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De-Haas-van-Alphen-Effekt
Datum: 20. 12. 2004
Vortragender: Dr. Frank Morherr
Inhaltsübersicht:
1 Was ist der De-Haas-van-Alphen-Effekt 1.1
Pauli-Paramagnetismus von Leitungselektronen
1.2 Landau-Diamagnetismus freier Elektronen
1.3 Magnetisierung und Suszeptibilität
2 Oszillation der magnetischen Suszeptibilität mit 1/B
2.1 Qualitative Diskussion 2.2 Rechnung am zweidimensionalen
freien Elektronengas 2.3 Rechnung am dreidimensionalen
Elektronengas 2.4 Analytische Rechnung 3 Anwendung des
De-Haas-van-Alphen-Effekts
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Kapitel 1
Der De-Haas-van-Alphen-Effekt
1
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Der De-Haas-van-Alphen-Effekt Was ist der
De-Haas-van-Alphen-Effekt? 1.1
1.1 Was ist der De-Haas-van-Alphen-Effekt?
Als De-Haas-van-Alphen-Effekt bezeichnet man die periodische
Variation der magnetischenSuszeptibilität χ als Funktion der
inversen Magnetfeldstärke 1
B. Dies wird in vielen Metallen
bei hinreichend tiefen Temperaturen beobachtet. Der
De-Haas-van-Alphen-Effekt beruht aufder Landau-Quantisierung der
Elektronen im Magnetfeld.
Entdeckt wurde er 1930 gemeinsam von:
• J. W. de Haas, niederländischer Mathematiker und Physiker
*1878 in Lisse (Holland),†1960 in Bilthoven. Er war Professor in
Delft, Groningen und Leiden und verfaßte Arbeitenüber
Molekularströme und Leitfähigkeiten von Metallen in
Magnetfeldern.
• P. M. van Alphen.
Sie beobachteten Oszillationen in der Magnetisierung von reinen
Metallen bei sehr tiefenTemperaturen, erreicht durch die Kühlung
mit flüssigem Helium, bei Variation des Magnetfel-des.
Zunächst werden wir den De-Haas-van-Alphen-Effekt am Modell
freier Elektronen im Ma-gnetfeld mit diamagnetischer Koplung
diskutieren und plausibel machen. Seine Anwendunghat er allerdings
in Systemen mit realistischer Gitterstruktur und daher
realistischeren Fermi-flächen.
1.1 Pauli-Paramagnetismus von Leitungselektronen
• Curie-Paramagnetismus: Geht aus von lokalisierten magnetischen
Momenten, dievon Rumpfelektronen in den nicht vollständig gefüllten
Atomen oder Ionen des Festkörpersgebildet werden. Die Magnetischen
Momente sind dann unbeweglich.
• Pauli-Paramagnetismus: Grenzfall delokalisierter, durch den
ganzen Kristall beweg-licher magnetischer Momente. Die gut
beweglichen Leitungselektronen in Metallen besitzeneinen Spin und
damit ein magnetisches Moment. Die auch ohne das Magnetfeld
vorhandenenMomente können durch dieses ausgerichtet werden. Daher
liefern Leitungselektronen einenBeitrag zum Paramagnetismus.
Wegen letzterem betrachten wir Modell, welches nur die Kopplung
des Magnetfelds an denElektronenspin berücksichtigt. Der
Hamiltonoperator für freie Elektronen imMagnetfeld lautetdaher:
H =∑
−→k ,σ
ε−→kc+−→k ,σ
c−→k ,σ+ µBB
∑
−→k
(c+−→k ,↑
c−→k ,↑ − c
+−→k ,↓
c−→k ,↓
)=
=∑
−→k
(ε−→k+ µBB
)c+−→k ,↑
c−→k ,↑ +
∑
−→k
(ε−→k− µBB
)c+−→k ,↓
c−→k ,↓ ,
da für die z-Komponente des Elektronenspins in zweiter
Quantisierung gilt
Sz =1
2
∑
−→k
(c+−→k ,↑
c−→k ,↑ − c
+−→k ,↓
c−→k ,↓
).
2
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Der De-Haas-van-Alphen-Effekt Was ist der
De-Haas-van-Alphen-Effekt? 1.1
Die z-Komponente des magnetischen Moments ergibt sich zu
µz = −gµBSz = −µB∑
−→k
(c+−→k ,↑
c−→k ,↑ − c
+−→k ,↓
c−→k ,↓
)
und der an das Magnetfeld in z-Richtung koppelnde Teil des
Hamiltonoperators ist
H ′ = −−→µ−→B = −µzB = µBB
∑
−→k
(c+−→k ,↑
c−→k ,↑ − c
+−→k ,↓
c−→k ,↓
).
Die z-Komponente der Magnetisierung, die Folge des angelgten
B-Feldes ist, ergibt sich alsthermischer Erwartungswert
M = 〈µz〉 = −µB∑
−→k
(〈c+−→k ,↑
c−→k ,↑
〉−〈c+−→k ,↓
c−→k ,↓
〉).
Sowohl Spin-↑ als auch Spin-↓ Elektronen im Magnetfeld sind
weiterhin freie Elektronen, nurmit leicht verschobenen
Einteilchen-Eigenenergien ε±µBB . Daher können wir
Fermifunktionen
f (ε) =1
eβ(ε−µ) + 1
einsetzen und erhalten mit der Zustandsdichte ρ0 (ε) der freien
Elektronen
M = −µB∫
dε (f (ε+ µBB) ρ0 (ε+ µBB)− f (ε− µBB) ρ0 (ε− µBB)) .
Da ρ0 konstant auf kleinen Energieintervallen ±µBB für B klein,
folgt durch Entwickeln
M = −2µ2BB∫
dερ0 (ε)df
dε= 2µ2BB
∫dερ0 (ε)
(−dfdε
).
Beschränkung auf tiefe Temperaturen liefert δ-Funktion bei εF
und es folgt
M = 2µ2BBρ0 (εF ) .
Damit hat man die Pauli-Suszeptibilität
χPauli = 2µ2Bρ0 (εF ) .
Damit hat man in Metallen für T −→ 0 einen konstanten,
temperaturunabhängigen parama-gnetischen Beitrag zur
Suszeptibilität zu erwarten.
3
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Der De-Haas-van-Alphen-Effekt Was ist der
De-Haas-van-Alphen-Effekt? 1.1
1.2 Landau-Diamagnetismus freier Elektronen
Hier betrachtet man nicht die Spinkopplung der Elektronen an das
Magnetfeld, sondern dieKopplung, welche aufgrund der
Elektronenladung durch die Ersetzung
−→p −→ −→p − e
c
−→A
entsteht. Dies ist die
diamagnetische Kopplung.
=⇒ negativer Beitrag zur Suszeptibilität.Man betrachtet hierzu
das Modell spinloser Fermionen im Magnetfeld. Der Hamiltonope-
rator in erster Quantisierung ist
H =N∑
i=1
(−→pi − ec
−→A(−→ri))2
2m=∑
i
1
2m
(−→pi2 − 2e
c
−→pi−→A(−→ri)+
e2
c2−→A 2(−→ri))
.
Mit Magnetfeld in z-Richtung und Landau-Eichung
−→A = (0, Bx, 0) =⇒
−→B = ▽×
−→A = (0, 0, B) , div
−→A = 0 =⇒ −→p
−→A =
−→A−→p
ergibt sich
H =∑
i
(p2ix2m
+p2iy
2m+
p2iz2m
− eBmc
piyxi +e2B2
2mc2x2i
).
Da wir keine e-e-Wechselwirkung betrachten, reicht es ein
Elektron zu betrachten
Hi =p2x2m
+m
2ω20
(x− py
mω0
)2+
p2z2m
,
mit der Zyklotronfrequenz
ω0 =eB
mc
(klassische Umlauffrequenz für Teilchen im Magnetfeld aufgrund
der Lorentzkraft).Mit dem Einteilchen-Wellenfunktionsansatz
Ψ(−→r)= cϕ (x) eikyyeikzz
ergibt sich die Schrödingergleichung zu
HΨ(−→r)=
(p2x2m
+m
2ω20
(x− �ky
mω0
)2+�2k2z2m
)cϕ (x) eikyyeikzz = Ecϕ (x) eikyyeikzz .
Kürzen der ebenen Wellen liefert einen eindimensionalen
harmonischen Oszillator für die x-Komponente. Damit ergibt sich die
Lösung zu
ϕ (x) = φn
(x− x0
λ
), mit x0 =
�ky
mω0=�cky
eB, λ =
√�
mω0=
√�c
eB,
mit den Hermitpolynomen φn , n = 1, 2, 3, . . . und der
magnetischen Länge λ .
4
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Der De-Haas-van-Alphen-Effekt Was ist der
De-Haas-van-Alphen-Effekt? 1.1
Die Energie-Eigenwerte ergeben sich zu
En,ky,kz = �ω0
(n+
1
2
)+�2k2z2m
.
Damit haben wir eine Charakterisierung der Energie-Eigenwerte
und Eigenfunktionen durchdie drei Quantenzahlen n, ky, kz . Nun
sieht man
• En,ky,kz ist unabhängig von ky =⇒ En,ky,kz ist bzgl. ky
entartet.• Von ky hängt nur der Mittelpunkt x0 des harmonischen
Oszillators ab.• Der Entartungsgrad bestimmt sich aus der
Forderung, daß die Oszillator-Mittelpunkte x0im System sein
müssen:
x0 =�ky
mω0� Lx .
Mit periodischen Randbedingungen in y-Richtung gilt
ky =2πlyLy
, mit ly ∈ N ,
also2π�lymω0Ly
� Lx
=⇒ ly �mω0LxLy
2π�.
Der Entartungsgrad entspricht Zahl der erlaubten ky-Werte, also
der Zahl der ly-Werte.Damit ist der Entartungsgrad eines
Landau-Niveaus gegeben durch
mω0LxLy
2π�=|e|Bc
· LxLy2π�
.
1.3 Magnetisierung und Suszeptibilität
Mittels der Thermodynamik läßt sich jetzt wieder Magnetisierung
und Suszeptibilität be-rechnen:
Für die Energie gilt
ε−→k=�2k2
2m−→ Einteilchenenergien En,ky ,kz ,
d.h. statt freie Elektronen mit Dispersion ε−→khat man nun Satz
von Einteilchenquantenzahlen
α = (n, ky, kz) .Das großkanonische Potential ergibt sich zu
ψ = −2kBT∑
α
ln(1 + e−β(εα−µ)
)=
= −2kBTLz
2π�
∫dkz
eB
c
LxLy
2π�
∞∑
n=0
ln(1 + e−β(εα−µ)
)=
5
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Der De-Haas-van-Alphen-Effekt Was ist der
De-Haas-van-Alphen-Effekt? 1.1
= −kBTV2π2�2
|e|Bc
∞∑
n=0
∫dkz ln
(1 + e
−β(�ω0(n+ 12)+
�2k2z2m
−µ))
=
=ekBTV
2π2�2B
c
∞∑
n=0
g
(µ− �ω0
(n+
1
2
)),
wobei man setzt
g (µ− x) =∫
dkz ln
(1 + e
β
(µ−x− �
2k2z2m
)).
Nun benutzt man die McLaurinsche Summenformel∞∑
n=0
F
(n+
1
2
)=
∫ ∞
0
F (x) dx+1
24F ′ (0)
und erhält∞∑
n=0
g
(µ− �ω0
(n+
1
2
))=
∫ ∞
0
g (µ− �ω0x) dx+1
24
d
dxg (x)
∣∣∣∣x=0
=
=1
�ω0
∫ µ
−∞g (y) dy − �ω0
24
d
dyg (y)
∣∣∣∣y=µ
mit y = µ− �ω0x .Das Großkanonische Potential ergibt sich zu
ψ =kBTm
2π2�3V
∫ µ
−∞g (y) dy − (�ω0)
2
24
d
dyg (y)
∣∣∣∣∣y=µ
.
Der erste Term ist unabhängig von B und derselbe, wie ohne
Magnetfeld. Daher folgt
ψ = ψ0 (T, µ)−�2e2B2
24m2c2∂2
∂µ2ψ0 (T, µ) ,
wobei
ψ0 (T, µ) =
∫ µ
−∞g (y) dy =
∫ µ
−∞dy
∫dkz ln
(1 + e
β
(y− �
2k2z2m
)).
Die Magnetisierung ergibt sich zu
M = − ∂ψ∂B
=e2�2
12m2c2B∂2ψ0∂µ2
und die Suszeptibilität zu
χ =∂M
∂B=
e2�2
12m2c2∂2ψ0∂µ2
=1
3µ2B
∂2ψ0∂µ2
.
Dabei ist ψ0 das großkanonische Potential ohne Magnetfeld, das
berechnet werden kann durch
ψ0 = −2kBT∑
−→k
ln(1 + e−β(ε
−→
k−µ))
6
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Der De-Haas-van-Alphen-Effekt Was ist der
De-Haas-van-Alphen-Effekt? 1.1
=⇒ ∂ψ0∂µ
= −2∑
−→k
e−β(ε−→
k−µ)
1 + e−β(ε−→
k−µ)
= −2∑
−→k
1
eβ(ε−→
k−µ) + 1
= −2∑
−→k
f(ε−→k
)
=⇒ ∂2ψ0∂µ2
= 2∑
−→k
df
dε−→k
−→T→0
−2ρ0 (εF ) .
Damit ist die Landau-Suszeptibilität negativ und wir haben
χLandau = −1
3χPauli .
Der paramagnetische Pauli-Beitrag überwiegt also den
diamagnetischen Landau-Beitrag undwir haben
χGesamt =2
3χPauli .
7
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Der De-Haas-van-Alphen-Effekt Oszillation der magnetischen
Suszeptibilität mit 1B
1.2
1.2 Oszillation der magnetischen Suszeptibilität mit 1B
2.1 Qualitative Diskussion
Wir betrachten die x-y-Ebene senkrecht zumMagnetfeld, also die
kx-ky-Ebene im−→k -Raum.
Ohne Magnetfeld (Siehe Bild links oben):
• kx und ky sind Quantenzahlen, d.h. Zustände sind durch
Gitterpunkte in der kx-ky-Ebenecharakterisiert.
• Flächen konstanter Energie sind Kugeln im−→k -Raum,
Projektionen in kx-ky-Ebene sind
Kreise.
Mit Magnetfeld: (Siehe Bild rechts oben)
• Zustände sind durch die Landau-Quantenzahl n charakterisiert.•
Sie sind entartet. Jeweils |e|BLxLy
2π�cZustände haben dieselbe Energie �ω0
(n+ 1
2
). Diese
liegen auf Kreis in der kx-ky-Ebene, wobei
Entartungsgrad = Zahl der erlaubten Punkte auf Kreis.
• Entartungsgrad nimmt mit Kreisradius proportional zum
Magnetfeld zu mit wachsendemB .
• In 3 Dimensionen liegen erlaubte Zustände auf Zylindermänteln
(Landau-Zylinder od.Röhren) im
−→k -Raum.
8
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Der De-Haas-van-Alphen-Effekt Oszillation der magnetischen
Suszeptibilität mit 1B
1.2
•
Vergrößerung des Magnetfeldes
=⇒ Vergrößerung des Zylinderradius
=⇒ Ab bestimmtem Magnetfeld durchstößt Zylinder die
Fermifläche
=⇒ Wegen zunemender Entartung müssen alle Elektronen aufdarunter
liegenden Landauzylindern unterzubringen sein.
=⇒ Gesamtenergie ändert sich immer dann deutlich, wenn
quantisiertes Landau-Niveaugenau die Fermienergie kreuzt mit
zunehmendem Magnetfeld
2.2 Rechnung am zweidimensionalen freien Elektronengas
In einem zweidimensionalen Elektronengas in der x-y-Ebene in
einem Magnetfeld in z-Richtung sind Landau Zustände exakt
quantisiert, d.h. kein kontinuierlicher Anteil von dichtliegenden
kz-Beiträgen.
Die Energie-Eigenwerte sind
En = �ω0
(n+
1
2
)
9
-
Der De-Haas-van-Alphen-Effekt Oszillation der magnetischen
Suszeptibilität mit 1B
1.2
mit Entartungsgrad in jedem Niveau
mω0LxLy
2π�=|e|BLxLy2π�c
= pB
mit
p =|e|LxLy2π�c
.
Ist N Gesamtzahl der Elektronen, dann werden n0 Landau-Niveaus
ganz gefüllt und die restli-chen Elektronen besetzen das (n0 +
1)-te Niveau.
Die Gesamtenergie ergibt sich zu
Eges =n0−1∑
n=0
pB�ω0
(n+
1
2
)+ �ω0 (N − pBn0) .
Wächst B, dann nimmt Besetzung des (n0 + 1)-ten Niveaus linear
ab (da Steigung negativwegen −pBn0).
Gilt N − pBn0 = 0 , d.h.
B =N
pn0bzw.
1
B=
pn0
N
dann wird das (n0 + 1)-Niveau gerade nicht mehr gefüllt und die
Fermienergie springt ins n0-teLandau-Niveau.
Folgende Grafik verdeutlicht das
Daher ist für die Gesamtenergie und die daraus ableitbare
Magnetisierung ein in 1B
-periodisches
Verhalten zu erwarten.
2.3 Rechnung am dreidimensionalen Elektronengas
Zustandsdichte pro Volumen spinloser freier Elektronen im
Magnetfeld ist gegeben durch
ρ (E) =m
3
2
25
2π2�2
∑
n
ω0√E − �ω0
(n+ 1
2
)θ(E − �ω0
(n+
1
2
)),
mit der Stufenfunktion θ .Zusammen mit der einfachen
wurzelförmigen Zustandsdichte freier Elektronen ohne Ma-
10
-
Der De-Haas-van-Alphen-Effekt Oszillation der magnetischen
Suszeptibilität mit 1B
1.2
gnetfeld sieht dies folgendermaßen aus:
D.h. im Magnetfeld ist Zustandsdichte eine Überlagerung von
gegeneinander um �ω0 ver-schobener 1-dimensionaler Zustandsdichten
mit den für eine Dimension charakteristischen 1√
E
Van-Hove-Singularitäten.Variiert das Magnetfeld und damit ω0,
verschieben sich die Spitzen der Van-Hove-Singularitäten.
Für kleine Magnetfelder bleibt die Fermi-Energie EF annähernd
konstant.Wenn eine Spitze der Van-Hove-Singularität durch die
Fermi-Energie geschoben wird, än-
dert sich die Grundzustandsenergie drastisch, also bei
Magnetfeldern B bei denen genau
EF = �ω0
(n+
1
2
)=� |e|Bmc
(n+
1
2
)
erfüllt ist.
Es ergibt sich drastische Änderung in der Gesamtenergie bzw.
Magnetisierung. Andersausgedrückt: Als Funktion von 1
Bergeben sich Oszillationen in Abständen von
∆
(1
B
)=
|e| �mcEF
.
=⇒ Gesamtenergie bzw. Grundzustandsenergie ist als Funktion von
1B
oszillierend
=⇒ Magnetisierung ist als Ableitung der Energie nach Magnetfeld
oszillierend
=⇒ aus Magnetisierung abgeleitete magnetische Suszeptibilitätist
periodische Funktion in 1
B.
• Aus der Periode kann manauf die Elektronenmasse schließen. Bei
realen Gitterelektronenentspricht dies der effektiven Masse.
11
-
Der De-Haas-van-Alphen-Effekt Oszillation der magnetischen
Suszeptibilität mit 1B
1.2
• Für die bis EF integrierte Zustandsdichte erhält man aus ρ
(E)
N = N (EF ) =V ω0m
3
2
25
2π2�2
∑
n
2
√EF − �ω0
(n+
1
2
)θ
(EF − �ω0
(n+
1
2
)).
Bei vorgegebener Gesamtelektronenzahl N kann man hieraus die
Fermi-Energie EF bestimmen.Dies ist analytisch etwas schwierig,
aber numerisch ganz einfach.
Bei bekanntem EF erhält man die Grundzustandsenergie zu
U =
∫dE Eρ (E) =
V ω0m3
2
25
2π2�2
∑
n
(2
3EF +
4
3�ω0
(n+
1
2
))√EF − �ω0
(n+
1
2
).
Einsetzen des oben bestimmten EF liefert die
Grundzustandsenergie U (N,B) als Funktion derGesamtelektronenzahl N
und des Magnetfeldes.
Die Magnetisierung ergibt sich zu
M (B) = −∂U∂B
.
Man erhält die folgenden Bilder:
Man erkennt das oszillierende Verhalten mit Perioden, die mit
wachsendem B steigen. Weitergilt
limB→0
M (B) = 0
Stellt man M als Funktion von 1Bdar, ergibt sich folgendes Bild,
welches die Oszillation in 1
B
12
-
Der De-Haas-van-Alphen-Effekt Oszillation der magnetischen
Suszeptibilität mit 1B
1.2
deutlich macht.
2.4 Analytische Rechnung
Wir gehen im wesentlichen von dem oben schon betrachteten
Ausdruck des großkanonischenPotentials aus
ψ = −T |e|BV4π2�c
∑
n
∫ ∑
s,σ
ln
(1 + exp
µ− εsnσ (kz)T
)dkz .
Da der Index s nur Blätter der Fläche konstanter Energie angibt,
kann man das Summenzeichenweglassen. Mit der Poisson-schen
Formel
1
2F (0) +
∞∑
n=1
F (n) =
∫ ∞
0
F (x) dx+ 2Re∞∑
l=1
∫ ∞
0
F (x) e2πilx dx
trennt man den oszillierenden Teil ψ̃ ab. Man erhält
ψ̃ = −|e|BV T4π2�c
2Re∞∑
l=1
∑
σ=±1Ĩlσ
mit dem oszillierenden Anteil Ĩlσ des Integrals
Ilσ =
∫ ∞
0
dn
∫ln
(1 + exp
µσ − εn (kz)T
)e2πilx dkz ,
wobei µσ = µ− σβξB .
13
-
Der De-Haas-van-Alphen-Effekt Oszillation der magnetischen
Suszeptibilität mit 1B
1.2
Mit der Funktion
n (ε, kz) =c�S (ε, kz)
2π |e|B −1
2
erhält man nach Übergang von dn nach dε
Ilσ =
∫ ∞
0
∫ln
(1 + exp
µσ − εT
)e2πilx
∂n
∂εdkz dε .
n (ε, kz) groß =⇒ e2πilx ist als Funktion von kz schnell
oszillierend
=⇒ Beitrag kommt nur von Gebieten, wo n (ε, kz) sich langsam
ändert, d.h.in der Nähe der Extrema kz,ex von n als Funktion von kz
.
Schreibt man im Exponenten
n (ε, kz) ≈ nex (ε) +1
2
(∂2n
∂k2z
)
ex
(kz − kz,ex)2 , wobei nex (ε) = n (ε, kz,ex)
und an allen anderen Stellen kz,ex statt kz , dann liefert jeder
Extremalpunkt den Beitrag
∫ ∞
0
ln
(1 + exp
µσ − εT
)dnex
dε
1√l
∣∣∣∣∂2n
∂k2z
∣∣∣∣− 12
ex
exp
(2πilnex ±
iπ
4
)dε
(Herleitung über Integration über geschlossenen Weg in C . + ,
falls kz,ex Minimum, − , fallskz,ex Maximum).
Partielle Integration und da man∣∣∣∂2n∂k2z
∣∣∣exals langsam veränderliche Funktion nicht zu inte-
grieren braucht, liefert
Ĩlσ =∑
ex
e±iπ4
2πiT l3
2
∫ ∞
0
exp (2πilnex) dε[1 + exp µσ−ε
T
] ∣∣∣∂2n∂k2z∣∣∣1
2
ex
.
exp(2πilnex) ist schnell oszillierend und löscht das Integral
über dε , außer bei ε−µσ ∼ T . Dasich nex (ε) hier wenig ändert,
setzt man
nex (ε) ≈ nex (µσ) + n′ex (µσ) (ε− µσ) .
Ersetzt man∣∣∣∂2n∂k2z
∣∣∣− 12
exdurch den Wert bei ε = µσ und integriert über x =
ε−µσT
, wobei man die
Integrationsgrenze −µσTdurch −∞ ersetzt, so erhält man mit der
Formel
∫ ∞
−∞
eiαz
ez + 1= − iπ
sinh πα
den Ausdruck
Ĩlσ = −∑
ex
exp(2πilnex ± iπ4
)
2l3
2
∣∣∣∂2n∂k2z∣∣∣1
2
ex,µσ
sinh−1(2π2lTn′ex (µσ)
).
Außer im Exponentialfaktor kann man µσ durch µ ersetzen. Im
Exponentialfaktor kann man
14
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Der De-Haas-van-Alphen-Effekt Oszillation der magnetischen
Suszeptibilität mit 1B
1.2
nex (µ± βξB) nach Potenzen von βξB entwickeln und erhält mittels
der linearen Glieder∑
σ
Ĩlσ = −∑
ex
exp(2πilnex ± iπ4
)
l3
2
∣∣∣∂2n∂k2z∣∣∣1
2
ex,µ
sinh−1(2π2lTn′ex (µ)
)cos (2πlβξexn
′ex (µ)) ,
mit ξex = ξ (kz,ex) .Nun hängt nex (ε) mit dem Extremalwert Sex
(ε) des Flächeninhalt S (ε, kz) des Schnit-
tes der Fläche konstanter Energie als Funktion von kz zusammen.
Ihr Wert bei ε = µ ist derFlächeninhalt des extremalen querschnitts
der Fermi-Fläche. Im folgenden Bild sind ein mini-maler und zwei
maximale Extremalquerschnitte einer hantelförmigen Fermi-Fläche
dargestellt.Sie liegen senkrecht zur durch einen Pfeil
gekennzeichneten Feldrichtung. Die Summation gehtüber alle
extremalen, geschlossenen Querschnitte aller Blätter der
Fermi-Fläche.
Mit der Zyklotronmasse des Leitungselektrons
m∗ =�2
2π
∂S (ε, kz)
∂ε
∣∣∣∣µ,kz,ex
=�2
2πS ′ex (µ) , mit Sex (ε) = S (ε, kz,ex (ε))
kommt man zu folgender Endformel für den oszillierenden Anteil
des thermodynamischen Po-tentials
ψ̃ =∑
ex
∞∑
l=1
(−1)l Ωl cos(l�2Sex
2mβB± π4
),
mit
Ωl =2V (mβB)
5
2
π7
2�3m∗l5
2
·∣∣∣∣∂2S (µ, kz)
∂k2z
∣∣∣∣− 12
ex
· λsinhλ
cos
(πl
m∗
mξex
),
wobei
λ =lπ2Tm∗
mβB.
Für den oszillierenden Teil der longitudinalen (in Feldrichtung)
Magnetisierung erhalten wirdann
M̃z =∑
ex
∞∑
l=1
(−1)l+1Ml sin(l�2Sex
2mβB± π4
),
15
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Der De-Haas-van-Alphen-Effekt Oszillation der magnetischen
Suszeptibilität mit 1B
1.2
wobei
Ml =B
1
2 (mβ)3
2 Sex
π7
2m∗l3
2�
∣∣∣∣∂2S (µ, kz)
∂k2z
∣∣∣∣− 12
ex
λ
sinhλcos
(πl
m∗
mξex
).
Dies sind komplizierte oszillierende Funktionen des
Magnetfeldes, wobei sie im allgemeinenGlieder unterschiedlicher
Periodizität enthalten. Die von den einzelnen
Extremalquerschnittender Fermi-Fläche verursachten Glieder haben
bzgl. der Variablen 1
Bdie Perioden
∆1
B=4πmβ
�2Sex=2π |e|c�Sex
.
Diese Perioden hängen nicht von der Temperatur ab.Die
Temperaturabhängigkeit der Amplituden der Oszillationen ist durch
den Faktor
λ
sinhλ
bestimmt. Es folgt
λ
{≫ 1 : Amplituden fallen exponentiell ab =⇒ Oszillationen
verschwinden praktisch
� 1 : λsinhλ
∼ 1 , Amplituden werden durch Ωl und Ml bestimmt.
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Der De-Haas-van-Alphen-Effekt Anwendung des
De-Haas-van-Alphen-Effekts 1.3
1.3 Anwendung des De-Haas-van-Alphen-Effekts
Der De-Haas-van-Alphen findet vielfältige Anwendung bei der
experimentellen Untersu-chung der elktronischen Eigenschaften von
Metallen. Hierbei insbesondere in der Bestimmungvon effektiven
Massen und von Extremalquerschnitten der Fermi-Fläche.
Als Beispiel zeigen wir Messungen an Gold. Hier sind
• die d-Zustände besetzt.• das Fermi-Niveau fällt in den Bereich
des sp-Bandes.
Die Fermi-Fläche hat also annähernd Kugelgestalt.
Allerdings ist sie so ausgedehnt, daß sie entlang der
[111]-Richtung Kontakt mit der Zonengrenzehat.
=⇒ Aufstülpung: Fermi-Fläche geht direkt in die Fermi-Fläche der
angrenzenden Zoneüber:
Für Magnetfeld entlang der [111]-Richtung gibt es damit zwei
geschlossene Umlaufbahnen,entlang derer sich die Landau-Zylinder
von der Fermi-Fläche ablösen. Dies sind die
Halsbahn und die Bauchbahn.
Ihre Querschnittsflächen bestimmen die Periode der
de-Haas-van-Alphen-Oszillationen. Es er-
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Der De-Haas-van-Alphen-Effekt Anwendung des
De-Haas-van-Alphen-Effekts 1.3
gibt sich ein Spektrum wie in a) der folgenden Abbildung
Das Verhältnis der Querschnittsflächen liest man aus dem
Vergleich der Perioden ab: (1 : 29). Man berechnet die
Querschnittsflächen zu 1, 5 · 1015 cm−2 bzw. 4, 3 · 1016 cm−2 .
Damit läßtsich ein Abbild der Fermifläche wie oben dargestellt
weitgehend konstruieren.
Variation des Winkels der Magnetfeldachse bei konstantem Feld
liefert ebenfalls Oszillatio-nen, da die Landau-Zylinder durch die
Drehung die Fermi-Fläche entlang der Kontaktkonturmanchmal berüren,
manchmal nicht. (siehe Abbildung b) oben).
Oszillationen verschwinden für Winkel, wo die Umlaufbahnen nicht
geschlossen sind.
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