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34
Dimensionamento del sistema di alimentazione
Obiettivo: determinare forma e dimensioni della materozza
si usa il diagramma di Caine (sperimentale)
X
Y
pezzi buoni
pezzi non buoni
Diagramma di Caine
c
b
m
g
MX
M= tempo di solidificazione relativo
volume relativom
g
VY
V=
Modulo dell’ultima parte a solidificare prima della materozza
Volume del getto
g i iM Max M=
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35
b = ritiro in fase liquida rappresenta il minimo valore di y quando x -> ∞
c = costante che dipende dalle condizioni relative di smaltimento di calore fra getto e materozza (=1 se uguali)
a = costante sperimentale dipendente dal materiale da colare ( ≈ 0.1 )
aY b
X c≥ +
−a
X cY b
≥ +−
oppureanaliticamente
0.1
1.0
8%
a
c
b
=
= =
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36
1° metodo
Fissare un certo numero di parametri
Al fine di determinare la geometria (forma e dimensioni)
Da cui ottengo il volume e la superficie di scambio della materozza
Però lo stesso modulo e lo stesso volume si possono ottenere con infinite forme e dimensioni della materozza
Costruire una formulazione analitica
2° metodo
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37
1° metodo
Esempio:
Scelgo una forma cilindrica della materozza
400
200100
Altezza delle staffe pari a 250
H
d
250 100 150H = − =
3
2
2 2
2
4 2 1 10 8 1028.5714
2 142(4 2 4 1 2 1) 10gM
⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =
⋅⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅
32 6
4 2 1 10 8 10gV = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
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38
150d =
2 2
2 2
150 1502650000
4 4
150150 150 88357
4 4
30
1.05 0.33 2.08
m
m
m
Caine
d HV
dS dH
M
X Y Y
π π
π ππ π
⋅ ⋅= = =
⋅= + = + ⋅ =
=
= → = < =
Scelgo:
200d =2
2 2
200 1504710000
4
200200 150 125664
4 4
37.5
1.31 0.59 0.4
m
m
m
Caine
V
dS dH
M
X Y Y
π
π ππ π
⋅= =
⋅= + = + ⋅ =
=
= → = > =
Scelgo:
Il procedimento è analogo nel caso in cui sussistano dei vincoli causati dagli ingombri della materozza (e quindi su d)
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39
1.25X =
6
2 2
6
0.10.08 0.48
1
3.84 10
1503.84 10 180.54
4 4
m g
YX
V Y V
d H dd
π π
= + =−
= ⋅ = ⋅
⋅ ⋅= = ⋅ → =
Scelgo:
2
2 2
190 1504250000
4
190190 150 117888
4 4
36.08
1.26 0.53 0.46
m
m
m
Caine
V
dS dH
M
X Y Y
π
π ππ π
⋅= =
⋅= + = + ⋅ =
=
= → = > =
Prendo d = 190
Oppure:
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40
( )
( )
,
,
m
g
m
g
aY b
X c
VY f geometriadelpezzo geometriadellamaterozza
V
MX f geometriadelpezzo geometriadellamaterozza
M
≥ +−
= =
= =
costruire una formulazione analitica
Vincolata da:Altezza delle staffeIngombro della materozza
Al fine di determinare:GeometriaNumeroPosizionamento
della/e materozza/e
2° metodo
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41
Caso di materozza cilindrica:
d
H
2
4m
d HV
π=
2
4m
dS dH
ππ= +
( )44
m g
m g
d HM d H M X
dd HH
M X M
⋅ = +
→ =+ = ⋅
( )
3
3 3 3
3 2
( 4 )
4
4
g
gm m
g g g
d H M X
d H M XHV VY
V V d d H V
π
+ + = = ⋅ =
⋅ ⋅
Equazione che lega le caratteristiche geometriche del getto e della materozza alle variabili di Caine
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42
Determino il punto di confine tra pezzi cattivi e pezzi buoni mettendo a sistema l’equazione precedente con quella sperimentale del diagramma di Caine
( )3 3 3
2
4
4
g
g
d H M XY
d H V
aY b
X c
π +=
⋅ ⋅
= + −
Il risultato in forma chiusa può essere trovato determinando il valore reale positivo di X in funzione di d , H , Mg , Vg
Attenzione: Mg è funzione di d
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43
Soluzione in forma chiusa di X = f [ d , H , Mg , Vg]
: : X ®c
4-1
2. c2
4+ I 4 21 3 I - 4 a d
4H2Mg
3Vg - 3 b c d
4H2Mg
3Vg - 48 a d
3H3Mg
3Vg - 36 b c d
3H3Mg
3Vg - 192 a d
2H4Mg
3Vg - 144 b c d
2H4Mg
3Vg - 256 a d H
5Mg
3Vg - 192 b c d H
5Mg
3VgMM“
KHd + 4 HL3Mg
3 J432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p + 12 d2H Mg
3p + 48 d H
2Mg
3p +64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg +b c d H
2VgM+- J- 4 I - 12 b d H
2 I - c d3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pMVg - 48 I d3 Mg3 p + 12 d
2H Mg
3p + 48 d H
2Mg
3p +64 H
3Mg
3pMI a d H2 Vg + b c d H
2VgMM3 +J432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p + 12 d
2H Mg
3p +48 d H
2Mg
3p +64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg + b c d H
2VgMN2NN1 3O+
1
3 21 3 Hd + 4 HL3 Mg3 pJ432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p + 12 d
2H Mg
3p + 48 d H
2Mg
3p + 64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg +b c d H
2VgM+- J- 4 I - 12 b d H
2 I - c d3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pMVg - 48 I d3 Mg3 p +12 d
2H Mg
3p +48 d H
2Mg
3p + 64 H
3Mg
3pMI a d H2 Vg + b c d H
2VgMM3 +J432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p + 12 d
2H Mg
3p + 48 d H
2Mg
3p +64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg +b c d H
2VgMN2NN1 3 -
1
2. c2
2- I 4 21 3 I - 4 a d
4H2Mg
3Vg - 3 b c d
4H2Mg
3Vg - 48 a d
3H3Mg
3Vg - 36 b c d
3H3Mg
3Vg - 192 a d
2H4Mg
3Vg - 144 b c d
2H4Mg
3Vg - 256 a d H
5Mg
3Vg - 192 b c d H
5Mg
3VgMM“
KHd + 4 HL3Mg
3 J432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p + 12 d2H Mg
3p + 48 d H
2Mg
3p +64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg +b c d H
2VgM+- J- 4 I - 12 b d H
2 I - c d3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pMVg - 48 I d3 Mg3 p +12 d
2H Mg
3p +48 d H
2Mg
3p + 64 H
3Mg
3pMI a d H2 Vg +b c d H
2VgMM3 +J432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p + 12 d
2H Mg
3p +48 d H
2Mg
3p +64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg + b c d H
2VgMN2NN1 3O-
1
3 21 3 Hd + 4 HL3 Mg3 pJ432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p + 12 d
2H Mg
3p + 48 d H
2Mg
3p + 64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg +b c d H
2VgM+- J- 4 I - 12 b d H
2 I - c d3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pMVg - 48 I d3 Mg3 p +12 d
2H Mg
3p +48 d H
2Mg
3p + 64 H
3Mg
3pMI a d H2 Vg + b c d H
2VgMM3 +J432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p +12 d
2H Mg
3p + 48 d H
2Mg
3p + 64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg + b c d H
2VgMN2NN1 3 -
c3
-32 b d H2 VgHd +4 HL3 Mg3 p
“ 4 . c2
4+ I 4 21 3 I - 4 a d
4H2Mg
3Vg - 3 b c d
4H2Mg
3Vg - 48 a d
3H3Mg
3Vg - 36 b c d
3H3Mg
3Vg - 192 a d
2H4Mg
3Vg - 144 b c d
2H4Mg
3Vg - 256 a d H
5Mg
3Vg - 192 b c d H
5Mg
3VgMM“
KHd +4 HL3 Mg3 J432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p + 12 d2H Mg
3p + 48 d H
2Mg
3p + 64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg +b c d H
2VgM+- J- 4 I - 12 b d H
2 I - c d3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pMVg - 48 I d3 Mg3 p + 12 d
2H Mg
3p +48 d H
2Mg
3p +64 H
3Mg
3pMI a d H2 Vg + b c d H
2VgMM3 +J432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p + 12 d
2H Mg
3p + 48 d H
2Mg
3p + 64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg +b c d H
2VgMN2NN1 3O+
1
3 21 3 Hd +4 HL3 Mg3 pJ432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p +12 d
2H Mg
3p +48 d H
2Mg
3p + 64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg + b c d H
2VgM+- J- 4 I - 12 b d H
2 I - c d3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pMVg - 48 I d3 Mg3 p + 12 d
2H Mg
3p +48 d H
2Mg
3p +64 H
3Mg
3pMI a d H2 Vg + b c d H
2VgMM3 +J432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p +12 d
2H Mg
3p +48 d H
2Mg
3p +64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg + b c d H
2VgMN2NN1 3 >,
: X ®c
4-1
2. c2
4+ I 4 21 3 I - 4 a d
4H2Mg
3Vg - 3 b c d
4H2Mg
3Vg - 48 a d
3H3Mg
3Vg - 36 b c d
3H3Mg
3Vg - 192 a d
2H4Mg
3Vg - 144 b c d
2H4Mg
3Vg - 256 a d H
5Mg
3Vg - 192 b c d H
5Mg
3VgMM“
KHd + 4 HL3Mg
3 J432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p + 12 d2H Mg
3p + 48 d H
2Mg
3p +64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg +b c d H
2VgM+- J- 4 I - 12 b d H
2 I - c d3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pMVg - 48 I d3 Mg3 p + 12 d
2H Mg
3p + 48 d H
2Mg
3p +64 H
3Mg
3pMI a d H2 Vg + b c d H
2VgMM3 +J432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p + 12 d
2H Mg
3p +48 d H
2Mg
3p +64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg + b c d H
2VgMN2NN1 3O+
1
3 21 3 Hd + 4 HL3 Mg3 pJ432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p + 12 d
2H Mg
3p + 48 d H
2Mg
3p + 64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg +b c d H
2VgM+- J- 4 I - 12 b d H
2 I - c d3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pMVg - 48 I d3 Mg3 p +12 d
2H Mg
3p +48 d H
2Mg
3p + 64 H
3Mg
3pMI a d H2 Vg + b c d H
2VgMM3 +J432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p + 12 d
2H Mg
3p + 48 d H
2Mg
3p +64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg +b c d H
2VgMN2NN1 3 +
1
2. c2
2- I 4 21 3 I - 4 a d
4H2Mg
3Vg - 3 b c d
4H2Mg
3Vg - 48 a d
3H3Mg
3Vg - 36 b c d
3H3Mg
3Vg - 192 a d
2H4Mg
3Vg - 144 b c d
2H4Mg
3Vg - 256 a d H
5Mg
3Vg - 192 b c d H
5Mg
3VgMM“
KHd + 4 HL3Mg
3 J432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p + 12 d2H Mg
3p + 48 d H
2Mg
3p +64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg +b c d H
2VgM+- J- 4 I - 12 b d H
2 I - c d3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pMVg - 48 I d3 Mg3 p + 12 d
2H Mg
3p + 48 d H
2Mg
3p +64 H
3Mg
3pMI a d H2 Vg + b c d H
2VgMM3 +J432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p + 12 d
2H Mg
3p +48 d H
2Mg
3p +64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg + b c d H
2VgMN2NN1 3O-
1
3 21 3 Hd + 4 HL3 Mg3 pJ432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p + 12 d
2H Mg
3p + 48 d H
2Mg
3p + 64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg +b c d H
2VgM+- J- 4 I - 12 b d H
2 I - c d3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pMVg - 48 I d3 Mg3 p +12 d
2H Mg
3p +48 d H
2Mg
3p + 64 H
3Mg
3pMI a d H2 Vg + b c d H
2VgMM3 +J432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p + 12 d
2H Mg
3p + 48 d H
2Mg
3p +64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg +b c d H
2VgMN2NN1 3 -
c3
-32 b d H2 VgHd +4 HL3 Mg3 p
“ 4 . c2
4+ I 4 21 3 I - 4 a d
4H2Mg
3Vg - 3 b c d
4H2Mg
3Vg - 48 a d
3H3Mg
3Vg - 36 b c d
3H3Mg
3Vg - 192 a d
2H4Mg
3Vg - 144 b c d
2H4Mg
3Vg - 256 a d H
5Mg
3Vg - 192 b c d H
5Mg
3VgMM“
KHd +4 HL3 Mg3 J432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p + 12 d2H Mg
3p + 48 d H
2Mg
3p + 64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg +b c d H
2VgM+- J- 4 I - 12 b d H
2 I - c d3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pMVg - 48 I d3 Mg3 p + 12 d
2H Mg
3p + 48 d H
2Mg
3p + 64 H
3Mg
3pMI a d H2 Vg +b c d H
2VgMM3
+J432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p + 12 d2H Mg
3p + 48 d H
2Mg
3p + 64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg +b c d H
2VgMN2NN1 3O+
1
3 21 3 Hd +4 HL3 Mg3 pJ432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p +12 d
2H Mg
3p +48 d H
2Mg
3p + 64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg + b c d H
2VgM+- J I I M I MI MM
J I M I M I MN NN >
3 2 Hd 4 HL Mg- J- 4 I - 12 b d H2 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pMVg - 48 I d3 Mg3 p + 12 d
2H Mg
3p +48 d H
2Mg
3p +64 H
3Mg
3pMI a d H2 Vg + b c d H
2VgMM3 +J432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p +12 d
2H Mg
3p +48 d H
2Mg
3p +64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg + b c d H
2VgMN2NN1 3 >,
: X ®c
4+1
2. c2
4+ I 4 21 3 I - 4 a d
4H2Mg
3Vg - 3 b c d
4H2Mg
3Vg - 48 a d
3H3Mg
3Vg - 36 b c d
3H3Mg
3Vg - 192 a d
2H4Mg
3Vg - 144 b c d
2H4Mg
3Vg - 256 a d H
5Mg
3Vg - 192 b c d H
5Mg
3VgMM“
KHd + 4 HL3Mg
3 J432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p + 12 d2H Mg
3p + 48 d H
2Mg
3p +64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg +b c d H
2VgM+- J- 4 I - 12 b d H
2 I - c d3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pMVg - 48 I d3 Mg3 p + 12 d
2H Mg
3p + 48 d H
2Mg
3p +64 H
3Mg
3pMI a d H2 Vg + b c d H
2VgMM3 +J432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p + 12 d
2H Mg
3p +48 d H
2Mg
3p +64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg + b c d H
2VgMN2NN1 3O+
1
3 21 3 Hd + 4 HL3 Mg3 pJ432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p + 12 d
2H Mg
3p + 48 d H
2Mg
3p + 64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg +b c d H
2VgM+- J- 4 I - 12 b d H
2 I - c d3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pMVg - 48 I d3 Mg3 p +12 d
2H Mg
3p +48 d H
2Mg
3p + 64 H
3Mg
3pMI a d H2 Vg + b c d H
2VgMM3 +J432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p + 12 d
2H Mg
3p + 48 d H
2Mg
3p +64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg +b c d H
2VgMN2NN1 3 -
1
2. c2
2- I 4 21 3 I - 4 a d
4H2Mg
3Vg - 3 b c d
4H2Mg
3Vg - 48 a d
3H3Mg
3Vg - 36 b c d
3H3Mg
3Vg - 192 a d
2H4Mg
3Vg - 144 b c d
2H4Mg
3Vg - 256 a d H
5Mg
3Vg - 192 b c d H
5Mg
3VgMM“
KHd + 4 HL3Mg
3 J432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p + 12 d2H Mg
3p + 48 d H
2Mg
3p +64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg +b c d H
2VgM+- J- 4 I - 12 b d H
2 I - c d3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pMVg - 48 I d3 Mg3 p + 12 d
2H Mg
3p + 48 d H
2Mg
3p +64 H
3Mg
3pMI a d H2 Vg + b c d H
2VgMM3 +J432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p + 12 d
2H Mg
3p +48 d H
2Mg
3p +64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg + b c d H
2VgMN2NN1 3O-
1
3 21 3 Hd + 4 HL3 Mg3 pJ432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p + 12 d
2H Mg
3p + 48 d H
2Mg
3p + 64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg +b c d H
2VgM+- J- 4 I - 12 b d H
2 I - c d3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pMVg - 48 I d3 Mg3 p +12 d
2H Mg
3p +48 d H
2Mg
3p + 64 H
3Mg
3pMI a d H2 Vg + b c d H
2VgMM3 +J432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p + 12 d
2H Mg
3p + 48 d H
2Mg
3p +64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg +b c d H
2VgMN2NN1 3 +
c3
-32 b d H2 VgHd +4 HL3 Mg3 p
“ 4 . c2
4+ I 4 21 3 I - 4 a d
4H2Mg
3Vg - 3 b c d
4H2Mg
3Vg - 48 a d
3H3Mg
3Vg - 36 b c d
3H3Mg
3Vg - 192 a d
2H4Mg
3Vg - 144 b c d
2H4Mg
3Vg - 256 a d H
5Mg
3Vg - 192 b c d H
5Mg
3VgMM“
KHd +4 HL3 Mg3 J432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p + 12 d2H Mg
3p + 48 d H
2Mg
3p + 64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg +b c d H
2VgM+- J- 4 I - 12 b d H
2 I - c d3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pMVg - 48 I d3 Mg3 p + 12 d
2H Mg
3p + 48 d H
2Mg
3p + 64 H
3Mg
3pMI a d H2 Vg +b c d H
2VgMM3
+J432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p + 12 d2H Mg
3p + 48 d H
2Mg
3p + 64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg +b c d H
2VgMN2NN1 3O+
1
3 21 3 Hd +4 HL3 Mg3 pJ432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p +12 d
2H Mg
3p +48 d H
2Mg
3p + 64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg + b c d H
2VgM+- J- 4 I - 12 b d H
2 I - c d3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
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2H Mg
3p +48 d H
2Mg
3p +64 H
3Mg
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2H Mg
3p +48 d H
2Mg
3p +64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg + b c d H
2VgMN2NN1 3 >,
: X ®c
4+1
2. c2
4+ I 4 21 3 I - 4 a d
4H2Mg
3Vg - 3 b c d
4H2Mg
3Vg - 48 a d
3H3Mg
3Vg - 36 b c d
3H3Mg
3Vg - 192 a d
2H4Mg
3Vg - 144 b c d
2H4Mg
3Vg - 256 a d H
5Mg
3Vg - 192 b c d H
5Mg
3VgMM“
KHd + 4 HL3Mg
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3p + 48 d H
2Mg
3p +64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg +b c d H
2VgM+- J- 4 I - 12 b d H
2 I - c d3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pMVg - 48 I d3 Mg3 p + 12 d
2H Mg
3p + 48 d H
2Mg
3p +64 H
3Mg
3pMI a d H2 Vg + b c d H
2VgMM3 +J432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p + 12 d
2H Mg
3p +48 d H
2Mg
3p +64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg + b c d H
2VgMN2NN1 3O+
1
3 21 3 Hd + 4 HL3 Mg3 pJ432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p + 12 d
2H Mg
3p + 48 d H
2Mg
3p + 64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg +b c d H
2VgM+- J- 4 I - 12 b d H
2 I - c d3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pMVg - 48 I d3 Mg3 p +12 d
2H Mg
3p +48 d H
2Mg
3p + 64 H
3Mg
3pMI a d H2 Vg + b c d H
2VgMM3 +J432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p + 12 d
2H Mg
3p + 48 d H
2Mg
3p +64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg +b c d H
2VgMN2NN1 3 +
1
2. c2
2- I 4 21 3 I - 4 a d
4H2Mg
3Vg - 3 b c d
4H2Mg
3Vg - 48 a d
3H3Mg
3Vg - 36 b c d
3H3Mg
3Vg - 192 a d
2H4Mg
3Vg - 144 b c d
2H4Mg
3Vg - 256 a d H
5Mg
3Vg - 192 b c d H
5Mg
3VgMM“
KHd + 4 HL3Mg
3 J432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p + 12 d2H Mg
3p + 48 d H
2Mg
3p +64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg +b c d H
2VgM+- J- 4 I - 12 b d H
2 I - c d3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pMVg - 48 I d3 Mg3 p + 12 d
2H Mg
3p + 48 d H
2Mg
3p +64 H
3Mg
3pMI a d H2 Vg + b c d H
2VgMM3 +J432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p + 12 d
2H Mg
3p +48 d H
2Mg
3p +64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg + b c d H
2VgMN2NN1 3O-
1
3 21 3 Hd + 4 HL3 Mg3 pJ432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p + 12 d
2H Mg
3p + 48 d H
2Mg
3p + 64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg +b c d H
2VgM+- J- 4 I - 12 b d H
2 I - c d3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pMVg - 48 I d3 Mg3 p +12 d
2H Mg
3p +48 d H
2Mg
3p + 64 H
3Mg
3pMI a d H2 Vg + b c d H
2VgMM3 +J432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p + 12 d
2H Mg
3p + 48 d H
2Mg
3p +64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg +b c d H
2VgMN2NN1 3 +
c3
-32 b d H2 VgHd +4 HL3 Mg3 p
“ 4 . c2
4+ I 4 21 3 I - 4 a d
4H2Mg
3Vg - 3 b c d
4H2Mg
3Vg - 48 a d
3H3Mg
3Vg - 36 b c d
3H3Mg
3Vg - 192 a d
2H4Mg
3Vg - 144 b c d
2H4Mg
3Vg - 256 a d H
5Mg
3Vg - 192 b c d H
5Mg
3VgMM“
KHd +4 HL3 Mg3 J432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p + 12 d2H Mg
3p + 48 d H
2Mg
3p + 64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg +b c d H
2VgM+- J- 4 I - 12 b d H
2 I - c d3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pMVg - 48 I d3 Mg3 p + 12 d
2H Mg
3p + 48 d H
2Mg
3p + 64 H
3Mg
3pMI a d H2 Vg +b c d H
2VgMM3
+J432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p + 12 d2H Mg
3p + 48 d H
2Mg
3p + 64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg +b c d H
2VgMN2NN1 3O+
1
3 21 3 Hd +4 HL3 Mg3 pJ432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p +12 d
2H Mg
3p +48 d H
2Mg
3p + 64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg + b c d H
2VgM+- J- 4 I - 12 b d H
2 I - c d3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pMVg - 48 I d3 Mg3 p + 12 d
2H Mg
3p +48 d H
2Mg
3p +64 H
3Mg
3pMI a d H2 Vg + b c d H
2VgMM3 +
J432 b2 d2 H4 I d3 Mg3 p +12 d2H Mg
3p +48 d H
2Mg
3p +64 H
3Mg
3pMVg
2- 108 I - c d
3Mg
3p - 12 c d
2H Mg
3p - 48 c d H
2Mg
3p - 64 c H
3Mg
3pM2 I a d H2 Vg + b c d H
2VgMN2NN1 3 >>
Fonderia
Tecnologia Meccanica
44
In prima approssimazione si può trascurare la variazione di Mg in funzione del diametro della materozza
Fissati i valori di Mg e Vg, il punto di intersezione di coordinate {X,Y} sarà funzione di d e H
Si ottiene:( )
3 3
2
4
1372
d H XY
d H
π+=
⋅ ⋅Famiglia di funzioni Y = fd,H [X] con 2 gradi di variabilità
δ fattore di forma della materozza cilindricaSe pongo:
( ) ( )3 33 3 3 3
3 2 2
4 1 4
4 4
g g
g g
M X d d M XY
d V V
π δ π δ
δ δ
+ ⋅ += =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
H dδ= ⋅
Famiglia di funzioni Y = fδ [X] con 1 solo grado di variabilità
Fonderia
Tecnologia Meccanica
45
3
4m
dV
π δ=
2
2
4m
dS d
ππ δ= +
4 1 4m
d HM d
d H
δ
δ
⋅= =
+ +Per la materozza:
Scegliendo un valore di δ è ora possibile mettere a sistema l’equazione di Caine con quella relativa alla geometria: ( )
33 3
2
1 4
4
g
g
M XY
V
π δ
δ
+=
⋅ ⋅
Da cui ricavo il valore di X
1 4m gM X M d
δ
δ= ⋅ =
+da cui ottengo il valore di d
H dδ= ⋅
aY b
X c= +
−
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46
Con i dati dell’esempio precedente:( )
3
3
2
0.250.146546Y X
δ
δ
+= ⋅
1.51.25 1 0.
75
0.5
δ
Scegliendo ad esempio δ = 1
30.21
0.28620.007 0.52
0.10.007 0.520.08
11.22
Y Xi
XiY
X
− = ⋅ − −
→ = − += +
−
1 4
134.98 174.9
1 4 1
174.9
m gM X M d
d d
H
δ
δ= ⋅ =
+
= → =+ ⋅
=
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47
Metodo di Bishop - Pellini
Valuta l’efficienza di una materozza in funzione del fattore di forma del getto:
- dal diagramma (a) si può calcolare Y- conoscendo Vg si può calcolare Vm- dal diagramma (b), fissato δ, si puòricavare H e D
(a)
L W
T
+
(b)
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48
Raggio d’azione delle materozze
Meccanismo di solidificazione dendritica
Nel caso delle piastre, o in getti conparete sottile, può portare a chiusuradel collegamento fra la zona che stasolidificando e la materozza, con conseguente formazione di cavità all’interno del getto
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49
Solidificazione di una piastra con effetto di estremità e materozza
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50
zona di influenza materozza
acciaio 3 - 5 sghisa 4 - 5 sbronzo 6 - 8 sleghe leggere 5 - 7 s
effetto di bordo 2.5 s
raffreddatori 50 mm
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51
PIASTREBARRE
4.5 T
T
4.5 T
2 T 2.5 T
T
4 T
2 T 2 T
T
4.5 T + 2 in
T
9 T + 4 in
4.5 T + 2 in 4.5 T + 2 in
RAFFREDDATORE
RAFFREDDATORE
T
6 T
T
da T a 4T
T
T
RAFFREDDATORE
RAFFREDDATORE
6 T
Contributo materozza: da 5T a 2T
Contributo effetto di estremità
da 1.5T a 2T
6 T + TD =6 T + T
12 T + 2T
MASSIMA DISTANZA DI ALIMENTAZIONE
D DN L
TN
NT
MASSIMA DISTANZA DI ALIMENTAZIONE
TT
T
HM
L
D D DH N L
DH = ( TH - TM ) + 4.5 in
DN = ( TH - TL ) * 3.5
DL = 3.5 TM
DN = TN - TL ) + 4.5 in
DL = 3.5 TN
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52
Esempio
18
182
D
H
δ = 1 ---> D = 5.5
5.5
9
6.25
Amax = 4.5 T = 9 > 6.25
2
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53
Altro esempio
Si ha un risparmio o un aumento di materiale (sprecato) delle materozze?
Conviene utilizzare 8 materozze piccole
max
50
50 4 30 170
4007.4 8
170
mD
A
π
=
= + ⋅ =
⋅ = →
7
400179
7
179 4 30 59
materozze
D D
π ⋅ =
= + ⋅ → =
progetto: verifica:
400
30T
∅ =
=
A parità di H la soluzione con 7 materozze verifica il diagramma di Caine in quanto ci siamo spostati in alto e a destra
2
7 7
2
8 8
71.218
8
V D
V D
⋅= =
⋅
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54
Collare di attacco delle materozze
- non strozzatura per evitare solidificazione prematura
- piccola sezione per facilitare asportazione
- superfici piane piuttosto che curve- in corrispondenza a zone da lavorare successivamente
d Lacciaio 0.4 D 0.16 Dghisa 0.66 D 0.16 Drame 0.66 D 0.35 Dleghe leggere 0.75 D 0.49 D
MATEROZZA
COLLARE
GETTO1
2
3
ORDINE DI SOLIDIFICAZIONE
1 2 3
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55
RAFFREDDATORI
interni(fusione)
esterni(sottrazione)
posizionamento
Variazione locale delmodulo termico per:- aumentare raggiod’azione delle materozze
- favorire solidificazionedirezionale
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56
Forme e posizionamento dei raffreddatori
Posizionamento
raffreddatori
Cricche a caldo dovute alla forma
non corretta dei raffreddatori
Curvatura 1
Curvatura 2
Curvatura 3
Spirale di raffreddamento
Curvatura 4
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57
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58
Raffreddatori interni
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59
Raffreddatori esterni
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60
Metodi per ridurre le dimensioni delle materozze
Raffreddatori Coibentatori
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61
Durante il raffreddamento di un gettosi generano necessariamente gradientitermici che porterebbero zone contiguead avere, allo stesso tempo, lunghezze diverse. Ciò non è possibile per la congruenza alla deformazione e quindi, per mantenere la stessa lunghezza in ogni istantequeste zone del materiale devono essereassoggettate a sollecitazioni, di compressioneo di trazione a seconda del gradiente di temperatura. Dal momento che la resistenzaalla deformazione dei materiali è modesta,ad alta temperatura, allora si possono averedeformazioni permanenti ed anche rotture.
ab
ab
ab
t1
t2
t2
l1
l2
t2 ab
σa
σb
Tensioni termiche di ritiro e residue
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62
L’elemento a si raffredda più velocemente dell’elemento b e quindi si vorrebbe contrarre maggiormente, ma ciò non e’ possibile e quindi viene sollecitato a trazione per mantenere in ogni istante una lunghezza uguale (congruente) con la parte b
Esempio 1
Esempio 2
R
La zona esterna si raffredda piùvelocemente dell’interno e quindi si vorrebbe contrarre, ma ciò non è possibile e quindi viene sollecitata a trazione per mantenere in ogni istante una lunghezza uguale (congruente) con la parte interna
ab
T °C
σc σcTensione circonferenziale
Temperatura
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63
Esempio 3
giogo
A
A
giogoB
L
a
b
a
a
Z Sez. Z
Z
La quantità di calore smaltita per conduzione è
l’abbassamento di temperatura è
( )ambienteQ S T T t∝ ⋅ − ∆
( ) ( )1 1
ambiente ambiente
QT S T T t T T t
V V Mρ
∆∆ ∝ ∝ ⋅ − ∆ = ⋅ − ∆
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64
la parte A si raffredda molto più velocemente
2
2 2 4
A
A
V a L a
S a L= =
⋅ ⋅
( ) ( )2 2
B
B
V a b L a b
S a b L a b
⋅ ⋅ ⋅= =
⋅ + ⋅ ⋅ +
2
1
B
A
M
aM
b
=
+
Nel nostro caso:
quindi
per 2B
A
Mb a
M→? ;
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65
considerando le condizioni al contorno:
B
A
T
t
Ts
Ta
t*
All’inizio A ai raffredda più di B
Poiché verso la fine del raffreddamento il ∆T di A èmolto piccolo, da un punto in poi (tempo t*) B si raffredda piùvelocemente, pur avendo modulo maggiore.
In quel momento le velocità di raffreddamento sono uguali
Alla fine del raffreddamento la due parti devono avere la stessa T
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66
Analiticamente:
y z
x
qr&
Flusso termico:
Legge di Fourier:
dove: coefficiente di conducibilità termica
varia con la temperatura
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67
Nel caso monodimensionale: da cui:
Introducendo: coefficiente globale di scambio termico
mette in relazione di proporzionalità diretta il flusso termico specifico e la differenza di temperatura
Flusso termico:
densità di flusso termico:
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68
Un corpo che si trova ad una certa temperatura è in grado di smaltire (se abbassato di temperatura fino a quella ambiente) una quantità di calore pari a:
( ) ( )a aQ c m T T c V T Tρ= ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ ⋅ −
Portando agli infinitesimi: dQ c V dTρ= ⋅ ⋅ ⋅
( )adQ k S T T dt= ⋅ ⋅ − ⋅accoppiando con l’equazione di Fourier:
( )ac V dT k S T T dtρ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅si ha l’equazione differenziale:
( )a
dT k Sdt
T T c Vρ= ⋅ ⋅
− ⋅la soluzione può essere trovata per separazione di variabili:
1
M
dipendono solo dalla temperatura
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69
( )( )
0
sT t
Ta
h TdTdt
T T M= ⋅
−∫ ∫
Condizioni al contorno:0
0s
a
t t T T
t T T
= = =
→ ∞ =
Integrando:
Trascurando la variazione di k, c e δ con la temperatura
( )0
lnST t
a T
hT T t
M− = ( ) ( )ln ln
S a a
hT T T T t
M− − − =
( )( )
lnS a
a
T T ht
T T M
−=
−
( )( )
ht
S a M
a
T Te
T T
−=
− ( ) ( )h
tM
a S aT T T T e−
− = −
( )h
tM
S a aT T T e T−
= − +In definitiva:
( )( )
a
dT Sh T dt
T T V= ⋅ ⋅
−
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70
( )
( )
A
B
ht
M
A S a a
ht
M
B S a a
T T T e T
T T T e T
−
−
= − +
= − +
Per le due barre le temperature sono:
Mentre le velocità:
( )
( )
A
B
ht
MAA S a
A
ht
MBB S a
B
T hT T T e
t M
T hT T T e
t M
−
−
∂= = − −
∂
∂= = − − ∂
&
&
le velocità di raffreddamento sono uguali e la differenza di temperatura è massima quando: A B
T T=& &
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71
Da cui esiste t* tale che: ( ) ( )* *
A B
h ht t
M M
S a S a
A B
h hT T e T T e
M M
− −
− − = − −
* *1 1A B
h ht t
M M
A B
e eM M
− −
=
ln
*1 1
B
A
A B
M
Mt
hM M
=
−
*
*
B
A
ht
M
B
ht
A M
M e
Me
−
−− = ln * *B
A B A
M h ht t
M M M
= − − −
B
A
T
t
Ts
Ta
t*
AT&
BT&
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72
In un generico istante:
( )( )
A S A
B S B
L T T
L T T
α
α
∆ = −
∆ = −
l
l
' 'A B A B
∆ − ∆ = ∆ + ∆l l l l
A
B
A
B
A∆l
B∆l
'A
∆l 'B
∆l
L
Senza congruenza
Con congruenza'
'
A AA
B BB
L E
L E
σε
σε
∆= =
∆ = =
l
l
( ) ( ) A BS A S B
L T T L T T L LE E
σ σα α− − − = + ( ) ( )B A A B
LL T T
Eα σ σ− = +
Approssimazione: α indipendente dalla temperatura, ipotesi di elasticità
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73
A
A
giogoB
( ) ( )B A A BE T Tα σ σ− = +
2 2A A B BZ Zσ σ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
Aσ
Bσ
Aσ
ZA
ZA
ZBPer l’equilibrio delle forze:
2
BA B
A
Z
Zσ σ= ⋅
⋅da cui: ( )
2
2 2
B B AA B B B B
A A
Z Z Z
Z Zσ σ σ σ σ
+ ⋅+ = ⋅ + = ⋅
⋅ ⋅
( )2
2
AB B A
B A
ZE T T
Z Zσ α
⋅= −
+ ⋅( )
2
BA B A
B A
ZE T T
Z Zσ α= −
+ ⋅
Approssimazione: E indipendente dalla temperatura
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74
B
A
T
t
Ts
Ta
t*
σ
σA
tt*
σB
Le temperatureTA e TB vanno secondo curve esponenziali
Le tensioni σA e σB vannosecondo le curve accanto(circa)
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75
2
A
B
Z a
Z a b
=
= ⋅ 2 2
A B
B A
Z b
Z a
σ
σ= =
⋅
2 1A
B
b
a
σ
σ> → >
B AT T>
Si ha: Allora:
se:
ma:
si può avere cedimento di A più freddo ma più sollecitato oppure il cedimento di B, più caldo e meno sollecitato
Supponiamo che alle temperature rispettive, si superi il carico di snervamento in una barra,ad esempio A (in trazione)
si possono avere due casi:
σA > σr
σr > σA > σs
Rottura del pezzo
Tensione residua
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76
nel secondo caso, la lunghezza di A al t* è maggiore del previsto, quindi, aspettandosi ancora un certo ∆T fino alla Ta e quindi un corrispondente ∆l, a Ta la barra A sarà più lunga del previsto. Ciò non èpossibile per la presenza dei gioghi e quindi necessariamente A sarà sollecitata a compressione. Per l’equilibrio, corrispondentemente, B sarà sollecitata a trazione. Ovviamente, σA(residua) ≠ σB
(residua)
σ
t
σB
σ’r
σ’’r
σAσA
(residua)
σB(residua)
Il limite di snervamento cresce al decrescere della temperatura
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77
Ad esempio la barra B che si trova sempre ad una temperatura più alta avendo un limite di snervamento piùbasso potrebbe cedere anche a tensioni più basse e quindi prima della A
Nella realtà sono diversi i casi in cui si ha rottura o snervamento
Ciò dipende da:
il materiale ha un comportamento plastico per gran parte del raffreddamento
la tensione di snervamento cambia sia per la barra A che la B poiché si trovano a temperature sempre differenti
In genere è difficile prevedere se e quale barra subirà snervamento o se addirittura lo subiranno entrambe.
Ad esempio la barra A raggiunge lo snervamento che però gradualmente si alza con l’abbassarsi della temperatura più velocemente che per B; quest’ultima, non avendo ancora raggiunto il t*, si trova in una fase crescente del modulo della tensione raggiungendo anch’essa lo snervamento.
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78
Metodi per ridurre le tensioni di ritiro e residue
- progettazione del prodotto
- processo- sistema di formatura
- raffreddatori
- coibenti
- trattamenti termici
raccordisezionimoduli termici
controllo velocità diraffreddamento e quindi dei gradientidi temperatura
ricotturanormalizzazione
- design for casting