Derivada Implicita - Universidade Federal de Goiás · Jairo Menezes e Souza Derivada Implicita. Deriva˘c~ao Implicita Derivada Da Fun˘c~ao Inversa As fun˘c~oes que estudamos at

Derivacao ImplicitaDerivada Da Funcao Inversa

Derivada Implicita

Jairo Menezes e Souza

UFG/CAC

11/06/2013

Jairo Menezes e Souza Derivada Implicita


As funcoes que estudamos ate agora foram funcoes dadasexplicitamente por uma variavel em funcao de outra. Por exemplo.

y =√x2 + 1 ou y = ex sin x

Podemos ter funcoes implicitas em equacoes envolvendo duasvariaveis. Como

x2 + y2 = 1 (1)

ou(x2 + y2)2 − 3x2y − y3 = 0 (2)

Em certos casos podemos isolar y em funcao ”explıcita“ de x . Porexemplo x2 + y2 = 1⇒ y = ±

√1− x2. Neste caso temos duas

funcoes, y =√

1− x2 e y = −√

1− x2.




y =√

x2 + 1 ou y = ex sin x


x2 + y2 = 1 (1)

ou(x2 + y2)2 − 3x2y − y3 = 0 (2)



funcoes, y =√

1− x2 e y = −√

1− x2.




y =√



x2 + y2 = 1 (1)

ou(x2 + y2)2 − 3x2y − y3 = 0 (2)



funcoes, y =√

1− x2 e y = −√

1− x2.




y =√



x2 + y2 = 1 (1)

ou(x2 + y2)2 − 3x2y − y3 = 0 (2)



funcoes, y =√

1− x2 e y = −√

1− x2.




y =√



x2 + y2 = 1 (1)

ou(x2 + y2)2 − 3x2y − y3 = 0 (2)



funcoes, y =√

1− x2 e y = −√

1− x2.



x

y

1

1

x2 + y2 = 1

x

y

1

1

y =√

1− x2

x

y

1

−1

y = −√

1− x2



No caso da equacao 2 nao e facil isolar y em funcao de X . Emcasos assim dizemos que uma funcao y = f (x) e dadaimplicitamente pela equacao 2 se(x2 + [f (x)]2)2 + 3x2f (x)− [f (x)]3 = 0 para x no domınio de f .

Definicao

A funcao y = f (x) e dada implicitamente pela equacaoG (x , y) = k , onde k e uma costante, se

G (x , f (x)) = k

para todo x no domınio de f .



No caso da equacao 2 nao e facil isolar y em funcao de X . Emcasos assim dizemos que uma funcao y = f (x) e dadaimplicitamente pela equacao 2 se(x2 + [f (x)]2)2 + 3x2f (x)− [f (x)]3 = 0 para x no domınio de f .

Definicao

A funcao y = f (x) e dada implicitamente pela equacaoG (x , y) = k , onde k e uma costante, se

G (x , f (x)) = k

para todo x no domınio de f .



Figura : (x2 + y2)2 − 3x2y − y3 = 0



Derivacao Implicita

Derivamos uma funcao dada implicitamente pela equacaoG (x , y) = k , derivando dos dois lados com relacao a x . Devemoslembrar que y = y(x) e uma funcao de x e usarmos a regra dacadeia.



Exemplo

Vamos derivar as funcoes dadas implicitamente por x2 + y2 = 1.

d

dx(x2 + y2) =

d

dx(1)⇒ d

dx(x2) +

d

dx(y2) = 0

⇒ 2x + 2ydy

dx= 0⇒ dy

dx=−2x

2y= −x

y

Exemplo

Se tomarmos a funcao y =√

1− x2 entao temos que

dy

dx= −x

y= − x√

1− x2



Exemplo


d

dx(x2 + y2) =

d

dx(1)

⇒ d

dx(x2) +

d

dx(y2) = 0

⇒ 2x + 2ydy

dx= 0⇒ dy

dx=−2x

2y= −x

y

Exemplo



dy

dx= −x

y= − x√

1− x2



Exemplo


d

dx(x2 + y2) =

d

dx(1)⇒ d

dx(x2) +

d

dx(y2) = 0

⇒ 2x + 2ydy

dx= 0⇒ dy

dx=−2x

2y= −x

y

Exemplo



dy

dx= −x

y= − x√

1− x2



Exemplo


d

dx(x2 + y2) =

d

dx(1)⇒ d

dx(x2) +

d

dx(y2) = 0

⇒ 2x + 2ydy

dx= 0

⇒ dy

dx=−2x

2y= −x

y

Exemplo



dy

dx= −x

y= − x√

1− x2



Exemplo


d

dx(x2 + y2) =

d

dx(1)⇒ d

dx(x2) +

d

dx(y2) = 0

⇒ 2x + 2ydy

dx= 0⇒ dy

dx=−2x

2y= −x

y

Exemplo



dy

dx= −x

y= − x√

1− x2



Exemplo


d

dx(x2 + y2) =

d

dx(1)⇒ d

dx(x2) +

d

dx(y2) = 0

⇒ 2x + 2ydy

dx= 0⇒ dy

dx=−2x

2y= −x

y

Exemplo



dy

dx= −x

y= − x√

1− x2



Exemplo

Agora poderıamos ter derivado a funcao explıcitay =√

1− x2.

Assim,

dy

dx= (−2x) ·

(1

2√

1− x2

)= − x√

1− x2



Exemplo

Agora poderıamos ter derivado a funcao explıcitay =√

1− x2.Assim,

dy

dx= (−2x) ·

(1

2√

1− x2

)= − x√

1− x2



Exemplo

Ache a equacao da reta tangente a curva(x2 + y2)2 + 3x2y − y3 = 0 no ponto (0, 1)

Derivandoimplicitamente temos

d

dx((x2 + y2)2 + 3x2y − y3) = 0

⇒ d

dx((x2 + y2)2) +

d

dx(3x2y) +

d

dx(−y3) = 0

⇒ 2(x2 + y2)(2x + 2ydy

dx) + 6xy + (3x2)(

dy

dx)− 3y2 dy

dx= 0

⇒ 4x3 + 4x2ydy

dx+ 4xy2 + 4y3 dy

dx+ 6xy + 3x2 dy

dx− 3y2 dy

dx= 0



Exemplo

Ache a equacao da reta tangente a curva(x2 + y2)2 + 3x2y − y3 = 0 no ponto (0, 1) Derivandoimplicitamente temos

d

dx((x2 + y2)2 + 3x2y − y3) = 0

⇒ d

dx((x2 + y2)2) +

d

dx(3x2y) +

d

dx(−y3) = 0

⇒ 2(x2 + y2)(2x + 2ydy

dx) + 6xy + (3x2)(

dy

dx)− 3y2 dy

dx= 0

⇒ 4x3 + 4x2ydy

dx+ 4xy2 + 4y3 dy

dx+ 6xy + 3x2 dy

dx− 3y2 dy

dx= 0



Exemplo


d

dx((x2 + y2)2 + 3x2y − y3) = 0

⇒ d

dx((x2 + y2)2) +

d

dx(3x2y) +

d

dx(−y3) = 0

⇒ 2(x2 + y2)(2x + 2ydy

dx) + 6xy + (3x2)(

dy

dx)− 3y2 dy

dx= 0

⇒ 4x3 + 4x2ydy

dx+ 4xy2 + 4y3 dy

dx+ 6xy + 3x2 dy

dx− 3y2 dy

dx= 0



Exemplo


d

dx((x2 + y2)2 + 3x2y − y3) = 0

⇒ d

dx((x2 + y2)2) +

d

dx(3x2y) +

d

dx(−y3) = 0

⇒ 2(x2 + y2)(2x + 2ydy

dx) + 6xy + (3x2)(

dy

dx)− 3y2 dy

dx= 0

⇒ 4x3 + 4x2ydy

dx+ 4xy2 + 4y3 dy

dx+ 6xy + 3x2 dy

dx− 3y2 dy

dx= 0



Exemplo


d

dx((x2 + y2)2 + 3x2y − y3) = 0

⇒ d

dx((x2 + y2)2) +

d

dx(3x2y) +

d

dx(−y3) = 0

⇒ 2(x2 + y2)(2x + 2ydy

dx) + 6xy + (3x2)(

dy

dx)− 3y2 dy

dx= 0

⇒ 4x3 + 4x2ydy

dx+ 4xy2 + 4y3 dy

dx+ 6xy + 3x2 dy

dx− 3y2 dy

dx= 0



Exemplo


d

dx((x2 + y2)2 + 3x2y − y3) = 0

⇒ d

dx((x2 + y2)2) +

d

dx(3x2y) +

d

dx(−y3) = 0

⇒ 2(x2 + y2)(2x + 2ydy

dx) + 6xy + (3x2)(

dy

dx)− 3y2 dy

dx= 0

⇒ 4x3 + 4x2ydy

dx+ 4xy2 + 4y3 dy

dx+ 6xy + 3x2 dy

dx− 3y2 dy

dx= 0



Exemplo

⇒ (4x2y + 4xy2 + 3x2 − 3y2)dy

dx= −4x3 − 4xy2 − 6xy

⇒ dy

dx= − 4x3 + 4xy2 − 6xy

4x2y + 4xy2 + 3x2 − 3y2

Aplicando no ponto (0, 1) demos que dydx (x=0,y=1)

= 0−3 = 0. Daı a

reta tangente ey = 1

A vantagem da derivacao implicita e que derivamos uma funcaoque nao conhecemos. A desvantagem e que a derivada dy

dx vem emfuncao de x e y e nao so em funcao de x como na derivacaoexplıcita.



Exemplo

⇒ (4x2y + 4xy2 + 3x2 − 3y2)dy

dx= −4x3 − 4xy2 − 6xy

⇒ dy

dx= − 4x3 + 4xy2 − 6xy

4x2y + 4xy2 + 3x2 − 3y2


= 0−3 = 0. Daı a






Exemplo

⇒ (4x2y + 4xy2 + 3x2 − 3y2)dy

dx= −4x3 − 4xy2 − 6xy

⇒ dy

dx= − 4x3 + 4xy2 − 6xy

4x2y + 4xy2 + 3x2 − 3y2


= 0−3 = 0. Daı a






Exemplo

⇒ (4x2y + 4xy2 + 3x2 − 3y2)dy

dx= −4x3 − 4xy2 − 6xy

⇒ dy

dx= − 4x3 + 4xy2 − 6xy

4x2y + 4xy2 + 3x2 − 3y2


= 0−3 = 0. Daı a






Exemplo

Encontre y ′ se sin (x + y) = y2 cos x

d

dx(sin (x + y)) =

d

dx(y2 cos x)

⇒ cos (x + y) ·(

1 +dy

dx

)= 2y · dy

dx· cos x − y2 · sin x

⇒ cos (x + y)dy

dx− 2y cos x

dy

dx= −y2 sin x − cos (x + y)

⇒ dy

dx= − y2 sin x + cos (x + y)

cos (x + y)− 2y cos x

⇒ dy

dx=

y2 sin x + cos (x + y)

2y cos x − cos (x + y)



Exemplo


d

dx(sin (x + y)) =

d

dx(y2 cos x)

⇒ cos (x + y) ·(

1 +dy

dx

)= 2y · dy


⇒ cos (x + y)dy

dx− 2y cos x

dy


⇒ dy



⇒ dy

dx=





Exemplo


d

dx(sin (x + y)) =

d

dx(y2 cos x)

⇒ cos (x + y) ·(

1 +dy

dx

)= 2y · dy


⇒ cos (x + y)dy

dx− 2y cos x

dy


⇒ dy



⇒ dy

dx=





Exemplo


d

dx(sin (x + y)) =

d

dx(y2 cos x)

⇒ cos (x + y) ·(

1 +dy

dx

)= 2y · dy


⇒ cos (x + y)dy

dx− 2y cos x

dy


⇒ dy



⇒ dy

dx=





Exemplo


d

dx(sin (x + y)) =

d

dx(y2 cos x)

⇒ cos (x + y) ·(

1 +dy

dx

)= 2y · dy


⇒ cos (x + y)dy

dx− 2y cos x

dy


⇒ dy



⇒ dy

dx=





Exemplo


d

dx(sin (x + y)) =

d

dx(y2 cos x)

⇒ cos (x + y) ·(

1 +dy

dx

)= 2y · dy


⇒ cos (x + y)dy

dx− 2y cos x

dy


⇒ dy



⇒ dy

dx=





Figura : sin (x + y) = y2 cos x



Exemplo

Encontre y ′′ se x4 + y4 = 16

Derivando implicitamente temos que

d

dx(x4 + y4) =

d

dx(16)⇒ 4x3 + 4y3 · dy

dx= 0

dy

dx= −4x3

4y3= −x3

y3



Exemplo

Encontre y ′′ se x4 + y4 = 16Derivando implicitamente temos que

d

dx(x4 + y4) =

d

dx(16)⇒ 4x3 + 4y3 · dy

dx= 0

dy

dx= −4x3

4y3= −x3

y3



Exemplo


d

dx(x4 + y4) =

d

dx(16)⇒ 4x3 + 4y3 · dy

dx= 0

dy

dx= −4x3

4y3= −x3

y3



Exemplo


d

dx(x4 + y4) =

d

dx(16)⇒ 4x3 + 4y3 · dy

dx= 0

dy

dx= −4x3

4y3= −x3

y3



Usamos a regra do quociente para achar a segunda derivada.Devemos continuar lembrando que y = y(x) e funcao de x .

d2y

dx2= −

(3x2) · (y3)− (x3) · (3y2) · dydx[y3]2

d2y

dx2=

3x3y2 dydx − 3x2y3

y6

Note que y ′′ esta em funcao de x , y e y ′.




d2y

dx2= −

(3x2) · (y3)− (x3) · (3y2) · dydx[y3]2

d2y

dx2=


y6





d2y

dx2= −

(3x2) · (y3)− (x3) · (3y2) · dydx[y3]2

d2y

dx2=


y6




Figura : x4 + y4 = 16



Derivada Das Funcoes Trigonometricas Inversas

Derivada da Funcao Inversa

Se f (x) e uma funcao injetora temos que exite a funcao inversaf −1(x). Se f e diferenciavel temos que f −1 tambem ediferenciavel.

Vamos aplicar derivacao implıcita (regra da cadeia) na relacaof (f −1(x)) = x temos

dy

dx(f (f −1(x))) =

dy

dx(x)⇒ f ′(f −1(x)) · (f −1)′(x) = 1

⇒ (f −1)′(x) =1

f ′(f −1(x))

(f −1)′(x) =1

f ′(f −1(x))





Se f (x) e uma funcao injetora temos que exite a funcao inversaf −1(x). Se f e diferenciavel temos que f −1 tambem ediferenciavel.Vamos aplicar derivacao implıcita (regra da cadeia) na relacaof (f −1(x)) = x temos

dy

dx(f (f −1(x))) =

dy

dx(x)⇒ f ′(f −1(x)) · (f −1)′(x) = 1

⇒ (f −1)′(x) =1

f ′(f −1(x))

(f −1)′(x) =1

f ′(f −1(x))






dy

dx(f (f −1(x))) =

dy

dx(x)

⇒ f ′(f −1(x)) · (f −1)′(x) = 1

⇒ (f −1)′(x) =1

f ′(f −1(x))

(f −1)′(x) =1

f ′(f −1(x))






dy

dx(f (f −1(x))) =

dy

dx(x)⇒ f ′(f −1(x)) · (f −1)′(x) = 1

⇒ (f −1)′(x) =1

f ′(f −1(x))

(f −1)′(x) =1

f ′(f −1(x))






dy

dx(f (f −1(x))) =

dy

dx(x)⇒ f ′(f −1(x)) · (f −1)′(x) = 1

⇒ (f −1)′(x) =1

f ′(f −1(x))

(f −1)′(x) =1

f ′(f −1(x))






dy

dx(f (f −1(x))) =

dy

dx(x)⇒ f ′(f −1(x)) · (f −1)′(x) = 1

⇒ (f −1)′(x) =1

f ′(f −1(x))

(f −1)′(x) =1

f ′(f −1(x))




Derivada do arcseno

Temos que (f −1)′(x) = 1f ′(f −1(x))

. Entao

d

dx(arcsin x) =

1

sin′ (arcsin x)=

1

cos (arcsin x)

Agora se y = arcsin x , entao

cos y =

√1− sin2 y =

√1− [sin (arcsin x)]2 =

√1− x2

Portanto

d

dx(arcsin x) =

1√1− x2




Derivada do arcseno

Temos que (f −1)′(x) = 1f ′(f −1(x))

. Entao

d

dx(arcsin x) =

1

sin′ (arcsin x)=

1

cos (arcsin x)


cos y =

√1− sin2 y =


√1− x2

Portanto

d

dx(arcsin x) =

1√1− x2




Derivada do arcseno

Temos que (f −1)′(x) = 1f ′(f −1(x))

. Entao

d

dx(arcsin x) =

1

sin′ (arcsin x)=

1

cos (arcsin x)


cos y =

√1− sin2 y =


√1− x2

Portanto

d

dx(arcsin x) =

1√1− x2




Derivada do arcseno

Temos que (f −1)′(x) = 1f ′(f −1(x))

. Entao

d

dx(arcsin x) =

1

sin′ (arcsin x)=

1

cos (arcsin x)


cos y =

√1− sin2 y =


√1− x2

Portanto

d

dx(arcsin x) =

1√1− x2




Derivada do arcseno

Temos que (f −1)′(x) = 1f ′(f −1(x))

. Entao

d

dx(arcsin x) =

1

sin′ (arcsin x)=

1

cos (arcsin x)


cos y =

√1− sin2 y =


√1− x2

Portanto

d

dx(arcsin x) =

1√1− x2







Para nao precisar de decorar a “formula” para a derivada dainversa, podemos usar a derivacao implıcita e a regra da cadeia.

sin (arcsin x) = x ⇒ d

dx(sin (arcsin x)) =

d

dx(x)

⇒ cos (arcsin x) · ddx

(arcsin x) = 1

⇒ d

dx(arcsin x) =

1

cos (arcsin x)

Como fizemos acima

d

dx(arcsin x) =

1√1− x2







d

dx(x)


(arcsin x) = 1

⇒ d

dx(arcsin x) =

1

cos (arcsin x)

Como fizemos acima

d

dx(arcsin x) =

1√1− x2







d

dx(x)


(arcsin x) = 1

⇒ d

dx(arcsin x) =

1

cos (arcsin x)

Como fizemos acima

d

dx(arcsin x) =

1√1− x2







d

dx(x)


(arcsin x) = 1

⇒ d

dx(arcsin x) =

1

cos (arcsin x)

Como fizemos acima

d

dx(arcsin x) =

1√1− x2







d

dx(x)


(arcsin x) = 1

⇒ d

dx(arcsin x) =

1

cos (arcsin x)

Como fizemos acima

d

dx(arcsin x) =

1√1− x2




Figura : y = arcsin x y = 1√1−x2




Derivada do arccosseno

Lembrando que (f −1)′(x) = 1f ′(f −1(x))

, temos

d

dx(arccos x) =

1

cos′ (arccos x)=

1

− sin (arccos x)

Agora se y = arccos x temos que

sin y =√

1− cos2 y =√

1− [cos (arccos x)]2 =√

1− x2

Daı,d

dx(arccos x) = − 1√

1− x2






, temos

d

dx(arccos x) =

1

cos′ (arccos x)=

1

− sin (arccos x)


sin y =√

1− cos2 y =√


1− x2

Daı,d


1− x2






, temos

d

dx(arccos x) =

1

cos′ (arccos x)=

1

− sin (arccos x)


sin y =√

1− cos2 y =√


1− x2

Daı,d


1− x2






, temos

d

dx(arccos x) =

1

cos′ (arccos x)=

1

− sin (arccos x)


sin y =√

1− cos2 y =√


1− x2

Daı,d


1− x2




Figura : y = arccos x y = − 1√1−x2




Derivada do arctangente

Usando (f −1)′(x) = 1f ′(f −1(x))

, temos

d

dx(arctan x) =

1

tan′ (arctan x)=

1

sec2 (arctan x)

Agora se y = arctan x temos que, 1 + tan2 y = sec2 y . Entao

sec2 y = 1 + tan2 y = 1 + tan2 (arctan x) = 1 + x2

Daı,d

dx(arctan x) =

1

1 + x2





Usando (f −1)′(x) = 1f ′(f −1(x))

, temos

d

dx(arctan x) =

1

tan′ (arctan x)=

1

sec2 (arctan x)



Daı,d

dx(arctan x) =

1

1 + x2





Usando (f −1)′(x) = 1f ′(f −1(x))

, temos

d

dx(arctan x) =

1

tan′ (arctan x)=

1

sec2 (arctan x)

Agora se y = arctan x temos que, 1 + tan2 y = sec2 y

. Entao


Daı,d

dx(arctan x) =

1

1 + x2





Usando (f −1)′(x) = 1f ′(f −1(x))

, temos

d

dx(arctan x) =

1

tan′ (arctan x)=

1

sec2 (arctan x)



Daı,d

dx(arctan x) =

1

1 + x2





Usando (f −1)′(x) = 1f ′(f −1(x))

, temos

d

dx(arctan x) =

1

tan′ (arctan x)=

1

sec2 (arctan x)



Daı,d

dx(arctan x) =

1

1 + x2




Figura : y = arctan x y = 1√1+x2




Com os mesmo argumentos calculamos as derivadas dearc-secante, arc-cossecante e arc-cotangente.

Derivada Das Funcoes Trigonometricas Iversas

d

dx(arccsc(x)) = − 1

x√x2 − 1

d

dx(arcsec(x)) =

1

x√x2 − 1

d

dx(arccot(x)) = − 1

1− x2




Com os mesmo argumentos calculamos as derivadas dearc-secante, arc-cossecante e arc-cotangente.

Derivada Das Funcoes Trigonometricas Iversas

d

dx(arccsc(x)) = − 1

x√x2 − 1

d

dx(arcsec(x)) =

1

x√x2 − 1

d

dx(arccot(x)) = − 1

1− x2


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