8/3/2019 Curs8_MC

1/22

CURS 8

MECANICACONSTRUCIILOR

Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu

8/3/2019 Curs8_MC

2/22

GEOMETRIA MASELOR.CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE

SECTIUNILOR TRANSVERSALE ALE BARELOR1. Centrul de greutate i centrul maselor

2. Teoremele lui Guldin - Pappus

3. Momente statice. Teorema momentelor statice

4. Momente de inerie. Raze de inerie

5. Variaia momentelor de inerie la translaia axelor

6. Variaia momentelor de inerie la rotirea axelor

7. Direcii principale de inerie. Momente de inerieprincipale

8/3/2019 Curs8_MC

3/22

A

dAA

A

z

A

y ydASzdAS ;

A

G

A

G zdAA

zydAA

y1

;1

n

i

i

n

i

ii

Gn

i

i

n

i

ii

G

A

zA

z

A

yA

y

1

1

1

1 ;

A

z

A

y dAyIdAzI22

;

A

yz yzdAI

zy

AA

p

A

p

IIdA)yz(dArI

yzr

dArI

222

222

2

z

y

y

zyGzG

G

dA

x

O

8/3/2019 Curs8_MC

4/22

5. Variaia momentelor deinerie la translaia axelor

Fie o figura plana de arie A, raportata la un sistem de axeortogonale Oyz, pentru care sunt cunoscute momentelede inerie in raport cu axele Oysi Oz. Sa se determinemomentele de ineriein raport cu noile axe

O1y1 si O1z1 paralelecu primele.

z1 = z + b

y1 = y + a

z1

y1

z1

dA

O1

z

yO

y1a y

b

z

8/3/2019 Curs8_MC

5/22

asi bsunt coordonatele originii sistemului vechi Oyzinnoul sistem de coordonate O1y1z1.

momentele de inerie axiale:

AaaSII

AbbSI

dAbzdAbdAzdA)bz(dAzI

zzz

yy

AAAAA

y

21

2

222211

2

2

2

momentul de inerie centrifugal:

1 1( )( )

y z yz y z

A

I y a z b dA I aS bS abA

Sysi Sz reprezint momentele statice ale figurii in raportcu axele Oysi Oz.

8/3/2019 Curs8_MC

6/22

Daca axele Oysi Ozsunt centrale, atunci momentelestatice in raport cu ele sunt nule, iar momentele deinerie in raport cu axele paralele cu cele centrale devin:

abAII

AaII

AbII

yzzy

zz

yy

11

21

21

Relaiile se folosesc pentru calculul momentelor deinerie ale figurilor compuse.

2 21 1

2 21

( )

( )

y z y z

o o

I I I I a b A

I I a b A

(1)+

8/3/2019 Curs8_MC

7/22

Daca sunt cunoscute momentele de inerie in raport cunite axe oarecare, pentru axele ce trec prin centrul de

greutate al figurii, paralele cu axele date, rezulta:

abAII

AaII

AbII

zyyz

zz

yy

11

21

21

Momentele deinerie in raport cu axele centrale aucea mai mica valoare incomparaie cu momentele deinerie pentru oricare alte axe paralele cu primele.

8/3/2019 Curs8_MC

8/22

6. Variaia momentelor deinerie la rotirea axelor

Cunoscnd momentele de inerie Iy, Iz, Iyz ale unei figuriplane in raport cu un sistem ortogonal de axe Oyz dinplanul ei, sa se determine momentele de inerie in raportcu un nou sistem de axe ortogonal Oy1z1, rotit fata deprimul cu un unghi , considerat pozitiv daca este descris

in sens orar.Coordonatele unui element de arie dA in noul sistem deaxe, funcie de coordonatele din vechiul sistem sunt:

sinycoszz

sinzcosyy

1

1

8/3/2019 Curs8_MC

9/22

6. Variaia momentelor deinerie la rotirea axelor

z1

y1dA

z

yO

y

z

y1

z1

sinycoszz

sinzcosyy

1

1

8/3/2019 Curs8_MC

10/22

sinycoszz

sinzcosyy

1

1

AA

AAAzy

AAA

AA

z

AAA

AA

y

yzdAsinyzdAcos

dAydAzcossindAzyI

yzdAcossindAzsindAycos

dA)sinzcosy(dAyI

yzdAcossindAysindAzcos

dA)sinycosz(dAzI

22

22

1111

2222

2211

2222

2211

2

2

8/3/2019 Curs8_MC

11/22

222

2

2

11

22

1

22

1

cosIsinII

I

sinIcosIsinII

sinIsinIcosII

yz

zy

zy

yzzyz

yzzyy

Se observa ca:

zyzy IIII 11 Suma momentelor de inerie axiale in raport cu douaaxe ortogonale, pentruaceeaiorigine, este un invariant.

+

8/3/2019 Curs8_MC

12/22

22

2

2222

2222

11

1

1

cosIsinII

I

sinIcosIIII

I

sinIcosIIII

I

yz

zy

zy

yz

zyzy

z

yz

zyzy

y

2

21os;

2

21 22 cosccossinCunoscnd ca:

(2)

8/3/2019 Curs8_MC

13/22

7. Axe principale de inerie.Momente de inerie principale

Din relaiile (2) rezulta ca mrimea momentului de ineriein raport cu o axa oarecare depinde de unghiul de

nclinare a acestei axe fata de o axa de referina.

Se poate determina o valoare o a unghiului, pentru care

momentul de inerie atinge o valoare extrema. Pentruevaluarea acestui extrem se va anula prima derivata aexpresiei Iy1 si se va nlocui =o.

zy

yz

o

zyoyzozy

oyzoozooy

y

II

Itg

IIII

IIId

dI

o

22

0][22cos2sin2

-2

2cos2cossin2sincos2

11

1

(3)

(4)

8/3/2019 Curs8_MC

14/22

Relaia (3) arata ca derivata momentului de inerie Iy1in raport cu unghiul reprezint dublul momentului deinerie centrifugal al seciunii luat cu semn minus.

Similar se obine:

0][211

1 ozyz IddI

Relaia (4) conduce la doua valori pentru unghiul o:osi o +/2. Din relaia (4) se observa ca unghiul onu poate depi unghiul /4. Exista doua axe normale intre ele pentru caremomentele de inerie axiale iau valori extreme, iarmomentul de inerie centrifugal al seciunii este nul!

Axe principale de inerie;

Momente de inerie principale.

8/3/2019 Curs8_MC

15/22

Axelor principale de inerie le corespund doua valoripentru momentele de inerie principale. Deoarece sumamomentelor de inerie fata de cele doua axe normale intre

ele reprezint un invariant la rotirea axelor, rezulta ca uneiaxe principale ii corespunde cel mai mare moment deinerie Imax=I1, iar celeilalte axe valoarea minima Imin=I2.

Din relaia (4) nu se poate deduce pentru care din axeleosi o +/2se obine I1, respectiv I2, fiind necesar sase studieze semnul derivatei a doua a lui Iy1.

Raionament: Presupunem Iyz>0 si Iy>Iz, din relaia (4)rezulta ca o se afla in cadranul IV.Deoarece dIy1/d=-2Iy1z1 si din relaia (2) rezulta Iy1z1>0, sededuce ca, la o cretere negativa a unghiului ,momentul de inerie Iy1 va creste atingnd o valoareextrema pentru o, valoare care va da momentul deinerie maxim Imax=I1. Valoarea minima Imin=I2 se va obinepentru axa de direcie o+/2.

8/3/2019 Curs8_MC

16/22

Daca Iyz>0si Iz>Iy, unghiul ova fi situat in cadranul I sicum Iy1z1>0pentru Iz

Analog, daca Iyz

8/3/2019 Curs8_MC

17/22

Relaiile (2) sunt valabile pentru oricare sistem ortogonalde axe rotit cu un unghi fata de sistemul Oyz. Se poatepresupune ca axele Oysi Ozsunt axele principale de

inerie 1 si 2, avnd fata de acestea momentele principalede inerie I1 si I2. Sistemul de axa Oyzrotit cu unghiul fata de sistemul O12, se noteaz cu Oyz.

z=z

y=y

2

1O

8/3/2019 Curs8_MC

18/22

2sin

2

2cos

22

2cos

22

21

2121

2121

III

IIIII

IIIII

yz

z

y

Prin nlocuire, din relaiile (2) se obin:

2cos)( 21

21

IIII

IIII

zy

zy

+(-)

8/3/2019 Curs8_MC

19/22

2

2

21

22

, yzzyzy

IIIII

II

Prin calcule matematice se obin cele doua momente deinerie principale I1 si I2, prin formula:

unde semnul (+) din fata termenului al doilea din membruldrept sa fie atribuit lui I1, iar semnul (-) lui I2.

!!! Cnd figura are cel puin o axa de simetrie, una dinaxele centrale principale de inerie va corespunde cu axade simetrie trecnd prin centrul de greutate al figurii.

8/3/2019 Curs8_MC

20/22

Modul de rezistenta

Raportul dintre momentul de inerie al unei seciuni fata

de o axa centrala de inerie si distanta celui maindeprtatpunct din seciune de aceasta axa se numete modul derezistenta.

y

z

O

zi

zsi

y

yi

s

y

ysz

I

Wz

I

W

;

Modulul de rezistenta se msoar

in unitari de lungime la puterea atreia [L3].

8/3/2019 Curs8_MC

21/22

Cazuri particulare:

6

hb

2/

12/hb

2/

6

bh

2/

12/bh

2/23

23

bb

IW

hh

IW

zz

y

yy

z

Oh

b

y

z

O

d

322/

64/d

2/

34 d

dd

IW

y

8/3/2019 Curs8_MC

22/22

Raze de inerie

Momentul de inerie al seciunii in raport cu o axa se

poate reprezenta sub forma produsului dintre ariaseciunii si ptratul unei mrimi numite raza deinerie sauraza degiraie:

22y

Ay iAdAzI

A

Ii

A

Ii zz

y

y ; [L]

A

Ii

A

Ii 221

1 ;