CURSUL 3CURSUL 3

SISTEME DE FORTE OARECARESISTEME DE FORTE OARECARE

UAUIM

ELEMENTE DE MECANICA STRUCTURILOR

SISTEME DE FORTE OARECARESISTEME DE FORTE OARECARE

Conf. dr. ing. Mihaela Georgescu

MOMENTUL UNEI FORTE FATA DE UN PUNCT(1)

O for aplicat unui corp, care prin natura

legturilor sale are un punct fixat n spaiu,

imprim corpului o micare de rotaie n jurul

unei axe perpendiculare pe planul definit deunei axe perpendiculare pe planul definit de

punct i for.

Intensitatea efectului este proporional cu

intensitatea forei i cu distana - numit bra

de prghie - de la punct la suportul forei.

MOMENTUL UNEI FORTE FATA DE UN PUNCT(2)

MOMENTUL UNEI FORTE FATA DE UN PUNCT(3)

Celor trei elemente care caracterizeaz efectul de rotaie

(axa, sensul i intensitatea) li se asociaz o mrime

vectorial, denumit momentul forei fa de punct.

Momentul forei fa de punctul 0 aflat la distana d de

for, este vectorul o ( ) aplicat n 0, cu intensitatea:

M ( ) = F.d,FM

FF

Mo ( ) = F.d,

orientat de-a lungul axei de rotaie ntr-un sens care - prin

convenie - stabilete corespondena cu sensul de rotaie al

corpului (de regul sensul de naintare al burghiului).

Momentul se msoar n uniti de for nmulite cu uniti

de lungime (daNm, kgfm, tfm etc).

Efectul de rotaie, deci momentul unei fore, este nul cnd

punctul se afl pe suportul forei.

F

MOMENTUL UNEI FORTE FATA DE UN PUNCT(4)

Momentul unei fore n raport cu un punct 0 poate fi

definit ca produs vectorial dintre vectorul de poziie

al unui punct oarecare, A, de pe suportul forei i

for.

r

for.

( ) = .ooooM F rF

Vectorii-moment ai forelor unui sistem plan

n raport cu un punct din planul forelor sunt

coliniari; ei se deosebesc doar prin mrime i

sens.

MOMENTUL UNEI FORTE FATA DE UN PUNCT(5)

sens.

Asociind mrimii un numr i sensului un

semn, definirea lor poate fi fcut scalar.

APLICATIE

Sa se determine mrimile momentelor forelor

MIo = 3 x 2 = + 6

MIIo = 2 x 1 = + 2

MIIIo = -4 x 3 = - 12

MIVo = - = - 1

MVo = 0

Teorema lui Varignon

Fie n A un sistem de fore concurente care

admit o rezultanta :

Suma momentelor forelor fa de punctul 0,

o = ( 1 + 2 + . n ) = .

Relaia constituie justificarea teoremei lui Varignon:

fa de un punct oarecare, suma momentelor forelor

este egal cu momentul rezultantei.

M r FF F Rr

Demonstrat aici pentru cazul particular al unui sistem

de fore concurente, teorema este valabil pentru

orice sistem de fore care admite o rezultant unic;

ea este aplicat, n mod particular, n cazul sistemelor

de fore paralele.

MOMENTUL UNEI FORTE IN RAPORT CU O AXA

Momentul unei fore n raport cu o ax msoar

tendina de rotaie n jurul axei.

Momentul unei fore n raport cu o ax este mrimea (intensitatea)

momentului proieciei forei pe un plan perpendicular pe ax, n raport cu

punctul de intersecie al axei cu planul.

Pentru a exprima sensul tendinei de rotaie, mrimii momentului i se

asociaz un semn; prin convenie, se consider pozitive momentele

corespunztoare unor tendine de rotire antiorar.

CUPLURI DE FORTE

Cuplul este un sistem de dou fore paralele, cu

intensitile egale i sensuri contrare. Distana d

dintre fore (mrimea perpendicularei comune) se

numete brat de prghie al cuplului.numete brat de prghie al cuplului.

Tendinele de translaie imprimate corpului de cele dou fore

ce alctuiesc un cuplu se anuleaz reciproc, deoarece suma

proieciilor forelor pe orice ax e nul. In aceste condiii, cuplul

are numai un efect de rotaie, msurat de suma momentelor

celor dou fore (momentul cuplului).

Cuplurile cu acelai moment sunt echivalente.

Efectul reunit al unui sistem de cupluri este msurat de suma

vectorial a momentelor lor. Cnd suma momentelor cuplurilor

este nul, sistemul de cupluri se afl n echilibru.este nul, sistemul de cupluri se afl n echilibru.

Toate cuplurile coplanare au aceeai direcie (normal la planul

de aciune al cuplului); efectele lor, deosebite doar prin

intensitatea i sensul efectului de rotaie, pot fi msurate scalar

prin mrimi algebrice.

Pentru reprezentarea convenional a cuplurilor coplanare, se

folosesc urmtoarele simboluri: (cuplu orar), (cuplu

antiorar).

APLICATIE (1)

In figura sunt reprezentate trei cupluri

coplanare echivalente:

2 = 1 x 2 = 2 x 1

APLICATIE (2)

S se nsumeze cele trei cupluri coplanare din figura.

Rezolvare: 3 x 1 + - 4 x 2 = - 322

Efectul reunit al celor trei cupluri este echivalent cu

efectul unui singur cuplu orar cu momentul egal cu 3.

APLICATIE (3)

S se nsumeze cele trei cupluri din figura.

Rezolvare

2 x 3 + 1 x 2 2 x 2 = 0

Efectul reunit al celor trei cupluri este nul; sistemul de cupluri se

afl n echilibru.

22

REDUCEREA SISTEMELOR DE FORTE INTR-UN

PUNCT

Operaia de nlocuire a unei fore dintr-un punct cu

sistemul echivalent , din alt punct se numete

reducere.

FF M

Un sistem de fore oarecare i se poate reduce for

cu for.

Drept urmare, n punctul de reducere se

concentreaz un sistem de fore concurente cu

rezultanta ( = i) i un sistem de cupluri cu suma( = i).

F

R

M M M

R F

Sistemul de fore oarecare s-a redus deci la o for

rezultant ( ) i un cuplu rezultant ( ).

Perechea , , numit torsor de reducere, msoar

- n punctul de reducere - efectul sistemului iniial de

fore.

R

R

M

M

ECHILIBRUL UNUI SISTEM DE FORTE OARECARE

Echilibrul unui sistem de fore oarecare este condiionat de relaiile vectoriale:

= 0 = 0

Exprimarea analitic a condiiilor de echilibru

Celor dou condiii vectoriale le corespund ase relaii scalare ce condiioneaz

anularea componentelor pe trei direcii ale rezultantei i ale vectorului-

moment al cuplului rezultant.

R M

moment al cuplului rezultant.

Cnd direciile sunt axele x, y, z ale unui sistem ortogonal de referin, ele se

exprim sub forma:

X = Xi = 0 Y = Yi = 0 Z = Zi = 0Mx = Mix = 0 My = Miy = 0 Mz = Miz = 0unde Xi, Yi, Zi i Mix, Miy, Miz sunt proieciile pe axe i momentele n raport cu

axele ale fiecrei fore Fi.

Dac sistemul de fore este plan sunt suficiente doar trei din cele ase condiii

X = Xi = 0, Y = Yi = 0 M = Mi = 0,cci celelalte trei sunt satisfcute prin ipotez (Zi = 0, Mix = 0, Miy = 0).

Cele trei condiii pot fi exprimate i sub alte dou forme:

a - dou relaii de momente n raport cu dou puncte din plan i

o ecuaie de proiecie pe o direcie diferit de perpendicular

pe dreapta definit de cele dou puncte;

b - trei ecuaii de momente n raport cu trei puncte necoliniare

din plan:

MA = 0; MB = 0; X = 0;

MA = 0; MB = 0; MC = 0

Cnd o parte din parametrii care definesc un sistem echilibrat

sunt necunoscui, condiiile devin ecuaii.

APLICATIE