Upload
natalija-karlovic
View
43
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
Kineticka energija krutogtijela
• kineticka energija krutog tijela u nepomicnomsustavu
T =∑
n
mn
2
(
~V + ~Ω ×~rn
)2(1)
• brzina translatornog gibanja krutog tijela ovisi oizboru ishodišta sustava vezanog uz tijelo
• svojstva tromosti krutog tijela najjednostavnije jeopisivati u sustavu s ishodištem u centru mase
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• u izraz za kineticku energiju uvodimo koordinatetocaka s obzirom na centar mase
~rn = ~a + ~ρn (2)
x ′
y ′
z ′
x
y
z
~R
~a~rn
~ρn
O′
O
C.M.
Pn
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• uvrstimo jedn. (2) u izraz za kineticku energiju
T =∑
n
mn
2
[
~V + ~Ω × ~a + ~Ω × ~ρn
]2
=∑
n
mn
2~V 2 (3)
+∑
n
mn
2
(
~Ω × ~a)2
(4)
+∑
n
mn
2
(
~Ω × ~ρn
)2(5)
+∑
n
mn~V ·(
~Ω × ~a)
(6)
+∑
n
mn~V ·(
~Ω × ~ρn
)
(7)
+∑
n
mn
(
~Ω × ~a)
·(
~Ω × ~ρn
)
(8)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• promotrimo pojedine doprinose uzimajuci uobzir
• ukupnu masu tijela∑
n
mn ≡ µ
• definiciju centra mase∑
n
mn~ρn = 0
• prvi clan, jedn. (3)
∑
n
12
mn~V 2 =
12µ~V 2 (9)
• drugi clan, jedn. (4)
∑
n
mn
2
(
~Ω × ~a)2
=12µ(
~Ω × ~a)2
(10)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• treci clan, jedn. (5)
(
~Ω × ~ρn
)2=∑
k
(
~Ω × ~ρn
)
k
(
~Ω × ~ρn
)
k
=∑
k
∑
ij
Ωiρn,jǫijk
(
∑
pq
Ωpρn,qǫpqk
)
=∑
ijpq
ΩiΩpρn,jρn,q
∑
k
ǫijkǫpqk
=∑
ijpq
ΩiΩpρn,jρn,q (δipδjq − δiqδjp)
=∑
i
Ω2i ~ρ
2n −
∑
ij
ΩiΩjρn,jρn,i
=∑
ij
ΩiΩj
(
δij~ρ2n − ρn,iρn,j
)
(11)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• treci clan
∑
n
mn
2
(
~Ω × ~ρn
)2=∑
n
mn
2
∑
ij
ΩiΩj(
δij~ρ2n − ρn,iρn,j
)
(12)• cetvrti clan, jedn. (6)
∑
n
mn~V ·(
~Ω × ~a)
= µ~V ·(
~Ω × ~a)
(13)
• peti clan, jedn. (7)
∑
n
mn~V ·(
~Ω × ~ρn
)
= ~V ·
(
~Ω ×∑
n
mn~ρn
)
= 0 (14)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• šesti clan, jedn. (8)
∑
n
mn
(
~Ω × ~a)
·(
~Ω × ~ρn
)
=(
~Ω × ~a)
·
(
~Ω ×∑
n
mn~ρn
)
= 0 (15)
• korisno je primjetiti da drugi clan možemonapisati i u sljedecem obliku
µ
2
(
~Ω × ~a)2
=µ
2
∑
ij
ΩiΩj
(
δij~a2 − aiaj
)
(16)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• kineticka energija krutog tijela
T =12µ~V 2 (17)
+ µ~V ·(
~Ω × ~a)
(18)
+µ
2
∑
ij
ΩiΩj(
δij~a2 − aiaj)
+∑
n
mn
2
∑
ij
ΩiΩj
(
δij~ρ2n − ρn,iρn,j
)
(19)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
Tenzor tromostitenzori
• tenzor tromosti krutog tijela s obzirom na centarmase definiramo na sljedeci nacin
Ic.m.ij =
∑
n
mn
(
δij~ρ2n − ρn,iρn,j
)
(20)
• kinticka energija krutog tijela glasi
T =12µ~V 2 + µ~V ·
(
~Ω × ~a)
+12
∑
ij
IijΩiΩj (21)
gdje smo definirali
Iij = Ic.m.ij + µ
(
~a2δij − aiaj
)
(22)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• možemo pokazati da je Iij tenzor tromosti sobzirom na tocku O
IOij ≡
∑
n
mn
(
~r2n δij − rn,i rn,j
)
(23)
• prvi clan
~r2n =
(
~a + ~ρn
)2= ~a2 + 2~a · ~ρn + ~ρ2
n (24)
• drugi clan
rn,irn,j = (ai + ρn,i) (aj + ρn,j)
= aiaj + ρn,iaj + aiρn,j + ρn,iρn,j (25)
• u sumi po svim cesticama linearni doprinosikomponenti vektora ~ρn išcezavaju (definicijacentra mase)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• od jedn. (23) preostaje
IOij =
∑
n
mn
(
~ρ2nδij + ~a2δij − ρn,iρn,j − aiaj
)
=∑
n
mn(
~ρ2nδij − ρn,iρn,j
)
+∑
n
mn
(
~a2δij − aiaj
)
= Ic.m.ij +
∑
n
mn
(
~a2δij − aiaj
)
(26)
• prethodni izraz zovemo Steinerov teorem iliteorem o paralelnim osima
• Steinerov teorem povezuje tenzor tromosidefiniran s obzirom na centar mase i tenzortromosti definiran s obzirom na proizvoljnu tockuO
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• u izrazu za kineticku energiju
T =12µ~V 2 + µ~V ·
(
~Ω × ~a)
+12
∑
ij
IijΩiΩj (27)
prvi clan potjece od translacije, treci od rotacije,a drugi clan je mješovit
• jedn. (27) se pojednostavljuje u dva slucaja• prvi slucaj je kada os rotacije prolazi kroz centar
mase• vektor ~a tada išcezava, a zajedno s njim i
miješani clan u jedn. (27)• translatorni i rotacioni doprinos u kinetickoj
energiji su u tom slucaju separirani
• drugi slucaj je ako tocka O miruje (~V = 0)• tada preostaje samo treci clan u jedn. (27)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
Svojstva tenzora tromosti
• tenzor tromosti možemo napisati kao matricu
Iij =
Ixx Ixy Ixz
Iyx Iyy Iyz
Izx Izy Izz
(28)
• pojedini clanovi tenzora• Ixx =
∑
n mn(y2n + z2
n )• Iyy =
∑
n mn(x2n + z2
n )• Izz =
∑
n mn(x2n + y2
n )• Ixy = Iyx = −
∑
n mnxnyn• Ixz = Izx = −
∑
n mnxnzn• Iyz = Izy = −
∑
n mnznyn
• tenzor tromosti je simetrican
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• ako tijelo možemo tretirati kao kontinuirano,sumacija po tockastim masama prelazi uintegraciju po volumenu
mn → ρ(~r )d3r i∑
n
· · · →
∫
· · ·d3r (29)
• izraz za tenzor tromosti u tom slucaju glasi
Iij =
∫
ρ(~r )(
~r2δij − rirj)
(30)
gdje je ρ(~r ) gustoca tijela
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• poseban slucaj je dvodimenzionalno tijelo (tankaploca)
• koordinatni sustav orjentiramo tako da ploca ležiu xy ravnini
• u smjeru osi z nema mase pa za gustocu tijelavrijedi
ρ(x , y , z) = σ(x , y)δ(z) (31)
• dijagonalni doprinosi tenzora inercije
Ixx =
∫
σ(x , y)(y2 + z2)δ(z)dV =
∫
σ(x , y)y2dxdy
Iyy =
∫
σ(x , y)(x2 + z2)δ(z)dV =
∫
σ(x , y)x2dxdy
Izz =
∫
σ(x , y)(x2 + y2)δ(z)dV
=
∫
σ(x , y)(x2 + y2)dxdy
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• u slucaju dvodimenzionalnog tijela smještenog ixy ravnini vrijedi teorem o okomitim osima
Izz = Ixx + Iyy (32)
• promotrimo još slucaj tijela cija se masa nalazina pravcu (tanki štap)
• koordinatni sustav orjentiramo tako da štap ležiduž osi z
• u smjerovima x i y nema mase pa za gustocuštapa vrijedi
ρ(x , y , z) = λ(z)δ(x)δ(y) (33)
• nedijagonalni elementi tenzora inercijeišcezavaju, kao i dijagonalni element Izz
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• preostaju samo dva dijagonalna clana
Ixx = =
∫
λ(z)(y2 + z2)δ(x)δ(y)dV =
∫
λ(z)z2dz
Iyy =
∫
λ(z)(x2 + z2)δ(x)δ(y)dV =
∫
λ(z)z2dz
• tanki štap ima pet stupnjeva slobode umjestošest jer rotacija oko osi z gubi smisao
• u slucaju tanke ploce koristili smo plošnugustocu
σ =masa tijela
površina tijela(34)
• u slucaju tankog štapa koristili smo linijskugustocu
λ =masa tijeladužina tijela
(35)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
Glavne osi tenzoratromosti
• simetrican tenzor drugog reda pogodnimizborom koordinatnih osi možemo uvijek prevestiu dijagonalni oblik
• pretpostavimo da u pocetnom sustavu xyztenzor tromosti ima nedijagonalne elemente
• tražimo ortogonalnu transformaciju koja nasdovodi u sustav x ′y ′z ′ u kojem je tenzor tromostidijagonalan
• traženu transformaciju možemo opisatiortogonalnom matricom a
x ′
i =∑
k
aikxk (36)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• komponente tenzora se transformiraju kaoprodukti komponenti vektora
I ′ij =∑
mn
aimajnImn =∑
mn
aimaTnj Imn (37)
• matricni zapisI ′ = aIaT (38)
• matrica a je ortogonalna pa vrijedi aT a = 1• pomnožimo jedn. (38) matricom aT s lijeve
straneIaT = aT I ′ (39)
• matrica I ′ je prema pretpostavci dijagonalna• oznacimo elemente matrice I ′ s λ1, λ2, λ3
• oznacimo j − ti stupac matrice aT s v (j)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• jedn. (39) poprima oblik∑
k
Iikv (j)k = λjv
(j)i =⇒ Iv (j) = λjv (j) (40)
• problem se sveo na rješavanje jednadžbesvojstvenih vrijednosti
• svojstveni vektori v (1), v (2) i v (3) su stupcimatrice aT pa vrijedi
aTki = v (i)
k =⇒ aik = v (i)k (41)
• jedinicni vektori u novom sustavu
~e′
i =∑
k
aik~ek =∑
k
v (i)k
~ek (42)
• svojstveni vektori v (i) definiraju jedinicne vektorenovog sustava
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• osi sustava u kojem je tenzor inercijedijagonalan zovemo glavne osi tromosti
• momente tromosti oko tih osi zovemo glavnevrijednosti tenzora tromosti
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
Primjer: fizikalno njihalo
• promatramo tanku plocu koja se njiše uvertikalnoj ravnini
• ploca je obješena u tocki O• centar mase ploce udaljen je za l od objesišta
x ′
y ′
c.m.
lθ
O′
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• želimo naci kineticku energiju ploce• trebamo izabrati ishodište sustava vezanog uz
plocu• postoje tri mogucnosti odabira ishodišta
• objesište njihala• centar mase ploce• proizvoljna tocka na ploci ili izvan nje
• izracunati cemo kineticku energiju za sva trislucaja i pokazati da su rezultati ekvivalentni
• osi fiksiranog sustava oznacimo s x ′y ′, a osisustava vezanog uz plocu s xy
• s O′ oznacimo ishodište fiksiranog sustava kojese poklapa s objesištem ploce
• udaljenost od objesišta do centra mase iznosi l
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• sustav fiksiran uz plocu prvo postavimo tako damu je ishodište u objesištu, a os y prolazi krozcentar mase
x ′
y ′
xy
c.m.
lθ
O′
• komponente kutne brzineploce
Ωx = Ωy = 0 Ωz = θ (43)
• ishodište sustava vezanoguz plocu miruje
Vx = Vy = Vz = 0 (44)
• kineticka energija ima samo rotacioni doprinos
T =12
IO′ θ2 (45)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• postavimo sada sustav vezan uz plocu tako damu je ishodište u centru mase ploce
x ′
y ′
x
y
c.m.
lθ
O′
• komponente kutne brzineploce
Ωx = Ωy = 0 Ωz = θ (46)
• ishodište sustava vezanoguz plocu više ne miruje
Vx = l θ Vy = Vz = 0(47)
• kineticka energija ima translatorni i rotacionidoprinos, ali ne i miješani jer je ishodište ucentru mase
T =12
Ml2θ2 +12
Ic.m.θ2 (48)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• kao zadnji primjer postavimo sustav vezan uzplocu tako da mu se ishodište ne poklapa ni sobjesištem, ni s centrom mase
x ′
y ′
c.m.
l
O
r
~V
xy θ
~aα
• komponente vektora ~a usustavu xy
ax , ay , az = 0 (49)
• brzina ishodišta O: |~V | = r θ
• komponente vektora ~V usustavu xy
Vx = r θ cos α (50)
Vy = −r θ sin α (51)
Vz = 0 (52)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• za kutnu brzinu i u ovom slucaju vrijedi
Ωx = Ωy = 0 Ωz = θ (53)
• primjenimo opceniti izraz za kineticku energiju
T =12µ~V 2 + µ~V ·
(
~Ω × ~a)
+12
∑
ij
IijΩiΩj (54)
• translatorni doprinos
T1 =12µr2θ2 (55)
• rotacioni doprinos
T3 =12
IO θ2 (56)
• IO je moment tromosti oko osi z kroz tocku O• tocka O nije u objesištu pa se moment tromosti
razlikuje od onog u prvom slucaju
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• promotrimo mješoviti clan
~Ω × ~a = θ~k ×(
ax~i + ay
~j)
= θ(
ax~j − ay
~i)
(57)
T2 = µ~V ·(
~Ω × ~a)
= µr θ2(
cos α~i − sin α~j)
·(
ax~j − ay
~i)
= −µr θ2 (ay cos α + ax sin α) (58)
• kineticka energija ploce
T =12µr2θ2 − µr θ2 (ay cos α + ax sin α) +
12
IO θ2
(59)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• korištenjem Steinerovog teorema možemopokazati da su kineticke energije u prvom idrugom slucaju jednake
• moment inercije oko osi z koja prolazi krozobjesište povezan je s momentom inercije krozcentar mase
IO′ = Ic.m. + µl2 (60)
• kineticka energija koju smo izracunali u prvomslucaju
T =12
IO′ θ2 =12
Ic.m.θ2 +
12µl2θ2 (61)
poklapa se s izrazom koji smo dobili u drugomslucaju
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• možmo pokazati i da se kineticke energije udrugom i trecem slucaju poklapaju
x ′
y ′
c.m.
l
O
rx
y
α
ax
ay
900 − α
α
sin α =ax
r=⇒ ax = r sin α
cos α =l + ay
r=⇒ ay = r cos α − l
IO = Ic.m. + µ(a2x + a2
y)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• kineticka energija u drugom slucaju
T =12µr2θ2 +
12
IO θ2 − µr θ2(ax sin α + ay cos α)
• drugi clan
T2 =12
IOθ2 =12
(
Ic.m. + µa2)
• treci clan
T3 = −µr θ2(r sin2 α + r cos2 α − l cos α)
= −µr2θ2 + µlr cos αθ2 (62)
• kineticka energija
T =12µr2θ2 +
12
Ic.m.θ2 +
12µ(a2
x + a2y )
− µr2θ2 + µlr cos αθ2
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• kineticka energija
T = −12µr2θ2 +
12
Ic.m.θ2 +
12µ(a2
x + a2y )
+ µlr cos αθ2
• prvi clan
r2 = (l + ay )2 + a2
x = l2 + a2y + a2
x + 2lay
• kineticka energija
T = −12
l2θ2 − µlay θ2 +
12
Ic.m.θ2 + µlr cos αθ2
= −12
l2θ2 − µlr cos αθ2 + µl2θ2
+12
Ic.m.θ2 + µlr cos αθ2
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• kineticka energija se poklapa s energijomizracunatom u prvom slucaju
T =12
Ic.m.θ2 + µl2θ2
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
E-L jednadžbe gibanja
• da bi napisali Lagrangian krutog tijela, osimkineticke, treba nam i potencijalna energija
• dovoljno je ukljuciti vanjski potencijal jer seunutrašnje sile poništavaju
• vanjski potencijal je suma doprinosa svih cestica
U =∑
n
U(~r ′n) (63)
• ukupni Lagrangian krutog tijela
L =12µ~V 2+µ~V ·
(
~Ω × ~a)
+12
∑
ij
I ′ijΩiΩj −U (64)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• Lagrangian ovisi o položaju (radij-vektor ~R) iorjentaciji (vektor ~φ) tijela
• da bi izveli jednadžbe gibanja moramo variratiLagrangian po ta dva vektora
• ako nema dodatnih ogranicenja na gibanje radise o šest skalarnih varijabli
• vremenska ovisnost parametara ~V , ~Ω i ~a odnosise na fiksirani sustav
• vektorima ~V i ~Ω mogu se mijenjati po iznosu ismjeru, a vektor ~a samo po smjeru
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• prvo variramo Lagrangian po ~R ≡ ~V
∂L
∂~V= µ~V + µ
(
~Ω × ~a)
(65)
• deriviramo gornji izraz po vremenu
ddt
∂L
∂~V= µ~V + µ
ddt
(
~Ω × ~a)
(66)
• sada variramo Lagrangian po ~R
∂L
∂~R= −
∑
n
limd~R→0
U(~r ′n + d ~R) − U(~r ′n)
d ~R
= −∑
n
∂U∂~r ′n
=∑
n
~fn (67)
gdje je ~fn vanjska sila na n-tu cesticu
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• ukupna sila na kruto tijelo je suma sila na svecestice
~F =∑
n
~fn (68)
• jednadžba gibanja glasi (uz ~P ≡ µ~V )
~P + µddt
(
~Ω × ~a)
= ~F (69)
• sada variramo Lagrangian po ~φ ≡ ~Ω
∂L∂Ωk
=12
∑
j
(
I ′jk + I ′kj
)
Ωj + µ(
~a × ~V)
k
=∑
j
I ′kjΩj + µ(
~a × ~V)
k(70)
• iskoristili smo simetricnost tenzora inercije
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• deriviramo prethodni izraz po vremenu
ddt
∂L∂Ωk
=∑
j
I ′kjΩj + µddt
(
~a × ~V)
k(71)
• jedn. (71) možemo napisati u jednostavnijemobliku
ddt
∂L
∂~Ω= I ′ ~Ω + µ
ddt
(
~a × ~V)
(72)
• variramo Lagrangian po zakretu ~φ
∂L
∂~φ= −
∂U
∂~φ= −
(
∂U∂φx
~i +∂U∂φy
~j +∂U∂φz
~k)
(73)
• koristimo pravilo složenog deriviranja
∂U∂φx
=∑
n
∂U∂~r ′n
∂~r ′n∂φx
= −∑
n
~fn ·∂~r ′n∂φx
(74)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• diferencijal vektora ~r ′n
d~r ′n = d ~R + d~φ ×~rn (75)
= d ~R +(
dφx~i + dφy
~j + dφz~k)
×~rn (76)
• parcijalna derivacija vektora ~r ′n po kutu zakreta
∂~r ′n∂φx
=~i ×~rn (77)
• parcijalna derivacija potencijala po kutu zakretaφx
∂U∂φx
= −∑
n
~fn ·∂~r ′n∂φx
= −∑
n
~fn ·(
~i ×~rn
)
(78)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• iskoristimo formulu za mješoviti produkt
~fn ·(
~i ×~rn
)
=~i ·(
~rn ×~fn)
(79)
• vratimo se parcijalnoj derivaciji potencijala
∂U∂φx
= −∑
n
~i ·(
~rn ×~fn)
(80)
= −∑
n
(
~rn ×~fn)
x(81)
=⇒∂U
∂~φ= −
∑
n
~rn ×~fn (82)
• definicija zakretne sile na n−tu cesticu
~nn = ~rn ×~fn (83)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• ukupna zakretna sila
~N =∑
n
~nn =∑
n
~rn ×~fn (84)
• parcijalna derivacija Lagrangiana po kutuzakreta ~φ
∂L
∂~φ= −
∂U
∂~φ= ~N (85)
• Euler-Lagrange jednadžba
I ′ ~Ω +ddt
(
~a × ~P)
= ~N (86)
• promotrimo jednadžbu za komponentu k
∑
j
I ′kjΩj +ddt
(
~a × ~P)
k= Nk (87)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
Kotrljanje po podlozi
• kotrljanje po podlozi primjer je neholonomneveze jer postavlja uvjet na vremensku ovisnostvarijabli
• brzina gibanja tijela ovisi o brzini promjene tockekontakta
R
θ
~V
~V
• brzina centra valjkajednaka je obodnoj brzini
V = r θ
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• promotrimo prvo slucaj homogenog valjka• centar mase valjka nalazi se u središtu presjeka
valjka• kineticka energija valjka je suma doprinosa
translacije i rotacije
T = Ttr + Trot =12µ~V 2 +
12
Iθ2 =12µR2θ2 +
12
Iθ2
• moment inercije homogenog valjka
I =12µR2
• kineticka energija homogenog valjka koji sekotrlja po podlozi
T =34µR2θ2
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• promotrimo sada slucaj valjka koji jenehomogen po kružnom presjeku
• centar mase se više ne nalazi u središtu Opresjeka valjka, nego je udaljen za a od njega
R
θ
~V
~V
~ac.m.
O
• oznacimo s IO moment tromosti oko središtavaljka
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• os rotacije više ne prolazi kroz centar mase pakineticka energija ima tri doprinosa
T =12µV 2 + µ~V ·
(
~Ω × ~a)
+12
IOΩ2 (88)
• znamo da vrijedi
Ω ≡ θ i V = Rθ (89)
• promotrimo mješoviti clan
~V ·(
~Ω × ~a)
= ~Ω ·(
~a × ~V)
(90)
• vektorski produkt
~a × ~V = aV sin (θ +π
2)(−~Ω0) = −aV cos θ~Ω0
(91)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• mješoviti clan u kinetickoj energiji
T2 = −µaV cos θθ = −µaR cos θθ2 (92)
• moment inercije s obzirom na tocku O
IO = Ic.m. + µa2 (93)
• prvi clan kineticke energije
T1 =12µV 2 =
12µR2θ2 (94)
• treci clan kineticke energije
T3 =12
IOΩ2 =12
(
Ic.m. + µa2)
θ2 (95)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• ukupna kineticka energija nehomogenog valjka
T =12µ[
R2 − 2aR cos θ + a2]
θ2 +12
Iθ2 (96)
• sada racunamo gravitacijsku potencijalnuenergiju valjka
R
θ~a
c.m.
~rdm
O~g
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• sumiramo po svim infinitezimalnim doprinosimavaljka
• tijelo je kontinuirano pa suma prelazi u integral
U = −g∫
ρ(~r)~k ·~rd3r = −g~k ·
∫
ρ(~r )~k ·~rd3r
(97)• iskoristimo definiciju centra mase
~a =1µ
∫
ρ(~r )~rd3r (98)
• potencijalna energija valjka
U = −µg~k · ~a = −µga cos θ (99)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• Lagrangian valjka
L =12µ[
R2 − 2aR cos θ + a2]
θ2 +12
Ic.m.θ2
+ µga cos θ (100)
• jednadžba gibanja
ddt
(
∂L
∂θ
)
−∂L∂θ
= 0 (101)
• derivacije potrebne za jednadžbu gibanja
∂L∂θ
= µaR sin θθ2 − µga sin θ (102)
∂L
∂θ= µ
[
R2 − 2aR cos θ + a2]
θ + Ic.m.θ (103)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• deriviramo drugi clan po vremenu
ddt
∂L
∂θ= µ
[
R2 − 2aR cos θ + a2]
θ + Ic.m.θ
+ 2aµR sin θθ2 (104)
• jednadžba gibanja
µ
[
Ic.m.
µ+ R2 − 2aR cos θ + a2
]
θ + µaR sin θθ2
+gµa sin θ = 0 (105)
• Lagrangian ne ovisi eksplicitno o vremenu pa jeenergija konstanta gibanja
ddt
(T + U) = 0 (106)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaTenzor tromosti
Svojstva tenzora tromosti
Glavne osi tenzoratromosti
Primjer: fizikalno njihalo
Lagrangeovejednadžbe gibanjaE-L jednadžbe gibanja
Primjer: kotrljanje popodlozi
• energija nehomogenog valjka koji se kotrlja
E =µ
2
[
Ic.m.
µ+ R2 − 2aR cos θ + a2
]
θ2−µga cos θ
(107)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Tenzoripovratak
• skup velicina Ii1i2···in naziva se tenzor ranga n akovrijedi
I ′i1i2···in =∑
j1j2···jn
ai1j1ai2j2 · · ·ain jn Ij1j2···jn (108)
tj. ako se transformiraju kao produktikomponenti vektora
• promotrimo kao primjer kako se transfomiratenzor inercije
• tenzor inercije u pocetnom sustavu
Iij =∑
n
mn
(
~r2n δij − rn,i rn,j
)
(109)
Dinamika gibanjakrutog tijela povratak
• ortogonalnom transformacijom prelazimo u novisustav
r ′i =∑
k
aik rk (110)
• tenzor inercije u novom sustavu
I ′ij =∑
n
mn
(
~r2n δij − r ′n,i r
′
n,j
)
(111)
• duljina vektora je nepromjenjena (~r2n ) jer je
transformacija ortogonalna
I ′ij =∑
n
mn
(
~r2n δij −
∑
k
aik rn,k
∑
l
ajl rn,l
)
(112)
• transformacija je ortogonalna pa vrijedi∑
k
aikajk = δij =⇒ δij =∑
kl
aikajlδkl (113)
Dinamika gibanjakrutog tijela povratak
• uvrstimo izraz (113) u jedn. (112)
I ′ij =∑
kl
aikajl
∑
n
mn(
~r2n δkl − rn,k rn,l
)
=∑
kl
aikajl Ikl (114)
• vidimo da se komponente Iij doistatransformiraju u skladu s relacijom (108)
Dinamika gibanjakrutog tijela Primjer: rotacija u ravnini
x1
x2
~e1
~e2
x ′
1
x ′
2
~e′
1~e′
2 φ
φ
• tenzor u sustavu x1x2
oznacimo s Iij• tenzor u sustavu x ′
1x ′
2oznacimo s I ′ij
• elementi tenzora u rotiranom sustavu
I ′ij =∑
kl
aikajl Ikl (115)
Dinamika gibanjakrutog tijela • kao primjer možemo izracunati element I ′11
I ′11 =∑
kl
a1ka1l Ikl
I ′11 = a11a11I11 + a11a12I12
+ a12a11I21 + a12a12I22
I ′11 = cos2 φI11 + 2 sin φ cos φI12 + sin2 φI22
(116)