Curs - 03 - Cfdp

11/13/2013

1

Metoda Elementului Finitcurs

As. Dr. Ing. Crian Andreidep. de Construcii Civile i Mecanica Construciilor

Universitatea POLITEHNICA [email protected]

2013 - 2014 Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF

Introducere

Rezolvarea unei aplicaii simple resort

Rezolvarea unei aplicaii simple sistem de resorturi Folosirea celor 7 pai

Proprietile matricii de rigiditate

Curs 3Abordarea aplicaiilor inginereti cu MEF

Introducere Tipuri de sisteme rezolvate cu element finit



Sisteme discrete

Sisteme continue

Sunt sisteme cu un numr cunoscut (predefinit) de elemente Numrul de zbrele dintr-o grind cu zabrele

Numrul de resoarte ntr-un sistem de resoarte

Comportament lor poate fi relativ uor descris prin funcii matematice

De obicei sunt sisteme liniare (nu ntotdeauna)

Rezolvarea lor este, de obicei, simpl i direct

11/13/2013

2



Sisteme discrete

Sisteme continue

Sunt sisteme cu un numr necunoscut de elemente

Comportamentul sistemului NU poate fi uor descris prin funcii matematice

Ecuaiile folosite pentru a descrie comportamentul sistemului sunt complicate (de multe ori aproximative)


Rezolvarea unei aplicaii simple resort Exemplu de element discret resort / zbrea

Poziie iniial

Poziie final

F = k

fora

deformata

constanta resortului (rigiditatea) k = dat de productor

F = 20 kNk = 1500 kN / m

= ?

= F / k = 20 / 1500 = 0,013 m = 13 mm


Rezolvarea unei aplicaii simple resort Exemplu de element discret resort / zbrea

Poziie iniial

Poziie final

F = k

fora

deformata

rigiditatea axial a barei k = E A / L0

F = 20 kNA = 100 mm2

E = 210 000 N/mm2

L0 = 1 m

= ?

= F / k = F / (E . A / L) = F . L / E . A = 20 . 1 / (... ?) = 20 . 1 / 21 000 = 9.52 . 10-4 m = 0.952 mm

0.0001 m2

210 000 000 kN/m2


Rezolvarea unei aplicaii simple resort Pentru o valoare cunoscut a forei P, determinai deplasarea sistemului.

Pasul 1: discretizarea sistemului de resoarte

11/13/2013

3



Pasul 2: Selectarea funciilor de interpolare

Deformaia elementului (resortului) este liniar pe lungimea acestuianu este necesar nici o funcie de interpolare

F = k



Pasul 3: Alegerea / determinarea proprietilor elementelor

Poziie iniial

Poziie final

rigiditatea resortului, ke

L0 = 1 mL = 2 m = L L0 = 1 m

Dac se cunosc deplasrile la capete: e1 = 0.25 me2 = 1.25 m = e2 e1 = 1 m

F = 20 kNk = 1500 kN / m

Fe2 = ke . = ke (e2 e1) =

Fe2 = 1500 kN

Aplicnd condiiile de eq.Fx = 0: Fe1 + Fe2 = 0

Equaia elementului:Ke

. e = fe



Pasul 3: Alegerea / determinarea proprietilor elementelor

Poziie iniial

Poziie final

rigiditatea resortului, ke

L0 = 1 mL = 2 m = L L0 = 1 m

Dac se cunosc deplasrile la capete: e1 = 0.25 me2 = 1.25 m = e2 e1 = 1 m

Proprieti ale KeSimetric; Singular;nu are invers

Fizic: Un resort ncrcat la un capt cu o for nu se poate deforma dac nu este prins la cellalt capt

Pentru rezolvare Ke. e = fe

Condiii de margine

Matricea de rigiditate

Ke =

e =

fe = FF

=

F = 20 kNk = 1500 kN / m

Fe2 = ke . = ke (e2 e1) =

Fe2 = 1500 kN

Aplicnd condiiile de eq.Fx = 0: Fe1 + Fe2 = 0

Equaia elementului:Ke

. e = fe



Pasul 4: Asamblarea elementelor

Compatibilitatea

Echilibrul

Sistemul discretizat

11/13/2013

4




Compatibilitatea ntr-un nod, valorea necunoscut a deplasrilor trebuie s fie aceeai pentru toate elementele

conectate n acel nod


ElementNod

Local Global

112

12

212

23

312

23

412

34




Echilibrul Suma forelor n noduri trebuie se fie zero (nodul trebuie se fie n echilbru)

Suma forelor interne aplicate n nodul i trebuie s fie egal cu rezultanta forelor exterioare n nod


ElementNod

Local Global

112

12

212

23

312

23

412

34





= FF

ElementNod

Local Global

112

12

212

23

312

23

412

34





= FF

ElementNod

Local Global

112

12

212

23

312

23

412

34

11/13/2013

5





= FF

ElementNod

Local Global

112

12

212

23

312

23

412

34





= FF

ElementNod

Local Global

112

12

212

23

312

23

412

34





= FF

ElementNod

Local Global

112

12

212

23

312

23

412

34





= FF

ElementNod

Local Global

112

12

212

23

312

23

412

34

11/13/2013

6





= FF

ElementNod

Local Global

112

12

212

23

312

23

412

34





= FF

ElementNod

Local Global

112

12

212

23

312

23

412

34





ElementNod

Local Global

112

12

212

23

312

23

412

34

+ +

+

=

FFF



Pasul 4: Asamblarea elementelor - COMPATIBILITATEA

ntr-un nod, valorea necunoscut a deplasrilor trebuie s fie aceeai pentru toate elementele conectate n acel nod

+ + + +

=

FFFF

11/13/2013

7

+ +

+

=

FFF





= FF

+ + + +

=

FFF

+ +

+

=

FFF





= FF

= FF

+

+ + + +

=

FFF





= FF

= FF

= FF

+ +

+ + + + +

=

FFF





= FF

= FF

= FF

= FF

+ +

+ + + + +

=

FFFF

11/13/2013

8





= FF

= FF

= FF

= FF

+ + + + +

=

FFFF



Pasul 4: Asamblarea elementelor - ECHILIBRU

Suma forelor n noduri trebuie se fie zero (nodul trebuie se fie n echilbru)


1e

Fi e

Fi 1

Fi 2

Fi 3

Fi 4

Ri

F1 1

R1






1

2

F1 1

R1

F2 1

F2 2

F2 3

R2 0

e

Fi e

Fi 1

Fi 2

Fi 3

Fi 4

Ri






1

2

3

F1 1

R1

F2 1

F2 2

F2 3

R2 0

F3 2

F3 3

F3 4

R3 0

e

Fi e

Fi 1

Fi 2

Fi 3

Fi 4

Ri

11/13/2013

9






1

2

3

4

F1 1

R1

F2 1

F2 2

F2 3

R2 0

F3 2

F3 3

F3 4

R3 0

F4 4

R4 P

e

Fi e

Fi 1

Fi 2

Fi 3

Fi 4

Ri






1

2

3

4

F1 1

R1

F2 1

F2 2

F2 3

R2 0

F3 2

F3 3

F3 4

R3 0

F4 4

R4 P

FFFF

R

e

Fi e

Fi 1

Fi 2

Fi 3

Fi 4

Ri



Pasul 5: Aplicarea condiiilor de margine

+ + + +

=

FFFF

1 0




+ + + +

=

FFFF

1 0

11/13/2013

10




+ + + +

=

FF

1 0




+ + + +

=

R

1 0




Matricea restrans, Kmod

1 0

+ + + +

=

R



Pasul 6: Rezolvara sistemului de ecuaii

Ke. e = fe

Ke-1 . Ke

. e = Ke-1 . fe

I . e = Ke-1 . Fe

e = Ke-1 . fe

| Ke-1 (nmulire la stnga)

Kmod

k1 k2 k3 k2 k3 0

k2 k3 k2 k3 k4

k4

0

k4

k4

2

3

4

Kmod1

0

0

P

11/13/2013

11




Ke. e = fe

Ke-1 . Ke

. e = Ke-1 . fe

I . e = Ke-1 . Fe

e = Ke-1 . fe

| Ke-1 (nmulire la stnga) 2

3

4

Kmod1

0

0

P

Kmod1

1

k1

1

k1

1

k1

1

k1

k1 k2 k3

k1 k2 k3

k1 k2 k3

k1 k2 k3

1

k1

k1 k2 k3

k1 k2 k3

k1 k2 k1 k3 k1 k4 k4 k2 k4 k3

k1 k4 k2 k3




2

3

4

Kmod1

0

0

P




2

3

4

1

k1

1

k1

1

k1

1

k1

k1 k2 k3

k1 k2 k3

k1 k2 k3

k1 k2 k3

1

k1

k1 k2 k3

k1 k2 k3

k1 k2 k1 k3 k1 k4 k4 k2 k4 k3

k1 k4 k2 k3

0

0

P




2

3

4

1

k1P

k1 k2 k3

k1 k2 k3 P

k1 k2 k1 k3 k1 k4 k4 k2 k4 k3

k1 k4 k2 k3 P

11/13/2013

12




2

3

4

1

k1P

k1 k2 k3

k1 k2 k3 P

k1 k2 k1 k3 k1 k4 k4 k2 k4 k3

k1 k4 k2 k3 P




2

3

4

1

k1P

k1 k2 k3

k1 k2 k3 P

k1 k2 k1 k3 k1 k4 k4 k2 k4 k3

k1 k4 k2 k3 P

P 100 kN

k

1500

2000

2200

1200

kN

m




P 100 kN

k

1500

2000

2200

1200

kN

m

2

3

4

0.06667

0.09048

0.17381

m



Pasul 6: Rezolvara sistemului de ecuaii (matricea asamblat a sistemului)

f

k1

k1

0

0

k1

k1 k2 k3 k2 k3 0

0

k2 k3 k2 k3 k4

k4

0

0

k4

k4

kN

m

1

2

3

4

fT 100 5.821 10

14 5.821 10

14 100 kN

Documents

Curs - 03 - Cfdp