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Degenerazioni delightful e grado k-secante disuperfici toriche
Elisa Postinghel
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE
Gargnano, 25 Maggio 2010
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 1 / 26
1 Le variet à k-secantiGrado k-secante e numero νk (X )
2 Approccio combinatoricoVarietà toriche e degenerazioni toricheDegenerazioni piane toriche k-delightful
3 Risultatik = 1k = 2Una congettura
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 2 / 26
Le variet à k-secanti
1 Le variet à k-secantiGrado k-secante e numero νk (X )
2 Approccio combinatoricoVarietà toriche e degenerazioni toricheDegenerazioni piane toriche k-delightful
3 Risultatik = 1k = 2Una congettura
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 3 / 26
Le variet à k-secanti
Definizione
Sia X ∈ Pr varietà proiettiva, irriducibile e non-degenere, dim(X ) = n.La varietà k-secante Sk (X ) di X è definita come la chiusura dell’unionedi tutti i Pk che intersecano X almeno k + 1 volte.
Le varietà secanti sono importanti classicamente per il ruolo che essegiocano nella teoria delle proiezioni di varietà su sottospazi: dim(S(X ))fornisce informazioni riguardo all’embedding di X in spazi proiettivi.
La dimensione attesa è
e(Sk (X )) = min{(k + 1)n + k , r}.
X è detta k-difettiva se dim(Sk (X )) < e(Sk (X )), non k-difettivaaltrimenti.
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 4 / 26
Le variet à k-secanti
Definizione
Sia X ∈ Pr varietà proiettiva, irriducibile e non-degenere, dim(X ) = n.La varietà k-secante Sk (X ) di X è definita come la chiusura dell’unionedi tutti i Pk che intersecano X almeno k + 1 volte.
Le varietà secanti sono importanti classicamente per il ruolo che essegiocano nella teoria delle proiezioni di varietà su sottospazi: dim(S(X ))fornisce informazioni riguardo all’embedding di X in spazi proiettivi.
La dimensione attesa è
e(Sk (X )) = min{(k + 1)n + k , r}.
X è detta k-difettiva se dim(Sk (X )) < e(Sk (X )), non k-difettivaaltrimenti.
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 4 / 26
Le variet à k-secanti
Definizione
Sia X ∈ Pr varietà proiettiva, irriducibile e non-degenere, dim(X ) = n.La varietà k-secante Sk (X ) di X è definita come la chiusura dell’unionedi tutti i Pk che intersecano X almeno k + 1 volte.
Le varietà secanti sono importanti classicamente per il ruolo che essegiocano nella teoria delle proiezioni di varietà su sottospazi: dim(S(X ))fornisce informazioni riguardo all’embedding di X in spazi proiettivi.
La dimensione attesa è
e(Sk (X )) = min{(k + 1)n + k , r}.
X è detta k-difettiva se dim(Sk (X )) < e(Sk (X )), non k-difettivaaltrimenti.
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Le variet à k-secanti
Esempio. Sia Vn,2 l’immagine di ν2 = φ|O(2)| : Pn → Pr = P(n+2
2 )−1.L’ideale di Vn,2 è generato dai minori 2 × 2 della generica matricesimmetrica (n + 1)× (n + 1)
An =
x0 x1 x3 · · · xr−nx1 x2 x4 · · · xr−n+1x3 x4 x5 · · · xr−n+2...
......
. . ....
xr−n xr−n+1 xr−n+2 · · · xr
L’ideale di S(Vn,2) è generato dai minori 3 × 3 della stessa matrice:
dim(S(Vn,2)) = 2n ≤ min{r , 2n + 1},
dunque Vn,2 è non 1-difettiva sse n = 1!
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Le variet à k-secanti
Ci sono varie idee riguardo allo studio di varietà secanti (join di varietà,varietà tangenti, varietà duali, etc.).In molti hanno studiato il problema
1 di classificare le varietà non k-difettive:∗ Catalano-Johnson,∗ Catalisano, Geramita, Gimigliano,∗ Chiantini, Ciliberto,∗ Ciliberto, Russo e altri;
2 di studiare equazioni e grado di Sk (X )∗ Cox-Sidmann,∗ Sturmfels, Sullivant,∗ Landsberg, Manivel,∗ Simis, Ulrich,∗ Vermeire e altri.
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 6 / 26
Le variet à k-secanti
Ci sono varie idee riguardo allo studio di varietà secanti (join di varietà,varietà tangenti, varietà duali, etc.).In molti hanno studiato il problema
1 di classificare le varietà non k-difettive:∗ Catalano-Johnson,∗ Catalisano, Geramita, Gimigliano,∗ Chiantini, Ciliberto,∗ Ciliberto, Russo e altri;
2 di studiare equazioni e grado di Sk (X )∗ Cox-Sidmann,∗ Sturmfels, Sullivant,∗ Landsberg, Manivel,∗ Simis, Ulrich,∗ Vermeire e altri.
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 6 / 26
Le variet à k-secanti Grado k-secante e numero νk (X)
Domanda: Se Sk (X ) ha la dimensione attesa
dim(Sk (X )) = (k + 1)n + k ≤ r .
qual è il numero νk (X ) di Pk (k + 1)-secanti ad X che intersecano unsottospazio generale L ⊆ Pr di codimensione (k + 1)n + k?Abbiamo
νk (X ) = µk (X ) · deg(Sk (X )),
ove µk (X ) è il numero di Pk (k + 1)-secanti che passano per il puntogenerale di Sk (X ).
νk (X ) è anche detto numero di Pk−1 (k + 1)-secanti apparenti di X ,ossia il numero di Pk−1 (k + 1)-secanti che X acquisisce in unagenerica proiezione su M = Pdim(Sk (X))−1, (〈L,M〉 = Pr ).
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 7 / 26
Le variet à k-secanti Grado k-secante e numero νk (X)
Domanda: Se Sk (X ) ha la dimensione attesa
dim(Sk (X )) = (k + 1)n + k ≤ r .
qual è il numero νk (X ) di Pk (k + 1)-secanti ad X che intersecano unsottospazio generale L ⊆ Pr di codimensione (k + 1)n + k?Abbiamo
νk (X ) = µk (X ) · deg(Sk (X )),
ove µk (X ) è il numero di Pk (k + 1)-secanti che passano per il puntogenerale di Sk (X ).
νk (X ) è anche detto numero di Pk−1 (k + 1)-secanti apparenti di X ,ossia il numero di Pk−1 (k + 1)-secanti che X acquisisce in unagenerica proiezione su M = Pdim(Sk (X))−1, (〈L,M〉 = Pr ).
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 7 / 26
Le variet à k-secanti Grado k-secante e numero νk (X)
Domanda: Se Sk (X ) ha la dimensione attesa
dim(Sk (X )) = (k + 1)n + k ≤ r .
qual è il numero νk (X ) di Pk (k + 1)-secanti ad X che intersecano unsottospazio generale L ⊆ Pr di codimensione (k + 1)n + k?Abbiamo
νk (X ) = µk (X ) · deg(Sk (X )),
ove µk (X ) è il numero di Pk (k + 1)-secanti che passano per il puntogenerale di Sk (X ).
νk (X ) è anche detto numero di Pk−1 (k + 1)-secanti apparenti di X ,ossia il numero di Pk−1 (k + 1)-secanti che X acquisisce in unagenerica proiezione su M = Pdim(Sk (X))−1, (〈L,M〉 = Pr ).
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 7 / 26
Le variet à k-secanti Grado k-secante e numero νk (X)
Se k = 1, ν1(X ) conta i nodi apparenti di X , ossia il numero dinodi che X acquisice dopo una proiezione generale in P2n.In particolare se n = 2 e X è liscia
ν1(X ) =d(d−5)
2 − 5g + 6pa − K2 + 11 [F. Severi]
Se k = 2 ν2(X ), conta le rette triscanti apparenti. In particolare− Se n = 2 e X non contiene rette:
ν2(X ) = F (d , c2,K 2,HK ) [B. Le Barz]
− Se n = 2 e X è uno scroll razionale normale:
ν2(X ) = G(d ,g) [C. James]
Daremo un contributo, nell’ambito del calcolo di νk (X ) per superficitoriche, con un approccio combinatorico.
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 8 / 26
Le variet à k-secanti Grado k-secante e numero νk (X)
Se k = 1, ν1(X ) conta i nodi apparenti di X , ossia il numero dinodi che X acquisice dopo una proiezione generale in P2n.In particolare se n = 2 e X è liscia
ν1(X ) =d(d−5)
2 − 5g + 6pa − K2 + 11 [F. Severi]
Se k = 2 ν2(X ), conta le rette triscanti apparenti. In particolare− Se n = 2 e X non contiene rette:
ν2(X ) = F (d , c2,K 2,HK ) [B. Le Barz]
− Se n = 2 e X è uno scroll razionale normale:
ν2(X ) = G(d ,g) [C. James]
Daremo un contributo, nell’ambito del calcolo di νk (X ) per superficitoriche, con un approccio combinatorico.
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 8 / 26
Le variet à k-secanti Grado k-secante e numero νk (X)
Se k = 1, ν1(X ) conta i nodi apparenti di X , ossia il numero dinodi che X acquisice dopo una proiezione generale in P2n.In particolare se n = 2 e X è liscia
ν1(X ) =d(d−5)
2 − 5g + 6pa − K2 + 11 [F. Severi]
Se k = 2 ν2(X ), conta le rette triscanti apparenti. In particolare− Se n = 2 e X non contiene rette:
ν2(X ) = F (d , c2,K 2,HK ) [B. Le Barz]
− Se n = 2 e X è uno scroll razionale normale:
ν2(X ) = G(d ,g) [C. James]
Daremo un contributo, nell’ambito del calcolo di νk (X ) per superficitoriche, con un approccio combinatorico.
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 8 / 26
Le variet à k-secanti Grado k-secante e numero νk (X)
Se k = 1, ν1(X ) conta i nodi apparenti di X , ossia il numero dinodi che X acquisice dopo una proiezione generale in P2n.In particolare se n = 2 e X è liscia
ν1(X ) =d(d−5)
2 − 5g + 6pa − K2 + 11 [F. Severi]
Se k = 2 ν2(X ), conta le rette triscanti apparenti. In particolare− Se n = 2 e X non contiene rette:
ν2(X ) = F (d , c2,K 2,HK ) [B. Le Barz]
− Se n = 2 e X è uno scroll razionale normale:
ν2(X ) = G(d ,g) [C. James]
Daremo un contributo, nell’ambito del calcolo di νk (X ) per superficitoriche, con un approccio combinatorico.
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 8 / 26
Approccio combinatorico
1 Le variet à k-secantiGrado k-secante e numero νk (X )
2 Approccio combinatoricoVarietà toriche e degenerazioni toricheDegenerazioni piane toriche k-delightful
3 Risultatik = 1k = 2Una congettura
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Approccio combinatorico Variet à toriche e degenerazioni toriche
DefinizioneUna viarietà torica è una varietà X normale, separata e contenente untoro (C∗)n, n = dim(X ), come sottoinsieme denso, la cui azione su Xestende quella di (C∗)n su se stesso.
variet̀a torica proiettivaXPn-dimensionale
LP fibrato linearesenza punti base, molto ampio
↔
politopo convessoP ⊆ Rn
compatto, integrale,definito a - di traslazioni
Siano P ∩ Zn = {m0, . . . ,mr} i punti reticolari di P ⊆ Rn. Consideriamoil morfismo
φP : x = (x1, . . . , xn) ∈ (C∗)n → [xm0 , . . . , xmr ] ∈ Pr
con xmi = xmi11 · · · xminn .
XP = Im(φP) ⊆ Pr , immerso con il morfismo associato a LP .
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 10 / 26
Approccio combinatorico Variet à toriche e degenerazioni toriche
DefinizioneUna viarietà torica è una varietà X normale, separata e contenente untoro (C∗)n, n = dim(X ), come sottoinsieme denso, la cui azione su Xestende quella di (C∗)n su se stesso.
variet̀a torica proiettivaXPn-dimensionale
LP fibrato linearesenza punti base, molto ampio
↔
politopo convessoP ⊆ Rn
compatto, integrale,definito a - di traslazioni
Siano P ∩ Zn = {m0, . . . ,mr} i punti reticolari di P ⊆ Rn. Consideriamoil morfismo
φP : x = (x1, . . . , xn) ∈ (C∗)n → [xm0 , . . . , xmr ] ∈ Pr
con xmi = xmi11 · · · xminn .
XP = Im(φP) ⊆ Pr , immerso con il morfismo associato a LP .
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 10 / 26
Approccio combinatorico Variet à toriche e degenerazioni toriche
DefinizioneUna viarietà torica è una varietà X normale, separata e contenente untoro (C∗)n, n = dim(X ), come sottoinsieme denso, la cui azione su Xestende quella di (C∗)n su se stesso.
variet̀a torica proiettivaXPn-dimensionale
LP fibrato linearesenza punti base, molto ampio
↔
politopo convessoP ⊆ Rn
compatto, integrale,definito a - di traslazioni
Siano P ∩ Zn = {m0, . . . ,mr} i punti reticolari di P ⊆ Rn. Consideriamoil morfismo
φP : x = (x1, . . . , xn) ∈ (C∗)n → [xm0 , . . . , xmr ] ∈ Pr
con xmi = xmi11 · · · xminn .
XP = Im(φP) ⊆ Pr , immerso con il morfismo associato a LP .
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 10 / 26
Approccio combinatorico Variet à toriche e degenerazioni toriche
Esempio 0. P2 è descritto da@@.. .
Esempio 1. La superficie di Veronese d-esima Vd ⊆ Pd(d+3)
2 è descrittadal triangolo
@@@@
.
. .
. . .
. . . .d
d
Esempio 2. Lo scroll razionale normale S(δ1, δ2) ⊆ Pδ1+δ2+1 èdescritto dal trapezio
HHH. . . . .. . . . . . .
δ1
δ2
Esempio 3. L’immersione della quadrica P1 × P1 via O(2, 2) in P8 èdescritta dal quadrato . . .
. . .
. . .
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 11 / 26
Approccio combinatorico Variet à toriche e degenerazioni toriche
Esempio 0. P2 è descritto da@@.. .
Esempio 1. La superficie di Veronese d-esima Vd ⊆ Pd(d+3)
2 è descrittadal triangolo
@@@@
.
. .
. . .
. . . .d
d
Esempio 2. Lo scroll razionale normale S(δ1, δ2) ⊆ Pδ1+δ2+1 èdescritto dal trapezio
HHH. . . . .. . . . . . .
δ1
δ2
Esempio 3. L’immersione della quadrica P1 × P1 via O(2, 2) in P8 èdescritta dal quadrato . . .
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Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 11 / 26
Approccio combinatorico Variet à toriche e degenerazioni toriche
Esempio 0. P2 è descritto da@@.. .
Esempio 1. La superficie di Veronese d-esima Vd ⊆ Pd(d+3)
2 è descrittadal triangolo
@@@@
.
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. . . .d
d
Esempio 2. Lo scroll razionale normale S(δ1, δ2) ⊆ Pδ1+δ2+1 èdescritto dal trapezio
HHH. . . . .. . . . . . .
δ1
δ2
Esempio 3. L’immersione della quadrica P1 × P1 via O(2, 2) in P8 èdescritta dal quadrato . . .
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Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 11 / 26
Approccio combinatorico Variet à toriche e degenerazioni toriche
Esempio 0. P2 è descritto da@@.. .
Esempio 1. La superficie di Veronese d-esima Vd ⊆ Pd(d+3)
2 è descrittadal triangolo
@@@@
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. . . .d
d
Esempio 2. Lo scroll razionale normale S(δ1, δ2) ⊆ Pδ1+δ2+1 èdescritto dal trapezio
HHH. . . . .. . . . . . .
δ1
δ2
Esempio 3. L’immersione della quadrica P1 × P1 via O(2, 2) in P8 èdescritta dal quadrato . . .
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Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 11 / 26
Approccio combinatorico Variet à toriche e degenerazioni toriche
Degenerazioni toriche.
- Una suddivisione D di P è una famiglia finita {Qi}i∈I disottopolitopi n-dimensionali che si intersecando a 2 a 2 lungo unafaccia comune, la cui unione è P.
- D è regolare se esiste una funzione FD definita sopra P, positiva,lineare a tratti (sui sottopolitopi) e strettamente convessa.
Una suddivisione regolare D di P definisce una degenerazione toricadi XP (parametrizzata da C) come segue:
ΦD : (C∗)n+1 → Pr × C
(x , t) 7→ ([tFD(m0)xm0 : · · · : tFD(mr )xmr ], t).
La chiusura di ΦD((C∗)n+1), ∀t 6= 0, è una varietà Xt proiettivamenteequivalente a XP ; inoltre
X0 := limt→0
Xt =⋃
i∈I
XQi .
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 12 / 26
Approccio combinatorico Variet à toriche e degenerazioni toriche
Degenerazioni toriche.
- Una suddivisione D di P è una famiglia finita {Qi}i∈I disottopolitopi n-dimensionali che si intersecando a 2 a 2 lungo unafaccia comune, la cui unione è P.
- D è regolare se esiste una funzione FD definita sopra P, positiva,lineare a tratti (sui sottopolitopi) e strettamente convessa.
Una suddivisione regolare D di P definisce una degenerazione toricadi XP (parametrizzata da C) come segue:
ΦD : (C∗)n+1 → Pr × C
(x , t) 7→ ([tFD(m0)xm0 : · · · : tFD(mr )xmr ], t).
La chiusura di ΦD((C∗)n+1), ∀t 6= 0, è una varietà Xt proiettivamenteequivalente a XP ; inoltre
X0 := limt→0
Xt =⋃
i∈I
XQi .
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 12 / 26
Approccio combinatorico Variet à toriche e degenerazioni toriche
Degenerazioni toriche.
- Una suddivisione D di P è una famiglia finita {Qi}i∈I disottopolitopi n-dimensionali che si intersecando a 2 a 2 lungo unafaccia comune, la cui unione è P.
- D è regolare se esiste una funzione FD definita sopra P, positiva,lineare a tratti (sui sottopolitopi) e strettamente convessa.
Una suddivisione regolare D di P definisce una degenerazione toricadi XP (parametrizzata da C) come segue:
ΦD : (C∗)n+1 → Pr × C
(x , t) 7→ ([tFD(m0)xm0 : · · · : tFD(mr )xmr ], t).
La chiusura di ΦD((C∗)n+1), ∀t 6= 0, è una varietà Xt proiettivamenteequivalente a XP ; inoltre
X0 := limt→0
Xt =⋃
i∈I
XQi .
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 12 / 26
Approccio combinatorico Variet à toriche e degenerazioni toriche
Esempio.Consideriamo la seguentetriangolazione del politopo Dche definisce la VeroneseV3 ⊆ P9.
@@
@@@
@@@@@
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 13 / 26
Approccio combinatorico Variet à toriche e degenerazioni toriche
Esempio.Consideriamo la seguentetriangolazione del politopo Dche definisce la VeroneseV3 ⊆ P9.
@@
@@@
@@@@@
Una funzione positiva FDlineare a tratti sulla suddivisionee strettamente convessa su P FDè ad esempio
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 13 / 26
Approccio combinatorico Variet à toriche e degenerazioni toriche
Esempio.Consideriamo la seguentetriangolazione del politopo Dche definisce la VeroneseV3 ⊆ P9.
@@
@@@
@@@@@
Una funzione positiva FDlineare a tratti sulla suddivisionee strettamente convessa su P FDè ad esempio
Se XP è una superficie torica e D una triangolazione regolare di P,allora il limite piatto di XP è una superficie ridotta e riducibile data daun’unione di piani (♯(I) = deg(XP)).Parleremo di degenerazioni toriche piane.(corrisponde a prendere l’ideale iniziale di IX rispetto ad unordinamento monomiale)
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 13 / 26
Approccio combinatorico Degenerazioni piane toriche k-delightful
Definizione
Data X ∈ Pr superficie torica e D triangolazione di X , definiamo
Nk+1(D) := {(k+1)-insiemi di triangoli a 2 a 2 disgiunti};
νk+1(D) := ♯(Nk+1(D)).
Esempio.V3, k = 2 @
@@
@@
@@@@@∗
∗
∗
@@
@@@
@@@@@
∗
∗
∗−→ ν3(D) = 4
@@@
@@
@@@@@∗
∗
∗
@@
@@@
@@@@@∗
∗
∗
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 14 / 26
Approccio combinatorico Degenerazioni piane toriche k-delightful
Definizione
Data X ∈ Pr superficie torica e D triangolazione di X , definiamo
Nk+1(D) := {(k+1)-insiemi di triangoli a 2 a 2 disgiunti};
νk+1(D) := ♯(Nk+1(D)).
Esempio.V3, k = 2 @
@@
@@
@@@@@∗
∗
∗
@@
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@@@@@
∗
∗
∗−→ ν3(D) = 4
@@@
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@@@@@∗
∗
∗
@@
@@@
@@@@@∗
∗
∗
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 14 / 26
Approccio combinatorico Degenerazioni piane toriche k-delightful
Teorema [Sturmfels-Sullivant ’06]
Se esiste D con νk+1(D) ≥ 1, allora X è non k-difettiva. Inoltre
νk (X ) ≥ νk+1(D).
Dimostrazione: Sia n = dim(X ) = 2. Il limite piatto limD Sk (X )continene i sottospazi π ⊆ Pr generati da unioni di k + 1 piani; inparticolare se ne esiste almeno uno di dimensione massimale 3k + 2,allora dim(Sk (X )) = 3k + 2.Inoltre, differenti insiemi di (k + 1) piani possono generare lo stessosottospazio: il numero di tali insiemi contribuisce a νk (X ). �
Remarks:
- La dimostrazione vale anche per n = dim(X ) ≥ 3.
- Una dimostrazione analoga è proposta in[Ciliberto-Dumitrescu-Miranda ’07] per varietà di Veronese.
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 15 / 26
Approccio combinatorico Degenerazioni piane toriche k-delightful
Teorema [Sturmfels-Sullivant ’06]
Se esiste D con νk+1(D) ≥ 1, allora X è non k-difettiva. Inoltre
νk (X ) ≥ νk+1(D).
Dimostrazione: Sia n = dim(X ) = 2. Il limite piatto limD Sk (X )continene i sottospazi π ⊆ Pr generati da unioni di k + 1 piani; inparticolare se ne esiste almeno uno di dimensione massimale 3k + 2,allora dim(Sk (X )) = 3k + 2.Inoltre, differenti insiemi di (k + 1) piani possono generare lo stessosottospazio: il numero di tali insiemi contribuisce a νk (X ). �
Remarks:
- La dimostrazione vale anche per n = dim(X ) ≥ 3.
- Una dimostrazione analoga è proposta in[Ciliberto-Dumitrescu-Miranda ’07] per varietà di Veronese.
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 15 / 26
Approccio combinatorico Degenerazioni piane toriche k-delightful
Teorema [Sturmfels-Sullivant ’06]
Se esiste D con νk+1(D) ≥ 1, allora X è non k-difettiva. Inoltre
νk (X ) ≥ νk+1(D).
Dimostrazione: Sia n = dim(X ) = 2. Il limite piatto limD Sk (X )continene i sottospazi π ⊆ Pr generati da unioni di k + 1 piani; inparticolare se ne esiste almeno uno di dimensione massimale 3k + 2,allora dim(Sk (X )) = 3k + 2.Inoltre, differenti insiemi di (k + 1) piani possono generare lo stessosottospazio: il numero di tali insiemi contribuisce a νk (X ). �
Remarks:
- La dimostrazione vale anche per n = dim(X ) ≥ 3.
- Una dimostrazione analoga è proposta in[Ciliberto-Dumitrescu-Miranda ’07] per varietà di Veronese.
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 15 / 26
Approccio combinatorico Degenerazioni piane toriche k-delightful
DefinizioneUna degenerazione D per cui vale νk (X ) = νk+1(D), è dettak-delightful.
Esempio 1.V3 ⊆ P9,k = 2
@@@@@
@@@@@∗
∗
∗
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@@@@@
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∗
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∗
∗
ν3(D) = 4 = deg(S2(V3)) = ν2(V3) : D è 2-delightful!
Esempio 2.X6 ⊆ P6,k = 1 @@
@@
����∗
∗ @@
@@
����∗
∗ @@
@@
����∗
∗
ν2(D) = 3 = deg(S1(X6)) = ν1(X6) : D è 1-delightful!
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 16 / 26
Approccio combinatorico Degenerazioni piane toriche k-delightful
DefinizioneUna degenerazione D per cui vale νk (X ) = νk+1(D), è dettak-delightful.
Esempio 1.V3 ⊆ P9,k = 2
@@@@@
@@@@@∗
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ν3(D) = 4 = deg(S2(V3)) = ν2(V3) : D è 2-delightful!
Esempio 2.X6 ⊆ P6,k = 1 @@
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ν2(D) = 3 = deg(S1(X6)) = ν1(X6) : D è 1-delightful!
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 16 / 26
Approccio combinatorico Degenerazioni piane toriche k-delightful
DefinizioneUna degenerazione D per cui vale νk (X ) = νk+1(D), è dettak-delightful.
Esempio 1.V3 ⊆ P9,k = 2
@@@@@
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ν3(D) = 4 = deg(S2(V3)) = ν2(V3) : D è 2-delightful!
Esempio 2.X6 ⊆ P6,k = 1 @@
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����∗
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ν2(D) = 3 = deg(S1(X6)) = ν1(X6) : D è 1-delightful!
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 16 / 26
Approccio combinatorico Degenerazioni piane toriche k-delightful
Esempio 1. X = V3 ⊆ P9
@@
@@@
@@@@@
• ν2(D) = 12
deg(S1(V3)) = ν1(V3) = 15.
Domanda: come influisce sul difetto di k-delightfulness la presenza dipunti multipli • nella configurazione?
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 17 / 26
Approccio combinatorico Degenerazioni piane toriche k-delightful
Esempio 1. X = V3 ⊆ P9 Esempio 2. X = X6 ⊆ P6
@@@
@@
@@@@@
•@@
@@
@@
@•ν2(D) = 12 ν2(D) = 0
deg(S1(V3)) = ν1(V3) = 15. deg(S1(X6)) = ν1(X6) = 3.
Domanda: come influisce sul difetto di k-delightfulness la presenza dipunti multipli • nella configurazione?
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 17 / 26
Approccio combinatorico Degenerazioni piane toriche k-delightful
Esempio 1. X = V3 ⊆ P9 Esempio 2. X = X6 ⊆ P6
@@@
@@
@@@@@
•@@
@@
@@
@•ν2(D) = 12 ν2(D) = 0
deg(S1(V3)) = ν1(V3) = 15. deg(S1(X6)) = ν1(X6) = 3.
Esempio 3. X = V4 ⊆ P14
@@@
@@@@
@@@@
@@@
@@
@@• •
•ν2(D) = 66
deg(S1(V4)) = ν1(V4) = 75.
Domanda: come influisce sul difetto di k-delightfulness la presenza dipunti multipli • nella configurazione?
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 17 / 26
Risultati
1 Le variet à k-secantiGrado k-secante e numero νk (X )
2 Approccio combinatoricoVarietà toriche e degenerazioni toricheDegenerazioni piane toriche k-delightful
3 Risultatik = 1k = 2Una congettura
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 18 / 26
Risultati k = 1
Verso una risposta:k = 1 Sia X = XP una superficie torica con dimS1(X ) = 5 e sia D unadegenerazione piana di X .
- Sia p sia un punto multiplo di D ellittico come��
@@��AAA
•
o razionale come ��HHH@@
HHHPPPP•
- Sia Q = Qp il sotto-politopo di P dato dall’unione dei triangoli conun vertice in p e sia Z = Zp la superficie torica associata.
- Assumiamo dim(S1(Z )) = 5.
- Supponiamo che esista una suddivisione regolare D1 di Pcontenente Q, come in figura
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@@@@D1 Qp
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•p@@@@@@@D
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 19 / 26
Risultati k = 1
Teorema[ −]
X ,D e Z come sopra: ν1(X ) ≥ ν2(D) + ν1(Z ).
Dimostrazione: Siano D1 e D2 successive suddivisioni di P da cui siottiene, come composizione, D.
1 Il limite piatto limD1 S(X ) contiene(a) S(Z ),(b) tutti le varietà secanti e i join di componenti della fibra centrale (tra
cui N2(D1)).2 Il limite limD S(X ) = limD2 limD1 S(X ) contiene come componenti i
limiti piatti, via D2, di tutte le componenti di limD1 S(X ): inparticolare(a’) limD2 S(Z ),(b’) i limiti delle varietà secanti e dei join al punto (b)
(tra cui N2(D2) = N2(D)).
Le componenti di dimensione massimale 5 contribuiscono aν1(X ). �
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 20 / 26
Risultati k = 1
Teorema[ −]
X ,D e Z come sopra: ν1(X ) ≥ ν2(D) + ν1(Z ).
Dimostrazione: Siano D1 e D2 successive suddivisioni di P da cui siottiene, come composizione, D.
1 Il limite piatto limD1 S(X ) contiene(a) S(Z ),(b) tutti le varietà secanti e i join di componenti della fibra centrale (tra
cui N2(D1)).2 Il limite limD S(X ) = limD2 limD1 S(X ) contiene come componenti i
limiti piatti, via D2, di tutte le componenti di limD1 S(X ): inparticolare(a’) limD2 S(Z ),(b’) i limiti delle varietà secanti e dei join al punto (b)
(tra cui N2(D2) = N2(D)).
Le componenti di dimensione massimale 5 contribuiscono aν1(X ). �
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 20 / 26
Risultati k = 1
D|Q d ν1(Z )
@@@@
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5 1
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•
5 1
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6 3
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6 3
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6 3
D|Q d ν1(Z )
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8 10
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8 10
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8 10
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AAA
•
9 15
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 21 / 26
Risultati k = 1
D|Q d ν1(Z )
��@@HHH•
��@@•
4 1
��@@HHHPPPP•
��HHH@@@@•
5 3
��@@HHHPPPPXXXXX•
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6 6
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��HHH@@
PPPPPPPPXXXXX•
7 10
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��HHH@@
XXXXXPPPPXXXXX``````•
8 15S(1, δ − 1) S(2, δ − 2) δ ≥ 9
(
δ−22
)
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 22 / 26
Risultati k = 1
Inoltre, siano p1, p2 due singolarità di D con le stesse proprietà disopra. Se dim(Qp1 ∩ Qp2) < 2, diremo che Qp1 e Qp2 sononon-sovrapposti.
CorollarioSiano {pi} come sopra, inoltre {Qpi} a due a due non-sovrapposti.Allora
ν1(X ) ≥ ν2(D) +∑
i
ν1(Zpi ).
Dimostrazione: Per ogni i , consideriamo D1i e D2i come nella
dimostrazione del Teorema. Il limite piatto di S(Zpi ), via D2i sta in
limD S(X ).Inoltre l’ipotesi che i politopi siano non-sovrapposti assicura chelimD2i S(Zpi ) e limD2j S(Zpj ) sono componenti distinte di limD S(X ) di
dimensione massimale, dunque i gradi si sommano. �
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 23 / 26
Risultati k = 1
Inoltre, siano p1, p2 due singolarità di D con le stesse proprietà disopra. Se dim(Qp1 ∩ Qp2) < 2, diremo che Qp1 e Qp2 sononon-sovrapposti.
CorollarioSiano {pi} come sopra, inoltre {Qpi} a due a due non-sovrapposti.Allora
ν1(X ) ≥ ν2(D) +∑
i
ν1(Zpi ).
Dimostrazione: Per ogni i , consideriamo D1i e D2i come nella
dimostrazione del Teorema. Il limite piatto di S(Zpi ), via D2i sta in
limD S(X ).Inoltre l’ipotesi che i politopi siano non-sovrapposti assicura chelimD2i S(Zpi ) e limD2j S(Zpj ) sono componenti distinte di limD S(X ) di
dimensione massimale, dunque i gradi si sommano. �
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 23 / 26
Risultati k = 2
k = 2 Sia X = XP una superficie torica con dim(S2(X )) = 8 e sia Ddegenerazione piana di X .Sia p un punto reticolare ellittico o razionale di D tale chedim(S2(Zp)) = 8.
Esistono solo tre casi (ellittici o razionali):
(i.) Zp = V3 la superficie di Veronese in P9
(ii.) Zp = X8 la superficie di Del Pezzo in P8@
@@@@@@
��HHH•
(iii.) Zp = S(2, δ − 2), con δ ≥ 7 ��HHH@@XXXXX
PPPPXXXXX`````̀•
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 24 / 26
Risultati k = 2
k = 2 Sia X = XP una superficie torica con dim(S2(X )) = 8 e sia Ddegenerazione piana di X .Sia p un punto reticolare ellittico o razionale di D tale chedim(S2(Zp)) = 8.
Esistono solo tre casi (ellittici o razionali):
(i.) Zp = V3 la superficie di Veronese in P9
(ii.) Zp = X8 la superficie di Del Pezzo in P8@
@@@@@@
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(iii.) Zp = S(2, δ − 2), con δ ≥ 7 ��HHH@@XXXXX
PPPPXXXXX`````̀•
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 24 / 26
Risultati k = 2
k = 2 Sia X = XP una superficie torica con dim(S2(X )) = 8 e sia Ddegenerazione piana di X .Sia p un punto reticolare ellittico o razionale di D tale chedim(S2(Zp)) = 8.
Esistono solo tre casi (ellittici o razionali):
(i.) Zp = V3 la superficie di Veronese in P9
(ii.) Zp = X8 la superficie di Del Pezzo in P8@
@@@@@@
��HHH•
(iii.) Zp = S(2, δ − 2), con δ ≥ 7 ��HHH@@XXXXX
PPPPXXXXX`````̀•
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 24 / 26
Risultati k = 2
k = 2 Sia X = XP una superficie torica con dim(S2(X )) = 8 e sia Ddegenerazione piana di X .Sia p un punto reticolare ellittico o razionale di D tale chedim(S2(Zp)) = 8.
Esistono solo tre casi (ellittici o razionali):
(i.) Zp = V3 la superficie di Veronese in P9
(ii.) Zp = X8 la superficie di Del Pezzo in P8@
@@@@@@
��HHH•
(iii.) Zp = S(2, δ − 2), con δ ≥ 7 ��HHH@@XXXXX
PPPPXXXXX`````̀•
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 24 / 26
Risultati k = 2
Teorema [ −]
Siano X = XP e D come sopra. Siano pi t.c. Zpi sono V3, X8 oS(2, δ − 2), δ ≥ 7 e t.c. i Qpi siano a due a due non-sovrapposti.Assumiamo che ∀i esista D1i contenente Qpi . Allora
ν2(X ) ≥ ν3(D) +∑
i
ν2(Zpi ).
Dimostrazione: Per ogni i1 limD1i S2(X ) contiene tutti i join J(Y1, J(Y2,Y3)), per ogni Y1,Y2,Y3
componenti della fibra centrale, in particolare contiene S2(Zpi ).2 limD S2(X ) contiene come componenti i limiti piatti, via D21, di tutte
le componenti di limD1i S2(X ), in particolare limD21 S2(Zpi ) e
N3(D2i ) = N3(D).
I contributi delle componenti 8-dimensionali si sommano. �
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 25 / 26
Risultati k = 2
Teorema [ −]
Siano X = XP e D come sopra. Siano pi t.c. Zpi sono V3, X8 oS(2, δ − 2), δ ≥ 7 e t.c. i Qpi siano a due a due non-sovrapposti.Assumiamo che ∀i esista D1i contenente Qpi . Allora
ν2(X ) ≥ ν3(D) +∑
i
ν2(Zpi ).
Dimostrazione: Per ogni i1 limD1i S2(X ) contiene tutti i join J(Y1, J(Y2,Y3)), per ogni Y1,Y2,Y3
componenti della fibra centrale, in particolare contiene S2(Zpi ).2 limD S2(X ) contiene come componenti i limiti piatti, via D21, di tutte
le componenti di limD1i S2(X ), in particolare limD21 S2(Zpi ) e
N3(D2i ) = N3(D).
I contributi delle componenti 8-dimensionali si sommano. �
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 25 / 26
Risultati Una congettura
Congettura
Sia k ∈ {1, 2}. L’ipotesi che i Qpi siano a due a due non-sovrappostipuò essere rimossa.
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 26 / 26
Risultati Una congettura
Congettura
Sia k ∈ {1, 2}. L’ipotesi che i Qpi siano a due a due non-sovrappostipuò essere rimossa.
Esempio. Siano D e D′ triangolazioni di X = φ|O(2,3)|(P1 × P1) ⊆ P11:
@@
@@��
���
�����
D@@
@@D′@@
�������
@@ deg(S1(X )) =ν1(X ) = 35
ν2(D) = 28
ν2(D′) = 29
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 26 / 26
Risultati Una congettura
Congettura
Sia k ∈ {1, 2}. L’ipotesi che i Qpi siano a due a due non-sovrappostipuò essere rimossa.
Esempio. Siano D e D′ triangolazioni di X = φ|O(2,3)|(P1 × P1) ⊆ P11:
@@
@@��
���
�����
D •p1•p2•p3
@@
@@D′@@
�������
@@ deg(S1(X )) =ν1(X ) = 35
ν2(D) = 28
ν2(D′) = 29
Abbiamo ν1(Zp1) = ν1(Zp3) = 3 e ν1(Zp2) = 1 e
ν2(D) + ν1(Xp1) + ν1(Xp2) + ν1(Xp3) = 35.
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 26 / 26
Risultati Una congettura
Congettura
Sia k ∈ {1, 2}. L’ipotesi che i Qpi siano a due a due non-sovrappostipuò essere rimossa.
Esempio. Siano D e D′ triangolazioni di X = φ|O(2,3)|(P1 × P1) ⊆ P11:
@@
@@��
���
�����
D •p1•p2•p3
@@
@@D′@@
�������
@@•p′2•p′3
•p′4
•p′1•q deg(S1(X )) =ν1(X ) = 35
ν2(D) = 28
ν2(D′) = 29
Abbiamo ν1(Zp1) = ν1(Zp3) = 3 e ν1(Zp2) = 1 e
ν2(D) + ν1(Xp1) + ν1(Xp2) + ν1(Xp3) = 35.
Analogamente per D′:ν2(D′) + ν1(Xp′1) + ν1(Xp′2) + ν1(Xp′3) + ν1(Xp′4) = 29 + 1 + 1 + 1 + 1
= 33 < 35.
Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 26 / 26
Le varietà k-secantiGrado k-secante e numero k(X)
Approccio combinatoricoVarietà toriche e degenerazioni toricheDegenerazioni piane toriche k-delightful
Risultatik=1k=2Una congettura