Bab TigaFormulasi Persamaan GetaranSifat-sifat fisik yang penting dari setiap sistemstruktur elastik linear yangdikenakan pada beban dinamik meliputi massa, sifat elastik (fleksibilitas danrigiditas/kekakuan),mekanismekehilanganenergi atauperedaman,dansumberluareksitasi atau pembebanannya. Dalam model yang paling sederhana dari suatu systemSDOF, masing-masingsifat tersebut dianggapterpusat padaelemenfisiktunggal.Massakeseluruhanmdari sistemini dicakupdalambaloktegar. Rol-rol membatasibalok ini terkendala sehingga ia hanya dapat bergerak dalam translasi sederhana; jadikoordinat perpindahan tunggal y secara lengkap akan menentukan posisinya.Tahananelastik terhadapperpindahandiberikan oleh pegas tanpabobot dengankekakuank, sedangmekanismekehilangan-energi (energyloss) digambarkanolehperedamc. Mekanismepembebanan-luaryangmenimbulkanresponsdinamikpadasistem adalah beban F(t) yang berubah menurut waktu.Soal 3-1:Rumuskan Permodelan MatematikSistem Dashpot tersebut untukmereprentasikan:my + cy + ky = F(t)Solusi Soal 3-1:Untukmenjawabsoal 1makadapat ditempuh2carapenyelesaianyaitupertama,solusi persamaan diferensial yang diberi orientasi fisika-mekanika dari problemgetaranpaksadenganredaman, dankedua, solusi persamaandiferensial denganTransformasi Laplace.Forced Vibration with Damping1. Solusi Persamaan Diferensial yang diberi arti fisis dari problem getaran paksa dengan redamanmky(t)(+)cF(t)Formulasi Persamaan Getaran32Sistem yang akan dianalisis ditunjukkan kembali pada gambar 1 dan 2, dimanaterdapat suatubentukredamanviskos(=viscousdamping, yaitubentukgayaredamyangdapat terjadi padabendayangtertahangeraknyadalamfluidapekat/kental)dalambentuk dashpot. Terdapat beberapakeadaandimana asumsi redaman liat(viscous damping) benar nyatadandi dalammanamekanismepelepasanenergimendekati kondisi liat (viscous). Namun, menurut beberapa literatur, anggapanredamanliat (viscous damping) ini seringdibuat tanpamemperhatikankenyataankarakteristik pelepasan (dissipative characteristic) dari sistem.Perpindahanyditunjukkandari titikkeseimbangandandiberi tandapositif kearahkanan. Arahpositif kecepatandanpercepatandiambil sama. Untukkecepatanpositif y, harga gaya redaman c.y akan mengarah ke kiri dan demikian sebaliknya.Gambar 1. (a) Osilator redaman liat, (b) Diagram Free Bodyo(t)mkcyy(a)(b)macvky(+)perpindahanPr i nsi pd Al ember tIdeuntukmerumuskanpersamaangeraksistem massa-pegas dengan kuantitasgaya inersia, fI = ma, disebut PrinsipdAlembert. Gambar di sebelahkiri inimemperlihatkan DFB dari massa osilatorm yang dipindah/ditarik pada arah positifkoordinat y,sehingga timbulgaya pegaselastik, fS=ky, dan(berdasarkansifatfisikal benda-benda)memunculkangayainersia, fI = ma.NW=mgkcyy(+)perpindahanSistem MassaSistem KekakuanSistem DampingSistem DampingSistem KekakuanSistem MassadtF(t)Gambar 3. Sistem Massa-Rangka/Portal (kondisi terdeformasi) akibatgaya luar dinamik.LantaiF(t)Formulasi Persamaan Getaran33Gambar 2. (a) Sistem Massa-Pegas dan DFB-nyaBerdasar Hukum Newton-II (Besarnya percepatan benda tergantung dari besarnya gayayangbeker j adanber ar ahsamadenganar ahker j agaya) ,Hukum Newton II (satuan SI)a = 1 m/s2F = 1 NHubungan-hubungan matematis:my = -ky cy eq.1ma= -ky cv eq.2fI + fD + fS = F(t) eq.3k.y (t) + my(t) + cy (t) = F(t) eq.4dimana bila suku kanan=0, getaran paksa menjadi getaran bebas,ma (t) + cv (t) + ky (t) = 0Arti fisis dari besaran-besarandalam persamaan 3,fS = gaya elastik = kekakuan pegas x perpindahan= ky, bentuk diferensialnya y dtfI = gaya inersia = massa x percepatan= ma, bentuk diferensialnya d2y/dtfD = mekanisme peredam viskos= gaya redam = konstanta redaman x kecepatan= cv, bentuk diferensialnya dy/dtF(t) = gaya luarPersamaan 3sekarang ditulis dalam notasi persamaan diferensial,F(t)eq. 5m = 1 kg(c)macvkyFormulasi Persamaan Getaran34I dent if ikasi Bent uk Persamaan DiferensialSuatu persamaan diferensial biasa (ODE) linear non-homogen dengan koefisienkonstan mempunyai bentuk umum,) ( ' ...0 111) (t f y a y a y a y annnn= + + + +dimana adalah konstanta-konstanta dan 0 ) ( = t f .Bentukpersamaan5(eq.5) identikdenganpersamaandiferensial biasalinear non-homogenordedua. Dengandemikianpersamaangetaranpaksadenganredamantelahdiidentifikasi sebagai suatupersamaandiferensial linear non-homogenorde2dengan koefisien konstan.PemecahanPer samaanDi f er ensi al Li near Bi asa( ODE)non- HomogenOr de2denganKoef i si enKonst anDari teorema-teoremafundamental kalkuluskitamenemukanbahwauntuk suatupersamaandiferensial biasa(ODE)linearnon-homogen,pemecahanlengkap(solusiumum) diperolehdari superposisi ataupenjumlahanduabagiansolusi yaitu: solusipartikular (=penyelesaian khusus) yp(t) dan solusi komplementer atau fungsikomplementer yc(t).) ( ) ( ) ( t y t y t yp c+ =dimana:y(t) = solusi lengkap (komplet).yc(t) = solusi komplementer atau fungsi komplementer= solusi persamaan diferensial dengan suku kanan fungsi/persamaandianggap sama dengan nol atauf(t) = 0yp(t) = solusi partikular= suatu fungsi yang memenuhi seluruh persamaan diferensial danyang tidak mengandung konstanta sembarang apapun.Langkahselanjutnyaadalah menemukanbentuk solusi komplementer yc(t) yangmemenuhi persamaan atau fungsi komplementernya sbb,my + cy + k.y = 0yangdiperolehdengancaramembuat sukukananpersamaan f(t) (dari eq.4ataueq.5) menjadi nol.Menent ukanSol usi Per samaanKompl ement er yc(t)eq. 6eq. 7eq. 8Formulasi Persamaan Getaran35Karenapenggunaankoefisienkonstanbersifat terbatasyaitutidakdapat menanganiketidakteraturanbentuk variabel tambahandalampers. 8, makaLeonhardEulermenciptakan penyelesaian fungsi komplementer (eq.8) dengan mengubah bentuknyamenjadi fungsi eksponen e, sbb,y = estdengan derivatif,y = sesty = s2estSubstitusi pers. 9, 10, dan 11ke dalam persamaan 8 sehingga,ms2est+ csest+ kest= 0dimana: est 0Menghilangkan estdari pers.12, diperolehbentuk baru yangmemodifikasi bentukpers.8menjadi suatu persamaan pembantu (auxiliary equation), yaitu,my + cy + k.y = 0 ms2+ cs + k = 0ms2+ cs + k = 0Selanjutnya, karakteristikpersamaan13dapat dianalisisberdasarkansifat akar-akarpersamaankuadrat atausifat-sifat diskriminan. Kondisi awal yangberlakudalamsistemdirepresentasikandenganperkalianduaakar-akarpersamaankuadrats1dans2 dengan konstanta-konstanta sembarang, G1 dan G2,yc(t) = G1es1t+ G2es2tdimana:G1, G2= konstanta sembarang yang ditentukan oleh kondisiawal (initial cond.) dari sistems1, s2= akar-akar fungsi atau persamaan komplementer,yang karakteristiknya akan menentukan perilakusistem.Jikapersamaanpembantu: ms2+cs+k=0 mengandungduaakar real yangberbeda s1 dan s2, maka solusi komplementer my + cy + ky = 0,yc(t) = G1es1t+ G2es2tSedang bila s1 dan s2 = s (identik dan real),yc(t) = G1est+ G2testAr t i Fi si ka dar i Model Mat emat i kSi st emeq. 13eq. 14eq. 9eq. 10eq. 11eq. 12eq. 15eq. 16Formulasi Persamaan Getaran36Persamaan-persamaan Dasar dan Energi GetaranEnergi potensial getaran(Ep) atauenergi potensial pegasditulisberdasar HukumNewton-II:F = mayF = m(-e2y)F = -me2y : me2konstan = kF = -kySkema dibawah ini digunakan untuk menggambarkan prosedur menghitung kecepatanmaksimum benda bergetar, dimana prinsipnya adalah:Empada suatu saat= EpmaksimumEm=Ep= kA2(Amplitudo Em= ky2+ mv2Em=Ek= mv2Maksimum) (Amplitudo y1) (Amplitudo Minimum)Selesaikan persamaan untuk menentukan v2dan e2: mv2= kA2 kx2y=A y=0 y=-A y=-A y=0 y=-A y=0Gambar 4.a. Simpangan Maksimum Gambar 4.b. Simpangan y=y1 Gambar 4.c. Titik Kesetimbangank k km m my=(A2-x2)1/2xAy=A y=AEm12|\|.kx212|\|.mv2+ :=Epmaks12|\|.kA2:=Ekmaks12|\|.mv2:=Kekekalan energi mekanik:12|\|.kx212|\|.mv2+12|\|.kA = mv2maks = kA2v2maks = (k/m)A2v2maksv0(padasimpangan A=0)e2R2= (k/m)A2e2= k/m, sebab: R=AFormulasi Persamaan Getaran372e =mkdimana:e = kecepatan sudut (rad/s)k = konstanta pegas atau konstanta kekakuan (kNm-1)m = massa benda (kg)Reduksi konstantam dari pers. 13 dan substitusi kecepatan sudut e (eq. 17),[s2+ (c/m)s + (k/m)] = 0 eq.18[s2+ (c/m)s + e2] = 0 eq.19Nilais (akar-akar persamaan) daripersamaan 18 bergantung pada nilaic (konstantaredaman), jadi tipe gerak yang dinyatakan oleh pers. 18 akan bergantung pada entitasperedaman yang terdapat dalamsistem. Persamaan 18 mempunyai akar-akarsebagai berikut,s1, 2= -(c/2m) \(c/2m)2 (k/m) eq.20Sol usi UmumMat emat i kFungsi Kompl ement er yc(t)KarakterAkarKuadratPersamaankuadrat s2+(c/m)s+(k/m)=0 mempunyai karakteristikakar-akar yang ditentukan oleh diskriminan (c/2m)2 (k/m). Penyelesaian denganrumus, akar-akar kuadrat,|.|

\| |.|

\| =mkmcmcs s22 12 2,Bila 1,mc,mkadalah bilangan real, karakteristik akar s1 dan s2, sbb:1) apabila|.|

\||.|

\|mkmc42> 0, real dan berbeda redaman superkritis2) apabila|.|

\||.|

\|mkmc42= 0, real dan identik redaman kritis3) apabila|.|

\||.|

\|mkmc42< 0, imajiner redaman subkritiseq. 17Formulasi Persamaan Getaran38Jadi Persamaandiferensial linearhomogenordeduauntukperpindahan/simpanganbenda yang bergetar mempunyai solusi komplementer yc(t) sbb,yc(t)= G1es1t+ G2es2tyc(t)= G1etmkmcmc

|.|

\| |.|

\|+ |.|

\|22 2+ G2etmkmcmc

|.|

\| |.|

\| |.|

\|22 2eq. 21Persamaan 21 adalah solusi umum fungsi komplementer menurut model matematik.Untuk menentukan solusifungsikomplementer dalam pengertian fisika-mekanika,diperlukan pengkajian tentang kondisi peredaman dalam sistem.Koefisien Redaman Kritis (Cc) dan Tiga Situasi Redaman:Kritis, Superkritis dan SubkritisTerdapat tiga kasus tentang bagaimana faktor redaman mempengaruhi bentuk osilasibenda bergetar dalam normalisasi posisi menuju kesetimbangan.Koef i s i en Redaman Kr i t i s , ccHarga konstanta redaman dimana akar persamaan kuadrat sama dengan nol disebutkonstanta Redaman Kritis, yaitu:(c/2m)2= e2= k/m,selanjutnya harga konstanta redaman kritis diberi notasi subscritc menjadi cc.cc/2m = \ k/m = e, ataueq.22cc = 2\ mk = 2meUntuksistemyangteredam, perbandinganantarakonstantaredamandenganhargakritis redamannya adalah suatu parameter tanpa dimensi yang mereprentasikanbesarnya redaman sistemtersebut. Rasio atau perbandingan ini disebut faktorredaman dan disimbolkan dengan c (xi). Definisi c adalah,c = c/cceq. 23denganc/2m = (c/cc)(cc/2m) = ceeq. 24Gerakan Teredam Kri t i s ( Cri ti cal l y Damped System) , c = 1Bilac=ccatauc =1,makaakar-akars1dans2adalahreal danidentik.Kondisi inidisebut redaman kritis, yang merupakan kondisi batas terjadinya osilasi dalamsistem.Nilai akar-akar s pada persamaan 20 menjadi,s1,2 = s = -(c/2m) = -eeq. 25s1, 2= -(c/2m) \(c/2m)2 (k/m) nolharga redaman kritisFormulasi Persamaan Getaran39Dalamsituasi responsgetaranteredamkritisataukondisi peredamankritis, solusiumum fungsi komplementer (eq. 21) menjadi,yc(t)= G1est+ G2testyc(t)= G1etmc

|.|

\|2+ G2tetmc

|.|

\|2eq. 26dimana:G1, G2= amplitudo gerak, kecepatan gerak (kondisi awal).Konsepfisikal redamankritisadalahsuatukondisi dimanatidakterjadi gerakosilasi(=gerak bolak-balik sekitar titik kesetimbangan). Kedua situasi ini berbeda hanyadalam hal waktu normalisasi (peluruhan/eksponensial) dimana pada kondisi redamankritis waktunormalisasi menjadi lebihpendek (lebihcepat) berhubungkonstantaredamannya lebih kecil.y(t)y(0) = v(0)y(0)tGambar 5.a. Tipikal umum Grafik respons getaran dengan redaman kritis. Gerakanbenda akanmengecil secaraeksponensial sejalandenganwaktumenujunol.(a)KurvaRedamanKr itis, c=1[G1=0, G2=10]-0.1-0.0500.050.11 2 3 4 5 6 7 8 9 10Waktu, ty(t)=(G1e^-et+G2te^-et)KurvaRedaman Kritis, c=1[G1=1, G2=1]-0.20.30.81 2 3 4 5 6 7 8 9 10Waktu, ty(t)=(G1e^-et+G2te^-et)Kurva Redaman Kritis, c = 1 [G1=1, G2=1]00.511.51 2 3 4 5 6 7 8 9 10Waktu, ty(t)=(G1e^-et+G2te^-et)(b)Gambar 6.(a) (c) Tipikal Grafikrespons getaran dengan redaman kritissimpangan gerakan terhadap waktu (t)Tiga tipe yang ditampilkan disini hanyaditentukanolehkondisi awal gerakan,yaituG1danG2. Padasemuagrafikyangditunjukkantidaksatupunterlihatadanya osilasi tetapi peluruhaneksponensial.Formulasi Persamaan Getaran40(c)Gerakan Teredam Berl ebi h ( Overdamped Sys t em) at au Redaman Superkri t i s, c > 1Bila c > cc atau c > 1, maka akar-akar s1 dan s2 adalah real dan berbeda. Kondisi inidisebut redaman superkritis, atau sistemyang getarannya mengalami redamanberlebihan. Solusi untuk kasus ini identik dengan pers 21,yc(t)= G1etmkmcmc

|.|

\| |.|

\|+ |.|

\|22 2+ G2etmkmcmc

|.|

\| |.|

\| |.|

\|22 2y(t)= G1e-ot+ G2e-|teq. 27digunakan simbol o dan | untuk simplifikasi suku-suku akar persamaan:keduanya identik o = (c - \ c21)e > 0 | = (c + \ c21 )e > 0ekivalensi hubungan-hubungan yang diketahui: e = \ k/m c/2m = ce c= c/cc = c/2meKonsep fisikal redaman superkritis identik dengan redaman kritis yaitu tanpa gerakanosilasi dengan waktu normalisasi yang sedikit lebih lama.s1, 2 = -(c/2m) \(c/2m)2 (k/m)Kur vaRedam anSuper kr itis,c>1[C1=1,C2=-1]00. 511 2 3 4 5 6 7 8 9 10W akt u, ty(t)=(G1e^-ot+G2e^-|t)K ur v aR e d a m a nS up e r k r itis , c >1[ G 1 =1 , G 2 =- 2 ]- 1- 0. 500. 511 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0W akt u , ty(t)=(G1e^-ot+G2e^-|t)Kurva Redaman Kritis, c = 1 [G1=1, G2=4]00.511.51 2 3 4 5 6 7 8 9 10Waktu, ty(t)=(G1e^-et+G2te^-et)Formulasi Persamaan Getaran41Gambar 7.(a) (b) Tipikal grafik respons getaran dengan redaman superkritis (simpangan getaranterhadap waktut).Gerakan Teredam Subkri t i s ( Underdamped Syst em) , c < 1Bilac