Teoria de la Función Implicita (Matematica Economica)

7/21/2019 Teoria de la Funcin Implicita (Matematica Economica)

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Funciones implcitas

Una funcin de la forma y= f(x), se denomina funcin explcita,dado que y se expresa explcitamente como una funcin de x.

Si la expresin hubiese sido F(y, x) =0, directamente no se puede

observar una funcin explcita. Ms an, en general, la funcinimplicada y=f(x), cuya forma espcica no siempre es posibleconcerse, se denomina funcin implcita.

En trminos generales, una ecuacin F(y, x1 , x2 ..., xm ) =0, podradenir una funcin implcita y=f(x1 , ..., xm ). Para que ello ocurra sedeben satisfacer las condiciones del Teorema de la Funcin Implcita.

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Funciones implcitas

Theorem (Teorema de la Funcin Implcita)

Dado F(y, x1, x2 ..., xm ) =0, si

1 la funcin F tiene derivadas parciales continuas Fy, F1,..., Fm ; y

2 en un punto(y0, x10 , ..., xm0 ) que satisface F, Fy6=0;

entonces existe una vecindad N que resulta m-dimensional alrededor de(x10 , ..., xm0 ), en la cual y es una funcin denida implcitamente de lasvariables x1 , ..., xm en la forma y=f(x1 , ..., xm ).

Esta funcin implcita satisface y0 =f(x10 , ..., xm0 ), y asimismo,satisface la ecuacin F(y, x1 , x2 ..., xm ) =0 para cada m-tupla(x1 , x2 ..., xm ) en la vecindad N, convirtindola en una identidad.

La funcin implcita fes continua y tiene derivadas parcialescontinuas f1 , ..., fm .

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Funciones implcitas

Example

Sea la ecuacinF(y, x) =x2 +y2 9=0

Se observa que Fy =2y y Fx =2x son continuas. Luego, Fyno es ceroexcepto cuando y=0, es decir excepto en los puntos (3, 0)y(3, 0). Portanto, alrededor de cualquier punto que satisface la ecuacin, excepto en(3, 0) y(3, 0), se puede construir una vecindad en la que se dene unafuncin implcita y=f(x).

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Funciones implcitas

Algunas precisiones

Las condiciones citadas en el teorema son de la naturaleza decondiciones sucientes (pero no necesarias), por lo que si Fy =0 en

un punto que satisface F(y, x1 , x2 ..., xm ) =0, no se puede usar elteorema para negar la existencia de una funcin implcita alrededor deese punto.

El teorema no indica la forma especca que tendr la funcinimplcita f, y tampoco indica el tamao exacto que tendr la

vecindad en la cual est denida.

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Derivadas de funciones implcitas

Si de la ecuacin F(y, x1 , x2..., xm ) =0 es posible despejar y,

podemos escribir la funcin y=f(x1 , ..., xm ) en forma explcita yhallar sus derivadas por los mtodos conocidos.

Si y=f(x1 , ..., xm ) no se puede resolver en forma explcita, peroexiste en virtud de la aplicacin del teorema, entonces es posible

obtener las derivadas deseadas.Se utiliza la regla de la funcin implicita, la cual depende de lossiguientes hechos bsicos

1 Si dos expresiones son idnticamente iguales, sus respectivasdiferenciales totales deber ser iguales.

2 La diferenciacin de una expresin que tiene que ver con y, x1 , x2 ..., xmproducir una expresin en la que intervienen las diferencialesdy, dx1 , dx2 ..., dxm .

3 La diferencial de y, dy, se puede sustituir, as que no importa el hechode que yno sea explcita.

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Sea F(y, x1 , ..., xm ) =0, la cual dene una funcin implcita, entonces

dF = 0Fydy+F1dx1+ ...+Fm dxm = 0

Puesto que la funcin implcita y=f(x1 , ..., xm ), tiene la diferencial total

dy=f1dx1+ ...+fm dxm

Podemos sustituirla en la diferencial hallada inicialmente, para obtener

(Fyf1+F1)dx1+ ...+ (Fyfm+Fm )dxm =0

Dado, que todas las dxi son independientes entre si, cada expresin entreparntesis debe anularse, por lo que

fi y

xi=

Fi

Fy(i=1, 2, ..., m)

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Examples

1 Sea F(y, x) y 3x4 =0

dy

dx =

Fx

Fy=

12x3

1 =12x3

2 Sea F(y, x)x2 +y2 9=0

dy

dx =

Fx

Fy=

2x

2y =

x

y

3 Sea F(y, x, w)y3x2 +w3 +yxw 3=0

y

x =

Fx

Fy=

2y3x+yw

3y2x2 +xw

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Example

Sea F(Q, K, L) =0, la cual dene implcitamente una funcin deproduccin Q=f(K, L), entonces

PmgK QK =FK

FQ

PmgL Q

L =

FL

FQ

KL

=FL

FK

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Extensin al caso de ecuaciones simultneas

El teorema de la funcin implcita posee una versin ms general que tratacon las condiciones en las que un conjunto de ecuaciones simultneas

F1(y1, ..., yn ; x1 , ..., xm ) =0F2(y1, ..., yn ; x1 , ..., xm ) =0

.

..Fn (y1 , ..., yn ; x1 , ..., xm ) =0

dene con toda seguridad un conjunto de funciones implcitas

y1 =f1

(x1 , ..., xm )y2 =f2 (x1 , ..., xm )...

yn =fn (x1 , ..., xm )

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Theorem (Teorema Generalizado de la Funcin Implcita)

Dado un sistema de ecuaciones

F1(y1, ..., yn ; x1 , ..., xm ) =0...

Fn (y1 , ..., yn ; x1 , ..., xm ) =0

Si

1 todas las funciones F1 , ..., Fn tienen derivadas parciales continuas

respecto a todas las variables y y x; y

2

en un punto(y10 , ..., yn0 ; x10 , ..., xm0 ) que satisface el sistema, elsiguiente jacobiano no es cero

jJj

(F1,...,Fn )(y1,...,yn )

F1

y1F1

y2 F

1

yn...

......

Fn

y1

Fn

y2

Fn

yn

6=0

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Theorem (Teorema Generalizado de la Funcin Implcita (cont.))

Entonces, existe una vecindad m-dimensional de(x10 , ..., xm0 ), N, en lacual las variables y1 , ..., yn son funciones implcitas de las variables

x1, ..., xm en la formay1 =f1 (x1 , ..., xm )

...

yn =fn (x1 , ..., xm )

Estas funciones satisfacen

y10 =f1 (x10 , ..., xm0 )

.

..yn0 =f

n (x10 , ..., xm0 )

y cumplen el sistema inicial para toda m-tupla (x1 , ..., xm ) en la vecindadN; conformando un conjunto de identidades. Las funciones f1 , ..., fn son

continuas y tienen derivadas parciales continuasrespectoalas x.() 11 / 31
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Sean F1

, ..., Fn

las ecuaciones de un sistema que dene a las funcionesimplcitas f1 , ..., fn, entonces

dFj =0 (j=1, ..., n)

F1

y1dy1+ F

1

y2dy2+ + F

1

yndyn =

F

1

x1dx1+ + F

1

xmdxm

F2

y1dy1+

F2

y2dy2+ +

F2

yndyn =

F2

x1dx1+ +

F2

xmdxm

...

Fn

y1dy1+

Fn

y2dy2+ +

Fn

yndyn =

Fn

x1dx1+ +

Fn

xmdxm

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Adems, a partir de las funciones implcitas f1 , ..., fn se puede escribir lasdiferenciales de las variables yj como

dy1 =y1x1

dx1+y1x2

dx2+ + y1xm

dxm

dy2 = y2x1

dx1+ y2x2

dx2+ + y2xm

dxm

...

dyn = ynx1

dx1+ynx2

dx2+ + ynxm

dxm

y se pueden reemplazar en el sistema anterior derivado del clculo dediferenciales.

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Analizando el caso cuando slo cambia x1, entonces dx1 6=0 ydx2 = =dxm =0 en las expresiones previas permitirn obtener elsiguiente sistema de ecuaciones

F1

y1y1x1

+

F1

y2y2x1

+ +

F1

ynynx1

=

F1

x1F2

y1

y1x1

+F2

y2

y2x1

+ +

F2

yn

ynx1

=

F2

x1...

Fn

y1

y1x1

+ F

n

y2

y2x1

+ + F

n

yn

ynx1

=F

n

x1

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El cual puede expresarse como

2666666664

F1

y1

F1

y2

F1

ynF2

y1

F2

y2

F2

yn...

...

...

Fn

y1

Fn

y2

Fn

yn

3777777775

26666666664

y1x1

y2x1

...

ynx1

37777777775

=

2666666664

F1

x1

F2

x1...

Fn

x1

3777777775

y puede resolverse mediante la regla de Cramer, cuya solucin puede

expresarse de la siguiente formayix1

=

jJij

jJj (j=1, 2, ..., n)

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Example

Las siguientes 3 ecuaciones

xy w = 0 F1(x, y, w; z) =0

y w3 3z = 0 F2(x, y, w; z) =0

w3 +z3 2zw = 0 F3(x, y, w; z) =0

se cumplen en el punto P :(x, y, w; z) = ( 14 , 4, 1, 1). Las funciones Fi

poseen derivadas continuas. As, si el jacobiano jJj es no cero en el puntoP, se puede usar el teorema de la funcin implcita para hallar dx/dz.Tomando la diferencial total del sistema

ydx+xdy dw = 0

dy 3w2dw = 3dz

(3w2 2z)dw = (2w 3z2)dz

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D i d d f i i l i
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Example (cont.)Dividiendo entre dzy expresando en forma matricial

24y x 10 1

3w2

0 0 (3w2 2z)35264

dxdz dydz

dwdz

375 = 2403

(2w 3z2)35

En el punto Pel determinante jacobiano

jJj=

F1x

F1y

F1w

F2x F2y F

2w

F3x F3y F

3w

= y x 10 1 3w20 0 (3w2 2z)

=y(3w2 2z) =46=0

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Example (cont.)

Usando la regla de Cramer para hallar dx/dz, se obtiene

dx

dz =

0 x 13 1 3w2

(2w 3z2) 0 (3w2 2z)

jJj

=

0 14 13 1 31 0 1

4

=1

4

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Example

Sea el modelo de ingreso nacional

Y C I0 G0 = 0

C(Y T) = 0

TY = 0

Si se toma a las variables endgenas (Y, C, T) como (y1 , y2 , y3), y lasvariables exgenas y parmetros (I0 , G0, ,, , ) como(x1 , x2 , x3 , x4, x5 , x6) entonces el lado izquierdo de cada ecuacin puedeconsiderarse de la forma Fj(Y, C, T; I0 , G0 , ,, , ).

Evaluando el jacobiano

jJj=

F1

YF1

CF1

TF2

YF2

CF2

TF3

Y

F3

C

F3

T

=

1 1 0 1 0 1

=1 +6=0

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D i d d f i i l it
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Example (cont.)

Entonces se puede tomar Y, C, y Tcomo funciones implcitas de(I0 , G0 , ,, , ) alrededor de cualquier punto que cumple el sistemainicial y en el punto mismo.Pero un punto que cumple el sistema es una solucin de equilibrio, por lo

que dado el teorema de la funcin implcita se puede establecer

Y = f1 (I0 , G0 , ,, , )

C = f2 (I0 , G0 , ,, , )

T = f3 (I0 , G0 , ,, , )

En ese sentido, las derivadas parciales de las funciones implcitas, comoY/I0 y Y

/G0 son de la naturaleza de las derivadas estticascomparativas.

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D i d d f i i l it
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Example (cont.)Dado ello, se puede obtener Y/G0 de la siguiente forma

264F1

YF1

CF1

TF2

YF2

CF2

TF3

YF3

CF3

T

37526664 Y

G0 CG0

T

G0

37775 = 264 F

1

G0

F2

G0

F3

G0

375

24 1 1 0 1 0 1

3526664 Y

G0 CG0

T

G0

37775 = 241

00

35

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Example (cont.)

Finalmente, mediante la regla de Cramer

Y

G0=

1 1 00 1 0 0 1

jJj

= 1

1 +

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Esttica comparativa de modelos de funciones generales
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Modelo de mercado

Sea el modelo

Qd = Qs

Qd = D(P, Y0) (D/P< 0; D/Y0 > 0)

Qs = S(P) (dS/dP> 0)

Expresndolo en un sistema de ecuaciones simultneas, se obtiene

F1(P, Q, Y0) = D(P, Y0) Q=0

F2(P, Q, Y0) = S(P) Q=0

Para evaluar el teorema de la funcin implcita, se asume que las funcionesde oferta y demanda poseen derivadas continuas, por lo que las derivadasde F1 y F2 tambin lo sern.

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El jacobiano de las variables endgenas (P y Q) debe no ser cero, lo cualse cumple dado que

jJj=

F1

PF1

QF2

PF2

Q

=

DP 1dSdP

1

= dS

dP

D

P > 0

Entonces, si existe una solucin de equilibrio, el teorema de la funcinimplcita permite denir

P =P(Y0)

Q =Q(Y0) adems que

D(P, Y0) Q 0

S(P) Q 0

A partir de ellas se pueden obtener dP/dY0 y dQ/dY0

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Especcamente, se puede formular

" F1P

F1

QF2

PF2

Q

# 24 dPdY0 dQ

dY0

35= " F1Y0 F

2

Y0

#

DP 1dS

dP 1 24

dP

dY0 dQdY0

35= DY0

0

Luego, por regla de Cramer

dPdY0

=

DY0 1

0 1 jJj =

DY0

jJj > 0

dQ

dY0 =

DP

DY0

dSdP

0

jJj

=dS

dPDY0

jJj > 0

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Modelo IS-LM

El mercado de bienes se describe mediante el siguiente conjunto deecuaciones

Y =C+I+G C=C(Y T) G=G0I =I(r) T=T(Y)

Se asume que el consumo es estrctamente creciente en (Y T),entonces C=C(Yd) donde dC/dYd es la propensin marginal aconsumir (0 < C0(Yd) < 1).

Se asume que el gasto de inversin es estrctamente decreciente en r,

esto es, dI/dr=I0(r) < 0El gasto pblico es exgeno y los impuestos son una funcin crecientedel ingreso. Asimismo la tasa marginal de impuesto0 < dT/dY =T0(Y) < 1.

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Sustituyendo se obtiene la curva IS

Y =C(Y T(Y)) +I(r) +G0

con dos variables endgenas(Y y r) que producen equilibrio en el mercadode bienes.

Calcular la pendiente de esta curva, implica expresar la ecuacin como unaidentidad y tomar la diferencial total respecto a Y y r

Y C(Y T(Y)) I(r) G0 0

dY C0

(Yd

)

1 T0

(Y)

dY I0

(r)dr=0dr

dY =

1 C0(Yd)[1 T0(Y)]

I0(r) < 0

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El mercado monetario se describe mediante las siguientes ecuaciones

Md = L(Y, r) [demanda de dinero] LY > 0 y Lr < 0

Ms = Ms0 [oferta de dinero]

Md = Ms [condicin de equilibrio]

Sustituyendo se obtieneL(Y, r)Ms0

Para hallar la pendiente, tomamos la diferencial total

LYdY+Lrdr=0

dr

dY =

LY

Lr> 0

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El estado de equilibrio macroeconmico simultneo de los mercados debienes y monetario se describe mediante el siguiente sistema

Y C(Yd) +I(r) +G0

L(Y, r) Ms0

que de manera implcita denen las variables endgenas Y y r, comofunciones implcitas de las variables exgenas G0 y M

s0 . Tomando la

diferencial total del sistema

dY C0

(Yd

)

1 T0

(Y)

dY I0

(r)dr = dG0LYdY+Lrdr = dM

s0

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En forma matricial 1 C0(Yd)[1 T0(Y)] I0(r)

LY Lr

dY

dr

=

dG0dMs0

El determinante jacobiano es

jJj=

1 C0(Yd)[1 T0(Y)] I0(r)LY Lr < 0

lo cual satisface el teorema de la funcin implcita, y es posible expresar

Y =Y(G0, Ms0 )

r =r(G0 , Ms0 )

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Ello nos permite llevar a cabo el ejercicio de esttica comparativa paradeterminar lo efectos de un cambio de una de las variables exgenas

(G0, Ms0 ) en los valores de equilibrio Y y r.Considerando como ejemplo, un cambio en G0, se obtiene

1 C0 [1 T0] I0

LY Lr "

Y

G0r

G0

#=

10

Luego, por regla de Cramer

Y

G0=

1 I0

0 Lr

jJj =

Lr

jJj > 0

r

G0=

1 C0 [1 T0] 1LY 0

jJj

=LYjJj

> 0

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