Ders 9: Hipotez Testleri - muhserv.atauni.edu.trmuhserv.atauni.edu.tr/.../istatistik/...TESTLERI_IKaymaz_2015.pdf · İstatistik ve Olas ... t Dağılımı ile Yapılan Testler Hipotez

Atatürk Üniversitesi

Hipotez Testleri

Prof. Dr. İrfan KAYMAZ

İstatistik ve Olasılık

Ders 9: Hipotez Testleri


Hipotez TestleriTanım

Hipotez, bir veya daha fazla anakütle hakkında ileri sürülen, ancak doğruluğu

önceden bilinmeyen iddialardır.

Ortaya atılan iddiaların, örnekten elde edilen bilgilere bağlı olarak, belirli bir

hata payı ile doğrulanmasına HİPOTEZ TESTİ denir.

Örneğin:

İki üretim yönteminin aynı olup olmadığı,

İki farklı tezgahın üretim hassasiyetlerinin aynı olup olmadığı,

İki farklı antibiyotiğin tedavi etkinliklerinin aynı olup olmadığı

gibi hususlar ayrı birer hipotezin konusudur.


Hipotez TestleriTanım

Hipotez testi;Örneklerden elde edilen bilgiler ile teoriyi kıyaslayıp KARAR VERMEYİ içerir.

Dolayısıyla aşağıdaki sorulara cevap verilmesi gerekir:

Örneklerden yapılan çıkarımın Kurulan hipotez ile uyumsuz olduğuna nasıl karar

verebiliriz?

Kurulan hipotezi ne zaman ret/kabul edebiliriz?

Hatalı karar verme ihtimalimiz nedir?

hipotez testi


Hipotez TestleriHipotez Testi Nedir?

Örnek:Formula 1 araçlarının süspansiyon sistemindekullanılan bir parçanın ömrünün normal dağıldığıve ortalamasının 10.000 ve standart sapmasınınise 2.000 olduğu belirlenmiştir.

Bu parçayı üreten firmanın mühendislikdepartmanı, parçaların ömürlerinin artırmak içinyeni bir üretim yöntemi geliştirmişlerdir.

Yeni üretim yöntemiyle üretilen parçaların ömürleri daha uzun olabilir mi?

Bu soruya hipotez testi kullanarak cevap verebiliriz.



Örnek Çözüm:Bu karar verme problemini basitleştirmek birkaç kabul yapalım:

Yeni üretim yönteminden elde edilecek parçaların ortalama ömürleri en

azından eski üretim yönteminden elde edilecekler kadar olacaktır.

Standart sapma ve dağılım tipi (normal dağılım) olarak kalacaktır.

Yukarıdaki ifadelerden:X->yeni üretim yöntemi ile üretilen parçaların ömrünü göstersin

İki durum ortaya çıkar:

1.Yeni üretim yöntemi ile elde edilen parçaların ömrü daha uzun değil ise m=10.000

2.Yeni üretim yöntemi ile elde edilen parçaların ömrü daha uzun ise m>10.000



Örnek Çözüm (devam):Bu iki ifade, yeni üretim yöntemi ile üretilen parçaların ömrü ile ilgili iki hipotezi ortaya koyar:

BİRİNCİ HİPOTEZ:Yeni üretim yöntemi ile üretilen parçaların ömrü eski üretim yöntemi ile üretilen parçaların ömrü kadardır: m=10.000.Aralarında fark yoktur (ömürler arasındaki fark sıfırdır) dolayısıyla bu hipotez SIFIR Hipotezi (H0) olarak adlandırılır.

İKİNCİ HİPOTEZ:Yeni üretim yöntemi ile üretilen parçaların ömrü eski üretim yöntemi ile üretilen parçaların ömründen fazladır; m>10.000. Alternatif hipotez olarak adlandırılır ve H1 ile gösterilir.



Bu hipotezleri test etmek için:

Yeni üretim metoduyla üretilmiş 25 örnek parça alalım.

Ve şu varsayımı dikkate alalım:

Bu örneklerin ortalama ömürleri 11.000 çevrimden daha fazla ise: H0-> RET

Bu örneklerin ortalama ömürleri 11.000 çevrimden daha az ise: H0-> KABUL

Testin kurulumu:



Kurulan test ne kadar iyi?

Kurulan testi değerlendirmek için iki tip hata tanımlanır:

I. Tip hata ( ): H0 hipotezi doğru iken H0 hipotezinin reddedilmesi

II. Tip hata (b ): H0 hipotezi yanlış iken H0 hipotezinin kabul edilmesi

= P{I. Tip hata yapma} = P{Ho reddedilir | Ho doğru}

b = P{II. Tip hata yapma} = P{Ho reddedilemez | Ho yanlış}

Bu örnek için:



Elde edilen sonuç ne anlama geliyor?

Dikkate aldığımız 25 örneğin ortalaması: 11.500 çevrim olarak hesaplanmış olsun

Bu durumda Ho hipotezi reddedilir. Yani:Yeni üretim yöntemi ile imal edilen parçaların ömrü 10.000 çevrime eşit değildir.

H1 hipotezi kabul edilir. Yani: Yeni üretim yöntemi ile imal edilen parçaların ömrü 10.000 çevrimden daha fazladır.


Hipotez TestleriHipotez Testinin Temel Kavramları

Bir hipotezin kurulmasında aşağıdaki şartların yerine getirilmesi önerilmektedir:

Bilimsel ilişkiler bakımından anlamlı ve mantıklı olmalıdır.

Önceki bilgilere dayanmalı ve bilimin temellerine uygun düşmelidir.

Bilimsel yöntemlerle doğruluğu denetlenebilmelidir.

Hipotez testleri:

parametrik : Hipotez testinde verilere ait ortalama, varyans ve oran gibi

değerler kullanılır

parametrik olmayan (non parametrik) : verilere ait sıralama ve işaret gibi

göstergeler kullanılır


Hipotez TestleriHata Tipleri ve Testin Gücü

Hipotez testlerinde doğru bir hipotezin reddedilmesi veya yanlış bir hipotezin kabul edilmesi olasılıkları da vardır. Bu olasılıklar hata tipleri ile açıklanmaktadır.

Doğru bir hipotezin reddedilmesi halinde işlenen hataya I. tip hata (),

Yanlış bir hipotezin kabul edilmesi halinde işlenen hataya da II. tip hata (b)

Hipotez testinin çalışma prensibi:

Örnek veriler Kriter Ho reddedilir veya reddedilemez Çıkarsama

Bir hipotez testi sonucunda 4 durumla karşılaşılabilir:

1. H0 doğru iken H0 reddedilemez (doğru karar) Teste Anakütleye göre2. H0 gerçekte yanlış iken H0 reddedilir (doğru karar) göre

H0 Doğru H0 Yanlış3. H0 doğru iken H0 reddedilir (I. Tip hata ) H0 ret I. tip hata Doğru

karar4. H0 yanlış iken H0 reddedilemez (II. Tip hata b) H0 kabul Doğru karar II. tip hata


Hipotez TestleriHata Tipleri ve Testin Gücü

Bir testin ne kadar iyi olduğu bu olasılıklarla belirlenir. Anakütle yerine örnek üzerinde çalışıldığı sürece iki hata tipini birlikte ortadan kaldırmak mümkün değildir. Birisinin çok küçültülmesi diğerinin aşırı derecede büyümesine neden olur. Sadece örnek büyüklüğü artırılarak iki hata tipi birlikte kontrol altında tutulabilir. Öte yandan, yapılan testin gücü testin gücü=1-b formülü ile ölçülmektedir.

Araştırmalarda genellikle doğru bir hipotezin reddedilme riski olan I. tip hata ile ilgilenilmektedir.I. tip hata (), aynı zamanda testin önem seviyesini de göstermektedir. I. tip hata için çoğunlukla =0.05 veya =0.01 değerleri , nadiren de =0.10 değeri kullanılmaktadır.


Hipotez TestleriTek ve Çift Yönlü Testler

Alternatif hipotezin (H1) kuruluş biçimine göre testler tek veya çift yönlü olarak

adlandırılır.

H1:m>m0

H1:m<m0 biçiminde ise test tek yönlü

H1:m m0 biçiminde ise test çift yönlü


Hipotez TestleriTek Ve Çift Yönlü Testler

Örneğin:Yeni geliştirilen bir üretim yönteminin eski yöntemden daha iyi olup olmadığı karşılaştırılacaksa

İki tezgahın üretimi karşılaştırıldığında

Hipotez testi:

Hipotez testi:


Hipotez TestleriHipotez Testinin Aşamaları

Hipotez testlerinde işlemler 5 adımda yürütülür:

1.Hipotezler (Ho ve H1) kurulur. Hipotezler anakütle parametreleri üzerine kurulur.Örneğin:bir anakütlenin ortalamasının belirli bir değere eşit olup olmadığı test edilecekse “Ho:m=m0 ve H1:m>m0 veya m<m0 veyam m0” şeklinde hipotezler kurulabilir.

2.İncelenen olayın dağılımına bağlı olarak karşılaştırmada esas alınacak tablo değeri (teorik değer) belirlenir.Örneğin:Alternatif hipotezin kuruluş biçimine bağlı olarak t dağılımı kullanılacaksa t, n-1 veya t/2, n-1 , Z dağılımı kullanılacaksa Z, veya Z/2 ilgili tablo değerini gösterir.


Hipotez TestleriHipotez Testinin Aşamaları

3. Olayla ilgili veriler toplanır ve olayın dağılımına uygun test istatistiği hesaplanır.

Örneğin:

t dağılımı kullanılacaksa olayla ilgili toplanan veriler kullanılarak th=( -m)/Sx

veya Z dağılımı kullanılacaksa Zh=(X-m)/ test istatistikleri hesaplanır

4. Tablo değeri ile test istatistiği karşılaştırılarak H0 hipotezi hakkında karar (kabul

veya red) verilir.

Genel kural: Test istatistiği > Tablo değeri H0 reddedilir

örneğin t dağılımı kullanılacaksa |th| >|t, n-1| veya |th| >|t/2, n-1| H0 reddedilir

örneğin Z dağılımı kullanılacaksa |Zh| >|Z| veya |Zh| >|Z/2| H0 reddedilir

5. Yorum yapılır: Adım 4 de elde edilen sonucun ne anlama geldiği sözel olarak

ifade edilir.

Örneğin alınan verilere (örneklere) göre anakütle ortalamasının belirli bir değere

eşit olup olmadığı test ediliyorsa “ hata {veya (1-) güven} seviyesinde anakütle

ortalamasının ...... değerine eşit (veya değerinden farklı) olduğu söylenebilir”

şeklinde bir yorum yapılabilir.


Hipotez TestleriStandart Normal Dağılımı ile yapılan testler

Dağılımın normal olduğu veya normale yakınsadığı durumlarda ortalama ve oranlarla ilgili testlerde Z dağılımı kullanılabilir. Ancak, bunun için aşağıdaki şartlardan birinin gerçekleşmesi gerekmektedir:

Anakütle varyansı bilinmelidir.Anakütle varyansı bilinmiyorsa örnek hacmi 30 veya daha fazla olmalıdır.

Z dağılımı yardımıyla yapılan testler şunlardır: Bir ortalamanın testi İki ortalama farkının testi Bir oranın testi İki oran farkının testi


Hipotez TestleriBir Ortalamanın Testi

Herhangi bir anakütlenin ortalamasının belirli bir değere (m0) eşit olup olmadığı

değerleri kullanılarak hipotez testi ile incelenebilir



Örnek:

Spor malzemeleri üreten bir firma, ürettiği olta iplerinin dayanma mukavemetiortalamasının 15 kg/mm2, standart sapmasının 0.5 kg/mm2 olduğunu açıklamıştır.

Firmanın bu iddiasını test etmek isteyen bir tüketici örgütü firmanın üretimindenrastgele 50 olta ipi almış ve ortalamasını 14.8 kg/mm2 olarak belirlemiştir.

%1 hata seviyesinde olta ipleri mukavemetinin 15 kg/mm2 ye eşit olup olmadığını testediniz.



Örnek Çözüm:Tüketici örgütünün aldığı örneklerden elde ettiği 14.8 kg/mm2 değeri ile firmanın beyan ettiği 15 kg/mm2 değeri arasındaki 0.2 kg/mm2 lik farklılığın tesadüfi mi olduğu, yoksa önemli bir farklılık mı olduğu test edilecektir.

=0.01 hata {veya (1-)=0.99 güven} seviyesinde olta ipleri mukavemetiortalamasının 15 kg/mm2 ‘den farklı olduğu söylenebilir.Başka bir ifadeyle, tüketici örgütünün gözlediği farklılık tesadüfi (şans eseri) değil,önemli bir farktır.


Hipotez Testleriİki Ortalama Farkının Testi

Örnek:Varyansları 56 ve 65 olan iki anakütleden sırasıyla 25 ve 30 birimlik örnekleralınmış ve birinci örneğin ortalaması 92, ikinci örneğin ortalaması da 88 olarakhesaplanmıştır.

Anakütle ortalamalarının farklı olup olmadığını %5 hata seviyesinde test ediniz.


Hipotez Testleriİki Ortalama Farkının Testi

Örnek Çözüm:


Hipotez Testlerit Dağılımı ile Yapılan Testler

Zaman, para ve kaynak bakımından karşılaşılan sıkıntılar nedeniyle bilimsel

çalışmalarda genellikle az sayıda örneğin incelenmesi ve elde edilen sonuçlardan

tümevarım yöntemiyle anakütle hakkında çıkarsama yapılmaktadır.

Çalışmalarda genellikle anakütle varyansı (2) bilinmez, ancak örnek varyansı (S2)

elde edilen verilerden hesaplanabilir.

Ayrıca, yukarıda sayılan nedenlerden dolayı yeterli sayıda örnek alınamaz.

Bu gibi durumlarda elde edilen sonuçların istatistiksel analizi yapılırken küçük

örnekler için geliştirilen t dağılımından yararlanılır. Genel olarak, t dağılımı ile

yapılan hipotez testlerindeki işlemler Z dağılımı ile yapılan testlerdeki işlemlerin

benzeridir. Sadece test istatistiği (th) ve tablo değeri (t,n-1 veya t/2,n-1 ...., vb)

farklıdır.


Hipotez Testlerit Dağılımı ile Yapılan Testler

t dağılımı yardımıyla yapılan testler şunlardır:

Bir ortalamanın testi

İki ortalama farkının testi

Grup karşılaştırması (bağımsız gruplar)

Eşleme testi (bağımlı gruplar)



Anakütle varyansının bilinmediği ve küçük örneklerin kullanıldığı çalışmalardaherhangi bir anakütlenin ortalamasının belirli bir değere (m0) eşit olup olmadığıaşağıda tanımlanan hipotez ile kararlaştırılabilir.



Örnek:

Bir bölümde okuyan öğrencilerin not ortalamasının 70 olduğu bölüm yöneticileri

tarafından iddia edilmektedir. Bu iddianın doğru olup olmadığını test etmek üzere

Bölüm öğrencileri arasından rasgele seçilen 26 öğrencinin notları tespit edilmiş ve

ortalaması 67, varyansı 9 olarak hesaplanmıştır.

%99 güven (%1 hata) seviyesinde Bölüm yöneticilerinin iddiasının doğru olduğu

söylenebilir mi?

(Başka bir ifadeyle, sözü edilen bölümdeki öğrencilerin not ortalamalarının 70 den

az olduğu söylenebilir mi?)



Örnek Çözüm:Anakütle varyansı bilinmediğinden ve örnek hacmi 30’dan küçük olduğundan dolayı küçük örneklerin analizi için geliştirilen t dağılımı ile hipotez testi yapılacaktır.


Hipotez TestleriKi-kare (2) Dağılımı ile Yapılan Testler

Gamma dağılımının bir özel şekli olan ki-kare (2) dağılımının k ile gösterilen vepozitif tamsayı değer alabilen tekparametresi vardır. Dağılımın buparametresine serbestlik derecesi denir.Küçük serbestlik dereceleri için dağılımsağa çarpık iken serbestlik derecesi arttıkçayavaş yavaş simetrikleşmektedir. X,parametresi k olan ki-kare dağılmış birdeğişken aşağıdaki şekilde yazılır.

X serbestlik derecesi k olan ki-kare dağılmış bir rastgele değişken olarakokunur.2 dağılmış rastgele değişkenlerin, bilinen serbestlik derecelerine bağlı olarakilgilenilen olasılıkları için tablolar hazırlanmıştır.2 değişkeni, kareler toplamı ile ilgili olduğundan daima pozitif değerler alır.

X k~ 2



Tablo değeri okurken dikkat edilmesi gereken hususlar:

2 tablosunda en sol tarafında serbestlik dereceleri, en üst tarafında ise kuyruk bölgesinde kalan çeşitli olasılıklar verilmiştir. Tablonun içindeki değerler ise o sütunun üzerindeki olasılıklar için kritik değerlerdir.




2 dağılımı çarpık bir dağılımdır.

t ve Z dağılımlarından farklı olarak sol kuyruk altında kalan alan ile sağ kuyruk

altında kalan alan birbirine eşit değildir.

hipotez testinde alternatif hipotez çift yönlü ise alt ve üst kritik değerlerin ayrı

ayrı hesaplanması gerektiği görülecektir.




Bu nedenle, sol kuyruktaki alanlara karşı gelen kritik değerler ayrıca verilmiştir.

Sol kuyruktaki alanlara karşı gelen bu değerleri bulmak için tablonun üstünden

(1-) olasılığı için verilen sütunu bulup, karşı gelen kritik değer okunmalıdır.

Sağ kuyruktaki alanlara karşı gelen değerleri bulmak için tablonun üstünden ()

olasılığı için verilen sütunu bulup, karşı gelen kritik değer okunmalıdır.



Varyansla ilgili testlerin yanısıra sayımla belirlenen kalitatif (niteliksel)

karakteristiklerle ilgili testlerde genellikle 2 dağılımı kullanılmaktadır.

2 dağılımının yaygın olarak kullanıldığı testler şunlardır:

Varyansla ilgili testler (veriler nicelikseldir, yani ölçümle elde edilir)

Uygunluk (uyum) testi

Bağımsızlık testi

Homojenlik testi

Bağımlı grupların testi



VARYANSLA İLGİLİ TESTLER

İncelenen veri grubunun değişkenliğinin belirlenmesi ve bunun kontrol altında tutulabilmesi birçok alanda olduğu gibi endüstriyel alanlarda da önemlidir.

Genellikle geliştirilen bir sistemdeki veya makinadaki sistematik sapmalar (ortalamanın hedef değerinden sapması gibi) kolaylıkla giderilebildiği halde sözü edilen sisteme veya makinaya ait hassasiyet (hassasiyet, sistemin değişkenliği ile ters orantılıdır) kolaylıkla değiştirilemez.

Sözgelimi, geliştirilen bir ölçü aleti ölçtüğü nesnenin büyüklüğünü gösterirken (bir anlamda tahmin ederken) gerçek değerden önemli miktarda sapma ortaya çıkıyorsa (yani ölçümüm standart sapması büyükse) bu aletten fazla bir yarar beklenemez.

Bu gibi nedenlerle varyansın (2‘nin) tahminlenmesi ve bunun için kurulacak hipotezlerin test edilmesi birçok durumda ortalamalar için yapılan hipotez testlerinden daha önemli olabilmektedir.




Not: İki anakütle varyansının birbirine eşit olup olmadığı 2 dağılımı ile

değil, F dağılımı ile test edilmektedir. Çünkü bağımsız iki 2

değişkeni oranı F dağılımı göstermektedir. F dağılımı bir sonraki

derste açıklanacaktır.




Örnek:

Bir çimento fabrikasında üretilen çimentodan yapılan betonların dayanımına

ilişkin standart sapmanın 1.24 kg/mm2 olduğu iddia edilmektedir. Bu iddiayı test

etmek üzere fabrikanın üretiminden rasgele alınan 25 birimlik örneğin ortalama

dayanma miktarı ölçülmüştür. Daha sonra ölçülen verilerin ortalaması 25

kg/mm2 ve varyansı da 2.4 olarak hesaplanmıştır. Bu verilere göre fabrika

yöneticilerinin iddiasının doğru olduğu söylenebilir mi? (=0.01)


Hipotez TestleriKi-kare (2) Dağılımı ile Yapılan TestlerVARYANSLA İLGİLİ TESTLER

Örnek Çözüm:Varyansın büyük olması istenmeyen bir durumdur.



UYGUNLUK (UYUM) TESTİ

Birçok araştırmada gözlenen frekansların H0 hipotezinde öne sürülen teorikfrekanslara uyup uymadığı belirlenmek (test edilmek) istenir.Örneğin:bir atölyede üretilen parçalarının boylarının parametreleri belirli olan birnormal dağılıma uyup uymadığı,bir kavşağa gelen araçların gelişlerarası süresinin parametresi belirli olanüstel dağılıma uyup uymadığı,...., vb konular test edilebilir.

Gözlenen frekansların, teorik olarak beklenen frekanslara uyup uymadığı ile ilgili olarak aşağıda verilen hipotez kurulabilir:




Örnek:Bir zar 120 defa atılmış ve gelen değerler aşağıda verilmiştir.

Bu veriler esas alınarak sözü edilen zarın hilesiz olduğu söylenebilir mi? (=0.05)




Örnek Çözüm:




Örnek:

Bir fabrika yöneticileri ürettikleri pillerin kullanım sürelerinin

dağılımına uyduğu iddia edilmektedir. Bunun doğru olup olmadığını test etmek için

sözü edilen fabrikanın üretimi olan 40 pil rastgele seçilmiş, kullanım süreleri (saat

olarak) belirlenmiş ve pillerin kullanım sürelerine ilişkin frekans dağılımı aşağıda

verilmiştir. %5 hata seviyesinde pillerin kullanım ömürlerine (sürelerine) ilişkin

derlenen bu verilerin sözü edilen dağılıma uygun olup olmadığını test ediniz.

X N~ ( . ; . ). . . .3 5 0 49




Örnek Çözüm:




Örnek Çözüm:


Hipotez TestleriGelecek Dersin Konusu

Varyans Analizi….

Documents

Ders 9: Hipotez Testleri - muhserv.atauni.edu.trmuhserv.atauni.edu.tr/.../istatistik/...TESTLERI_IKaymaz_2015.pdf · İstatistik ve Olas ... t Dağılımı ile Yapılan Testler Hipotez