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FORMULAS
π
ππ₯π = 0
π
ππ₯π₯ = 1
π
ππ₯ππ₯ = π β
π
ππ₯π₯ = π
FORMULAS
π
ππ₯π₯π = π β π₯πβ1
π
ππ₯ππ₯π = π
π
ππ₯π₯π = π π β π₯πβ1
π
ππ₯π£π = π β π£πβ1 β
π
ππ₯π£
π
ππ₯ππ£π = π
π
ππ₯π£π = π π β π£πβ1
π
ππ₯π£
ENCONTRAR LA DERIVADA DE LA SIGUIENTE
FUNCION: π¦ = 4π₯
SOLUCION:
π¦ = 4π₯
DE ACUERDO CON LA FORMULA
π
ππ₯ππ₯ = π β
π
ππ₯π₯ = π
SUSTITUYENDO CON LA FUNCION, OBTENEMOS EL RESULTADO FINAL:
π
ππ₯4π₯ = 4 β
π
ππ₯π₯ = 4
ENCONTRAR LA DERIVADA DE LA SIGUIENTE
FUNCION: π¦ = π₯3
SOLUCION:
π¦ = π₯3
UTILIZANDO LA FORMULA:
π
ππ₯π₯π = π β π₯πβ1
ENCONTRAR LA DERIVADA DE LA SIGUIENTE
FUNCION: π¦ =10
7π₯ β 9
SOLUCION:
π¦ =10
7π₯ β 9
Y CON ESTAS FORMULAS:
π
ππ₯π = 0 π¦
π
ππ₯ππ₯ = π β
π
ππ₯π₯ = π
SUSTTUYENDO, OBTENEMOS EL RESULTADO FINAL
π
ππ₯
10
7π₯ β 9 =
π
ππ₯
10
7π₯ β
π
ππ₯9 =
10
7
π
ππ₯π₯ β
π
ππ₯9 =
10
7
ENCONTRAR LA DERIVADA DE LA SIGUIENTE
FUNCION: π¦ = π₯ β 5 3
SOLUCION:
π¦ = π₯ β 5 3
DE ACUERDO CON LA FORMULA:
π
ππ₯π£π = π β π£πβ1 β
π
ππ₯π£
SUSTITUIMOS, DERIVAMOS Y OBTENEMOS EL RESULTADO FINAL:
π
ππ₯π₯ β 5 3 = 3 β π₯ β 5 3β1 β
π
ππ₯π₯ β 5 = 3 β π₯ β 5 3β1 β 1
= 3 π₯ β 5 2 = 3π₯2 β 30π₯ + 75
SE PUEDE COMPROBAR, PRIMERO DESARROLLANDO EL BINOMIO AL CUBO, DERIVAS Y OBTITNES ESE MISMO RESULTADO
ENCONTRAR LA DERIVADA DE LA SIGUIENTE
FUNCION: π¦ =7
3π₯2 β
4
π₯+ 8
SOLUCION:
π¦ =7
3π₯2 β
4
π₯+ 8
Y PARA ELLO NECESITAMOS LAS FORMULAS:
π
ππ₯π£π = π β π£πβ1 β
π
ππ₯π£
π
ππ₯ππ₯ = π
π
ππ₯π₯ = π
π
ππ₯π₯π = π β π₯πβ1
π
ππ₯π = 0
SUSTITUYENDO Y DERIVANDO CON RESPECTO A LAS FORMULAS DE DERIVACION, ENCONTRAMOS EL RESULTADO FINAL:
π
ππ₯
7
3π₯2 +
π
ππ₯β4
π₯+
π
ππ₯8 =
7
3
π
ππ₯π₯2 β 4
π
ππ₯
1
π₯+
π
ππ₯8
=7
3
π
ππ₯π₯2 β 4
π
ππ₯π₯β1 +
π
ππ₯8 =
7
32π₯ β 4 β1)(π₯β1β1 + 0
=14
3π₯ + 4 π₯β2 =
14
3π₯ +
4
π₯2
ENCONTRAR LA DERIVADA DE LA SIGUIENTE
FUNCION: π¦ = β15
8π₯2
7 + 5 π₯ +π₯2
π₯45
SOLUCION:
π¦ = β15
8π₯27 + 5 π₯ +
π₯2
π₯45
VEAMOS LAS FORMULAS DE DERIVACION:
π
ππ₯ππ₯π = π
π
ππ₯π₯π
π
ππ₯π₯π = π β π₯πβ1
DERIVEMOS Y ASI HALLAMOS EL RESULTADO FINAL:
π
ππ₯β15
8π₯27 +
π
ππ₯5 π₯ +
π
ππ₯
π₯2
π₯45
= β15
8
π
ππ₯π₯27 + 5
π
ππ₯π₯12 +
π
ππ₯π₯2 β π₯β
45
= β15
8
π
ππ₯π₯27 + 5
π
ππ₯π₯12 +
π
ππ₯π₯2β
45 = β
15
8
π
ππ₯π₯27 + 5
π
ππ₯π₯12 +
π
ππ₯π₯65
= β15
8
2
7π₯27β1 + 5
1
2π₯12β1 +
6
5π₯65β1 = β
15
8
2
7π₯β57 + 5
1
2π₯β
12 +
6
5π₯15
= β30
56π₯β57 +
5
2π₯β12 +
6
5π₯15 = β
30
56 π₯57
+5
2 π₯12
+6
5π₯15
FORMULASπ
ππ₯ππ₯ = ππ₯
π
ππ₯ππ£ = ππ£ β
π
ππ₯π£
π
ππ₯ππ₯ = ππ₯ β πππ
π
ππ₯ππ£ = ππ£ β πππ β
π
ππ₯π£
π
ππ₯π’π£ = π£ β π’π£β1 β
π
ππ₯π’ + π’π£ β πππ’ β
π
ππ₯π£
π
ππ₯πππ₯ =
1
π₯
π
ππ₯πππ£ =
1
π£βπ
ππ₯π£
ENCONTRAR LA DERIVADA DE LA SIGUIENTE
FUNCION: π¦ = π3π₯+1
SOLUCION:
π¦ = π3π₯+1
DE ACUERDO CON LA FORMULA:
π
ππ₯ππ£ = ππ£ β
π
ππ₯π£
π
ππ₯π = 0
π
ππ₯ππ₯ = π β
π
ππ₯π₯ = π
COMENZAMOS A DERIVAR Y ASI ENCONTRAMOS SU RESULTADO:
π
ππ₯π3π₯+1 = π3π₯+1 β
π
ππ₯3π₯ + 1 = π3π₯+1 β 3
= 3π3π₯+1
ENCONTRAR LA DERIVADA DE LA SIGUIENTE
FUNCION: π¦ = π5π₯2+3π₯β8
SOLUCION:
π¦ = π5π₯2+3π₯β8
Y CON LAS FORMULAS:
π
ππ₯ππ£ = ππ£ β
π
ππ₯π£
π
ππ₯π = 0
π
ππ₯ππ₯ = π β
π
ππ₯π₯ = π
SUSTITUIMOS Y ENCONTRAMOS SU RESULTADO:
π
ππ₯π5π₯
2+3π₯β8 = π5π₯2+3π₯β8 β
π
ππ₯5π₯2 + 3π₯ β 8
= π5π₯2+3π₯β8 10π₯ + 3 = 10π₯ + 3 π5π₯
2+3π₯β8
ENCONTRAR LA DERIVADA DE LA SIGUIENTE
FUNCION: π¦ = ππ3
2π₯3 +
99
8π₯ +
34π₯
SOLUCION:
π¦ = ππ3
2π₯3 +
99
8π₯ +
34π₯
Y CON LAS FORMULAS:
π
ππ₯ππ£π = π
π
ππ₯π£π = π π β π£πβ1
π
ππ₯π£
π
ππ₯πππ£ =
1
π£βπ
ππ₯π£
COMENZAMOS A DERIVAR:
π
ππ₯ππ
3
2π₯3 +
99
8π₯ +
34π₯ =
1
32 π₯3 +
998 π₯ +
34π₯
βπ
ππ₯
3
2π₯3 +
99
8π₯ +
34π₯
=1
32 π₯3 +
998 π₯ +
34π₯
βπ
ππ₯
3
2π₯3 +
99
8π₯12 + 4π₯
13
=1
32 π₯3 +
998 π₯ +
34π₯
β3
23π₯3β1 +
99
8
1
2π₯12β1 +
1
3(4π₯)
13β1 π
ππ₯4π₯
=1
32 π₯3 +
998 π₯ +
34π₯
β9
2π₯2 +
99
16π₯β12 + (4)
1
3(4π₯)
β23
=
92 π₯2 +
9916 π₯
β12 +
43 (4π₯)
β23
32 π₯3 +
998 π₯ +
34π₯
=
92 π₯2 +
99
16 π₯12
+4
3(4π₯)23
32 π₯3 +
998 π₯ +
34π₯
=
92 π₯2 +
9916 π₯
+4
33(4π₯)2
32 π₯3 +
998 π₯ +
34π₯
ENCONTRAR LA DERIVADA DE LA SIGUIENTE
FUNCION: π¦ = 72
5π₯2β2π₯
SOLUCION:
π¦ = 725π₯
2β2π₯
UTILIZANDO LAS FORMULAS:
π
ππ₯ππ£ = ππ£ β πππ β
π
ππ₯π£
π
ππ₯ππ₯π = π
π
ππ₯π₯π = π π β π₯πβ1
Y ASI, HALLAMOS EL RESULTADO FINAL:
π
ππ₯725π₯
2β2π₯ = 725π₯
2β2π₯ ππ 7π
ππ₯
2
5π₯2 β 2π₯ = 7
25π₯
2β2π₯ ππ 72
52 π₯2β1 β 2
= 725π₯
2β2π₯ ππ 74
5π₯1 β 2 =
4
5π₯ β 2 ππ 7 7
25π₯
2β2π₯
ENCONTRAR LA DERIVADA DE LA SIGUIENTE
FUNCION: π¦ = 5π₯3
4π₯6+10π₯3β9
SOLUCION:
π¦ = 5π₯34π₯
6+10π₯3β9
Y CON LAS FORMULAS:
π
ππ₯ππ₯π = π
π
ππ₯π₯π = π π β π₯πβ1
π
ππ₯π’π£ = π£ β π’π£β1 β
π
ππ₯π’ + π’π£ β πππ’ β
π
ππ₯π£
DERIVAMOS:
π
ππ₯5π₯
34π₯
6+10π₯3β9
=3
4π₯6 + 10π₯3 β 9 β 5π₯
34π₯
6+10π₯3β9 β1βπ
ππ₯5π₯ + 5π₯
34π₯
6+10π₯3β9 β ππ 5π₯ βπ
ππ₯
3
4π₯6 + 10π₯3 β 9
=3
4π₯6 + 10π₯3 β 9 β 5π₯
34π₯
6+10π₯3β10β 5 + 5π₯
34π₯
6+10π₯3β9 β ππ 5π₯ β3
46 π₯6β1 + 10 3 π₯3β1
=15
4π₯6 + 50π₯3 β 45 β 5π₯
34π₯
6+10π₯3β10+ 5π₯
34π₯6+10π₯3β9 β ππ 5π₯ β
18
4π₯5 + 30π₯2
FORMULAS
π
ππ₯π’ β π£ = π’ β
π
ππ₯π£ + π£ β
π
ππ₯π’
π
ππ₯
π’
π£=π£ β
πππ₯
π’ β π’ βπππ₯
π£
π£2
ENCONTRAR LA DERIVADA DE LA SIGUIENTE
FUNCION: π¦ =6
5π₯ β 8
9
5π₯1
8 β 82
SOLUCION:
π¦ =6
5π₯ β 8
9
5π₯18 β 8
2
DE ACUERDO CON LAS FORMULAS:
π
ππ₯π’ β π£ = π’ β
π
ππ₯π£ + π£ β
π
ππ₯π’
π
ππ₯ππ£π = π
π
ππ₯π£π = π π β π£πβ1
π
ππ₯π£
π
ππ₯ππ₯π = π
π
ππ₯π₯π = π π β π₯πβ1
π
ππ₯
6
5π₯ β 8
9
5π₯18 β 8
2
=6
5π₯ β 8 β
π
ππ₯
9
5π₯18 β 8
2
+9
5π₯18 β 8
2
βπ
ππ₯
6
5π₯ β 8
=6
5π₯ β 8 β 2
9
5π₯18 β 8
29
5
1
8π₯β
78 +
9
5π₯18 β 8
2
β6
5
=12
5π₯ β 16
9
40π₯β
78
9
5π₯18 β 8
2
+6
5
9
5π₯18 β 8
2
ENCONTRAR LA DERIVADA DE LA SIGUIENTE
FUNCION: π¦ =4
7π₯2 β
9
8π₯
1
π₯5β ππ 8π₯
8
SOLUCION:
π¦ =4
7π₯2 β
9
8π₯
1
π₯5β ππ 8π₯
8
DE ACUERDO CON LAS FORMULAS:
π
ππ₯π’ β π£ = π’ β
π
ππ₯π£ + π£ β
π
ππ₯π’
π
ππ₯ππ£π = π
π
ππ₯π£π = π π β π£πβ1
π
ππ₯π£
π
ππ₯ππ₯π = π
π
ππ₯π₯π = π π β π₯πβ1
DERIVAMOS Y HALLAMOS EL RESULTADO FINAL:
π
ππ₯
4
7π₯2 β
9
8π₯
1
π₯5β ππ 8π₯
8
=4
7π₯2 β
9
8π₯ β
π
ππ₯
1
π₯5β ππ 8π₯
8
+1
π₯5β ππ 8π₯
8
βπ
ππ₯
4
7π₯2 β
9
8π₯
=4
7π₯2 β
9
8π₯ β 8
1
π₯5β ππ 8π₯
7π
ππ₯
1
π₯5β ππ 8π₯ +
1
π₯5β ππ 8π₯
8
β8
7π₯1 β
9
8
=4
7π₯2 β
9
8π₯ β 8
1
π₯5β ππ 8π₯
7β4
π₯6β
8
8π₯+
1
π₯5β ππ 8π₯
8
β8
7π₯1 β
9
8
= 84
7π₯2 β
9
8π₯
β4
π₯6β
8
8π₯
1
π₯5β ππ 8π₯
7
+8
7π₯ β
9
8
1
π₯5β ππ 8π₯
8
ENCONTRAR LA DERIVADA DE LA SIGUIENTE
FUNCION: π¦ =6π₯+1 3
π₯β3
SOLUCION:
π¦ =6π₯ + 1 3
π₯ β 3
Y SABIENDO LAS FORMULAS:
π
ππ₯
π’
π£=π£ β
πππ₯
π’ β π’ βπππ₯
π£
π£2
π
ππ₯ππ£π = π
π
ππ₯π£π = π π β π£πβ1
π
ππ₯π£
π
ππ₯ππ₯π = π
π
ππ₯π₯π = π π β π₯πβ1
DERIVAMOS Y HALLAMOS EL RESULTADO FINAL:
π
ππ₯
6π₯ + 1 3
π₯ β 3=
π₯ β 3 βπππ₯
6π₯ + 1 3 β 6π₯ + 1 3 βπππ₯
π₯ β 3
6π₯ + 1 3 2
=π₯ β 3 β 3 6π₯ + 1 3β1 π
ππ₯6π₯ + 1 β 6π₯ + 1 3 β 1
π₯ β 3 2
=π₯ β 3 β 3 6π₯ + 1 2 6 β 6π₯ + 1 3
π₯ β 3 2=
π₯ β 3 β 18 6π₯ + 1 2 β 6π₯ + 1 3
π₯ β 3 2
=18 π₯ β 3 6π₯ + 1 2 β 6π₯ + 1 3
π₯ β 3 2
BIBLIOGRAFIAS
β’ GARZA OLVERA, BENJAMΓN, CΓLCULO INTEGRAL, MATEMΓTICAS V DGETI, 1RA EDICIΓN, 269-275 PΓGS.
β’ AGUILAR, GERARDO Y CASTRO, JAIME, βPROBLEMARIOS DE CΓLCULO INTEGRALβ, 1RA EDICIΓN, DIVISIΓN IBEROAMERICANA, JULIO 2003, PΓGS. 37-38.
β’ SWOKOWSKI, EARL, βCΓLCULO CON GEOMETRΓA ANALΓTICAβ, 1989, GRUPO EDITORIAL
IBEROAMERICANA, 2DA EDICIΓN, ESTADOS UNIDOS DE AMΓRICA, 1097 PAGS.