lineare) A.

Con A = E+(x) si ottiene

G(1)(x, x) ≥ 0 (2.80)

e piu in generale con A = E+(xn) . . .E+(x1)

G(n)(x1, . . . ,xn,xn, . . . ,x1) ≥ 0. (2.81)

Una classe piu ampia di relazioni la si ottiene ponendo A =∑n

j=1 λjE+(xj)

ed osservando che cosı facendo si ottiene∑

i,j λ∗iλjG

(1)(xi,xj) ≥ 0, cioe una formaquadratica semidefinita positiva. Pertanto la matrice associata G, con elementiGij = G(1)(xi,xj), ha determinante non negativo: det G ≥ 0.

Per n = 2 la non negativita del determinante di G da

G(1)(x1, x1)G(1)(x2, x2) ≥ |G(1)(x1, x2)|2 (2.82)

che altro non e che la disuguaglianza di Schwarz11.Analogamente ponendo A = λ1E

+(x1) . . .E+(xn) + λ2E

+(x′n) . . .E+(x′1) si gene-

ralizza tale relazione alle funzioni di correlazione di ordine superiore ottenendo

G(n)(x1, . . . ,xn,xn, . . . ,x1)G(n)(x′1, . . . ,x

′n,x

′n, . . . ,x

′1)

≥ |G(n)(x1, . . . ,xn,x′n, . . . ,x

′1)|2. (2.84)

2.4.2 Coerenza ottica

Diremo che un campo presenta coerenza ottica del primo ordine quando la funzionedi correlazione (2.69) si puo scomporre nel prodotto di due funzioni una il complessoconiugato dell’altra:

G(1)(x, x′) ≡< E−(x)E+(x′) >= ε(x) ε∗(x′) (2.85)

10Si dice che un operatore A e non negativo (o meno propriamente, positivo) se

〈u|A |u〉 ≥ 0 (2.79)

per qualsiasi vettore |u〉 appartenente allo spazio di Hilbert su cui e definito l’operatore A.Si dimostra che un operatore non negativo e hermitiano.11A proposito e utile ricordare che e possibile interpretare le funzioni di correlazione come prodot-

to scalare nello spazio dei processi casuali: la (2.82) equivale, allora, alla disuguaglianza triangolare,che per due vettori v, w vale

|v ·w|2 ≤ ||v|| ||w||. (2.83)

44


ossia come prodotto di una funzione solo di x, calcolata in x, per la stessa funzione(a meno del complesso coniugato) calcolata nel punto x′.

Piu problematica e la definizione sulla coerenza di ordine superiore; per quantoci riguarda diremo che un campo presenta coerenza ottica di ordine N-esimo quando

G(n)(x1, . . . ,xn,x′n, . . . ,x

′1) = ε(x1) . . . ε(xn)ε

∗(x′n) . . . ε∗(x′1) ∀n ≤ N (2.86)

ovvero presenta coerenza ottica di ordine n−1, ed inoltre la funzione di correlazionedi ordine N si fattorizza anch’essa.

Queste condizioni matematiche hanno profonde implicazioni fisiche: nei para-grafi successivi analizzeremo degli esperimenti oramai classici, in cui le condizioni dicoerenza ottica (di vario ordine) determinano e spiegano particolari comportamentidel campo elettromagnetico.

2.4.3 Coerenza ottica e indipendenza statistica

Ricordiamo che due processi casuali z(x) e v(x), ove come al solito x = (r,t), sidicono indipendenti se la densita di probabilita congiunta si fattorizza nel prodottodelle densita di probabilita dei due processi casuali (si veda il paragrafo B.2.1 inappendice per la notazione):

wζν(z,v;x,x′) = wζ(z;x)wν(v;x

′) (2.87)

e il significato e quello noto dal calcolo delle probabilita, che si deduce dall’espres-sione della densita di probabilita condizionata che per processi indipendenti risulta

wζ|ν(z;x,x′|v) ≡ wζν(z,v;x,x′)

wν(v;x′) = wζ(z;x): la conoscenza del fatto che si sia verificatoun evento non modifica la probabilita che si verifichi l’altro evento.

Vediamo ora la relazione tra il concetto di indipendenza e quello di correlazione(o coerenza ottica, ma il discorso ovviamente e del tutto generale).

A tal fine conviene usare la notazione dei processi casuali, e in particolare la defi-nizione di funzione di correlazione mediante la densita di probabilita. Dati due pro-cessi casuali z(x), v(x′), con valor medio nullo, definiamo la funzione di correlazione12

come

G(1)zv (x,x′) ,< z(x) v(x′) >=

∫ ∫ +∞

−∞zv wζν(z,v;x,x

′) dz dv (2.89)

e nel seguito, quando non ci siano dubbi sui processi casuali cui si fa riferimento,ometteremo i pedici zv scrivendo semplicemente G(1)(x,x′).

12Per processi non a valor medio nullo, si ha [4]

G(1)zv (x,x′) ,< [z(x)−mz(x)] [v(x

′)−mv(x′)] > (2.88)

ove mz(x) ,< z(x) >e, ed analogamente per v(x′).

45


E facile verificare che per processi statisticamente indipendenti la funzione dicorrelazione e nulla:

processi indipendenti ⇒ G(1)(x,x′) = 0 (proc. scorrelati). (2.90)

Infatti se i due processi sono indipendenti, la fattorizzazione (2.87) permette di scrivere

G(1)indip(x,x′) =

∫ +∞

−∞

z wζ(z;x) dz

∫ +∞

−∞

v wν(v;x′) dv. (2.91)

e tenuto conto che i processi casuali in questione hanno media nulla si ha

G(1)indip(x,x′) = 0. (2.92)

Introducendo il coefficiente di correlazione del primo ordine (o funzione di corre-lazione del primo ordine normalizzata), definito come13

g(1)(x,x′) ,G(1)(x,x′)√

G(1)(x,x)G(1)(x′,x′). (2.95)

Usando questa definizione si ha

processi indipendenti ⇒ g(1)(x,x′) = 0 (proc. scorrelati). (2.96)

Tuttavia in generale non vale il viceversa.Si a consideri ad esempio, il caso v(x′) = z2(x), con wζ(z;x) pari: allora

G(1)(x,x′) =< z3(x) >=

∫ +∞

−∞z3(x)wζ(z;x) dv = 0 (2.97)

in quanto l’integrale su tutto l’asse reale di una funzione dispari (prodotto di unafunzione dispari per una pari) e nullo. Quindi anche g(1)(x,x′) = 0, sebbene i dueprocessi abbiano una forte dipendenza funzionale.

Risulta che il coefficiente di correlazione e la funzione di correlazione del primoordine sono legati alla dipendenza lineare dei due processi casuali. Piu precisamente:

13In generale [4] il coefficiente di correlazione tra due processi casuali z(x) e v(x′) e definito come

g(x,x′) ,< [z(x)−mz][v(x

′)−mv]∗ >e√

< |z(x)−mz(x)|2 >e< |v(x′)−mv(x′)]2 >e

. (2.93)

Nel caso di processi casuali a valor medio nullo, come quelli che stiamo considerando, si ottiene

g(x,x′) =< z(x)v∗(x′) >e√

< |z(x)|2 >e< |v(x′)]2 >e

(2.94)

analoga alla (2.95).

46


un coefficiente di correlazione unitario vuol dire che esiste una dipendenza linearetra i due processi (ovvero i campi nei due punti). Un coefficiente di correlazionenullo, viceversa, vuol solo dire la completa assenza di una relazione lineare, ma nonl’assenza di qualsiasi dipendenza tra i due processi: i processi possono quindi nonessere indipendenti.

In maniera piu formale abbiamo:

Teorema 2.1. Dati due processi casuali z(x), v(x′), e fissati due punti x, x′

|g(1)(x,x′)| = 1 ⇒ ∃a,b : v(x′) = az(x) + b (con probabilita uno) (2.98)

ovvero la variabile casuale ζ = z(x) ottenuta campionando il processo casuale z nelpunto x dipende linearmente da quella ottenuta campionando v nel punto x′ (tranne,al piu, che per un insieme di valori che hanno probabilita nulla).

Dimostrazione. Definiamo il processi normalizzati

z =z −mz

σz

v =v −mv

σv

(2.99)

ove mz =< z > e σz =< z2 − |mz|2 > sono (si veda il paragrafo B.2.2), rispettivamente la mediae la varianza del processo z(x), ed analogamente per v(x), (nel nostro caso mz = mv = 0, ma ilteorema ha validita generale).

Per questi nuovi processi risulta

< z >=< v >= 0 (2.100a)

< z2 >=< v2 >= 1 (2.100b)

e

g(1)(x,x′) =< zv > . (2.100c)

Abbiamo poi

< (z ± v)2 > =< z2 ± 2zv + v2 >

=< z2 > ±2 < zv > + < v2 >

= 2[1± g(1)(x,x′)]. (2.101)

Si vede subito allora che se g(1)(x,x′) = 1 allora < (z − v)2 >= 0, ovvero il processo casuale z − vha varianza nulla, ovvero con probabilita pari a uno z − v assume un solo valore:

z − v = costante (2.102)

ovvero v = az + b, essendo b la costante di cui sopra, e a = σv/σz.Analogo ragionamento vale nel caso g(1)(x,x′) = −1.

Si dimostra tuttavia che per processi casuali gaussiani l’indipendenza statisticaequivale alla completa scorrelazione.

47


2.5 Coerenza ottica del primo ordine

Abbiamo detto nel paragrafo 2.4.2 che un campo presenta coerenza ottica del primoordine quando la funzione di correlazione (definita nella (2.69)) si puo scrivere nellaforma:

G(1)(x, x′) = ε(x) ε∗(x′). (2.103)

Chiariamo innanzitutto il ruolo dalla dipendenza da x, x′: se la (2.103) vale perdue particolari coordinate spaziotemporali x, x′, il campo in questi due punti saracoerente otticamente, mentre se la fattorizzazione vale qualunque siano i punti x, x′

appartenenti ad un volume dello spaziotempo V allora parleremo di coerenza otticacompleta del campo (in V).

Vediamo ora alcune implicazioni di questa definizione.Negli esperimenti di interferenza (tramite un interferometro di Young, ad esem-

pio) abbiamo introdotto il coefficiente di correlazione del primo ordine g(1)(x,x′) (siveda l’equazione (2.29) e poi la (2.95)).

Innanzitutto, si hag(1)(x,x) = 1. (2.104)

Inoltre, tenuto conto della (2.82), si ha

0 ≤ |g(1)(x,x′)| ≤ 1. (2.105)

Tali proprieta, come visto, sono strettamente legate alle nozione di visibilita dellefrange di interferenza (in particolare si veda la (2.28)).

Un’altra proprieta molto importante e la seguente:

coerenza ottica del primo ordine ⇐⇒ |g(1)(x,x′)| = 1 (2.106)

ossia la fattorizzazione della funzione di correlazione del primo ordine equivale adavere un coefficiente di correlazione di modulo unitario.

Dimostrazione. E facile rendersi conto che la condizione di coerenza ottica del primo ordine (2.103)implica che |g(1)(x,x′)| = 1. Basta infatti una verifica diretta:

|g(1)(x,x′)|2 =ε(x) ε∗(x′) ε∗(x) ε(x′)

ε(x) ε∗(x)ε(x′) ε∗(x′)= 1. (2.107)

Dimostriamo ora che vale anche il viceversa, ossia che la condizione |g(1)(x,x′)| = 1 implica la(2.103).

Osserviamo a tal fine che la disuguaglianza di Schwarz, riformulata per le medie statistiche,vale

| < A†B > |2 ≤ < A

†A > . (2.108)

In particolare se < A†A >= 0 allora < B†A >= 0 =< A†B > ∀B. Esplicitando le medie abbiamo

TrρA†

A

= 0 ⇒ TrρA†

B

= TrρB†

A

= 0 (2.109a)

48

2.5– Coerenza ottica del primo ordine

e per l’invarianza della traccia alle permutazioni anche

TrAρB†

= 0 (2.109b)

e vista l’arbitrarieta di B dalle precedenti relazioni segue che deve essere anche

ρA = Aρ = 0. (2.110)

A questo punto posto

A = E+(x)− G(1)∗(x,x′)

G(1)(x′,x′)E

+(x′) (2.111)

si verifica facilmente che esso soddisfa la condizione < A†A >= 0 purche G(1)(x′,x′) 6= 0 e|g(1)(x,x′)| = 1 (ovvero |G(1)(x,x′)|2 = G(1)(x,x)G(1)(x′,x′)).

La (2.110) vale allora

E+(x)ρ =

G(1)∗(x,x′)

G(1)(x′,x′)E

+(x′)ρ (2.112a)

ρE−(x) =G(1)∗(x,x′)

G(1)(x′,x′)ρE−(x′). (2.112b)

Supponiamo ora che esista un punto z per il quale G(1)(z,z) 6= 0, tale per cui il grado dicorrelazione sia unitario tra ogni coppia dei punti x, x′, z (|g(1)(x,x′)| = |g(1)(x,z)| = |g(1)(x′,z)| =1), in modo da poter sostituire x o x′ con z nelle relazioni precedenti14.

Possiamo allora scrivere

G(1)(x,x′) = TrρE−(x)E+(x′)

=

=G(1)∗(x,z)

G(1)(z,z)TrρE−(z)E+(x′)

=

=G(1)∗(x,z)

G(1)(z,z)G(1)(z,x′) =

=G(1)∗(x,z)G(1)(z,x′)

G(1)(z,z)(2.114)

e quindi identificare la funzione che ci permette di fattorizzare la funzione di correlazione

ε(x) =G(1)∗(x,z)√G(1)(z,z)

. (2.115)

In definitiva possiamo riassumere le proprieta di coerenza ottica in funzione del(modulo del) coefficiente di correlazione:

|g(1)(x,x′)| = 1 coerenza ottica completa, (2.116a)

|g(1)(x,x′)| ∈ (0,1) coerenza ottica parziale, (2.116b)

|g(1)(x,x′)| = 0 incoerenza ottica completa (x 6= x′) (2.116c)

14A tal fine basta che|g(1)(x,x′)| = 1, ∀x,x′ ∈ V (2.113)

con V un volume spazio-temporale non degenere (ossia non puntiforme).

49


ed e quindi naturale indicare |g(1)(x,x′)| come il grado di coerenza al primo ordinedel campo tra i due punti x,x′.

Ricordiamo che nel caso di onde perfettamente monocromatiche risulta

|g(1)monoc(x1,x2)| = 1 ∀x1,x2. (2.117)

Si puo dimostrare che vale anche il viceversa, cioe se |g(1)(x1,x2)| = 1 ∀x1,x2,allora il campo e strettamente monocromatico15.

2.5.1 Analisi quantistica dell’interferenza da due fenditure

Illustriamo la definizione di coerenza ottica del primo ordine nel caso di campoquantizzato, analizzando nuovamente l’interferenza prodotta da due fenditure inun interferometro di Young: vedremo che l’interferenza e strettamente legata allafunzione di correlazione del primo ordine del campo elettromagnetico.

Possiamo ora procedere come visto a proposito della sorgente termica, per calco-lare, in generale, l’espressione dell’intensita media nel caso del campo quantizzato.

Con riferimento alle figure 2.1 e 2.4, in virtu del principio di sovrapposizione,possiamo esprimere il campo incidente sullo schermo di osservazione (ove e situatoil rivelatore) come somma dei due campi incidenti provenienti dalle due fenditure

E+(r, t) = E

+1 (r, t) + E

+2 (r, t). (2.118)

Supponendo che le fenditure siano cosı piccole da originare delle onde sfericheabbiamo

E+i (r, t) =

1

siE

+i

(ri, t−

sic

)(2.119)

ove si = |ri − r|, e c indica la velocita di propagazione della luce.La (2.118) vale allora

E+(r, t) =

1

s1

E+1

(r1, t−

s1

c

)+

1

s2

E+2

(r2, t−

s2

c

)=

' 1

R[E+

1 (r1, t− s1/c) + E+2 (r2, t− s2/c)] =

=1

R[E+

1 (x1) + E+2 (x2)] =

=1

R[E+(x1) + E

+(x2)] (2.120)

ove si e tenuto conto che s1 ≈ s1 ≈ R, si e posto, per semplificare la notazione,xi =

(ri, t− si

c

), ed infine si e assunto che il campo presente nei pressi di una

fenditura sia indipendente da quello presente nell’altra cosicche E+i (xi) ' E+(xi).

15D’altra parte risulta che non esistono campi completamente incoerenti, ossia se |g(1)(x1,x2)| =0 ∀x1,x2, allora il campo e identicamente nullo.

50


L’intensita osservata in un punto r vale allora, usando la (2.66), e la definizionedi funzione di correlazione del primo ordine (2.69)

I(r,t) = TrρE

−(r,t)E+(r,t)

=

=1

R2

[TrρE

−(x1)E+(x1)

+ Tr

ρE

−(x2)E+(x2)

+

+ TrρE

−(x1)E+(x2)

+ Tr

ρE

−(x2)E+(x1)

]=

=1

R2

[G(1)(x1, x1) +G(1)(x2, x2) + 2ReG(1)(x1, x2)

](2.121)

che, tenuto conto della (2.70), ci dice che le intensita non si sommano semplicemente

I(r,t) = I1(r,t) + I2(r,t) +2

R2ReG(1)(x1, x2). (2.122)

Nell’espressione dell’intensita trovata, riconosciamo le intensita di ciascuna fendi-tura16 I i(r,t) ∝ G(1)(xi, xi), piu un termine aggiuntivo proporzionale a ReG(1)(x1, x2)che e proprio il termine di interferenza.

Anche in questo caso risulta

ν = 2

√I1I2

I1 + I2

|g(1)(x1,x2)| (2.125)

confermando l’equivalenza tra il modulo del grado di correlazione e la visibilita. Inparticolare se il campo che incide sulle due fenditure ha uguale intensita (I1 = I2)allora ν = |g(1)(x1,x2)|, e la condizione di coerenza ottica (2.106) coincide con quelladi massima visibilita delle frange d’interferenza.

Avendo verificato la corrispondenza formale con la trattazione classica, proce-diamo ora cercando di valutare esplicitamente la funzione di correlazione, usandol’espressione quantistica del campo.

16Si osservi che secondo la definizione (2.66)

Ii(ri,ti) = G(1)i (xi, xi) = Tr

ρE−

i (xi)E+i (xi)

(2.123)

e in virtu dell’assunzione E+i (xi) ' E+(xi), l’intensita sullo schermo di osservazione relativa alla

fenditura i-esima vale

Ii(r,t) = G(1)i (x, x) = Tr

ρE−

i (x)E+i (xi)

=

' 1

R2TrρE−

i (xi)E+i (xi)

=

=1

R2TrρE−(xi)E

+(xi)

=

=1

R2G(1)(xi, xi) (2.124)

51


Supponendo che vi sia solo un modo con pulsazione ω, il campo dovuto a ciascunafenditura e

E+k (r, t) = i

√~ω

2ε0akuk(r)e−iωt. (2.126)

La funzione modale per un’onda sferica emessa da una sorgente in ri e

uk(r) =

√1

4πL

eik·(r−rk)

|r − rk|ek (2.127)

ove L indica il raggio del volume di normalizzazione, ed ek e il versore di polarizza-zione.

In virtu di queste espressioni possiamo innanzitutto giustificare l’ipotesi E+(xi) 'E

+i (xi), in quanto per r ' ri si ha ui(r) uj(r).

Il campo incidente sullo schermo, poi, vale

E+(r, t) = E

+1 (r, t) + E

+2 (r, t) =

' i

√~ω

2ε0

e

R√

4πLe−iωt(a1 eiks1 + a2 eiks2) =

= f(r, t) (a1 eiks1 + a2 eiks2) (2.128)

ove si e posto r1 ≈ r2 ≈ R, e

f(r, t) = i

√~ω

2ε0

e√4πL

e−iωt

R. (2.129)

Sostituendo quindi la (2.128) nella (2.69) si ottiene

G(1)(xi,xi) = TrρE−(xi)E

+(xi)

=

= TrρE−

i (xi)E+i (xi)

=

= R2TrρE−

i (x)E+i (x)

=

= R2|f(r, t)|2Trρa†iai

(2.130a)

ove i = 1,2; analogamente

G(1)(x1,x2) = TrρE−(x1)E

+(x2)

=

= TrρE−

1 (x1)E+2 (x2)

=

= R2TrρE−

1 (x)E+2 (x)

=

= R2|f(r, t)|2Trρa†1a2

eik(s2−s1) (2.130b)

52


per cui il coefficiente di correlazione vale

g(1)(x1,x2) =Trρa†1a2

eik(s2−s1)

√Trρa†1a1

Trρa†2a2

(2.131)

L’intensita media totale vale infine

I(r,t) = η[Tr ρ a†1a1+ Tr ρ a

†2a2+ 2|Tr ρ a

†1a2| cosΦ] (2.132)

ove

η = |f(r,t)|2 (2.133a)

Φ = k(s2 − s1) + φ (2.133b)

φ = ]Tr ρ a†1a2 (2.133c)

che e l’espressione dell’intensita espressa direttamente in termini degli operatori dicreazione ed annichilazione.

Possiamo ora passare ad analizzare le proprieta di coerenza ottica di alcuni casisemplici ma particolarmente importanti.

Interferenza di un singolo fotone

Sia |n1,n2〉 lo stato in cui sono presenti n1 fotoni per il modo k1, e n2 per il modok2, che in questo caso sono associati al passaggio dalle due rispettive fenditure (ni =0,1,2, . . .). In generale avremo

a†1 |n1,n2〉 =

√n1 + 1 |n1 + 1,n2〉 , a

†2 |n1,n2〉 =

√n2 + 1 |n1,n2 + 1〉 (2.134a)

a1 |n1,n2〉 =√n1 |n1 − 1,n2〉 , a2 |n1,n2〉 =

√n2 |n1,n2〉 (2.134b)

Per un singolo modo (fotone) si ha

|1,0〉 = a†1 |0,0〉 , |0,1〉 = a

†2 |0,0〉 (2.135)

ove |0,0〉 ≡ |0〉 e lo stato di vuoto, |1,0〉 lo stato del campo con un fotone che epassato dalla fenditura 1, e analogamente |1,0〉 lo stato relativo al passaggio delfotone dalla fenditura 2, con relazioni di ortonormalita 〈1,0|1,0〉 = 〈0,1|0,1〉 = 1,〈1,0|0,1〉 = 0.

Lo stato del campo corrispondente ad ambedue le fenditure aperte e esprimibilecome

|ψ〉 = b† |0〉 , (2.136)

53


essendo b† l’operatore di creazione per un modo del campo con entrambe le fenditureaperte, che possiamo esprimere in funzione degli operatori di creazione associati aimodi del campo con solo una fenditura aperta come

b† = (a†1 + a

†2)/√

2 (2.137)

e quindi|ψ〉 = (|1,0〉+ |0,1〉)/

√2 (2.138)

che risulta quindi sovrapposizione dei due stati che individuano il passaggio da unao dall’altra fenditura dell’unico fotone presente (si tratta di una maniera piu tecnicadi esprimere la (1.31)).

L’operatore densita corrispondente e allora

ρ = |ψ〉〈ψ| =

=1

2(|1,0〉+ |0,1〉)(〈1,0|+ 〈0,1|) =

=1

2(|1,0〉〈1,0|+ |1,0〉〈0,1|+ |0,1〉〈1,0|+ |0,1〉〈0,1|). (2.139)

Per applicare la (2.132) calcoliamo preliminarmente

Trρa†1a1

= Tr

a†1a1ρ

=

=1

2Tr |1,0〉〈1,0|+ |1,0〉〈0,1| =

=1

2(2.140)

essendo a†1a1 |0,1〉 = 0. Procedendo analogamente per gli altri casi si ha sempre

Trρa†iaj

=

1

2i,j = 1,2. (2.141)

Applicando la (2.132) si ottiene quindi

I(r,t) = η(1 + cosΦ) (2.142)

con Φ = k(s2 − s1), e la presenza del termine cosΦ indica la nascita di frange diinterferenza.

In termini di coefficiente di correlazione abbiamo

g(1)(x1,x2) = eik(s2−s1) (2.143)

ed evidentemente esso ha modulo unitario,

|g(1)(x1,x2)| = 1 (2.144)

e quindi i due stati sono otticamente coerenti al primo ordine in maniera completa,e si ha massima visibilita delle frange di interferenza.

54


Interferenza di piu fotoni indipendenti

Abbiamo visto che un fotone singolo riesce a produrre fenomeni di interferenza. Nelcaso di piu fotoni la situazione e piu complessa. Consideriamo lo stato

|ψ〉 = |n1,n2〉 = |n1〉 |n2〉 n1,n2 > 0 (2.145)

prodotto di stati di Fock, corrispondente all’interferenza tra fotoni distinti e indi-pendenti.

Si vede facilmente che il coefficiente di correlazione e nullo

g(1)(x1,x2) ∝ Trρa†1a2

=1√

n1(n2 + 1)Tr |n1〉 |n2〉〈n1 − 1| 〈n2 + 1|

= 0 (2.146)

e quindi non si hanno frange di interferenza.

Gli stati di Fock hanno un interesse prevalentemente teorico, visto che in pra-tica sono piuttosto difficili da realizzare. Viceversa un modello di stati realizzabilifacilmente mediante un laser sono gli stati coerenti.

Interferenza di stati coerenti

Sia |α〉 uno stato coerente, definito come un autostato dell’operatore di annichilazione

a |α〉 = α |α〉 (2.147)

per il quale risulta

|α〉 = e−12|α|2eαa† |0〉 . (2.148)

Inoltre il prodotto scalare di due stati coerenti vale

〈β|α〉 = e−12(|α|2+|β|2)−αβ∗

(2.149)

e quindi|〈β|α〉|2 = e−|β−α|2 (2.150)

per cui due stati coerenti non sono ortogonali, tuttavia risultano quasi ortogonaliper |β − α| 1.

Consideriamo ora un campo nello stato coerente (generato da un laser ideale)incidente sulle fenditure. Lo stato del campo uscente sara

|ψ〉 = |α1,α2〉 = |α1〉 |α2〉 (2.151)

55


prodotto tensoriale di due campi. Possiamo interpretare un tale campo come i dueraggi di luce distinti ma, come vedremo, coerenti uscenti dalle fenditure. D’al-tra parte possiamo anche realizzare un tale stato mediante due laser distinti in unesperimento in cui questi vengono fatti interferire direttamente sullo schermo diosservazione, senza necessita delle due fenditure.

Ora usando la (2.148) con l’operatore (2.137)

|α1〉 |α2〉 = eαb†−α∗b |0〉= e

1√2(αa

†1−α∗a1)

e1√2(αa

†2−α∗a2) |0〉

=∣∣∣α

2

⟩ ∣∣∣α

2

⟩(2.152)

l’operatore densita e

ρ = |ψ〉〈ψ| =∣∣∣α

2

⟩ ∣∣∣α

2

⟩⟨α2

∣∣∣⟨α

2

∣∣∣ (2.153)

e quindi

Trρa†iaj

=|α|22

i,j = 1,2. (2.154)

Applicando la (2.132) si ha allora

I(r,t) = η|α|2(1 + cosΦ) (2.155)

e la presenza del termine cosΦ indica, ancora una volta, che si ottengono fenomenidi interferenza facendo interagire due raggi distinti di fotoni coerenti. Come nel casodi un singolo fotone risulta

g(1)(x1,x2) = eik(s2−s1) (2.156)

e quindi |g(1)(x1,x2)| = 1.

2.5.2 Conclusioni

Si e visto che sia un singolo fotone, che uno stato coerente danno origine a fenomenidi interferenza.

Nel caso quantistico non abbiamo considerato gli effetti dei disturbi (collisioni,movimento degli atomi ecc.) che nel caso classico risultavano essenziali per la com-prensione del comportamento della luce termica: cio e dovuto al fatto che per unasorgente che richiede una trattazione quantistica, quale il laser, possiamo in primaapprossimazione trascurare tali effetti.

Riassumiamo nella tabella 2.1 i risultati circa la coerenza ottica del primo ordinedei casi che abbiamo visto.

56

2.6– Coerenza ottica del secondo ordine

Coefficiente di correlazione eq.

Sorgente sinusoidale punti-forme

E(r,t) = E0 cos(ωt− k · r) |g(1)12 (τ)| = 1 1.19

Sorgente termica puntifor-me

E(t) = E0 eiω0t∑N

n=1 eiφn(t) |g(1)12 (τ)| =

τc−ττc

|τ | < τc,

0 |τ | ≥ τc.2.34

Stato di Fock con 1 fotone |ψ〉 = (|1,0〉+ |0,1〉)/√

2 |g(1)12 (τ)| = 1 2.143

Piu fotoni indipendenti |ψ〉 = |n1,n2〉 = |n1〉 |n2〉 g(1)12 (τ) = 0 2.146

Stato coerente |ψ〉 = |α1,α2〉 = |α1〉 |α2〉 |g(1)12 (τ)| = 1 2.156

Tabella 2.1. Coefficiente di correlazione di alcuni campi di particolare interesse

teorico e applicativo. Per semplicita di notazione si e posto g(1)12 (τ) ≡ g(1)(x1,x2).

2.6 Coerenza ottica del secondo ordine

Nel paragrafo 2.4.2 abbiamo definito la coerenza ottica di ordine N . Tuttavia, inquesta sede, ci limitiamo a studiare ed analizzare il significato fisico della coerenzaottica del secondo ordine, anche se faremo dei cenni al caso generale.

Ricordiamo, si veda la (2.86), che un campo presenta coerenza ottica del secon-do ordine se presenta coerenza ottica del primo ordine e se anche la funzione dicorrelazione del secondo ordine si fattorizza

G(2)(x1,x2,x′2,x

′1) = ε(x1)ε(x2)ε

∗(x′2)ε∗(x′1). (2.157)

Inoltre si ha il seguente legame con la coerenza ottica del primo ordine [9, §12.7]:sia V un volume spazio-temporale non degenere, allora

|g(1)(x,x′)| = 1

∀x,x′ ∈ V ⇒ G(2)(x1,x2,x′2,x

′1) = ε(x1)ε(x2)ε

∗(x′2)ε∗(x′1)

∀x1.x2,x′1,x′2 ∈ V

(2.158)

ovvero la coerenza ottica del primo ordine implica quella del secondo ordine (in undato volume spazio-temporale V).

Dimostrazione. Studiamo la fattorizzazione di

G(2)(x1,x2,x′2,x

′1) = Tr

ρE−(x1)E

−(x2)E+(x′1)E

+(x′2)

(2.159)

con x1,x2,x′2,x

′1 ∈ V.

Preso z ∈ V, distinto dai vari xi, per ipotesi il campo e coerente al primo ordine tra z e unoqualsiasi dei punti x1,x2,x

′2,x

′1 ∈ V, allora applicando le (2.112), la prima con x′ = z e x = x1,x2,

e la seconda con x′ = z e x = x′1,x′2, abbiamo

G(2)(x1,x2,x′2,x

′1) =

∏

r=1,2

[G(1)(xr,z)G

(1)∗(x′r,z)

[G(1)(z,z)]2

]Trρ[E−(z)]2[E+(z)]2

=

= ε(x1)ε(x2)ε∗(x′2)ε

∗(x′1)G(2)(z,z,z,z)

G(1)(z,z)(2.160)

57


ove la definizione della funzione ε(x) e quella gia vista al primo ordine

ε(x) =G(1)∗(x,z)√G(1)(z,z)

. (2.161)

Si osservi che in generale il coefficiente

g(2) ≡ G(2)(z,z,z,z)

G(1)(z,z)6= 1 (2.162)

e indipendente dai punti x1,x2,x′2,x

′1, ma dipende da punto di riferimento z e dal-

l’ordine (in questo caso il secondo), e solo per uno stato coerente vale uno.Tale teorema ammette poi una generalizzazione al caso di coerenza ottica di

ordine N

|g(1)(x,x′)| = 1 ∀x,x′ ∈ V ⇒ coerenza ottica di ordine N in V (2.163)

sempre nel senso della fattorizzazione della funzione di correlazione.

Il coefficiente di correlazione del secondo ordine

L’introduzione di una funzione di correlazione normalizzata (coefficiente di correla-zione) non e tuttavia naturale come per il primo ordine. Cio che si vorrebbe da unatale funzione e che abbia modulo unitario quando la condizione di coerenza ottica(2.157) e soddisfatta, e viceversa se il suo modulo e unitario allora la condizione dicoerenza ottica dovrebbe essere soddisfatta. Inoltre dovrebbe essere nulla per campicompletamente incoerenti. Infine per poter essere utile come indice di coerenza, ilvalore uno dovrebbe essere il massimo, e zero il minimo. Tali richieste tuttavia nonpossono essere soddisfatte tutte contemporaneamente.

Vediamo ora alcune possibili definizioni di coefficiente di correlazione del secondoordine [9, §12.6]: useremo la prima nella discussione dell’esperimento di Hanbury-Brown e Twiss, mentre le altre sono, almeno in questa sede, di interesse puramentespeculativo.

Coerenza ottica secondo Glauber. Una prima definizione e quella dovuta aGlauber:

g(2)G (x1,x2,x

′2,x

′1) ,

G(2)(x1,x2,x′2,x

′1)√

G(1)(x1,x1)G(1)(x′1,x′1)√G(1)(x2,x2)G(1)(x′2,x

′2)

(2.164)

e diremo che un campo presenta coerenza al secondo ordine secondo Glauber quando,oltre ad essere coerente al primo ordine, e

|g(2)G (x1,x2,x

′2,x

′1)| = 1 (2.165)

58


e quindi secondo questa definizione la coerenza di secondo ordine sottintende quelladi primo, e piu in generale quella di ordine N sottintende tutte quelle di ordineinferiore.

Tuttavia in generale, sebbene la condizione sulla fattorizzazione della funzionedi correlazione (2.157) implichi che |g(2)

G (x1,x2,x′2,x

′1)| = 1, in generale non vale

il viceversa, ne tantomeno il valore 1 e il massimo valore che puo assumere talecoefficiente di correlazione: in generale quindi tale coefficiente di correlazione non eun buon indice di coerenza al secondo ordine, e la definizione di coerenza secondoGlauber non e una buona definizione di coerenza ottica.

Per il coefficiente di correlazione definito sopra valgono, inoltre, le seguentiproprieta:

• in generaleg

(2)G (x,x,x,x) 6= 1; (2.166)

• si verifica facilmente che

g(2)G (x1,x2,x2,x1) = 1 ⇔ G(2)(x1,x2,x2,x1) = G(1)(x1,x1)G

(1)(x2,x2) (2.167)

e in particolare g(2)G (x1,x2,x2,x1) = 1 implica la coerenza ottica al secondo

ordine secondo la (2.157): in tale caso (x′i = xi) la definizione data da Glaubersi rivela significativa, ed e quella che useremo nella discussione dell’esperimentodi Hanbury-Brown e Twiss.

• Per una sorgente termica17, generalizzando la (2.164) all’ordine N, si ha

g(N)G (x, . . . ,x,x, . . . ,x) = N ! (2.169)

per cui il campo termico puo manifestare coerenza ottica (secondo Glauber)solo al primo ordine.

Coerenza ottica secondo Metha. Una seconda definizione e quella introdottada Metha:

g(2)M (x1,x2,x

′2,x

′1) ,

G(2)(x1,x2,x′2,x

′1)∏2

r=1[G(2)(xr,xr,xr,xr)G(2)(x′r,x

′r,x

′r,x

′r)]

1/4(2.170)

e in questo caso abbiamo

17Si dimostra che per una sorgente termica risulta

G(N)(x, . . . ,x,x, . . . ,x) =< IN (x) >= N ! < I(x) >N (2.168)

che altro non e che una generalizzazione della (2.14).

59


• g(2)M (x,x,x,x) = 1;

• |g(2)M (x1,x2,x

′2,x

′1)| = 1 ⇒ coerenza ottica del secondo ordine

nel senso della fattorizzazione della funzione di correlazione del secondo ordine(2.157). La dimostrazione segue sostanzialmente quella vista per la (2.158);

• in generale (e in particolare per un campo quantizzato) |g(2)M (x1,x2,x

′2,x

′1)| non e

limitato superiormente: cio ne limita l’interpretazione come grado di coerenza(al secondo ordine);

• generalizzando poi |g(2)M | ad ordini superiori, ed assumendo |g(N)

M | = 1 comecondizione di coerenza (secondo Metha) all’ordine N , la coerenza di ordine N(secondo Metha) implica quella di ordine M,∀M ≤ n, essendo n il numero difotoni presenti (n =∞ se non c’e limite al numero di fotoni).

Coerenza ottica secondo Sudarshan. Infine vediamo quanto proposto da Su-darshan:

g(2)S (x1,x2,x

′2,x

′1) ,

G(2)(x1,x2,x′2,x

′1)

[G(2)(x1,x2,x2,x1)G(2)(x′1,x′2,x

′1,x

′2)]

1/2(2.171)

e ora abbiamo

• g(2)S (x,x,x,x) = 1;

• 0 ≤ |g(2)S (x1,x2,x

′2,x

′1)| ≤ 1;

• |g(1)S (x1,x

′1)| = 1 ⇒ |g(N)

S (x1, . . . ,xN ,x′1, . . . ,x

′N)| = 1 ∀N

purche il numero dei fotoni non sia limitato: in altri termini, la coerenzadel primo ordine implica, nell’ipotesi data, quella secondo Metha di ordinesuperiore;

• g(2)S (x1,x2,x2,x1) = 1

cio limita di molto l’utilita della definizione di Sudarshan, che per il resto avevamostrato di avere le giuste proprieta per poter definire un grado di coerenzaal secondo ordine: il caso x′i = xi e infatti proprio quello di cui ci occuperemonel seguito.

In definitiva, non e al momento nota una definizione soddisfacente di coefficientedi correlazione del secondo ordine, che sia anche sufficientemente generale.

60


Figura 2.9. Schema di un esperimento di correlazione d’intensita.

2.6.1 L’esperimento di Hanbury-Brown e Twiss: misure dicorrelazione dell’intensita

Un interessante esperimento che, utilizzando le correlazioni del secondo ordine, per-mette di avere delle informazioni sulle fluttuazioni delle intensita e quello di Hanbu-ry-Brown e Twiss (1956), che e anche stato il primo ad andare oltre i fenomeni diinterferenza di un singolo fotone.

Nell’esperimento originale della luce termica parzialmente coerente veniva divisamediante uno specchio semitrasparente e quindi inviata a due fotorivelatori P1 e P2,come illustrato nella figura 2.9.

Hanbury-Brown e Twiss notarono che il coefficiente di correlazione tra le flut-tuazioni delle fotocorrenti dei fotorivelatori presentava un massimo iniziale, e poidecresceva al crescere della separazione tra i due fotorivelatori.

I due fotorivelatori possono essere separati sia temporalmente che spazialmente(nella direzione perpendicolare al raggio di luce). Noi ci occuperemo solo del casotemporale, e supporremo i due fotorivelatori perfettamente in asse ed equidistanti daldivisore di fascio, e l’unica differenza sia dovuta al ritardo τ introdotto espressamentedall’apparato.

Campo elettromagnetico classico

Cominciamo con un’analisi classica del campo elettromagnetico.

L’idea di fondo dell’esperimento consiste nell’esaminare non piu le correlazionidell’ampiezza del campo, bensı quelle relative all’intensita, date da una funzione di

61


correlazione del tipo18

K(x1,x2) ,< I(x1)I(x2) >=< I1(t)I2(t+ τ) > (2.172)

ove si e posto t1 = t, t2 = t + τ , ed I(x) indica come al solito la media temporaleeffettuata dal fotorivelatore (con tempo di risposta, e quindi di media, Tr), mentre< · > indica un’ulteriore media di lungo periodo, su un intervallo T Tr.

Posto∆I(t) = I(t)− (2.173)

la relativa funzione di correlazione e

< ∆I1(t)∆I2(t+ τ) >=< I1(t)I2(t+ τ) > − < I1 >< I2 > (2.174)

per cui risulta evidente lo stretto legame tra la correlazione delle intensita e lacorrelazione delle fluttuazioni delle intensita: misurando la correlazione delle inten-sita riusciamo ad avere informazioni sulle fluttuazioni dell’intensita, cosa che condei semplici esperimenti di interferenza (ovvero di coerenza del primo ordine) nonriuscivamo a fare.

Ricordiamo ora che l’intensita media, in termini di segnale analitico associato alcampo, vale, a meno di un fattore di proporzionalita, (si veda la (C.23))

I(x) = E−(x)E+(x) (2.175)

ove E+(x) indica sempre il segnale analitico associato al campo E(x), e conseguen-temente E−(x) = [E+(x)]∗. La funzione di correlazione K(x1,x2) delle intensitacorrisponde, quindi, alla funzione di correlazione del secondo ordine del campo

K(x1,x2) =< E−(x1)E−(x2)E

+(x2)E+(x1) >= G(2)(x1,x2,x2,x1) (2.176)

ove si e effettuato un riordino delle funzioni per mostrare la corrispondenza formalecon la funzione di correlazione del secondo ordine che avevamo visto per il campiquantizzati (che, essendo degli operatori, sono sensibili all’ordine dei vari termini).

Possiamo scrivere piu semplicemente la (2.176) come

G(2)12 (τ) =< E−

1 (t)E−2 (t+ τ)E+

2 (t+ τ)E+1 (t) > . (2.177)

Infine la definizione in termini di correlazione d’intensita porta alla seguentedefinizione di un coefficiente di correlazione del secondo ordine per il campo

g(2)12 (τ) ,

G(2)12 (τ)

|G(1)11 (t,t)G

(1)22 (t+ τ,t+ τ)|

(2.178)

18Cosı come per le ampiezze, in alcuni casi potra essere utile limitarsi a due punti spazialmentedistinti, e considerare le intensita allo stesso istante, oppure considerare un unico punto spaziale eosservare le correlazioni tra due intensita a due istanti differenti.

62


corrispondente alla definizione di Glauber (2.164). Se assumiamo, per semplicita,che il campo sia lo stesso in P1 e in P2, e se consideriamo campi stazionari, alloraabbiamo

G(1)11 (t,t) = G

(1)11 (0) = G

(1)22 (0) = G

(1)22 (t+ τ,t+ τ) (2.179)

per cui risulta

g(2)(τ) =G(2)(τ)

|G(1)(0)|2 (2.180)

avendo omesso del tutto i pedici che indicano il punto in cui la funzione di correla-zione del primo ordine viene calcolata.

Campo perfettamente monocromatico. In questo caso si verifica facilmenteche un campo perfettamente monocromatico e coerente anche al secondo ordine, edin particolare

g(2)12 (τ)

∣∣∣monocr.

= 1 ∀τ. (2.181)

Infatti considerando il campoE(t) = E0 cos(ωt+ φ) (2.182)

ed essendo Ei(t) = E(t), abbiamo gia visto nella (1.13) che risulta19

G(1)ii (0) = Ii(t) =

1

2E2

0i =1

2E2

0 i = 1,2 (2.185)

e quindi si ha facilmente che

G(2)12 (τ) =< I1(t)I2(t+ τ) >=

1

4< E2

01E202 >=

1

4E2

01E202 =

1

4E4

0 (2.186)

e quindi segue facilmente la (2.181).

Luce termica. Si consideri ora un campo classico generato da una sorgente ter-mica, che, come visto in precedenza, obbedisce ad una statistica gaussiana.

Per un tale tipo di campo, ossia per un processo casuale gaussiano, e possibileesprimere i momenti centrali20 di ordine superiore in funzione di quelli del secondo

19D’altra parte anche usando il segnale analitico si ha

E(t) =1

2E0e

iφe−iω0t (2.183)

e quindi

Ii(t) = 2|Ei(t)|2 = 2|E(t)|2 =1

2E2

0 . (2.184)

20Che sono le medie riferite al valor medio come la (B.17). Si tenga presente che nel nostro casoil valore medio e nullo.

63


ordine (teorema dei momenti, [9, §1.6.1]). In particolare, nel caso di media nulla,risulta

< E−1 (t)E−

2 (t+ τ)E+2 (t+ τ)E+

1 (t) >=

=< E−1 (t)E+

1 (t) >< E−2 (t+ τ)E+

2 (t+ τ) > +

+ < E−1 (t)E+

2 (t+ τ) >< E−2 (t+ τ)E+

1 (t) > (2.187)

e tenuto conto della stazionarieta e delle proprieta delle correlazioni del primo ordineabbiamo

G(2)12 (τ) =< E−

1 (t)E+1 (t) >< E−

2 (t)E+2 (t) > +| < E−

1 (t)E+2 (t+ τ) > |2 =

=< I1(t) >< I2(t) > +|G(1)12 (τ)|2 =

=< I1(t) >< I2(t) > (1 + |g(1)12 (τ)|2). (2.188)

Pertanto, per della luce termica, possiamo scrivere

g(2)(τ)∣∣∣gauss

= 1 + |g(1)gauss(τ)|. (2.189)

Dalla (2.35), che riportiamo per convenienza

|g(1)gauss(τ)| =

τc−ττc

per 0 ≤ τ < τc,

0 per τ ≥ τc.(2.190)

si vede subito che per τ → ∞ (in pratica τ τc) g(2)(∞) = 1; d’altra parte per

τ → 0 (ovvero τ τc), risulta g(2)(0) = 2.Si osservi poi come poi come la (2.158) non e applicabile visto che g(1)(τ) = 1

solo per un punto, quello relativo a τ = 0.In definitiva

g(2)(τ)∣∣∣gauss

=

2 τ = 0,

1 τ →∞ (2.191)

cioe (si veda anche la figura 2.10) un campo termico, parzialmente coerente al primoordine, ha un coefficiente di correlazione al secondo ordine che, per ritardi tra ledue fotorivelazioni molto piccoli o nulli, e pari al doppio di quello di un campoperfettamente monocromatico (perfettamente coerente), mentre ha un coefficientedi correlazione unitario (uguale a quello di un campo monocromatico) per ritardimolto grandi tra le due fotorivelazioni.

Tuttavia, poiche per la coerenza ottica del secondo ordine e richiesta anche quelladel primo, un campo termico non e otticamente nemmeno quando g(2)(τ)→ 1.

64


Figura 2.10. Coefficiente di correlazione del secondo ordine per un campo mono-cromatico (o coerente) e per uno termico (secondo il semplice modello utilizzato

nei calcoli, e secondo uno piu aderente ai risultati sperimentali).

Campo elettromagnetico quantizzato

In molti casi e richiesta la quantizzazione del campo elettromagnetico, ovvero alcunirisultati sono spiegabili solo in ambito quantistico. Inoltre quando si usano deiconteggi di fotoni, non si puo piu tralasciare la natura quantistica della luce.

Occorre quindi considerare la versione quantistica della funzione di correlazio-ne (2.177), sostituendo il segnale analitico del campo E±(t) con il corrispondenteoperatore di campo quantizzato E±(t)

G(2)(τ) =< E−(t)E−(t+ τ)E+(t+ τ)E+(t) > (2.192)

ove occorre fare attenzione all’ordinamento degli operatori (ordinamento normale).Tenuto conto dell’espressione del campo quantizzato con un solo modo (2.126),

che ora, non dovendo distinguere tra il passaggio dalle fenditure, possiamo riscriverepiu semplicemente come

E+(r, t) = i

√~ω

2ε0au(r)e−iωt, (2.193)

il coefficiente di correlazione (2.178) e

g(2)(0) =< a†a†aa >

< a†a >2(2.194)

65


che, tenuto conto della relazione di commutazione [a,a†] = 1, possiamo riscriverecome

g(2)(0) =< (a†a)2 > − < a†a >

< a†a >2

= 1 +< (a†a)2 > − < a†a >2 − < a†a >

< a†a >2

= 1 +Vn − nn2 (2.195)

ove si sono introdotti il numero medio di fotoni

n =< a†a > (2.196a)

e la varianza del numero di fotoni

Vn =< (a†a)2 > − < a†a >2 . (2.196b)

Campo in uno stato di Fock. Consideriamo ora un campo che sia in uno statodi Fock |n〉, ovvero con un numero definito di fotoni; il corrispondente operatoredensita sara

ρ = |n〉〈n| . (2.197)

Il numero medio di fotoni risulta21 allora n = n, e la varianza del numero di fotoniVn = 0. Il coefficiente di correlazione (2.195) risulta allora

g(2)(0)∣∣∣Fock

= 1− 1

n, n > 2. (2.202)

La condizione n > 2 e legata al fatto che in questo caso stiamo rivelando due fotonisui due rivelatori, ed escludiamo il caso di un solo fotone, che, per quanto in unasovrapposizione di stati, potrebbe essere rivelato da un solo fotorivelatore.

21Si puo effettuare molto semplicemente il calcolo in maniera diretta, ricordando che gli stati diFock sono autostati dell’operatore numero n = a†a

n |n〉 = n |n〉 (2.198)

per cuin = Tr

ρa†a

= Tr |n〉〈n| n = Tr n |n〉〈n| = n. (2.199)

Per la varianza occorre calcolare

< (a†a)2 >= Tr|n〉〈n| n2

= Tr

n2 |n〉〈n|

= n2 (2.200)

e quindiVn =< n

2 > − < n >2= 0. (2.201)

66


Campo in uno stato coerente. Se il campo e in uno stato coerente |α〉, ilcorrispondente operatore densita sara

ρ = |α〉〈α| (2.203)

e il coefficiente di correlazione (2.195) ora vale22

g(2)(0)∣∣∣coerente

= 1 (2.208)

il che ci dice che un campo in uno stato coerente e otticamente coerente anche alsecondo ordine (e si puo mostrare che lo e a tutti gli ordini).

2.6.2 Conclusioni

Si osservi che in generale risulta [9, §9.6.1]

g(2)(τ)→ 1 per τ →∞ (2.209)

ovvero per τ sufficientemente grande, indipendentemente dal tipo di luce.Pertanto g(2)(0) permette di caratterizzare il comportamento della coerenza al

secondo ordine. In particolare la luce termica, purche abbia un tempo di coerenza

22Anche in questo caso il calcolo diretto e piuttosto semplice, tenuto conto della relazione dicommutazione degli operatori di creazione e annichilazione, e del fatto che gli stati coerenti sonoautostati dell’operatore di annichilazione

a |α〉 = α |α〉 . (2.204)

Essendo quello descritto da ρ = |α〉〈α| uno stato puro, conviene calcolare le medie direttamente,senza usare la matrice densita

n = 〈α| a†a |α〉 = α∗α = |α|2. (2.205)

Per la varianza calcoliamo prima

< (a†a)2 > = 〈α| (a†a)2 |α〉= 〈α| a†aa†a |α〉= |α|2 〈α| aa† |α〉= |α|2 〈α| (a†a + 1) |α〉= |α|2(|α|2 + 1)

= |α|4 + |α|2 (2.206)

e quindiVn =< n

2 > − < n >2= |α|2. (2.207)

67


non troppo piccolo rispetto al tempo di risposta dei fotorivelatori, presenta una sortadi raggruppamento (bunching) dei fotoni, che tendono a far sı che la probabilita23

di due fotorivelazioni contemporanee (τ = 0) sia maggiore di due fotorivelazioniseparate da un intervallo τ (g(2)(0) > |g(2)(τ)|).

Di contro cio non avviene con della luce in uno stato coerente (ossia quella emessada un laser nelle opportune condizioni) che si comporta come una sinusoide perfetta,e la probabilita di una fotorivelazione su uno dei fotorivelatori e indipendente daquello che avviene sull’altro; in altri termini possiamo dire che la probabilita didue fotorivelazioni e indipendente dal tempo che le separa (ossia il coefficiente dicorrelazione e costante).

Possiamo interpretare intuitivamente questi due comportamenti pensando che laluce termica presenta fluttuazioni del campo ben maggiori di quella laser, pertantoi fotorivelatori sono portati a rivelare i fotoni proprio durante i picchi di intensita,il che ovviamente avviene per τ = 0.

Infine il caso in cui g(2)(0) < |g(2)(τ)| relativo al caso degli stati di Fock: que-sto e un fenomeno non ammissibile classicamente, ma previsto solo dalla teoriaquantistica e noto come antibunching dei fotoni. Per quanto sia difficile realizzaresperimentalmente campi in uno stato di Fock, sono state trovate situazioni (la ri-sonanza fluorescente in particolare) che presentano antibunching, e che trovano unaspiegazione solo nella teoria quantistica (ne tralasciamo tuttavia l’analisi, visto cheesulerebbe dagli obbiettivi di questa tesi).

23Risulta infatti, che la probabilita di rivelazione di un fotone e proporzionale all’intensita, ossia

P1(x) ∝< I(x) > . (2.210)

Analogamente quella di rivelare due fotoni, uno in x1 e l’altro in x2 e

P2(x1,x2) ∝< I(x1)I(x2) > (2.211)

e, almeno in generale,< I(x1)I(x2) >6=< I(x1) >< I(x2) > (2.212)

ovvero le due probabilita P1(xi) non sono indipendenti: sebbene infatti i due eventi di fotorive-lazione non si influenzino a vicenda, essi sono relativi ad uno stesso campo, le cui fluttuazionicomportano le correlazioni delle intensita, e la dipendenza statistica delle probabilita.

68

Capitolo 3

La decoerenza

3.1 Introduzione

Abbiamo visto nel paragrafo 1.2 che la sovrapposizione coerente origina (nella mec-canica quantistica oltre che nella teoria classica delle onde) fenomeni d’interferen-za. Un punto essenziale per avere gli effetti d’interferenza era la necessita di nondisturbare l’evoluzione del sistema, ossia di mantenerlo ben isolato.

Nella realta non esistono sistemi perfettamente isolati (se non l’intero universo)e dobbiamo aspettarci che i risultati ottenuti sotto l’ipotesi sottintesa di perfettoisolamento potrebbero non trovare un esatto riscontro nella realta.

3.1.1 Cos’e la decoerenza

Al venir meno dei tratti caratteristici della meccanica quantistica in favore di caratte-ristiche classiche, si da il nome di decoerenza, e con teoria della decoerenza si intendela teoria che, usando la stessa meccanica quantistica1, tenta di spiegare i fenomenidi decoerenza ponendo l’attenzione sul ruolo svolto dall’ambiente nel modificare ilcomportamento dei sistemi solo approssimativamente isolati.

Osserviamo che inizialmente il termine coerenza (di cui decoerenza ne e la nega-zione, nel senso che indica la perdita di coerenza) e stato usato nel campo delle onde,intendendo l’assenza di dispersione spaziale nella propagazione delle onde, ovvero ilpermanere di determinate relazioni di fase tra le onde calcolate in punti distinti nellospazio. Nell’ambito quantistico, per quanto si possa parlare pure di funzioni d’onda,e spesso di coerenza di fase, la coerenza di cui si parla ha una natura statistica,visto che la natura stessa delle previsioni della meccanica quantistica e statistica:non si osserva l’interferenza in un esperimento con un singolo sistema, ma si usa

1Non ci occuperemo in questa sede di fenomeni di decoerenza in teorie che includono modifichesostanziali della meccanica quantistica.

69

3 – La decoerenza

un insieme di sistemi, preparati in egual modo (ensemble statistico), e l’interferenzarisulta dall’analisi dei risultati di tutti questi sistemi.

Esplicitamente sono caratteristiche tipicamente quantistiche quantistiche [2]:

• la presenza di effetti di interferenza in problemi nei quali sono presenti percorsialternativi ed indistinguibili (un esempio classico e l’esperimento delle duefenditure);

• l’esistenza di termini non-diagonali nella matrice densita di un sistema;

• la generale impossibilita di descrivere un sistema (quantistico) mediante unmodello stocastico classico.

A cosa serve, o puo servire, la decoerenza. La teoria della decoerenza ci puoaiutare a capire come mai il mondo classico e cosı differente da quello quantistico,sebbene gli oggetti classici siano composti da particelle che obbediscono alle leggiquantistiche.

Tuttavia, come vedremo in seguito, la spiegazione fornita dalla decoerenza nongiustifica completamente il mondo classico, ma solo un mondo che agli occhi diosservatori limitati appare classico: si tratta di due posizioni differenti, e che con ilprogredire delle nostre conoscenze ed abilita potremmo essere in grado di distingueresperimentalmente.

Sono poi evidenti le possibili applicazioni pratiche di una tale conoscenza: quan-do si vuole sfruttare il comportamento quantistico di un sistema occorrera limitarela decoerenza, per sfruttare pienamente le potenzialita dei sistemi microscopici. Equesto il caso, ad esempio, delle applicazioni che riguardano la quantum computationove, per riuscire a costruire dei computer utili per le applicazioni, occorre mante-nere la coerenza tra un numero abbastanza elevato di sistemi quantistici, e cio none assolutamente semplice, visto che, come vedremo, anche debolissime interazionicon l’ambiente sono in grado di far perdere le necessarie correlazioni tra i sistemiquantistici.

Sistemi macroscopici e microscopici. Quando si parla di sistema microscopicosi intende che l’hamiltoniana del sistema che stiamo considerando tiene conto ditutti i gradi di liberta del sistema. I sistemi macroscopici, invece, sono quei sistemidei quali si considera esplicitamente solo un piccolo numero di gradi di liberta.

Poiche con il crescere del numero di atomi la descrizione completa di tutti i gradidi liberta diviene impossibile, macroscopico e spesso sinonimo di sistema costituitoda molti atomi, mentre microscopico di un sistema con pochi atomi. Poiche questisono ben descritti dalla meccanica quantistica, allora si e portati ad far coincidere isistemi microscopici con quelli quantistici, e quelli macroscopici con quelli classici.

70

3.1– Introduzione

Tuttavia la corrispondenza non e esatta: ad esempio, le giunzioni di Josephsonsuperconduttrici oppure le barre di Weber usate per rivelare le onde gravitazionali,manifestano comportamenti quantistici o quantomeno richiedono una descrizionequantistica, pur essendo oggetti macroscopici. Viceversa, come vedremo nel seguito,anche dei sistemi microscopici (non adeguatamente isolati) possono dare origine acomportamenti classici.

Sistemi quantistici e classici. Ribadiamo allora il significato di comportamentoquantistico di un sistema. Elemento chiave e la linearita dell’equazione di Schro-dinger (ovvero la struttura lineare dello spazio degli stati) e la conseguente validitadel principio di sovrapposizione degli stati : dati due stati possibili di un sistemaquantistico (|ψ1〉 , |ψ2〉), e possibile preparare il sistema in uno stato che sia la so-vrapposizione lineare (coerente) dei due (|ψ〉 = α |ψ1〉 + β |ψ2〉). La meccanicaquantistica non ci dice come effettuare tale preparazione, ma ci assicura che un talestato esiste.

Uno stato di sovrapposizione corrisponde ad uno stato in cui entrambi gli statisono presenti con una particolare correlazione tra i due (coerenza di fase), e non aduna mancanza di informazione circa quale dei due stati sia effettivamente assuntodal sistema. La differenza tra le due situazioni puo essere messa in evidenza in espe-rimenti nei quali i due stati |ψi〉 interferiscono tra di loro: se sussiste una correlazionetra i due stati allora si manifesteranno dei fenomeni di interferenza, altrimenti no.

D’altra parte parleremo di comportamento classico quando i comportamenti cor-puscolari e ondulatori sono ben distinti, e la presenza di alternative conduce sempread una sovrapposizione non coerente.

3.1.2 Il problema della misura

Introduciamo infine quello che e un esempio tipico di interazione tra un sistema quan-tistico ed uno classico: esso ci servira da esempio nell’analisi della manifestazionedella decoerenza e delle sue caratteristiche.

In generale si parla di misura quantistica per ogni interazione tra un sistemaquantistico ed uno classico. Cio perche in qualsiasi misura su di un sistema quan-tistico, alla fine perveniamo ad un risultato di tipo classico, quale, ad esempio, laposizione di un indice su di una scala graduata o la traccia su di uno schermo, oancora, il tic di un contatore.

Si consideri ora il caso in cui il sistema quantistico sia in uno stato di sovrappo-sizione

|ψ〉S = α |ϕ1〉S + β |ϕ2〉S (3.1)

e si pensi di farlo interagire opportunamente con un sistema classico (ad esempiol’apparato di misura stesso).

71

3 – La decoerenza

Se supponiamo di poter descrivere l’apparato di misura come se fosse un siste-ma quantistico, ovvero mediante un vettore di stato |φ〉A e mediante un’evoluzionetemporale regolata dall’equazione di Schrodinger, allora, per un’opportuna intera-zione (descrivibile mediante una qualche hamiltoniana di interazione), avremo chel’evoluzione del sistema composto sara

|Ψ0〉 = |ψ〉S ⊗ |φ〉A → |Ψ〉 = α |ϕ1〉S ⊗ |φ1〉A + β |ϕ2〉S ⊗ |φ2〉A . (3.2)

Tale risultato ci dice che in meccanica quantistica le interazioni (descritte medianteoperatori unitari) conservano la sovrapposizione, e quindi un sistema che si trova inuna sovrapposizione di stati restera in una sovrapposizione di stati, anzi coinvolgeraanche il sistema con cui ha interagito in questa sovrapposizione.

Tuttavia l’esperienza del mondo (classico) che ci circonda non sembra manifestarequeste sovrapposizioni di stati. Si pensi, a proposito, al paradosso del gatto diSchrodinger: un gatto viene posto in una scatola, che lo isoli dal resto dell’universo,assieme con un atomo che sta per decadere, e ad un contatore Geiger che non appenarivela il decadimento dell’atomo fa scattare un meccanismo che uccide il gatto. Cosıcome la meccanica quantistica descrive l’atomo come sovrapposizione di due stati(uno in cui l’atomo e decaduto e uno in cui non lo e) cosı dovremmo descrivere ancheil gatto, che interagisce con l’atomo, come una sovrapposizione di stati, uno in cuie morto e uno in cui e vivo. Tale situazione e pero contraria alla nostra esperienza,che annovera solo gatti vivi o gatti morti, e non, per usare un’espressione colorita,gatti mezzi vivi e mezzi morti. Lo stesso vale per un’indice di uno strumento: essoassume una posizione sufficientemente ben definita, in modo da poter distinguere ivari possibili risultati.

A questo punto il semplice ricorso ad ulteriori sistemi classici che interagisconocon i precedenti, se si accettano le stesse ipotesi circa la possibilita di descrivere iltutto mediante la meccanica quantistica, come evidenziato da von Neumann [14],non e in grado di risolvere il problema.

A tale problema, che esemplifica cio che accade quando eseguiamo una misu-ra (mediante un apparato classico) su di un sistema quantistico, si da il nome diproblema della misura.

La via di uscita dell’interpretazione ortodossa consiste nel principio di riduzionedel pacchetto d’onde: l’atto della misura (ovvero l’interazione del sistema quantisticicon l’apparato di misura classico) fa collassare lo stato del sistema in uno deglistati elementari (precisamente in uno degli autostati dell’operatore che descrive lamisura).

Tuttavia nell’interpretazione ortodossa nulla si dice sulla dinamica di un taleprocesso (che come abbiamo detto non puo essere un ordinario processo di evoluzioneunitario).

Sono poi state proposte altre soluzioni (diciamo, non ortodosse, nel senso che

72

3.2– Misure bit-a-bit

comportano modifiche sia all’interpretazione di Copenhagen, sia nella struttura stes-sa della meccanica quantistica), senza che tuttavia nessuna sia riuscita a risolveredefinitivamente il problema.

Tra le piu discusse ricordiamo la teoria di localizzazione spontanea proposta daGhirardi, Rimini e Weber o le teorie in cui il collasso della funzione d’onda e indottodalla gravita.

La teoria della decoerenza si pone ad un livello intermedio, in quanto pur restan-do nell’ambito della meccanica quantistica, ne approfondisce gli aspetti relativi aisistemi aperti, permettendo di giustificare il fatto che in seguito ad una misura lostato del sistema collassi. Tuttavia non ci dice in quale stato esattamente il sistemasia collassato: un tale obbiettivo, e al momento, completamente al di fuori dellanostra portata.

Come dice esplicitamente Zurek [16], la teoria della decoerenza non si proponedi dire in quale stato collassa il sistema (che equivarrebbe a predire l’esatto risultatodi una misura), ma, come vedremo, ci permette di dire se tale collasso e avvenuto(ovvero se e avvenuta una misura) e quale misura e stata effettuata.

3.2 Misure bit-a-bit

Affrontiamo ora piu in dettaglio problema della misura per farne un’analisi quanti-tativa, secondo l’approccio proposto dalla teoria della decoerenza.

Il modello di base sara quello di un sistema che interagisce con un apparato, ilquale a sua volta interagisce con l’ambiente.

Inizialmente considereremo dei sistemi, siano essi il sistema vero e proprio chel’apparato e l’ambiente, molto semplici. Passeremo successivamente ad un modellopiu realistici: sin dai casi piu semplici, tuttavia, potremo evidenziare le caratteristi-che salienti della teoria della decoerenza.

In ogni caso assumeremo che tutti i sistemi di cui parleremo siano descrivibilimediante la meccanica quantistica, e quindi la natura classica dell’apparato (ossial’assenza di sovrapposizioni) dovra emergere dall’analisi stessa che faremo.

Cominciamo considerando la misura su di un sistema a due stati S effettuatada un apparato quantistico A anch’esso a due stati (ma distinguibile dal sistema).Poiche due stati sono codificabili con un solo bit d’informazione, parleremo di sistemia un bit, e quindi essendo sia il sistema che l’apparato di misura dei sistemi ad unbit, parleremo di misura bit-a-bit.

Una possibile realizzazione di un tale schema e mostrata nella figura 3.1 ovesi rileva il passaggio di un sistema dotato di spin che attraversa un apparato diStern-Gerlach reversibile mediante un sistema atomico che funge da rivelatore dipercorso.

73

3 – La decoerenza

Figura 3.1. Apparato di Stern-Gerlach reversibile (a) e sua rappresentazione sche-matica, con indicate le due possibili traiettorie del sistema con spin 1/2 e l’ato-mo che funge da rivelatore (b) [16]. I due stati di spin |↑〉 , |↓〉 corrispondono

rispettivamente agli stati |e〉S e |g〉S .

Nel semplice modello che stiamo usando manca la descrizione di un qualsiasiapparato (o ambiente) con caratteristiche classiche: tuttavia nella sua semplici-ta potremo evidenziare come certi risultati non siano dovuti al carattere classicodell’apparato o dell’ambiente, ma al modo con cui ci poniamo nei confronti del-l’apparato e dell’ambiente quando eseguiamo una misura su un sistema quantistico.Anzi vedremo che la natura classica dell’apparato emergera in modo naturale pervia dell’interazione con l’ambiente.

Assumiamo che inizialmente il sistema S sia isolato dal resto dell’universo: pos-siamo allora descrivere un tale sistema mediante uno spazio degli stati ΣS bidimen-sionale, e sia (|e〉S , |g〉S) una base ortonormale di tale spazio.

Analogamente l’apparato di misura A sara descritto da uno spazio ΣA anch’essobidimensionale, con (|e〉A , |g〉A) una base ortonormale.

3.2.1 L’interazione sistema-rivelatore e la pre-misura

Supponiamo che l’apparato sia inizialmente (t0 = 0) nello stato

|χ(t0)〉A = |+〉A = (|e〉A + |g〉A)/√

2 (3.3)

74


e supponiamo che per via dell’interazione con il sistema S passi nello stato |g〉A(rispettivamente |e〉A) quando rivela il sistema nello stato |e〉S (risp. |g〉S).

Supponiamo poi che il sistema si trovi inizialmente nello stato puro

|ϕ(t0)〉S = α |e〉S + β |g〉S . (3.4)

Non essendoci stata interazione tra sistema ed apparato, lo stato iniziale del sistemapiu l’apparato sara descritto dal ket

|φi〉 ≡ |φ(t0)〉SA = |ϕ(t0)〉S ⊗ |χ(t0)〉A = (α |e〉S + β |g〉S)⊗ |+〉A (3.5)

prodotto diretto dei vettori di stato del sistema e del rivelatore.L’interazione tra il sistema e l’apparato di misura permette di portare a termine

la prima parte dell’operazione di misura (spesso si parla di pre-misura), che consistenel creare le opportune correlazioni tra il sistema e l’apparato, che consentano ilpassaggio delle informazioni circa lo stato del sistema.

Piu precisamente, definiamo [17] l’interazione tra i due sistemi mediante l’ha-miltoniana2

HSA = γ(|e〉〈e|S − |g〉〈g|S)⊗ (|⊥〉〈⊥|A − |>〉〈>|A) (3.6)

ove, per semplicita di scrittura, i termini del tipo| ·〉Z 〈·|Z sono stati scritti sempli-cemente come| ·〉〈·|Z , omettendo nei ket il pedice relativo al sottosistema, g e unacostante di accoppiamento, e

|⊥〉A = (|e〉A + i |g〉A) /√

2)

|>〉A = (|e〉A − i |g〉A) /√

2). (3.7)

Tale interazione permette di passare (ad un opportuno istante) dallo stato iniziale

|φi〉 = (α |e〉S + β |g〉S)⊗ |+〉A (3.8)

allo stato finale

|φc〉 ≡ |φ(t1)〉SA = α |e〉S ⊗ |g〉A + β |g〉S ⊗ |e〉A . (3.9)

2Si da qui l’espressione piu conveniente per il seguito. Volendo si puo esprimere l’hamiltonianain funzione degli stati base |e〉A , |g〉A, e si ottiene:

HSA = iγ(|e〉〈e|S − |g〉〈g|S)⊗ (|g〉〈e|A − |e〉〈g|A).

75

3 – La decoerenza

Dimostrazione. Per verificare tale affermazione basta usare la proprieta

f(A) |φ〉 =∑

n

cnf(an) |ϕn〉 (3.10)

essendo A |ϕn〉 = an |ϕn〉, e |φ〉 =∑

n cn |ϕn〉 (avendo supposto che l’insieme (|ϕn〉) siauna base)3.

Occorre quindi calcolare autovalori ed autovettori dell’hamiltoniana: a tal fine osser-viamo subito che l’espressione dell’hamiltoniana HSA = γH⊗S ⊗ H⊗A e gia espressa informa diagonale. Infatti (|e〉S , |g〉S) e una base di autovettori di H⊗S in ΣS relativa agliautovalori λ1,2 = ±1; analogamente, (|⊥〉A , |>〉A) e una base di autovettori di H⊗A in ΣArelativa agli autovalori η1,2 = ±1.

E immediato ora ricavare gli autovalori e gli autovettori di HSA (si tenga presente chegli autovalori di αA sono dati dagli autovalori di A moltiplicati per α):

a11 = γ λ1η1 = γ |ϕ11〉 = |e〉S ⊗ |⊥〉Aa12 = γ λ1η2 = −γ |ϕ12〉 = |e〉S ⊗ |>〉Aa21 = γ λ2η1 = −γ |ϕ21〉 = |g〉S ⊗ |⊥〉Aa22 = γ λ2η2 = γ |ϕ22〉 = |g〉S ⊗ |>〉A .

(3.11)

A questo punto conviene esprimere il vettore |+〉A che figura nello stato iniziale intermini dei due autostati |⊥〉A , |>〉A:

|+〉A = [(1− i) |⊥〉A + (1 + i) |>〉A]/2 (3.12)

e quindi la (3.8) diventa:

|φi〉 = (α |e〉S + β |g〉S)⊗ [(1− i) |⊥〉A + (1 + i) |>〉A]/2. (3.13)

Posto δ = t/~, possiamo applicare la formula (3.10) ed otteniamo:

|φc〉 =α1− i

2e−iγδ |e〉S ⊗ |⊥〉A + α

1 + i

2e+iγδ |e〉S ⊗ |>〉A +

+ β1− i

2e+iγδ |g〉S ⊗ |⊥〉A + β

1 + i

2e−iγδ |g〉S ⊗ |>〉A (3.14)

ed esprimendo gli stati |⊥〉A , |>〉A in funzione degli stati |e〉A , |g〉A secondo la (3.7), dopo

3Nel caso di operatori prodotto tensoriale, sara comodo sostituire l’indice n con un doppio indicei,j.

76


un semplice riordino dei vari termini, si ottiene

|φc〉 =α

2√

2

[(1− i) e−iγδ + (1 + i) eiγδ

]|e〉S ⊗ |e〉A +

+α

2√

2i[(1− i) e−iγδ − (1 + i) eiγδ

]|e〉S ⊗ |g〉A +

+β

2√

2

[(1− i) eiγδ + (1 + i) e−iγδ

]|g〉S ⊗ |e〉A +

+β

2√

2i[(1− i) eiγδ − (1 + i) e−iγδ

]|g〉S ⊗ |g〉A =

=α√2

(cos η − sin η) |e〉S ⊗ |e〉A +

+α√2

(cos η + sin η) |e〉S ⊗ |g〉A +

+β√2

(cos η + sin η) |g〉S ⊗ |e〉A +

+β√2

(− cos η + sin η) |g〉S ⊗ |g〉A (3.15)

ove si e posto η = gδ.

Per η = π4 + 2nπ, con n = 0,1,2, . . . risulta cos η = sin η =

√2

2 e quindi il primo el’ultimo addendo scompaiono, lasciando solo il secondo e terzo, ovvero:

|φc〉 = α |e〉S ⊗ |g〉A + β |g〉S ⊗ |e〉A . (3.16)

La condizione η = π4 definisce la durata minima tSA dell’interazione per ottenere

esattamente |φc〉:tSA =

π

4

~

g. (3.17)

Lo stato finale |φc〉 e uno stato entangled o correlato: per definizione, esso non eesprimibile come prodotto diretto di due vettori relativi ai due sistemi componenti

@ |ϕ〉S , |χ〉A : |φc〉 = |ϕ〉S ⊗ |χ〉A . (3.18)

Fisicamente possiamo dire che nello stato |φc〉 allo stato |g〉A del rivelatorecorrisponde lo stato |e〉S del sistema, a |e〉A corrisponde |g〉S.

Una verifica formale di tale affermazione puo essere ottenuta proiettando lo stato|φc〉 sui sottospazi di ΣA corrispondenti ai due stati che ci interessano:

(|g〉〈g|A) |φc〉 = α |e〉S ⊗ |g〉A (3.19a)

(|e〉〈e|A) |φc〉 = β |g〉S ⊗ |e〉A . (3.19b)

77

3 – La decoerenza

Il risultato delle proiezioni sono pertanto i due stati nei quali si viene a trovare ilsistema composto dopo il collasso del vettore di stato conseguente alla misura.

Tuttavia |φc〉 rappresenta ancora uno stato puro, sovrapposizione dei due statiche identificano i possibili risultati, e non e cio che ci aspettiamo nel caso di unamisura classica in cui, alla fine della misura, l’apparato si trova in uno ed uno solodei suoi possibili stati, ovvero, prima che noi veniamo a conoscenza del risultato,e descrivibile come una miscela statistica dei possibili risultati. In altri termini,stando a |φc〉 la misura non e ancora propriamente avvenuta, ma c’e stata solo unacorrelazione tra sistema ed apparato di misura, che e un passo essenziale verso lamisura vera e propria, e che pertanto e nota come pre-misura.

Per descrivere e distinguere agevolmente tra il caso puro e la miscela statistica,conviene adottare il formalismo della matrice densita.

Con questo formalismo, se consideriamo un ensemble di coppie sistema+appara-to, possiamo descrivere la nostra ignoranza sul possibile risultato tramite una misceladi stati, il cui corrispondente operatore densita e

ρ′ = p1 |e〉〈e|S ⊗ |g〉〈g|A + p2 |g〉〈g|S ⊗ |e〉〈e|A =

=

p1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 p2

(3.20)

essendo p1, p2 le probabilita di trovare i due risultati, e (|e〉S ⊗ |g〉A, |e〉S ⊗ |e〉A,|g〉S ⊗ |g〉A, |g〉S ⊗ |e〉A) la base ortonormale di ΣS ⊗ΣA rispetto a cui e definita lamatrice.

Lo stato |φc〉 e invece uno stato puro, e il corrispondente operatore densita e :

ρ = |φc〉〈φc| == |α|2 |e〉〈e|S ⊗ |g〉〈g|A + αβ∗ |e〉〈g|S ⊗ |g〉〈e|A +

+ α∗β |g〉〈e|S ⊗ |e〉〈g|A + |β|2 |g〉〈g|S ⊗ |e〉〈e|A = (3.21)

=

|α|2 0 0 αβ∗

0 0 0 00 0 0 0α∗β 0 0 |β|2

ove la presenza dei due termini non nulli fuori dalla diagonale ci dice che ci troviamoin uno stato puro correlato (entangled).

Si osservi che gia a questo punto potremmo pensare di eliminare i termini fuori

78


dalla diagonale considerando l’operatore densita ridotto (si veda il paragrafo E.1.4)

ρr = TrSρ = |α|2 |e〉〈e|A + |β|2 |g〉〈g|A =

=

(|α|2 00 |β|2

)(3.22)

ottenuto tralasciando di considerare il sistema, e osservando solo l’apparato, e lamatrice finale e definita ora rispetto alla base (|e〉A , |g〉A). Tuttavia l’operazione ditrascurare il sistema sarebbe un’operazione puramente formale, senza alcuna realegiustificazione: l’indice del nostro apparato di misura (nel nostro modello lo statodell’apparato) resterebbe in una (strana) sovrapposizione di stati.

L’ambiguita della base

Che lo stato |φc〉 non descriva correttamente cio che vorremmo ottenere in unamisura, lo si puo vedere meglio dal fatto che se cambiamo la base nello spazio ΣA,si ottiene sempre uno stato entangled, ma ora le correlazioni sono tra la nuova base,ed altri stati del sistema S. Ora, come si vede nella (3.22), la base e importante,perche mostra quali sono i possibili risultati della misura.

Consideriamo per semplicita il caso α = β = 1√2. Passando, ad esempio, alla base

definita dai vettori

|±〉A = (|e〉A ± |g〉A)/√

2 (3.23)

si ottiene:

|φc〉 =1

2|e〉S ⊗ (|+〉A + |−〉A) +

1

2|g〉S ⊗ (|+〉A − |−〉A)

=1

2(|e〉S + |g〉S)⊗ |+〉A +

1

2(|e〉S − |g〉S)⊗ |−〉A

=1√2|+〉S ⊗ |+〉A +

1√2|−〉S ⊗ |−〉A (3.24)

ove

|±〉S = (|e〉S ± |g〉S)/√

2 (3.25)

il che vuol dire che vi e pure una correlazione perfetta tra gli stati |+〉A , |−〉A e glistati |+〉S , |−〉S.

Proiettando lo stato |φc〉 sui due sottospazi corrispondenti ai due vettori |+〉A,|−〉A (cosa peraltro immediata tenuto conto della (3.24)) otteniamo:

|+〉〈+|A |φc〉 =1√2|+〉S ⊗ |+〉A

|−〉〈−|A |φc〉 =1√2|−〉S ⊗ |−〉A . (3.26)

79

3 – La decoerenza

Ora se il sistema composto dovesse subire il collasso di stato, non sarebbe benchiaro quali sono i possibili stati in cui collassare (ovvero i possibili risultati dellamisura): |e〉A, |g〉A oppure |+〉A, |−〉A, o una delle altre coppie definibile cambiandoin maniera analoga la base di ΣA. Cio ci dice che ancora non e possibile dire checosa l’apparato abbia misurato sul sistema.

L’assurdo risulta ancora piu evidente se si pensa al significato fisico di tali statinell’esperimento illustrato nella figura 3.1. Gli stati (3.25) indicano stati con spindiciamo nella direzione x, ottenuti effettuando una misura con un apparato pre-disposto per la misura di spin lungo la direzione z, che, com’e noto, sono misureincompatibili.

Un’evoluzione unitaria puo produrre solo risultati di tale natura, anche introdu-cendo ulteriori passi intermedi dello stesso tipo.

E per questo che Von Neumann, discutendo tale problema, ha introdotto [14] un“processo 1”, non unitario, per ottenere il collasso della funzione d’onda, ovvero perpassare dal caso puro ρ alla miscela statistica ρ′ ( o equivalentemente a ρr). Taleoperazione, pero, e poco soddisfacente dal punto di vista teorico (l’introduzione e“ad hoc”, priva di una giustificazione elementare all’interno della teoria), ma ha ilpregio di evidenziare come gli operatori unitari della meccanica quantistica da solinon riescono a risolvere il problema del collasso della funzione d’onda.

3.2.2 L’interazione con un ambiente a due stati e la decoe-renza

L’approccio proposto da Zurek [16, 17, 18] mette in primo piano il fatto che i si-stemi quantistici macroscopici non sono mai completamente isolati dall’ ambienteesterno, e quindi e ragionevole aspettarsi che possano manifestare comportamentinon direttamente spiegabili con quanto visto sinora. In particolare, tenendo nel do-vuto conto il ruolo dell’ambiente e dell’osservatore, e possibile rendere conto, in unsenso opportuno, della perdita della coerenza nella sovrapposizione di due stati, e ilconseguente passaggio da stato puro a miscela statistica di stati (decoerenza indottadall’ambiente).

Si consideri quindi oltre al sistema S e al rivelatore quantistico A, l’ambiente E ,e modelliamo anche l’ambiente con un sistema quantistico a due stati, distinguibiledai precedenti, descritto inizialmente dallo stato |ζ0〉E = |ζ(t0)〉E. Supponiamo poiche l’interazione con l’ambiente avvenga all’istante t2 ≥ t1.

Anche in questo caso possiamo descrivere l’interazione tra l’apparato e il suoambiente mediante un’opportuna hamiltoniana [17]

HAE = γ′ (|e〉〈e|A − |g〉〈g|A)⊗ (|g〉〈g|E − |e〉〈e|E) (3.27)

che, in maniera analoga a quanto visto per la (3.6), in un opportuno intervallo di

80


tempo, permette di passare dallo stato

|Ψ1〉SAE = |φc〉 ⊗ |ζ0〉E (3.28)

allo stato

|Ψ〉 ≡ |Ψ〉SAE = α |e〉S ⊗ |g〉A ⊗ |e〉E + β |g〉S ⊗ |e〉A ⊗ |g〉E . (3.29)

|Ψ〉 rappresenta ancora uno stato puro entangled di tre sistemi, il cui corrispon-dente operatore densita e

ρSAE = |Ψ〉〈Ψ | . (3.30)

E ora naturale ignorare gli stati dell’ambiente E , visto che ci interessa il risultatodella misura, e non una qualche informazione sull’ambiente. Supponendo che i duestati |g〉E , |e〉E siano ortogonali (〈g|e〉E = 0) si ottiene:

ρrSA = TrEρSAE= |α|2 |e〉〈e|S ⊗ |g〉〈g|A + |β|2 |g〉〈g|S ⊗ |e〉〈e|A (3.31)

cioe considerando anche l’interazione con l’ambiente, e poi tenendo conto del fattoche in pratica non rileviamo lo stato dell’ambiente, siamo riusciti ad ottenere lacorretta matrice densita (analoga cioe alla miscela statistica ρ′ vista nella (3.20)),ed il tutto senza andare oltre l’ordinaria meccanica quantistica.

Il risultato precedente e il principale risultato della teoria della decoerenza: inseguito ci occuperemo piu in dettaglio della dinamica che porta a tale risultato, maesso restera sempre il passo finale. Per comprenderne a fondo il significato allora,analizziamo ulteriori aspetti dell’interazione tra l’apparato e l’ambiente.

La base preferita o base dell’indice

Nel caso di pre-misura, ovvero per un sistema nello stato (3.5), si era rilevato comevi fosse un’ambiguita sulla base che identifica l’osservabile misurata sul sistema.L’interazione con l’ambiente rimuove l’ambiguita della base rilevata in precedenza,permettendo di definire in maniera univoca cosa e stato misurato dall’apparato.

Consideriamo infatti, lo stato |Ψ〉, dato dalla (3.29): come gia osservato, eevidente la perfetta correlazione tra sistema, apparato e ambiente.

Se proviamo a cambiare la base dello spazio ΣA, usando ad esempio la base(|+〉A , |−〉A) otteniamo la rappresentazione

|Ψ〉 =1√2

(α |e〉S ⊗ |e〉E + β |g〉S ⊗ |g〉E

)⊗ |+〉A +

+1√2

(− α |e〉S ⊗ |g〉A + β |g〉S ⊗ |e〉A

)⊗ |−〉A (3.32)

81

3 – La decoerenza

nella quale non si riscontra piu la correlazione tra sistema, apparato ed ambientevista in precedenza, e soprattutto, non e possibile ricondurre la (3.32) nella forma

α′ |s+〉S ⊗ |E+〉E ⊗ |+〉A + β′ |s−〉S ⊗ |E−〉E ⊗ |−〉A

per via dello stato entangled in cui si trovano il sistema e l’ambiente.Proiettando lo stato |Ψ〉 mediante i proiettori |e〉〈e|A oppure |g〉〈g|A otteniamo

|g〉〈g|A |Ψ〉 = α |e〉S ⊗ |g〉A ⊗ |e〉E (3.33a)

|e〉〈e|A |Ψ〉 = β |g〉S ⊗ |e〉A ⊗ |g〉E (3.33b)

ovvero degli stati prodotto diretto, che indicano la perfetta correlazione tra sistema,apparato e ambiente.

Se invece proviamo a vedere cosa fornirebbe un test per vedere se l’apparato sitrova, ad esempio4, nello stato |+〉A, otteniamo:

|+〉〈+|A |Ψ〉 =1√2

(α |e〉S ⊗ |e〉E + β |g〉S ⊗ |g〉E

)⊗ |+〉A (3.34)

che per via della presenza di un stato entangled tra il sistema e l’ambiente, a differen-za della (3.26), non e piu esprimibile come prodotto diretto di tre stati appartenentiai tre sottosistemi S,A, E che stiamo considerando.

E venuta meno, quindi, la possibilita di conoscere lo stato del sistema una voltanoto che l’apparato e nello stato |+〉A: come evidenzia Zurek, parte dell’informazioneche l’apparato aveva acquisito sul sistema, e stata ora persa dall’apparato e trasferitanell’ambiente.

Ma questo non e un fatto negativo, anzi e proprio cio che cercavamo: la presenzadell’ambiente ha selezionato la base dell’apparato (|e〉A , |g〉A), cui viene dato il nomedi base dell’indice (dell’apparato di misura), in quanto e essa che determina cosa estato misurato dall’apparato.

L’osservabile indice

Tenuto conto delle (3.33) l’osservabile (o meglio la famiglia di osservabili) che de-scrive la misura effettuata dall’apparato, e che chiameremo osservabile dell’indice edata da

Λ = λg |g〉〈g|A + λe |e〉〈e|A (3.35)

ove λg,λe ∈ R affinche l’operatore sia hermitiano, e λg 6= λe affinche i due risultatidella misura siano distinguibili.

4Il ragionamento e le conclusioni non cambiano anche se si usa un qualunque altro proiettorediverso da |e〉〈e|A e |g〉〈g|A .

82

3.3– La dinamica della decoerenza

Risulta evidente che la base dell’indice costituisce una base di autostati perl’osservabile indice.

Un’altra proprieta importante, e il fatto che l’osservabile indice commuti conl’hamiltoniana di interazione tra apparato ed ambiente

[HAE,Λ] = 0 (3.36)

che esprime il fatto che quando l’apparato e in autostato dell’osservabile indice Λ,l’interazione con l’ambiente lo lascia imperturbato.

Aspetti dinamici

Accenniamo infine a due nozioni molto importanti legati all’evoluzione temporaledel sistema, ossia alla dinamica con cui avviene la decoerenza. Tuttavia per via delmodello dell’ambiente estremamente semplice, avranno valore molto limitato.

Possiamo definire il tempo di decoerenza come il tempo che occorre all’ambienteper generare gli effetti di decoerenza: nel caso delle misure bit-a-bit esso coincide conil tempo di interazione, visto che supponiamo che questa abbia una durata limitata.In maniera analoga alla (3.17) risulta che per ottenere la giusta correlazione traapparato e ambiente, l’interazione tra i due deve durare esattamente tAE = π

4~

g′ .D’altra parte si vede che se l’interazione tra apparato ed ambiente continuasse

ulteriormente lo stato finale varierebbe ancora fino ad arrivare allo stato di partenzaper tr,AE = 2π ~

g′ : il tempo di ricorrenza, in questo semplice caso, risulta pertantoconfrontabile con quello di decoerenza.

Come vedremo nel prossimo paragrafo, il fatto che in questo caso il tempo diricorrenza risulti confrontabile con quello di decoerenza e dovuto al modello dell’am-biente estremamente semplificato che abbiamo usato, e verra meno considerando unambiente con N 1 atomi.

3.3 La dinamica della decoerenza

Consideriamo ora un modello piu realistico dell’ambiente, che ci permettera di stu-diare la dinamica della decoerenza indotta dall’ambiente: supponiamo che l’ambientesia costituito da N sistemi quantistici a due livelli distinguibili e non interagenti tradi loro, ne con il sistema S, ma solo con l’apparato A.

Sia poi|Ψi〉 = (α |e〉S ⊗ |g〉A + β |g〉S ⊗ |e〉A)⊗ |ζ0〉E (3.37)

lo stato iniziale (per semplicita si assuma che esso sia dato a t1 = 0), ove |ζ0〉E =∏Nk=1⊗[ak |g〉E,k + bk |e〉E,k] e lo stato iniziale dell’ambiente.|Ψi〉 descrive il sistema e l’apparato in uno stato entangled, dopo l’interazione tra

i due, piu l’ambiente che ancora non ha interagito con nessuno dei precedenti.

83

3 – La decoerenza

L’hamiltoniana

HAE =N∑

k=1

H(k)AE (3.38)

con

H(k)AE = γk (|e〉〈e|A − |g〉〈g|A)⊗

(|gk〉〈g|E,k − |ek〉〈e|E,k

)∏

j=1j 6=k

⊗1j.

permette, in un intervallo di tempo t, di fare evolvere tale stato nello stato finale

|Ψf (t)〉 =α |e〉S ⊗ |g〉AN∏

k=1

⊗[αke

iγkt |e〉E,k + βke−iγkt |g〉E,k

]+

+ β |g〉S ⊗ |e〉AN∏

k=1

⊗[αke

−iγkt |e〉E,k + βke+iγkt |g〉E,k

]

=α |e〉S ⊗ |g〉A ⊗ |ζe(t)〉E + β |g〉S ⊗ |e〉A ⊗ |ζg(t)〉E (3.39)

ove

|ζe(t)〉E =N∏

k=1

⊗[αke

iγkt |e〉E,k + βke−iγkt |g〉E,k

](3.40a)

|ζg(t)〉E =N∏

k=1

⊗[αke

−iγkt |e〉E,k + βkeiγkt |g〉E,k

](3.40b)

sono i due stati dell’ambiente che corrispondenti ai due possibili risultati dellamisura.

L’osservabile dell’indice. Anche in questo caso l’osservabile dell’indice e quindidefinita come:

Λ = λg |g〉〈g|A + λe |e〉〈e|A (3.41)

con le solite condizioni λg,λe ∈ R e λg 6= λe.

L’operatore densita. Dato lo stato finale (3.39) il corrispondente operatore den-sita e

ρSAE = |Ψf〉〈Ψf | =

=|α|2 |e〉〈e|S ⊗ |g〉〈g|AN∏

k=1

⊗[|αk|2 |e〉〈e|E,k + αkβ

∗ke

i2γkt |e〉〈g|E,k +

84

3.3– La dinamica della decoerenza

+ α∗kβke

−i2γkt |g〉〈e|E,k + |βk|2 |g〉〈g|E,k]+

+ αβ∗ |e〉〈g|S ⊗ |g〉〈e|AN∏

k=1

⊗[|αk|2ei2γkt |e〉〈e|E,k + αkβ

∗k |e〉〈g|E,k +

+ α∗kβk |g〉〈e|E,k + |βk|2e−i2γkt |g〉〈g|E,k

]+

+ α∗β |g〉〈e|S ⊗ |e〉〈g|AN∏

k=1

⊗[|αk|2e−i2γkt |e〉〈e|E,k + αkβ

∗k |e〉〈g|E,k +

+ α∗kβk |g〉〈e|E,k + |βk|2ei2γkt |g〉〈g|E,k

]+

+ |β|2 |g〉〈g|S ⊗ |e〉〈e|AN∏

k=1

⊗[|αk|2 |e〉〈e|E,k + αkβ

∗ke

−i2γkt |e〉〈g|E,k +

+ α∗kβke

i2γkt |g〉〈e|E,k + |βk|2 |g〉〈g|E,k]

(3.42)

L’operatore densita ridotto. La matrice densita ridotta relativa al sistema eall’apparato, tralasciando l’ambiente, e allora:

ρrSA =TrE ρSAE =

=|α|2 |e〉〈e|S ⊗ |g〉〈g|AN∏

k=1

[|αk|2 + |βk|2

]+

+ α∗β |g〉〈e|S ⊗ |e〉〈g|AN∏

k=1

[|αk|2e−i2γkt + |βk|2e−i2γkt

]+

+ α∗β |g〉〈e|S ⊗ |e〉〈g|AN∏

k=1

[|αk|2e−i2γkt + |βk|2ei2γkt

]+

+ |β|2 |g〉〈g|S ⊗ |e〉〈e|AN∏

k=1

⊗[|αk|2 + |βk|2

](3.43)

che tenuto conto del fatto che |αk|2 + |βk|2 = 1, riscriviamo come

ρrSA =|α|2 |e〉〈e|S ⊗ |g〉〈g|A + z(t)α∗β |g〉〈e|S ⊗ |e〉〈g|A +

+ z∗(t)α∗β |g〉〈e|S ⊗ |e〉〈g|A + |β|2 |g〉〈g|S ⊗ |e〉〈e|A (3.44)

85

3 – La decoerenza

ove si e introdotta l’ampiezza di correlazione

z(t) ,

N∏

k=1

[|αk|2e−i2γkt + |βk|2e−i2γkt

]=

=N∏

k=1

[cos 2γkt+ i

(|αk|2 − |βk|2

)sin 2γkt

](3.45)

che e una misura di quanto, dopo l’interazione con l’ambiente, gli stati non diagonalidel sistema e dell’apparato sia ancora correlati.

L’ampiezza di correlazione dipende dalle condizioni iniziali dell’ambiente soloattraverso le differenze |αk|2−|βk|2 che sono le differenze tra la probabilita di trovarel’ambiente negli autostati dell’hamiltoniana d’interazione |e〉E,k e |g〉E,k.

Proprieta dell’ampiezza di correlazione

Si ha innanzituttoz(t) = 〈ζe(t)|ζg(t)〉E (3.46)

che generalizza quanto ipotizzato per ottenere la (3.31): se i due stati |ζe(t)〉E,|ζg(t)〉E sono ortogonali, si ha la cancellazione dei termini non diagonali dell’opera-tore densita ridotto ρrSA.

In generale, tuttavia, la condizione di ortogonalita non e verificata esattamente.Pertanto e importante studiare la dipendenza temporale dell’ampiezza di correlazio-ne, cui e legato lo smorzamento dei termini non diagonali di ρrSA. Si ha

z(0) = 1, (3.47)

|z(t)|2 ≤ 1, (3.48)

< z(t) > = limT→∞

1

T

∫ T

0

z(t)dt = 0, (3.49)

< |z(t)|2 > =1

2N

N∏

k=1

[1 + (|αk|2 − |βk|2)2]. (3.50)

In particolare l’ultima espressione ci dice che, a parte il caso in cui lo stato inizialedell’ambiente coincide con uno degli autostati dell’hamiltoniana d’interazione (αk =1 e βk = 0, o viceversa), il valor medio di |z(t)|2 e molto piu piccolo rispetto ad1, assunto inizialmente, anche per N relativamente piccoli. Fisicamente cio vuoldire che anche ambienti relativamente piccoli sono molto efficaci nello smorzare lecorrelazioni e definire l’osservabile dell’indice.

In particolare se αk = βk ∀k, allora < |z(t)|2 >= 12N .

Si osservi tuttavia che per N finito, z(t) e una funzione quasi-periodica, e quindiin un tempo sufficientemente lungo |z(t)| ritornera arbitrariamente vicino ad 1.

86

3.4– Misurare la decoerenza

Tempo di ricorrenza

Si e visto che a partire dal valore iniziale z(0) = 1, |z(t)| decresce, tendendo adassumere valori prossimi zero, con fluttuazioni dell’ordine di 1√

N.

Tuttavia abbiamo detto che essendo |z(t)| una funzione quasi-periodica, per ogniε > 0 esiste un intervallo di tempo Tε, che chiamiamo tempo di ricorrenza, dopo ilquale |z(t)| differira da uno per meno di ε:

1− |z(t)| < ε. (3.51)

Si dimostra tuttavia che per un ambiente macroscopico tale tempo di ricorrenzae superiore alla durata stimata dell’universo, ossia il tempo tra il big bang e il bigcrunch.

3.4 Misurare la decoerenza

3.4.1 Misura della dinamica irreversibile

Morigi e al.[10] hanno recentemente proposto di invertire l’evoluzione unitaria di unoscillatore armonico accoppiato con un sistema a due livelli (modelli dell’interazionetra un atomo ed una radiazione elettromagnetica monocromatica), in modo che, unavolta “eliminata” la parte unitaria dell’evoluzione, cio che resta e fa differire lo statodell’oscillatore armonico da quello iniziale e dovuto ad un evoluzione irreversibile(non unitaria), che ci da una misura della dinamica di decoerenza del sistema.

Tale metodo puo essere applicato, in particolare, a due situazioni sperimentaliparticolarmente interessanti:

• trappole ioniche: la posizione del centro di massa dello ione e armonica, emediante la radiazione di un laser viene accoppiata con una transizione atomicainterna;

• cavita quanto-elettrodinamiche (QED): in questo caso e la radiazione mono-modale all’interno della cavita ad essere armonica, e un atomo inviato dentrola cavita viene utilizzato per sondare il campo nella cavita.

L’interazione tra il sistema a due 2 livelli e l’oscillatore armonico

Sia |g〉 lo stato di riposo e |e〉 quello eccitato del sistema a 2 livelli.Usando il formalismo degli operatori di Pauli (si veda l’appendice D) l’hamilto-

niana del sistema sara data da

H2L = ~ωσ†σ (3.52)

87

3 – La decoerenza

ove σ† = |e〉〈g|, σ = |g〉〈e| sono gli operatori di incremento/decremento del livelloenergetico5. Si osservi che l’hamiltoniana (3.52) assume che la separazione di energiatra i due livelli sia ∆E = ~ω, e che il livello energetico inferiore sia assunto comeriferimento (Eg = 0, e quindi Ee = ~ω).

Per l’oscillatore armonico useremo gli stati di base di Fock |n〉, con n = 0,1,2, . . .,autostati dell’operatore numero n = a†a, essendo a† e a rispettivamente gli operatoridi creazione e annichilazione fotonici. Assumiamo poi che la separazione tra i varilivelli energetici dell’oscillatore armonico sia la stessa di quella tra i due livelli delsistema a due stati (in modo che i due sistemi siano in risonanza); l’hamiltonianadell’oscillatore armonico sara allora

Hosc = ~ω(a†a +1

2). (3.54)

Consideriamo ora un’interazione tra oscillatore armonico e sistema a due livellisecondo il modello di Jaynes-Cummings [15, §10.3]: l’interazione tra i due sistemi edata pertanto da

Hint,JC = ~g(σ†a + σa

†) (3.55)

ove g e la costante di accoppiamento.L’hamiltoniana completa del sistema risulta allora

HJC = H2L + Hosc + Hint,JC = ~ω(σ†σ + a†a) + ~g(σ†

a + σa†) (3.56)

ove si e tralasciato il termine 12~ω (il che equivale ad una ridefinizione dello zero di

energia dell’oscillatore armonico).Introduciamo infine un’hamiltoniana di sfasamento, definita come

Hkick(t) = ~πσσ† δ(t− τ) (3.57)

il cui significato risulta evidente se osserviamo che essa determina un’evoluzione datadall’operatore di evoluzione temporale6

Ukick = e−i~

∫ τ+τ− Hkick dt = σ†σ − σσ† = |e〉〈e| − |g〉〈g| = σ3 (3.60)

5Si ha infatti

σ |e〉 = |g〉 σ |g〉 = 0 (3.53a)

σ† |g〉 = |e〉 σ† |e〉 = 0. (3.53b)

6Fissata la base (|e〉 , |g〉) risulta

σσ† = |g〉〈g| =(

0 00 1

)(3.58)

88


e che quindi, se applicata ad un generico stato del sistema a due livelli7 porge

σ3 (α |e〉+ β |g〉) = α |e〉 − β |g〉 (3.61)

dalla quale risulta evidente lo sfasamento che genera tra i due stati del sistema adue livelli.

Possiamo studiare ora l’evoluzione totale del sistema composto dall’oscillatore ar-monico e dal sistema a 2 livelli unitamente allo sfasamento dovuto ad Hkick, descrittadall’hamiltoniana

H(t) = HJC + Hkick = H0 + Hint + Hkick. (3.62)

ove si e posto H0 = Hosc + H2L = ~ω (σ†σ + a†a), e Hint = Hint,JC.Il corrispondente operatore di evoluzione temporale, per l’intervallo (0,T ), e

U(T ) = e−i~

∫ T

0 H(t) dt. (3.63)

Nel caso di operatori, per poter scrivere l’esponenziale di una somma come ilprodotto degli esponenziali

eA+B = eA eB (3.64)

occorre che gli operatori commutino: [A,B] = 0.Nel nostro caso risulta

[H0,Hint] = 0 (3.65a)

[H0,σ3] = 0 (3.65b)

[Hint,σ3] = 2Hintσ3 =

= −2~ω(σ†a + σa

†) 6= 0 (3.65c)

ovvero, piu semplicemente

Hint,σ3 = 0.

Allora per agevolare il calcolo della (3.63) suddividiamo l’intervallo di evoluzione(0, T ) in tre sottointervalli (0, τ−), (τ−, τ+) e (τ+, T ) in modo tale che in ciascunsottointervallo gli operatori di evoluzione che effettivamente agiscono sul sistemacommutino tra loro, infatti

e quindi

e−iπσσ†

= e−iπ

0 0

0 1

=

(1 00 e−iπ

)=

(1 00 −1

)= σ3 (3.59)

ove si e tralasciato il fattore 1/2 che nella (D.19c) avevamo usato nella definizione della matrici diPauli.

7Si osservi che Ukick (ovvero la sua estensione) agisce solo sullo stato del sistema a 2 livelli,lasciando inalterato l’oscillatore armonico.

89

3 – La decoerenza

nell’intervallo (0, τ−) agiscono solo H0 e Hint che commutano, tra di loro;

nell’intervallo (τ−, τ+), data la natura impulsiva di Hkick, possiamo trascurare glialtri due contributi;

nell’intervallo (τ+, T ) agiscono nuovamente solo H0 e Hint che commutano, tra diloro.

Avremo allora

U(T ) = U(τ+,T ) U(τ−, τ+) U(0,τ−)

= e−i~(H0+Hint)(T−τ) e−

i~

∫ τ+

τ− Hkick(t) dt e−i~(H0+Hint)τ

= e−i~(H0+Hint)(T−τ) σ3 e−

i~(H0+Hint)τ . (3.66)

Tenuto conto poi del fatto che H0 commuta sia con Hint che con σ3, possiamoraggruppare l’azione di H0

U(T ) = e−i~Hint(T−τ) σ3 e−

i~Hintτ e−

i~H0T . (3.67)

Inoltre risulta

e−i~Hintt σ3 = σ3 e

i~Hintt. (3.68)

Osserviamo infatti che

Hint |n+ 1, g〉 = ~g(aσ† + a†σ) |n+ 1, g〉

= ~g√n+ 1 |n〉 ⊗ |e〉 = ~g

√n+ 1 |n, e〉 (3.69a)

avendo omesso per semplicita il pedice JC nell’hamiltoniana di interazione, ed invertito l’ordinedegli operatori, visto che, operando su spazi differenti, commutano. Analogamente

Hint |n, e〉 = ~g(aσ† + a†σ) |n, e〉

= ~g√n+ 1 |n+ 1〉 ⊗ |g〉 = ~g

√n+ 1 |n+ 1, g〉 . (3.69b)

Ne consegue che i vettori

|ϕ+〉 = (|n, e〉+ |n+ 1, g〉) /√

2 (3.70a)

|ϕ−〉 = (|n, e〉 − |n+ 1, g〉) /√

2 (3.70b)

risultano autovettori di Hint, con autovalori Ω± = ±Ω = ±~g√n+ 1. Possiamo pertanto assumerli

come base in cui calcolare l’esponenziale, che risulta

e−i

~Hintt = e−Ωt |ϕ+〉〈ϕ+|+ eΩt |ϕ−〉〈ϕ−| (3.71)

90


e quindi poiche

e∓Ωt |ϕ±〉〈ϕ±| σ3 =e∓Ωt

√2

(|n, e〉 ± |n+ 1, g〉) (〈n, e| ± 〈n+ 1, g|) σ3

=e∓Ωt

√2

(|n, e〉 ± |n+ 1, g〉) (〈n, e| ± 〈n+ 1, g|) (|e〉〈e| − |g〉〈g|)

=e∓Ωt

√2

(|n, e〉 ± |n+ 1, g〉) (〈n, e| ∓ 〈n+ 1, g|)

= e∓Ωt |ϕ±〉〈ϕ∓| (3.72)

si ha

e−i

~Hintt σ3 =

(e−Ωt |ϕ+〉〈ϕ+|+ eΩt |ϕ−〉〈ϕ−|

)σ3

= e−Ωt |ϕ+〉〈ϕ−|+ eΩt |ϕ−〉〈ϕ+|= σ3

(e−Ωt |ϕ−〉〈ϕ−|+ eΩt |ϕ+〉〈ϕ+|

)

= σ3 ei

~Hintt (3.73)

ove, si e tenuto conto che analogamente alla (3.72), si ha

σ3 |ϕ±〉〈ϕ±| = |ϕ∓〉〈ϕ±| . (3.74)

Tenuto conto della (3.68), l’operatore di evoluzione temporale vale in definitiva

U(T ) = σ3 ei~Hint(T−2τ) e−

i~H0T

= σ3 e−i~(H0+ 2τ−T

THint)T (3.75)

il che equivale ad un’evoluzione di tipo Jaynes-Cummings con una costante diaccoppiamento efficace

geff =2τ − TT

g. (3.76)

Per τ = T2

si ha geff = 0 e quindi, a meno di uno sfasamento, lo stato finale e ugualea quello iniziale8.

Applicazione alle cavita QED

Consideriamo ora una cavita quanto-elettrodinamica (QED): si tratta di un sistemacomposto da un atomo confinato opportunamente in una regione di spazio di dimen-sioni comparabili con la lunghezza d’onda associata all’atomo. In una tale situazionel’atomo oltre al normale accoppiamento con i modi continui del campo elettrico (concui si accoppierebbe l’atomo nello spazio libero) e fortemente accoppiato con i modidel campo nella cavita.

8In particolare sono le stesse le probabilita di trovare il sistema a due livelli in uno dei due stati|e〉 o |g〉 .

91

3 – La decoerenza

Nel nostro caso possiamo usare l’atomo come una sonda per indagare il campoelettromagnetico all’interno della cavita.

L’interazione tra l’atomo e la radiazione all’interno della cavita sara descrittamediante il modello di Jaynes-Cummings, mentre lo sfasamento (Hkick) puo essererealizzato mediante un laser che accoppi in maniera quasi-risonante lo stato di riposodell’atomo |g〉 con un terzo stato atomico, realizzando cosı un rapido impulso di2π.

Possiamo usare in particolare lo schema proposto da Morigi e al. per misura-re il decadimento del campo nella cavita dovuto all’accoppiamento con un bagnomarkoviano allo zero assoluto.

L’equazione di evoluzione temporale dello stato del sistema composto atomo-ra-diazione della cavita, descritto mediante la matrice densita ρ(t), puo essere postanella forma

ρ = Lρ (3.77)

con L l’operatore di Liouville, definito dall’equazione

Lρ = − i

~[H, ρ] + κ

(aρa† − 1

2a†aρ− 1

2ρa†a

)(3.78)

essendo κ e il tasso di decadimento del campo9.La soluzione della (3.77) dopo un intervallo di tempo T , tenuto conto di quanto

osservato in precedenza a proposito della (3.66), puo essere espressa formalmentecome

ρ(T ) = eL(T−τ)K eLτ ρ(0) (3.79)

oveKρ = σ3ρσ3

esprime l’effetto dello sfasamento (che avviene all’istante τ).Tenendo presente che il sistema a noi direttamente accessibile e l’atomo, dobbia-

mo trascurare lo stato del campo, ovvero calcolare la matrice densita ridotta

ρr(t) = Troscρ(t). (3.80)

Gli elementi di ρr(T ) ci daranno le probabilita di transizione tra i vari statidovute all’interazione con il campo.

Assumiamo ora che l’atomo sia inizialmente nello stato |g〉, e calcoliamo la pro-babilita di trovarlo in tale stato dopo l’interazione. L’operatore densita iniziale eallora

ρ(0) = |g〉〈g| ⊗∑

n,m

ρnm |n〉〈m| (3.81)

9La forma particolare della parte non unitaria di L (analoga a quella che figura nella masterequation di un oscillatore armonico smorzato) e stata scelta essenzialmente per convenienza dicalcolo. Il procedimento tuttavia e valido anche per altre scelte.

92


e quindiPg = [ρr(T )]22 = 〈g| ρr(T ) |g〉 . (3.82)

La probabilita che l’atomo inizialmente nello stato iniziale |g〉, emerga dalla cavi-ta sempre nello stato |g〉, nel caso di un campo con un solo fotone (ovvero l’oscillatorenello stato |1〉, e quindi ρ(0) = |g〉〈g| ⊗ |1〉〈1|), vale

Pg = 1− 64g2κ2e−κT/2

(16g2 − κ2)2sin4

(1

8

√16g2 − κ2 T

). (3.83)

Si osservi che per κT 1 l’esponenziale decresce rapidamente, e quindi Pg → 1.Nel caso generale di un atomo inizialmente nello stato iniziale |g〉, ed un campo

in uno stato arbitrario, cui corrisponde l’operatore densita del sistema composto

ρ(0) = |g〉〈g| ⊗∑

n,m

ρnm |n〉〈m| (3.84)

il calcolo di ρ(T ), dato dalla (3.79), va effettuato mediante uno sviluppo perturbativoal primo ordine in κT 1 e κ/g 1.

La probabilita che l’atomo emerga dalla cavita sempre nello stato |g〉, vale:

Pg = 1−∞∑

n=2

ρnn

κT

4(2n− 1) + κ

sin(gT√n)

4g√n

− κsin(gT√n− 1)

4g√n− 1

− κ

4g

[√n(4n− 3) sin(gT

√n) cos(gT

√n− 1) (3.85)

−√n− 1(4n− 1) sin(gT

√n− 1) cos(gT

√n)]

Si osservi che Pg risulta uguale a 1 per ρ(0) = |g〉〈g| ⊗ |1〉〈1|, in quanto l’approssi-mazione al primo ordine e insufficiente: in questo caso occorre usare la (3.83).

Conclusioni

Concludiamo osservando come lo schema visto, oltre a permetterci una misura delladinamica di decoerenza dell’atomo e del campo nella cavita, permette una misu-ra delle deviazioni dalla dinamica di Jaynes-Cummings (3.55) che abbiamo assuntogovernare l’interazione atomo-radiazione (in particolare le deviazioni dall’approssi-mazione di onda rotante).

93

3 – La decoerenza

94

Appendici

Appendice A

La probabilita classica

Il concetto intuitivo di probabilita costituisce la formalizzazione della frequenza re-lativa con la quale si manifestano certi risultati ripetendo un numero elevato di volteun esperimento casuale.

Per quanto siano stati fatti dei tentativi di costruire una teoria che fornisca delleregole per poter calcolare le probabilita di alcuni eventi casuali a partire da altribasata direttamente sulle frequenze relative, la soluzione piu elegante e la formaliz-zazione assiomatica proposta da Kolmogorov, che assume che a determinati eventisiano associati dei numeri compresi tra 0 e 1, che vengono chiamati probabilita.

Tale teoria prescinde dall’interpretazione della probabilita come frequenza rela-tiva, ma tuttavia tale interpretazione resta essenziale ai fini applicativi.

Senza voler essere esaustivi, vediamo pertanto i principi fondamentali della teo-ria delle probabilita classica (kolmogoroviana), in modo da poterla confrontare conquella quantistica.

A.1 Lo spazio delle probabilita

Sia U un insieme i cui elementi sono i possibili risultati degli esperimenti: chiame-remo U spazio campione, e i suoi elementi u ∈ U , punti campione.

Sia poi B una famiglia di sottoinsiemi di U tale che

I. U e un elemento di B;

II. se A e B appartengono a B allora vi appartengono anche gli insiemi A ∪B,A ∩B, A, B (se B soddisfa tali proprieta si parla di campo di eventi)1;

1Abbiamo indicato con A∪B l’unione dei due insiemi A e B, A∩B la loro intersezione, A, B icomplementi rispetto allo spazio campione U , le cui definizioni sono quelle usuali della teoria degliinsiemi.

97

A – La probabilita classica

III. (additivita numerabile) se A1, A2, . . . ,An, . . . sono elementi di B anche⋃nAn

e⋂nAn lo sono.

Se B soddisfa tutte e tre queste proprieta si parla di campo boreliano di eventi oanche σ-algebra di eventi su U , e gli elementi della famiglia B si diranno eventicasuali.

Un esempio di σ-algebra su U e l’insieme delle parti di U , ovvero la famiglia ditutti i sottoinsiemi di U .

Chiameremo eventi elementari gli eventi casuali Ei ∈ B che non sono scomponi-bili nell’unione di altri due eventi (non vuoti): formalmente @A,B ∈ B − ∅,Ei taliche Ei = A ∪B.

Si osservi, tuttavia, che gli eventi elementari non contengono necessariamente unsolo punto campione (anzi, gli insiemi con un solo punto campione potrebbero nonappartenere alla σ-algebra).

Assioma A.1.1 (Probabilita). Ad ogni evento casuale A e associato un numeronon negativo P (A) detto probabilita dell’evento A:

P (A) ≥ 0. (A.1)

Si parla anche di misura di probabilita.

Assioma A.1.2.P (U) = 1 (A.2)

Pertanto diremo anche che U rappresenta l’evento certo.

Assioma A.1.3 (della somma, o σ-additivita). Se gli eventi A1, A2, . . . ,An, . . .sono eventi incompatibili a due a due (cioe Ai ∩ Aj = ∅ per i 6= j), allora

P (A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An ∪ . . .) = P (A1) + P (A2) + . . .+ P (An) + . . . (A.3)

ovvero piu sinteticamente

P( ∞⋃

i=1

Ai

)=

∞∑

i=1

P (Ai) .

Definizione A.1.4 (Spazio di Probabilita). Dato uno spazio campione U , unaσ-algebra su di esso e una probabilita P (·), diremo spazio di probabilita la terna(U,B,P (·)).

Nel caso di uno spazio di probabilita costruito su uno spazio campione con unnumero finito N di punti campione “equiprobabili2” si dimostra che una “buona”

2Sui punti campione non e definita formalmente una misura di probabilita: ci riferiamo qui aduna nozione intuitiva, per giustificare l’assegnazione di probabilita che stiamo per fare.

98

A.1– Lo spazio delle probabilita

Figura A.1.

assegnazione di probabilita di un evento A e data dal numero di punti campione nAappartenenti all’evento, diviso il numero totale N di punti campione:

P (A) =nAN. (A.4)

Usando gli assiomi si dimostrano alcune notevoli proprieta:

P (∅) = 0 (A.5)

e per ∀A ∈ B

0 ≤ P (A) ≤ 1 (A.6)

P(A)

= 1− P (A) . (A.7)

Particolarmente importante e il seguente teorema:

Teorema A.1.1 (Regola della somma delle probabilita). Siano A, B dueeventi, allora:

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) (A.8)

Dimostrazione. Si considerino (figura A.1) le identita A1 = A−A∩B, B1 = B−A∩Bed infine A∪B = A1∪B1∪(A∩B). Poiche questi ultimi tre eventi (cioe A1, B1, A∩B) sono a due a due incompatibili, in virtu dell’assioma A.1.3 si ha la tesi.

Si osservi che questo teorema esprime una relazione tra grandezze note, in quantotutti e quattro gli eventi A,B,A ∪ B,A ∩ B sono eventi del campo di Borel B, equindi per ognuno di essi e assegnata, secondo l’assioma A.1.1, una probabilita.

Tuttavia e interessante il caso in cui si assegnano esplicitamente le probabilitasolo per una opportuna famiglia di sottoinsiemi dello spazio campione U , e si usa ilteorema precedente per calcolare le altre. Ancora una volto resta pero da verificare sel’assegnazione iniziale definisca correttamente una probabilita su tutta la σ-algebrache interessa.

99


Figura A.2. Rappresentazione insiemistica degli eventi utilizzati per la definizionedella probabilita condizionata.

Probabilita congiunta

E usuale chiamare congiunto l’evento dato dall’intersezione di due eventi (A ∩ B),corrispondente al verificarsi contemporaneo dei due eventi A e B, e si dice probabilitacongiunta la probabilia dell’evento congiunto P (A ∩B).

Si osservi che risulta

A ∪B = B ∪ A ⇒ P (A ∪B) = P (B ∪ A) (A.9a)

A ∩B = B ∩ A ⇒ P (A ∩B) = P (B ∩ A) (A.9b)

Per quanto ci riguarda considereremo la probabilita congiunta come un semplicemodo per identificare quelle probabilita che si riferiscono all’intersezione di eventi.

A.2 La probabilita condizionata

Definizione A.2.1 (Probabilita condizionata). Dato uno spazio di probabilita(U,B,P (·)), siano A e B due eventi, con P (B) 6= 0. Definiamo allora la probabilitacondizionata di A rispetto a B (ovvero la probabilita di A condizionata a B) e laindicheremo con la notazione P (A|B), come

P (A|B) ,P (A ∩B)

P (B). (A.10)

La probabilita condizionata di A rispetto a B indica (figura A.2) la probabilitache si verifichi A, noto che si e verificato (o piu semplicemente, “dato”) B, ossiaconsiderando B come nuovo spazio campione.

Possiamo illustrare ulteriormente la definizione di probabilita condizionata considerando ladefinizione di probabilita in termini di frequenze relative.

100

A.2– La probabilita condizionata

Sia

P (A) =NA

N

conNA le occorrenze dell’evento A edN il numero totale di volte che un esperimento viene ripetuto;analogamente per B.

Risulta inoltre

P (A ∩B) =NA∩B

N.

Se ora consideriamo B come evento universale, allora per la probabilita di A condizionatarispetto a B e ragionevole porre

P (A|B) =NA∩B

NB

=NA∩B

N

N

NB

=P (A ∩B)

P (B).

Ovviamente se P (A) 6= 0 possiamo definire la probabilita condizionata di Brispetto ad A come

P (B|A) ,P (A ∩B)

P (A). (A.11)

Una volta fissato l’evento condizionante B, la probabilita condizionata defini-sce un nuovo spazio di probabilita, in quanto A′ = A|B costituisce un evento chenon appartiene al campo di Borel B: infatti esso e l’evento A ∩ B, consideratoin relazione allo spazio campione U ′ = B. Per cui, definito su U ′ un campo bo-reliano B′, P ′( ·) = P ( ·|B) permette di definire un nuovo spazio di probabilita(U ′,B′,P ′(·)) : la probabilita condizionata (rispetto ad un dato evento B) cosı definitae una probabilita, nel senso che soddisfa gli assiomi della probabilita.

Occorre verificare che essa soddisfi gli assiomi della probabilita.Per il primo assioma abbiamo

P ′(U ′) = P (B|B) =P (B ∩B)

P (B)= 1. (A.12)

Il secondo poi segue subito dalla non negativita di P (B) e P (A ∩B), qualunque sia A:

P ′(A′) ≥ 0 (A.13)

Infine per il terzo sull’additivita, limitandoci per semplicita a due soli eventi A′1,A

′2, con A′

1 ∩A′

2 = ∅, (ossia (A1 ∩B) ∩ (A2 ∩B) = ∅ ) abbiamo

P ′(A′1 ∪A′

2) = P (A1 ∪A2|B) =

=P ((A1 ∪A2) ∩B)

P (B)=

=P ((A1 ∩B) ∪ (A2 ∩B))

P (B)=

=P (A1 ∩B) + P (A2 ∩B)

P (B)=

=P (A1 ∩B)

P (B)+P (A2 ∩B)

P (B)=

101


Figura A.3.

= P (A1|B) + P (A2|B) =

= P ′(A′1) + P ′(A′

2). (A.14)

Poniamoci ora il problema di confrontare e mettere in relazione ad esempio inumeri P (A) e P (A|B): nell’ambito della teoria kolmogoroviana cio puo esserefatto senza problemi, in quanto dato lo spazio di probabilita (U,B,P (·)), quellodefinito dalle probabilita condizionate (U ′,B′,P ′(·)) risulta ben definito.

Ovviamente visto il ruolo simmetrico dei due eventi A e B, definiamo anche laprobabilita di B dato A

P (B|A) ,P (A ∩B)

P (A)(A.15)

con P (A) > 0.

Tra le probabilita cosı definite valgono, in particolare, le seguenti relazioni:

Teorema A.2.1 (formula di Bayes). Dati lo spazio (U,B,P (·)) e due eventi A,B,risulta

P (A|B) =P (B|A)P (A)

P (B). (A.16)

Dimostrazione. Dalla definizione (A.10) di probabilita condizionate segue che

P (A ∩B) = P (A|B)P (B) = P (B|A)P (A) (A.17)

e dall’ultima uguaglianza segue subito la tesi.

Teorema A.2.2 (della probabilita composta). Siano A,B,X ∈ B degli eventicasuali, e sia A ∩B = ∅, X ⊆ A ∪B. Allora

P (X) = P (X|A)P (A) + P (X|B)P (B) (A.18)

102

A.3– Prodotto cartesiano di spazi campione

Dimostrazione. La tesi segue facilmente dalla definizione di probabilita condizionatae dal fatto che la probabilita dell’unione di due eventi disgiunti e la somma delleprobabilita dei due eventi: abbiamo infatti che

X = (X ∩ A) ∪ (X ∩B), (X ∩ A) ∩ (X ∩B) = ∅ (A.19)

e quindiP (X) = P (X ∩ A) + P (X ∩B) (A.20)

ed essendo

P (X|A) =P (X ∩ A)

P (A), P (X|B) =

P (X ∩B)

P (B)(A.21)

segueP (X) = P (A)P (X|A) + P (B)P (X|B) . (A.22)

Teorema A.2.3 (di Bayes della probabilita a posteriori). Sia A1, . . . ,AN unapartizione di U (ovvero

⋃Nj=1 = U , con Aj ∩ Ak = ∅ per j 6= k). Allora risulta

P (Ai|X) =P (Ai)P (X|Ai)∑Nj=1 P (Aj)P (X|Aj)

(A.23)

Dimostrazione. Dalla formula di Bayes otteniamo

P (Ai|X) =P (Ai)P (X|Ai)

P (X). (A.24)

Essendo poi A1, . . . ,AN una partizione di U , allora X =⋃Nj=1X∩Aj, e (X∩Aj)∩

(X ∩ Ak) = ∅ per j 6= k, possiamo applicare il teorema della probabilita compostaper calcolare P (X):

P (X) =N∑

j=1

P (Aj)P (X|Aj) (A.25)

che sostituito nella (A.24) porge la (A.23).

A.3 Prodotto cartesiano di spazi campione

Dati due spazi campione U1, U2, sia U = U1 × U2 lo spazio campione ottenuto dalprodotto cartesiano di U1 e U2, cioe lo spazio i cui elementi sono u = (u1, u2), conu1 ∈ U1 e u2 ∈ U2.

103


Se E1 ⊂ U1 ed E2 ⊂ U2, allora possiamo considerare E = E1 ×E2 costituito daipunti (u1, u2) con u1 ∈ E1, e u2 ∈ E2.

Chiameremo Ei la proiezione di E su Ui, mentre diremo Ui spazi campionimarginali (o componenti) di U.

Si osservi che risultaE1 × ∅ = ∅ × E2 = ∅. (A.26)

AncoraE1 × E2 = (E1 × U2) ∩ (U1 × E2) (A.27)

Consideriamo ora i due spazi di probabilita marginali (Ui,Bi,Pi(·)), con i = 1,2,associati ai due spazi campione. Sia B un campo di Borel su U . Assegnamo allorauna probabilita su B ponendo

P (E) = P1(E1) · P2(E2) ∀E = E1 × E2, Ei ∈ Bi. (A.28)

Tale definizione non risulta definita su tutto B, ma solo sugli eventi del tipo E =E1×E2. Si dimostra, tuttavia, che essa puo essere estesa, e in maniera unica, a tuttoB.

Si dimostra inoltre che questa e una buona definizione di probabilita, nel sensoche soddisfa gli assiomi della probabilita.

Tuttavia, occorre osservare che tale definizione non e la sola possibile in B: sevale la (A.28) diremo che i due spazi di probabilita componenti sono statisticamenteindipendenti.

A.4 Indipendenza statistica

Vediamo piu in dettaglio la nozione di indipendenza statistica3.

Definizione A.4.1 (Eventi indipendenti). Dati due eventi A,B ∈ B diremo cheessi sono statisticamente indipendenti se

P (A ∩B) = P (A)P (B) . (A.29)

Possiamo interpretare questa definizione osservando che, in base alle definizionidi probabilita condizionate, risulta

P (A|B) = P (A) , P (B|A) = P (B) (A.30)

dalla quale e chiaro che per eventi indipendenti il verificarsi di uno dei due non alterala probabilita che si verifichi l’altro.

Tuttavia le definizioni di probabilita condizionate richiedono che P (A) 6= 0, eP (B) 6= 0, ed e percio che la definizione (A.29) e piu generale della (A.30).

3Sebbene abbiamo introdotto tale nozione a proposito della probabilita definita nel prodottocartesiano di spazi campione, essa, come vedremo, ha portata generale, e pertanto nel seguito ciriferiremo ad un generico spazio di probabilita.

104

Appendice B

Processi stocastici

Per processo stocastico (o casuale) si intende in genere un modello probabilistico diun insieme di forme d’onda.

Con riferimento alle variabili casuali, possiamo dare una definizione piu formaledi processo casuale [12]:

Definizione B.1 (Processo casuale). Data una variabile casuale α che puo as-sumere i valori a, e una funzione complessa x(t; a) della variabile reale t, ove a e daconsiderarsi come un parametro, chiameremo processo casuale l’insieme di funzionix(t;α) associate ai valori assunti dalla variabile casuale α.

Per a fissato, diremo x(t; a) una realizzazione del processo casuale, mentre fis-sando un particolare istante t0, ξ0 = x(t0;α) altro non e che una variabile casuale.

B.1 Medie temporali

Vediamo come possiamo caratterizzare una generica realizzazione x(t) = x(t; a) diun processo casuale x(t;α).

Definizione B.2 (media temporale). Definiamo la media temporale di una fun-zione f(·) di un segnale x(t) come

< f [x(t)] >, limT→∞

1

T

∫ T/2

−T/2f [x(t)] dt. (B.1)

E facile riconoscere che le medie cosı definite soddisfano le seguenti proprieta:

< x∗(t) > =< x(t) >∗ (B.2a)

< x(t− τ) > =< x(t) > ∀τ (B.2b)

< a1x1(t) + a2x2(t) > = a1 < x1(t) > +a2 < x2(t) > (B.2c)

| < x(t)y∗(t) > |2 ≤ < |x(t)|2 >< |y(t)|2 > (B.2d)

105

B – Processi stocastici

Alcuni importanti medie sono

• il valor medio:

x ≡< x(t) >= limT→∞

1

T

∫ T/2

−T/2x(t)dt (B.3)

• la potenza media:

Px ≡< |x(t)|2 >= limT→∞

1

T

∫ T/2

−T/2|x(t)|2dt (B.4)

• la funzione di autocorrelazione temporale:

Φx(τ) ≡< x(t)x(t+ τ) >= limT→∞

1

T

∫ T/2

−T/2x(t)dt (B.5)

B.2 Medie statistiche

Quanto visto nel paragrafo precedente ci da delle informazioni sulla singola rea-lizzazione del processo casuale, ma, almeno in generale (si vedano dopo i processiergodici), non ci riesce a dire molto sulle proprieta medie delle varie rappresentazionidel processo casuale. A tal fine, pensando ora al tempo come ad un parametro, in-trodurremo una descrizione probabilistica dei processo stocastici, e successivamentedelle medie statistiche, che per una dato istante t ci permetteranno di caratterizzarele varie realizzazioni del processo stocastico.

B.2.1 Densita di probabilita

Si e gia detto che fissato un istante t0 in un processo casuale x(t,ξ) si ottiene unavariabile casuale ξ0 = x(t0,ξ). Introduciamo le seguenti definizioni:

Definizione B.3. Dato un processo casuale reale x(t; ξ) ∈ R, la funzione di distri-buzione cumulativa del primo ordine del processo x(t; ξ) e

Fξ(x; t) , Pξ ≤ x = Px(t) ≤ x. (B.6)

Definizione B.4 (densita di probabilita del primo ordine).

wξ(x,t) ,∂

∂xFξ(x; t). (B.7)

106

B.2– Medie statistiche

Molto spesso, quando non possono sorgere ambiguita, si usera poi la notazionesemplificata w(x,t).

Possiamo poi pensare di estrarre due (o piu) variabili casuali da un processo:

ξ1 = x(t1) ξ2 = x(t2). (B.8)

Definizione B.5. Chiameremo funzione di distribuzione cumulativa del secondoordine del processo x(t) la funzione

Fξ1ξ2(x1,t1;x2,t2) , Pξ1 ≤ x1; ξ2 ≤ x2 = Px(t1) ≤ x1;x(t2) ≤ x2. (B.9)

Definizione B.6 (densita di probabilita del secondo ordine).

wξ1ξ2(x1,t1;x2,t2) ,∂2

∂x1∂x2

Fξ1ξ2(x1,t1;x2,t2) (B.10)

e anche in questo caso la si indichera spesso semplicemente con w(x1,t1;x2,t2).Tralasciamo la generalizzazione a funzioni di distribuzione cumulative e densita

di ordine n, peraltro immediate.

Coppie di processi casuali

Definizione B.7 (Indipendenza statistica). Diremo che due processi casua-li x(t; ξ) e y(t; η) sono statisticamente indipendenti se le densita di probabilitacongiunte della coppia fattorizzano:

wξ,η(x,t; y,τ) = wξ(x,t)wη(y,τ). (B.11)

Si osservi che in questo caso non e corretto scrivere semplicemente w(x,t), vistoche in genere wξ(x,t) 6= wη(x,t).

B.2.2 Medie lineari e quadratiche

Definizione B.8 (Media). Chiameremo media d’insieme (o valore atteso) di unprocesso casuale il momento del primo ordine1

mx(t) ≡ Ex(t; ξ) ≡ Eξ ,

∫ +∞

−∞xwξ(x; t) dx (B.12)

Definizione B.9 (Autocorrelazione).

Cx(t1,t2) , Ex(t1)x∗(t2) (B.13)

1 Coerentemente con l’uso che si fa nella teoria dei processi casuali, si indica qui la mediad’insieme con Ex(t; ξ), mentre, nel resto della tesi, si e usata la notazione semplificata < x >e.

107


Nel caso di processi reali si ha

Cx(t1,t2) =

∫ ∫ +∞

−∞x1x2wξ1ξ2(x1,t1;x2,t2) dx1dx2. (B.14)

Nel caso in cui t1 = t2 = t, la funzione di correlazione appena definita prende ilnome di valor quadratico medio del processo casuale e risulta

Cx(t,t) =

∫ ∫ +∞

−∞x2wξξ(x,t;x,t) dx2. (B.15)

Nel caso di due processi casuali si generalizza la precedente mediante la defini-zione della mutua correlazione

Cxy(t1,t2) , Ex(t1)y∗(t2) =

∫ ∫ +∞

−∞xy wξη(x,t1; y,t2) dxdy (B.16)

che, peraltro, e del tutto analoga alla precedente.

Definizione B.10 (Autocovarianza). Si dice autocovarianza del processo x(t)agli istanti t1 e t2 la media congiunta:

Kx(t1,t2) , E[x(t1)−mx(t1)][x(t2)−mx(t2)]∗. (B.17)

Si verifica facilmente che risulta

Kx(t1,t2) = Cx(t1,t2)−mx(t1)m∗x(t2). (B.18)

Per t1 = t2 = t abbiamo la varianza

σx(t) , Kx(t,t) = Cx(t,t)− |mx(t)|2. (B.19)

Definizione B.11 (Coeficiente di correlazione).

ρx(t1,t2) ,Kx(t1,t2)

σx(t1)σx(t2)=

Kx(t1,t2)√Kx(t1,t1)Kx(t2,t2)

(B.20)

e per un processo casuale a media nulla si ha

ρx(t1,t2)∣∣∣mx=0

=Cx(t1,t2)√

Cx(t1,t1)Cx(t2,t2). (B.21)

Tralasciamo le definizioni esplicite di covarianza mutua tra due processi casuali,e delle grandezze derivate, visto che si tratta di una estensione immediata di quantovisto per un singolo processo casuale.

108

B.2– Medie statistiche

Si osservi tuttavia che se due processi sono statisticamente indipendenti alloraCxy(t1,t2) = mx(t1)m

∗y(t2) e quindi ρxy(t1,t2) = 0. Tuttavia non vale il viceversa:

si pensi ad esempio a y(t) = x2(t), con fξ(x) pari. Questi due processi non sonostatisticamente indipendenti, tuttavia e facile vedere che ρ = 0.

Cio che quindi possiamo dire e che

ρ =

0 processi non correlati,

1 processi correlati linearmente.(B.22)

Tuttavia nel caso di variabili gaussiane si dimostra che la condizione ρ = 0 esufficiente a garantire l’indipendenza statistica.

Osserviamo infine che il significato del termine “correlazione” nella teoria delleprobabilita (e in tutti gli ambiti ad essa connessi, come in questo contesto) noncoincide con quello che ha nel linguaggio abituale.

Si consideri, ad esempio, un insieme U di N particelle di spin 1/2, tutte con spin“in alto”. Sia poi V un insieme sempre di N particelle di spin 1/2, tutte con spin “inbasso”. Possiamo pensare ciascuna particella di U associata ad una di V, e dire chele componenti lungo la direzione verticale dello spin dei due gruppi sono correlate.

U V P (UV ) P (U) P (V )↑U ↓V 1 1 1↑U ↑V 0 1 0↓U ↑V 0 0 0↓U ↓V 0 0 1

Tabella B.1. Eventi possibili e relative probabilita nella scelta di due elementi unodall’insieme U con spin verso l’alto (↑U ), l’altro V costituito tutto da particelle con

spin verso il basso (↓V ).

Tuttavia dal punto di vista probabilistico non si ha alcuna correlazione: le proba-bilita di trovare i quattro possibili risultati [(↑U , ↑V ), (↑U , ↓V ), (↓U , ↑V ), (↓U , ↓V )]sono (tabella B.1) uguali ai prodotti delle probabilita dei singoli casi, per cui glieventi sono statisticamente indipendenti, cioe non correlati.

Si vedano anche gli esempi seguenti.

Segnale determinato. Si consideri una generica funzione f(t): in quanto proces-so determinato (ossia non casuale) f(t) puo essere portato fuori dalle medie. per cuisi ha

mf (t) = f(t) (B.23)

Cf (t1,t2) = f(t1)f(t2) (B.24)

109


e in particolare il coefficiente di correlazione e unitario

ρf (t1,t2) = 1 ∀t1,t2. (B.25)

Lo stesso risultato si ottiene se si considera il coefficiente di correlazione tra dueprocessi determinati f(t) e g(t).

Sinusoide con ampiezza casuale.

x(t) = A sin(2πf0t+ θ) (B.26)

ove f0, θ sono costanti, mentre A e una variabile casuale con valor medio mA edensita di probabilita fA(a).

mx(t) = mA sin(2πf0t+ θ) (B.27)

Cx(t1,t2) = EA sin(2πf0t1 + θ)A sin(2πf0t2 + θ)= EA2 cos[2πf0(t1 − t2)]− cos[2πf0(t1 + t2) + 2θ] (B.28)

Sinusoide con ampiezza e fase casuale.

y(t) = A sin(2πf0t+ θ) (B.29)

ove f0, e una costante come prima, mentre A e θ sono due variabili casuali statisti-camente indipendenti. Per A vale quanto detto sopra, mentre per θ assumiamo chesia uniformemente distribuita nell’intervallo (−π, π).

Tenendo conto dell’indipendenza statistica tra ampiezza e fase si ottiene

my(t) = 0 (B.30)

Cy(t1,t2) =1

2EA2 cos[2πf0(t1 − t2)] = Cy(t1 − t2) (B.31)

Si osservi che il campo elettromagnetico emesso da una sorgente termica, none ancora adeguatamente descritto mediante un processo casuale di questo tipo, inquanto, ad esempio, in una realizzazione di y(t) l’ampiezza e la fase restano costanti,mentre nel campo di cui sopra la fase subisce bruschi cambiamenti in una stessarealizzazione.

110

B.3– Processi stocastici stazionari

Sinusoide con fase processo casuale.

z(t) = A sin(2πf0t+ θ(t)) (B.32)

ove θ(t) e un processo casuale costante a tratti (nel senso che le sue realizzazionisono funzioni costanti a tratti) con valori nell’intervallo (−π,π)

mz(t) = 0 (B.33)

Cz(t1,t2) =1

2Cq(t1,t2) cos[2πf0(t1 − t2)] (B.34)

B.3 Processi stocastici stazionari

Definizione B.12 (processo stazionario). Diremo che un processo stocastico estazionario di ordine n se

w(x1,t1 + τ ;x2,t2 + τ ; . . . ;xn,tn + τ) = w(x1,t1;x2,t2; . . . ;xn,tn). (B.35)

Cioe se la densita di probabilita di ordine n e invariante per traslazioni rigidedella n-pla di variabili casuali estratte dal processo.

E poi evidente che nel caso del primo ordine la condizione di stazionarieta equivalea richiedere che la densita di probabilita del primo ordine sia indipendente dal tempo:w(x,t) = w(x).

Diremo che un processo e stazionario in senso stretto se e stazionario per ogniordine.

Diremo stazionario in senso lato un processo per il quale risultano stazionari lamedia e l’autocorrelazione

mx(t) = mx (B.36a)

Cx(t1,t2) = Cx(t1 − t2). (B.36b)

Tuttavia per quanto un processo stazionario al secondo ordine sia stazionario insenso lato, in generale non vale il viceversa.

B.4 Processi ergodici

Si dicono ergodici quei processi stocastici stazionari per i quali le medie temporali cal-colate su una qualsiasi realizzazione del processo coincidono con le (corrispondenti)medie statistiche, calcolate in un qualsiasi istante t.

111


112

Appendice C

Segnale analitico

Diamo qui dei brevi cenni alla teoria del segnale analitico: per ulteriori dettagli sipuo consultare un testo specifico relativo all’analisi dei segnali come [13, cap. 9] oanche [9, cap. 3], che, pur non essendo un testo specifico, propone un’ottima sintesi,ed e quello a cui ci rifaremo per le convenzioni.

C.1 Segnale analitico: definizione

Introduciamo uno strumento che sara utile nella rappresentazione dei campi quasi-monocromatici.

Sia x(t) una funzione reale a quadrato integrabile, allora si definisce segnaleanalitico associato a x(t) la funzione complessa

x(t) , F−1u(f)X(f) (C.1)

ove u(f) indica il gradino unitario, e

X(f) ≡ Fx(t) ,

∫ +∞

−∞x(t)ei2πftdt (C.2)

la trasformata di Fourier1 di x(t).Proprio per il fatto di considerare solo le frequenze positive, si usa anche la

notazionex+(t) ≡ x(t). (C.3)

Ricordando poi che

F−1u(f) =1

2δ(t)− i

1

2πt(C.4)

1Si e scelta la convenzione di segno di Mandel e Wolf [9], opposta a quella di [13]. Si puocomunque passare facilmente dall’una all’altra con la posizione i = −j. I segni di alcuni risultatisaranno affetti quindi da tale scelta.

113

C – Segnale analitico

Figura C.1. Relazione tra lo spettro di un segnale e quello del segnale analiticoad esso associato.

allora si dimostra che possiamo scrivere la (C.1) come

x(t) =1

2x(t)− i

1

2π

∫ +∞

−∞

x(θ)

t− θ dθ (C.5)

e in particolare

x(t) = 2Rex(t) = x(t) + [x(t)]∗. (C.6)

Segnale analitico di un segnale sinusoidale

Sia

x(t) = A cos(2πf0t− φ) (C.7a)

usando la formula di Eulero, e ricordando che Fe−i2πf0t = δ(f − f0), si ottienefacilmente che

x(t) =1

2Aeiφe−i2πf0t. (C.7b)

Segnale analitico di un segnale modulato in ampiezza

Sia ora

y(t) = As(t) cos(2πf0t− φ) (C.8a)

114

C.2– Segnali quasi-monocromatici ed inviluppo complesso

allora con semplici calcoli si ottiene

y(t) =1

2Aeiφ s(t) e−i2πf0t (C.8b)

= s(t)x(t). (C.8c)

Tale risultato vale piu generale per il prodotto di sue funzioni

y(t) = s(t)z(t) ⇒ y(t) = s(t)z(t) (C.9)

purche s(t) sia a banda strettamente limitata (ossia S(f) = 0 ∀f : |f | > fmax), ez(t) sia un segnale passabanda spettralmente separato da s(t) (ovvero le rispettivebande non si intersecano: Bs

⋂Bz = ∅).

C.2 Segnali quasi-monocromatici ed inviluppo com-

plesso

Consideriamo ora dei segnali a banda stretta, ovvero la cui trasformata di Fouriersia nulla al di fuori di una banda (precisamente sia diversa da zero solo per |f | ∈B = (f1,f2) , con l’origine non appartenete alla banda B).

Supponiamo poi che fissata una frequenza f0 ∈ B risulti

f2 − f1

f0

1 (C.10)

e in tal caso diremo che il segnale in questione e quasi-monocromatico.Possiamo pensare allora X(f) come

X(f) ≈ X0(f − f0) +X0(f + f0). (C.11)

e tenuto conto delle proprieta della convoluzione, un tale segnale puo essere pensatocome un segnale in banda base (per il quale cioe lo spettro e concentrato in un’in-tervallo contenente l’origine delle frequenze) detto inviluppo complesso modulato dauna portante alla frequenza f0

X(f) ≈ X0(f) ∗ [δ(f − f0) + δ(f − f0)]. (C.12)

In generale tuttavia le relazioni precedenti sono valide solo approssimativamente,visto che la trasformata di Fourier di un segnale reale deve avere solo una simmetriarispetto all’origine (dovuta alla relazione X(−f) = X∗(f)), e non una simmetria ditraslazione (si veda anche la figura C.1).

115


Figura C.2. Inviluppo istantaneo A(t) di un segnale quasi-monocromatico.

Per ottenere una relazione esatta, particolarmente significativa, introduciamo lafunzione

X(f − f0) , u(f)X(f) (C.13)

e l’antitrasformata x(t) = F−1X(f) e detta inviluppo complesso di x(t). Percomprenderne il significato si osservi che risulta allora

x(t) = F−1X(f − f0) = x(t)e−i2πf0t (C.14)

e quindi possiamo scrivere

x(t) = A(t) cos[2πf0t− ϕ(t)] (C.15)

ove A(t) = 2|x(t)| = 2|x(t)| e l’inviluppo istantaneo di x(t), e ϕ(t) = ]x(t) la suafase istantanea (figura C.2).

Inoltre le ipotesi sulla banda del segnale (in particolare la condizione di quasi-monocromaticita) ci assicurano che l’inviluppo istantaneo A(t) e la fase istantaneaϕ(t) varino molto piu lentamente della portante a frequenza f0. Anzi si puo dimo-strare [9] che tra tutti i possibili inviluppi definibili mediante trasformazioni linearidel segnale reale, quello definito mediante il segnale analitico, in un senso ben preciso,e quello che varia piu lentamente.

In definitiva possiamo dire che un segnale quasi-monocromatico puo essere rap-presentato nella forma

x(t) = A(t) cos[2πf0t− ϕ(t)] (C.16a)

cui sono associati l’inviluppo complesso

x(t) = 2A(t)eiϕ(t) (C.16b)

di cui abbiamo visto l’interpretazione, e il segnale analitico

x(t) = 2A(t)eiϕ(t) e−i2pif0t. (C.16c)

116

C.3– Funzione di correlazione di segnali reali e dei corrispondenti segnali analitici

C.3 Funzione di correlazione di segnali reali e dei

corrispondenti segnali analitici

Ricordiamo alcune proprieta (per la cui dimostrazione di veda [9, §3.1.3]) relativealla statistica di un processo casuale, e dei corrispondenti segnali analitici e inviluppicomplessi.

Consideriamo un processo casuale (reale) x(t) stazionario in senso lato. Sia x(t)il corrispondente segnale analitico2; si ottiene facilmente che

< x(t) >= 0 ⇔ < x(t) >= 0. (C.17)

Inoltre anche x(t) risulta stazionario in senso lato.Presi poi due processi stazionari in senso lato x1(t), x2(t), per le funzioni di

correlazione si ha,

< x1(t)x2(t+ τ) >= 2Re< x∗1(t)x2(t+ τ) > (C.18)

ovvero, usando le notazioni

G(1)x1x2

(τ) =< x∗1(t)x2(t+ τ) > (C.19a)

G(1)x1x2

(τ) =< x1(t)x2(t+ τ) > (C.19b)

si haG(1)x1x2

(τ) = 2ReG(1)x1x2

(τ). (C.20)

Possiamo anche dire di piu, e cioe che G(1)x1x2

(τ) risulta l’inviluppo complesso di

G(1)x1x2(τ)

G(1)x1x2

(τ) = G(1)x1x2

(τ) (C.21)

e la (C.18) altro non e che una espressione della (C.6).Per un singolo processo casuale, x(t) abbiamo che

G(1)x (τ) = 2ReG(1)

x (τ). (C.22)

Nel caso di un processo quasi-monocromatico, poi, anche G(1)x (τ) e quasi-monocro-

matica, e quindi il suo inviluppo istantaneo sara dato da 2|G(1)x (τ)| come mostrato

nella figura C.3.L’utilizzo del segnale analitico ci permette pertanto di eliminare la parte for-

temente variabile legata alla portante sinusoidale, e concentrarci sulle correlazioni

2In generale una realizzazione di un processo casuale non e necessariamente ad energia finita,ovvero a quadrato integrabile. La definizione di segnale analitico va allora estesa opportunamentenel campo delle funzioni generalizzate (distribuzioni). Tralasceremo nel seguito questi dettaglimatematici.

117


Figura C.3. Rappresentazione grafica della relazione tra la funzione di correlazio-

ne G(1)x (τ) =< x(t)x(t + τ) > di un segnale reale quasi-monocromatico e modulo

della funzione di correlazione G(1)x (τ) =< x∗(t)x(t + τ) > del segnale analitico

associato.

dell’inviluppo. In particolare risulta naturale considerare come tempo di correlazioneτc l’estensione temporale dell’inviluppo istantaneo.

Infine osserviamo che, in maniera analoga al caso di un segnale perfettamente mo-nocromatico, nel calcolo della media del quadrato di un segnale quasi-monocromaticosu un intervallo T pari o superiore al periodo T0 = 1/f0 della portante (ma comun-que, si veda la figura C.2, molto piu piccolo del tempo 1/∆f su cui variano l’invilup-po istantaneo A(t) e lo sfasamento istantaneo ϕ(t), in modo da poterli considerarecostanti) si ottiene

< x2(t) >T=1

2A2(t) = 2|x(t)|2. (C.23)

118

Appendice D

Sistemi a due stati

Consideriamo un generico sistema a due stati S, descritto mediante lo spazio diHilbert bidimensionale Σ.

Siano |e〉 , |g〉 i due stati di base, che supporremo essere gli autostati dell’hamil-toniana H0 del sistema

H0 |e〉 = E+ |e〉 (D.1a)

H0 |g〉 = E− |g〉 (D.1b)

Assumiamo che tali stati siano ortonormali

〈e|e〉 = 〈g|g〉 = 1, 〈e|g〉 = 0 per i,j = e,g (D.2)

pertanto (|e〉 , |g〉) e una base ortonormale di Σ.Se il sistema si trova inizialmente in uno di tali autostati dell’hamiltoniana, allora

restera in tale autostato indefinitivamente (a meno di una variazione di fase, del tuttoirrilevante), e pertanto tali autostati si dicono stati stazionari. I due autovalori E±sono i due livelli energetici corrispondenti.

D.1 Gli effetti di una perturbazione

Supponiamo ora che il sistema interagisca con qualche altro sistema, e che l’hamil-toniana che tiene conto dell’interazione sia

H = H0 + Hint (D.3)

ove Hint e propriamente l’hamiltoniana d’interazione, che assumiamo indipendentedal tempo.

Nella base di autostati (|e〉 , |g〉) di H0 avremo

H0 =

(E+ 00 E−

)Hint =

(W11 W12

W21 W22

)(D.4)

119

D – Sistemi a due stati

con W11,W22 ∈ R e W21 = W ∗12 affinche Hint sia hermitiano.

D.1.1 Effetti statici

In generale, per via della perturbazione, gli stati |e〉, |g〉 non saranno piu autostatidel sistema. Studiare gli effetti della perturbazione (non necessariamente “piccola”)comporta allora calcolare i nuovi livelli energetici del sistema e i nuovi autostaticorrispondenti a tali livelli. In particolare gli stati (|e〉 , |g〉) non saranno piu statistazionari, e vi sara una certa probabilita Pif (t), di transizione da uno all’altro.

L’equazione agli autovalori per la nuova hamiltoniana e

H |φ±〉 = E± |φ±〉 . (D.5)

ove E ′± 6= E±, almeno in generale. Gli autovalori risultano

E ′± =

1

2(E+ +W11 + E− +W22)±

1

2

√(E+ +W11 − E− −W22)2 + 4|W12|2 (D.6)

e gli autovettori

|φ+〉 = cosθ

2e−iχ/2 |e〉+ sin

θ

2eiχ/2 |g〉 (D.7a)

|φ−〉 = sinθ

2e−iχ/2 |e〉+ cos

θ

2eiχ/2 |g〉 (D.7b)

ove

tan θ =2|W12|

E1 +W11 − E2−12

(D.8)

χ = ]W21 ovvero W21 = |W21|eiχ. (D.9)

D.1.2 Effetti dinamici

L’evoluzione di un generico stato

|ψ(t)〉 = a1(t) |e〉+ a2(t) |g〉 (D.10)

e data dall’equazione di Schrodinger

i~d

dt|ψ(t)〉 = (H0 + Hint) |ψ(t)〉 . (D.11)

Proiettando sugli stati |e〉 , |g〉 si ottiene

i~da1(t)

dt= (E+ +W11)a1(t) +W12a2(t)

i~da2(t)

dt= W21a1(t) + (E− +W22)a2(t)

(D.12)

120

D.1– Gli effetti di una perturbazione

la cui soluzione, in virtu delle (D.6) e (D.7a), e immediata e vale

|ψ(t)〉 = c+e−iE′+t/~ |φ+〉+ c−e−iE′

−t/~ |φ−〉 (D.13)

ove i coefficienti c± sono definiti dalle condizioni iniziali

|ψ(0)〉 = c+ |φ+〉+ c− |φ−〉 . (D.14)

Se imponiamo ora che lo stato iniziale sia un autostato dell’hamiltoniana imper-turbata, ad esempio |e〉, otteniamo

|ψ(0)〉 = |e〉 = eiχ/2

[cos

θ

2|φ+〉 − sin

θ

2|φ−〉

](D.15)

e quindi

|ψ(t)〉 = eiχ/2

[cos

θ

2e−iE′

+t/~ |φ+〉 − sinθ

2e−iE′

−t/~ |φ+〉]

(D.16)

e quindi

Pe→g(t) = |〈g|ψ(t)〉|2 =

=1

2sin2 θ

[1− cos

(E ′

+ − E ′−

~t

)]=

= sin2 θ sin2

(E ′

+ − E ′−

2~t

). (D.17)

Pe→g(t) oscilla quindi nel tempo tra 0 e sin2 θ con frequenzaE′

+−E′−

h. Il valore

massimo e sin2 θ, il minimo 0.Se per semplicita assumiamo W11 = W22 = 0, usando le (D.6) e la (D.8) si ottiene

Pe→g(t) =4|W12|2

4|W12|2 + (E+ − E−)2sin2

[√4|W12|2 + (E+ − E−)2

t

2~

](D.18)

nota come formula di Rabi.Se E1 = E2 allora la frequenza di oscillazione vale

E′+−E′

−h

= 2|W12|h

e il valoremassimo di Pe→g(t) e 1: il sistema oscilla tra i due stati |e〉 e |g〉, qualunque siaW12 6= 0 (tuttavia e frequenza di oscillazione e proporzionale all’accoppiamento|W12|).

Il valore di sin2 θ decresce al crescere di E+−E−, mentre la frequenza di oscilla-zione cresce. Nel caso di accoppiamento debole E+ − E− |W12| si ha sin2 θ 1:in questo caso E ′

+ − E ′− ' E+ − E−, e lo stato iniziale |e〉 e quasi-stazionario.

121


D.2 Le matrici di Pauli

Nello studio dei sistemi a due livelli e utile il formalismo usato inizialmente da Pauliper descrivere le particelle con spin 1/2: ne vediamo dei brevi richiami.

Nello spazio degli operatori lineari che operano su Σ, e in generale su spazibidimensionali1, gli operatori

σ1 =1

2(|e〉〈g|+ |g〉〈e|) =

1

2

(0 11 0

)(D.19a)

σ2 =1

2i(|g〉〈e| − |e〉〈g|) =

1

2

(0 −ii 0

)(D.19b)

σ3 =1

2(|e〉〈e| − |g〉〈g|) =

1

2

(1 00 −1

)(D.19c)

1 = |e〉〈e|+ |g〉〈g| =

(1 00 1

)(D.19d)

formano una base, e i primi tre operatori con le loro rappresentazioni nella base(|e〉 , |g〉) sono noti come operatori o matrici di Pauli.

Esplicitamente, dato un generico operatore

M =

(M11 M12

M21 M22

)(D.20)

possiamo esprimerlo come combinazione delle matrici di Pauli e dell’unita comesegue:

M =M11 +M22

21 + (M11 −M22) σ3 + (M12 +M21) σ1 + i(M12 −M21) σ2 (D.21)

che, con una notazione vettoriale, diventa:

M = a01 + a · σ (D.22)

ove a = (a1, a2, a3) e σ = (σ1,σ2,σ3), e i coefficienti ai ∈ C possono essere definitiper semplice confronto con la (D.21).

1E nel corrispondente spazio C2,2 delle matrici 2 × 2 complesse (sul campo complesso C). Inquesto caso la rappresentazione dei vettori di base sara

|e〉 =(

10

)|g〉 =

(01

).

122

D.2– Le matrici di Pauli

D.2.1 Studio degli operatori di Pauli

Osserviamo subito che gli operatori di Pauli sono hermitiani

σi = σ†i i = 1,2,3 (D.23)

Inoltre

σiσ†i = σiσi =

1

41 i = 1,2,3 (D.24)

e ricordando che un operatore U per il quale risulti UU† = U†U = 1 si dice unitario,allora 2σi sono unitari.

Infine le matrici di Pauli definite nella (D.19) hanno la stessa equazione caratte-ristica

λ2 − 1

4= 0 (D.25)

e quindi gli stessi autovalori

λ± = ±1

2. (D.26)

L’operatore σ3

Per quanto riguarda σ3 si ha:

σ3 |e〉 =1

2|e〉 , σ3 |g〉 = −1

2|g〉 (D.27)

gli stessi stati di base sono, cioe, autostati di σ3.

Gli operatori σ1,σ2

Per quanto riguarda gli autovettori, tralasciamo lo studio di quelli di σ1 e σ2, peral-tro molto semplice algebricamente ma di difficile interpretazione da punto di vistafisico. Consideriamo invece l’azione di σ1,σ2 sugli stati di base:

σ1 |e〉 =1

2|g〉 σ1 |g〉 =

1

2|e〉 (D.28a)

σ2 |e〉 =1

2i |g〉 σ2 |g〉 = −1

2i |e〉 (D.28b)

dalle quali si intuisce che tali operatori quando applicati su uno degli stati di basepermettono si ottenere, a meno di una costante moltiplicativa, l’altro.

123


Gli operatori σ±

Introduciamo ora delle opportune combinazioni lineari di σ1,σ2 che troveremoparticolarmente utili. Poniamo

σ+ , σ1 + i σ2 = |e〉〈g| =(

0 01 0

)(D.29a)

σ− , σ1 − i σ2 = |g〉〈e| =(

0 10 0

). (D.29b)

Osserviamo subito che applicando questi operatori agli stati di base |e〉 , |g〉 siha

σ+ |e〉 = 0 σ+ |g〉 = |e〉 (D.30a)

σ− |g〉 = 0 σ− |e〉 = |g〉 . (D.30b)

σ+ permette di passare da |g〉 a |e〉, ma non il viceversa, visto che se applicato a |e〉produce il vettore nullo, privo di alcun significato fisico. Analogamente σ− permettedi passare solo da |e〉 a |g〉.

Si osservi poi cheσ+ = (σ−)† (D.31)

per cui sovente si usa la notazione semplificata σ− ≡ σ, e σ+ ≡ σ†.

L’interpretazione fisica

A questo punto, tenuto conto della (D.27) e delle (D.30), possiamo pensare ai due sta-ti |e〉 , |g〉 come corrispondenti a due livelli energetici ε± (figura D.1) e l’hamiltonianadi un tale sistema sara data da

h = ε+ |e〉〈e|+ ε− |g〉〈g| (D.32)

e cosı facendo infatti risulta

h |e〉 = ε+ |e〉 , h |g〉 = ε− |g〉 . (D.33)

Riferimento delle energie intermedio. Se ora assumiamo come origine delleenergie il valor medio ε0 = (ε+ − ε−)/2, posto ∆ = ε+ − ε−, avremo che

h0 =∆

2|e〉〈e| − ∆

2|g〉〈g| = ∆σ3 (D.34)

ovvero ε± = ±∆2.

Si vede allora come |e〉 corrisponde al livello energetico superiore (con energiaε+ = ∆

2), |g〉 a quello inferiore (con energia ε− = −∆

2), e gli operatori σ± permettono

di incrementare o decrementare2 il livello energetico del sistema (con l’accortezza diannullare lo stato se si va fuori dai limiti consentiti).

124


Figura D.1. Livelli energetici di un sistema a 2 livelli. A sinistra non e specificatolo zero delle energie, mentre a destra si e assunto uno zero al centro dei due livelli.

Riferimento delle energie ad ε−. D’altra parte se assumiamo come riferimentoil livello energetico inferiore, ossia ε− = 0, allora la (D.32) diventa

h− = ∆ |e〉〈e| = ∆σ+σ− (D.35)

e ε+ = ∆.Resta tuttavia immutato il significato fisico dei due stati: si e solo mutato il

riferimento rispetto al quale si misurano le energie.

I proiettori Pe e Pg

Altri due interessanti operatori sono quelli di proiezione

Pe = |e〉〈e| =(

1 00 0

), Pg = |g〉〈g| =

(0 00 1

)(D.36)

e la loro azione sugli stati di base e

Pe |e〉 = |e〉 Pe |g〉 = 0 (D.37a)

Pg |g〉 = |g〉 Pg |e〉 = 0. (D.37b)

2Cio e da intendersi in senso puramente formale, visto che gli operatori σ± non sono hermitiani(ma piuttosto σ+ = σ

†−) e quindi non corrispondono ad una grandezza misurabile, ne tantomeno

sono unitari, e quindi non possono essere assunti come un operatore di evoluzione temporale.Volendo fare un’analogia, si puo pensare agli operatori di creazione e annichilazione per un

sistema fermionico (con una sola particella), in cui |g〉 = |0f 〉 sia lo stato di base senza alcunaparticella, e |e〉 = |1f 〉 sia lo stato con la particella presente.

125


Com’e evidente essi hanno autovalori 0 e 1, ed autovettori gli stessi stati base (esat-tamente per Pe all’autovalore 0 corrisponde l’autostato |g〉, mentre all’autovalore 1corrisponde |e〉, viceversa per Pg).

Nel caso di un generico stato |ψ〉 = α |e〉+ β |g〉 avremo allora:

Pe |ψ〉 = α |e〉 Pg |ψ〉 = β |g〉 . (D.38)

L’interpretazione fisica di tali operatori e ora piuttosto semplice (come peral-tro nel caso di un generico proiettore): la misura del proiettore Pe su un sistema(preparato) nello stato |ψ〉 = α |e〉 + β |g〉 fornira con probabilita |Pe |ψ〉 |2 = |α|2il risultato 1 (corrispondente all’ autostato |e〉), e probabilita |Pg |ψ〉 |2 = |β|2 il ri-sultato 0 (corrispondente all’ autostato |g〉). Il valor medio delle misure sara allora< Pe >= |α|2.

Analogamente per la misura di Pg su un sistema (preparato) sempre nello stato|ψ〉 fornira con probabilita |Pe |ψ〉 |2 = |α|2 il risultato 0 (corrispondente all’ auto-stato |e〉), e probabilita |Pg |ψ〉 |2 = |β|2 il risultato 1 (corrispondente all’ autostato|g〉), e il valor medio delle misure sara sara allora < Pg >= |β|2.

Conclusioni

Oltre ai tre operatori di Pauli (e all’operatore identita) abbiamo introdotto duecoppie di operatori: gli operatori di incremento/decremento del livello energeticoσ± e i proiettori Pe e Pg. Si e visto poi come tali operatori agiscono nei confrontidegli stati di base |e〉 , |g〉, e i risultati sono riassunti nella tabella D.1.

Possiamo ora vedere come questi operatori agiscono su di un generico stato |ψ〉 =α |e〉+ β |g〉:

σ1 |ψ〉 =1

2(α |g〉+ β |e〉) (D.39)

σ2 |ψ〉 =1

2i(α |g〉 − β |e〉) (D.40)

σ3 |ψ〉 =1

2(α |e〉 − β |g〉) (D.41)

Si osservi che mentre tutti questi operatori sono osservabili, e quindi si puo pensaread essi sia come corrispondenti ad una misura.

Si consideri, ad esempio, l’operatore σ3: nella (D.34) si e visto che la stessahamiltoniana del sistema a 2 livelli puo essere espressa (con un opportuno riferimentoper le energie) in termini di σ3:

h0 = ∆σ3 (D.42)

pertanto in questo caso possiamo pensare σ3 come corrispondente alla misura del-l’energia del sistema (in particolare, gli autovalori sono proporzionali ai possibilirisultati di una misura di energia).

126


D’altra parte, visto che 2σ3 risulta unitario, possiamo pensare tale operatorecome l’operatore di evoluzione temporale (per un dato intervallo di tempo) di unqualche sistema3

U = |e〉〈e| − |g〉〈g| = 2σ3. (D.44)

In tal caso, e proprio l’effetto di σ3 sui vettori ad interessarci in quanto le (D.27)esprimono realmente una trasformazione fisica del sistema (piu o meno idealizzata):il sistema evolve con una dinamica che comporta uno sfasamento tra i due stati dibase.

Nel caso di misure sul sistema due casi particolarmente significativi sono quellidegli operatori di proiezione, di cui si e gia detto in precedenza. In questo caso|Pe |ψ〉 |2 = |α|2 (risp. |Pg |ψ〉 |2 = |β|2) e la probabilita di rilevare il sistema nellostato |e〉 (risp. |g〉) nella misura di un qualsiasi osservabile che abbia |±〉 comeautostati (e che quindi ha espressione generale A = a1 |e〉〈e|+ a2 |g〉〈g|).

Infine σ± non sono ne hermitiani ne unitari, e pertanto essi vanno intesi solo comeoperatori ausiliari, privi di un significato fisico diretto. E innegabile, tuttavia, la loroutilita formale: molte osservabili si possono esprimere in termini di tali operatori,ed e pertanto bene tenere presente come essi agiscono su di un generico stato |ψ〉.Si trova facilmente

σ+ |ψ〉 = β |e〉 (D.45)

σ− |ψ〉 = α |g〉 (D.46)

ma come detto prima a queste relazioni non corrisponde nessuna misura, ne unaeventuale evoluzione dinamica del sistema.

D.2.2 Ulteriori proprieta delle matrici di Pauli

Le matrici di Pauli godono di alcune proprieta notevoli, in particolare posto σj =2 σj, risulta

det σj = −1 (D.47)

Tr σj = 0 j=1,2,3 (D.48)

σ2j = 1 (D.49)

σ1σ2 = −σ2σ1 = iσ3 (D.50)

σ1σ2σ3 = 1 (D.51)

3Esplicitamente un tale sistema e uno con hamiltoniana

hkick = ~πσ†3σ3 δ(t− τ) (D.43)

ove τ e l’istante in cui si verifica lo sfasamento.

127


operatore definizione |e〉 |g〉 α |e〉+ β |g〉 note

σ112(|e〉〈g|+ |g〉〈e|) 1

2|g〉 1

2|e〉 1

2(α |g〉+ β |e〉) hermitiano,

2σ1 unitarioσ2

12i(|g〉〈e| − |e〉〈g|) 1

2i |g〉 −1

2i |e〉 1

2i(α |g〉 − β |e〉) hermitiano,

2iσ2 unitarioσ3

12(|e〉〈e| − |g〉〈g|) 1

2|e〉 −1

2|g〉 1

2(α |e〉 − β |g〉) hermitiano,

2σ3 unitario

σ+ |e〉〈g| 0 |e〉 β |e〉 non hermitiano

σ− |g〉〈e| |g〉 0 α |g〉 non hermitiano

Pe |e〉〈e| |e〉 0 α |e〉 hermitiano

Pg |g〉〈g| 0 |g〉 β |g〉 hermitiano

Tabella D.1. Riepilogo dell’azione dei vari operatori sugli stati di base, e su ungenerico stato |ψ〉. Si osservi che per operatori che agiscono su spazi a dimensione

finita, gli operatori osservabili coincidono con quelli hermitiani.

e tutte le altre equazioni analoghe alla (D.50) ottenibili permutando ciclicamente gliindici.

Dalla (D.50) e dalle equazioni analoghe si ottiene poi:

[σ1,σ2] = iσ3 (D.52a)

[σ2,σ3] = iσ1 (D.52b)

[σ3,σ1] = iσ2 (D.52c)

che sono delle proprieta tipiche degli operatori di momento angolare: esse sono ca-ratteristiche degli operatori di Pauli, tanto che a partire dalle (D.52) e possibilederivare tutte le altre proprieta viste prima, studiare lo spettro e ricavare anche le(D.19) che abbiamo usato per definire gli operatori, in maniera peraltro molto ele-gante (non occorre riferirsi ad una specifica rappresentazione, come invece abbiamodovuto fare nelle (D.19)) e generale (ovvero non legata al numero di dimensioni dellospazio).

Viceversa le matrici di Pauli anticommutano:

σ1,σ2 = σ1σ2 + σ2σ1 = 0 (D.53a)

σ1,σ1 = σ2,σ2 =1

21 (D.53b)

e analoghe relazioni valgono permutando gli indici.Dalle definizioni (D.29) si ottiene poi

σ+σ− = |e〉〈e| = Pe (D.54a)

σ−σ+ = |g〉〈g| = Pg (D.54b)

128


e quindi le relazioni di commutazione

[σ+,σ−] = 2 σ3 (D.55)

e quelle di anticommutazione

σ+,σ+ = σ−,σ− = 0 (D.56a)

σ+,σ− = 1 (D.56b)

che ci confermano che gli operatori σ± sono operatori fermionici (si veda quantodetto nella nota 2, a pagina 125).

129


130

Appendice E

Il formalismo dell’operatoredensita

E.1 L’operatore densita

E.1.1 Introduzione

In meccanica quantistica si usano dei vettori per descrivere lo stato di un sistema.Apartire dai vettori di stato il formalismo della meccanica quantistica ci permettedi fare delle previsioni circa i risultati degli esperimenti cui possiamo sottoporre ilnostro sistema.

Tuttavia si puo dare il caso di una conoscenza imprecisa circa lo stato di unsistema: si pone allora la necessita di estendere tale formalismo in modo da potertrattare efficientemente anche tali casi.

Stati puri

Iniziamo con il richiamare alcune definizioni e relazioni note.

Dato un sistema, diciamo che il sistema si trova in uno stato puro se lo statomicroscopico del sistema e perfettamente conosciuto. Un tale sistema viene descrittoda un vettore |ψ〉 appartenete ad uno spazio di Hilbert Σ.

Sia poi (|ϕi〉) una base ortonormale di Σ.La proprieta di “base” ovvero di completezza e espressa dalla relazione (detta di chiu-

sura) ∑

i

|ϕi〉〈ϕi| = 1 (E.1)

ed esprime il fatto che qualsiasi vettore dello spazio Σ e esprimibile come combinazionelineare dei vettori della base.

131

E – Il formalismo dell’operatore densita

La proprieta di ortonormalita e invece espressa da

〈ϕi|ϕj〉 = δij . (E.2)

I vettori della base possono essere scelti tra autostati di un insieme completo di osser-vabili che commutano (in inglese Complete Set of Commuting Observables o brevementeC.S.C.O. e spesso si usa pure la dicitura test massimale o completo in quanto nell’e-sperimento che corrisponde ad un C.S.C.O. il numero di possibili risultati e il massimopossibile).

Si osservi che, dato uno stato puro e possibile effettuare un’opportuna scelta delleosservabili in modo che lo stato puro, sia lui stesso un autostato (basta considerare P =|ψ〉〈ψ| come una delle osservabili) e quindi anche un elemento della base, per cui, inuna tale base tutti i coefficienti della combinazione lineare sono nulli, tranne uno. Intermini operazionistici cio vuol dire che per uno stato puro esiste un test completo per ilquale possiamo predire con certezza (ovvero con probabilita uguale a uno) il risultato cheavremmo se lo effettuassimo sul sistema che si trova in uno stato puro.

Il vettore |ψ〉 e esprimibile allora come combinazione lineare dei vettori della base

|ψ〉 =∑

i

αi |ϕi〉 (E.3)

ove i coefficienti αi sono dati dalle proiezioni del vettore di stato sugli elementi della base:αi = 〈ϕi|ψ〉. Inoltre supporremo spesso in seguito che i vettori di stato siano normalizzati,cioe |〈ψ|ψ〉|2 = 1.

Ricordiamo poi, che se una grandezza fisica A viene misurata su di un sistema (pre-parato) nello stato |ψ〉 la probabilita di ottenere come risultato della misura l’autovalorean della corrispondente osservabile A e data da

P (an) = |〈un|ψ〉|2 = 〈un|ψ〉∗ 〈un|ψ〉 = 〈ψ|un〉〈un|ψ〉 = 〈ψ|Pn |ψ〉 (E.4)

ove |un〉 e l’autovettore (o autostato) normalizzato dell’operatore A corrispondente al-l’autovalore an e Pn ≡ |un〉〈un| e il proiettore sull’autospazio associato all’autovalorean

1.

Il valor medio della misura dell’osservabile A e dato dalla media dei possibili risultati

1Qualora lo spettro di A fosse degenere allora la formula precedente va sostituita con

P (an) =

gn∑

i=1

|〈uin|ψ〉|2

ove gn e il grado di degenerazione dell’autovalore an e ∣∣ui

n

⟩ un insieme ortonormale di autovettori

che forma un base dell’autospazio Σn associato all’autovalore an.

132

E.1– L’operatore densita

pesati secondo le probabilita che si ha di ottenerli, cioe:

< A >|ψ〉 ≡∑

n

P (an) an

=∑

n

an〈ψ|un〉〈un|ψ〉

=∑

n

〈ψ|A |un〉〈un|ψ〉 = 〈ψ|A |ψ〉 (E.5)

=∑

n,m

〈ψ|un〉〈un|A |um〉〈um|ψ〉

=∑

n,m

c∗ncmAnm

ove Anm = 〈un|A |um〉 e l’elemento di matrice di posizione nm della matrice corri-spondente all’operatore A, e cn = 〈un|ψ〉 sono le proiezioni del vettore di stato sugliautostati2.

Infine l’equazione che regola l’evoluzione temporale dello stato per un sistema cheall’istante t0 sia nello stato |ψ(t0)〉, e data da

i~d

dt|ψ(t)〉 = H(t) |ψ(t)〉 (E.6)

ove H(t) e l’hamiltoniana del sistema.

Miscele statistiche

Supponiamo ora di sapere soltanto che il sistema si trovi nello stato |ψi〉 con probabilitapi, con i = 1, . . . , N , e ovviamente

∑i pi = 1. Diremo allora che il sistema si trova in una

miscela statistica degli stati |ψ1〉 , . . . , |ψN 〉 con probabilita p1, . . . , pN .

Poiche la (E.4) ci permette di fare delle previsioni circa i risultati di un esperimento apartire dagli stati |ψi〉,allora per tenere conto del fatto che conosciamo solo la probalilitache il nostro sistema sia in un certo stato basta pesare tali previsioni con le probabilita pi.

Si tenga presente comunque che le probalilita pi sono evidentemente epistemiche, cioedovute ad una nostra ignoranza circa lo stato effettivo del sistema. Ben diversa invecesono le probabilita che ci vengono forniti dalla meccanica quantistica (sebbene sulla precisanatura di queste ultime il dibattito sia tutt’ora piuttosto vivo).

E.1.2 Gli stati puri

Introduciamo una descrizione alternativa per gli stati puri, che ci risultera utile nel casodelle miscele.

2Per le osservabili gli autostati formano una base per cui∑

n |un〉〈un| = 1 e l’espressione delvettore di stato |ψ〉 in tale base risulta |ψ〉 = ∑

n cn |un〉.

133


Definiamo l’operatore densita corrispondente ad un sistema nello statu puro |ψ(t)〉

ρ(t) , |ψ(t)〉〈ψ(t)| . (E.7)

Tale definizione risulta ragionevole se si osserva che nella (E.5) figura il termine

c∗ncm = 〈un|ψ〉∗ 〈um|ψ〉 = 〈um|ψ〉〈ψ|un〉 = 〈um| ρ |un〉

per cui il valor medio di un osservabile sara esprimibile mediante l’operatore densita come

< A >=∑

m,n

〈um| ρ |un〉Anm =∑

m,n

ρmnAnm (E.8)

conviene comunque rielaborare tale espressione per ottenerne una piu compatta; usandola relazione di chiusura per gli autostati si ottiene

< A >=∑

m,n

〈um| ρ |un〉〈un|A |um〉 =∑

m

〈um| ρA |um〉 = Tr ρA (E.9)

ove si e introdotta la traccia di un operatore definita come

Tr A ,∑

n

〈un|A |un〉 =∑

n

Ann (E.10)

essendo Ann gli elementi di matrice diagonali della rappresentazione dell’operatore A nellabase scelta.

Come si vede si riesce a dare una espressione semplice del valor medio di un operatore intermini dell’operatore densita, e questa descrizione evidenzia la dipendenza lineare dallostato, cosa che non era evidente nella (E.5), vista addirittura la presenza del terminequadratico cmc

∗n.

Un ulteriore vantaggio della rappresentazione di uno stato puro mediante l’operatoredensita consiste nel fatto che mentre un vettore di stato e determinato a meno di un fattoredi fase arbitrario (|ψ〉 e eiθ |ψ〉 rappresentano lo stesso stato), l’operatore densita, comesi vede facilmente dalla (E.7) non presenta tale indeterminazione: esso e unico per ognistato3.

Non resta che vedere come calcolare la probabilita P (an) e l’evoluzione temporale peravere tutti gli strumenti per poter utilizzare l’operatore densita al posto dei vettori distato.

3Poiche i vettori di stato erano assunti di norma unitaria, per l’operatore densita relativo alcaso puro risulta

ρ2 = |ψ〉〈ψ| |ψ〉〈ψ| = ρ

eTr ρ =

∑

n

〈un| ρ |un〉 =∑

n

〈un| |ψ〉〈ψ| |un〉 =∑

n

c∗n cn =∑

n

|cn|2 = 1.

Tr ρ2 = Tr ρ = 1

Si tenga presente che queste due proprieta sono valide solo per gli operatori densita associati aduno stato puro, mentre, come vedremo, non sono valide nel caso generale delle miscele statistiche.

134


La probabilita P (an) dalla (E.4) risulta uguale al valor medio del proiettore Pn, edusando la (E.9) si ottiene

P (an) = 〈ψ|Pn |ψ〉 = Tr ρPn. (E.11)

Infine l’equazione di evoluzione temporale si ottiene direttamente calcolando la derivatadell’operatore densita

d

dtρ(t) =

d

dt(|ψ(t)〉〈ψ(t)|) =

d|ψ(t)〉dt

〈ψ(t)|+ |ψ(t)〉 d〈ψ(t)|dt

(E.12)

ed usando la (E.6) e la sua hermitiana coniugata4

d

dtρ(t) =

1

i~H(t) |ψ(t)〉〈ψ(t)|+ |ψ(t)〉 1

−i~ H(t) 〈ψ(t)|

=1

i~(H(t)ρ(t)− H(t)ρ(t)) (E.13)

=1

i~[H(t),ρ(t)]

ovvero

i~d

dtρ(t) = [H(t),ρ(t)]. (E.14)

E.1.3 Le miscele statistiche

Consideriamo ora il caso generale di una miscela statistica.Sia dato un sistema del quale sappiamo che si puo trovare nello stato |ψi〉 con proba-

bilita pi, con i = 1, . . . , N , e∑

i pi = 1.Come gia accennato possiamo calcolare la probabilita P (an) di ottenere un certo ri-

sultato an mediando le probabilita Pi(an) di trovare il risultato an se il sistema fosse nellostato |ψi〉 secondo le probabilita pi che il sistema ha di trovarsi nello stato |ψi〉, per cuiotteniamo

P (an) =∑

i

piPi(an) (E.15)

e ricordando la (E.11) che ora vale Pi(an) = Tr ρiPn, con ρi = |ψi〉〈ψi|, si ha

P (an) =∑

i

piTr ρiPn = Tr

∑

i

piρi Pn

≡ Tr ρPn (E.16)

avendo posto

ρ ,∑

i

piρi. (E.17)

4Basta calcolare l’hermitiano coniugato di ambo i membri della (E.6) che si ottiene

−i~ d

dt〈ψ(t)| = 〈ψ(t)|H(t)

essendo ovviamente H† = H.

135


che costituisce la definizione dell’operatore densita del sistema in considerazione5.

Come nel caso puro, ricaviamo per l’operatore densita le espressioni del valor mediodi un operatore e l’equazione di evoluzione temporale.

Dato una miscela statistica ρ il valor medio di un operatore A risulta

< A >=∑

n

P (an) an =∑

n

Tr ρPn an = Tr ρA

ove si e tenuto conto del fatto che A =∑

n anPn. In sintesi si ha

< A >= Tr ρA . (E.18)

Con A = Pn abbiamo ancora

P (an) = Tr ρPn. (E.19)

Passiamo ora all’evoluzione temporale. Assumiamo ora che, contrariamente allo stato,l’hamiltoniana del sistema H(t) sia perfettamente nota.

Se all’istante iniziale t0 il sistema e descritto dall’operatore densita ρ(t0) (cioe il sistemae nello stato |ψi(t0)〉 con probabilita pi) allora all’istante t il sistema si trovera in unamiscela statistica di stati descritta dall’operatore densita ρ(t), soluzione dell’equazione

i~d

dtρ(t) = [H(t), ρ(t)] (E.20)

generalmente nota come equazione di von Neumann o anche equazione (quantistica) diLiouville.

Per ricavarla basta osservare che per ciascuno degli stati |ψi(t)〉 risulta valida l’equa-zione di evoluzione temporale (E.6) e per il corrispondente operatore densita ρi(t) vale la(E.14) per cui

d

dtρ(t) =

d

dt

∑

i

piρi(t) =∑

i

1

i~[H(t), ρi(t)] =

1

i~[H(t), ρ(t)] (E.21)

da cui segue la (E.20).

Si osservi poi, che, nel caso di miscele statistiche, in generale, ρ2 6= ρ, e quindi Tr ρ2 ≤ 1.

Infine e facile verificare dalla definizione che ρ e un operatore positivo, ovvero

〈u| ρ |u〉 ≥ 0 ∀ |u〉 (E.22)

infatti 〈u| ρ |u〉 = ∑k pk 〈u| ρk |u〉 =∑

k pk|〈u|ψk〉|2 ≥ 0.

5Per semplicita di notazione non si e indicata la dipendenza temporale, che ovviamente vasempre tenuta in conto: ρ = ρ(t).

136


Popolazioni e correlazioni

Consideriamo gli elementi di matrice ρnn dell’operatore ρ nella base (|un〉), di autovettori.Dalla definizione (E.7) si ha

ρnn =∑

i

pi[ρi]nn (E.23)

Ricordando che ρi = |ψi〉〈ψi|, siano

c(i)n = 〈un|ψi〉 (E.24)

le componenti di |ψi〉 nella base |un〉 (ovvero |ψi〉 =∑

n c(i)n |un〉), il cui significato fisico e

il solito, cioe, |c(i)n |2 indica la probabilita che un sistema preparato nello stato |ψi〉 risulti,a seguito di una misura, nello stato |un〉.

Risulta alloraρnn =

∑

i

pi|c(i)n |2 (E.25)

la cui interpretazione, tenuto conto del significato fisico di pi, e di |c(i)n |2 e: ρnn rappresentala media delle probabilita di trovare il sistema nello stato |un〉. Pertanto ci si riferisce aρnn come alla popolazione dello stato |un〉.

In maniera analoga a quanto visto sopra si ha

ρnm =∑

i

pic(i)n c

(i)∗m (E.26)

e il termine c(i)n c

(i)∗m e un temine incrociato del tipo di quelli che si hanno quando due stati

interferiscono, e quindi ρnm e la media, sui possibili stati della miscela, di questi terminiincrociati. Si noti poi ρnm essendo la somma di numeri complessi puo risultare nulla anchesenza che i singoli addendi siano nulli: in media gli effetti dell’interferenza tra i due stati|n〉 e |m〉 non sono visibili. Se d’altra parte ρnm 6= 0 allora si puo pensare alla presenzadi una certa correlazione tra i due stati in questione, da cui il nome di correlazioni (ocoerenze) per i termini non diagonali del tipo ρnm.

Usando il fatto che ρ e un operatore positivo (E.22) allora risulta

ρnn ρpp ≥ |ρnp|2 (E.27)

ovvero che ci possono essere coerenze solo tra stati popolati.

Osservazioni. Si badi bene che la distinzione tra popolazioni (di uno stato) e coerenze(tra due stati) e relativa ad una data base dello spazio degli stati.

In particolare, visto che l’operatore densita e hermitiano, esso e allora anche diagona-lizzabile, ovvero esiste una base ortonormale (|φi〉) in cui ρ risulta diagonale. In tale baseil sistema risulta una miscela statistica degli stati |φi〉, senza tuttavia che fra di essi vi sianessuna coerenza.

137


|ψ〉 ρ = |ψ〉〈ψ| ρ =∑

i piρi

P (an) |〈un|ψ〉|2 Tr ρ(t)Pn Tr ρPn

Valor medio < A > 〈ψ|A |ψ〉 = ∑n,m c∗ncmAnm Tr ρ(t)A Tr ρ(t)A

Evoluzione temporale i~ ddt|ψ(t)〉 = H(t) |ψ(t)〉 i~ d

dtρ(t) = [H(t), ρ(t)] i~ d

dtρ(t) = [H(t), ρ(t)]

Normalizzazione 〈ψ|ψ〉 = 1 ρ2 = ρ , Tr ρ2 = 1 ρ2 6= ρ, Tr ρ2 ≤ 1

Tabella E.1. Vettori di stato e operatore densita.

Conclusioni

Riportiamo nella tabella E.1 i risultati piu significativi.

Forme alternative dell’equazione di evoluzione temporale

Ricordiamo che l’equazione di evoluzione temporale per l’operatore densita (equazione divon Neumann, (E.20)) vale

i~ ρ(t) = [H(t), ρ(t)] (E.28)

che riscriviamo nella forma (equazione di Liouville)

ρ(t) =i

~[H(t), ρ(t)]

ovvero

ρ(t) = Lρ (E.29)

avendo definito l’operatore di Liouville come

Lρ(t) ,i

~[H(t), ρ(t)]. (E.30)

Nel caso di un’hamiltoniana che non dipende esplicitamente dal tempo, possiamorisolvere formalmente la (E.29) ottenendo

ρ(t) = eL t ρ(0) (E.31)

138


E.1.4 I sistemi composti

Si supponga che lo spazio Σ sia il prodotto tensoriale di due spazi Σ = Σ1 ⊗ Σ2 e sia(|φm〉) (rispettivamente (|ϕn〉)) una base ortonormale di Σ1 (risp. Σ2). Sia infine ρ unoperatore densita su Σ.

Possiamo allora introdurre l’operatore

TrΣ2ρ = ρ(1) (E.32)

come l’operatore i cui elementi di matrice sono dati da

ρ(1)m′m′′ =∑

n

〈φm′ | 〈ϕn| ρ |φm′′〉 |ϕn〉 (E.33)

e analogamente TrΣ1ρ = ρ(2) con ρ(2)n′n′′ =∑

m 〈φm| 〈ϕn′ | ρ |φm〉 |ϕn′′〉.Risulta

Tr ρ = TrΣ1(TrΣ2ρ) = TrΣ2(TrΣ1ρ). (E.34)

Si osservi che se il sistema globale e in uno stato prodotto diretto ρ = σ(1) ⊗ τ(2)allora ρ(1) ≡ TrΣ2ρ = σ(1) e ρ(2) ≡ TrΣ1ρ = τ(2). In generale pero (se cioe il sistema none in uno stato prodotto diretto) ρ(1) ⊗ ρ(2) 6= ρ, e cio per via delle correlazioni presentitra i sistemi che compongono il sistema globale.

Consideriamo ora l’osservabile A(1) che agisce sullo spazio Σ(1), e A(1) = A(1)⊗1(2)lasua estensione in Σ.

Applicando la (E.18), e tenendo conto il valor medio di A(1) risulta

< A(1) >= TrρA(1)

= Tr ρ(1)A(1) (E.35)

in base alla quale ρ(1) ci permette di calcolare i valori medi delle osservabili relative alprimo sistema, come se questo fosse un sistema isolato con operatore densita ρ(1).

Tenuto conto della (E.19), possiamo dire, infine, lo stesso delle probabilita di otteneredeterminati risultati relativi solo al primo sistema.

139


E.2 La master equation

Dato un sistema composto descritto mediante una matrice densita ρtot, abbiamo visto nella(E.20) la legge di evoluzione temporale per ρtot(t). Quando si considera pero solo uno deisottosistemi, non e nota una espressione esatta, almeno nel caso generale, dell’equazionedi evoluzione temporale della matrice densita del sottosistema in questione, anzi potrebbeanche non esiste affatto un’equazione differenziale capace di descriverne l’evoluzione tem-porale. Se esiste chiameremo master equation l’equazione, in genere approssimata, perl’evoluzione temporale del sottosistema cui siamo interessati.

Un caso classico in cui si presenta una tale situazione e quella di un sistema in interazio-ne con un bagno termico, e quello appena esposto e un metodo per introdurre e descriveredei meccanismi dissipativi all’interno del formalismo della meccanica quantistica.

E.2.1 Calcolo della master equation con il metodo delle per-turbazioni

Consideriamo allora un sistema S, descritto dall’hamiltoniana HS accoppiato ad un ser-batoio6 R con hamiltoniana HR, e sia Hint l’hamiltoniana di interazione.

L’hamiltoniana totale del sistema composto sara

Htot = HS + HR + Hint. (E.36)

Sia ora ρtot(t) la matrice densita del sistema composto, la cui equazione di evoluzionetemporale risulta, nella rappresentazione di interazione

i~dρtot(t)

dt= [V(t), ρtot(t)] (E.37)

ove si e evidenziata la dipendenza dal tempo, e si e posto

V(t) = U†(t) Hint(t) U(t)

essendo U(t) l’operatore di evoluzione del sistema composto imperturbato7.

Ci proponiamo di trovare una equazione di evoluzione temporale per la matrice densitaridotta ρ relativa al solo sistema S. E noto [3] che la matrice densita ridotta del sistema

6Il concetto di bagno termico o serbatoio di calore cui si fa qui riferimento si rifa a quelladella termodinamica in cui un tale sistema e capace di scambiare energia con un altro sistema,generalmente molto piu piccolo, senza modificare significativamente il proprio livello energetico.

7Se HS e HR non dipendono dal tempo allora

U(t) = exp[− i

~(HS + HR)t]. (E.38)

Si osservi poi che anche la matrice densita che figura nella (E.37) e data nella rappresentazionedi interazione.

140

E.2– La master equation

S si trova facilmente a partire da quella del sistema composto mediante l’operazione ditraccia parziale sul sistema che vogliamo ignorare (R)

ρ = TrRρtot. (E.39)

Integrando ambo i membri della (E.37) otteniamo

ρtot(t) = ρtot(0) +1

i~

∫ t

0dt1 [V(t1), ρtot(t1)] (E.40)

ed iterando il procedimento per esprimere l’operatore densita presente al secondo membro,si ottiene

ρtot(t) = ρtot(0)+

+

∞∑

n=1

(1

i~

)n ∫ t

0dt1 . . .

∫ tn−1

0dtn [V(t1), . . . , [V(tn), ρtot(0)]]. (E.41)

Per perturbazioni “piccole”, e ragionevole considerate un numero finito di termini, e nelnostro caso assumiamo di poterci fermare al secondo ordine (n = 2).

Considerando la traccia parziale rispetto al serbatoio si ottiene un’espressione per lamatrice densita ridotta:

ρ(t) = ρ(0)+

+∞∑

n=1

(1

i~

)n ∫ t

0dt1 . . .

∫ tn−1

0dtn TrR[V(t1), . . . , [V(tn), ρtot(0)]]. (E.42)

Se ore assumiamo che inizialmente il sistema e il serbatoio siano in uno stato prodottodiretto (cioe non entangled) avremo che

ρtot(0) = ρR ⊗ ρ(0) (E.43)

e quindi possiamo riscrivere la (E.42) come

ρ(t) = [1 + G1(t) + G2(t) + . . .] ρ(0)

= G(t) ρ(0) (E.44)

ove

G1 =1

i~TrR

∫ t

t0

dt1 [U(t1), ρR ⊗ (·)] (E.45a)

G2 = − 1

~2TrR

∫ t

t0

dt1

∫ t1

t0

dt2 [U(t1), [U(t2) ρR ⊗ (·)]] (E.45b)

e in generale

Gn =

(1

i~

)nTrR

∫ t

t0

dt1 . . .

∫ tn−1

t0

dtn [V(t1), . . . , [V(tn), ρR ⊗ (·)]] (E.45c)

141


con t0 = 0, nel nostro caso.Differenziando poi rispetto al tempo, e osservando che dalla (E.44) ρ(0) = G−1(t) ρ(t),

si ha

dρ

dt= [G1(t) + G1(t) + . . .] ρ(0)

= [G1(t) + G1(t) + . . .] G−1(t) ρ(t)

= l(t)ρ(t) (E.46)

e l(t) e detto il generatore dell’evoluzione temporale per ρ.Se a questo punto assumiamo che la perturbazione V(t) sia sufficientemente piccola

possiamo limitarci a considerare so i termini lineari e quadratici nella perturbazione V,per cui otteniamo, a meno di termini di ordine superiore

dρ

dt= [G1(t) + G2(t)− G1(t)G1(t)] ρ(t) (E.47)

ove

G1(t) ρ(t) =1

i~TrR[V(t), ρR ⊗ ρ(t)] (E.48a)

G2(t) ρ(t) = − 1

~2

∫ t

0dt′ TrR[V(t), [V(t′), ρR ⊗ ρ(t)]] (E.48b)

G1(t)G1(t) ρ(t) = − 1

~2TrR[V(t), ρR ⊗ (·)]

∫ t

0dt1 TrR[U(t1), ρR ⊗ ρ(t)]

= − 1

~2

∫ t

0dt′ TrR[V(t), ρR ⊗ TrR[V(t′), ρR ⊗ ρ(t)]]. (E.48c)

La (E.47) esprime, nella rappresentazione di interazione, l’equazione di evoluzione tempo-rale (approssimata) che cercavamo, indicata usualmente come master equation. Ricordia-mo che essa e stata ottenuta sostanzialmente sotto due ipotesi

I. lo stato iniziale e uno stato non entangled,

II. e buona l’approssimazione al secondo ordine in V(t).

142

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Documents

Coerenza e decoerenza