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Complementi di Idraulica Ambientale Prof. Mauro De Marchis 31/03/2014 – 08/04/2014
Corso di Laurea Ingegneria Civile e Ambientale
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ENNA “KORE” FACOLTÀ DI INGEGNERIA E ARCHITETTURA
Colpo d’ariete e cassa d’aria Esercitazioni
INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE COMPLEMENTI DI IDRAULICA AMBIENTALE
COLPO D’ARIETE
10 marzo 2014 3 Moto vario nelle condotte in pressione -‐ Oscillazioni di massa
Nel caso in cui si chiuda istantaneamente l’otturatore, per l’inerzia della massa fluida e per l’elasticità del liquido e della condotta, non si arresta subito tutta la colonna liquida (il moto vario non è di tipo anelastico), ma essa è soggetta a rapidissime oscillazioni di tipo elastico. La colonna liquida si comprime e si accorcia, si dilata e si allunga. L’onda di pressione suscitatasi alla chiusura dell’otturatore migra lungo la colonna liquida riflettendosi all’imbocco, dove la pressione è sempre quella dovuta alla posizione del pelo libero nel serbatoio, cambiando di segno all’otturatore nell’ulteriore ipotesi che ivi non si possa avere cavitazione.
INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE COMPLEMENTI DI IDRAULICA AMBIENTALE
COLPO D’ARIETE
10 marzo 2014 4 Moto vario nelle condotte in pressione -‐ Oscillazioni di massa
Lo studio dei fenomeni di moto vario elastico, caratterizzati da variazioni forti e rapide (o addirittura istantanee) della velocità e della pressione, rende necessario tenere conto, durante il transitorio, dell’influenza che esercitano
la comprimibilità del liquido e la deformabilità elastica della condotta
Equazione del moto
Equazione di continuità
La densità del liquido e l’area della sezione dipendono da s e da t per tramite della pressione.
∂h∂s +
V g ∂V∂s +
1g ∂V∂t +
λD
V׀V׀2g = 0
V ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞
ρ∂A∂p + A
∂ρ∂p
∂p∂s + ρ A
∂V∂s +
⎝⎜⎛
⎠⎟⎞
ρ∂A∂p + A
∂ρ∂p
∂p∂t = 0
∂(ρA)∂t +
∂(ρQ)∂s = 0
La velocità V e la pressione P sono funzione dell’ascissa s e del tempo t. Dovendosi considerare il liquido comprimibile e la condotta deformabile è necessario definirne i comportamenti elastici, ossia le relazioni ρ(P) e A(P), che rappresentano le leggi di variabilità della densità del liquido e della sezione trasversale della condotta.
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COLPO D’ARIETE
10 marzo 2014 5 Moto vario nelle condotte in pressione -‐ Oscillazioni di massa
dW = − Wε
dp
Per il principio di conservazione della massa si ha che M=cost …… dM=0 ….. M=ρW ……. d(ρW)=0 ρdW+Wdρ=0 dW = −
Wρ
dρ dρρ
= dp ε
dρdp =
ρε
Modulo di elasticità a compressione cubica
Se il fluido è comprimibile ad un incremento di pressione dP corrisponderà una diminuzione di volume dW data da:
Comprimibilità del liquido
Equazione del moto
Equazione di continuità
∂h∂s +
V g ∂V∂s +
1g ∂V∂t +
λD
V׀V׀2g = 0
V ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞
ρ∂A∂p + A
∂ρ∂p
∂p∂s + ρ A
∂V∂s +
⎝⎜⎛
⎠⎟⎞
ρ∂A∂p + A
∂ρ∂p
∂p∂t = 0
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COLPO D’ARIETE
10 marzo 2014 6 Moto vario nelle condotte in pressione -‐ Oscillazioni di massa
Limitandosi al caso di condotta circolare di spessore e molto piccolo rispetto ad diametro D (tubo sottile):
Deformabilità della condotta
Formula di Mariotte
σ = p D2 e dσ =
dp D2 e
Deformazioni in campo elastico (legge di Hooke): dDD =
dσE =
dp D2 e E
Modulo di elasticità lineare della condotta A ∩ D2 dA
A = 2 dDD dA
dp = A De E
Equazione del moto
Equazione di continuità
∂h∂s +
V g ∂V∂s +
1g ∂V∂t +
λD
V׀V׀2g = 0
V ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞
ρ∂A∂p + A
∂ρ∂p
∂p∂s + ρ A
∂V∂s +
⎝⎜⎛
⎠⎟⎞
ρ∂A∂p + A
∂ρ∂p
∂p∂t = 0
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COLPO D’ARIETE
10 marzo 2014 7 Moto vario nelle condotte in pressione -‐ Oscillazioni di massa
V ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞
ρ A De E + A
ρε ∂p∂s + ρ A
∂V∂s + ⎝⎜
⎛⎠⎟⎞
ρ A De E + A
ρε ∂p∂t = 0
Equazione del moto
Equazione di continuità
∂h∂s +
V g ∂V∂s +
1g ∂V∂t +
λD
V׀V׀2g = 0
V ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞
ρ∂A∂p + A
∂ρ∂p
∂p∂s + ρ A
∂V∂s +
⎝⎜⎛
⎠⎟⎞
ρ∂A∂p + A
∂ρ∂p
∂p∂t = 0
ρ∂A∂p + A
∂ρ∂p = ρ
A De E + A
ρε
a =
ερ
1+εDe E
∂h∂t =
1 γ ∂P∂t
∂h∂s =
1 γ ∂P∂s +
∂z∂s
γΑa2
∂h∂t
γΑa2
⎝⎜⎛
⎠⎟⎞∂h
∂s + sen(β)
V∂h∂s +
a2
g ∂V∂s +
∂h∂t + V sen(β) = 0
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COLPO D’ARIETE
10 marzo 2014 8 Moto vario nelle condotte in pressione -‐ Oscillazioni di massa
Equazione del moto
Equazione di continuità
∂h∂s +
V g ∂V∂s +
1g ∂V∂t +
λD
V׀V׀2g = 0
V∂h∂s +
a2
g ∂V∂s +
∂h∂t + V sen(β) = 0
Il sistema può essere risolto alle differenze finite per determinare le incognite V(s,t) e h(s,t).
Generalmente si preferisce operare su un altro sistema di equazioni ad esso equivalente che sfrutta le proprietà di alcune curve nel piano cartesiano delle variabili s e t, dette curve caratteristiche
Moltiplicando l’equazione del moto per a e sommando membro a membro
∂h∂t + (V+a)
∂h∂s +
ag ∂V∂t + (V+a)
∂V∂s + V sen(β) + a J = 0
Assumendo che il termine (V + a) sia uguale alla derivata di s rispetto a t
dhdt +
ag
dVdt + V sen(β) + a J = 0
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COLPO D’ARIETE
10 marzo 2014 9 Moto vario nelle condotte in pressione -‐ Oscillazioni di massa
Il problema del moto vario è stato ricondotto alla soluzione delle due equazioni differenziali ordinarie:
dhdt ±
ag
dVdt + V sen(β) ± a J = 0
Che risultano valide per valori si s e di t legati dalle condizioni:
dsdt = V ± c Curve caratteristiche
Equazioni di compatibilità
Condizioni iniziali e condizioni al contorno
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COLPO D’ARIETE
10 marzo 2014 10 Moto vario nelle condotte in pressione -‐ Oscillazioni di massa
In termini di differenziali totali:
ht+1i
= h ti-1
+ h ti+1
2 - a2g( )V t
i+1 - V t
i-1 - V ti-1
+ V ti-1
2 sen(β) ∆t - a2 ( )J t
i-1 - J t
i+1 ∆t
V t+1i
= - g
2a ( )h ti+1
+ h ti-1
+ V ti-1
+ V ti+1
2 - g
2a( )V ti-1
- V ti+1
sen(β) ∆t - g2 ( )J t
i-1 - J t
i+1 ∆t
Generico nodo interno:
Nodo di monte (serbatoio):
V t+11
= ga ( )ht+1
1 - ht
2 + Vt
2 +
ga( )Vt
2 sen(β) - a J t
2 ∆t
ht+11
= h01
dh ± ag dV + V sen(β) dt ± a J dt = 0
h t+1
i – h
ti-1
+ ag(V
t+1i
– V t
i-1) + (V
ti-1
sen(β) + a J ti-1
) ∆t = 0
h t+1
i – h
ti+1
– ag(V
t+1i
– V t
i+1) + (V
ti+1
sen(β) – a J ti+1
) ∆t = 0
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10 marzo 2014 11 Moto vario nelle condotte in pressione -‐ Oscillazioni di massa
Nodo di valle (otturatore):
t > Tc
V t+1N+1
= 0
h t+1N+1
= h tN
+ ag V
tN
- V tN
sen(β) ∆t - a J tN
t < Tc (nel caso di manovra di chiusura non istantanea)
V t+1N+1
V 0N+1
= At+1
ott (ht+1
ott - z)
A 0ott
(h 0ott
- z)
η = Tc-tTc =
At+1ott
A 0ott
12g C2
c η(t)2 V
t+1N+1
V t+1
N+1 +
ag V
t+1 --
agV
tN
- h tN
+ V tN
sen(β) ∆t + a J tN
∆t = 0
h t+1N+1
= 1
2g C2c η(t)2
V t+1
N+1V
t+1N+1
h t+1
i – h
ti-1
+ ag(V
t+1i
– V t
i-1) + (V
ti-1
sen(β) + a J ti-1
) ∆t = 0
h t+1
i – h
ti+1
– ag(V
t+1i
– V t
i+1) + (V
ti+1
sen(β) – a J ti+1
) ∆t = 0
Vt+1
N+1 = μ
Σt+1
A 2g ⎝⎛
⎠⎞h
t+1
N+1 − h
v
Quota piezometrica nel baricentro della sezione contratta
Schematizzando l’ugello come una luce a battente di area variabile si può esprimere la portata defluente, istante per istante, nella forma valida in condizioni di moto permanente ottenendo un vincolo tra velocità e carico piezometrico.
V
t+1N+1
V
0N+1
= η h t+1
N+1– hv
h 0N+1
– hv
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31 marzo 2014 12 Moto vario nelle condotte in pressione – Colpo d’ariete
Considereremo una condotta semplice alimentata da un serbatoio a quota piezometrica costante. Immediatamente prima dello sbocco è inserita una valvola di regolazione della portata. Il dislivello tra il serbatoio di alimentazione e quello di valle è pari a 100 m, mentre la condotta da diametro D=0.6 m, lunghezza L=15000 m, spessore s=0.004m, scabrezza assoluta ε=0.002 m, modulo di elasticità E=2 1011 N/m2.
Manovra di chiusura totale istantanea della valvola Tc = 0. All’istante iniziale la quota piezometrica raggiunge il valore 155.5, di poco superiore al termine cV0/g = 153 m. Nel successivo intervallo si ha una crescita lineare della quota piezometrica, che raggiunge il valore di 243 m. Successivamente la quota piezometrica subisce una repentina riduzione, raggiungendo il valore di 64.7 m (si determina una depressione d i va lo re p ros s imo a que l lo de l l a sovrapressione), continuando poi a scendere nel successivo intervallo fino a raggiungere il valore -0.08 m. Il fenomeno poi continua a svilupparsi in modo oscillatorio, con uno smorzamento dovuto alle perdite di carico
INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE COMPLEMENTI DI IDRAULICA AMBIENTALE
COLPO D’ARIETE
31 marzo 2014 13 Moto vario nelle condotte in pressione – Colpo d’ariete
Considereremo una condotta semplice alimentata da un serbatoio a quota piezometrica costante. Immediatamente prima dello sbocco è inserita una valvola di regolazione della portata. Il dislivello tra il serbatoio di alimentazione e la quota geodetica della sezione di sbocco è pari a 100 m, mentre la condotta da diametro D=0.6 m, lunghezza L=15000 m, spessore s=0.004m, scabrezza assoluta ε=0.002 m, modulo di elasticità E=2 1011 N/m2.
Manovra di chiusura totale lenta della valvola Tc = 5 L/c.
La massima quota piezometrica viene raggiunta al termine della manovra di chiusura e la massima sovrapressione risulta inferiore a quella verificatasi nella manovra istantanea. La sovrapressione di colpo d’ariete fornita dalla formula di Allievi-Michaud risulta pari a ∆h = 2L/gTV0 = 31 m, cui corrispondono valori massimi della quota piezometrica di 131, alquanto diversi da quelli ottenuti con il metodo delle caratteristiche.
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COLPO D’ARIETE
31 marzo 2014 14 Moto vario nelle condotte in pressione – Colpo d’ariete
INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE COMPLEMENTI DI IDRAULICA AMBIENTALE
COLPO D’ARIETE
10 marzo 2014 15 Moto vario nelle condotte in pressione -‐ Oscillazioni di massa
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10 marzo 2014 16 Moto vario nelle condotte in pressione -‐ Oscillazioni di massa
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CASSA D’ARIA
10 marzo 2014 17 Moto vario nelle condotte in pressione -‐ Oscillazioni di massa
Lg
dVdt – Δ +
⎝⎜⎛
⎠⎟⎞λ L
2 g D + β V |V| = 0
Dislivello piezometrico tra la sezione iniziale della condotta di mandata
all’attacco della cassa d’aria e quella allo sbocco nel serbatoio di valle
Perdite di carico indotte dalla presenza di una strozzatura nel
tratto di collegamento tra la cassa d’aria e la condotta
dWdt = V A
W = Ws ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞Ys
Ys + Δ1/n
Equazione di continuità (la variazione nell’unità di tempo del volume d’aria contenuto nella cassa
d’aria è pari al volume che attraversa una qualunque sezione della condotta nell’unità di tempo)
Altezza piezometrica assoluta alla base della cassa al termine
del transitorio quando si raggiunge la condizione
idrostatica.
Volume d’aria in condizioni
idrostatiche
Equazione di stato (trascurando la differenza di pressione tra l’aria
contenuta nella cassa e l’acqua alla base della stessa)
Equazione differenziale del moto
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CASSA D’ARIA
10 marzo 2014 18 Moto vario nelle condotte in pressione -‐ Oscillazioni di massa
A parità di volume della cassa d’aria e di massima depressione in condotta, l’inserimento di una strozzatura determina una riduzione della massima sovrapressione, mentre per fissata sovrapressione massima la presenza di una
strozzatura permette di ridurre il volume della cassa d’aria
Nel caso in cui la cassa d’aria sia munita di strozzatura nel tronchetto di collegamento con la condotta, dovrà distinguersi tra la pressione all’interno della cassa d’aria e quella in condotta (la differenza tra i due valori è pari alla perdita di carico localizzata indotta dalla strozzatura che interviene soltanto in sede di moto vario). Le perdite di carico hanno un effetto positivo sul fenomeno di smorzamento delle oscillazioni di massa, ragion per cui viene inserire la strozzatura. All’istante t = 0 l’intera portata Q0 defluisce dalla cassa d’aria attraverso la strozzatura e la perdita di carico nella strozzatura vale βQ0
2 . Il livello nella cassa d’aria non ha ancora mutato la sua posizione ∆0 mentre il carico in condotta (immediatamente a valle della strozzatura) assume il valore ∆0 – βQ0
2. Se la strozzatura è piccola può risultare ∆0 – βQ02 < –∆ min
In questo caso la galleria è sottoposta ad una depressione inferiore in modulo a quella corrispondente al minimo livello registrabile nella cassa d’aria. Affinché l’altezza piezometrica nella sezione della condotta collegata con la cassa d’aria non risulti inferiore a quello che si sarebbe avuto in assenza di strozzatura (nel qual caso la strozzatura non avrebbe un effetto positivo ma negativo sul sistema dovrà essere:
Λ0 ≤ Δ0 + |Δmin|
La STROZZATURA OTTIMA determina il più veloce smorzamento del fenomeno compatibile con il mantenimento della stessa depressione massima
(in valore assoluto) che si sarebbe raggiunta, in condotta, in assenza di strozzatura
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CASSA D’ARIA
10 marzo 2014 19 Moto vario nelle condotte in pressione -‐ Oscillazioni di massa
Lg
dVdt – Δ +
⎝⎜⎛
⎠⎟⎞λ L
2 g D + β V |V| = 0
dWdt = V A
W = Ws ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞Ys
Ys + Δ1/n
Discretizzazione esplicita alle differenze finite
Wr − Wr −1
Δt = Vr −1 A
Wr = Ws ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞Ys
Ys + Δr
1/n
Lg
Vr − Vr −1
Δt – Δr + λD
Vr − 1 |V r − 1|2g L = 0
Condizioni iniziali
Δ0 = J0 L
W0 = Ws ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞Ys
Ys + Δ0
1/n
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CASSA D’ARIA - Progetto
20 Moto vario nelle condotte in pressione -‐ Oscillazioni di massa
Ai fini del dimensionamento della cassa d’aria a valle di un impianto di sollevamento si procede fissando il massimo salto di pressione ammissibile tra la fase di esercizio e la minima pressione registrabile durante il moto vario, in altri termini si fissa ∆min. Il massimo salto di pressione ammissibile si assume generalmente pari al 50% della pressione nominale della condotta, che per l’acciaio è pari a 20 atm. Nell’applicare tale criterio di dimensionamento della cassa d’aria bisogna tuttavia rispettare opportuni limiti riguardanti la minima pressione tollerabile in condotta, la quale è opportuno che non scenda mai al di sotto di 1 atm. Il più restrittivo tra i due criteri permette di definire ∆min.
D= 0.3 m; l = 1000 m; ε = 0.001; Hs = 25 + 10.33 m Q = 0.10 m3/s λ = 0.027; J = 0.0092; Δ0 = J⋅ l = 9.16 m; h0 = Δ0/Hs = 0.259 Pmin = 1 atm |zmin| = 1 − ΔP/(γ Ηs) = 0.43
σ = 0.4 σ = AL
YsWs V02
2g
0.764 Wmax = Ws⎝⎜⎛
⎠⎟⎞Hs
(Hs −|zmin|)
11.41 = 2.04 m3
0.510
Strozzatura ottima
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CASSA D’ARIA - Progetto
10 marzo 2014 21 Moto vario nelle condotte in pressione -‐ Oscillazioni di massa
Ai fini del dimensionamento della cassa d’aria a valle di un impianto di sollevamento si procede fissando il massimo salto di pressione ammissibile tra la fase di esercizio e la minima pressione registrabile durante il moto vario, in altri termini si fissa ∆min. Il massimo salto di pressione ammissibile si assume generalmente pari al 50% della pressione nominale della condotta, che per l’acciaio è pari a 20 atm. Nell’applicare tale criterio di dimensionamento della cassa d’aria bisogna tuttavia rispettare opportuni limiti riguardanti la minima pressione tollerabile in condotta, la quale è opportuno che non scenda mai al di sotto di 1 atm. Il più restrittivo tra i due criteri permette di definire ∆min.
D= 0.3 m; l = 1000 m; ε = 0.001; Hs = 25 + 10.33 m Q = 0.10 m3/s λ = 0.027; J = 0.0092; Δ0 = J⋅ l = 9.16 m; h0 = Δ0/Hs = 0.259 Pmin = 1 atm |zmin| = 1 − ΔP/(γ Ηs) = 0.43 σ = 0.25 σ =
ALYsWs
V02
2g
1.422 Wmax = Ws⎝⎜⎛
⎠⎟⎞Hs
(Hs −|zmin|)
11.41 = 2.04 m3
0.95
Senza strozzatura
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CASSA D’ARIA - Verifica
10 marzo 2014 22 Moto vario nelle condotte in pressione -‐ Oscillazioni di massa
Senza strozzatura W = 1.42 m3 Strozzatura ottima W = 0.76 m3
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CASSA D’ARIA - Verifica
10 marzo 2014 23 Moto vario nelle condotte in pressione -‐ Oscillazioni di massa
Senza strozzatura W = 1.42 m3 Strozzatura ottima W = 0.76 m3 Variazione temporale del dislivello piezometrico tra la cassa d’aria e il serbatoio di valle.
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CASSA D’ARIA - Verifica
10 marzo 2014 24 Moto vario nelle condotte in pressione -‐ Oscillazioni di massa
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CASSA D’ARIA - Verifica
10 marzo 2014
INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE COMPLEMENTI DI IDRAULICA AMBIENTALE
CASSA D’ARIA - Verifica
10 marzo 2014
INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE COMPLEMENTI DI IDRAULICA AMBIENTALE
CASSA D’ARIA - Verifica
10 marzo 2014
Complementi di Idraulica Ambientale Prof. Mauro De Marchis 26/03/2014
Corso di Laurea Ingegneria Civile e Ambientale
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