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Definiciones:

 Ley de la tricotomía:"Para cada par de números reales a y b, es verdadera una, y solamente una, de las proposiciones:

 Propiedades de las desigualdades

Teorema1-Propiedad transitiva:

Ejemplo ilustrativo:

Teorema2-Suma:

Ejemplo ilustrativo:

Teorema3-Multiplicación por un número positivo:

Ejemplo ilustrativo:

Teorema4:

Ejemplo ilustrativo:

Los Teoremas 1 a 4 también son válidos si se cambia ">" por "<"

Teorema5: Teorema6:

"Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad, se cambia el sentido de la desigualdad".

Teorema7: Teorema8:

Teorema9: Teorema10:

Teorema11:

 Inecuaciones lineales:

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          Una inecuación es una desigualdad en la que aparece una incógnita. Si el grado de la inecuación es uno, se dice que la inecuación es lineal. Resolver una inecuación es encontrar los valores de la incónita para los cuales se cumple la desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o una unión de intervalos de números reales. El método para resolver una inecuación es similar al utilizado para resolver ecuaciones, pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades. Es conveniente ilustrar la solución de una inecuación con una gráfica. Si la solución incluye algún extremo del intervalo, en la gráfica representamos dicho extremo con un círculo en negrita; en cambio, si la solución no incluye el extremo, lo representamos mediante un círculo blanco (transparente).Ejemplo ilusrativo1:

Inecuaciones lineales que comprenden valores absolutos:

 Inecuaciones cuadráticas:Las inecuaciones cuadráticas presentan, o se pueden reducir a, las formas:

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El modo de solucionar estas inecuaciones es similar al utilizado para resolver ecuaciones cuadráticas.

Ejemplo ilustrativo2:

 Ejercicios resueltosEn los ejercicios 1 a 6 resuelva las inecuaciones propuestas y de la solución en tres formas diferentes: desigualdades, intervalos, gráfica.

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S o l u  c i o n e s

 

 

 

 

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 Método gráfico: en el proceso de factorizar una inecuación cuadrática nos resultan inecuaciones de la forma

La solución de esta inecuación también se puede hallar utilizando un método gráfico, conocido coloquialmente como el "Método de las cruces o del cementerio". La eficacia del "Método de las cruces" se manifiesta cuando deseamos resolver una inecuación de grado n > 2, o sea, cuando al factorizar nos resulta una inecuación de la forma

Procedimiento en el método gráfico

1.  Se factoriza el polinomio2.  Se organizan los factores de tal modo que la incógnita quede escrita en la parte izquierda de cada paréntesis y con signo positivo3.  Se traza una recta real por cada factor y una recta real adicional para el resultado4.  Se calculan las raíces contenidas en cada factor5.  Se ubican en cada recta real las respectivas raíces calculadas en el paso anterior6.  Se trazan rectas verticales por cada punto-raíz 7.  A la izquierda de cada raíz ubicada en su respectiva recta, se señala con un signo menos y a la derecha con un signo más8.  Aplicando la "Ley de los signos" se halla el resultado de multiplicar los signos de cada columna, dicho resultado se escribe en el lugar correspondiente de la recta real de resultados9.  Si el sentido de la inecuación es >, la solución estará constituida por todos los intervalos, en la recta resultado, señalados con el signo más; en cambio si el sentido de la inecuación es <, la solución será la unión de los intervalos señalados con el signo menos.

Ejemplo ilustrativo3:

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  Inecuaciones que contienen fracciones:El "Método de las cruces" se puede extender a la solución de  inecuaciones que contienen fracciones algebraicas. Lo primero que debemos hacer es excluir los números reales que hacen que los denominadores se anulen. Luego, pasamos todas las fracciones y demás expresiones algebraicas al miembro izquierdo de la desigualdad (en el miembro derecho queda, por supuesto 0). El próximo paso consiste en reducir las expresiones algebraicas en el miembro izquierdo a una sola fracción. Por último, después de factorizar tanto el numerador como el denominador aplicamos el "Método del cementerio", pero teniendo encuenta los factores del numerador como los del denominador.Ejemplo ilustrativo4:

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Nota: en la representación gráfica de las soluciones se pueden emplear paréntesis para indicar que el extremo del intervalo no está incluido en la solución; y se pueden usar corchetes para indicar que el extremo si está incluido. En los ejercicios resueltos que presento a continuación voy a representar gráficamente la solución usando paréntesis (, ); y corchetes [, ].

 Ejercicios resueltosResolver las siguientes desigualdades aplicando el método gráfico

S o l u c i o n e s

 

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 Gráfica de una inecuación lineal:

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Pocedimiento para trazar la gráfica del conjunto solución de una inecuación lineal

1.  Se traza la recta de la ecuación  ax + by + c = 02.  Se toma un punto de cada uno de los semiplanos determinados por la recta y se comprueba si verifican la inecuación dada3.  Se sombrea el semiplano correspondiente al punto donde se verifica la inecuación

Ejemplo ilustrativo5:

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  Inecuaciones lineales simultáneas:

Como ya vimos, el conjunto solución de cada inecuación es un semiplano. Intuitivamente colegimos que el conjunto solución del sistema es la intersección de todos los semiplanos de las soluciones particulares. Hay que hacer notar que algunas veces el conjunto solución de un sistema de inecuacones es el conjunto vacío. Para resolver un sistema de inecuaciones es recomendable utilizar el método gráfico.

Ejemplo ilustrativo6:Resolver el siguiente sistema de inecuaciones lineales:

El conjunto solución es el interior del triángulo sombreado, sin incluir ninguno de los lados. Para aclarar mejor la solución debemos calcular las coordenadas de los vértices del triángulo, lo cual se consigue resolviendo los tres sistemas:

 Gráfica de una inecuación cuadrática:

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Pocedimiento para trazar la gráfica del conjunto solución de una inecuación cuadrática

Ejemplo ilustartivo7:

 Inecuaciones simultáneas que contienen inecuaciones cuadráticas:La técnica para hallar la solución de inecuaciones en la que aparecen inecuaciones cuadráticas es similar a la que utilizamos para solucionar sistemas de dos o tres inecuaciones lineales simultáneas. Debemos trazar las gráficas de las inecuaciones cuadráticas como se mostró en el apartado anterior, y las inecuaciones lineales como ya aprendimos con anterioridad; la solución del sistema será entonces la intersección de todas las regiones que se generaron como soluciones de cada inecuación particular.

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En algunos de los ejercicios resueltos que presento a continuación se ejemplariza la forma de solucionar sistemas de inecuaciones en la que aaparecen inecuaciones cuadráticas.

 Ejercicios resueltosHalle el conjunto solución de las siguientes inecuaciones y de los siguientes sistemas de inecuaciones:

S o l u c i o n e s

 

 

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