Proyecto Alianza de Matemáticas y Ciencias del Turabo (AMCT)

INECUACIONES: solución y representaciónParte 1: Desigualdades y sus propiedades

Este Proyecto es sufragado con fondos del Programa Título II-B, “No Child Left Behind”,“Math and Science Partnership” del Departamento de Educación.

Marlio Paredes, Ph.D.14 de noviembre de 2009

Año académico, 2009-2010

Objetivos:

�Aprender a manejar correctamente laspropiedades de orden en los númerosreales.

�Representar en la recta numérica lasdiferentes clases de intervalos.

�Resolver inecuaciones lineales yrepresentar su solución geométricamente.

Objetivos:

�Interpretar la solución de una inecuación encasos prácticos. casos prácticos.

�Resolver inecuaciones lineales con valorabsoluto algebraicamente y

geométricamente.

Este taller responde a los siguientes estándares y expectativas

A.RE.7.5.1 Identifica y utiliza correctamente laterminología algebraica (variable, ecuación, inecuación,término, coeficiente, constante).

A.RE.7.8.1 Representa las soluciones de inecuacionesde la forma x >a, (x< a) y a ≤ x ≤ b (a ≥ x ≥ b) en larecta numérica.

A.RE.7.8.2 Escribe una inecuación para representar unintervalo o rayo, con o sin extremos, en una rectanumérica.

A.RE.8.3.3 Desarrolla expresiones algebraicas,ecuaciones e inecuaciones equivalentes usando laspropiedades conmutativa, asociativa, inverso,identidad y distributiva.

A.RE.8.3.4 Identifica y traduce entrerepresentaciones equivalentes de expresioneslineales, ecuaciones, inecuaciones y sistemas delineales, ecuaciones, inecuaciones y sistemas deecuaciones, por medio de representaciones verbales,tablas, gráficas y símbolos.

A.RE.8.4.2 Identifica los términos variables yconstante en una expresión lineal, en ecuaciones einecuaciones y en sistemas de ecuaciones einecuaciones.

A.MO.8.5.1 Construye una ecuación o inecuación lineal para modelar una situación del mundo real, usando una variedad de métodos y representaciones.

A.RE.8.5.2 Analiza y explica el razonamiento utilizando para resolver ecuaciones e inecuaciones utilizando para resolver ecuaciones e inecuaciones lineales.

A.RE.8.5.3 Resuelve ecuaciones e inecuaciones lineales usando símbolos, gráficas, tablas y tecnología.

A.RE.8.5.4 Resuelve ecuaciones e inecuacioneslineales con valor absoluto.

A.RE.9.3.5 Resuelve un sistema de inecuacioneslineales en dos variables y traza la gráfica de susoluciónsolución

A.RE.9.3.6 Reconoce y resuelve problemas que sepueden representar por un sistema de ecuaciones einecuaciones lineales. Interpreta la solución entérminos del contexto del problema.

El orden en los números reales:

Cuando decimos que hay un orden en el conjunto delos números reales R queremos decir que existe uncriterio para comparar números reales.

Esto nos permite decidir entre dos númerosdiferentes cual es el “menor” o el “mayor”.

Recordemos que el cero en la recta numérica divideel conjunto de los números reales en tres conjuntosdisjuntos: los reales positivos (a la derecha del cero),los reales negativos (a la izquierda del cero) y elconjunto cuyo único elemento es el cero.

diferentes cual es el “menor” o el “mayor”.

0a b

Reales positivosReales negativos

b > 0a < 0

Definición : Dados dos números reales x, yDefinición : Dados dos números reales x, ydecimos que x es menor que y si y solo si y – xes positivo.

Simbólicamente se escribe:

0>−⇔< xyyx

Similarmente, podemos decir que x es mayor que y si y solo si x – y es positivo.Simbólicamente:

0>−⇔> yxyx

Propiedad de tricotomía:Propiedad de tricotomía:

Dado un número real x una de las siguientesafirmaciones es verdadera:

x es positivo

0>x

x es negativo

0<x

x es cero

0=x

Propiedad clausurativa de los números reales positivos

000 >+⇒>∧> baba

Si sumamos dos números positivos obtenemos unnúmero positivo:

000 >⇒>∧> abba

000 >+⇒>∧> baba

Si multiplicamos dos números positivos obtenemosun número positivo:

Definición:

. ó queindicar para osEscribirem bababa =<≤

)( bababa =∨<⇔≤

.. ó

queindicar para escribimos te,Similarmen

baba

ba

=>≥

)( bababa =∨>⇔≥

Ejemplos:

53≤ 53 porque <

33≤ 33 porque =

33≥ 33 porque =

52 −≥− 52 porque −>−

También usaremos el símbolo: cba ≤≤

para indicar que: cbba ≤≤ y

)( cbbacba ≤∧≤⇔≤≤

Ejemplos:

952 ≤≤ 95y52porque ≤≤

701 ≤≤− 70y01porque ≤≤−

Intervalos:

Intervalos finitos cerrados: [ ] { }bxaxba ≤≤∈= |R,

a b

Intervalos finitos abiertos: ( ) { }bxaxba <<∈= |R,

a b

Intervalos finitos semiabiertos o semicerrados:

Intervalos:

( ] { }bxaxba ≤<∈= |R,

a b

[ ) { }bxaxba <≤∈= |R,

a b

Intervalos:

Intervalos infinitos cerrados:

( ] { }axxa ≤∈=∞− |R,

[ ) { }axxa ≥∈=∞ |R,

a

a

Intervalos infinitos abiertos:

Intervalos:

( ) { }axxa <∈=∞− |R,

a

a

( ) { }axxa >∈=∞ |R,

Ejemplo : Representar el conjunto de númerosreales x que satisface la siguiente desigualdad

27

1 <≤ x

7

0 1 2 3

2

7

4

<≤∈=

27

1|R27

,1 xx

El conjunto de los números reales seacostumbra simbolizar como unintervalo :

( )∞∞−= ,R

0

Propiedades de Orden

Propiedad Reflexiva: aa ≤

Propiedad Antisimétrica:

baabba =⇒≤∧≤ )(

Propiedad Transitiva:

cacbba ≤⇒≤∧≤ )(

Ejemplo:

5112)1 ≤∧≤− 52 ≤−⇒

11332)2 ≤∧≤ 112 ≤⇒

Otras Propiedades de las Desigualdades

dbcadcba +≤+⇒≤∧≤.1

Ejemplo:Ejemplo:

8352 ≤∧≤− 8532 +≤+−⇒

131≤⇒

La propiedad anterior implica la siguientepropiedad:

cccbcaba ≤+≤+⇒≤ porque,

cccbcaba −≤−−≤−⇒≤ porque,

Similarmente, se cumple que:

Ejemplo:

43≤− 2423 +≤+−⇒

61≤−⇒

43≤− 2423 −≤−−⇒

25 ≤−⇒

bcaccba ≤⇒>∧≤ 0.2

Ejemplo:

0352 >∧≤− 353)2( ×≤×−⇒

156 ≤−⇒

bcaccba ≥⇒<∧≤ 0.3

0352 <−∧≤−Ejemplo:

)3(5)3)(2( −≥−−⇒

156 −≥⇒

bdacdcba ≤≤⇒≤≤∧≤≤ 000.4

Ejemplo:

1020630 ≤≤∧≤≤ 106230 ×≤×≤⇒

6060 ≤≤⇒

000.5 ≥≥⇒≤≤∧≤≤ bdacdcba

Ejemplo:

025013 ≤−≤−∧≤−≤− 0)2)(1()5)(3( ≥−−≥−−⇒

0215 ≥≥⇒

03≥−x

Ejemplo: Encuentre todos los valores de x quesatisfacen la desigualdad

303303 +≥+−⇒≥− xx

Solución:

303303 +≥+−⇒≥− xx

3≥⇒ x

3

[ )∞∈⇒ ,3x

[ )∞,3 :soluciónConjunto

Ejemplo: Encuentre todos los valores de x quesatisfacen la desigualdad

125 <−<− x

Solución:

212225125 +<+−<+−⇒<−<− xx 212225125 +<+−<+−⇒<−<− xx

33 <<−⇒ x ( )3,3−∈⇒ x

3− 3

( )3,3 :soluciónConjunto −

Teorema: Para todo número real se cumpleba,

( ) ( ){ }00000 <∧<∨>∧>⇔> babaab

Ejemplo : Encontrar todos los valores de x quesatisfacen la siguiente desigualdadsatisfacen la siguiente desigualdad

0)2)(1( >−+ xx

Solución:

{ })0201()0201(0)2)(1( <−∧<+∨>−∧>+⇔>−+ xxxxxx

{ })21()21(0)2)(1( <∧−<∨>∧−>⇔>−+ xxxxxx

:21 >∧−> xx

1− 2

1− 2

( )∞∈⇒ ,2x

:21 <∧−< xx

1− 2

1− 2

( )1,−∞−∈⇒ x

Uniendo las dos partes de la solución tenemos:

( ) ( )∞∈∨−∞−∈⇒ ,21, xx

1− 2

( ) ( )∞−∞− ,21, :solución Conjunto U

Teorema: Para todo número real se cumpleba,

( ) ( ){ }00000 >∧<∨<∧>⇔< babaab

Corolario : Si a es un número real diferente decero entonces a2 > 0.

Teorema: entonces 0y 0 Si >> ba

baba

11 ≥⇔≤

Ejemplo:Ejemplo:

73≤71

31 ≥⇔

1246) +< xxa

1264) +≥ xxb

1. Resolver las siguientes inecuaciones (desigualda des)

Ejercicios

1264) +≥ xxb

13234) ≤−≤ xc

065) 2 ≤+− xxd

03

2) ≥

− xe

111

) ≥−+

x

xf

12

)−

<x

xg

2. Encontrar el dominio de la función

xxf −= 5)(

3. Encontrar el dominio de la función

6)( 2 −−= xxxg

4. Encontrar el dominio de la función

26)( xxxk −−=

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GRACIAS

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