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SISTEMAS DE COORDENADAS CURVILNEAS PARTE III

3. OPERADOR GRADIENTE EM COORDENADAS CURVILNEASDada uma funo escalar ( )z,y,xf , o gradiente f pode ser expresso em coordenadas

curvilneas ( )321 u,u,u atravs de:

333

222

111

eu

f

h

1e

u

f

h

1e

u

f

h

1f

+

+

= (*)

onde:

a)321

u,u,u so as coordenadas curvilneas;

b) ( )321 e,e,e a base ortonormal do sistema curvilneo;c) 321 h,h,h so chamados de coeficientes mtricos ou mtricas, sendo dados por:

33

22

11

u

rh,

u

rh,

u

rh

=

=

=

onde kzjyixr ++=

com ( )z,y,x sendo as coordenadas cartesianas de um ponto P.

d) ( )321 u,u,uff= o campo escalar no sistema curvilneo considerado.

A - GRADIENTE EM COORDENADAS CILNDRICAS

Seja a funo escalar f = f ( r, , z). Em termos das coordenadas cilndricas (r, , z), ascoordenadas cartesianas, os vetores unitrios ( )321 e,e,e , o vetor posio e as mtricas (h1, h2,h3) so dados por:

z3

2

r1

eezz

eesenry

eecosrx

==

==

==

kzjsenricosrr ++=

1z

rh,r

rh,1

r

rh 321 =

==

==

=

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Deste modo, a partir de (*), o gradiente em coordenadas cilndricas dado por:

zr ez

fe

f

r

1e

r

ff

+

+

=

B GRADIENTE EM COORDENADAS ESFRICAS

Seja a funo escalarf = f(, , ). Em termos das coordenadas esfricas (, , ), as

coordenadas cartesianas, os vetores unitrios ( )321 e,e,e , o vetor posio e as mtricas (h1, h2,h3) so dados por:

==

==

==

eecosz

eesenseny

eecossenx

3

2

1

kcosjsensenisencosr ++=

1r

h

kcosjsensenisencosr

1 =

=

++=

=

=

+=

=

=

+=

senr

h

jsencosisensenr

rh

ksenjcossenicoscosr

3

2

Deste modo, a partir de (*), o gradiente em coordenadas esfricas dado por:

+

+

= e

f

sen

1e

f1e

ff

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EXEMPLO

Sabendo-se que o potencial gravitacional de Newton em um ponto P, a uma distncia

do centro de atrao ( origem O), dado por:

OP

K)(U

=

=

mostre que a fora gravitacionalF

=

3

KF

um campo gradiente, ou seja, .UF =

Resoluo

No sistema de coordenadas esfricas:

1KK

U =

=

As derivadas parciais em relao (, , ) so:

0U

,0U

,KU

2=

=

+=

De modo que o gradiente de U :

++

= e0e0eK

U2

ou seja:

= eK

F2

4. DIVERGENTE EM COORDENADAS CURVILNEAS

Dado um campo vetorial F

, atravs de mudana de coordenadas, o valor do divergente

FF

= em um sistema de coordenadas curvilneas de um modo geral se escreve:

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( ) ( ) ( )

+

+

= 321

3231

2132

1321

Fhhu

Fhhu

Fhhuhhh

1F

(**)

onde:

1) 321 u,u,u so as coordenadas curvilneas;2) 321 h,h,h so os coeficientes mtricos;

3) 321 e,e,e a base ortonormal do sistema curvilneo;4) ( ) ( ) ( ) ( )

332132321213211321eu,u,uFeu,u,uFeu,u,uFu,u,uFF ++==

.

A - DIVERGENTE EM COORDENADAS CILNDRICAS

Seja o campo vetorial F

expresso no sistema de coordenadas cilndricas:

zzrreFeFeFF ++=

Utilizando (**) e as mtricas apresentadas no item 3 para o sistema de coordenadas

cilndricas, o divergente de F

expresso por:

( ) ( ) ( )

+

+

== zr Fr

zFFr

rr1FFdiv

ou ainda:

+

+

+==

z

Fr

F

r

FrF

r

1FFdiv zrr

B - DIVERGENTE EM COORDENADAS ESFRICAS

Seja o campo vetorial F

expresso no sistema de coordenadas esfricas:

++= eFeFeFF

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Utilizando (**) e as mtricas apresentadas no item 3 para o sistema de coordenadas

esfricas, o divergente de F

expresso por:

( ) ( ) ( )

+

+

== FFsenFsen

sen

1FFdiv 2

2

desenvolvendo as derivadas:

+

++

+

=

FFsenFcos

FsenFsen2

sen

1F 2

2

adequando os termos:

+

+

+

+

=

F

sen

1FFgcot

1FF

2F

EXEMPLO

Mostre que o campo eletrosttico E

, produzido por uma carga unitria positiva em O

e dado por:3

E

=

solenoidal (ou seja, 0E =

) , onde OP==

,

Resoluo

Utilizando coordenadas Esfricas:

=

= ee1

E2

2

As derivadas parciais so:

32

E,0

E,0

E =

=

=

E o divergente dado por:

00212

E32

++

+

=

solenoidalcampo0E =

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5. ROTACIONAL EM COORDENADAS CURVILNEAS

Utilizando mudana de coordenadas pode-se mostrar que o valor de F

em umsistema de coordenadas curvilneas de um modo em geral se escreve como:

332211

321

332211

321

FhFhFh

uuu

eheheh

hhh

1F

=

(***)

onde:

1) 321 u,u,u so as coordenadas curvilneas;2) 321 h,h,h so os coeficientes mtricos;

3)321

e,e,e a base ortonormal do sistema curvilneo;

4) ( ) ( ) ( ) ( )332132321213211321

eu,u,uFeu,u,uFeu,u,uFu,u,uFF ++==

.

A - ROTACIONAL EM COORDENADAS CILNDRICAS

Seja o campo vetorial F

expresso no sistema de coordenadas cilndricas:

zzrreFeFeFF ++=

Utilizando (***) e as mtricas apresentadas no item 3 para o sistema de coordenadas

cilndricas, o rotacional de F

expresso por:

zr

zr

FFrF

zr

eere

r

1

F

=

Efetuando o produto vetorial, o rotacional em coordenadas cilndricas dado por:

( ) ( ) ( ) ( )

+

+

=

z

rzr

r

ze

F

r

Frer

r

F

z

Fe

z

FrF

r

1F

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B - ROTACIONAL EM COORDENADAS ESFRICAS

Seja o campo vetorial F

expresso no sistema de coordenadas esfricas:

++= eFeFeFF

Utilizando (***) e as mtricas apresentadas no item 3 para o sistema de coordenadas

esfricas, o rotacional de F

expresso por:

=

FsenFF

esenee

sen

1F

2

ou ainda desenvolvendo o produto vetorial:

( ) ( ) ( )

( )

+

+

+

=

esenF

F

eFsenF

eFFsensen

1F

2

EXEMPLO

Utilizando coordenadas esfricas mostre que o campo de foras

=

2

KQqF

conservativo, com

sendo o vetor posio que une as cargas q e Q..

Resoluo

Utilizando coordenadas esfricas:

=

=

= eFe

KQqKQqF

22

De modo que as componentes em eee so nulas, ou seja:

0FF ==

Calculando o rotacional, tm-se:

++

= e0e)00(e0sen

1F

2

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ou seja:

.voconservaticampo0F =

6. LAPLACIANO EM COORDENADAS CURVILNEAS

O Laplaciano um campo escalar definido a partir de um campo escalar f, por:

( )f)fgrad(divf2 == .

Usando mudana de coordenadas pode-se mostrar que o valor f2

em um sistema decoordenadas curvilneas, de um modo geral se escreve:

+

+

=

33

21

322

13

211

32

1321

2

u

f

h

hh

uu

f

h

hh

uu

f

h

hh

uhhh

1f (****)

onde:

1) 321 u,u,u so as coordenadas curvilneas;2) 321 h,h,h so os coeficientes mtricos;3)

321e,e,e a base ortonormal do sistema curvilneo;

4) f = f321

u,u,u o valor do campo escalar no sistema curvilneo considerado.

A - LAPLACIANO EM COORDENADAS CILNDRICAS

Seja a funo escalar f = f ( r, , z). Em termos das coordenadas cilndricas (r, , z), ascoordenadas cartesianas, os vetores unitrios ( )321 e,e,e , o vetor posio e as mtricas (h1, h2,h3) so dados por

1h,rh,1h 321 ===

+

+

=

z

fr

z

f

r

1

r

fr

rr

1f2

+

+

+

=

2

2

2

2

2

22

z

fr

f

r

1

r

fr

r

f

r

1f

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B - LAPLACIANO EM COORDENADAS ESFRICAS

f= f(, , ) e === senh,h,1h 321

+

+

=

f

sen

fsenf

1

sen

sen

1f

2

2

2

+

+

+

+

=

2

2

2

2

2

22

2

2 f

sen

1fsen

fcos

fsen

fsen2

sen

1f

2

2

222

2

222

22 f

sen

1f1fgcotff2f

+

+

+

+

=

A forma mais usual do Laplaciano em coordenadas esfricas dada por:

2

2

22

2

2

2

2

f

sen

1

fsen

sen

1f1f

+

+

=

NOTA: O Laplaciano um elemento importante da fsica-matemtica paradefinio da equao de vrios fenmenos. Por exemplo: A equao de Laplace

0U2

= caracteriza o potencial eltrico de uma distribuio esttica de cargasem uma regio onde a densidade de carga nula.

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EXERCCIOS

1 - Dados os campos escalares abaixo, pede-se as expresses de U e U2

nos

respectivos sistemas em que esto definidos:

a) U = x y z

b)22

zrU +=

c) =U

2) Dados os campos vetoriais abaixo pede-se as expresses F

e F

nosrespectivos sistemas em que esto definidos:

a) kxjziyF +=

b) zr erezF +=

c) += eeeF

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

- Anotaes de aula de CDI- II do Prof, Cornetti;

- Elementos da Anlise Vetorial: Csar Dacorso Neto

- Fsica Matemtica: Eugene Butkov - Editora Guanabara Koogan