istatistik unite09

8/3/2019 istatistik unite09

1/26


2/26

statist ik212

Amalar:

statistiksel hipotez ve istatistiksel hipotez testi kavramlarn aklayabileceksiniz.

Parametrik ve parametrik olmayan teknikler arasndan seim yaparken,

dikkat edilecek kriterleri aklayabileceksiniz.

Bir istatistiksel test srecinin aflamalarnda, hangi ifllemlerin yaplacan

sralayabileceksiniz.

Anaktle aritmetik ortalamasna ve anaktle oranna iliflkin hipotez testi

uygulamalarn yapabileceksiniz.

erik Haritas

GRfi

STATSTKSEL HPOTEZ VE STATSTKSEL HPOTEZ TEST

HPOTEZ TEST TRLER

HPOTEZ TEST SRECNN ADIMLARI

Hipotezlerin fade Edilmesi

Anlamllk Dzeyinin Belirlenmesi

Verilerin Derlenmesi

Test statistiinin Seilmesi

statistiksel Kararn Verilmesi

Probleme liflkin Kararn Verilmesi

TEK ANAKTLE PARAMETRESYLE LGL HPOTEZ TESTLER

Anaktle Ortalamasna liflkin Hipotez Testleri

Anaktle Ortalamasna liflkin Byk rneklem Testi

Anaktle Ortalamasna liflkin Kk rneklem Testi

Anaktle Oranna liflkin Test


3/26

GRfirnekleme teorisi, anaktle parametrelerinin tahminlenmesi yannda, istatistiksel

hipotezlerin test edilmesine de imkan vermektedir. Yorumsal istatistikte gelenek-sel karar alma ifllemi olarak hipotez testi, rneklem bilgilerinden yararlanarak burneklemin ekildii anaktlenin bir ya da daha fazla parametresi hakknda yo-rum yapma konularn ierir. Burada, rneklem gzlem deerleri kullanlarak he-saplanan istatistiin deeriyle, bu istatistiin bilgi rettii parametrenin ncedenbelirlenmifl, bilinen deeri arasndaki farklln, istatistiksel olarak anlaml olupolmad belirlenir. Farkllk varsa, bu farklln neminin, sfr hipotezini reddet-mek iin yeterli olup olmadna karar verilir. Eer szkonusu farkllk anlaml birfarkllksa sfr hipotezi reddedilir, tersi durumda kabul edilir.

Genellikle, parametrenin nceden belirlenmifl, bilinen deerinin deiflmedii-nin ifade edildii sfr hipotezine iliflkin karar verebilmek iin, rneklem bilgileri-nin olasla dayanarak genellefltirilmesi gerekir. Bu durum, ilgilenilen parametre

hakknda bilgi reten istatistiin rnekleme dalmnn bilinmesini gerektirir.Bu nitede; anaktle aritmetik ortalamas ve anaktle oranna iliflkin hipotez-

lerin test edilmesinde, olaslk ve rnekleme dalm kavramlarnn, nasl uygula-naca gsterilmifltir. Bu amala nitede, nce hipotez ve hipotez testi kavramla-r aklanmfl, sonra da bir hipotez testi srecinin aflamalar srasyla aklanarak,hipotez trleri hakknda bilgi verilmifltir. Daha sonra da tek anaktle aritmetik or-talamasna ve oranna iliflkin hipotez testleri, rnekler zerinde, ayrntl bir flekil-de aklanmfltr.

STATSTKSEL HPOTEZ VE STATSTKSELHPOTEZ TEST

statistiksel hipotez ve istatistiksel hipotez testi kavramlarn

aklayabileceksiniz.

F imento fabrikas rnlerini, zerinde ortalama 50 kg. yazan torbalarla, pazarla-maktadr. Z inflaat firmas, fabrika yetkililerine baflvurarak, son alnan 100 torbalkbir partinin ortalamasnn 47.5 kg. olduunu bildirerek, zarara uradn ne sr-mfl ve fabrika yetkililerinden aklama istemifltir. Fabrika yetkilileri, eer kendirnlerini kullanmaya devam ederlerse, baflka partilerin ortalamasnn 50 kg. danfazla kabileceini ve zaman iinde giderek farkn sfrlanacan belirterek, bi-linli bir eksik (ya da fazla) doldurmann sz konusu olmadn ifade etmifllerdir.

Fabrika yetkililerinin savunmalarnda ne kadar hakl olduklar (ya da olmadk-lar) istatistiksel tekniklerle arafltrlabilir. Bu nitede, benzer problemlerin zm-lerinde kullanlan teknikler, yeterli ve ayrntlaryla ele alnmfltr.

Genel olarak hipotez, karfllafllan zel duruma iliflkin bir nermedir. statistik-sel hipotez, bir arafltrmada ilgilenilen bir ya da daha fazla parametrenin deerihakknda ileri srlen ve doruluu, geerlilii bu parametre(ler) hakknda bilgireten istatistik(ler)den ve bu istatistik(ler)in rnekleme dalmyla ilgili bilgiler-den yararlanarak arafltrlabilen nermelerdir. statistiksel hipotezler bir ya da da-ha fazla anaktle parametre deeriyle ilgili olabilirler. statistiksel hipotezleri di-er hipotezlerden ayran zellik, bu hipotezlerin bir frekans dalmna ait olma-sdr. Baz istatistiksel hipotez rnekleri aflada verilmifltir.

nite 9 - Hipotez Testler i 213

A M A

1

Hipotez, karfllafllan zeldurumu iliflkin bir nermedir.

statistiksel hipotez,herhangi bir ana ktleparametresine iliflkin olarakileri srlen ve doruluuolaslk kurallarylaarafltrlabilen nermedir.


4/26

rnekler:1) Gnlk ortalama retimi 750 kg. olan bir ila fabrikasnda, uygulanan yeni

retim teknii, ortalama retimi artrmfltr.2) Bir retim srecinde retilen tereya paketleri ortalama 500 gr arlndadr.3) Bir yerleflim yerinde ikamet eden ailelerin %10u alflverifllerini sper mar-

ketlerden yapmaktadr.

Anaktle parametreleri hakkndaki hipotezler (nermeler), parametre deer-

(ler)i hakknda, daha nceden bilinen bir dzey, standart bir deer ya da varsa-

ymsal bir deer olabilir. Birinci rnekte, ilk ila retim ynteminin ortalama re-

tim dzeyi olan 750 kg. bilinen bir deerdir. kinci rnekteki tereya paketlerinin

planlanan arl olan 500 gr. standart bir deerdir. Son rnekteki sper market-

lerden alflverifl yapan ailelerin oran olan %10 varsaymsal deerdir.

Bir istatistiksel hipotez, doru ya da yanlfl olabilir. nk bu bir nermedir.

Gerei renebilmek iin, anaktle parametresi qnn deerini hesaplamak ge-rekir. Bu da tamsaym yapmay gerektirir. Ancak, rnekleme yapmay gerektiren

nedenlerden dolay bu, her zaman mmkn deildir. Bu durumda istatistiksel hi-

potezlerin geerlilii ya da doruluu konusunda karar verebilmek iin, bu hipo-

tezlerin, tanmlanan anaktleden seilen rneklemin gzlem deerlerinden he-

saplanan rneklem istatistiinden ( dan), bu istatistiin ( nn) rnekleme da-

lmnn zelliklerinden yararlanarak test edilmesi gerekir. statistiksel hipotez

testi, rneklem istatistiklerini kullanarak, bir hipotezin doru olup olmadn or-

taya koymaya ynelik yaplan alflmalardr. Yorumsal istatistikte hipotez testi, r-

neklem gzlem deerlerinden yararlanarak, bu rneklemin seildii anaktlenin

durumu hakknda yorum yapmaktr.

Daha nceki nitede de belirtildii gibi, anaktleden rassal rneklem alnmfl

olsa bile, rneklem gzlemlerinden hesaplanan bir istatistiin, bu istatistiin bilgi

rettii parametre hakknda ileri srlen deere (q0) eflit olmas beklenemez. Ya-

ni rneklem istatistikleri, ayn hacimli farkl rneklemlerde farkl deerler alabildi-

i iin ya da gibi farklar olabilir. Bu nedenle, is-

tatistiksel test sonucu verilecek kararn, gvenilir olduu konusunda, kesin karar

verilemez. Fakat, olaslk kuramndan yararlanarak, bir hipotezin istatistiksel testle

ne derece gvenle (ne derece hatayla) kabul ya da reddedileceini belirlemek

olanakl olmaktadr. Burada nemli olan, farknn istatistiksel olarak an-

laml olup olmadn belirlemektir. Baflka bir anlatmla, farklarn gerek deiflme-

yi mi aklad, yoksa rassal olarak m meydana geldiini belirlemektir. Anlamlfarkllk belirlenmiflse hipotez, belirli bir hata payyla reddedilir. Tersi durumda

kabul edilir.

1. statistiksel hipotez nedir?

2. statistiksel hipotez testinin konusu nedir?

3. statistiksel hipotez neden doru ya da yanlfl olabilir aklaynz.

qq0

qq00 , q=q00

qq

statist ik214

SIRA S ZDE


5/26

HPOTEZ TEST TRLER

Parametrik ve parametrik olmayan teknikler arasnda seim ya-parken, dikkat edilecek kriterleri aklayabileceksiniz.

Hipotez testleri, ilgilenilen deiflken(ler)in llmesinde benimsenen lee ba-l olarak, parametrik hipotez testleri ve parametrik olmayan hipotez testleri flek-linde snflandrlrlar. Parametrik testler deiflkenlerinin llmesinde eflit aralklya da oranl lein kullanld hipotez testleridir. nk; bu iki lekle de eldeedilen veriler zerinde aritmetik ifllemler yapmak mmkndr. Parametrik hipo-tez testlerinde, hipotezde bilinen bir olaslk fonksiyonundaki q parametresininnceden bilinen, q0 deerine eflit ya da bundan byk, kk ya da farkl oldu-u ileri srlebilir.

Parametrik testler rneklem saysnn tek ya da iki olufluna ve iki rneklemin

varlnda, bu rneklemlerin bamsz ya da baml olufluna bal olarak snf-landrlrlar. En nemli parametrik testler z ve t testleridir. Bu nitede tekanaktle (ya da tek rneklem) ortalamasna iliflkin z ve t testleriyle tek ana-ktle (ya da tek rneklem) oranna iliflkin z testi ayrntl olarak incelenmifltir.

Parametrik olmayan testler, anaktle dalm nasl olursa olsun uygulanabilentestlerdir. Bu testlerde, parametrelerle ilgilenilmeyip, hipotezler, ilgili deiflkeninbelirli bir nitel zelliine gre oluflturulur.

Parametrik olmayan testler, deiflkenlerinin llmesinde, snflayc ya da s-ralayc lein kullanld hipotez testleridir. Bu tr testlerde, parametrik testler-de olduu gibi, anaktlenin (rneklemin) tek ya da iki olufluna ve iki anaktle(iki rneklem) szkonusu olduunda da rneklemlerin bamsz ve baml olu-fluna gre snflandrlrlar.

Parametrik olmayan hipotez testlerine iliflkin Ki-Kare Testi ayr bir nitedeincelenmifltir.

1. Deiflkenlerin llmesinde benimsenen lee bal olarak, istatistiksel hipotezlernasl snflandrlr?

2. Deiflkenlerin llmesindeki, eflit aralkl lein kullanlmasnda, hangi test trkullanlr?

3. Parametrik olmayan testlere hangi durumlarda baflvurulur?

HPOTEZ TEST SRECNN ADIMLARI

Bir istatistiksel test srecinin aflamalarnda, hangi ifllemlerin ya-placan sralayabileceksiniz.

Anaktle parametre deerleri hakknda ileri srlen iddialarn test edilmesindeafladaki admlar izlenir:

Hipotezlerin fade Edilmesistatistiksel hipotezlerin testinde, iki hipotez sz konusudur. Bunlar; sfr hipote-zi ve karflt hipotez olarak isimlendirilirler. Bu aflamada, sfr hipotezinin ve kar-flt hipotezin nasl ifade edileceine karar verilir.


A M A

2

SIRA S ZDE

A M A

3


6/26

Sfr hipotezi H0 simgesiyle gsterilir ve hangi hipotezin test edileceini ifadeeder. H0 hipotezinde test sreci tamamlanncaya kadar rneklem istatistii de-eriyle q parametresinin deeri hakknda ileri srlen q0 , ile q parametreleri-nin deerleri arasndaki farkn rnekleme hatasndan kaynaklanabilecei, bu ikideer arasnda gerekte anlaml bir farkllk olmad, farklln istatistiksel ola-rak, sfr olduu ifade edilir. Sfr hipotezi; parametrenin nceden belirlenmifl, bi-linen deerinde, hibir farklln (etkinin) beklenmediinin ifade edildii hipotez-dir.Bu aklamalarn flnda H0 hipotezi,

H0 : q = q0

fleklinde ifade edilir.H0 hipotezinin test edilebilmesinde, bu hipotezden farkl bir hipotezin de ifa-

de edilmesi gerekir. H1 simgesiyle gsterilen bu hipoteze karflt hipotez ad ve-rilir. H1 hipotezi H0 hipotezinin belirli bir olaslkla reddedilmesi durumunda ka-bul edilen ve genellikle arafltrma hipotezinin incelendii hipotezdir. Karflt hipo-tez, parametrenin nceden belirlenmifl, bilinen deerinde baz farklln ya da et-kinin beklendiinin ifade edildii hipotezdir. Bu hipotez arafltrmann amacnabal olarak, afladaki farkl flekilden birisiyle ifade edilmifl olur:

H1 : q q0H1 : q > q0H1 : q < q0

Birinci ifadede, H0

hipotezi; verilecek kararn, anaktle parametre deerinden,her iki yndeki (hem kk hem de byk yndeki), anlaml farkllklardan etki-leneceini ifade eder. kinci ifadede, verilecek kararn, anaktle parametre dee-rinde, sadece byk yndeki anlaml sapmadan etkileneceini, son ifadedeyse sa-dece kk yndeki anlaml farklln, verilecek karar etkileyeceini ifade eder.

Hipotez testlerinde H1 hipotezi, testin ynn ya da H0 hipotezinin reddedile-cei blgenin yerini belirleyen hipotezdir. Red blgesi, H0 hipotezinin reddedil-mesine (H1 hipotezinin kabul edilmesine) neden olan rneklem istatistii (yada test istatistii) ile ilgili deerler araldr. Kabul blgesiyse, H0 hipotezinin ka-bul edilmesine (H1 hipotezinin reddedilmesine) neden olan rneklem istatistii(test istatistii) ile ilgili deerler araldr. Hipotez testleri, H1 hipotezinin ifadeedilifl flekline gre: ki ynl test, tek ynl stkuyruk testi ve tek ynl alt

kuyruk testi olarak isimlendirilirler. Bu testlere iliflkin hipotezlerin ifade edilifl bi-imi aflada verilmifltir.

ki Ynl Testlerde Hipotezler:H0 : q = q0H1 : q q0

Tek Ynl stKuyruk Testlerinde Hipotezler:H0 : q = q0H1 : q > q0

q

q

q

q

statist ik216

Sfr hipotezi (H0), ilgili anaktle parametresinin bilinendeerinde herhangi birfarklln beklenmediiniifade eden hipotezdir.

Karflt hipotez (H1), ilgiliana ktle parametresininbilinen deerinde

istatistiksel olarak anlamlfarklarn beklendiini ifadeeden hipotezdir.


7/26

Tek Ynl AltKuyruk Testlerinde Hipotezler:H0 : q = q0H1 : q < q0

fleklinde belirlenir.Yukardaki her hipotez takmnda kullanlan isim, H1 hipotezinde q iin veri-

len deerler araln aklamaktadr. Bu durum, rneklem istatistiinin nn nor-mal dalma sahip olduu kabul edilerek afladaki flekillerle aklanmfltr. rne-in iki ynl hipotezlerde H1 hipotezi fiekil 9.1de grld gibi q0n her iki ta-rafndaki q ile ilgili deerleri kapsamaktadr. Baflka bir ifadeyle rneklem istatisti-i nn belirli bir A1 deerinden kk ya da belirli bir A2 deerinden bykolan deerleri H1 hipotezi ynnde, H0 hipotezinin red blgesinde yer alan de-erlerdir.

Tek ynl stkuyruk testlerinde, H1 hipotezi, q0dan byk olan q ile ilgili de-erleri ierdii iin, bu isim verilmifltir. Tek ynl stkuyruk testlerinde, H1 hipo-tezi, (fiekil 9.2de grld gibi) nn, q0dan byk olmak zere, belirli bir Adeerinden byk deerleri H1 hipotezi ynnde, H0 hipotezinin red blgesindeyer almaktadr.

Tek ynl altkuyruk testlerindeyse tek ynl st kuyruk testinin tam tersine,(fiekil 9.3de grld gibi) q0n solunda ve nin Adan kk olan deerleri,H

0hipotezinin red blgesinde yer alan deerlerdir.

qi

qi

qi

q


fiekil 9.1 ki YnlTestlerde Red

Blgeleri.

fiekil 9.2 Tek Ynlst KuyrukTestlerinde RedBlgesi.

Hipotez testlerinde kabul yada red edilen hipotez H0dr.

H0

Kabul Blgesi

H0

Red Blgesi

a / 2

H0

Red Blgesi

a / 2

A1 q0

A2

Z1

qi^

0

1- a

H0

Kabul Blgesi

H0

Red Blgesi

a

q0

Z1

qi^

0

1- a

A


8/26

Anlamllk Dzeyinin BelirlenmesiBir istatistiksel hipotez testinde ya sfr hipotezinin reddedilmesi ya da kabul edil-mesi fleklinde karar verilir. Bu iki karar arasnda seim yaparken, rneklem ista-tistiinden yararlanld iin, hatal karar verme riski vardr. nk; ayn anakt-leden rassal olarak seilen, ayn hacimli farkl rneklemler iin hesaplanan istatis-tikler, rneklemden rnekleme deiflen deerler aldndan, anaktle parametredeerinden farkllk gstermektedirler.

Hipotez testlerinde, sfr hipotezinin yanlfllkla reddedilmesi ya da kabul edil-mesi sonucu ifllenen hataya yorumlama (karsama) hatas ad verilir. ki tr yo-rumlama hatas vardr: Bunlar; gerekte doru olan sfr hipotezinin reddedilme-

si durumunda ifllenen hatayla, gerekte yanlfl olan sfr hipotezinin kabul edil-mesi durumunda ifllenen hatadr. Gerekte doru olan sfr hipotezinin reddedil-mesi durumunda ifllenen hataya I. Tip hata ya da a tipi hata ad verilir. Arafltr-malarda a tipi hata ifllemenin maksimum olaslna testin anlamllk dzeyi de-nir. Anlamllk dzeyinin belirlenmesi, doru olan sfr hipotezinin, rneklemdenelde edilen bilgilere dayanarak reddedilmesi olasln belirleyen ann seilme-sidir. a anlamllk dzeyi, arafltrmac tarafndan, hipotezler ifade edilip veri der-lemeye bafllamadan nce seilmelidir. Sosyal bilim arafltrmalarnda a iin genel-likle %5 ve %1 deerleri seilmektedir. Yaplan bu seimle birlikte, doru olanH0 hipotezinin reddedilme olasl, belirlenmifl olur. Bu olaslk rnekleme da-lmyla iliflkilendirilerek kullanlr. Bu durumda, a anlamllk dzeyi, doru olansfr hipotezinin reddedilmesi olaslna eflit olan, rnekleme dalmndaki oran-sal alan gstermifl olur. rnekleme dalmnda, doru olan sfr hipotezinin, red-dedilmesi olaslna eflit olan oransal, alana red blgesi denir. rnekleme da-lmnn bu blgesi, sfr hipotezi doru olduunda, beklenmeyen rneklem istatis-tii deerlerini temsil eder. rnekleme dalmnda, red blgesini tanmlamadannce, rnekleme dalmn tanmlamak gerekir. rneklem istatistiinin normaldalml olmas durumu iin red ve kabul blgeleri fiekil 9.1, 9.2 ve 9.3te gste-rilmifltir. fiekillerdeki A, A1ve A2 noktalar red blgelerinin bafllang noktalardr.

Dier taraftan, sfr hipotezi gerekte yanlfl olabilir ve arafltrmac yanlfl olanbu hipotezi kabul ederse, yine hatal karar vermifl olur; bu tr hataya II. Tip ha-ta ya da b tipi hata denir. Bu trden hata yapmann maksimum olasl da b ilegsterilir.

statist ik218

fiekil 9.3 Tek YnlAlt KuyrukTestlerinde RedBlgesi.

H0 doruyken testsonucunda reddedilirse a (I.tip) tipi hata, H0 dorudeilken test sonucundakabul edilirse b (II. tip) tipihata gerekleflmifl olur.

H0

Kabul Blgesi

H0

Red Blgesi

a

A q0

Z1

qi^

0

1- a

a tipi hata yapmannmaksimum olaslna testinanlam dzeyi ad verilir.


9/26

statistiksel uygulamalarda a tipi hatadan daha ok saknlr ve genellikle sade-ce a tipi hata kontrol edilir.

Arafltrmalarda H0 hipotezinin doru olduuna inanan arafltrmac, a anlamllkdzeyini ok kk bir deer olarak seebilir. H0 hipotezinin kabul edilmesi risk-lise, byk kayplara neden oluyorsa, a olasl byk tutulmaldr.

rneklem hacmi sabit olduunda, a tipi hata ifllemenin azalmas (artmas), btipi hata iflleme olaslnn artmasna (azalmasna) neden olur.

Verilerin DerlenmesiBir arafltrma plannda, hipotezlerin ifade edilmesiyle arafltrmann genel ereve-si ortaya konur, problem ve deiflkenler tanmlanmfl olur. fade edilen hipotezle-rin test edilebilmesi iin, gerekli uygun a anlamllk dzeyi belirlendikten sonra,belirlenen ana ktleden, hangi hacimde bir rneklem seilecei kararlafltrlr. Da-ha sonra da ilgili anaktleden belirlenen hacimde rassal bir rneklem seilerek

veriler derlenir. Bu veriler kullanlarak, test edilecek parametre hakknda bilgireten rneklem istatistikleri hesaplanr.

Test statistiinin SeilmesiDaha nce de belirtildii gibi, anaktleden rassal rneklem alnmfl olsa bile, he-saplanan rneklem istatistiinin anaktle parametresi hakknda, nceden bilinen,belirlenen deere eflit olmas beklenmez. Bu durumda flu soru akla gelebilir: r-neklem istatistiinin deeriyle bu istatistiin bilgi rettii parametrenin sfr hipo-tezinde ifade edilen deeri arasnda nasl bir farkllk vardr? Baflka bir ifadeyle, s-fr hipotezi doruysa, anlamsz bir fakll veren bir rneklem istatistii elde et-mek mmkn mdr?

Bu sorunun yantlanabilmesi, iin, sfr hipotezinin test edilebilmesinde, rnek-lem istatistiinin dalmnn bilinmesine ve uygun test istatistiine gereksinimvardr.

Test istatistii, rneklem istatistiinin deeriyle anaktlenin, sfr hipotezindeifade edilen deeri arasndaki farkn, standartlafltrlmfl deeri olarak tanmlanr.Baflka bir ifadeyle test istatistii, rneklem istatistiinin ile q0 arasndaki farknstandart hata birimiyle ifade eden ldr. Test istatistii rneklemin sfr hipote-zine ne kadar uyduunu gsterir. Bu nedenle de test istatistii test sonunda veri-lecek kararn dayandrld bir rneklem istatistiidir.

Bir rneklem istatistiinin deeri, bu rneklem istatistiinin dalmnn bir de-eridir. Mmkn her rneklem istatistiinin deeri iin, bir test istatistii deerihesaplanabileceine gre, test istatistii rnekleme dalmndan sz edilebilir.

Test istatistikleri genellikle normal dalm (z dalm), t dalm ya da Ki-Karedalm v.b. gibi bilinen dalmlara uyar.

Hipotez testi trleriyle ilgili bilgiler verilirken akland gibi, hipotez testleriiin de uygun test istatistiinin seimesiyle ilgilenilen deiflkenlerin llmesindekullanlan lek tr, rneklem hacmi, rneklem says; (rneklem says iki oldu-unda rneklemlerin bamsz ya da baml olmas) gibi hususlarn bilinmesi ge-rekir.

Bu nitede, baz parametrelere iliflkin hipotezlerin testinde, z ve t test istatis-tiklerinin seilme gerekeleri ve uygulamalarna yer verilmifltir.

q


Hipotez testlerinde,rneklem istatistiinindalmnn bilinmesizorunludur.


10/26

statistiksel Kararn Verilmesistatistiksel karar vermekle efl anlaml olan hipotez testi, aslnda a anlamllk d-

zeyinde H0 hipotezinin kabul edilmesi ya da reddedilmesi karardr. Bu kararnverilebilmesi iin bir ltn belirlenmesi gerekir. Test istatistiinin, kritik deeriolarak isimlendirilen bu lt, istatistiinin rnekleme dalmnda, red ve ka-bul blgelerini birbirinden ayran bir deerdir. Test istatistiinin kritik deeri, birrnekleme dalmnda, red blgesinin bafllama noktasn gsteren deerdir. Kri-tik deer, seilen a anlamllk dzeyine, H1 hipotezinin ifade edilifl biimine verneklem istatistiinin dalm flekline baldr. zleyen aklamalar rneklemistatistiinin ve bu istatistiin standart deeri olan

test istatistiinin normal dalma sahip olduu kabul edilerek yaplmfltr. Akla-malarda a = 0.05 seilmifltir.

Eer karflt hipotez H1 : q q0 fleklinde ifade edilmiflse, red blgesi fiekil 8.4te

gsterildii gibi istatistiine iliflkin normal dalmn her iki ucunda simetrik ola-

rak tanmlanmfl olur ve her birinin alan oransal olarak a/2 = 0.05/2 = 0.025tir.

Buna bal olarak kritik deerler istatistiine iliflkin normal dalmn her iki

kuyruundaki, q0a gre simetrik, A1ve A2 deerleri olmaktadr.

Ancak; istatistiksel hipotez testlerinde, rneklem istatistii yerine, standart-lafltrlmfl deer kullanlmaktadr. Bu durumda kritik deerler A1ve A2nin

standart deerleri olur. A1 rneklem deeri q0n solunda (A1 q0dan kk de-erli) olduu iin, z1 negatif ve A2 rneklem deeri q0n sanda (A2 q0dan b-yk deerli) olduu iin, z2 pozitif deer olarak ifade edilir. z1ya da z2 kritik de-erleri a = 0.05 anlamllk dzeyi iin Ek-1de verilen Standart Normal EriAlanlar Tablosundan yararlanlarak belirlenir. Z tablo deeri (ztab),

z1 =A1 q0

sq

ve z2 =A2 q0

sq

q

q

q

z = q q0sq

q

q

statist ik220

fiekil 9.4 ki YnlTestlerde RedBlgeleri ve KritikDeerler.

H0

Kabul Blgesi

A1 q0

A2

Z

qi^

0

1- a

H0

Red Blgesi

a / 2 = 0.5/2 = 0.025

H0

Red Blgesi

a / 2 = 0.025

Z1= -1.96 Z

2= +1.96


11/26

ztab = z0,50,025 = z0.4750 = 1.96 dr.

ztab = 1.96 deeri standart normal dalmda %47.5luk oransal alana karflgelen rneklem istatistiinin standart deeridir. ki ynl testte H0 hipotezininreddedilmesi iin,

koflulunun salanmas gerekir. Tersi durumda H0 hipotezi kabul edilir.

Eer H1 : q > q0 ya da H1 : q < q0 fleklinde ifade edilmiflse, H0 hipotezinin

red blgesi, birinci durumda, istatistiine iliflkin normal dalmn stkuyruun-

da, ikinci durumda altkuyruunda tanmlanmflsa alan a = 0.05 olur. Buna bal

olarak kritik deerler srasyla (fiekil 9.5te gsterildii gibi) istatistiine iliflkinnormal dalmn st kuyruundaki A deeri ya da bunun standart deeri

ve (fiekil 9.6da gsterildii gibi) istatistiine iliflkin normal dalmn alt kuyru-undaki A deeri ya da bunun standart deeri

olur. Bu z deerleri birbirinin simetriidir. stKuyruk testinde, z pozitif, altKuy-ruk testinde, z negatif iflaretlidir. z deerleri a = 0.05 iin Ek-1de verilen Stan-dart Normal Eri alanlar tablosundan yararlanlarak belirlenirler.

ztab = z0.50.05 = z0.4500 = 1.64 tr.

ztab = 1.64 deeri, standart normal dalmda, %45lik oransal alana karfl ge-len, rneklem istatistiinin standart deeridir. Tek ynl stkuyruk testi sz konu-

z1 =A qsq

q

z1 =A q0

sq

q

q

zhes= q q0sq

> ztab= 1.96


fiekil 9.5 Tek Ynlst KuyrukTestlerinde RedBlgesi ve KritikDeer.

H0

Kabul Blgesi

q0

A

Z1

qi^

0

1- a

H0

Red Blgesi

a = 0.05

Z = 1.64


12/26

su olduunda ztab = +1.64, tek ynl altkuyruk szkonusu olduunda ztab = -1.64 alnr. Bu bilgilere gre H0 hipotezinin reddedilmesi iin, tek ynl stkuy-ruk testinde;

olmaldr.

Tek ynl altkuyruk testinde H0n reddedilebilmesi iin,

koflulunun salanmas gerekir. Tersi durumda H0 hipotezi kabul edilir.H0 hipotezinin reddedilmesi ynndeki kararlar, rneklem deeri ile ana-

ktle parametresi arasnda, a anlamllk dzeyinde anlaml bir farklln var oldu-unu, H0 hipotezinin kabul edilmesi durumundaysa olan farklln rneklemehatasndan kaynakland anlamna gelir.

Probleme liflkin Kararn VerilmesiHipotez testlerinde nemli olan, istatistiksel kararn, arafltrma problemine ilifl-kin karara dnfltrlmesidir. Bu konu nitede rnek problemler zerindeaklanmfltr.

1. Hangi hipotez test edilecek hipotezdir?

2. Hangi durumda iki ynl teste baflvurursunuz?

3. I. Tip hata ne demektir, bu hatann bykl nasl belirlenir?

q

zhes = q q0sq

> ztab = 1.64

zhes = q q0sq

> ztab = 1.64

statist ik222

fiekil 9.6Tek YnlAlt KuyrukTestlerinde RedBlgesi ve KritikDeer.

SIRA S ZDE

H0

Kabul Blgesi

A1 q0

Zi

qi^

0

1- aH

0Red Blgesi

a = 0.05

Ztab

= -1.64


13/26

TEK ANAKTLE PARAMETRESYLE LGL HPOTEZTESTLER

Anaktle aritmetik ortalamasna ve anaktle oranna iliflkin hi-

potez testi uygulamalarn yapabileceksiniz.

Pek ok arafltrmada, tek bir anaktlenin bir parametresinin deerine iliflkin, hipo-

tezlerin ileri srld grlmektedir. Baflka bir ifadeyle, bir anaktlenin ilgileni-

len bir deiflkeni hakknda, bilinen ya da belirlenen bir standarta gre yorumlarn

yapld grlmektedir. Afladaki hipotezler tek anaktle parametresiyle ilgili hi-

potez testine rnek verilebilir: A rnnn reklamn beenenlerin oran en az

%45tir. Gnlk ortalama retimi 100 Ton olan bir retim srecinde yaplan dei-

fliklik, gnlk ortalama retim miktarn arttrmfltr (vb.) gibi. Bu tr hipotezlerin

testinde, tanmlanan bir anaktlenin ilgilenilen bir deiflkenine iliflkin ncedenbelirlenen (ya da bilinen) bir parametre deerinin (q0n) deiflmedii fleklindeki

sfr hipotezi test edilir. Bylece, verilen karara gre, karflt hipotezde (arafltrma

hipotezinde) ileri srlen iddiann, kabul edilip edilmeyecei ortaya kar.

Bu testlerde karar verilirken rneklem istatistiinin deeriyle bu istatistiin bil-

gi rettii parametrenin bilinen ya da belirlenen q0 deeri karfllafltrlr.

nitenin izleyen blmlerinde, uygulamada ska karfllafllan tek anaktle pa-

rametresiyle ilgili olarak, anaktle ortalamasna iliflkin testlerle anaktle oranna

iliflkin testler ele alnmfltr.

Anaktle Ortalamasna liflkin Hipotez TestleriBu testlerde, tanmlanan anaktleden rassal olarak seilen bir rneklem iin he-saplanan deeriyle, bu rneklemin seildii anaktlenin aritmetik ortalamas

m ile ilgili, nceden belirlenen (ya da bilinen) m0 gibi bir deer arasndaki farkl-

ln istatistiksel olarak anlaml olup olmad arafltrlr. Belirlenen farklln, s-

fr hipotezini reddetmek iin, yeterli olup olmadna karar verilir.

Anaktle ortalamasna iliflkin hipotez testleri uygulamada, ska kullanlan

nemli parametrik testlerdir.

Bu hipotezlerin test edilmesine iliflkin aklamalar, rneklem hacminin byk

olmas (n 30 birim) ve rneklem hacminin kk olmas (n < 30 birim) durum-

lar iin, alt bafllklar altnda, afladaki rnek problemler zerinde ayrntl olarak

ele alnmfltr.

Anaktle Ortalamasna liflkin Byk rneklem TestiBu test trnde :

rneklem rassal olarak seilir.

rneklem hacminin yeterli byklkte (n 30) birimden olufltuu ya da

anaktle normal dalml ve deiflkenliinin biliniyor olmas gereklidir.

H0 : m = m0 hipotezi, seilecek bir a anlamllk dzeyi iin test edilir.

X


A M A

4


14/26

Bir peynir retim srecinde, retimin 500 gr.lk paketler halinde gerek-

lefltirilmesi planlanmfltr. retimin planland gibi gerekleflip gerek-leflmediini kontrol amacyla rassal olarak 100 paket seilmifl ve bu pa-

ketler iin ortalama arlk 495 gr., standart sapma da 20 gr. olarak he-saplanmfltr. a = 0.05 anlam dzeyi iin, retimin planland gibi gerek-

lefltii sylenebilir mi? Karar veriniz.

1. Adm: Hipotezlerin ifade edilmesiPeynir paketlerinin belirlenen ortalama arl (standart arlk) 500 gr.dr. Bu ne-denle, burada sfr hipotezi, retilen peynir paketlerinin ortalama arlnn 500 gr.olduu ynndedir. Bu iddiay, 500 gr.dan hem kk, hem de byk yndekianlaml arlk farkllklar rtecektir. Baflka bir ifadeyle, bu anlaml farkllklarretimin planland gibi gerekleflmediini gsterecektir. Buna gre yaplacak

test, iki ynl test olup, hipotezler:

H0 : m = 500 gr.H1 : m 500 gr.

fleklinde ifade edilmelidir.

2. Adm: statistiksel testBu rnekte tanmlanan anaktleler sonsuz olurlar. Anaktlenin dalm ve deifl-kenlii hakknda bilgi yoktur. rneklem hacmi n = 100 pakettir ve n 30 oldu-undan, (daha nce aklanmfl olduu gibi) rneklem aritmetik ortalamasnn r-nekleme dalm, normal dalmdr. Kullanlmas gereken test istatistiide rnek-

lem aritmetik ortalamasnn standart deeri olan z istatistiidir. Bu nedenle bura-da z testi uygulanmaldr.

Anaktle standart sapmas bilinmedii iin nn tahmini olan kullanlmaldr.

3. Adm: Anlamllk dzeyinin belirlenmesi

Problemde doru olan hipotezinin reddedilmesi olasl a, %5 seilmifltir. Redblgeleri, ortalamann rnekleme dalmnn her iki kuyruunda tanmlandiin, red blgelerinin her birinin oransal bykl, dir.

4. Adm: H0n red blgesinin belirlenmesiH1 hipotezi, testin red blgesinin ynn belirlediine gre, bu testte red bl-gesi rneklem ortalamasnn, rnekleme dalmnn simetrik olmas nedeniylehem alt kuyruunda hem de st kuyruunda tanmlanmfltr. Bu durum fiekil9.7de gsterilmifltir.

a2= 0.05/2 = 0.

sx = sn

sxsx

z =X m0sx

statist ik224

R N E K 1

ZM


15/26

5. Adm: Test istatistiinin hesaplanmasn = 100 paket

s = 20 gr.m0 = 500 gr.a = 0.05

ve

olarak hesaplanr.

nn rnekleme dalm normal olduu iin, bu dalm oluflturan deerle-

rin standart deerleri olan z test istatistiinin rnekleme dalm, standart normal

dalm gsterir. ki ynl bir test olduu iin red blgesi fiekil 9.7'de gsterildii

gibi bu dalmn her iki kuyruunda tanmlanmfltr ve oransal byklkleri

dir. Buna gre, bu dalmn alt kuyruk blgesinde tanmla-

nan red blgesinin snr deeri z1 = 1.96, stkuyruk blgesinde tanmlanan red

blgesinin snr deeri z2

= 1.96 olacaktr.

Hesaplanan test istatistii olduundan H0 hipotezireddedilir, dolaysyla H1 kabul edilir. Ayrca ayn karar fiekil 9.7de zhes = 2.5standart deerinin Zi eksenindeki red blgesinde yer aldn sylemek suretiylede aklanabilir.

zhes= 2.5 > ztab= 1.9

a/2 =0,05

2= 0.02

x

z =X m0sx

=495 500

2= 2.5

sx = sn

= 20100

= 2

X = 495 gr.


H0

Kabul Blgesi

A1

A2

Zi

0

H0

Red Blgesi

a / 2 = 0.5/2 = 0.025

H0

Red Blgesi

a / 2 = 0.025

Z1= -1.96 Z

2= +1.96Z

hes= -2.5

m= 500

Xi

X = 495

l - a= 0.95

fiekil 9.7AnaktleOrtalamasm in kiYnl Test Sonular


16/26

Z

M

H0 hipotezinin reddedilmesi, retilen peynir paketlerinin ortalama arlnn500 gr. olmadn, retim sisteminin planland gibi retimi gereklefltirmediinigsterir.

Bir firmann pazarlama yneticisi, niversite rencilerinin aylk ortala-ma gazl iecek tketimlerinin en az 20 lt. olabileceini dflnmektedir.

Eer yneticinin bu dflncesi dorusa niversite rencilerine ynelikyeni stratejiler gelifltirilecektir. Bu amala, rassal olarak seilen, 1000

niversite rencisi zerinden veriler derlenmifl ve bu rencilerin orta-lama gazl iecek tketiminin 22 lt. ve standart sapmasnn da 8 lt. olduu

hesaplanmfltr. Yneticinin dflncesinin doru olup olmadna a = 0.01

anlam dzeyini kullanarak karar veriniz.

1. Adm: Hipotezlerin ifade edilmesi

Burada verilecek karar, ortalama gazl iecek tketiminin 20 lt.den fazla olmad-dr. Arafltrma hipoteziyse 20 lt. ve daha fazla olduudur.Buna gre hipotezler:

H0 : m = 20 lt.H1 : m > 20 lt.

fleklinde ifade edilmelidir.

2. Adm: statistiksel testrneklem hacmi n = 1000 renci (n > 30 birim) olduu iin nn rneklemedalm normaldir. nn standart sapmas ya da standart hata birimi cinsin-den deerinin bilinen m = 20 deerinden ne kadar farkllk gsterdiinilmek iin standartlafltrlmfl z deiflkeni kullanlr. z standartlafltrlmfl test is-tatistii olarak ifade edilir.

nn rnekleme dalm normal olduu iin m = m0 = 20 olduu zaman, z stan-dart normal dalma sahip, rassal deiflkendir. Bu nedenle, bu hipotezlerin testiiin z testi uygulanmaldr.

3. Adm: Anlamllk dzeyinin belirlenmesiFirma yneticisi, doru olan H0 hipotezinin reddedilmesi olasl ay, 0.01 ola-rak semifltir. ann kk seilmifl olmas yneticinin, dflncesinde ok fazlakararl olmadn gsterir. nk H0 hipotezinin kabul blgesinin oransal b-ykl 1 a = 0.99dur. Red blgesinin bykl a = 0.01dir. Bu durum fie-kil 9.8de gsterilmifltir.

4. Adm: H0n red blgesine karar verilmesiBu testte H1 > 20 lt. olarak ifade edildii iin H0 hipotezinin red blgesi (fiekil9.8de gsterildii gibi) dalmn st kuyruunda tanmlanmfltr. Yani hipotez,tek ynl st kuyruk testiyle test edilecektir.

x

z = x m0sx

x = 22

sxxx

statist ik226

R N E K 2


17/26

5. Adm: Test istatistiinin hesaplanmas

m0 = 20 lt.

s = 8 lt.

n = 1000 renci

a = 0.01

olduu ya da hesaplanan zhes = 7.905 deeri (fiekil 9.8de grld gibi) redblgesinde kald iin H0 hipotezi red (dolaysyla H1 hipotezi kabul) edilir.

Yukardaki istatistiksel karara gre, rencilerin aylk ortalama gazl iecek t-ketimi 20 lt. den fazladr. Ynetici, niversite rencilerine ynelik yeni stratejilergelifltirmelidir.

Anaktle Ortalamasna liflkin Kk rneklem TestiArafltrmalarn bir ounda arafltrmaya ayrlan para, zaman ve dier imkanlarnsnrl olmas gibi nedenlerle, rneklem hacmini, daha nceki aklamalarmzdabelirtilen byklkte (genellikle n 30 birim) salamak mmkn olmayabilir. r-nein; ok nadir grlen bir hastalkla ilgili arafltrmada vaka saysn, uzun srendeneylere dayanan arafltrmalarla ve maliyeti yksek olan laboratuar alflmalarylarneklem hacmini arttrmak ok gtr. rneklem hacminin az olduu bu gibidurumlarda, kk rneklemler iin gelifltirilmifl test yntemlerine baflvurulur. Bu

sx =s

n= 8

1000= 8

31.62= 0.253

Z =x m0sx

Z =22 20

0.253= 7.905

Zhes= 7.905 >Ztab= 2.33

X = 22 lt.


fiekil 9.8 AnaktleOrtalamas in TekYnl stKuyrukTesti Sonular.

H0

Kabul Blgesi

A2

Zi

0

H0Red Blgesi

a = 0.01

Z2= 2.33

m= 20

l - a

Zhes

= 7.905

qi^

X = 22


18/26

blmde, tek anaktle ortalamas iin kurulan hipotezlerin, kk rneklemler (n< 30 birim) kullanlarak, nasl test edilecei konusu ele alnmfltr.

nceki blmde aklanan tek anaktle ortalamasna iliflkin byk rneklemtestinde, sfr hipotezinin testi iin, rnekleme dalm olarak, normal dalmkullanlmflt. nk; rneklem hacminin en az 30 birim olmas ya da anaktledalmnn normal ve deiflkenlii snn biliniyor olmas durumlar, gz nnealnmflt.

Anaktle standart sapmas bilindiinde, ortalamann rnekleme dalm or-

talamas m ve standart sapmas (standart hatas) olan, normal dalm

gsterir.Genellikle s bilinmez. Arafltrmac tek anaktle ortalamasna iliflkin hipotez

testi iin syerine onun tahmini olan rneklem standart sapmas syi kullanarakortalamann rnekleme dalmnn standart hatasn ( y) tahminler. Bu du-

rumd, ortamann standart hata tahmini ( ) afladaki gibi yazlr:

ve byk bir hata ifllenmemifl olur.rneklem hacminin kk olmas durumunda, syerine snin kullanlmas is-

tatistiksel test zerinde etkili olur. nk; syerine snin kullanlmas durumundatahmin edilen istatistik standart normal dalm gstermemekte, do-laysyla byk rneklemlerde izlenen yntem geerli olmamaktadr. Normal da-lma sahip ve deiflkenlii bilinmeyen bir anaktleden seilen 30dan daha azbirim ieren bir rneklemin aritmetik ortalamas, n 1 serbestlik derecesiyle t da-

lr. t istatistii,

fleklindedir. Burada , rneklem ortalamasnn standart hata tahminini gsterirve

eflitlii ile hesaplanr.t dalm da normal dalm gibi simetrik bir dalmdr ve rneklem hacmi

bydke normal dalma yaklaflr.Kk rneklem kullanlarak yaplan tek ana ktle ortalamasna iliflkin hipo-

tez testleri, kullanlan test istatistii dflnda tek anaktle ortalamasna iliflkin b-yk rneklem testlerine benzemektedir. Afladaki rnek problem zerinde butestin uygulanfl biimi test srecinin admlar itibariyle aklanmfltr.

Tek anaktle ortalamasna iliflkin byk rneklem testinde olduu gibi, kkrneklem testinde de rneklem aritmetik ortalamas ile anaktlenin ortalamashakknda daha nceden bilinen ya da belirlenen bir deer m0 arasndaki farkn is-tatistiksel olarak anlaml olup olmad arafltrlr.

x

sx = sn 1

sx

t = x m0sx

x m0 / sx

sx = sn

sx

sx

sx = sn

statist ik228

Kk rneklem testlerindetest istatistii,

dir.t =x m0

sx


19/26

ZM

Bir okuldan gemifl yllarda mezun olan rencilerin ortalama mezuni-

yet puan 66 puandr. Bu yl mezun olan renciler arasndan 26 ren-ci rassal olarak seilmifl ve bunlarn ortalama mezuniyet puannn 70

puan ve standart sapmasnn 10 puan olduu hesaplanmfltr. Gemiflyllarda mezun olan rencilerin ortalama mezuniyet puanyla bu yl me-

zun olanlarn ortalama puanlar arasnda farkllk var mdr? a = 0.01iin test ediniz.

1. Adm: Hipotezlerin ifade edilmesiBu problemde, iki dnemdeki mezuniyet ortalamalar arasnda bir farkllk olma-d ynndeki sfr hipotezi test edilecektir. Buna gre hipotezler

H0 : m = 66 puan

H1 :m

66 puanfleklinde ifade edilmelidir.

2. Adm: statistiksel testrneklem hacmi n = 26 rencidir ve rencilerin gemifl yllardaki mezuniyetpuanlarnn dalm normal dalma sahiptir. 26 rencinin oluflturduu rnek-lem kk rneklemdir. H0 hipotezinin testi iin kk rneklem testlerinde kul-lanlan t test istatistii

kullanlr. Bu nedenle de t testi uygulanmaldr.

3. Adm: Anlamllk dzeyinin belirlenmesiProbleme iliflkin testte, m = m0 = 66 puan olduunda, testin kontrolnn olaslkdzeyi %1 olarak dflnlmfltr.

4. Adm: H0n red blgesinin belirlenmesiH0 hipotezi, iki ynl testle test edilecektir. Hipotezin red blgeleri, t dalmnnher iki kuyruunda tanmlanmfltr. fiekil 9.9daki taral alanlar H0 hipotezinin redblgeleridir.

5. Adm: Test istatistiinin hesaplanmasn = 26

s = 10

m0 = 66

u = 26 1 = 25

ve

sx = sn 1

= 1025

= 2

x = 70

t = x m0sx


R N E K 3


20/26

olarak elde edilir.

Test edilecek hipotez iki ynldr. a = 0.01 ve n = 26 iin t tablo deeri(ttablo)

ttablo = t (1 a/2 ; u = n 1) = 2.787 olarak belirlenir.(thes = 2) < (ttablo = |2.787|)

Olduundan, istatistiksel karar H0 kabul, H1 red edilir fleklinde olacak-tr. fiekil 9.9da grld gibi hesaplanan test istatistii deeri, kabul blgesin-

de yer almaktadr.

Yukardaki istatistiksel karara gre, eski ve yeni rencilerin mezuniyet puan-lar arasndaki farkllk, rnekleme hatasndan kaynaklanmaktadr; eski ve yenirencilerin ortalama mezuniyet puanlar arasnda anlaml bir fark yoktur.

Anaktle Oranna liflkin TestPek ok arafltrmada ilgilenilen deiflken, iki flkl ya da iki flkka indirgenmifl de-

iflken olabilir. rnein Anadolu niversitesi rencileri, cinsiyet deiflkeni bak-

mndan erkek kadn, baflar deiflkeni bakmndan da baflarl baflarsz olmak ze-

re iki flkldr.

Daha nce de akland gibi, bir anaktlenin, ilgilenilen iki flkl bir deiflke-

ninin, herhangi bir flkkna sahip birimlerinin oranna anaktle oran denir ve

simgesiyle gsterilir. nitenin bu kesiminde, anaktle oran nin deeri hakkn-

da ileri srlen bir nermenin, nasl test edilecei konusu ele alnmfltr. Tek ana-

ktle oranna iliflkin test olarak isimlendirilen bu testin, rneklem oran p ile ana-

t = x m0sx

= 70 66

2= 2

statist ik230

fiekil 9.9 Kkrneklemlerdem inki Ynl TestSonular.

0

H0

Kabul Blgesi

H0

Red Blgesi

a / 2 = 0.005

H0

Red Blgesi

a / 2 = 0.005

A1 m = 20 A2

XX = 20

z = 2.787 zhes

= 2 z = +2.787

l - a = 0.99


21/26

ktle oran nin iddia edilen deeri 0 arasndaki farkn istatistiksel olarak

anlaml olup olmad arafltrlr. rneklem hacmi yeterli byklkte olduunda

(n > 30 birim), anaktle oran hakkndaki testler daha nce aklanan anaktle

ortalamas m iin byk rneklem testlerindekilere benzer flekilde yaplr. Ancak,

test iin rneklem istatistii olarak rneklem oran p ve bu istatistiin rnekleme

dalm kullanlr. n 30 olduunda, rneklem oran pnin rnekleme dalm,

yaklaflk normal dalma sahip olur. Bu durumda, p rneklem istatistii dalm-

na iliflkin standart deerlerin dalmnn da normal olaca aktr.Anaktle oran ye iliflkin testlerde rneklem hacmi byk olduunda, stan-

dartlafltrlmfl z test istatistii kullanlr:

Burada, sp rneklem oran, pnin rnekleme dalmnn standart sapmasngsterir ve

eflitlii ile hesaplanr.

Bir ynetici, iflletmesinde toplam kalite ynetimi uygulamay dflnmek-

tedir. Eer iflilerinin en az %60 bu dflnceden yanaysa ynetici dfln-cesini uygulamaya karar verecektir. Bu amala rassal olarak 750 ifli

seilmifl ve bunlarn 495inin toplam kalite ynetimi dflncesini benim-sedii tespit edilmifltir. Ynetici, toplam kalite ynetimine gemeli midir?a = 0.01 anlam dzeyi kullanarak karar veriniz.

1. Adm: Hipotezlerin ifade edilmesiBu rnekte; sfr hipotezi, toplam kalite ynetimi uygulamasn dflnenlerin oran%60 ve daha azdr fleklindedir. Sfr hipotezi tek ynl karflt (arafltrma) hipoteziile test edilecektir. Hipotezler:

H0 : = 0.60H1 : > 0.60

fleklinde ifade edilir.

2. Adm: statistiksel testH1 : > 0 = 0.60 olduundan, H0n kabul ya da reddi iin uygulanacak test anaktle oranna iliflkin tek ynl st kuyruk testi olmaldr.

3. Adm: Anlamllk dzeyinin belirlenmesiRed blgesi, (fiekil 9.10da gsterildii) gibi oranlarn rnekleme dalmnnstkuyruunda tanmlanmfltr. Anlamllk dzeyi a = 0.01 benimsenmifltir. Testinred blgesinin oransal bykl 0.01dir.

sp =0 1 0

n

z =p 0sp


Eer rneklem oran p ileana ktle oran nin ilerisrlen 0 deeri

arasndaki farkn,istatistiksel olarak anlamlolup olmad arafltrlyorsa

ana ktle oranna iliflkintest uygulanr ve test

istatistii dir.z =p 0sp

R N E K 4

ZM


22/26

4. Adm: H0n red blgesinin belirlenmesirneklem orannn %60a eflit ve kk olmas durumunda H0 hipotezinin red-dedilmesi sz konusu deildir.

5. Adm: Test istatistiinin hesaplanmasTest istatistiinin hesaplanmas problemde belirtildii gibi, 750 iflinin 495i top-lam kalite ynetimi uygulamasndan yana dflnceye sahiptir yani rneklemoran p:

dr.

rneklem oran p = 0.66 ile anaktle oran hakkndaki hipotez deeri0 = 0.60 arasndaki fark, istatistiksel olarak anlaml bir farkllk mdr? Baflka birifadeyle rneklem oran p=0.66 olmas rnekleme hatasndan m kaynaklanmfl-tr? Bu sorunun yantlanabilmesi iin, test istatistiinin hesaplanmas gerekir.

n = 750 ifli (n 30 birim) olduu iin, rneklem orannn rnekleme dalm,normal dalm gsterir. Buna gre uygulanacak test istatistii:

olur. rnek iin, standart hata:

ve

olarak elde edilir.

Test istatistiinin dalm normal olduu ve a = 0.01 iin kritik ztablo deeri

(standart normal eri alanlar tablosundan) ztablo = 2.33 olarak belirlenir. Bu

deer standart normal dalmn oransal olarak 0.495lik alanna karfl gelmektedir.

z test istatistiinin hesaplanan deeri zhes = 3.35 , ztablo = 2.33 deerinden bykolduu (zhes = 3.35 > ztablo = 2.33) iin H0 : = 0.60 hipotezi reddedilir (dolaysy-

la H1 hipotezi kabul edilir). rneklem oran p = 0.66 deeri istatistiksel olarak an-

laml bir farkll gstermektedir; rneklem oran p = 0.66 deeri iin standart

deer zhes = 3.35 red blgesinde yer almaktadr.Bu kararn anlam: Toplam kalite ynetimini benimseyen iflinin oran

%60tan byktr; ynetici toplam kalite ynetimine geme dflncesini uy-gulamaldr.

z = 0,66 0.600.0179

= 3.35

sp =

P0 1 P0n

=0.60 0.40

750 = 0.0179

z =p 0sp

p = rn

= 495750

= 0.66

statist ik232


23/26

ZM

Pazarlama yneticisi, niversite rencileri arasnda gnde 2 ve dahafazla gazl iecek tketenlerin orannn en fazla %40 olduuna inanmak-

tadr. Eer bu doruysa ynetici, niversite rencilerine ynelik pazar-lama stratejileri uygulamaya karar verecektir. Bu amala, niversite -

rencileri arasndan rassal olarak 120 renci seilmifl ve onlarn 42sinin

gnde 2 ve daha fazla gazl iecek itii tespit edilmifltir. a = 0.05 iinynetici niversite rencilerine ynelik pazarlama stratejileri uygulamal

mdr? Karar veriniz.

1. Adm: Hipotezlerin ifade edilmesiBu rnekte gnde 2 ve daha fazla gazl iecek tketen renci orannn 0.40 vedaha fazla olduu hipotezi test edilecektir. Arafltrma hipotezi bu orann 0.40 danaz olduu fleklindedir. Buna gre hipotezler

H0 : = 0.40H1 : < 0.40

fleklinde ifade edilir.

2. Adm: statistiksel testH1 hipotezi < 0.40 fleklinde ifade edildiinden, H0n kabul ya da reddi iin uy-

gulanacak test, ana ktle oranna iliflkin tek ynl alt kuyruk testi olmaldr.

3. Adm: Anlamllk dzeyinin belirlenmesiTestin red blgesi, oranlarn rnekleme dalmnn altkuyruundadr. Anlamdzeyi a = 0.05 seildii iin, testin red blgesinin oransal bykl 0.05tir. Bu%5lik blgede yer alan rneklem oranlar H0 hipotezinin reddedilmesine nedenolacak rneklem istatistikleridir.

4. Adm: H0n red blgesinin belirlenmesi

zhes > ztablo iin H0 reddedilecektir.


0

H0

Kabul Blgesi

l - a = 0.99

H0

Red Blgesi

a = 0.01

0= 0.60 A

Zi

Zhes

= 3.35

Pi

p = 0.66

Z = 2.33

fiekil 9.10 AnaktleOran in TestSonular.

R N E K 5


24/26

5. Adm: Test istatistiinin hesaplanmas

120 rencinin iinde gnde 2 ve daha fazla gazl iecek ien renci says 42

kiflidir. tir. rneklem byk rneklemdir. rneklem oran

pnin dalm normaldir ve standart hatas,

ve test istatistii:

olarak elde edilir.

Hesaplanan z test istatistiinin deeri, zhes = 1.11 a = 0.05 anlam dzeyinde

standart normal dalm tablo deerinden (ztablo = 1.64) kk olduu iin, H0hipotezi kabul edilirse H1 hipotezi reddedilir. Burada ztablo = 1.64 deeri standart

normal dalmda 0.45lik alana karfl gelen deerdir.

Bu kararn anlam, niversite rencileri arasnda gnde 2 ve daha fazla gazl

iecek tketen rencilerin oran %40 tan az deil fazladr. Yneticinin renciler

iin ayr bir pazarlama stratejisi planlamasna gerek yoktur.

1. rneklem hacmi n 30 birim olduunda, tek anaktle ortalamasna iliflkin bir test-te, hangi test istatistii kullanlr? Nedenini aklaynz.

2. Tek anaktle ortalamasna iliflkin bir testte, ne zaman test istatistii kullanlr?

3. Anaktle oranna iliflkin bir testte, test istatistiinin kullanlmasnn koflullar

nelerdir?

z = 0.35 0.400.045

= 1.11

sp =P0 1 P0

n=

0.40 0.60

120= 0.24

120= 0.045

p = rn

= 42120

= 0.35

statist ik234

0

H0

Kabul Blgesi

H0

Red Blgesi

A p = 0.35

Zi

z = - 1.64 Zhes

= 1.11

l - a = 0.95a = 0.05

0= 0.40

qi^

fiekil 9.11 AnaktleOran in Test

Sonular.

SIRA S ZDE


25/26


Kendimizi Snayalm1. statistik dersine ait notlarn ortalamasnn, 80den b-

yk olup olmad, snanmak istenmektedir. Bu snamada

kurulacak sfr hipotezi nedir?

a. m > 80

b. m = 80

c. m 80

d. m < 81

e. m > 81

2. 0.02 anlam dzeyinde snanan bir hipotez iin, doruolan sfr hipotezini reddederek hatal karar verme olas-

l katr?

a. 0.01

b. 0.02c. 0.05

d. 0.98

e. 0.99

3. Bir hipotez snamasnda red blgesinin ynn afla-dakilerden hangisi belirler?

a. H0b. H1c. H0ve H1d. a hatas

e. b hatas

4. Bir iflyerinde, her birinde 50fler ifliden oluflan iki grup,verimlilik bakmndan karfllafltrlacaktr. Tek ynl bir hi-

potez snamas yapldnda, 0.05 olaslk dzeyinde tablo-

dan okunacak kritik deer afladakilerden hangisidir?

a. t = 2.750

b. t = 2.042

c. z = 1.960

d. z = 1.645

e. z = 1.276

5. ift ynl bir hipotez snamasnda t deeri 2.861 ise,rnek bykl ve anlam dzeyi afladakilerin hangi-

sinde birlikte verilmifltir?

a. 19 - 0.01

b. 19 - 0.02

c. 20 - 0.01

d. 20 - 0.02

e. 21 - 0.05

6. Normal dalma sahip bir ana ktlenin ortalamasnn53 olup olmadnn snanmasnda, rasgele seilen bir r-

nein ortalamas 56, standart hatann tahmini deeri 1.3

tr. Ortalamann dnflt z deerinin sanda kalanblgenin oranlanmfl alan katr?

a. 0.0107

b. 0.4893

c. 0.4898

d. 0.5000

e. 0.9893

7 ve 8. sorular afladaki bilgilere gre cevap-landrlacaktr.Bir iflletmede, retilen ampullerin 450 saat olan dayanma

sresini artrmak iin, yeni bir hammaddenin kullanm

dflnlmektedir. Bu hammadde kullanlarak 1 000 rnretilmifl ve ortalama dayanma sresi 462 saat olarak he-

saplanmfltr. Hammaddenin olumlu sonu verip vermedi-

i %95 gvenle snanacaktr.

7. Bu snamada rnekleme dalmnn red blgesi afla-dakilerden hangisidir?

a. Sa uta, %2.5 lik alan

b. Sol uta %2.5 lik alan

c. Sa uta, %5 lik alan

d. Sol uta %5 lik alan

e. Sa uta. %10 luk alan

8. Bu snamadaki alternatif hipotez nedir?a. m 450

b. m > 462

c. m = 450

d. m 462

e. m > 450

9. Boylar 170 cmden uzun olan erkeklerin arlk orta-lamasnn 72 kg olup olmad snanmak istenmektedir.

Bu snamadaki sfr hipotezi nedir?

a. m 170

b. m 72

c. m > 170d. m = 72

e. m = 170

10. Ana ktle ortalamasnn 200 olup olmadnn %99gvenle test edilmesi iin seilen 15 birimlik rassal rnek-

lemin ortalamas 160, standart sapmas 60 tr. rnek orta-

lamasna karfl gelen test istatistiinin deeri katr?

a. 1

b. 1.5

c. 2

d. 2.5

e. 3


26/26

236 statist ik

Yant Anahtar1. b

2. d

3. b

4. c

5. c

6. b

7. c

8. e

9. d

10. d

Yararlanlan KaynaklarCANKYER, Ersoy, AfiAN, Zerrin: Parametrik Olmayan

statistiksel Teknikler, Anadolu niversitesi Yayn-

lar, No:1266, Eskiflehir, 2001.

MLEK, Necla: Bilimsel Arafltrma Yntemi ve s-

tatistiksel Anlamllk Snamalar, Bilim Teknik Ya-

ynevi, stanbul, 2001.

FINK, Arlene: How to Sampling in Surveys, Sage Pub-

lications, London, 1995.

GRSAKAL, Necmi: Bilgisayar Uygulamal statistik I,

Marmara Kitabevi, Bursa, 1997.

HINKLE, Dennir E; WIERSMA, Williams; JURS, Stephen

G: Applied Statics For The Bhavioral Sciences,

Boston, 1998.

MALTHORA, Naresh K.: Marketing Research An Appli-ed Orientation, 2nd Edition, Prentice-Hall Internati-

onal Inc, New Jersey, 1996.

NETER, J, WASSERMAN, W, WHITMORE, G.A.: Applied

Statistics, Simon and Schuster, Inc, Boston, 1993.

ZMEN, A., ZDAMAR, K., ODABAfiI, Y., Hoflcan, Ya-

flar., BR, A. Atf, KIRCAALFTAR, G., UZUNER, Yl-

dz.: Sosyal Bilimlerde Arafltrma Yntemleri, TC.

Anadolu niversitesi Yaynlar, No:1081, Akretim

Fakltesi Yaynlar, No: 601, Eskiflehir, 1999.

PSKLC, Halis, KZ, Fikret: statistie Girifl, (2. Bas-

k), E.. Mhendislik Fakltesi Yayn No: 601, Egeniversitesi Basmevi, zmir, 1986.

SERPER, zer; Ayta Mustafa: rnekleme, Ezgi Kitabevi,

Bursa, 2000.

SERPER, zer:Uygulamal statistik II, Filiz Kitabevi, s-

tanbul, 1986.

TRYFOS, Peter: Sampling Methods for Applied Rese-

arch, John Wiley & Sons Inc., New York, 1996.

TULL, Donald S., HAWKINGS, Del I.: Marketing Rese-

arch Measurement and Method, 6th Edition, Mac-

Millan Publishing Company, New York, 1993.

Documents

istatistik unite09