Contenido - red.unal.edu.cored.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2017279/pdf/und_4/notasclasetermo... · Los procesos de transformaci¶on de la materia y la energ¶‡a implican su conservaci¶on,

Contenido

Prefacio III

Indice de sımbolos IX

1. Procesos de transformacion de la energıa y su analisis 1

1.1. Formas de la energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1. Energıa mecanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2. Energıa interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3. Calor y trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Analisis termodinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1. Sistemas termodinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2. Primera ley de la termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.3. Segunda ley de la termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. Propiedades termodinamicas de la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.1. Propiedades intensivas, extensivas y especıficas . . . . . . . . . . . . 8

1.4. Sistemas tecnicos de transformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.1. Sistemas de generacion de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.2. Sistemas de calentamiento y enfriamiento . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5. Procesos termodinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5.1. Estado termodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5.2. Cambios de estado, procesos y ciclos . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5.3. Ecuacion de estado y principio de estado . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5.4. Equilibrio termodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6. Temperatura y equilibrio termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6.1. Ley cero de la termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6.2. Energıa cinetica molecular y temperatura . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6.3. Temperatura empırica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7. Dimensiones y unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.8. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. Primera ley de la termodinamica 17

2.1. Variacion de energıa total en sistemas termodinamicos . . . . . . . . . . . 17

2.1.1. Variacion de energıa por transferencia de calor . . . . . . . . . . . . 18

2.1.2. Variacion de energıa por transferencia de trabajo . . . . . . . . . . 18

vi Contenido

2.1.3. Trabajo volumetrico en sistemas cerrados . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2. Ecuacion general de balance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.1. Balance de masa en sistemas no reactivos . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.2. Ecuacion general de balance de energıa . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.3. Energıa asociada al transporte de masa . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.4. Entalpıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3. Balance de energıa para sistemas abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4. Balance de energıa para sistemas cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5. Balance de energıa para sistemas aislados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6. Primera ley para procesos de flujo estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.6.1. Compresores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.6.2. Turbinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.6.3. Toberas y difusores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.6.4. Dispositivos de estrangulamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.6.5. Bombas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.6.6. Intercambiadores de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.7. Eficiencia termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.8. Calorimetrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.8.1. Calores especıficos a volumen y a presion constante . . . . . . . . . 32

2.8.2. Calores especıficos de solidos y lıquidos . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.9. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3. Segunda ley de la termodinamica 35

3.1. Procesos reversibles e irreversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2. Formulacion general de la segunda ley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3. Entropıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3.1. Transferencia y generacion de entropıa . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3.2. Balance de entropıa para sistemas abiertos . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3.3. Balance de entropıa para sistemas cerrados . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3.4. Principio del aumento de entropıa en sistemas aislados . . . . . . . 42

3.3.5. Eficiencia isoentropica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4. Analisis de exergıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4.1. Exergıa del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4.2. Exergıa del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4.3. Exergıa de flujos masicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4.4. Destruccion de exergıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4.5. Exergıa de sistemas abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4.6. Exergıa de sistemas cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4.7. Exergıa de sistemas aislados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.4.8. Eficiencia exergetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.5. Analisis termodinamico de procesos de flujo estacionario . . . . . . . . . . 49

Contenido vii

3.5.1. Trabajo de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.5.2. Energıa disipada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.5.3. Procesos de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.5.4. Compresores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.5.5. Turbinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.5.6. Toberas y difusores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.5.7. Dispositivos de estrangulamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.5.8. Bombas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.5.9. Intercambiadores de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.6. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4. Propiedades termodinamicas de la materia 53

4.1. Propiedades termicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.1.1. Superficies p, v, T de sustancias puras . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.1.2. Proyecciones de las superficies p, v, T . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2. Propiedades termodinamicas de sustancias puras . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2.1. Zona de vapor humedo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2.2. Vapor sobrecalentado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2.3. Lıquidos y solidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.3. Relaciones matematicas entre propiedades termodinamicas . . . . . . . . . 61

4.4. Modelo de gases ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.4.1. Ecuacion termica de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.4.2. Ecuacion calorica de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.4.3. Cambios de estado simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.4.4. Ciclo de Carnot para gases ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.4.5. Entropıa de los gases ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.5. Modelo de sustancias incompresibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.6. Escala termodinamica de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.6.1. Termometro de gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.6.2. Escala de temperatura de gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.7. Tercera ley de la termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.8. Ecuaciones fundamentales de la termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.8.1. Energıa libre especıfica o funcion de Helmholtz . . . . . . . . . . . . 84

4.8.2. Entalpıa libre especıfica o funcion de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . 84

4.9. Gases reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.9.1. Propiedades termodinamicas reducidas . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.9.2. Factor de gases reales o de compresibilidad . . . . . . . . . . . . . . 87

4.9.3. Grafica generalizada de gases reales o de compresibilidad . . . . . . 88

4.9.4. Ecuaciones de estado para gases reales . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.10. Mezclas de gases ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.10.1. Modelo de Amagat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

viii Contenido

4.10.2. Modelo de Dalton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.10.3. Propiedades termodinamicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.11. Mezclas ideales de gas-vapor (aire humedo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.11.1. Mezclas saturadas y no saturadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.11.2. Humedad especıfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.11.3. Humedad relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.11.4. Temperatura de rocıo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.11.5. Volumen especıfico del aire humedo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.11.6. Entalpıa especıfica del aire humedo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.11.7. Entropıa especıfica del aire humedo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.11.8. Temperatura de saturacion adiabatica . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.11.9. Temperaturas de bulbos seco y humedo . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.11.10.Diagrama psicrometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.11.11.Sistemas de acondicionamiento de aire . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.12. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Bibliografıa 104

4 Propiedades termodinamicas de la

materia

Los procesos de transformacion de la materia y la energıa implican su conservacion, que

se establece por la primera ley, y la asimetrıa en la transformacion, que se establece con

la segunda ley e indica que estos procesos ocurren de manera natural en una direccion.

Durante los cambios de estado o procesos de transformacion se presentan variaciones de

las propiedades termodinamicas de las sustancias de trabajo, como los volumenes especıfi-

cos y las energıas, entalpıas y entropıas, que se determinan normalmente en funcion de

los valores de presion y temperatura de los estados correspondientes. Estas propiedades

termodinamicas se han incluido hasta el momento en los balances de energıa y entropıa,

lo que permite establecer relaciones con una validez general entre ellas.

En este capıtulo se estudia el comportamiento y las relaciones de las propiedades ter-

modinamicas de la materia en sus estados gaseoso, lıquido y solido y los sistemas bifasicos,

especialmente los conformados por lıquido y vapor.

El estado termodinamico de un sistema simple de masa conocida queda determinado a

traves de dos propiedades termodinamicas independientes. Una funcion entre propiedades

se conoce como funcion de estado. En el caso en que una funcion de este tipo tenga

unidades de energıa, p.e. u(v, T ) o h(p, T ), se tiene una ecuacion calorica de estado; en

cualquier otro caso se tiene una ecuacion termica de estado, p.e. v(p, T ).

En este capıtulo se presentan inicialmente las propiedades y las ecuaciones termicas de

estado; se analizan los sistemas que presentan cambios de fase (especialmente entre lıquido

y vapor) y los modelos de sustancias para gases ideales y fluidos incompresibles. Luego se

presentan las relaciones entre las propiedades termicas y caloricas, se formulan las ecua-

ciones fundamentales de la termodinamica y se introduce el manejo de tablas y diagramas

de propiedades termodinamicas de las sustancias de trabajo. Finalmente se analizan las

propiedades termodinamicas de los gases reales; de las mezclas de gases ideales y de las

mezclas ideales de gas y vapor, con enfasis especial en las mezclas de aire humedo (con-

formadas por aire y vapor de agua) y los sistemas tecnicos para su acondicionamiento.

54 4 Propiedades termodinamicas de la materia

4.1. Propiedades termicas

Las ecuaciones termicas de estado establecen para cada sustancia las relaciones entre la

presion, el volumen especıfico y la temperatura. Estas propiedades termicas se pueden

determinar experimentalmente con mayor facilidad que otro tipo de propiedades ter-

modinamicas y constituyen la base del conocimiento que tenemos actualmente de las

propiedades de la gran mayorıa de los fluidos utilizados en aplicaciones tecnicas.

4.1.1. Superficies p, v, T de sustancias puras

4.1.2. Proyecciones de las superficies p, v, T

Las superficies p, v, T incluyen las zonas correspondientes a las fases solida, lıquida y

gaseosa de las sustancias puras y los cambios de estado entre ellas, como se muestra a

manera de ejemplo en la Figura 4-1 para una sustancia pura como el dioxido de carbono.

A continuacion se describe de manera general este tipo de superficies termodinamicas.

Fase solida: se caracteriza por bajos volumenes especıficos (densidades altas), que se

mantienen estables aun ante cambios elevados en la temperatura y la presion. Esta esta-

bilidad volumetrica hace que las capacidades calorıficas de los solidos (calores especıficos)

a volumen y a presion constantes se representen bien por medio de un unico valor, c. La

transferencia de calor al solido ocasiona el aumento de su temperatura para valores casi

constantes del volumen especıfico, hasta alcanzar el inicio de la zona de fusion (en la lınea

de fusion), como lo indica la lınea A−B en la Figura 4-1.

Zona de fusion: el solido y el lıquido coexisten durante la fusion, que ocurre a temper-

atura constante para presion constante (ver el cambio de estado B−C en la Figura 4-1).

La zona de fusion tiene como lımites la lınea de fusion del solido y la lınea del inicio de

la solidificacion del lıquido.

Fase lıquida: el volumen especıfico de esta fase presenta una dependencia de la presion

ligeramente mayor que para la fase solida. Los lıquidos se ubican entre las zonas de fusion

y de vapor humedo (entre los estados C −D en la Figura 4-1).

Zona de vapor humedo: en esta zona se presenta la coexistencia de las fases lıquida

y gaseosa; esta limitada por las lıneas del inicio de la evaporacion del lıquido (o lınea de

lıquido saturado) y de condensacion del gas (o lınea de vapor saturado), que se encuentran

en su parte superior en el punto crıtico k. A este punto le corresponden valores crıticos

para la presion pk, el volumen especıfico vk y la temperatura Tk, que son caracterısticos

de cada sustancia. El lımite inferior de la zona de vapor humedo lo establece la lınea

4.1 Propiedades termicas 55

Figura 4-1: Superficie p, v, T para una sustancia pura (CO2).

triple, en la que coexisten los estados solido, lıquido y gaseoso. Esta zona se caracteriza

por cambios volumetricos elevados (p.e., entre los estados D − E en la Figura 4-1), que

disminuyen para temperaturas mayores. En el estado D (lıquido saturado) se evapora la

primera gota de lıquido y en el estado E (vapor saturado), la ultima. El cambio de fase

ocurre a temperatura constante para presion tambien constante. Los cambios de estado

que ocurren entre las fases lıquida y gaseosa (o viceversa) para presiones y temperaturas

elevadas (mayores a las correspondientes al punto crıtico k), no cruzan la zona de vapor

humedo (ver el cambio de estado entre L − M en la Figura 4-1, p.e.). En estos casos

no hay frontera entre lıquidos y solidos; el equilibrio entre estas dos fases solamente se

presenta para temperaturas menores a la crıtica, Tk.


Fase gaseosa: esta fase comienza al evaporarse completamente el lıquido en la zona

de vapor humedo; con el suministro adicional de calor, el gas incrementa nuevamente su

temperatura (estados E − F en la Figura 4-1); tambien se conoce a esta zona con el

nombre de vapor sobrecalentado. Una region importante esta constituida por los gases

a bajas presiones (o bajas densidades) y a temperaturas no muy bajas. Estas sustancias

se identifican como gases ideales y su modelo es ampliamente utilizado en aplicaciones

tecnicas.

Zona de sublimacion: se ubica entre las fases solida y gaseosa para presiones bajas

y esta limitada por las curvas de sublimacion, de ’desublimacion’ y en la parte superi-

or, por la curva triple, donde coexisten las fases solida, liquida y gaseosa en equilibrio

termodinamico. Un cambio de fase a traves de esta zona se indica mediante los estados

G−H − I en la Figura 4-1; durante este cambio de fase la temperatura permanece con-

stante para procesos a presion constante.

4.2. Propiedades termodinamicas de sustancias puras

El uso de las superficies p, v, T se hace normalmente a traves de los diagramas que se

obtienen al proyectar los planos que la componen.

Diagrama p, T : la proyeccion del plano p, T , tambien conocido como diagrama de fases,

se muestra en la Figura 4-2. En este diagrama se identifican las fases solida, lıquida y

gaseosa. Las zonas correspondientes a los cambios de fase quedan representadas en este

diagrama por sendas lıneas, ya que estos cambios ocurren a temperaturas constantes para

presiones constantes. Estas lıneas se identifican como curvas de presion de fusion, de vapor

y de sublimacion. Por ejemplo, la curva de presion del vapor representa las lıneas de inicio

de la evaporacion del lıquido o lınea de lıquido saturado y la lınea de condensacion del

vapor (o gas) o lınea de vapor saturado. En este diagrama tambien se indican las curvas

de volumen constante, que presentan una variacion logarıtmica en la escala del diagrama

presentado.

4.2 Propiedades termodinamicas de sustancias puras 57

Figura 4-2: Diagrama p, T para una sustancia pura (CO2).

Diagrama p, v: la proyeccion en el plano p, v es especialmente importante porque permite

representar el trabajo volumetrico debido a la expansion o compresion de un elemento de

masa o sistema cerrado y el trabajo de flujo para los sistemas abiertos o volumenes de

control. Este diagrama muestra directamente la zona de vapor humedo, el domo de vapor

o region correspondiente al cambio de fase entre lıquido y vapor; las isotermas aumentan

hacia la parte superior del domo y presentan un punto de inflexion en el punto crıtico

(pendiente igual a cero en este punto). En la figura 4-3 se presenta un ejemplo de este

diagrama para el dioxido de carbono.


Figura 4-3: Diagrama p, v para una sustancia pura (CO2).

Diagrama T, v: la proyeccion en el plano T, v de las superficies p, v, T tambien incluye la

region del vapor humedo y permite visualizar con claridad los cambios de fase entre lıquido

y vapor para sustancias puras. Estos cambios de fase ocurren a temperatura constante

para presion igualmente constante. La Figura 4-4 ilustra este diagrama para el dioxido

de carbono.

4.2 Propiedades termodinamicas de sustancias puras 59

Figura 4-4: Diagrama T, v para una sustancia pura (CO2).

4.2.1. Zona de vapor humedo

Esta region tiene importancia en las aplicaciones de la termodinamica tecnica porque rep-

resenta los estados comprendidos entre los cambios de fase de lıquido a vapor (o viceversa).

Durante estos cambios de fase ocurren cambios volumetricos apreciables y un aumento

elevado de la energıa interna de las sustancias, que se genera a partir del rompimiento

de la estrecha cohesion molecular de la fase lıquida para producir la cohesion mucho mas

relajada de las moleculas del vapor saturado.

En la lınea de lıquido saturado toda la sustancia se encuentra en su estado lıquido; la

adicion de calor a la masa de lıquido ocasiona el inicio del cambio de fase a su estado de

vapor. Este proceso ocurre a temperatura constante para presion constante, y al realizarlo

bajo condiciones controladas, se presenta la coexistencia de las fases lıquida y de vapor.

Las propiedades termodinamicas en la region bifasica dependen de las fracciones de lıquido

y vapor del sistema. Todo el lıquido tiene las propiedades termodinamicas correspondientes

al lıquido saturado y todo el vapor, las propiedades termodinamicas del vapor saturado.

Segun la composicion del sistema bifasico se determinan los valores de sus propiedades

termodinamicas. Para ello se utiliza la relacion del contenido de vapor x, tambien conoci-

do como tıtulo o calidad del vapor. En el estado de lıquido saturado no se tiene contenido

de vapor y su contenido o calidad es x = 0 (o x = 0 %). En el estado de vapor saturado

su contenido o calidad es x = 1 (o x = 100 %). Durante el cambio de fase el contenido o


calidad del vapor oscila entre esos dos valores.

El contenido de vapor se determina ası:

x =masa de vapor saturado

masa de lıquido saturado + masa de vapor saturado=

mv

mv + ml

, (4-1)

donde la masa total del sistema bifasico esta compuesta por las masas de lıquido y vapor

saturado:

m = ml + mv (4-2)

Las propiedades extensivas como el volumen, la entalpıa y la entropıa quedan determi-

nadas por la suma de las fracciones de vapor y lıquido saturados del sistema, ası:

V = Vl + Vv. (4-3)

Al incluir los volumenes especıficos para el lıquido saturado vl y para el vapor saturado

vv, se obtiene:

V = mlvl + mvvv (4-4)

y,

v =V

m=

ml

ml + mv

vl +mv

ml + mv

vv (4-5)

que al utilizar la Ec. 4-1, permite obtener:

v = (1− x)vl + xvv = vl + x(vv − vl). (4-6)

Este tipo de relaciones se pueden expresar de manera general para un estado v dentro de

la zona de vapor humedo a traves de la regla de la palanca, ası:

v − vl

vv − v=

x

1− x=

mv

ml

(4-7)

De manera analoga al volumen especıfico, se obtiene para la entalpıa y la entropıa en la

zona de vapor humedo:

4.3 Relaciones matematicas entre propiedades termodinamicas 61

h = (1− x)hl + xhv = hl + x(hv − hl) (4-8)

y

s = (1− x)sl + xsv = sl + x(sv − sl). (4-9)

En la region de vapor humedo el cambio de fase entre lıquido y vapor ocurre a temperatura

constante para presion constante. A partir de esta condicion y de las Ecs. 2-45 y 3-9

(expresadas por unidad de masa), se obtiene:

dh = Tds + vdp = Tds (4-10)

que conduce a la siguiente relacion para la entalpıa de evaporacion (variacion de entalpıa

entre el cambio de estado de lıquido a vapor saturado):

∆hvap = hv − hl = T (sv − sl). (4-11)

De manera general la Ec. anterior permite establecer una relacion entre los estados de

lıquido saturado y otro cualquiera en la zona de vapor humedo, ası:

h − hl = T (s − sl). (4-12)

La entalpıa crece linealmente con la entropıa para todo proceso isotermico o isobarico en

la zona de vapor humedo.

4.2.2. Vapor sobrecalentado

4.2.3. Lıquidos y solidos

4.3. Relaciones matematicas entre propiedades

termodinamicas

La termodinamica emplea como herramienta matematica las reglas mas sencillas del calcu-

lo diferencial. En esta seccion se presentan algunos conceptos matematicos para su uso

posterior, entre ellos el concepto de diferencial exacta.

El estado termodinamico de un sistema simple de masa conocida queda determinado a

traves de dos propiedades termodinamicas independientes. Una funcion entre propiedades


se conoce como funcion de estado. En el caso en que una funcion de este tipo tenga

unidades de energıa, p.e. u(v, T ) o h(p, T ) se tiene una ecuacion calorica de estado; en

cualquier otro caso se tiene una ecuacion termica de estado, p.e. v(p, T ).

Se asume que una funcion z(x, y) existe. A traves de esta funcion z queda completamente

determinada. La diferencial exacta de z es:

dz =

(∂z

∂x

)

y

dx +

(∂z

∂y

)

x

dy (4-13)

Los subındices indican las dimensiones que permanecen constantes en la diferenciacion.

Las propias derivadas parciales son en el caso general funciones de x y y, de tal manera

que es posible escribir la ecuacion 4-13 de la siguiente forma:

dz = P (x, y)dx + Q(x, y)dy (4-14)

4.4. Modelo de gases ideales

Debido a que dz es una diferencial exacta por definicion, se tiene que cumplir la condi-

cion de integrabilidad (prueba de integracion), que se verifica a traves de diferenciacion

cruzada:(∂P

∂y

)

x

=

(∂Q

∂x

)

y

(4-15)

Es indiferente el orden en que se realice la diferenciacion. A partir de la ecuacion 4-13

se puede obtener una relacion entre las tres derivadas de x, y, z cuando se formula esta

ecuacion para dz = 0 o para z = constante:

0 =

(∂z

∂x

)

y

(∂x

∂y

)

z

+

(∂z

∂y

)

x

(4-16)

o a traves de una formulacion simetrica:

(∂x

∂y

)

z

(∂y

∂z

)

x

+

(∂z

∂x

)

y

= −1 (4-17)

Como un ejemplo se puede considerar la diferencial exacta del volumen V = πr2z de un

cilindro con altura z y con radio r. La diferencial exacta es dV = π(2rzdr + r2dz) y se

cumple la condicion dada por la ecuacion 4-14.

Se asume que existe una ecuacion de estado en la forma v(p, T ). Se tiene entonces la

diferencial exacta:

dv =

(∂v

∂p

)

T

dp +

(∂v

∂T

)

p

dT (4-18)

A partir de las primeras derivadas entre p, v, T se introducen los siguientes terminos.

4.4 Modelo de gases ideales 63

Coeficiente de expansion:

α =1

v

(∂v

∂T

)

p

(4-19)

Coeficiente de compresibilidad:

χ = −1

v

(∂v

∂p

)

T

(4-20)

Coeficiente de tension:

β =1

p

(∂p

∂T

)

v

(4-21)

A partir de la ecuacion 4-17 se obtiene la siguiente relacion:

α = pβχ (4-22)

y empleando las ecuaciones 4-19 a 4-21 se puede escribir la ecuacion 4-22 de la siguiente

forma:

dv = αvdT − χvdp (4-23)

Finalmente se obtiene la siguiente relacion por medio de diferenciacion cruzada:

(∂α

∂p

)T

=

(∂χ

∂T

)

p

(4-24)

Este es un resultado tıpico en la termodinamica. A partir de la suposicion de que la

ecuacion 4-18 es una diferencial exacta, es posible obtener una relacion importante entre

la dependencia de la presion y la temperatura para dos coeficientes. La ecuacion 4-24

es valida para todas las sustancias porque no se hicieron suposiciones iniciales sobre

la forma de la ecuacion. De los coeficientes dados por las ecuaciones 4-19 a 4-21, β es

especialmente incomodo de medir para lıquidos por lo que es conveniente calcularlo a

traves de la ecuacion 4-22.

4.4.1. Ecuacion termica de estado

Las ecuaciones de estado que presentan un intervalo amplio de validez son en la mayo-

rıa de los casos muy complejas. En muchos casos ni siquiera es posible establecer estas

ecuaciones, por lo que se debe recurrir a la representacion por medio de diagramas. Una

excepcion en este campo la constituyen los gases a presiones no muy elevadas y a tem-

peraturas no muy bajas.


R. Boyle (1662) y E. Mariotte (1679) encontraron que para gases, el producto pV para una

temperatura empırica t constante es igual a una constante, que solamente depende de la

temperatura y que es proporcional a la masa. Ası puede escribirse la siguiente expresion:

pV = mf(t) (4-25)

Posteriormente J.L. Gay-Lussac (1802) establece que para presion constante, el volumen

es una funcion lineal de la temperatura (empırica), de tal forma que puede escribirse:

V = V0(1 + α0t) (presion constante), (4-26)

donde α0 corresponde al coeficiente de dilatacion en relacion a un volumen constante V0.

Este volumen es el correspondiente al punto de congelacion, como punto cero de la escala

empırica de temperatura Celsius. El coeficiente de dilatacion viene dado por la siguiente

definicion:

α0 =1

v0

( ∂v

∂T

)p

(4-27)

En una escala de temperatura en la cual la distancia entre el punto de congelacion y el

punto de ebullicion se divide en 100 partes, se obtiene a traves de mediciones experimen-

tales que,

α0 =1

273K−1 (4-28)

de tal forma que la relacion dada por 4-26 puede escribirse como:

V = α0V0(273K + t) = α0V0T (4-29)

donde,

T = 273K + t (4-30)

De esta forma se define una escala de temperatura (empırica) llamada escala Kelvin, cuyo

punto cero es llamado el punto cero absoluto de la temperatura.

Las Ec. 4-25 y 4-26 pueden expresarse a traves de la siguiente ecuacion:

pV = mRT, (4-31)


que es conocida como la ecuacion de estado de los gases ideales. Aquı R representa la

constante de los gases, cuyo valor depende del tipo de gas. Es posible verificar experimen-

talmente la Ec. 4-31 en un intervalo amplio de temperatura. Sin embargo, se encuentran

factores de variacion causados principalmente por las siguientes condiciones:

Errores inevitables de todo proceso de medicion.

La desviacion de los gases reales del comportamiento de los gases ideales.

El uso de una escala empırica de temperatura.

Las desviaciones generadas por los dos primeros factores se pueden disminuir a traves del

incremento en la precision de medicion y del empleo de gases apropiados para presiones

suficientemente bajas, respectivamente. Bajo estas suposiciones es posible liberarse pos-

teriormente de los problemas que implica una escala empırica de temperatura y hacer de

la escala de temperatura termodinamica, aquella para la cual es valida exactamente la Ec.

4-31. Al dividir la Ec. 4-31 entre la masa se obtienen otras formas para la ecuacion de

estado de los gases ideales:

pv = p/ρ = RT (4-32)

A traves de diferenciacion se obtiene la siguiente ecuacion:

dp

p+

dv

v=

dT

T(4-33)

Es posible obtener otra ecuacion al dividir por la cantidad de materia:

pV = MRT (4-34)

Segun la hipotesis de A.Avogadro (1811), en volumenes iguales de gases ideales para el

mismo estado (p, T ) se tiene igual numero de partes. Por otra parte se tiene que cualquier

gas ideal con una cantidad determinada de masa, que posee igualmente una cantidad

determinada de partes (o cantidad de materia, n) y para un estado dado, ocupa el mismo

volumen. De esta manera el volumen molar V de todos los gases ideales depende del

estado y no del tipo de gas. Ası se tiene que,

pV

T= MR = R0 (4-35)

donde R0 representa la constante universal de los gases. En la actualidad su valor mas

preciso ha sido determinado como (CODATA, http://www.codata.org/):


R0 = (8, 314472± 0, 000015)J

mol K(4-36)

De la relacion mR = nR0 se sigue que R se puede identificar como la constante especıfica

y R0 como la constante molar o universal de los gases.

El cociente entre R0 y NA se identifica como la constante de Boltzmann:

k =R0

NA

= (1, 3806505± 0, 0000024)10−23 J

K, (4-37)

que puede interpretarse como la constante de los gases asociada a una sola parte del mis-

mo gas.

Con frecuencia se requiere relacionar volumenes con un estado determinado de referencia,

p.e. en las labores de suministro de gas a traves de largas distancias, cuyo volumen debe

medirse bajo condiciones ambientales de presion y temperatura diferentes. En estos casos

se utilizan las condiciones del ’estado normal’ o ’estado estandar’, que se define a traves

de la presion normal pn = 1 atm = 101325 Pa y la temperatura normal Tn = 273, 15 K ≈0 ◦C. Para estas condiciones el gas ocupa el volumen normalizado Vn. De la Ec. 4-34 se

sigue que el volumen molar normal Vn tiene el mismo valor para todos los gases ideales:

Vn =R0T0

pn

= (22, 41383± 0, 0070)m3

kmol(4-38)

El volumen especıfico normalizado vn y su inverso, la densidad normal ρn tienen valores

diferentes para cada tipo de gas. El volumen normalizado Vn es proporcional a la masa y

a la cantidad de materia n, segun la siguiente relacion:

Vn = mvn = nVn (4-39)

Para la reduccion de un volumen V en el estado (p, T ) a las condiciones del estado nor-

malizado o estandar se utiliza la siguiente relacion, segun la Ec. 4-31:

Vn = Vp

pn

Tn

T(4-40)

En la practica es corriente el uso del subındice n para el estado normal asociado a la unidad

y no la magnitud correspondiente. Esto significa que en lugar de escribir Vn = 10 m3, se

utiliza la notacion 10 m3n y se llama a m3

n el metro cubico normal. Esto no significa que

el metro cubico normal represente una unidad de medida diferente al metro cubico.


4.4.2. Ecuacion calorica de estado

A partir de una funcion como u(T, v) se puede obtener una ecuacion de estado calorica a

traves de su diferencial total, ası:

du =( ∂u

∂T

)vdT +

(∂u

∂v

)Tdv = cvdT +

(∂u

∂v

)Tdv (4-41)

A traves de la primera ley, segun la formulacion dada por la siguiente ecuacion:

δq = du + pdv (4-42)

se puede obtener a traves de combinacion con la Ec. 4-41,

δq = cvdT +[(∂u

∂v

)T

+ p]dv (4-43)

La relacion (∂u/∂v)T se conoce como ’presion interna’ y es generada por las fuerzas mole-

culares.

De manera similar se obtiene a partir de una funcion h(T, p), segun su diferencial total:

dh =( ∂h

∂T

)pdT +

(∂h

∂p

)Tdp = cpdT +

(∂h

∂p

)Tdp (4-44)

y con la primera ley en la forma,

δq = dh− vdp (4-45)

se obtiene la relacion:

δq = cpdT +[(∂h

∂p

)T− v

]dp (4-46)

En esta ecuacion la relacion (∂h/∂p)T representa el coeficiente isotermico de estrangu-

lamiento.

La dependencia volumetrica de u se puede estimar a partir del llamado experimento de

sobreflujo de Joule. Mediante este experimento se conecta de manera subita un recipiente

con gas a presion con otro recipiente vacıo. Los dos recipientes se encuentran bien ais-

lados para impedir la transferencia de calor desde el ambiente. Debido a que durante el


experimento tampoco se transfiere trabajo hacia el exterior del sistema, la energıa inter-

na de este permanece constante de acuerdo a la primera ley. Se verifica que luego de la

estabilizacion del flujo se conserva la temperatura original del sistema, lo que implica que

para gases ideales se cumple la relacion:

(∂u

∂v

)T= 0 (4-47)

Ası se tiene que la energıa interna de los gases ideales no depende ni del volumen ni de

la presion. Posteriormente se indica la derivacion de este comportamiento a partir de la

ecuacion de los gases y segun la segunda ley de la termodinamica, de tal forma que este

resultado no constituye una propiedad independiente de los gases.

El calor especıfico cv de los gases ideales se puede establecer a partir de las Ec. 4-41 y

4-47, que al asociarlas con con la Ec. 2-65, permite obtener:

cv =( ∂u

∂T

)v

=du

dT(4-48)

Para la ecuacion calorica de estado para la energıa interna u se tiene:

u =

∫cvdT + u0 (4-49)

Aquı es posible establecer la constante de integracion u0 por convencion. Para el caso

especial en el que el calor especıfico cv no depende de la temperatura, se obtiene:

u = cvT + u0 (4-50)

La entalpıa especıfica de los gases ideales es,

h = u + pv = u + RT (4-51)

Debido a que la energıa interna u depende solamente de T y no de manera separada de

la presion p y del volumen especıfico v, esto tiene que cumplirse tambien para la entalpıa

h. A traves de diferenciacion para la temperatura se obtiene que,

dh

dT=

du

dT+ R (4-52)

y sustituyendo de acuerdo a las definiciones dadas para los calores especıficos:


cp − cv = R (4-53)

De manera similar se tiene para magnitudes molares:

Cp − Cv = R0 (4-54)

Al introducir la relacion de los calores especıficos κ,

κ =Cp

Cv

=cp

cv

=Cp

Cv

, (4-55)

se obtienen las siguientes relaciones de uso frecuente en la termodinamica cuando se

trabaja con gases ideales:

cp

R=

κ

κ− 1(4-56)

cv

R=

1

κ− 1(4-57)

Para los gases ideales, κ depende basicamente del numero atomico.

De manera similar se obtiene la ecuacion calorica de los gases ideales para la entalpıa h,

h =

∫cpdT + h0 (4-58)

Cuando el calor especıfico cp es independiente de la temperatura, se tiene:

h = cpT + h0 (4-59)

El calor especıfico a presion constante se establece para los gases ideales como:

cp =( ∂h

∂T

)p

=dh

dT(4-60)

La independencia de la entalpıa de los gases ideales de la presion y el volumen se verifica a

traves del experimento de estrangulamiento, de la forma en que lo realizan Joule y Thom-

son. Para una variacion despreciable de la energıa cinetica, la temperatura permanece

constante antes y despues del estrangulamiento, aunque la presion p y el volumen v han


variado. Debido a que el proceso de estrangulamiento ocurre a entalpıa constante, se tiene

que la entalpıa depende unicamente de la temperatura T .

Al hacer (∂u/∂v) = 0 y (∂h/∂p) = 0 en las Ec. 4-43 y 4-46, se obtiene la primera ley de

la termodinamica para gases ideales en las dos formas siguientes, que son de uso frecuente

en la termodinamica:

δq = cvdT + pdv (4-61)

δq = cpdT − vdp (4-62)

4.4.3. Cambios de estado simples

A continuacion se analizan algunos cambios de estado simples de los gases ideales, en los

que una propiedad termodinamica del estado se mantiene constante o en los que no se

presenta transferencia de calor o trabajo. Se hace la suposicion inicial de que el trabajo

solamente se presenta por variacion volumetrica en el sistema. Se analizan los cambios de

estado indicados en la Tabla 4-1.

En esta seccion se establecen las relaciones entre propiedades de estado caloricas y termi-

cas para cambios de estado simple.

Cambio de estado isocorico: este cambio de estado se presenta a volumen constante.

Por medio de la Ec. 4-32 se obtiene para un cambio de estado entre 1 y 2, como se

indica en la Figura 4-5:

p1

p2

=T1

T2

(4-63)


P

V

T2

T1

P

V

T2

T1

1

2

P

V

T2

T1

P

V

T2

T1

p2

p1

q1-2

Figura 4-5: Diagrama presion vs. volumen para un cambio de estado a volumen constante

o isocorico.

El calor suministrado se puede hallar a partir de la ecuacion 4-61 correspondiente a

la formulacion de la primera ley para gases ideales :

q12 = u2 − u1 =

∫ 2

1

cvdT (4-64)

o en el caso de tenerse un calor especıfico cv independiente de la temperatura:

q12 = cv(T2 − T1) (4-65)

Cambio de estado isobarico: este cambio de estado se presenta a presion constante.

A partir de la Ec. 4-32 para los gases ideales se obtiene,

v1

v2

=T1

T2

(4-66)


P

V

T2

T1

q1-2

w1-2

v1 v2

p121 2

Figura 4-6: Diagrama presion vs. volumen para un cambio de estado a presion constante

o isobarico.

El trabajo debido al cambio volumetrico entre los estados 1 y 2, en la Figura 4-6,

es:

w12 = p(v2 − v1) (4-67)

El calor suministrado sirve exclusivamente para el incremento de la entalpıa, de tal

forma que para dp = 0, se obtiene de la Ec. 4-62:

q12 = h2 − h1 =

∫ 2

1

cpdT (4-68)

o para el caso en que se tenga un calor especıfico cp independiente de la temperatura:

q12 = cp(T2 − T1) (4-69)


Cambio de estado isotermico: este cambio de estado se presenta a temperatura

constante. Segun la Ec. 4-32 para los gases ideales se tiene (Figura 4-7):

p1v1 = p2v2 = constante op1

p2

=v2

v1

(4-70)

P

V

P

VT

1

2p2

p1

w1-2

v1 v2

q1-2

Figura 4-7: Digrama presion vs. volumen para un cambio de estado a temperatura con-

stante o isotermico

A partir de la formulacion de la primera ley para gases ideales, Ec. 4-61 para dT = 0,

se obtiene:

δq = −pdv = −δwV o q12 = −w12 (4-71)

Esta ecuacion indica que para el cambio de estado isotermico (reversible) de un gas

ideal, el calor suministrado al sistema se transforma completamente en trabajo (el

signo negativo para el trabajo indica que es trabajo realizado por el sistema):


δq = −δw = −pdv = −pvdv

v= −RT

dv

v(4-72)

que luego de la integracion entre los estados 1 y 2 se transforma en:

q12 = −w12 = −mRTln(V2

V1

)= −p1v1ln

(v2

v1

)= −p1v1ln

(p1

p2

)(4-73)

De esta manera la transferencia de calor y de trabajo depende de las condiciones

del estado inicial y de la relacion de presiones o volumenes.

Cambio de estado adiabatico: ocurre en sistemas que no permiten el intercambio de

calor con su entorno, q12 = 0. A partir de la Ec. 4-61 se tiene para este caso que:

δq = cvdT + pdv = 0 (4-74)

Reemplazando la relacion dada por la Ec. 4-57 en la Ec. 4-74 y a traves de diferen-

ciacion de la Ec. 4-32 se obtiene la siguiente expresion:

[R

dT

κ− 1

]+ pdv =

[pdv + vdp

κ− 1

]+ pdv = 0 (4-75)

o la ecuacion diferencial para el cambio de estado adiabatico:

dp

p+ κ

dv

v= 0 (4-76)

Cuando se tiene una relacion de calores especıficos κ constante, se obtiene de la

integracion de la ecuacion para el cambio de estado adiabatico:

ln p + κ ln v = constante (4-77)

o de manera equivalente,

p1vκ1 = p2v

κ2 = constante o

p1

p2

=(v2

v1

)κ(4-78)


A traves de la eliminacion de la presion p se obtiene una relacion entre la temperatura

T y el volumen especıfico v:

T1vκ−11 = T2v

κ−12 = constante o

T1

T2

=(v2

v1

)κ−1(4-79)

y a traves de la eliminacion del volumen especıfico v, se obtiene una relacion entre

la temperatura T y la presion p:

T1

pκ−1

κ1

=T2

pκ−1

κ2

= constante oT1

T2

=(p1

p2

)κ−1κ (4-80)

El trabajo transferido por el sistema (signo negativo) por medio del cambio de estado

adiabatico se determina a partir de la Ec. 4-74:

−w12 = −∫ 2

1

pdv = cv(T1 − T2) (4-81)

cuando se considera cv constante. Finalmente se obtiene por medio de las Ec. 4-57,

4-32, 4-79 y 4-80 la siguiente expresion para el trabajo hecho por el sistema (signo

negativo):

−w12 =p1v1

κ− 1

(1− T2

T1

)=

p1v1

κ− 1

[1− (v1

v2

)κ−1]=

p1v1

κ− 1

[1− (p2

p1

)κ−1κ

](4-82)

En este cambio de estado el trabajo depende, ademas de las condiciones del estado

inicial, del tipo de gas y de las relaciones de temperatura, volumen o presion.

La pendiente en el diagrama p, v de las curvas correspondientes a los cambios de

estado adiabaticos es (∂p/∂v)ad = −κp/v y para las curvas de los cambios de estado

isotermicos es (∂p/∂v)T = −p/v. Debido a que κ ≥ 1 para todas las sustancias de

trabajo, la pendiente de las curvas adiabaticas es mayor que la correspondiente a

las curvas isotermas. Tambien es posible comprobar que la pendiente de las curvas

isotermas y adiabaticas en el diagrama p, v no puede ser negativa.

Las relaciones deducidas para los cambios de estado simples son validas tambien

cuando el sistema se lleva del estado 2 al estado 1. En este caso se invierten los

signos para q21 y w21 indicando que se retira calor y se suministra trabajo al sistema.


Cambio de estado politropico: los cambios de estado isotermicos y adiabaticos re-

presentan dos condiciones de frontera. En el primer caso se supone una transferencia

de calor total y en el segundo un aislante completo para esta transferencia. En la

practica no es posible conseguir ninguno de los dos casos, de tal manera que se

introduce un cambio de estado general llamado politropico a traves de la siguiente

ecuacion:

p1vn1 = p2v

n2 = constante (4-83)

en la cual el exponente n se puede elegir libremente, pero se supone constante. En

sentido estricto, este cambio de estado no corresponde a los cambios de estado sim-

ples, ya que en el es posible la transferencia de calor y trabajo en ambas direcciones.

Las ecuaciones de los cambios de estado adiabaticos se pueden extender a este caso,

reemplazando el exponente κ por el exponente n, ası:

p1

p2

=(v2

v1

)n;

T1

T2

=(v2

v1

)n−1=

(p1

p2

)n−1n (4-84)

−w12 = −∫ 2

1

pdv =p1v1

n− 1

[1− (v1

v2

)n−1]=

p1v1

n− 1[1− (p2

p1

)n−1n

](4-85)

−w12 = cvκ− 1

n− 1(T1 − T2) (4-86)

Para la transferencia de calor, a partir de la siguiente formulacion de la primera ley:

du = mcvdT = δq + δwV , (4-87)

q12 = cv(T2 − T1)− w12, (4-88)

se obtiene en combinacion con la Ec. 4-86:

q12 = cvn− κ

n− 1(T2 − T1) (4-89)

Del cociente entre el calor y el trabajo se obtiene en este caso:

q12

w12

=n− κ

κ− 1(4-90)

Es posible identificar los cambios de estado simple mencionados como casos espe-

ciales del cambio de estado politropico segun la Ec. 4-83, con valores especıficos para

el exponente n, como se indica en la Tabla 4-1.


Tabla 4-1: Cambios simples de estado para gasesCambio de Estado Caracterıstica Exponente Proceso Politropico, n

Isocorico Volumen constante, dv=0 n = ∞Isobarico Presion constante, dp=0 n = 0

Isotermico Temperatura constante, dT=0 n = 1

Adiabatico Sin transferencia de calor, q12 = 0 n = κ

4.4.4. Ciclo de Carnot para gases ideales

Para un ciclo se tiene a partir de la primera ley (Ec. ??) por unidad de masa:

∮δq = −

∮δw, (4-91)

Para la energıa interna se tiene que∮

du = 0. La integral cerrada de la Ec. 4-91 significa

la suma algebraica de todos los flujos de calor y trabajo suministrados y retirados del

sistema. Normalmente se representa la suma de todos los flujos de calor suministrados al

sistema como qent y la suma de todos los flujos de calor retirados del sistema como qsal,

de tal forma que puede escribirse:

−w = qent − qsal (4-92)

La eficiencia termica de una maquina de potencia se identifica como la relacion entre

la utilidad (el trabajo util suministrado por la maquina) y los requerimientos para el

funcionamiento de la maquina, que vienen dados por el calor suministrado al sistema:

η =utilidad

requerimientos=−w

qent

=qent − qsal

qent

= 1− qent

qsal

(4-93)

Para el caso de ciclos que tienen un sentido de giro izquierdo (en el diagrama p, v), es decir

en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj, se utiliza a cambio de la eficiencia

el termino de coeficiente de operacion o coeficiente de funcionamiento de la maquina. Este

coeficiente puede variar segun el objetivo de trabajo buscado con la maquina.

El ciclo formulado por Sadi Carnot en 1824 tiene una importancia basica para la ter-

modinamica. Este ciclo esta compuesto por cuatro cambios de estado: dos isotermicos

para T y T0 (con T > T0) y dos adiabaticos, como se ilustra en la Figura 4-8. El sumin-

istro de calor se hace a la temperatura T y el retiro de calor a la temperatura T0, a traves

de la conduccion termica con recipientes o fuentes termicas de mayor capacidad que el

propio sistema. Para el calculo de la eficiencia termica se hace uso de las relaciones de la

seccion 4.4.3, considerando los calores especıficos constantes, como se indica en la Tabla


4-2.

P

T0

P

V

T

1

2

q1-2 =q ent

34

q=0q=0

q3-4 =q sal

a b cd

Figura 4-8: Diagrama del ciclo de Carnot con giro en sentido derecho (maquina de po-

tencia) para gases ideales como sustancia de trabajo.

Para la relacion del calor retirado y suministrado se obtiene:

qsal

qent

=RT0ln(v3/v4)

RT ln(v2/v1)(4-94)

A partir de la Ec.4-79 se puede escribir,

(T0

T

) 1κ−1 =

v1

v4

=v2

v3

ov3

v4

=v2

v1

, (4-95)

debido a que los cuatro volumenes especıficos se ubican en los puntos finales de sendas

curvas adiabaticas entre las mismas temperaturas T0 y T . De esta manera se obtiene la


Tabla 4-2: Cambios de estado para el ciclo de CarnotCambio de Estado Trabajo, w Calor, q

Isotermico 1-2 Area12ba q12 = w12 = qent

T=constante w12 = −RTln(v2/v1)

Adiabatico 2-3 Area23cb q23 = 0

w23 = −cv(T − T0)

Isotermico 3-4 Area34dc q34 = w34 = −qsal

T0=constante w34 = RT0ln(v3/v4)

Adiabatico 4-1 Area41ad q41 = 0

w41 = cv(T − T0)

w23 + w41 = 0 qsal

qent= T0

T

eficiencia termica de un ciclo de Carnot (de giro derecho) operando con un gas ideal como

sustancia de trabajo:

ηC = 1− qsal

qent

= 1− T0

T=

T − T0

T(4-96)

Este resultado significa que para un ciclo de Carnot de giro en sentido derecho (para

maquinas de potencia) funcionando con un gas ideal, la relacion entre calor retirado

y suministrado al sistema se comporta de manera equivalente a las temperaturas ter-

modinamicas de las dos isotermas. Haciendo q34 = −qsal se puede escribir:

q12

T+

q34

T0

= 0 (4-97)

o de manera general,

∑ q

T= 0 (4-98)

Para el caso de ciclos de Carnot con giro izquierdo se le suministra calor al sistema a

la temperatura menor T0 a traves del suministro de trabajo; este calor es retirado del

sistema a la temperatura mayor T . Si T representa la temperatura ambiente, entonces se

tiene un ciclo de refrigeracion, con la temperatura T0 en el cuarto frıo. En este caso se

tiene el siguiente coeficiente de operacion βR:

βR =qent

w=

T0

T − T0

(4-99)

El calor qent representa el calor que se retira del cuarto frıo a las sustancias allı almacenadas

y se transfiere a la sustancia de trabajo (o refrigerante) del sistema. Si la maquina trabaja


en un intervalo de temperatura tal que T0 representa la temperatura ambiente, entonces

la maquina se conoce como bomba de calor. En este caso ingresa calor al sistema a la

temperatura T0 y se entrega a la mayor temperatura T mediante el suministro de trabajo

al sistema. Ası se obtiene el siguiente coeficiente de operacion βBC para la bomba de calor:

βBC =qsal

w=

T

T − T0

= 1 + βR (4-100)

Debido a que los coeficientes de operacion βR y βBC pueden ser mayores que la unidad,

se evita el uso del termino eficiencia, que se deja solo para las maquinas de potencia.

4.4.5. Entropıa de los gases ideales

La entropıa de los gases ideales se puede calcular facilmente debido a la sencillez de su

ecuacion de estado. Al introducir en la ecuacion para la entropıa especıfica ds = δq/T la

primera ley para los gases ideales de acuerdo a las ecuaciones 4-61 y 4-62, se obtiene:

ds = cvdT

T+

p

Tdv = cv

dT

T+ R

dv

v(4-101)

ds = cpdT

T− v

Tdp = cp

dT

T−R

dp

p(4-102)

Para valores constantes de cv y cp se obtiene a traves de la integracion de las ecuaciones

anteriores entre los estados 1 y 2, respectivamente:

s2 − s1 = cvlnT2

T1

+ Rlnv2

v1

(4-103)

s2 − s1 = cplnT2

T1

−Rlnp2

p1

(4-104)

Las curvas isocoras e isobaras de los gases ideales son lineas logarıtmicas en el diagrama

T − s, que se encuentran desplazadas en la direccion del eje s. Ambos tipos de curvas

son abiertos en relacion a la direccion del aumento de temperatura, como se indica en la

Figura ??.

A partir de la ecuacion diferencial de la curva isentropica 4-76 se obtiene la relacion,

κ = −v

(∂p

∂v

)

s

/p (4-105)

Debido a la ecuacion isoentropica pvκ = constante, el coeficiente κ se llama tambien

exponente isoentropico. A partir de las ecuaciones 4-101 y 4-102 se tiene para ds = 0, que

para los gases ideales κ = cp/cv.

Al introducir la relacion δq = Tds en las ecuaciones 2-65 y 2-66 que definen los calores

especıficos, se obtiene para cualquier sustancia:

cp =

(∂h

∂T

)

p

= T

(∂s

∂T

)

p

(4-106)

4.5 Modelo de sustancias incompresibles 81

cv =

(∂u

∂T

)

v

= T

(∂s

∂T

)

v

(4-107)

Estas ecuaciones permiten establecer las pendientes de las curvas isobaras e isocoras en

un diagrama T − s para cualquier sustancia:

(∂T

∂s

)

p

= T/cp (4-108)

(∂T

∂s

)

v

= T/cv (4-109)

La pendiente de las curvas isocoras es mayor que la de las curvas isobaras debido a la

relacion entre los calores especıficos cp > cv. Ambos tipos de curvas tienen solamente

pendientes positivas en el diagrama T − s y en el caso lımite tienen pendiente cero, 0.

De las ecuaciones 4-106 y 4-107 se tiene que en el diagrama T − s el area bajo las curvas

isobaras representa la variacion de la entalpıa y el area bajo las curvas isocoras la variacion

de la energıa interna para cualquier sustancia, ası:

h2 − h1 =

∫ 2

1

Tds, para p = constante (4-110)

u2 − u1 =

∫ 2

1

Tds, para v = constante (4-111)

4.5. Modelo de sustancias incompresibles

Entropıa de sustancias incompresibles.

4.6. Escala termodinamica de temperatura

4.6.1. Termometro de gas

Esta temperatura se conoce como temperatura termodinamica (T ) y puede deducirse

exclusivamente de las leyes de la termodinamica. Las temperaturas empıricas (t) se con-

sideran buenas aproximaciones de la temperatura termodinamica.

La unidad de medicion de la temperatura termodinamica es el Kelvin, que se identifica

con el sımbolo K:

1 K = Tt/273, 16 (4-112)

donde Tt es la temperatura termodinamica del punto triple del agua pura, que es la tem-

peratura de equilibrio del sistema trifasico conformado por hielo, agua y vapor. Este valor

se elige de tal manera que se tengan 100 K entre el punto de evaporacion y el punto de


congelacion del agua. El punto de evaporacion equivale a la temperatura para el cambio de

fase entre agua y vapor a una presion de una atmosfera. El punto de congelacion equivale

a la temperatura de equilibrio entre las fases de hielo y agua saturada en aire a la misma

presion.

La temperatura termodinamica, cuyo punto cero coincide con el llamado punto cero ab-

soluto de la temperatura, tambien se llama temperatura Kelvin. Debido a los valores

elevados que se obtienen con esta escala de temperatura alrededor de las temperaturas

ambientales, tambien se utiliza una escala con un punto cero desplazado. Esta escala se

conoce como temperatura Celsius:

T − T0 = t (4-113)

donde T0 = 273,15 K equivale a la temperatura del hielo (0 ◦C). La unidad de medicion

en la escala Celsius es el grado Celsius o grado centıgrado [ ◦C] = [K]. En todo caso, la

unidad Kelvin [K] debe conservarse de manera normalizada para la indicacion de inter-

valos y diferencias de temperatura en cualquier proceso.

La medicion de la temperatura termodinamica es dispendiosa en instrumentacion, lo que

no la hace practica para aplicaciones comunes en ingenierıa. Esta fue una de las razones

para la creacion de la Escala Internacional de Temperatura (ITS, de sus siglas en ingles),

que en el marco de la incertidumbre de medicion actual coincide con la escala termodinami-

ca de temperatura. La mas reciente de estas escalas se realizo en 1990 (ITS-90); se basa

en 17 puntos fijos de calibracion para la temperatura y en procedimientos determinados

de medicion con formulas de interpolacion establecidas para el calculo de la temperatura,

como se indica en las Tablas 4-3 y 4-4.

Tabla 4-3: Termometros empleados segun los intervalos de temperatura para la Escala

Internacional de Temperatura (ITS-90)

Intervalo de temperatura Tipo de termometro

−272, 51 ◦C - −248, 59 ◦C Termometro de presion de vapor (He) y termometro de gas (He)

−259, 36 ◦C - 961, 78 ◦C Termometro de resistencia de platino

961, 78 ◦C < t Pirometro espectral

4.7 Tercera ley de la termodinamica 83

Tabla 4-4: Escala Internacional de Temperatura de 1990 (ITS-90).

Puntos fijos para Valores Incertidumbre

la definicion

(Estado de equilibrio)T90 / K t90 / ◦C ∆ T90 = ∆ t90 / K

Evaporacion del helio 3 a 5 -270,15 a -268,15 ± 0,001

Triple del hidrogeno 13,8033 - 259,3467 ± 0,001

Evaporacion del hidrogeno 17,025 a 17,045 - 256,125 a - 256,105 ± 0,001

Evaporacion del hidrogeno 20,26 a 20,28 - 252,89 a 252,87 ± 0,001

Triple del neon 24,5561 - 248,5939 ± 0,001

Triple del oxıgeno 54,3584 - 218,7916 ± 0,001

Triple del argon 83,8058 - 189,3442 ± 0,001

Triple del mercurio 234,3156 - 38,8344 ± 0,001

Triple del agua 273,16 0,01 Exacto por def.

Fusion del galio 302,9146 29,76 ± 0,0002

Solidificacion del indio 429,7485 156,5985 ± 0,0002

Solidificacion del estano 505,078 231,928 ± 0,0002

Solidificacion del zinc 692,677 419,527 ± 0,002

Solidificacion del aluminio 933,473 660,323 ± 0,005

Solidificacion de la plata 1234,93 961,78 ± 0,01

Solidificacion del oro 1337,33 1064,18 ± 0,01

Solidificacion del cobre 1357,77 1084,62 ± 0,01

Puntos de evaporacion y solidificacion para presion, p = 1 atm = 101325 Pa, mientras no se indiquelo contrario.Para presion p = 25/76 atm = 33330,6 Pa

En los casos en que se emplean gases rarefactos (gases con densidad baja), como el

hidrogeno o el helio, es posible obtener para presiones suficientemente pequenas un in-

dicativo de la temperatura que es independiente de la sustancia del termometro. Sola-

mente una medicion de este tipo, independiente de las propiedades de las sustancias del

termometro, es utilizable para las deducciones termodinamicas, porque de esta manera

son validas para cualquier tipo de materia.

4.6.2. Escala de temperatura de gas

4.7. Tercera ley de la termodinamica

4.8. Ecuaciones fundamentales de la termodinamica

A traves de la combinacion de la primera ley en la forma δq = du+pdv con la segunda ley

en la forma δq = Tds se obtiene la llamada ecuacion fundamental de la termodinamica


para sistemas sin transformacion quımica:

du = Tds− pdv (4-114)

de la cual es posible deducir varias relaciones termodinamicas adicionales. A partir del

uso de la ecuacion de la entalpıa h = u + pv y δq = dh− vdp, se obtiene:

dh = Tds + vdp (4-115)

Por medio de la diferenciacion de u y de h para una propiedad termodinamica se obtiene

nuevamente una propiedad de este tipo, como se indica a continuacion:

(∂u/∂s)v = T (4-116)

(∂u/∂v)s = −p (4-117)

(∂h/∂s)p = T (4-118)

(∂h/∂p)s = v (4-119)

4.8.1. Energıa libre especıfica o funcion de Helmholtz

Las funciones u(s, v) y h(s, p) segun las ecuaciones 4-114 y 4-115 tambien se denominan

potenciales termodinamicos en analogıa al potencial mecanico, cuya deduccion se hace

en relacion a la trayectoria de una fuerza. Estas funciones tambien se conocen como fun-

ciones caracterısticas o canonicas. De manera frecuente es deseable expresar propiedades

termodinamicas con dimensiones de energıa a traves de las variables independientes T, v

y T, p. Estas propiedades se obtienen por medio de las siguientes transformaciones:

f = u− Ts (4-120)

4.8.2. Entalpıa libre especıfica o funcion de Gibbs

g = h− Ts (4-121)

La funcion f se conoce como la energıa libre especıfica o Funcion de Helmholtz y la funcion

g como la entalpıa libre especıfica o Funcion de Gibbs. A traves de la sustitucion de las

diferenciales de estas funciones en las ecuaciones 4-114 y 4-115, se obtiene respectivamente.

df = −sdT − pv (4-122)

dg = −sdT + vdp (4-123)

Estas dos funciones f(T, v) y g(T, p), de acuerdo a las ecuaciones 4-122 y 4-123, tambien

tienen caracter de potenciales. Las funciones f y g son propiedades con dimensiones de

4.9 Gases reales 85

energıa como la energıa interna y la entalpıa. A traves de diferenciacion de las ecuaciones

dadas por 4-120, 4-121, 4-122 y 4-123 se tienen diferenciales exactas, de tal forma que se

cumple la condicion de integrabilidad dada por la ecuacion ??. Por medio de diferenciacion

cruzada se obtienen las cuatro relaciones de Maxwell:

(∂T/∂v)s = (∂p/∂s)v (4-124)

(∂T/∂p)s = (∂v/∂s)p (4-125)

(∂s/∂v)T = (∂p/∂T )v (4-126)

(∂s/∂p)T = (∂v/∂T )p (4-127)

Estas cuatro ecuaciones brindan especialmente la posibilidad de calcular los valores de la

entropıa a partir de los valores medidos para T, p y v.

4.9. Gases reales

Las superficies p, v, T indican la complejidad de las ecuaciones termicas de estado como

p = p(T, v), que por esta razon tienen intervalos reducidos de validez. Estas superficies

se han determinado para algunos fluidos importantes en aplicaciones tecnicas a traves de

mediciones experimentales de precision de las propiedades p, v, T .

En muchos casos ni siquiera es posible establecer las ecuaciones termicas de estado, por lo

que se debe recurrir a la representacion por medio de diagramas o valores tabulados. Una

excepcion en este campo la constituyen los gases a presiones no muy elevadas (o bajas

densidades) y a temperaturas no muy bajas, que presentan una ecuacion de frontera,

valida para todos los gases:

pv = RT o pV = R0T (4-128)

Esta ecuacion tambien se expresa por medio del factor de gases reales o factor de compre-

sibilidad Z, que representa la desviacion del gas especıfico del comportamiento del caso

lımite de los gases ideales, ası:

Z =pv

RT=

pV

R0T= 1 (4-129)

A partir de esta ecuacion se formula la ecuacion del virial, con la que se puede describir

el comportamiento de los fluidos reales en la region de los gases. Esta ecuacion es un

desarrollo en serie del factor de gases reales segun la densidad de partıculas d = 1/V0:


Z = 1 +B(T )

V0

+C(T )

V 20

+ ... = 1 + B(T )d + C(T )d2 + ... (4-130)

donde las funciones de la temperatura B(T ), C(T ), ... se identifican como segundo, ter-

cero, ... coeficientes del virial. Esta ecuacion se plantea inicialmente (en 1901) como una

representacion empırica del comportamiento de los gases reales. Su estructura tambien se

puede deducir a partir de analisis teoricos moleculares. Bajo consideraciones especıficas

sobre las fuerzas entre moleculas se puede relacionar el segundo coeficiente del virial con

las fuerzas entre pares moleculares; el tercer coeficiente del virial C(T ) con las interac-

ciones moleculares entre tres grupos, etc.

La ecuacion de estado del virial es apropiada para la reproduccion precisa del compor-

tamiento en la region de los gases porque se incluye la dependencia de la densidad por

medio de consideraciones teoricas. La dependencia de la temperatura de los coeficientes

del virial tambien se considera a traves de funciones, que incorporan el desarrollo del

potencial de las fuerzas intermoleculares entre las moleculas. En la mayorıa de los casos

se debe determinar la dependencia de la temperatura de los coeficientes del virial a traves

de ajustes a valores experimentales. Para densidades bajas es suficiente la consideracion

hasta del segundo coeficiente del virial.

La ecuacion de estado del virial no es apropiada para reproducir el comportamiento gen-

eral de los fluidos, especialmente en la region de lıquidos. Estas dificultades se originan

especialmente en el comportamiento del fluido durante el cambio de fase para temper-

aturas menores a la crıtica Tk, como lo indica la zona de vapor humedo en la Figura

4-3, donde las curvas isotermas tienen una pendiente antes de alcanzar la zona de vapor

humedo (region del gas), son horizontales durante el cambio de fase (dentro de la zona

de vapor humedo) y tienen otra pendiente para la region de lıquido. En este sentido se

han incluido terminos adicionales, que incluyen funciones exponenciales para la densidad.

Con la inclusion de suficientes terminos (del orden de 20) y el ajuste de los coeficientes

a muchas mediciones experimentales de precision (del orden de 1000) se pueden obtener

reproducciones adecuadas del comportamiento general de un fluido en sus regiones lıquida

y gaseosa.

Se han desarrollado ecuaciones termicas de estado que tienen validez unicamente para

lıquidos, considerandolos sustancias incompresibles (para bajas presiones y temperaturas

no muy elevadas), es decir, su volumen especıfico se considera constante. Este modelo

para sustancias incompresibles se describe con mayor detalle en una seccion posterior.

4.9 Gases reales 87

4.9.1. Propiedades termodinamicas reducidas

La ecuacion termica de estado se puede formular en forma adimensional, para lo cual se

emplean los valores de referencia del estado crıtico para la presion pk, la temperatura Tk

y el volumen especıfico vk, ası:

pred =p

pk

Tred =T

Tred

vred =v

vred

, (4-131)

que reciben el nombre de propiedades termodinamicas reducidas.

En muchas ocasiones se hace uso del volumen especıfico pseudo-reducido, que se obtiene

a partir de los valores de la presion y la temperatura reducidas, ası:

vpsred =vreal

RTred/pred

(4-132)

J.D. van der Waals formula la hipotesis de que todos los fluidos tendrıan la misma ecuacion

termica de estado reducida y, por ello, ningun parametro especıfico para cada sustancia.

Esta suposicion se designa con el nombre del principio de los estados correspondientes

e implicarıa que para todos los fluidos con valores iguales para la temperatura reducida

y el volumen especıfico reducido, se obtendrıa la misma presion reducida. En este caso,

unicamente se requerirıa determinar esta funcion a traves de mediciones para una sus-

tancia y se obtendrıan las ecuaciones termicas de estado para las demas sustancias, al

medir sus datos crıticos (pk, vk, Tk) y calcular con ellos las propiedades p, v, T utilizando

las propiedades reducidas.

Esta expectativa, sin embargo, no se cumple. Por ello se establece el principio extendido

de los estados correspondientes, que integra el comportamiento cualitativo similar de las

sustancias a traves de la consideracion de un parametro especıfico para cada sustancia,

como se describe brevemente en la siguiente seccion.

4.9.2. Factor de gases reales o de compresibilidad

Una ecuacion termica de estado con propiedades reducidas, que tiene una estructura es-

tablecida y que solamente depende de uno o pocos parametros especıficos de las sustancias,

recibe el nombre de ecuacion generalizada de estado. Este tipo de ecuaciones es valida para

una gran cantidad de fluidos, aunque no de manera exacta. Por otra parte, una ecuacion

de estado compleja con muchos terminos, que se ha ajustado a una multitud de medi-

ciones experimentales de una sustancia, recibe el nombre de ecuacion de estado individual.


4.9.3. Grafica generalizada de gases reales o de compresibilidad

En la Figura 4-9 se muestra, como un ejemplo, la variacion del factor de gases reales

o factor de compresibilidad Z para el hidrogeno en funcion de la presion para diversas

temperaturas constantes. Para otros gases se obtienen graficas cualitativamente similares,

que al considerar un parametro especıfico para cada sustancia permite desplazar las co-

ordenadas de las curvas obtenidas para representar las curvas de varias sustancias en un

mismo sistema de coordenadas. De esa manera se obtiene la grafica del factor generalizado

de gases reales o factor generalizado de compresibilidad, que se muestra en la Figura 4-10

para un grupo de diez gases diferentes. Es importante notar que Z tiende a la unidad

para todas las temperaturas cuando la presion tiende a cero y tambien para todas las

presiones, cuando las temperaturas son elevadas.

35K

50K

60K

100K

200K

300K

Figura 4-9: Variacion del factor de gases reales o de compresibilidad Z para el hidrogeno

(H2) para diversas temperaturas constantes.

4.9 Gases reales 89

Figura 4-10: Grafica del factor generalizado de gases reales o factor generalizado de com-

presibilidad para 10 especies de gases (tomado de .Engineering Thermodi-

namics”de Moran y Shapiro, 3ra. edicion).

El uso de este tipo de graficas para los gases ofrece las ventajas de la simplicidad com-

binada con la exactitud. Sirve para obtener estimaciones aproximadas en ausencia de los

datos mas precisos, que pueden arrojar las tablas de datos o los programas de computador.

La exactitud con la que pueden reproducirse los valores p, v, T para diversos fluidos por

medio de una ecuacion de estado generalizada, depende de su estructura. Las ecuaciones

cubicas de estado se pueden generalizar de manera relativamente simple; estas se emplean

para simular con una aproximacion aceptable el comportamiento de fluidos para los cuales

se cuenta con pocas mediciones experimentales.

4.9.4. Ecuaciones de estado para gases reales

Las ecuaciones cubicas de estado ofrecen la posibilidad de una reproduccion adecuada

del intervalo completo de la fase gaseosa, cuando no se tienen requerimientos elevados

de precision. Estas ecuaciones son sencillas y sus coeficientes se pueden determinar por

medio de pocas mediciones experimentales. La primera de este tipo de ecuaciones fue

planteada por van der Waals (1873), que arroja grandes desviaciones en relacion a los


valores experimentales.

La ecuacion de estado cubica general no se emplea en la practica; se utilizan en cambio

ecuaciones recortadas, que son frecuentemente casos especiales de:

p =RT

v − b− a(T )

v2 + ubv + wb2, (4-133)

donde u y w son magnitudes adimensionales. En la mayorıa de las ecuaciones, a depende

unicamente de la temperatura; las magnitudes b, u y w se consideran constantes. El

primer termino de la ecuacion con el co-volumen b se asocia con las fuerzas de choque

entre las moleculas y el segundo termino describe las fuerzas de atraccion moleculares.

Para valores muy altos de v se convierte esta ecuacion en el caso lımite de los gases ideales.

Para valores que se aproximan al co-volumen b, la presion se hace infinitamente grande; la

ecuacion presenta aquı una singularidad. Esta condicion describe las pendientes elevadas

de las isotermas en la region de lıquidos. En la Tabla 4-5 se presentan algunas ecuaciones

cubicas de estado, que son casos especiales de la Ec. 4-133.

4.10. Mezclas de gases ideales

Para establecer una ecuacion de estado para mezclas de gases ideales se puede realizar

el siguiente experimento hipotetico. En un sistema cerrado se encuentran dos gases no

reactivos entre si, que inicialmente estan separados por una membrana, ocupando los

volumenes parciales V1 y V2 para las masas m1 y m2; durante el experimento se mantienen

la presion p y la temperatura T constantes en todo el sistema. Al retirar la membrana

los dos componentes se mezclan y luego de un tiempo ocupan el volumen completo V . El

volumen total permanece constante antes y despues de la mezcla, V = V1 + V2. Al sumar

las ecuaciones de estado para cada componente de la mezcla se obtiene:

pV1 = m1R1T pV2 = m2R2T p(V1 + V2) = pV = (m1R1 + m2R2)T pV = (m1 + m2)RMT

(4-134)

Esta ecuacion define la constante de los gases para la mezcla RM , que se obtiene a partir

de la relacion:

RM =m1R1 + m2R2

m1 + m2

=

∑miRi

m(4-135)

donde el signo de la sumatoria se puede extender de dos componentes a la cantidad

deseada o necesaria i de componentes (i = 1, 2, 3...) y m =∑

mi representa la masa total

4.10 Mezclas de gases ideales 91

Tabla 4-5: Ecuaciones de estado (Tomado de Baehr & Kabelac, Thermodynamik; 13.

edicion, 2006)

Autor Ecuacion de Estado u w

Van der Waals (1873) p = RTv−b

− a(T )v2 0 0

Redlich-Kwong (1949) p = RTv−b

− a(T )v(v+b)

1 0

Peng-Robinson (1976) p = RTv−b

− a(T )v(v+b)+v(v−b)

2 -1

Schmidt-Wenzel (1980) p = RTv−b

− a(T )v2+ubv+(1−u)b2

u 1-u

Iwai-Margerum-Lu (1988) p = RTv−b

− a(T )v2+ub(v−b)

u -u

Guo-Du(1989) p = RTv−b

− a(T )v(v+c)+c(v−b)

2c/b −c/b

Adachi-Lu-Sugie (1983) p = RTv−b

− a(T )(v−c)(v+d)

d−cb

−cdb2

Schreiner (1986) p = RTv−b

− a(T )v−c

+ a(T )v−d

*

Trebble-Bischnoi (1987) p = RTv−b

− a(T )v2+(b+c)v−bc−d2 1 + c

b− bc+d2

b2

*Con la sustitucion d por −d y luego de (c + d)a(T ) por a(T ), se trans-forma la ecuacion de Schreiner en la de Adachi-Lu-Sugie.

del sistema. A traves de la cantidad de materia n es posible indicar los resultados de este

experimento de manera simplificada:

pV1 = n1R0TpV2 = n2R0Tp(V1 + V2) = pV = (n1 + n2)R0TpV = (m1 + m2)RMT (4-136)

4.10.1. Modelo de Amagat

El resultado V = V1 + V2 se sigue de la hipotesis de Avogadro, que indica que cantidades

iguales de materia (n1 + n2) para un estado igual (p y T ) tienen que ocupar el mismo

volumen (V1 + V2), sin consideracion de su distribucion dentro del sistema.


4.10.2. Modelo de Dalton

El comportamiento de los componentes en mezclas de gases ideales lo formulo Dalton

(1802) ası: cada componente de una mezcla de gases se comporta como si ocupara el

volumen completo de la mezcla. De esta manera cada componente permanece bajo una

presion determinada, que se conoce como presion parcial pi y se establece para una ex-

pansion isotermica a partir de la relacion del volumen parcial Vi al volumen total V (bajo

la presion total p). Ası la suma de las presiones parciales pi es igual a la presion total p.

Se introduce entonces la siguiente definicion de la presion parcial:

piV = pVi (4-137)

Considerando que para cada componente en la mezcla se tiene que cumplir la ecuacion

de los gases ideales:

piV = niR0T, (4-138)

la ley de Dalton se puede escribir tambien en esta forma:

∑piV =

∑niR0T (4-139)

La masa molar de la mezcla MM viene dada por la relacion,

MM =m1 + m2 + ...

n1 + n2 + ...(4-140)

Con las ecuaciones anteriores es posible establecer una relacion para la constante de los

gases de la mezcla, de manera analoga a la Ec. 4-34:

RM =R0

MM

(4-141)

4.10.3. Propiedades termodinamicas

Adicionalmente al volumen, otras propiedades extensivas de estado de las mezclas de

gases ideales se comportan de manera aditiva, de tal forma que para la energıa interna y

la entalpıa de la mezcla se pueden escribir las siguientes relaciones:

UM =∑

Ui =∑

miui =∑

niUi (4-142)

4.10 Mezclas de gases ideales 93

HM =∑

Hi =∑

mihi =∑

niHi (4-143)

La adicion de propiedades extensivas de sistemas parciales se sigue del propio concepto

de propiedades extensivas ya introducido. El comportamiento de los gases se caracteriza

porque esa propiedad aditiva tambien es valida para la mezcla de gases, aunque poste-

riormente debe considerarse el comportamiento de la entropıa.

Fracciones masicas y molares.

La composicion de una mezcla de gases se puede caracterizar de diferentes formas; a

manera de ejemplo se indican las siguientes relaciones:

Relacion volumetrica: Vi/V

Relacion de presion parcial: pi/p

Cantidad relativa de materia o fraccion molar: γ = ni/n

Relacion de masa: ξi = mi/m = γiRM/Ri = γiMi/MM

Densidad parcial: ρi = mi/V = niMi/V

Concentracion molar: ci = ni/V

A partir de las ecuaciones 4-137 y 4-139 se establece que para gases ideales las tres primeras

relaciones de concentraciones anteriores son identicas, ası que para gases ideales se tiene:

Vi

V=

pi

p=

ni

n= γi (4-144)

Adicionalmente se tiene por definicion:

∑γi = 1

∑ξ = 1 (4-145)

Finalmente se pueden escribir las siguientes relaciones para las propiedades especıficas y

molares de las mezclas:

uM =∑

ξiui UM =∑

γiUi

hM =∑

ξihi HM =∑

γiHi

cv,M =∑

ξicv,i Cv,M =∑

γiCv,i

cp,M =∑

ξicp,i Cp,M =∑

γiCp,i

MM =∑

γiMi


4.11. Mezclas ideales de gas-vapor (aire humedo)

Las mezclas ideales de gas-vapor se suponen conformadas por dos componentes: el gas no

condensable, con composicion invariable, y el vapor, que puede condensarse en el intervalo

de temperatura considerado. Estas mezclas se analizan en esta seccion para el caso espe-

cial del aire humedo; los fundamentos aquı presentados pueden aplicarse para el analisis

de otras mezclas ideales de gas y vapor.

El aire humedo lo componen aire seco y vapor de agua. El aire seco se analiza en este

caso como un unico gas, conformado por todos los componentes indicados en la Tabla 4-6.

Tabla 4-6: Composicion del aire atmosferico secoComponente, i Mi / kg/kmol xi / 1 wi / 1

Nitrogeno, N2 28,0134 0,78081 0,75515

Oxıgeno, O2 31,9988 0,20947 0,23141

Argon, Ar 38,9480 0,00934 0,01288

Dioxido de carbon, CO2 44,0100 0,00036 0,00055

Neon, Ne 20,1797 0,00002 0,00001

El estudio del comportamiento termodinamico del aire humedo es importante para los

analisis meteorologicos; para el diseno y optimizacion de sistemas de climatizacion y

acondicionamiento del aire para edificaciones y automoviles; en las labores de construccion

para evitar problemas asociados con la humedad; en aplicaciones para el enfriamiento del

agua mediante torres de enfriamiento y en los sistemas de combustion, que utilizan el aire

para el suministro del oxıgeno requerido en el proceso. Los gases de combustion emitidos

tambien contienen humedad, cuya condensacion debe evitarse normalmente.

4.11.1. Mezclas saturadas y no saturadas

La mayorıa de las aplicaciones tecnicas relacionadas con el aire humedo operan en el

intervalo de temperaturas entre -20 y 60 ◦C y presiones totales hasta de 1 bar. Para

temperaturas menores a 60 ◦C, la desviacion del comportamiento del vapor de agua del

correspondiente a un gas ideal es menor al 0,5%; la presion de saturacion del vapor de

agua para esta temperatura es menor a 0,2 bar. Para temperaturas menores, las presiones

de saturacion correspondientes tambien son menores y la desviacion del comportamiento

del vapor de agua del comportamiento de un gas ideal disminuye, lo que permite suponer

con buena aproximacion, que el vapor de agua se comporta a bajas presiones como un

gas ideal en las mezclas de aire humedo.

4.11 Mezclas ideales de gas-vapor (aire humedo) 95

El contenido del vapor de agua en el aire humedo es variable; puede disminuir por su

condensacion o aumentar por la evaporacion de mas agua (lıquida). Los lımites para el

contenido de vapor de agua en el aire estan determinados por las condiciones de presion

y temperatura de la mezcla de gas-vapor, de tal manera que puede tenerse desde aire

completamente seco hasta aire humedo saturado. Este ultimo estado corresponde a la

maxima capacidad del aire para contener agua en estado de vapor.

Para las condiciones atmosfericas normales el aire seco se encuentra en un estado sobre-

calentado, distante de sus condiciones crıticas; por ello no se condensa. El vapor de agua

tambien se encuentra como vapor sobrecalentado, pero mas cercano de la zona de vapor

humedo del agua. En la Figura 4-11 se muestra un estado tıpico 1 para el vapor de agua

en una mezcla de aire humedo.

1

2T

2p

1

2T

2p

1

2T

2p

Figura 4-11: Estado tıpico del vapor de agua en una mezcla de aire humedo (estado 1).

El vapor de agua inicia su condensacion si la mezcla se enfrıa a presion

constante hasta alcanzar la temperatura de saturacion a esa temperatura

(estado 2p). El estado 2T corresponde a la presion de saturacion para la

temperatura de la mezcla de aire humedo y representa la maxima cantidad

de vapor de agua que puede contener el aire humedo para la temperatura

en el estado inicial.

La suma de las presiones parciales del aire y del vapor de agua corresponde a la presion

de la mezcla de aire humedo, como se indico en las secciones anteriores para las mezclas


de gases ideales:

p = pas + pH2O (4-146)

Una mezcla de aire humedo se encuentra en un estado no saturado, cuando el vapor de

agua se encuentra en un estado sobrecalentado (como en el estado 1 de la Figura 4-11).

Esta condicion se presenta cuando la temperatura de la mezcla de aire humedo (temper-

atura del estado 1) es mayor que la temperatura de saturacion del vapor, correspondiente

a su presion parcial en la mezcla (temperatura del estado 2p). El aire humedo se puede

llevar del estado 1 a su estado de saturacion si se enfrıa a presion constante hasta alcanzar

el estado 2p.

La condicion no saturada para el aire humedo anterior es equivalente a considerar que la

presion parcial del vapor de agua en la mezcla (presion del vapor de agua en el estado

1) es menor que la presion parcial de saturacion correspondiente a la temperatura a la

que se encuentra la mezcla de aire humedo (presion del estado 2T en la Figura 4-11).

Esto significa que el aire humedo en el estado 1 puede contener una cantidad mayor de

vapor de agua, hasta alcanzar a temperatura constante la presion parcial de saturacion

del vapor en el estado 2T .

En los estados de saturacion la temperatura de la mezcla es igual a la temperatura de sat-

uracion del vapor y la presion parcial del vapor de agua en la mezcla es igual a su presion

de saturacion. Las mezclas de aire humedo no pueden contener vapor de agua adicional

en los estados de saturacion. Lo anterior significa que en los estados de saturacion, el aire

humedo contiene la maxima cantidad posible de vapor de agua. La presion de saturacion

es una funcion de la temperatura de saturacion; para temperaturas mayores es mayor la

presion de saturacion y mayor la cantidad de vapor de agua que puede contener el aire.

El retiro adicional de calor a una mezcla de aire humedo saturada ocasiona el inicio de la

condensacion del vapor de agua. Bajo estas condiciones la mezcla de aire humedo puede

contener, ademas del aire y el vapor de agua saturado, agua en estado lıquido (neblina

y/o condensado). Cuando el enfriamiento ocurre para temperaturas menores a 0 ◦C, se

puede obtener una composicion de aire, vapor de agua saturado y agua en estado solido

(escarcha y/o hielo).

4.11.2. Humedad especıfica

El analisis de las propiedades termodinamicas especıficas del aire humedo se hace en fun-

cion de la masa del aire seco y no de la masa del aire humedo, ya que esta ultima es

variable en funcion del vapor de agua.


La humedad especıfica, fraccion o contenido de agua es la relacion entre la masa de

vapor de agua y la masa de aire seco en la mezcla de aire humedo; al considerar los dos

componentes como gases ideales, para una temperatura T y un volumen V , se tiene la

siguiente relacion para la humedad especıfica:

ω =mH2O

mas

=(pH2OV/RH2OT )

(pasV/RasT )=

pH2O/0, 4615

pas/0, 287= 0, 622

(pH2O

pas

), (4-147)

que puede expresarse en funcion de la presion total de la mezcla de gas y vapor,

ω = 0, 622pH2O

p− pH2O

. (4-148)

El valor maximo para la humedad especıfica se obtiene para la presion de saturacion del

vapor de agua a la temperatura de la mezcla:

ω = 0, 622pS,H2O

p− pS,H2O

. (4-149)

4.11.3. Humedad relativa

La humedad relativa se refiere a la relacion entre la masa de vapor en el aire humedo en

un estado determinado (p.e., el estado 1 en la Figura 4-11) y el valor maximo de vapor de

agua que puede contener la mezcla segun la temperatura a la que se encuentra. Este ultimo

estado corresponde al 2T en la Figura 4-11. De esta manera, para cada temperatura de la

mezcla de aire humedo, el contenido maximo de vapor de agua que puede contener queda

determinado por la presion de saturacion del vapor de agua (a la misma temperatura de

la mezcla), ası:

φ =mH2O

mS,H2O

=(pH2OV/RH2OT )

(pS,H2OV/RH2OT )=

pH2O

pS,H2O

. (4-150)

En la Figura 4-11 la humedad relativa para el estado 1, queda determinada por la presion

del vapor de agua en el estado 1 (pH2O) y la presion parcial de saturacion del vapor de

agua para la temperatura de la mezcla, que es la presion del estado 2T .

Al ser igual el volumen que ocupan ambos componentes de la mezcla, la humedad rela-

tiva tambien se puede expresar en funcion de la relacion de densidades o de volumenes

especıficos, ası:

φ =pH2O

pS,H2O

=ρH2O

ρS,H2O

=vS,H2O

vH2O

(4-151)

El aire seco tiene una humedad relativa φ = 0 y el aire humedo saturado una humedad

relativa de φ = 1.


La humedad especıfica y la humedad relativa se relacionan de la siguiente manera:

ω = 0, 622pH2O

pas

= 0, 622( pH2O

pS,H2O

)(pS,H2O

pas

)= 0, 622φ

(pS,H2O

pas

)(4-152)

y

φ = 1, 608ωpas

pS,H2O

. (4-153)

Las condiciones de comfort humano se encuentran en el intervalo de humedad relativa

entre 40 y 60%; este intervalo es importante para las condiciones de operacion de los

sistemas de acondicionamiento del aire.

4.11.4. Temperatura de rocıo

La temperatura de rocıo es la temperatura a la cual se inicia la condensacion del vapor de

agua cuando la mezcla de aire humedo se enfrıa a presion constante. En la Figura 4-11

la temperatura de rocıo para el estado 1 es la temperatura del estado 2p.

Este fenomeno de condensacion del vapor de agua presente en el aire es el que sucede,

por ejemplo, en las madrugadas frıas cuando la temperatura atmosferica disminuye y la

presion permanece constante; el vapor de agua se condensa en superficies como las hojas

de los arboles o las ventanas de casas y autos. Esto significa que la temperatura de rocıo

es la temperatura de saturacion correspondiente a la presion de la mezcla de aire y vapor

de agua,

Tro = Tsat,pH2O(4-154)

4.11.5. Volumen especıfico del aire humedo

El volumen especıfico del aire humedo se define por la relacion entre el volumen ocupado

por la mezcla (aire seco y vapor) y la masa del aire seco, considerando que esta masa

permanece constante (como ya se indico para la humedad especıfica):

v′ =V

mas

=volumen del aire humedo

masa del aire seco. (4-155)

Al considerar el volumen especıfico de la mezcla dado en funcion de la masa del aire

humedo, se tiene:

v =V

mas + mH2O

=volumen del aire humedo

masa del aire humedo, (4-156)


que se relacionan ası:

masv′ = (mas + mH2O)v,

v′ = (1 +mH2O

mas

)v = (1 + ω)v (4-157)

4.11.6. Entalpıa especıfica del aire humedo

La entalpıa del aire humedo se compone de las entalpıas del aire seco y del vapor de agua:

H = Has + HH2O = mashas + mH2OhH2O, (4-158)

al dividir por la masa de aire seco, se obtiene la entalpıa especıfica de la mezcla por unidad

de masa del aire seco para la temperatura T de la mezcla de aire humedo:

h = has +mH2O

mas

(hH2O) = has + ωhH2O (4-159)

Los valores de la entalpıa para el vapor de agua sobrecalentado a bajas presiones es aprox-

imadamente igual a la entalpıa del vapor de agua saturado a la misma temperatura, de tal

manera que hH2O en la ecuacion anterior se puede aproximar a hS,H2O, a la temperatura

de la mezcla. Se utilizan los valores de las tablas de vapor y no los valores de tablas de

gas ideal para el vapor de agua, porque estas utilizan valores de referencia diferentes para

la entalpıa cero; esto puede generar errores al considerar sistemas que contienen ademas

del vapor de agua, agua en estados lıquido o solido. Para la entalpıa del aire sı se pueden

emplear las tablas que lo consideran un gas ideal, porque el aire permanece como gas en

las aplicaciones consideradas.

La energıa interna especıfica del aire humedo se puede estimar de manera analoga al

calculo de la entalpıa especıfica.

4.11.7. Entropıa especıfica del aire humedo

La entropıa especıfica del aire humedo se puede calcular empleando la Ec. 4-104, para la

presion parcial del aire seco y del vapor de agua y la temperatura de la mezcla de aire

humedo. En el caso del vapor de agua, su entropıa en la mezcla de aire humedo se calcula

a partir de la entropıa de saturacion del vapor a la misma temperatura (de la mezcla) y

se obtiene la siguiente relacion:

s2 = s1 −Rln(p2

p1

)= sS,H2O −RH2Oln

( pH2O

pS,H2O

)= sS,H2O −Rlnφ (4-160)

donde el estado 2 corresponde al vapor de agua en la mezcla de aire humedo, el estado 1

al vapor de agua saturado a la temperatura T de la mezcla y φ es la humedad relativa,

segun la Ec.4-150.


4.11.8. Temperatura de saturacion adiabatica

La temperatura de saturacion adiabatica Tsa, la presion p y la temperatura T de una

mezcla de aire humedo permiten determinar su humedad especıfica ω.

Se pueden tener diversos tipos de saturadores adiabaticos; en esta seccion se analiza un

saturador adiabatico con dos entradas y una salida de masa, como se muestra en la Figura

4-12. Al equipo ingresa un flujo de aire humedo con condiciones T1 y p conocidas y con

humedad especıfica ω1 desconocida. Si el flujo de aire humedo que ingresa al equipo no se

encuentra en estado saturado, al entrar en contacto con la superficie del agua disponible

en el saturador aumenta su contenido de vapor de agua. Para una longitud suficiente del

saturador, el flujo de aire humedo alcanza el estado de saturacion a la temperatura Tsa.

Esta temperatura se debe mantener constante en el equipo. El saturador opera en estado

estacionario, no intercambia calor con el ambiente externo (es adiabatico) y no consume ni

genera potencia. Se supone que la presion p permanece constante y se desprecian los efec-

tos de las energıas cinetica y potencial de los flujos de masa. El nivel del agua disponible

en el saturador se mantiene constante, reponiendola continuamente con la misma tasa de

evaporacion.

Figura 4-12: Esquema de un saturador adiabatico con dos entradas y una salida de masa.

Con las suposiciones anteriores se establecen los balances de masa y energıa para el sat-

urador.

Balance de masa El flujo masico de aire humedo que ingresa en 1 es:

m1 = mas + mH2O,1 (4-161)

y el flujo masico de aire humedo que sale en 2 es:

m2 = mas + mH2O,2 = mas + mH2O,1 + mH2O,f (4-162)

considerando que el flujo de aire seco es constante y que el flujo masico del agua de salida

es mayor al de entrada en la fraccion de agua que se evapora en el saturador.


Balance de energıa Se establece para los flujos masicos de aire humedo que ingresa y

de agua que se evapora en el equipo y para el flujo de aire saturado que sale, ası:

0 = mashas,1 + mH2O,1hH2O,1 + mH2O,fhH2O,f − mashas,2 − mH2O,1hH2O,2 − mH2O,fhH2O,2.

Al dividir esta expresion por el flujo masico de aire seco, mas, se obtiene:

0 = (has,1 − has,2) +mH2O,1

mashH2O,1 − mH2O,1

mashH2O,2 +

mH2O,f

mashH2O,f − mH2O,f

mashH2O,2

y

0 = (has,1 − has,2) + (hH2O,1 − hH2O,2)ω + (hH2O,f − hH2O,2)ω′

donde ω es la humedad especıfica en el flujo masico de aire a la entrada del saturador y

ω′es la humedad especıfica de la masa de vapor de agua que se evapora en el saturador.

Esta humedad especıfica se puede calcular segun la Ec. 4-149, con la presion parcial de

saturacion del vapor de agua pS,H2O correspondiente a la temperatura de saturacion del

equipo, Tsa. Se obtiene finalmente una expresion para determinar la humedad especıfica

del flujo de aire humedo en las condiciones de entrada al saturador:

ω =(has,2 − has,1) + (hH2O,2 − hH2O,f )ω

′

(hH2O,1 − hH2O,2)=

has(Tsa)− has(T ) + [hv−H2O(Tsa)− hf−H2O(Tsa)]ω′

[hv−H2O(T )− hf−H2O(Tsa)],

(4-163)

donde las entalpıas se evaluan para cualquier temperatura de entrada de los flujos de aire

y de vapor (T ) y para la temperatura de saturacion adiabatica (Tsa) para el agua saturada

(f −H2O) y para el vapor saturado (v −H2O).

4.11.9. Temperaturas de bulbos seco y humedo

La temperatura de bulbo seco corresponde a la temperatura ordinaria medida con un

termometro comun que se ubica en la mezcla de aire humedo. La temperatura de bulbo

humedo se mide con un termometro de vidrio ordinario que tiene su bulbo rodeado por

algodon humedo, de tal manera que al entrar en contacto con el aire humedo no saturado,

una fraccion del agua se evapora y esto ocasiona una disminucion en la temperatura.

En las condiciones normales del aire atmosferico, la temperatura de bulbo humedo es

aproximadamente igual a la temperatura de saturacion adiabatica, como se establece en

la seccion anterior y puede utilizarse para evaluar los valores de la Ec. 4-163. Normalmente

las temperaturas de bulbo seco y de bulbo humedo se miden simultaneamente por medio

de los llamados ’psicrometros’.


4.11.10. Diagrama psicrometrico

Los diagramas psicrometricos facilitan los calculos graficos relacionados con los sistemas

que operan con aire humedo. Estos diagramas se realizan para una presion p constante,

que es normalmente la presion atmosferica; las variaciones pequenas alrededor de esta

presion no conducen a errores apreciables en los calculos. Para presiones distantes de la

atmosferica se deben realizar y utilizar diagramas ajustados.

Los diagramas psicrometricos tienen en el eje de las abscisas la temperatura ordinaria del

aire humedo o temperatura de bulbo seco en ◦C; en el eje de las ordenadas se tiene la

humedad especıfica del aire, con unidades de kg de agua / kg de aire seco o en g de agua

/ kg de aire seco.

El eje de la temperatura de bulbo seco corresponde con una humedad relativa de φ = 0,

es decir, a aire seco. En sentido ascendente se ubican las curvas de humedad relativa

mayores y constantes, hasta llegar al limite superior del diagrama para una humedad

relativa φ = 1 o φ = 100 %. Esta curva corresponde al estado de saturacion del vapor de

agua en el aire humedo y coincide con la temperatura de saturacion o de bulbo humedo,

indicada en ◦C. Las curvas de temperatura de saturacion adiabatica o de bulbo humedo

constante tienen una pendiente casi igual a las curvas de entalpıa constante por unidad

de masa de aire seco. Este hecho se puede explicar al considerar el proceso de saturacion

adiabatica, en el que la variacion de la entalpıa del aire humedo (entre la entrada y la

salida del saturador) debida al vapor de agua que se utiliza para la saturacion es muy baja.

Las curvas de volumen especıfico en m3/kg de aire seco tambien se incluyen en estos

diagramas e indican el volumen que ocupa cualquiera de los dos componentes del aire

humedo, cuando se supone que ocupan el volumen completo de la mezcla.

4.11.11. Sistemas de acondicionamiento de aire

[*Esta seccion debe estudiarse consultando alguno de los textos de la bibliografıa incluida

en el programa de la asignatura].

4.12. Resumen

Se han estudiado las relaciones entre las propiedades termodinamicas a traves de

las ecuaciones de estado termica y calorica; por medio de graficas y diagramas y en

forma tabulada para las sustancias de trabajo en sus diferentes fases.

Se ha presentado el modelo de gases ideales y los sistemas con cambios de fase, con

enfasis en los sistemas vapor-lıquido para el agua.

4.12 Resumen 103

Se aplican los principios fundamentales de la termodinamica a sistemas constituidos

por mezclas de gases ideales.

Se presenta el caso especial de la aplicacion a la psicrometrıa que analiza las mezclas

de aire vapor de agua, con la posible presencia de agua en fase lıquida o solida.

Bibliografıa

[1] Carnot, S. ; Thurston, R. H. (Ed.): Reflections on the Motive Power of Heat and

on Machines Fitted to Develop that Power. 1824. New York : J. Wiley & Sons, 1890

[2] Joule, J. P.: On the Calorific Effect of Magneto-Electricity, and on the Mechanical

Value of Heat. En: Philosophical Magazine 23 (1843), p. 263–276; 347–355

[3] Mayer, J. R.: Bemerkungen uber die Krafte der unbelebten Natur. En: Justus Liebigs

Annalen der Chemie 42 (1842), p. 233–240

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