Curs - 04 - Cfdp

  • Published on
    24-Dec-2015

  • View
    214

  • Download
    1

Embed Size (px)

DESCRIPTION

MEF

Transcript

  • 11/13/2013

    1

    Metoda Elementului Finitcurs

    As. Dr. Ing. Crian Andreidep. de Construcii Civile i Mecanica Construciilor

    Universitatea POLITEHNICA Timioaraandrei.crisan@ct.upt.ro

    2013 - 2014 Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF

    Datele problemei

    Elementul de tip zbrea (TRUSS)

    Transformarea: coordonate locale coordonate globale

    Rezolvarea unei grinzi cu zabrele simple

    Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF

    Recapitulare Cursul 3 Tipuri de sisteme in MEF

    Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF

    Recapitulare Cursul 3 Rezolvarea unei aplicaii simple sistem de resoarte

    Pasul 1: Discretizarea sistemului

  • 11/13/2013

    2

    Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF

    Recapitulare Cursul 3 Rezolvarea unei aplicaii simple sistem de resoarte

    Pasul 1: Discretizarea sistemului

    Pasul 2: Alegerea / determinarea funciilor de interpolare

    F = k

    Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF

    Recapitulare Cursul 3 Rezolvarea unei aplicaii simple sistem de resoarte

    Pasul 1: Discretizarea sistemului

    Pasul 2: Alegerea / determinarea funciilor de interpolare

    Pasul 3: Alegerea / determinarea proprietilor elementelor

    Equaia elementului:Ke

    . e = fe

    Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF

    Recapitulare Cursul 3 Rezolvarea unei aplicaii simple sistem de resoarte

    Pasul 1: Discretizarea sistemului

    Pasul 2: Alegerea / determinarea funciilor de interpolare

    Pasul 3: Alegerea / determinarea proprietilor elementelor

    Pasul 4: Asamblarea elementelorCompatibilitatea

    Echilibrul

    ntr-un nod, valorea necunoscuta deplasrilor trebuie s fieaceeai pentru toate elementeleconectate n acel nod

    Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF

    Recapitulare Cursul 3 Rezolvarea unei aplicaii simple sistem de resoarte

    Pasul 1: Discretizarea sistemului

    Pasul 2: Alegerea / determinarea funciilor de interpolare

    Pasul 3: Alegerea / determinarea proprietilor elementelor

    Pasul 4: Asamblarea elementelorCompatibilitatea

    Echilibrul

    Suma forelor interne aplicate nnodul i trebuie s fie egal curezultanta forelor exterioare nnod

  • 11/13/2013

    3

    Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF

    Recapitulare Cursul 3 Rezolvarea unei aplicaii simple sistem de resoarte

    Pasul 1: Discretizarea sistemului

    Pasul 2: Alegerea / determinarea funciilor de interpolare

    Pasul 3: Alegerea / determinarea proprietilor elementelor

    Pasul 4: Asamblarea elementelor

    ElementNod

    Local Global

    112

    12

    212

    23

    312

    23

    412

    34

    Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF

    Recapitulare Cursul 3 Rezolvarea unei aplicaii simple sistem de resoarte

    Pasul 1: Discretizarea sistemului

    Pasul 2: Alegerea / determinarea funciilor de interpolare

    Pasul 3: Alegerea / determinarea proprietilor elementelor

    Pasul 4: Asamblarea elementelor

    ElementNod

    Local Global

    112

    12

    212

    23

    312

    23

    412

    34

    + +

    +

    =

    FFF

    + + + +

    =

    FFFF

    Compatibilitatea

    Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF

    Recapitulare Cursul 3 Rezolvarea unei aplicaii simple sistem de resoarte

    Matricea de rigiditate

    k1

    k1

    0

    0

    k1

    k1

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    2

    3

    4

    F1

    F2

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    0

    k2

    k2

    0

    0

    k2

    k2

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    2

    3

    4

    0

    F2

    F3

    0

    2

    0

    0

    0

    0

    0

    k3

    k3

    0

    0

    k3

    k3

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    2

    3

    4

    0

    F2

    F3

    0

    3

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    k4

    k4

    0

    0

    k4

    k4

    1

    2

    3

    4

    0

    0

    F3

    F4

    4

    Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF

    Recapitulare Cursul 3 Rezolvarea unei aplicaii simple sistem de resoarte

    Matricea de rigiditate

    K

    k1

    k1

    0

    0

    k1

    k1

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    k2

    k2

    0

    0

    k2

    k2

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    k3

    k3

    0

    0

    k3

    k3

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    k4

    k4

    0

    0

    k4

    k4

    kN

    m

    f

    R1

    R2

    R3

    R4

    F1

    F2

    0

    0

    1 0

    F2

    F3

    0

    2

    0

    F2

    F3

    0

    3

    0

    0

    F3

    F4

    4

  • 11/13/2013

    4

    Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF

    Recapitulare Cursul 3 Rezolvarea unei aplicaii simple sistem de resoarte

    Pasul 1: Discretizarea sistemului

    Pasul 2: Alegerea / determinarea funciilor de interpolare

    Pasul 3: Alegerea / determinarea proprietilor elementelor

    Pasul 4: Asamblarea elementelor

    ElementNod

    Local Global

    112

    12

    212

    23

    312

    23

    412

    34

    + +

    + + +

    =

    FFFF

    Compatibilitatea

    Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF

    Recapitulare Cursul 3 Rezolvarea unei aplicaii simple sistem de resoarte

    Pasul 1: Discretizarea sistemului

    Pasul 2: Alegerea / determinarea funciilor de interpolare

    Pasul 3: Alegerea / determinarea proprietilor elementelor

    Pasul 4: Asamblarea elementelor

    ElementNod

    Local Global

    112

    12

    212

    23

    312

    23

    412

    34

    + +

    + + +

    =

    FFFF

    Echilibru

    Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF

    Recapitulare Cursul 3 Rezolvarea unei aplicaii simple sistem de resoarte

    Matricea de rigiditate proprieti

    Simetric Singular, nu are invers Suma elementelor pe linii i coloane este 0Ltimea de band = 2m - 1

    Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF

    Recapitulare Cursul 3 Rezolvarea unei aplicaii simple sistem de resoarte

    Pasul 1: Discretizarea sistemului

    Pasul 2: Alegerea / determinarea funciilor de interpolare

    Pasul 3: Alegerea / determinarea proprietilor elementelor

    Pasul 4: Asamblarea elementelor

    Pasul 5: Aplicarea condiiilor de margine

    + +

    + + +

    =

    R

    1 0

  • 11/13/2013

    5

    Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF

    Recapitulare Cursul 3 Rezolvarea unei aplicaii simple sistem de resoarte

    Pasul 1: Discretizarea sistemului

    Pasul 2: Alegerea / determinarea funciilor de interpolare

    Pasul 3: Alegerea / determinarea proprietilor elementelor

    Pasul 4: Asamblarea elementelor

    Pasul 5: Aplicarea condiiilor de margine

    + + + + +

    =

    R

    1 0

    Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF

    Recapitulare Cursul 3 Rezolvarea unei aplicaii simple sistem de resoarte

    Pasul 1: Discretizarea sistemului

    Pasul 2: Alegerea / determinarea funciilor de interpolare

    Pasul 3: Alegerea / determinarea proprietilor elementelor

    Pasul 4: Asamblarea elementelor

    Pasul 5: Aplicarea condiiilor de margine

    Pasul 6: Rezolvarea sistemului de ecuaii

    Ke. e = fe

    Ke-1 . Ke

    . e = Ke-1 . fe

    I . e = Ke-1 . Fe

    e = Ke-1 . fe

    | Ke-1 (nmulire la stnga) 2

    3

    4

    Kmod1

    0

    0

    P

    Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF

    Recapitulare Cursul 3 Rezolvarea unei aplicaii simple sistem de resoarte

    Pasul 1: Discretizarea sistemului

    Pasul 2: Alegerea / determinarea funciilor de interpolare

    Pasul 3: Alegerea / determinarea proprietilor elementelor

    Pasul 4: Asamblarea elementelor

    Pasul 5: Aplicarea condiiilor de margine

    Pasul 6: Rezolvarea sistemului de ecuaii

    Kmod

    k1 k2 k3 k2 k3 0

    k2 k3 k2 k3 k4

    k4

    0

    k4

    k4

    Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF

    Recapitulare Cursul 3 Rezolvarea unei aplicaii simple sistem de resoarte

    Pasul 1: Discretizarea sistemului

    Pasul 2: Alegerea / determinarea funciilor de interpolare

    Pasul 3: Alegerea / determinarea proprietilor elementelor

    Pasul 4: Asamblarea elementelor

    Pasul 5: Aplicarea condiiilor de margine

    Pasul 6: Rezolvarea sistemului de ecuaii

    Kmod1

    1

    k1

    1

    k1

    1

    k1

    1

    k1

    k1 k2 k3

    k1 k2 k3

    k1 k2 k3

    k1 k2 k3

    1

    k1

    k1 k2 k3

    k1 k2 k3

    k1 k2 k1 k3 k1 k4 k4 k2 k4 k3

    k1 k4 k2 k3

  • 11/13/2013

    6

    Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF

    Recapitulare Cursul 3 Rezolvarea unei aplicaii simple sistem de resoarte

    Pasul 1: Discretizarea sistemului

    Pasul 2: Alegerea / determinarea funciilor de interpolare

    Pasul 3: Alegerea / determinarea proprietilor elementelor

    Pasul 4: Asamblarea elementelor

    Pasul 5: Aplicarea condiiilor de margine

    Pasul 6: Rezolvarea sistemului de ecuaii

    2

    3

    4

    1

    k1

    1

    k1

    1

    k1

    1

    k1

    k1 k2 k3

    k1 k2 k3

    k1 k2 k3

    k1 k2 k3

    1

    k1

    k1 k2 k3

    k1 k2 k3

    k1 k2 k1 k3 k1 k4 k4 k2 k4 k3

    k1 k4 k2 k3

    0

    0

    P

    2

    3

    4

    Kmod1

    0

    0

    P

    Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF

    Recapitulare Cursul 3 Rezolvarea unei aplicaii simple sistem de resoarte

    Pasul 1: Discretizarea sistemului

    Pasul 2: Alegerea / determinarea funciilor de interpolare

    Pasul 3: Alegerea / determinarea proprietilor elementelor

    Pasul 4: Asamblarea elementelor

    Pasul 5: Aplicarea condiiilor de margine

    Pasul 6: Rezolvarea sistemului de ecuaii

    P 100 kN

    k

    1500

    2000

    2200

    1200

    kN

    m

    2

    3

    4

    0.06667

    0.09048

    0.17381

    m

    2

    3

    4

    Kmod1

    0

    0

    P

    Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF

    Recapitulare Cursul 3 Rezolvarea unei aplicaii simple sistem de resoarte

    Pasul 1: Discretizarea sistemului

    Pasul 2: Alegerea / determinarea funciilor de interpolare

    Pasul 3: Alegerea / determinarea proprietilor elementelor

    Pasul 4: Asamblarea elementelor

    Pasul 5: Aplicarea condiiilor de margine

    Pasul 6: Rezolvarea sistemului de ecuaii

    f

    k1

    k1

    0

    0

    k1

    k1 k2 k3 k2 k3 0

    0

    k2 k3 k2 k3 k4

    k4

    0

    0

    k4

    k4

    kN

    m

    1

    2

    3

    4

    fT 100 5.821 10

    14 5.821 10

    14 100 kN

    Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF

    Datele problemei

    Grade de liberate n noduri?

    AE

    L

    1

    1

    1

    1

    u1

    u2

    Fe1

    Fe2

    y

    x?

    k

  • 11/13/2013

    7

    Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF

    Datele problemei

    Grade de liberate n noduri

    y

    x

    LocalGlobal

    Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF

    Datele problemei

    Necunoscute?

    y

    x

    n nod: 2 deplasri (x, z) => u i v

    Element: 4 deplasri necunoscute4 fore nodale

    ) Lo x2 x1 2 y2 y1 2

    angle x.2 x.1 y.2 y.1

    Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF

    Datele problemei

    Necunoscute?

    y

    x

    n nod: 2 deplasri (x, z) => u i v

    Element: 4 deplasri necunoscute4 fore nodale

    .u u.2 u.1 cos ( ) .v v.2 v.1 sin ( )

    .u .v

    . u.2 u.1 cos ( ) v.2 v.1 sin ( )

    Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF

    Datele problemei

    Forma matriceal

    y

    x

    F.1a

    F.2a

    0

    F.2a AE

    L.o

    .eT u.1 v.1 u.2 v.2

    f.eT F.1 F.2 F.3 F.4

    KeA E

    Lo

    cos ( )2

    cos ( ) sin ( )

    cos ( )2

    cos ( ) sin ( )

    cos ( ) sin ( )

    sin ( )2

    cos ( ) sin ( )

    sin ( )2

    cos ( )2

    cos ( ) sin ( )

    cos ( )2

    cos ( ) sin ( )

    cos ( ) sin ( )

    sin ( )2

    cos ( ) sin ( )

    sin ( )2

  • 11/13/2013

    8

    Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF

    Obinerea matricei de rigiditate

    KeA E

    Lo

    cos ( )2

    cos ( ) sin ( )

    cos ( )2

    cos ( ) sin ( )

    cos ( ) sin ( )

    sin ( )2

    cos ( ) sin ( )

    sin ( )2

    cos ( )2

    cos ( ) sin ( )

    cos ( )2

    cos ( ) sin ( )

    cos ( ) sin ( )

    sin ( )2

    cos ( ) sin ( )

    sin ( )2

    Sistem de coordonale

    global

    Sistem de coordonale

    local

    A E

    L.

    1

    1

    1

    1

    1

    2

    F.a1

    F.a2

    K.e .e f.e

    .e

    u.1

    v.1

    u.2

    v.2

    f.e

    F.1

    F.2

    F.3

    F.4

    Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF

    Obinerea matricei de rigiditate

    KeA E

    Lo

    cos ( )2

    cos ( ) sin ( )

    cos ( )2

    cos ( ) sin ( )

    cos ( ) sin ( )

    sin ( )2

    cos ( ) sin ( )

    sin ( )2

    cos ( )2

    cos ( ) sin ( )

    cos ( )2

    cos ( ) sin ( )

    cos ( ) sin ( )

    sin ( )2

    cos ( ) sin ( )

    sin ( )2

    Sistem de coordonale

    global

    = cos si

    = sin + cos

    x1

    y1

    cos ( )

    sin ( )

    sin ( )

    cos ( )

    x1

    y1

    x1

    y1

    cos ( )

    sin ( )

    sin ( )

    cos ( )

    x1

    y1

    Transformarea local - global

    Transformarea global - local

    Sistem de coordonale

    local

    Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF

    Obinerea matricei de rigiditate

    KeA E

    Lo

    cos ( )2

    cos ( ) sin ( )

    cos ( )2

    cos ( ) sin ( )

    cos ( ) sin ( )

    sin ( )2

    cos ( ) sin ( )

    sin ( )2

    cos ( )2

    cos ( ) sin ( )

    cos ( )2

    cos ( ) sin ( )

    cos ( ) sin ( )

    sin ( )2

    cos ( ) sin ( )

    sin ( )2

    Sistem de coordonale

    global

    = cos si

    = sin + cos Sistem de

    coordonale local

    x1

    y1

    cos ( )

    sin ( )

    sin ( )

    cos ( )

    x1

    y1

    x1

    y1

    cos ( )

    sin ( )

    sin ( )

    cos ( )

    x1

    y1

    Transformarea global local pentru 2 puncte

    Transformarea global - local

    x1

    y1

    x2

    y2

    cos ( )

    sin ( )

    0

    0

    sin ( )

    cos ( )

    0

    0

    0

    0

    cos ( )

    sin ( )

    0

    0

    sin ( )

    cos ( )

    x1

    y1

    x2

    y2

    Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF

    Transformarea coordonatelor global local

    Sistem de coordonale

    global

    Sistem de coordonale

    local

    K.e .e f.e

    .e

    u.1

    v.1

    u.2

    v.2

    f.e

    F.1

    F.2

    F.3

    F.4

    .e

    .1

    0

    .2

    0

    f.e

    Fa.1

    0

    Fa.2

    0

    e e

    fe fe

    K.e .e f.e

    K.e .e f.e

    K.eA E

    L

    1

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    0

  • 11/13/2013

    9

    Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF

    Transformarea coordonatelor global local

    Sistem de coordonale

    global

    Sistem de coordonale

    local

    e e

    fe fe

    K.e .e f.e

    cos ( )

    sin ( )

    0

    0

    sin ( )

    cos ( )

    0

    0

    0

    0

    cos ( )

    sin ( )

    0

    0

    sin ( )

    cos ( )

    K.e .e f.e

    Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF

    Transformarea coordonatelor global local

    Sistem de coordonale

    global

    Sistem de coordonale

    local

    e e

    fe fe

    K.e .e f.e

    cos ( )

    sin ( )

    0

    0

    sin ( )

    cos ( )

    0

    0

    0

    0

    cos ( )

    sin ( )

    0

    0

    sin ( )

    cos ( )

    K.e .e f.e

    1

    K.e .e f.e

    K.e .e f.e

    K.e 1K.e

    Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF

    Transformarea coordonatelor global local

    K.e 1K.e

    KeA E

    L

    1

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    T

    cos ( )

    sin ( )

    0

    0

    sin ( )

    cos ( )

    0

    0

    0

    0

    cos ( )

    sin ( )

    0

    0

    sin ( )

    cos ( )

    T

    cos ( )

    sin ( )

    0

    0

    sin ( )

    cos ( )

    0

    0

    0

    0

    cos ( )

    sin ( )

    0

    0

    sin ( )

    cos ( )

    Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF

    Transformarea coordonatelor global local

    K.e 1K.e

    K

    cos ( )

    sin ( )

    0

    0

    sin ( )

    cos ( )

    0

    0

    0

    0

    cos ( )

    sin ( )

    0

    0

    sin ( )

    cos ( )

    T1

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    0

    cos ( )

    sin ( )

    0

    0

    sin ( )

    cos ( )

    0

    0

    0

    0

    cos ( )

    sin ( )

    0

    0

    sin ( )

    cos ( )

    K.e

    cos ( )2

    cos ( ) sin ( )

    cos ( )2

    cos ( ) sin ( )

    cos ( ) sin ( )

    sin ( )2

    cos ( ) sin ( )

    sin ( )2

    cos ( )2

    cos ( ) sin ( )

    cos ( )2

    cos ( ) sin ( )

    cos ( ) sin ( )

    sin ( )2

    cos ( ) sin ( )

    sin ( )2

  • 11/13/2013

    10

    Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF

    Transformarea coordonatelor global local

    K.e 1K.e

    K

    cos ( )

    sin ( )

    0

    0

    sin ( )

    cos ( )

    0

    0

    0

    0

    cos ( )

    sin ( )

    0

    0

    sin ( )

    cos ( )

    T1

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    0

    cos ( )

    sin ( )

    0

    0

    sin ( )

    cos ( )

    0

    0

    0

    0

    cos ( )

    sin ( )

    0

    0

    sin ( )

    cos ( )

    =

    = cos () = sin ()

    Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF

    Exemplu de analiz cu element finit Grind cu zbrele

    Modul de elasticitateE = 210e9 Pa

    Lungime elementeL = 4m

    Diametre bareBare orizontale d1 = 0,05 mBare nclinate d2 = 0,10 m

    F = 5e4 N (50 kN)

    y

    x

    Curs 4Analiza unei grinzi cu zabrele cu MEF

    Exemplu de analiz cu element finit Grind cu zbrele

    Pasul 1: Discretizarea structuriiNoduri: 1, 2, 3

    X Y1 0 0

    2 2 3 4 0

    Elemente: 1, 2, 3Start Final

    1 1 22 1 33 2 3

    F = 5