Der Lyapunov-Exponent als (In-)Stabilitätsmaßtheorie2.physik.uni-erlangen.de/lectures/scheinseminarSS06/lyapunov.pdf · Wenn t diskret ist, so wird die zeitliche Entwicklung von

Einführung Diskrete dynamische Systeme Kontinuierliche dynamische Systeme Zusammenfassung

Der Lyapunov-Exponent als (In-)Stabilitätsmaß

Daniel Härtl

27. Juni 2006


Inhalt

1 EinführungMotivationDynamische SystemeSinguläre Punkte

2 Diskrete dynamische SystemeDefinition des Lyapunov-ExponentenBedeutung des Lyapunov-ExponentenBeispiel: Die logistsche Abbildung

3 Kontinuierliche dynamische SystemeDer 1-dimensionale FallDer mehrdimensionale FallBedeutung der Lyapunov-ExponentenBeispiel: Der gedämpfte harmonische Oszillator

4 Zusammenfassung


Inhalt




4 Zusammenfassung


Inhalt




4 Zusammenfassung


Inhalt




4 Zusammenfassung


Motivation

Henri Poincaré (1912)“Es kann vorkommen, dass kleine Unterschiede in denAnfangsbedingungen große im Endergebnis zur Folge haben.(...) Vorhersage wird unmöglich und wir haben ein zufälligesPhänomen.”

Beispiele:Pendel über MagnetenBouncing BallPopulationsdynamik


Motivation

Henri Poincaré (1912)“Es kann vorkommen, dass kleine Unterschiede in denAnfangsbedingungen große im Endergebnis zur Folge haben.(...) Vorhersage wird unmöglich und wir haben ein zufälligesPhänomen.”

Beispiele:Pendel über MagnetenBouncing BallPopulationsdynamik


Beispiel: Das Sinai-Billiard

Wir betrachten ein Modell-Billiard-Spiel mit einer Kugel unterfolgenden Annahmen:

Es gibt keine Reibung.An den Banden gilt das Reflexionsgesetz.

Kleinste Abweichungen in den Anfangsbedingungen führen zuvöllig verschiedenen Bahnen.












Dynamische Systeme im m-dim. Phasenraum

Ein physikalisches System wird durch zeitabhängigeSystemgrößen xi(t), (i = 1 . . . m), beschrieben. Kurz x(t).

Falls t kontinuierlich ist, so wird die zeitliche Änderung vonx(t) beschrieben durch

dxdt

= F (x). (1)

F heißt Fluß des DGL-Systems.

Wenn t diskret ist, so wird die zeitliche Entwicklung von xbestimmt durch

xn+1 = f (xn). (2)

Der Fluß F und die Abbildung f können zusätzlich noch vonParametern p abhängen.





dxdt

= F (x). (1)



xn+1 = f (xn). (2)






dxdt

= F (x). (1)



xn+1 = f (xn). (2)






dxdt

= F (x , p). (1)



xn+1 = f (xn, p). (2)



Singuläre Punkte in dynamischen Systemen

Die singulären Punkte im kontinuierlichen Fall sind gegebendurch

F (x) = 0.

Bei den singulären Punkten kann es sich um Knoten-, Sattel-,Wirbel- oder Strudelpunkte handeln.



Für diskrete Zeitparameter ergeben sich die singulären Punkteaus

f (xn) = xn.

Die Stabilitätseigenschaften der singulären Punktecharakterisieren ein dynamisches System nur lokal.

Im Folgendem wird der Lyapunov-Exponent als Maß fürdie (In-)Stabilität von Trajektorien definiert.




f (xn) = xn.






f (xn) = xn.




Definition des Lyapunov-Exponenten

Wir betrachten ein diskretes 1-dim. dynamisches System

xn+1 = f (xn)

mit den Anfangszuständen x0 und x0 + ε, (ε � 1).

Nach n Iterationen ergibt sich für diese f n(x0) bzw.f n(x0 + ε).

Der Lyanpunov-Exponent λ(x0) misst, wie sich derAbstand zwischen x0 und x0 + ε exponentiell verändert.




xn+1 = f (xn)







xn+1 = f (xn)





Also gilt:

ε · exp(nλ(x0)) = |f n(x0 + ε)− f n(x0)|

λ(x0) =1n· log

∣∣∣∣ f n(x0 + ε)− f n(x0)

ε

∣∣∣∣Definition des Lyapunov-Exponenten (diskret, 1-dim.)

λ(x0) = limn→∞

limε→0

1n

log∣∣∣∣ f n(x0 + ε)− f n(x0)

ε

∣∣∣∣= lim

n→∞

1n

log∣∣∣∣df n(x)

dx

∣∣∣∣x0

(3)


Also gilt:

ε · exp(nλ(x0)) = |f n(x0 + ε)− f n(x0)|

λ(x0) =1n· log

∣∣∣∣ f n(x0 + ε)− f n(x0)

ε


λ(x0) = limn→∞

limε→0

1n

log∣∣∣∣ f n(x0 + ε)− f n(x0)

ε

∣∣∣∣= lim

n→∞

1n


dx

∣∣∣∣x0

(3)


Also gilt:

ε · exp(nλ(x0)) = |f n(x0 + ε)− f n(x0)|

λ(x0) =1n· log

∣∣∣∣ f n(x0 + ε)− f n(x0)

ε


λ(x0) = limn→∞

limε→0

1n

log∣∣∣∣ f n(x0 + ε)− f n(x0)

ε

∣∣∣∣= lim

n→∞

1n


dx

∣∣∣∣x0

(3)


Also gilt:

ε · exp(nλ(x0)) = |f n(x0 + ε)− f n(x0)|

λ(x0) =1n· log

∣∣∣∣ f n(x0 + ε)− f n(x0)

ε


λ(x0) = limn→∞

limε→0

1n

log∣∣∣∣ f n(x0 + ε)− f n(x0)

ε

∣∣∣∣= lim

n→∞

1n


dx

∣∣∣∣x0

(3)


Umformung

Mit Kettenregel und vollständiger Induktion folgt:

ddx

f 2(x)

∣∣∣∣x0

=d

dxf [f (x)]

∣∣∣∣x0

= f ′[f (x0)]f ′(x0) = f ′(x1)f ′(x0),

ddx

f n(x)

∣∣∣∣x0

=n−1∏i=0

f ′(xi).

Eingesetzt in Formel (3) 1 erhält man

λ(x0) = limn→∞

1n

log

∣∣∣∣∣n−1∏i=0

f ′(xi)

∣∣∣∣∣ = limn→∞

1n

n−1∑i=0

log∣∣f ′(xi)

∣∣ . (4)

1

λ(x0) = limn→∞

1n

log˛df n(x)

dx

˛x0

(3)


Umformung


ddx

f 2(x)

∣∣∣∣x0

=d

dxf [f (x)]

∣∣∣∣x0

= f ′[f (x0)]f ′(x0) = f ′(x1)f ′(x0),

ddx

f n(x)

∣∣∣∣x0

=n−1∏i=0

f ′(xi).


λ(x0) = limn→∞

1n

log

∣∣∣∣∣n−1∏i=0

f ′(xi)

∣∣∣∣∣ = limn→∞

1n

n−1∑i=0

log∣∣f ′(xi)

∣∣ . (4)

1

λ(x0) = limn→∞

1n

log˛df n(x)

dx

˛x0

(3)


Umformung


ddx

f 2(x)

∣∣∣∣x0

=d

dxf [f (x)]

∣∣∣∣x0

= f ′[f (x0)]f ′(x0) = f ′(x1)f ′(x0),

ddx

f n(x)

∣∣∣∣x0

=n−1∏i=0

f ′(xi).


λ(x0) = limn→∞

1n

log

∣∣∣∣∣n−1∏i=0

f ′(xi)

∣∣∣∣∣ = limn→∞

1n

n−1∑i=0

log∣∣f ′(xi)

∣∣ . (4)

1

λ(x0) = limn→∞

1n

log˛df n(x)

dx

˛x0

(3)


Umformung


ddx

f 2(x)

∣∣∣∣x0

=d

dxf [f (x)]

∣∣∣∣x0

= f ′[f (x0)]f ′(x0) = f ′(x1)f ′(x0),

ddx

f n(x)

∣∣∣∣x0

=n−1∏i=0

f ′(xi).


λ(x0) = limn→∞

1n

log

∣∣∣∣∣n−1∏i=0

f ′(xi)

∣∣∣∣∣ = limn→∞

1n

n−1∑i=0

log∣∣f ′(xi)

∣∣ . (4)

1

λ(x0) = limn→∞

1n

log˛df n(x)

dx

˛x0

(3)


Umformung


ddx

f 2(x)

∣∣∣∣x0

=d

dxf [f (x)]

∣∣∣∣x0

= f ′[f (x0)]f ′(x0) = f ′(x1)f ′(x0),

ddx

f n(x)

∣∣∣∣x0

=n−1∏i=0

f ′(xi).


λ(x0) = limn→∞

1n

log

∣∣∣∣∣n−1∏i=0

f ′(xi)

∣∣∣∣∣ = limn→∞

1n

n−1∑i=0

log∣∣f ′(xi)

∣∣ . (4)

1

λ(x0) = limn→∞

1n

log˛df n(x)

dx

˛x0

(3)


Umformung


ddx

f 2(x)

∣∣∣∣x0

=d

dxf [f (x)]

∣∣∣∣x0

= f ′[f (x0)]f ′(x0) = f ′(x1)f ′(x0),

ddx

f n(x)

∣∣∣∣x0

=n−1∏i=0

f ′(xi).


λ(x0) = limn→∞

1n

log

∣∣∣∣∣n−1∏i=0

f ′(xi)

∣∣∣∣∣ = limn→∞

1n

n−1∑i=0

log∣∣f ′(xi)

∣∣ . (4)

1

λ(x0) = limn→∞

1n

log˛df n(x)

dx

˛x0

(3)


Bedeutung

Damit ist offensichtlich:λ(x0) < 0: Trajektorie ist asymptotisch stabil.λ(x0) = 0: Trajektorie ist Lyapunov-stabil.λ(x0) > 0: Trajektorie ist instabil.


Beispiel: Die logistische Abbildung

Die quadratische Abbildung f (x , p) = p · x(1− x) definiert dasdynamische System

xn+1 = p · xn(1− xn). (5)

Anwendung:Populationswachstum auf beschränktem Gebiet (1845,Verhulst)Sparkonto mit selbstbegrenzender Zinsrate (1984, Peitgenund Richter)


Beispiel: Die logistische Abbildung

Die quadratische Abbildung f (x , p) = p · x(1− x) definiert dasdynamische System

xn+1 = p · xn(1− xn). (5)

Anwendung:Populationswachstum auf beschränktem Gebiet (1845,Verhulst)Sparkonto mit selbstbegrenzender Zinsrate (1984, Peitgenund Richter)


xn+1 = 2x(1− x)

Unabhängig vom Startwert x0 ∈ (0 . . . 1) streben alleTrajektorien gegen den singulären Punkt 0.5:

limn→∞

= 0.5

Der Punkt 0.5 ist Attraktor, das System ist stabil.


xn+1 = 2x(1− x)


limn→∞

= 0.5



xn+1 = 2x(1− x)


limn→∞

= 0.5



xn+1 = 3.4 · x(1− x)

Für große n springt jede Trajektorie unabhängig vonx0 ∈ (0 . . . 1) zwischen den Werten 0.453 . . . und 0.842 . . . .Der Attraktor ist nun der obige “2-cycle”, wieder ist dasSystem stabil.


xn+1 = 3.4 · x(1− x)



xn+1 = 3.4 · x(1− x)



Der Attraktor ist abhängig vom Parameter p.Wir wählen x0 = 0.7 fest und tragen x301 . . . x400 gegen pauf.

Für p / 3.55 kommt es zu Bifurkationen: zuerst tretenPunktattraktoren auf, dann “2-cycles”, “4-cycles”,. . . (Periodenverdoppelung)Für p ' 3.55 zeigen die Trajektorien keinKonvergenzverhalten.








Berechnung des Lyapunov-Exponenten

Der Lyapunov-Exponent kann hier mit Formel (4)berechnet werden:

λ(x0) = limn→∞

1n

n−1∑i=0

log∣∣f ′(xi)

∣∣ ≈ 1400

399∑i=0

log∣∣f ′(xi)

∣∣ ..

Man erhält folgendes Diagramm (x0 = 0.7)



Der Lyapunov-Exponent für 1-dim. kont. Systeme

Das dynamische System ist gegeben durch

dx(t)dt

= F (x).

Wähle zwei Trajektorien x(t) und y(t) mit den Startwertenx(0) = x0 und y(0) = y0 = x0 + ε, ε � 1, d.h.Notation:

x(t) = x(t , x0),

y(t) = x(t , x0 + ε).




dx(t)dt

= F (x).


x(t) = x(t , x0),

y(t) = x(t , x0 + ε).




dx(t)dt

= F (x).


x(t) = x(t , x0),

y(t) = x(t , x0 + ε).


ε · exp(λ(x0)t) = |x(t , x0 + ε)− x(t , x0)|

λ(x0) = limt→∞

limε→0

1t

log∣∣∣∣x(t , x0 + ε)− x(t , x0)

ε

∣∣∣∣ (6)

Definition des Lyapunov-Exponenten (kont., 1-dim.)

λ(x0) = limt→∞

1t

log∣∣∣∣∂x(t , x0)

∂x0

∣∣∣∣ . (7)


ε · exp(λ(x0)t) = |x(t , x0 + ε)− x(t , x0)|

λ(x0) = limt→∞

limε→0

1t

log∣∣∣∣x(t , x0 + ε)− x(t , x0)

ε

∣∣∣∣ (6)


λ(x0) = limt→∞

1t

log∣∣∣∣∂x(t , x0)

∂x0

∣∣∣∣ . (7)


ε · exp(λ(x0)t) = |x(t , x0 + ε)− x(t , x0)|

λ(x0) = limt→∞

limε→0

1t

log∣∣∣∣x(t , x0 + ε)− x(t , x0)

ε

∣∣∣∣ (6)


λ(x0) = limt→∞

1t

log∣∣∣∣∂x(t , x0)

∂x0

∣∣∣∣ . (7)


ε · exp(λ(x0)t) = |x(t , x0 + ε)− x(t , x0)|

λ(x0) = limt→∞

limε→0

1t

log∣∣∣∣x(t , x0 + ε)− x(t , x0)

ε

∣∣∣∣ (6)


λ(x0) = limt→∞

1t

log∣∣∣∣∂x(t , x0)

∂x0

∣∣∣∣ . (7)


Alternative Herleitung

y(t) = x(t) + ε(t)F (y(t)) = y(t) = x(t) + ε(t) = F (x(t) + ε(t))

Entwicklung bis zur ersten Ordnung in ε(t) liefert:

F (x(t) + ε(t)) ≈ F (x(t)) +∂F (x(t))

∂x(t)ε(t).





F (x(t) + ε(t)) ≈ F (x(t)) +∂F (x(t))

∂x(t)ε(t).





F (x(t) + ε(t)) ≈ F (x(t)) +∂F (x(t))

∂x(t)ε(t).



y(t) = x(t) + ε(t)

F (y(t)) = y(t) = x(t) + ε(t) = F (x(t)) +∂F (x(t))

∂x(t)ε(t)


F (x(t) + ε(t)) ≈ F (x(t)) +∂F (x(t))

∂x(t)ε(t).



y(t) = x(t) + ε(t)

F (y(t)) = y(t) = F (x(t)) + ε(t) = F (x(t)) +∂F (x(t))

∂x(t)ε(t)


F (x(t) + ε(t)) ≈ F (x(t)) +∂F (x(t))

∂x(t)ε(t).


Man erhält die Variationsgleichung

ε(t) =∂F (x(t))

∂x(t)ε(t) (8)

mit der Lösungε(t) = Y (t) · ε0.

Eingesetzt in Formel (6) 2 ergibt sich

λ(x0) = limt→∞

limε0→0

1t

log∣∣∣∣ε(t)ε0

∣∣∣∣ .

Lyapunov-Exponent (kont., 1-dim.)

λ(x0) = limt→∞

1t

log |Y (t)| (9)

2

λ(x0) = limt→∞

limε0→0

1t

log˛x(t , x0 + ε0) − x(t , x0)

ε0

˛(6)



ε(t) =∂F (x(t))

∂x(t)ε(t) (8)



λ(x0) = limt→∞

limε0→0

1t


∣∣∣∣ .


λ(x0) = limt→∞

1t

log |Y (t)| (9)

2

λ(x0) = limt→∞

limε0→0

1t

log˛x(t , x0 + ε0) − x(t , x0)

ε0

˛(6)



ε(t) =∂F (x(t))

∂x(t)ε(t) (8)



λ(x0) = limt→∞

limε0→0

1t


∣∣∣∣ .


λ(x0) = limt→∞

1t

log |Y (t)| (9)

2

λ(x0) = limt→∞

limε0→0

1t

log˛x(t , x0 + ε0) − x(t , x0)

ε0

˛(6)



ε(t) =∂F (x(t))

∂x(t)ε(t) (8)



λ(x0) = limt→∞

limε0→0

1t


∣∣∣∣ .


λ(x0) = limt→∞

1t

log |Y (t)| (9)

2

λ(x0) = limt→∞

limε0→0

1t

log˛x(t , x0 + ε0) − x(t , x0)

ε0

˛(6)



ε(t) =∂F (x(t))

∂x(t)ε(t) (8)



λ(x0) = limt→∞

limε0→0

1t


∣∣∣∣ .


λ(x0) = limt→∞

1t

log |Y (t)| (9)

2

λ(x0) = limt→∞

limε0→0

1t

log˛x(t , x0 + ε0) − x(t , x0)

ε0

˛(6)


Der Lyapunov-Exponent für m-dim. kont. Systeme

Wähle zwei Trajektorien x(t) und y(t) = x(t) + ε(t).



ε(t) =∂F (x(t))

∂x(t)ε(t) (10)


Y(t) heißt Matrixfundamentallösung.

Eine analoge Rechnung zum 1-dim. Fall führt zu den

Lyapunov-Exponenten (kont., m-dim.)

λ(x0)i = limt→∞

1t

log ‖Y(t) · ei‖. (11)



ε(t) =∂F (x(t))

∂x(t)ε(t) (10)






1t

log ‖Y(t) · ei‖. (11)



ε(t) =∂F (x(t))

∂x(t)ε(t) (10)






1t

log ‖Y(t) · ei‖. (11)


Bedeutung des Lyapunov-Exponenten

Im m-dimensionalen Fall gibt es m Lyapunov-Exponenten.Diese werden der Größe nach geordnet:

λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λm

λ = λ1 wird Lyapunov-Exponent des m-dim. dynamischenSystems genannt.Der Lyapunov-Exponent misst, wie sich zwei zumZeitpunkt t0 benachbarte Trajektorien exponentiellentfernen.

Damit gilt:λ < 0 : Trajektorie ist asymtotisch stabil.λ = 0 : Trajektorie ist Lyapunov-stabil.λ > 0 : Trajektorie ist instabil.




λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λm






λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λm






λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λm




Beispiel: Der gedämpfte harmonische Oszillator

Die Bewegungsgleichung ist gegeben durch

x + 2γx + ω2x = 0.

Das dynamische System lautet:

x = vv = −2γv − ω2x

F =

(v

−2γv − ω2x

)⇒ ∂F

∂x=

(0 1−ω2 −2γ

)




x + 2γx + ω2x = 0.


x = vv = −2γv − ω2x

F =

(v

−2γv − ω2x

)⇒ ∂F

∂x=

(0 1−ω2 −2γ

)




x + 2γx + ω2x = 0.


x = vv = −2γv − ω2x

F =

(v

−2γv − ω2x

)⇒ ∂F

∂x=

(0 1−ω2 −2γ

)


Damit lautet die Variationsgleichung

ε(t) =

(0 1−ω2 −2γ

)· ε0.

Da ∂F∂x hier zeitunahängig ist, lautet die Lösung der

Variationsgleichung

ε(t) = exp(

∂F∂x

· t)· ε0.

Die Matrixfundamentallösung Y(t) ist also gegeben durch

Y(t) = exp(

∂F∂x

· t)

= exp((

0 1−ω2 −2γ

)· t

).



ε(t) =

(0 1−ω2 −2γ

)· ε0.


Variationsgleichung

ε(t) = exp(

∂F∂x

· t)· ε0.


Y(t) = exp(

∂F∂x

· t)

= exp((

0 1−ω2 −2γ

)· t

).



ε(t) =

(0 1−ω2 −2γ

)· ε0.


Variationsgleichung

ε(t) = exp(

∂F∂x

· t)· ε0.


Y(t) = exp(

∂F∂x

· t)

= exp((

0 1−ω2 −2γ

)· t

).


Die Lyapunov-Exponenten berechnen sich dann mit Hilfe vonFormel (11). 3

Man erhält für die Lyapunov-Exponenten in Abhängigkeit vonder Dämpfung:

γ = 0 λ1,2 = 0

γ2 ≤ ω2 λ1,2 = −γ

λ1 = −γ +√

γ2 − ω2γ2 > ω2

λ2 = −γ −√

γ2 − ω2

3


1t

log ‖Y(t) · ei‖ (11)


Die Lyapunov-Exponenten berechnen sich dann mit Hilfe vonFormel (11). 3

Man erhält für die Lyapunov-Exponenten in Abhängigkeit vonder Dämpfung:

γ = 0 λ1,2 = 0

γ2 ≤ ω2 λ1,2 = −γ

λ1 = −γ +√

γ2 − ω2γ2 > ω2

λ2 = −γ −√

γ2 − ω2

3


1t

log ‖Y(t) · ei‖ (11)


Der Lyapunov-Exponent ist immer negativ. Damit ist dasSystem stabil.


Zusammenfassung und Ausblick

Der Lyapunov-Exponent gibt Auskunft über die Stabilitätvon Trajektorien im Phasenraum.λ < 0 : Trajektorie ist asymtotisch stabil.λ = 0 : Trajektorie ist Lyapunov-stabil.λ > 0 : Trajektorie ist instabil.

Es gibt weitere mathematische Begriffe um (In-)Stabilitätzu charakterisieren, z.B. Hausdorff-Dimension,topologische Entropie, . . .

Die Berechnung der Lyapunov-Exponenten ist nur inwenigen Fällen analytisch möglich. Es gibt jedoch eineVielzahl von numerischen Verfahren.











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