Sveuilite u ZagrebuRudarsko-geoloko-naftni fakultet MEHANIKAKONTINUUMAIREOLOGIJALidijaFrgiMladen HudecZagreb, 2006.ISADRAJstr.OZNAKE1. UVOD.............................................................................................................................11.1. Pojamkontinuuma.................................................................................................. 11.2. Mjerne jedinice........................................................................................................ 31.3. Skalari i vektori....................................................................................................... 32. TEORIJANAPREZANJA............................................................................................ 52.1. Tenzor naprezanja....................................................................................................72.2. Veze izmeu unutranjih sila i komponenata tenzora naprezanja........................... 92.3. Simetrija tenzora naprezanja................................................................................. 102.4. Statikiuvjetiravnotee...................................................................................... 112.5. Transformacija tenzora naprezanja........................................................................132.6. Glavna naprezanja................................................................................................. 152.7. Dioba tenzora naprezanja na komponente............................................................. 203. TEORIJADEFORMACIJA........................................................................................ 243.1. Tenzor deformacija................................................................................................ 253.2. Glavnedeformacije...............................................................................................293.3. Oktaedarskedeformacije...................................................................................... 303.4. Ravninsko stanje deformacija................................................................................313.5. Brzinadeformacije............................................................................................... 323.6. Brzina prirasta naprezanja..................................................................................... 324. TEORIJA ELASTINOSTI......................................................................................... 334.1. Veza izmeu komponenata tenzora naprezanja i komponenata tenzoradeformacija................................................................................................................... 334.2. Ravninskostanjenaprezanja............................................................................... 394.3. Ravninskostanjedeformacija..............................................................................405. REOLOKIMODELII MODELIRANJE............................................................... 41II5.1. Materijali idealnih svojstava..................................................................................425.1.1. Idealno elastian Hooke-ov materijal..........................................................425.1.2. Savreno plastian materijal Saint Venant-ov materijal.......................... 445.1.3.Viskozan fluid.............................................................................................. 455.2. Reoloki modeli s dva elementa............................................................................ 485.2.1. Viskoelastian Kelvin-Voigtov materijal....................................................485.2.2. Viskoelastian Maxwell-ov fluid................................................................ 505.2.3. Elastoplastian materijal............................................................................. 535.3. Sloeni reoloki modeli vie elemenata.................................................................545.3.1. Bingham-ov model...................................................................................... 545.3.2. Lethersich-ov model....................................................................................555.3.3. Schwedoff-ov model................................................................................... 575.3.4. Burgerov model...........................................................................................586. KONSTITUTIVNI MODELI KONTINUUMA...........................................................616.1. OSNOVNE PRETPOSTAVKE ELASTINOG MODELA................................ 626.2. OSNOVNE POSTAVKE ELASTOPLASTINOGMODELA.......................... 686.2.1. Kriterij plastinosti...................................................................................... 696.2.2. Pravilo teenja............................................................................................. 716.2.3. Pravilo ovravanja................................................................................... 716.2.4. Kriterij loma................................................................................................ 736.2.4.1. Von Misesov kriterij loma.............................................................736.2.4.2. Trescin kriterij loma...................................................................... 736.2.4.3. Mohr - Coulombov kriterij loma................................................... 736.2.4.4. Drucker-Pragerov kriterij loma..................................................... 756.2.4.5. Lade-Duncanov kriterij loma........................................................ 766.2.4.6. Hoek-Brownov kriterij loma......................................................... 776.2.5. Elastoplastini modeli tla............................................................................ 786.3. OSNOVE ELASTOVISKOPLASTINOGMODELA...................................... 81LITERATURA..........................................................................................................................84IIIOZNAKE A povrina presjeka [m2]aiprojekcija ubrzanja [m/s2].eienergija esticarrazmak izmeu esticarintenzitet radijus vektorarradijus vektorF intenzitet sileFvektor sileA iF,projekcija vektora sile na koordinatne osi Nnormalna sila T2, T3 transverzalne sile u smjeru osi 2 i 3Mtmoment uvijanja (torzije)M2,M3momenti savijanja oko osi 2, odnosno 3.nnormala ravnine presjekaS+ i S-privlana i odbojna sila izmeu esticaix projekcija radijus vektora na koordinatne osi

, A iprikloni kut vektora prema koordinatnoj osiijtenzor deformacijaijtenzor brzina deformacijaijtenzor naprezanjaijtenzor brzine prirasta naprezanja.normalno naprezanje [N/m2]posmino naprezanje [N/m2]vektor punog naprezanjai projekcija vektora punog naprezanja na koordinatne osigustoa [kg/m3]Znaenje ostalih simbola, vezano za posebna poglavlja rada, objanjeno je u samom tekstu gdje su spomenute oznake i navedene.IV11. UVODLiteraturaizpodrujapodzemne i nadzemne eksploatacije mineralnih sirovina teiz podruja izgradnje podzemnih prostorija i tunela, isto kao i literatura iz podruja inenjerske geologije i hidrogeologije, poziva se na postavke i rezultate mehanike kontinuuma i reologije. Isto se tako takvi podaci mogu nai u literaturi o buenjima na veliku dubinu i primjenama tekuinasizraenimreolokimsvojstvima unaftnom rudarstvu. Sadraj i nivopredavanja prilagoen je predznanju sluaa iz podurja matematike i fizikih disciplina.Sadraj predavanja je u detaljima ogranien na vrsta tijela, iako daje neke od opih relacija zajednikih i za vrsta tijela i za fluide.1.1. Pojamkontinuumavrsta tijela i fluidi imaju korpuskularnu strukturu, to znai da se sastoje od molekula, atoma i subatomskih estica koje su meusobno manje ili vie pokretljive. Izmeu estica postoje interkorpuskularne sile elektromagnetskog karaktera, a kojih intenzitet ovisi o meusobnim razmacima estica.Postoji posebna grana mehanike kontinuuma - mikroreologija - koja objanjava fenomenepromjenevolumenai oblikatijela, polazei odstvarnemikrostrukturei zakona nuklearne fizike. Normalnomjerljiveveliineutehnici dalekoprelazedimenzijeunutar kojihtreba voditi rauna o utjecajima pojedinih estica, pa se promjene formi i volumena mogu promatrati makroskopski, prihvaajui materijukaoneprekidnusredinu. Govori setadao mehanici neprekidnih(neprekinutih) sredinaili mehanici kontinuumai njezinoj tehnikoj primjeni makroreologiji ili jednostavno reologiji. U irem smislu tu je obuhvaena i teorija elastinih tijela kao poseban sluaj, isto kao i hidromehanika.Naziv reologija izveden je iz grkog glagola(reo) to znai tei ili protjecati.Mehanika kontinuuma prihvaa ponaanje materijala kao injenicu, kao odgovor materijalanavanjskeutjecaje, bezpokuajaobjanjenja, ali natemeljueksperimentalnih podataka. Stvaraju se tzv. matematski modeli mehanikih karakteristika materijala. Da bi se mogla uoiti uzrono posljedina veza vanjskih utjecaja i promjene oblika neka poslui (opet matematski!) model koji pretpostavljaju Grimsehl i Tomaschek za kristalinine strukture. U takvim tijelima elementarne estice osciliraju oko nekog ravnotenog poloaja.2Pretpostavljaju se, naime, privlane i odbojne sile izmeu dviju estica, koje u svakom momentumorajubiti uravnoteene. Zaprivlanusiluizmeudvijuesticavrijedi zakon slian opem zakonu gravitacije:22 1re eS+(1.1)pri emu su:e1 , e2 - energije obiju esticar - razmak izmeu estica.Odbojne sile rastu bre uz smanjivanje razmaka meu esticama, po zakonu:2. n je gdje;re eSn2 1>(1.2)Slika 1.1Na slici 1.1 prikazane su obje krivulje, od kojih jedna daje veliinu privlanih a druga odbojnih sila izmeu estica. Krivulja R prikazuje ovisnost rezultirajue sile meu esticama, kao razliku navedenih krivulja S+ i S- , ovisno o njihovom meurazmaku.Rezultirajuoj krivulji mogu se dati dva objanjenja:a) ako se izvana djeluje na esticu tlanomsilom, onda par estica reagira smanjivanjem meurazmaka,3b) za razmicanje meurazmaka, tj. poveanje r, potrebna je vlana sila. Postoji granini meurazmak iza kojeg dolazi do destrukcije materijala.Kao zakljuak treba napomenuti da na svaki vanjski utjecaj materija odgovara promjenommeurazmaka meu elementarnimesticama, a to daje ukupnu promjenu geometrijske forme, odnosno deformaciju tijela.U mehanici kontinuuma se rjeavaju problemi prostornog djelovanja sila na prostorna tijela, to je vezano uz dosta sloenu matematsku aparaturu. Znatno pojednostavljenje moe kod toga znaiti sistematizacija oznaavanja raznih veliina i pojednostavljenje simbolike.1.2. Mjerne jediniceSve fizike veliine moemo mjeriti, tj. odrediti njihovu veliinu bez obzira na to radi li seoduini, masi, vremenu, toplini itd. Kaorezultat mjerenja dobivasenekabrojna vrijednost (intenzitet)koji jevezanuzdefinicijumjernejediniceukojoj setaj intenzitet izraava npr.:masa m=3,62 [kg](kilograma)vrijeme t=12[s](sekunda)duina d = 2,88 [m] (metara).Obvezuje nas Meunarodni sustav mjernih jedinica (System International; SI), te e sve veliine biti uvijek oznaavane u obveznim jedinicama. 1.3. Skalari i vektoriNekim veliinama dovoljno je odrediti njihov intenzitet, kao npr.:temperaturaT = 293 [K](stupnjeva Kelvina).Istovremeno poznajemo, naroitou mehanici, veliine kojima uz intenzitet treba odrediti i hvatite i smjer u kojem djeluje ili orijentaciju. Takve orijentirane veliine su npr.: sile, brzine, ubrzanja, radiusvektori i sl.Vektore simboliziramo naznakom vektoraradiusvektorrili rsilaFiliF.4Slika 1.2Kodraunskihoperacija s vektorima koristimoprojekcijuvektora naproizvoljno odabrani koordinatni sustav. U mehanici kontinuuma je, radi jednostavnijeg pisanja formula, relacija i uvjeta, uveden koordinatni sustav s indeksiranim osima. Koordinatne osi geometrijskog prostora oznaavaju se: x1, x2, i x3 odnosno (1), (2) i (3). Tako se radiusvektor r razlae na projekcije, prema slici 1.2.1,2,3 icos i ir x (1.3)Analogno se vektor sile AFmoe razloiti na projekcije.... C B, A, A 1,2,3 icos F FA , i A A , i (1.4)Veizovoga primjeravidi se ekonominostoznaka i pisanja izraza.Obratneveze, pretvaranjevektoraizraenogpomoukoordinataznai izraunavanjeintenzitetavektorai priklonih kutova izmeu vektora i koordinatnih osi:2ix r i = 1,2,3 (1.5)rxii cos (1.6)Predznacima cosinusa odreen je potpuno poloaj (orijentacija) vektora u prostoru.52. TEORIJANAPREZANJAAko se tijelo optereeno vanjskim silama FA, FB,FC,FDi FE nalazi u stanju ravnotee, mora i svaki dio toga tijela biti uravnoteen. Ako ravninom presijeemo tijelo na dva dijela (sl. 2.1 a) i u presjeenoj ravnini nadomjetavamo djelovanje jednog (odbaenog) dijela na drugi unutranjim silama LRi DR(sl. 2.1 b) Slika 2.1Svakaodtihsilaje oiglednojednaka rezultanti svihsila koje djelujunadrugi odijeljeni dioC B A LF F F R + + (2.1)E D DF F R + (2.2)Uobiajenajesistematizacijakojasesastoji upostavljanjulokalnogkoordinatnog sustava3 2 1x x Ox uteitupresjekakojimoemoorijentiratikao nasl. 2.1c.Redukcijom (paralelnim pomakom) sileLR u ishodite O dobivamo dinamu sila: glavni vektor sila Pi vektor glavnog momentaM, pa projiciranjemvektora na lokalne osi dobivaju se komponente:6k T j T i N R P3 2L + + (2.3)k M j M i M M3 2 t+ + (2.4)pri emu jeNnormalna sila (komponenta usmjerena u smjeru vanjske normalen ravnine presjekaT2, T3 komponente transverzalne sile u smjeru osi 2 i 3M1 = Mtmoment uvijanja (torzije)M2,M3momenti savijanja oko osi 2, odnosno 3.Slika 2.2Uklasinoj otpornosti materijala dajuseovisnosti raspodjele unutranje silepo povrini poprenih presjeka za tijela koja imaju oblik tapova. Uopemsluaju tijela podjednakih dimenzija treba zamisliti da se unutranja sila RL dijeli na neki nain po povrini zamiljenog presjeka, pa na dio povrine A otpada dio rezultante R. Smanjujui dimenziju A do vrlo malih dimenzija dA (slika 2.2) moe se za svaku toku presjeka doi do granine vrijednostidAR dARA lim0;1]1

2mN(2.5)7Dobivena veliina naziva se punim ili totalnim naprezanjem, to je sila na jedinici unutarnje povrine. Dimenzija naprezanja slijedi iz te definicije i osnovna jedinica prema SI mjerama je [N/m2]. U rjeavanju tehnikih problema primjenjujusei [kN/m2] ili [MN/m2]. Principijelnojepitanjedali jeformalnapretvorbal [N/m2]=l[Pa](Pascal)adekvatnaza tehnikeprimjene. Izmeutlakatekuinekoji semjeri paskalimai barimai naprezanjau vrstim tijelima postoji fizika razlika gotovo ista kao i izmeu energije koja se mjeri Joulima (1 J = 1 Nm) i statikog momenta koji se isto tako dobiva kao Nm. Zbog toga je uvijek razumljivije ostati kod dvostrukih dimenzija: sila/povrina [N/m2].Vektor punog naprezanjatreba podijeliti na dvije komponente (slika 2.3), za koje e se vidjeti da drugaije utjeu na materijal, i to komponentu koja ima smjer vanjske normale n i komponentu koja djeluje u ravnini presjene plohe. Definira se: = normalno naprezanje (sigma) i = posmino naprezanje (tau).Slika 2.3Komponentatotalnognaprezanjausmjerunormalenapresjenuravninusmatrase pozitivnom ako je vlana tj. usmjerena u smjeru vanjske normale n, odnosno negativnom ili tlanom ako je suprotnog smjera.2.1. Tenzor naprezanjaRadi jednostavnosti a i jednoobraznosti, uvodi se desni koordinatni sustav O x1 x2 x3 i iz napregnutog tijela izdvaja mali kvadar ije su stranice paralelne s koordinatnim ravninama, 8Slika 2.4Na kvadru se mogu uoiti tri ravnine ije su normale3 2 1 n i n ; n paralelne s odgovarajuimkoordinatnimosima. Naravnodanasvakoj odtihravninadjelujurazliiti vektori totalnog naprezanja, oznaeni s 2 1, i3 . Projiciranjem tih vektora u smjerove odabranog koordinatnog sustava dobivamo komponente koje dobivaju po dva indeksa, kako jetoprikazanonaslici 2.4. Kodtogauvijekprvi indeksoznaavaplohu(zapravosmjer vanjske normale), a drugi smjer u koji se projicira. Iz slike se vidi da komponente koje imaju po dva ista indeksa11,22, 33 predstavljaju normalna naprezanja, a komponente12, 13, 21, 23, 31, 32 posmina naprezanja.U tehnikim primjenama je uobiajeno razliito oznaavanje i , dok se u teorijskoj mehanicikontinuumaupotrebljava ili jedna ili druga oznaka za obje vrste naprezanja. Sve komponente moemo jednostavno oznaiti kao: iji = 1,2,3 j = 1,2,3iupisati u matricu:ij111]1

33 32 3123 22 2113 12 11 (2.6 ) Ukupnostanjenaprezanja u jednoj toki napregnutog tijela opisuje 9 komponenata. Takav skup komponenata predstavlja tenzor drugog reda, budui da se svaka od komponenata definira s dvije oznake (indeksa) kojegnazivamo tenzorom naprezanja.92.2. Veze izmeu unutranjih sila i komponenata tenzora naprezanjaU analizi naprezanja sluimo se esto metodom presjeka. U opem se sluaju u teitu zamiljenog presjeka nekog tijela javljadinama sila koja se sastoji od glavnog vektora sila P i vektora glavnog momenta M(slika 2.5). Pri tome se normala ravnine presjeka n podudara sa osix.Projekcije glavnogvektora silaPu smjeru koordinatnih osi su uzduna sila Ni poprene sile T2 i T3, a vektora glavnog momenta M, moment uvijanja (torzije) Mt i momenti savijanja M2i M3.Na elementarnoj povrini dA ucrtane su komponente naprezanja. Kako je normalno naprezanje dano izrazomdAdAdN11 11dN (2.7 )ukupna normalna sila N dobiva se integriranjem po povrini presjeka: A AdA dN N11(2.8)Poprene sile dobivaju se iz definicije posminog naprezanjadAdAdTdT (2.9)pa integriranjem po povrini presjeka dobivamo A AdA dT T12 2 2(2.10) A AdA dT T13 3 3(2.11)Slika 2.510Kako je elementarni moment savijanja dM jednak umnoku elementarne sile 11dA i njezinog kraka oko osi moemo napisatidA z dM MA A11 2 2 (2.12)odnosno dA y dM MA A11 3 3 (2.13)U ovom sluaju je moment elementarne sile oko osi x3 suprotan smjeru djelovanja momenta M3 pa odatle negativan predznak ispred integrala. Za moment uvijanja moemo napisati da je jednak( ) A At tdA dA y dM M12 13z - (2.14) 2.3. Simetrija tenzora naprezanjaElementarni kvadar sa slike 2.6 moe se na primjer projicirati na ravninu O x1 x2Slika 2.611Na suprotnimstranicama djeluju istoimene komponente tenzora naprezanja, ali suprotnog smjera, budui da su normale na te plohe suprotne. Ako se zanemare diferencijalne veliine vieg reda moe se uvjet zbroja momenata oko ishodita MO = 0 napisati u obliku:02) ( ) (22 2 21 1 1 1212 22 2 22 1 11 1 112 + + dx A dx AdxA A A Adx(2.15)Nakon kraenja ostaje:2 2 21 1 1 12dx A dx A (2.16)Kako jeA1 = dx2 dx3(2.17)A2 = dx1 dx3(2.18)slijedi da je:12 = 21(2.19)Ovobi se moglopokazati za sve parove posminih naprezanja, pa se Zakono jednakosti posminih naprezanja moe openito napisati:ij = ji(2.20)Tenzornaprezanjajedaklesimetrian, budui dasulanovi sjednakimindeksima jednaki. Treba uoiti da se vektori iji ji na jednom bridu elementa ili sustiu ili razilaze.Koritenjem tri uvjeta ravnotee tipa Mi = 0 smanjen je broj u principu nepoznatih komponenatatenzoranaprezanjas 9nasvega6, ali jepri tomeostalosamotri uvjeta ravnotee koji se moguupotrijebiti za pronalaenje 6preostalihkomponenata. Problem raspodjele naprezanja u tijelu ostaje statiki neodreen!2.4. StatikiuvjetiravnoteeU openitom sluaju na element kontinuuma djeluju sile vezane na masu elementa. To su u prvom redu gravitacijske sile ili inercijske sile. Radi toga moraju komponente tenzora naprezanja dobiti neki prirast ij ako se koordinata xi promijeni za dxi (vidi sliku 2.7).Uvjet ravnotee F1 = 0moe se napisati u obliku:0 ) ( ) ( ) (1 3 31 31 31 2 21 21 21 1 11 11 11 + + + + + + V f A A A (2.21)Kada se pokrate istoimeni lanovi suprotnih predznaka, ostaje:01 3 31 2 21 1 11 + + + V f A A A (2.22)12Slika 2.7Treba uvrstiti da je:A1 = dx2 . dx3A2 = dx1 . dx3A3 = dx1 . dx2iV= dx1 . dx2 . dx3 (2.23)111111dxx (2.24)222121dxx (2.25)333131dxx (2.26)Konano, kad se pokrati jednadba s dx1.dx2.dx3 dobije se konani uvjet za F1 = 0:01313212111 + + + fx x x(2.27)Ovdje je f1 projekcija sile teine ili inercije na os (1), daklef1 = ia (2.28)pri emu je: = gustoa [kg/m3] (2.29)ai = projekcija ubrzanja [m/s2]. (2.30)13Dobiveni uvjeti ravnotee mogu se napisati i u opem obliku:01313212111 + + + fx x x(2.31)02323222121 + + + fx x x(2.32)03333223113 + + + fx x x(2.33)Postoji i mogunost skraenogpisanja. Deriviranje ponekoj koordinati moe se naznaiti samo zarezom:jijj ijx ,(2.34)U tenzorskom raunu vrijedi pravilo da ponavljanje indeksa znai sumiranje po tom indeksu. Na taj nain moe se dobiveni uvjet ravnotee napisati u posve skraenom obliku:0, +i j ijf i = 1,2,3 j = 1,2,3 (2.35)Usvakoj odtrijujednadbi ravnoteezasmjer "i"postojetri lanasraznim"j". Ukupno se mogu napisati samo tri jednadbe ravnotee.2.5. Transformacija tenzora naprezanjaOdabrane geometrijske koordinatne osi su posve proizvoljne, pa mora postojati mogunost daseisti tenzor prikaei ukoordinatomsustavukoji jerotiranuodnosuna prvobitno odabrani. Zadatak se moe rijeiti tako da se nau komponente naprezanja na nekoj proizvoljnoorijentiranojplohi,polazei od komponenata tenzora izraenom za koordinatni sustav O x1 x2 x3. Zamislimo elementarni kvadar stranica dx1 dx2 dx3 presjeen ravninom kroz tri vrha, tako da se dobije tetraedar (slika 2.8).Slika 2.814Normala ravnine presjeka n zatvara sa smjerovima koordinatnih osi kutove koji su oznaeni na slici s i . Ako se kosa povrina tetraedra oznai s A, onda su trokutne povrine na koordinatnim ravninama projekcije te kose povrine:; cos A A1 1 ; cos A A2 2 ; cos A A3 3 (2.36)Radi kraeg pisanja moe oznaiticosi = aipa se moe napisati:i ia A A (2.37)Naravno da pri tome suma kvadrata kosinusa mora zadovoljavati uvjet:1232221 + + a a a (2.38)Da bi mogli dobitinaprezanje na kosoj povrini, treba iz uvjeta ravnotee tetraedra nai vektortotalnognaprezanjanakosoj plohi. Nalijevoj polovini slike2.9pokazanesu komponente tenzora naprezanja izraene u koordinatnomsustavuOx1x2x3, a na desnoj komponente vektora totalnog naprezanja 1, 2 i 3 u smjeru tih koordinatnih osi.Slika 2.9Akozatetraedar, bezdjelovanjavolumenskihsila, postavimouvjet ravnoteenpr. 0 A A A A 0 F1 3 31 2 21 1 11 1 + (2.39) Kada se skrati s A dobije se komponenta totalnog naprezanja: 3 31 2 21 1 11 1a a a + + (2.40) Iz uvjeta F2 = 0 odnosno F3 = 0 dobivaju se preostale dvije komponente punog naprezanja:3 32 2 22 1 11 2a a a + + (2.41) 3 33 2 23 1 13 3a a a + + (2.42) 15Dobiveneprojekcijemoguseteksadarazloiti nakomponentukojajeusmjeru normale ravnine presjeka nn3 3 2 2 1 1 nna a a + + (2.43)Veliinu posmine komponentenmmoglo bi se dobiti iz rezultirajueg vektora naprezanja na kosoj plohi:2 2nn nm (2.44)pri emu je232221 + + (2.45)Sdrugestranemoemokomponente naprezanjanakosoj plohi podijeliti udvije komponente, odkojihjejednausmjerunormalen, adrugausmjeruosilokomitena normalu. Orijentacija osilmora zadovoljavati uvjet ortogonalnosti s osin, zbroj kvadrata kosinusa mora biti jednak jedinici.1232221 + + b b b (2.46)Uvjet ortogonalnosti izraen preko kosinusa vektora normale glasi:0 b a b a b a3 3 2 2 1 1 + + (2.47)Ako u ishoditu, u kojem je zadan tenzor naprezanja s komponentama izraenim preko osii, j,k,postavimo novi koordinatni sustav n, l, m, koji je takoer ortogonalan, moemo kosinuse smjera izmeu osi n, l, m i osi i, j, k oznaiti s ai , aj , ak ,bi , bj , bk ,ci , cj , ckKoristei pravilo sumacije izvode se opi izrazi:j i ij nna a (2.48)j i ij nlb a (2.49)j i ij nmc a (2.50)2.6. Glavna naprezanjaOigledno je da intenziteti komponenata tenzora naprezanja izraeni u raznim (ortogonalnim) koordinatnimsustavimadajurazliitevrijednosti zapojedinekomponente. Traei ekstremna normalna naprezanja dolazi se do uvjeta da takva naprezanja postojena tri 16meusobno okomite osi g1, g2, g3a da pri tome na plohama paralelnim s tim koordinatnim osima nema posminih naprezanja. Dobiva se tzv. sekularna jednadba koja naravno ima tri rjeenja. Rjeenja tejednadbe suglavnanaprezanja1, 2i 3koja morajuzadovoljiti jednadbu:1,2,3 g 0 III II Ig2g3g (2.51)Kod toga su I ,II i III invarijante tenzora naprezanja i iznose:33 22 11 + + I(2.52)231223212 11 33 33 22 22 11II + + (2.53)111]1

33 32 3123 22 2113 12 11det III (2.54)Simboldetoznaava vrijednost determinante matrice komponenata tenzora naprezanja. Vrijednost invarijanti neovisi oprethodnomizborupoloajakoordinatnihosi, nego o stvarnim svojstvima tenzora naprezanja u promatranoj toki.Vrijednosti glavnihnaprezanjadobijuserjeenjemkubnejednadbe, onasuuvijek realna, a smjerove iz uvjeta za svaku od glavnih osi:1232221 + + a a a (2.55)te iz uvjeta da je projekcija totalnog naprezanja na dvije koordinatne osi jednaka projekciji glavnog naprezanja.( ) 0 a a a3 13 2 12 1 g 11 + + (2.56)( ) 0 a a a3 23 2 g 22 1 21 + + (2.57)Uvrtavajui redom glavna naprezanja g = 1, 2 i 3 dobivaju se kosinusi smjerova svih triju glavnih osi.Grafikisemogu odnosinaprezanja na raznim plohama povuenim kroz istu toku napregnutog tijela prikazati pomou Mohrovih krunica naprezanja. Za prostorno stanje mogu se nacrtati tri krunice kojih su promjeri jednaki razlikama glavnih naprezanja, a sredita lee u aritmetikim sredinama parova glavnih naprezanja, slika 2.10.17Slika 2.10Smisao traenja glavnih naprezanja je u pronalaenju ekstremnih naprezanja u jednoj toki. Tenzor naprezanja koji je prvobitno bio definiran komponentamaiju koordinatnom sustavui, j,kdefiniraseprekoglavnih naprezanja1= maks,2 i3= min,uzzadane odgovarajue smjerove glavnih osi. Prikazi istog tenzora naprezanja vidljivi su iz slike 2.11.Slika 2.11Prema definiciji na ravninama glavnih (normalnih) naprezanja nema posminih naprezanja.18IzMohrovekrunicemoesevidjeti danajveaposminanaprezanjanastajuna ravninamakojesravninamaglavnihnaprezanjazatvarajukut/4=45o.Mogusenaitri prizme kvadratnogpresjeka naijimravninama djelujuekstremna posmina naprezanja. Intenzitet tih posminih naprezanja jednak je polovini razlike glavnih naprezanja, a na istoj plohi djeluje normalno naprezanje koje je jednako polovini zbroja istih dvaju glavnih naprezanja.2 2

2

2

2 2 2 1l2 1l3 2n3 2n3 1m3 1 +++m(2.58)Pronalaenje glavnih naprezanja i njihovih smjerova je znatno jednostavnije u sluaju ravninskogstanjanaprezanja. Tadaje33,=13=23=0pasekularnajednadbadobiva kvadratnu formu, ija su rjeenja:212222 11 22 112 , 12 2 + ,_

t+ (2.59)Smjer glavnih naprezanja dan je izrazom:22 111222 tg (2.60)Mohrove krunice svode se na samo jednu, kako je to prikazano na slici 2.12.Slika 2.1219Elementu s komponentama naprezanja zadanimukoordinatnomsustavuOx1x2 odgovaranaistommjestuelement koji jenapregnutglavnimnaprezanjima, astranicemu imaju orijentaciju .Istovremeno se moe nacrtati i element optereen najveim posminim naprezanjima (sl. 2.13).Slika 2.13Svatri elementaoptereenasujednimistimtenzoromnaprezanjakoji jepri tome prikazan u tri razliita koordinatna sustava.Tenzor naprezanja moe se izraziti na razne naine, a da pri tome to predstavlja jedno isto stanje naprezanja u promatranoj toki napregnutog tijela. Ovo je u principu isto kao da vektor sile projiciramo u razne koordinatne sustave. Tenzor naprezanja je izraen komponentama u proizvoljno odabranom koordinatnom sustavuOx1x2x3. Pronalaenjemintenzitetaismjera glavnihnaprezanjataj se istitenzor izraavakomponentama usmjerovima glavnihosi naprezanjag1g2g3. Moese, dakle, izjednaiti:111]1

111]1

32133 32 3123 22 2113 12 110 00 00 0

g ij(2.61)Za ravninsko stanje naprezanja ostaju samo komponente:1]1

1]1

1]1

mmaks m21g22 2112 11 00

maksij(2.62)202.7. Dioba tenzora naprezanja na komponenteIako to do sada nije bilo naglaeno, jasno je da se tenzori mogu zbrajati i oduzimati, pa prema tome i dijeliti na komponente. Pri tome komponente obaju tenzora moraju biti izraene u istim koordinatama:' ' 'ij ij ij t (2.63)Bilo kakav tenzor naprezanja moe se podijeliti na svoju simetrinu i nesimetrinu ili antimetrinu komponentu, samo su nazivi neto drugaiji:- sferna ili izotropna komponenta tenzora naprezanja predstavlja stanje naprezanja kod kojeg su glavna naprezanja u sva tri smjera ista (simetrino stanje naprezanja). To je, naprosto, kvazihidrostatsko ili izotropno stanje, kod kojega nema nikakvih posminih naprezanja ni na kojoj kosoj ravnini,- devijatorska komponenta sadri ostatak tenzora (nesimetrino ili antimetrino stanje naprezanja).Glavnanaprezanjausmjerovimaosi g1, g2i g3dijele se, dakle, nasfernuSgli devijatorsku Dg komponentu:1,2,3 g + DgSg g (2.64)111]1

+111]1

111]1

SgSgSgSgSgSgg3213210 00 00 00 00 00 00 00 00 0DiSiDDDSgSgSgg + 111]1

+111]1

3210 00 00 00 00 00 0(2.65)Sferna komponenta predstavlja u stvari prosjeno normalno naprezanje i moe se izraziti prvom invarijantom naprezanja: ( ) ( )33 22 11 3 2 1Sg3131I31 + + + + (2.66)tj. zbrojem normalnih naprezanja na meusobno okomitim ravninama.21Obje se komponente mogu pokazati na elementu kojeg su bridovi paralelni s osima glavnih naprezanjag1, g2 i g3 (sl. 2.14)Slika 2.14Ova podjela je proistekla iz analize ekstremnih posminih naprezanja. Ta podjela ima svoj puni fiziki smisaokodizuavanjadeformacijavrstihtijela, kaotoesepokazati kasnije (str. 22).Iz tijela optereenog u promatranoj toki glavnim naprezanjima S i D moe se isjei pravilni oktaedar kojeg dijagonale imaju smjerove glavnih osi naprezanja g1, g2i g3, to je prikazano na slici 2.15.Slika 2.15Sferna komponenta naprezanja daje ista naprezanja na bilo kojoj plohi povuenoj kroz toku, dakle i na plohama oktaedra. Pri tome takvo stanje naprezanja ne prouzrokuje nigdje 22posmina naprezanja. Sferna komponenta tenzora naprezanja daje na plohama oktaedra naprezanja:SgSokt (2.67)0 Sokt (2.68)Plohe pravilnog oktaedra imaju kosinuse smjera normala u odnosu na osi g1, g2 i g331imi = 1,2,3 (2.69)Naravno da je pri tome:1232221 + + m m m (2.70)Devijatorska komponenta okt moe se nai iz totalnog naprezanjana oktaedarskoj plohi, koje iznosi:3232221 + + (2.71)pa se odatle dobiva:( ) 022 DoktS Dokt (2.72)Nakon to se uvrsti dobivena vrijednost za i izraz sredi, dobiva se konano:( ) ( ) ( )21 323 222 131 + + Dokt(2.73)Akose, dakle, tenzor naprezanja podijeli nasfernui devijatorskukomponentui promatraju pri tome naprezanja koja se dobivaju na plohama oktaedra, dobivaju se dva stanja od kojih je prvo izotropno, a drugo predstavlja neku vrstu istog smicanja:( ) II3I 32 00 I31312DoktDoktS 3 2 1S + + (2.74)Obje komponente oktaedarskih naprezanja pokazane su na slici 2.16 iz koje je vidljivo da u stvari najopenitije stanje naprezanja moemo svesti na jedno izotropno stanje pokazano na lijevom oktaedru i stanje istog smicanja na plohama tog istog oktaedra. Pri tome ne treba zaboraviti da dijagonale tog oktaedra predstavljaju glavne osi naprezanja u promatranoj toki.23Slika 2.16Ova dioba tenzora naprezanja ima svoj duboki fiziki smisao. Pri povezivanju naprezanjas pripadnimdeformacijamazarealnematerijaleuoavasepotpunodrugaije ponaanje za optereenje materijala sfernom komponentom tenzora naprezanja u odnosu na reakcijumaterijalanaoptereenjesmicanjem, dakledevijatorskomkomponentomtenzora naprezanja.243. TEORIJADEFORMACIJAPod utjecajemvanjskih sila tijelo e se u opemsluaju pomaknuti iz svojeg prvobitnog poloaja Iu poloajII. Na tijelu promatramo toku Pi diferencijalnu duinu ds koje se pomiu zajedno s tijelom.Promjenu konfiguracije, koja je pokazana na slici 3.1 moe se promatrati na dva naina:a) pomou prostornih koordinata u vrstom koordinatnom sustavu O x1 x2 x3b) pomouprostornogkoordinatnogsustavaOX1X2X3koji sepomiezajednos tijelom, pa su to materijalne ili prirodne koordinate vezane uz tijelo.PxrbnP`Rdsds`3x2x1X3X1X200IIISlika 3.1Euler je dao formulaciju za prvi nain promatranja. Da bi se mogla nai deformacija konfiguracije kontinuuma izraava se koordinata u globalnomsustavuxikao funkcija prirodne koordinate XL i vremena t:) , ( t X x xL i i(3.1)AnalognojeLagrangedefiniraomaterijalnukoordinatuXLuovisnosti oglobalnoj koordinati xi i vremenu t:) , ( t x X Xi L L(3.2)Duinauoenogelementadsmoesetakoerizraziti naobanaina. Uglobalnim koordinatama:M L LM M LMjLiij j i ij2dX dX C dX dXXxXxg dx dx g ds (3.3)25te analogno u materijalnim koordinatama:j i ij j ijMiLLM M L LM2dx dx c dx dxxXxXG dX dX G ds (3.4)Dobiveni izrazi definiraju Green-Cauchy-jevu mjeru deformacijeMjLiij LMXxXxg C (3.5)jMiLLM ijxXxXG c (3.6)Razlika izmeu deformirane i prvobitne duine u prostornim koordinatama izraena je relacijom:( )ij ij ijc g21 (3.7)a u materijalnim koordinatama:( )LM LM LMG C21E (3.8)Promjena poloaja toke naziva se pomakom, pa se tenzori deformacija mogu izraziti pomou pomaka. Tako se za prostorne koordinate dobiva:

,_

++jkikijjiijxuxuxuxu21(3.9)Istovremeno u materijalnim koordinatama imamo:

,_

++LkMkLMMLLMXuXuXuXu21E(3.10)Nakraju,akoseradi o malim pomacima tj. pomacima koji su maleni u odnosu na dimenzije tijela, postaju oba dobivena tenzora jednaka, a produkti u treim lanovima postaju kao diferencijalne veliine drugog reda zanemarivi:( )i , j j , iijjiLM iju uxuxuE +

,_

+ 2121(3.11)3.1. Tenzor deformacijaOve dobivene definicije tenzora deformacija mogu se za male deformacije pokazati i direktno. Neka se elementarni kvadar deformira kao to je to pokazano na slici 3.2.26AB1A 1Bu2Cu2ACC`B`uAuBA`uCxu u1x2Slika 3.2Ako toka Akvadra kojemu promatramo samo pomake u ravnini O x1x2ima pomak Au(vektor!), onda su komponente tog pomaka u1,A i u2,A. Pomaci susjednih toaka B i C mogu se nai po pravilu totalnog diferencijala - uz zanemarenje viih lanova:jjiiiiA i idxxudxxuu u++ , (3.12)Ovo se moe primijeniti na sve etiri komponente deformacija elementa, kao to je to pokazano na slici 3.3.A B B`1 1AC`C2dx2ACBu=(u -u )1C 1A 12dx12ACu=(u -u )2C 2A 221dx1dx dxdxSlika 3.327Za produljenje stranica dx1se dobiva:1 , 1111111 1 1udxxdxxudx u u dx11 1 A B (3.13)Analogno za produljenje dx22 , 2222222 2 2udxxdxxudx u u dx22 2 A B (3.14)Kutevizaokretastranicamogusedobiti vrlojednostavno, naravnouzpretpostavku malih deformacija:2 , 1212112uxudxu (3.15)Isto se tako dobiva:1 , 2121221uxudxu (3.16)Sama promjena jednog od kuteva priklona stranica prema koordinatnoj osi ne predstavlja karakteristinudeformaciju. Izslike 3.2vidi se da se prilikomdeformiranja elementa mijenjaju pravi kutevi u uglovima elementa za kut 12Iz slike 3.4 je vidljivo da je21 12 12 + (3.17)121212122112x1x2Slika 3.4Dobivenekomponentedeformacija ine tenzor deformacija koji za ravninskostanje naprezanja ima lanove:1]1

1]1

22 2112 1122 2112 11 0| |ij ij

(3.18)Pri tome treba definirati i veze komponenata tenzora deformacija za koje je dobiveno:28122121 12221111xuxu

xu xu12 22+ + (3.19)Ovo se moe poopiti i napisati:( )i , j j , i iju u + 21(3.20)Za prostorno stanje deformacija ostaju iste definicije, samo se tenzor proiruje:111111]1

33 32 3123 22 2113 12 11212121212121ij(3.21)Treba napomenuti da, osimkomponenata koje su ovdje simetrine, postoje i nesimetrine, odnosno antimetrine.Kadaelement samo rotira, a ne klie kao to je to pokazano na slici 3.4, dolazi do rotacije elementa (vidi sliku 3.5). Kut rotacije se moe pokazati kao razlika kutova 21xu i12xu, dakle:( )2 , 1 1 , 2 1221u u (3.22)Ako se, na primjer, kao na slici 3.5 pretpostavi da je element bez kuta klizanja 12, to znai da je 1 , 2 2 , 1u u (3.23)dobiva se:( )1 , 2 1 , 2 1 , 2 1221u u u + (3.24)21= u2,112= u1,2x1x2Slika 3.5293.2. GlavnedeformacijeUtenzoru deformacija postoje dijagonalni lanoviiikoji predstavljaju stvarnu dilataciju, tj. produljenje jedinine duine u pojedinim smjerovima. lanovi izvan dijagonale ij su kutevi klizanja (zapravo polovine tih kutova!).2ijij (3.25)Na isti nain kao i kod tenzora naprezanja mogu se pomou sekularne jednadbe:1,2,3 g0 III II Ig2g3g + + + (3.26)nai glavne deformacije. Pri tome se pojavljuju invarijante tenzora deformacija3 2 1 33 22 11 + + + + I(3.27)231223212 11 33 33 22 22 11II + + (3.28)111]1

33 32 3123 22 2113 12 11det III (3.29)Proraun veliina glavnih deformacija kao i smjerova u kojem se te deformacije pojavljuju je analogan proraunu glavnih naprezanja. U smjerovima glavnih deformacija nema klizanja. To znai da elementarni kvadar postavljen na stranicama paralelnim sa smjerovima glavnih deformacija zadrava sve prave kuteve, a samo mu se mijenjaju duine stranica (i i ids ds ).Slika 3.630Promjena obujma kvadra prikazanog na slici 3.6 moe se nai kao:( ) ( ) ( )3 2 13 2 1 3 3 2 2 1 1dx dx dxdx dx dx dx 1 dx 1 dx 1VV + + + + + (3.30)a odatle: + + I3 2 1(3.31)3.3. OktaedarskedeformacijeKada su pronaene glavne deformacije 1, 2i 3 mogu se, slino kao i kod tenzora naprezanja, nai deformacije naoktaedru, kojemsudijagonale paralelne sa smjerovima glavnih deformacija.I ovdje se moe deformacija podijeliti na sferni dio S- to se ovdje naziva izotropna deformacija i na distorzioni dio D, tj. devijatorsku komponentu deformacija. Bez izvoda daju se konani izrazi:( ) I31313 2 1 oktS + + (3.32)( ) ( ) ( )21 323 222 132 + + oktD(3.33)Kao objanjenje treba rei da se ukupna deformacija dijeli na izotropnu, koja predstavlja istu promjenu volumena, i na distorzionu, koja predstavlja promjenu oblika, bez promjena volumena. Slika 3.731Na slici 3.7 prikazane su obje te deformacije, od kojih se prva ostvaruje bez promjena kuteva a druga bez promjena volumena.3.4. Ravninsko stanje deformacijaU nizu sluajeva nema deformacije 33, jer je npr. ravnina O x1x2tako uklijetena u tijelu da se dvije paralelne ravnine ne mogu meusobno pomicati. Tada su 023 13 33 (3.34)Od kompletnog tenzora ostale su samo komponente111]1

22 2112 112121ij(3.35)Za razliku od ravninskog stanja naprezanja kod kojega je 33 = 0, ovdje je 33 = 0.Relacijeizmeukomponenatatenzoranaprezanjamoguse, istokaoi naprezanja, prikazati pomou Mohrove krunice deformacija (slika 3.8). Treba samo upozoriti da su pri tome osi i /2.221111222Slika 3.8323.5. BrzinadeformacijeAko se pretpostave male deformacije, moe se pojednostavljeno nai:i i iu x x + 0(3.36)Odatle se brzina gibanja toke moe nai kao:iii0i iiv udtdudtdxdtdxx + (3.37)S druge smo strane definirali komponente tenzora deformacije kao:( )i i j i iju u, ,21+ (3.38)Ako komponente tenzora deformacije deriviramo po vremenu, dobivamo:11]1

+11]1

,_

+

,_

dtdux dtdux xudtdxudtddtdjiij ijjiijij2121.(3.39)Odatle se konano dobiva:( )i j j i ijv v, ,21+ (3.40)Ovo je tenzor brzina inifinitezimalnih deformacija.3.6. Brzina prirasta naprezanjaNa slian nain kao i za brzine deformacija moe se pokazati da za tenzor naprezanja ij postoje i brzine prirasta komponenata tenzora naprezanja ) , ( t xk ijij Za male deformacije (kada se koordinate bitno ne mijenjaju) moemo napisati:dtdijij (3.41)334.TEORIJA ELASTINOSTIU"Otpornosti materijala" rjeavali smosamonajjednostavnijesluajevetj. ravne tapove tako da taj dio mehanike vrstih tijela esto nazivamo "Mehanika tapova". U "Teoriji elastinosti" takoer se kao i u "Otpornosti materijala"promatra promjena stanja naprezanja i deformacija vrstog elastinog tijela pod djelovanje statikih ili dinamikih utjecaja kojima uzroci mogu biti razliiti npr. gravitacija, inercija, promjena temperature i drugo.Meutim dok se u "Otpornosti materijala" u tumaenju pojedinih pojava polazi od jednostavnijih prema sloenijim, i od pojedinanih zakljuaka na ope zakljuke i pravila, u "Teoriji elastinosti" se izopih razmatranja iopih zakonitosti ide na rjeavanje pojedinanih sluajeva. Kao u "Otpornosti materijala", i u "Teoriji elastinosti" se pretpostavlja da materija ima svojstvo neprekinute sredine tj. da je jednoliko raspodijeljena po obujmu tijela.Kod svih je problemazajedniko da treba istovremeno zadovoljiti vei broj jednadbi. Rjeavanje problema postaje tee to je oblik konture tijela i optereenja na konturi sloenije pa se tako vie ne mogu nai tona rjeenja nego se zadovoljavamo priblinim rjeenjima numerikih metoda (metode konanih razlika, metode konanih elemenata ili metode rubnih elemenata). U nekim jesluajevimapovoljnijeproblemerjeavati eksperimentalnimputem. Slinost oblikajednadbi u teoriji elastinosti i elektrici omoguuju razne analogije. Ako se utvrde karakteristike rjeenja diferencijalne jednadbe na temelju analogne elektrine pojave moe se rijeiti problem iz teorije elastinosti. U rjeavanju ravninskih problema neobino se korisnom pokazala fotoelastinost, gdje je na modelu izraenom od posebnog materijala u polariziranom svijetlu mogue utvrditi stanje naprezanja.4.1 Veza izmeu komponenata tenzora naprezanja i komponenata tenzora deformacijaDa bismo potpuno odredili stanje naprezanja i deformacija potrebno je neprekinutoj deformabilnoj sredini (promatranom tijelu) dati odreena fizikalna svojstva tj. odrediti veze izmeu naprezanja i deformacija :ij = f (ij )(4.1)odnosno izmeu komponenata tenzora naprezanja i komponenata tenzora deformacija: { } [ ] { }ij ijC (4.2)34pri emu je [ ] C -matrica elastinosti. Inverzna veza izmeu deformacija i naprezanja glasi:ij = f -1 (ij ) = g (ij ) , (4.3)odnosno:{ } [ ] { }ij ijS (4.4)Openito se komponente tenzora naprezanja u jednoj toki moguizraziti kao funkcije komponenata tenzora deformacija:11= f1 (11, 22, 33, 12, 23, 31) 22= f2 (11, 22, 33, 12, 23, 31)33= f3 (11, 22, 33, 12, 23, 31) 12 = f4 (11, 22, 33, 12, 23, 31)23 = f5 (11, 22, 33, 12, 23, 31) 31 = f6 (11, 22, 33, 12, 23, 31)21 = f7 (11, 22, 33, 12, 23, 31) 32 = f8 (11, 22, 33, 12, 23, 31)13 = f9 (11, 22, 33, 12, 23, 31) (4.5)U opem obliku takova se zavisnost kod mnogih tehnikih materijala moe prikazati beskonanim redom potencija:1 = c10 + c1111 + c122 + c1333 + c1412 + c1523 + c1631 + c17112 + ...........+ c1m31n 2 = c20 + c2111 + c2222 + c2333 + c2412 + c2523 + c2631 + c27112 + ..........+ c2m31n3 =c30 + c3111 + c322 + c3333 + c3412 + c3523 + c3631 + c37112 + ..........+ c3m31n

12 = c40 + c4111 + c4221 + ... +c4631 + c47112 + ..........+ c4m31n 23 = c50 + c5111 + c5222 + ....+c5631 + c57112 + ..........+ c5m31n31 = c60 + c6111 + c6222 +.+c6631 + c67112 + ..........+ c6m31n21 = c70 + c7111 + c7222 + .... +c7631 + c77112 + ...........+ c7m31n 32= c80 + c8111 + c8222 + .... +c8631 + c87112 + ...........+ c8m31n 13 = c90 + c9111 + c9222 + ....+c9631 + c97112 + .......... + c9m31n(4.6)Rjeavanje problema tako izraenim vezama je isuvie sloeno. Kako pri eksploataciji veine konstrukcija naprezanja i deformacije ostaju u podruju linearnosti izostavljaju se lanovi s potencijama razliitim od 1, i to je tzv. linearna teorija. Poetni lanovi cm 0 u gore navedenim izrazima nisu poznati.Oni se mogu mijenjati od toke do toke tijela, a uzrokuju ih razliiti utjecaji: temperatura prije nego to je tijelo uzeto u razmatranje, defekti u strukturi, 35higrometrijsko stanje i drugo. Pretpostavljamo da ih nema, tj. da su poetna naprezanja jednaka nuli:cm 0 = m 0 = 0(4.7)Pretpostavljamo takoer da su deformacije povratne tj. da nakon uklanjanja uzroka deformiranja, tijelo poprima svoj prvotni oblik. Takovo tijelo od idealno elastinog materijala kod kojeg su veze izmeu naprezanja i deformacija linearne nazivamo Hookeovo tijelo.Danas su ve razraene nelinearne teorije elastinosti koje uzimaju u obzir nelinearnost izmeu naprezanja i deformacija (materijalna nelinearnost) ili nelinearnost izmeu deformacija i derivacija pomaka (geometrijska nelinearnost).Linearna zavisnost izmeu naprezanja i deformacija te deformacija i derivacija pomaka dovoljna je ako deformacije nisu suvie velike. Kod veine tehnikih konstrukcija deformacije ne prelaze 1% pa nas tonost rjeenja po linearnoj teoriji malih deformacija moe zadovoljiti.Veza izmeu komponenata naprezanja i komponenata deformacija po linearnoj teoriji malih deformacija moe se izraziti pomou 34 = 81 koeficijenata:111]1

111111111111]1

111]1

33 32 3123 22 2113 12 1199 98 97 96 95 94 93 92 9189 88 87 86 85 84 83 82 8179 78 77 76 75 74 73 72 7169 68 67 66 65 64 63 62 6159 58 57 56 55 54 53 52 5149 48 47 46 45 44 43 42 4139 38 37 36 35 34 33 32 3129 28 27 26 25 24 23 22 2119 18 17 16 15 14 13 12 1133 32 3123 22 2113 12 11 c c c c c c c c cc c c c c c c c cc c c c c c c c cc c c c c c c c cc c c c c c c c cc c c c c c c c cc c c c c c c c cc c c c c c c c cc c c c c c c c c(4.8)Kako su posmina naprezanja na meusobno okomitim plohama jednaka (Zakon o jednakosti posminih naprezanja):,,23 32 13 31 12 21 (4.9)veze izmeu est komponenata naprezanja i komponenata deformacija izraavamo pomou 62 = 36 koeficijenata:3611111111]1

11111111]1

11111111]1

111]1

31231233221166 65 64 63 62 6156 55 54 53 52 5146 45 44 43 42 4136 35 34 33 32 3126 25 24 23 22 2116 15 14 13 12 1131231233221133 32 3123 22 2113 12 11

c c c c c cc c c c c cc c c c c cc c c c c cc c c c c cc c c c c c(4.10)U opem sluaju normalna naprezanja zavise o duljinskim deformacijama ali i o kutnim deformacijama dok posmina naprezanja ne ovise samo od kutnim nego i duljinskim deformacijama. Moe se pokazati da su koeficijenti matrice [C] izvan dijagonale meusobno jednaki:cm n = cn m(4.11)ime se broj koeficijenata smanjuje na 21. Ako su poznate komponente tenzora deformacija Hookeovog materijala pune anizotropije, uz poznavanje 21 koeficijenta mogu se odrediti komponente tenzora naprezanja.Materijal pune anizotropije je takav materijal koji ima istaknute fizikalne karakteristike (npr. modul elastinosti E, Poissonov koeficijent ) u tri meusobno kosa smjera (primjer za takav materijal je triklinski kristal). Kod takvog materijala nije mogue postaviti niti jednu os simetrije i niti jednu ravninu simetrije ili zrcalenja niti za raspored materijalnih diskretnih estica niti za mehanika svojstva. Karakteristino je za takve materijale da ak i u sluaju malih deformacija, komponente naprezanja zavise od svih komponenata deformacija i obratno. Kod materijala koji posjeduju osi ili ravnine simetrije ili ravnine rotacije, broj koeficijenata se smanjuje. Matrica koeficijenata za materijal s tri ortogonalne osi simetrije (ortotropno tijelo) smanjuje se na 9:11111111]1

11111111]1

11111111]1

31231233221166554433 23 1323 22 1213 12 11312312332211

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 00 0 00 0 0 cccc c cc c cc c c(4.12)Karakteristino je da normalna naprezanja ovise samo o duljinskim (normalnim) deformacijama, a pomina naprezanja o kutnim (posminim) deformacijama.37Broj koeficijenata se dalje smanjuje, ako su u istaknutim ortogonalnim smjerovima elastine karakteristike jednake. Za izotropno tijelo s jednakim karakteristikama u tri ortogonalna smjera (npr. elik), broj koeficijenata se smanjuje na 3 te matrica koeficijenata glasi:11111111]1

11111111]1

11111111]1

31231233221144444411 12 1212 11 1212 12 11312312332211

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 00 0 00 0 0 cccc c cc c cc c c(4.13)Samo za izotropne materijale vrijedi da normalna naprezanja ovise o normalnim deformacijama, a posmina naprezanja o posminim deformacijama.Moe se dokazati da su samo dva koeficijenta c11 i c12 nezavisna, dok je trei c44 zavisan, a izraziti se mogu pomou tzv. Lamovih koeficijenata elastinosti i : 211+ c, 12c , 2 -12 11 44 c c c (4.14)Elastine konstante materijala: modul elastinosti E , Poissonov koeficijent i modul posmika G , vezane su Lamovim koeficijentima slijedeim relacijama:( ) ( ) 2 1 1E +, G (4.15)Za prostorno stanje veza komponenata tenzora naprezanja i komponenata tenzora deformacija, jednadba 4.2{ } [ ]{ }ij ijC , glasi: 11111111]1

312312332211( ) ( ) 2 1 1 +E 11111111]1

) 2 1 ( 0 0 0 0 00 ) 2 1 ( 0 0 0 00 0 ) 2 1 ( 0 0 00 0 0 ) 1 (0 0 0 ) 1 (0 0 0 ) 1 ( 11111111]1

312312332211 (4.16)odnosno:( ) ( )( ) [ ]33 22 11 1112 1 1 + + +E(4.17)38( ) ( )( ) [ ]11 33 22 2212 1 1 + + +E(4.18)( ) ( )( ) [ ]22 11 33 3312 1 1 + + +E(4.19)( ) ( )( ) [ ]( ) ( )12 12 12 12 12G 21 2 12 12 1 1 ++ +E E E(4.20)23 23G (4.21)31 31G (4.22)Inverzna je veza komponente tenzora deformacija izraena pomou komponenata tenzora naprezanja:[ ] { } [ ] [ ] { }ij-1ij1C C C (4.23)[ ] { } { }ij ijC 1(4.24)odnosno:{ } [ ] { }ij ijS (4.4)Poznavajui koeficijente cij matrice elastinosti [C] mogu se inverzijom odrediti koeficijenti sij kvadratne matrice [ S ]:11111111]1

312312332211 =E11111111]1

+++ ) 1 ( 0 0 0 0 00 ) 1 ( 0 0 0 00 0 ) 1 ( 0 0 00 0 0 10 0 0 10 0 0 1

31231233221111111111]1

(4.25)odnosno :( )33 22 11 111 E(4.26)( )11 33 22 221 E(4.27)( )22 11 33 331 E(4.28)39( )G G E E1212 12 12 12 12 12 12

1 1 2 2 1 + + (4.29)G2323 (4.30)G3131 (4.31)4.2. Ravninskostanjenaprezanja3 = 31 = 32 = 0 (4.32)( ) ( ) 01 1 011 22 11 22 33 33 33 E E(4.33)( )22 11 111 E(4.34)( )11 22 221 E(4.35)12 121E+ (4.36)ili inverzna veza:( )22 112111 +E(4.37)( )11 222221 +E(4.38)( )12212 1211 1+E E(4.39)odnosno u matrinom obliku:111]1

12221121 E111]1

1 0 00 10 1111]1

122211(4.40)404.3. Ravninskostanjedeformacija3 = 31 = 32 = 0 (4.41)( ) ( ) ( )0 01 022 11 33 11 22 33 11 22 33 3333 + E(4.42)Transformacijama se dobivaju izrazi za deformacije:( )22*11*11 22 11211E1 1 E1 ,_

(4.43)( )11*22*22 11 22222E1 1 E1

,_

(4.44)( )12*12 12 12 12 12 G1

E1 22E1 + +(4.45)pri emu je:2*1EE (4.46)1(4.47)G* = G. (4.48)Inverzna veza komponenata naprezanja izraenih pomou komponenata deformacija u matrinom obliku je:111]1

1222112**1E 111]1

***1 0 00 10 1111]1

122211(4.49)Navedeni izrazi su analogni izrazima za ravninsko stanje naprezanja, to omoguuje analogno rjeavanje problema ravninskog stanja naprezanja i ravninskog stanja deformacija.415. REOLOKIMODELII MODELIRANJEZadatak reologije je pronalaenje analitikih veza izmeu komponenata tenzora deformacijai komponenatatenzoranaprezanja. Svrhajeposvepraktina, toznai dase dobivene veze koriste u tehnici za zakljuivanje oponaanju materijala i konstrukcija. Reologijaseuprvomreduoslanjanarezultateispitivanjamehanikihsvojstavapojedinih materijalasjednestrane,anapostavke i rezultate teorijske mehanike kontinuuma s druge strane.Stvarno ponaanje pojedinih materijala ponekad je vrlo sloeno, pa su i veze deformacija i naprezanja sloenije. Klasina mehanika kontinuuma poznavala je dvije vrste materijala - elastina vrsta tijela i idealne fluide, ali su detaljnija ispitivanja pokazala da u skupini vrstih materijala gotovo uvijek ima ili viskoznih ili drugih neelastinih pojava, pa sadanja reologija posebno razmatra upravo takve pojave.Uz navedena dva idealna tijela - elastino Hookeovo tijelo i Newtonov fluid - postoje i neka druga tipina ponaanja koja se ne mogu svesti pod ta dva navedena. Tako je uz teoriju elastinosti i mehaniku fluida nastala i teorija plastinosti, ije rezultate koristi statika elinih i betonskihkonstrukcija. Kaoposebnopoglavljeuteoriji plastinosti uvodi seplastino ponaanje nekih tijela i tla.Reologija polazi od najjednostavnijih tijela, ije se ponaanje moe idealno prikazati s jednostavnim matematskim modelima (analitikim vezama), a pri tome se takav matematski model vizualizira, tj. daje se modelu fiziki smisao. Tako se na primjer ponaanje elastinog tijela moe simbolizirati ponaanjem elastinog pera, a da pri tome to pero nema nikakve veze s promatranim materijalom i problemom koji se razmatra.Od fizikih veliina koje treba uzeti u raun imamo:ijtenzor deformacijaijtenzor brzina deformacijaijtenzor naprezanjaijtenzor brzine prirasta naprezanja.Za sva etiri tenzora treba posebno voditi rauna o sfernoj i devijatorskoj komponenti svakog tenzora.Ako se istoimenim indeksima oznae sferne komponente, a s raznoimenim devijatorske komponente, mogu se napisati osnovne konstitutivne jednadbe: 42kk 4kk3 kk 2kk1C C C C + + (5.1)Dij 8Dij7Dij 6Dij.5C C C C + + (5.2)pri emu se pretpostavlja:7. da je materijal homogen tj. takav kojemu svojstva ne ovise o koordinatama8. da su deformacije infinitezimalne (u protivnom bi te veze bile sloenije)9. da su veze izotropne tj. da su koeficijenti C1 do C8 skalari odnosno konstante za linearne veze ili funkcije invarijanata tenzora kada su veze izmeu naprezanja i deformacija kvazilinearne.Prva jednadbi naziva se obujamska (volumetrijska) jednadba i daje vezu izmeu obujamske deformacije v i srednjeg normalnog naprezanjaS kao i njihovim derivacijama po vremenu. Drugadistorzijska jednadba predstavlja vezu izmeu devijatorskog tenzora deformacije- distorzije i devijatorskog tenzora naprezanja kao i njihovim derivacijama po vremenu. Sa svake strane po jedan je lan razliit od nule samo kod osnovnih materijala. Osnovni idealni materijalu su: idealno elastian, idealno plastian i viskozan materijal. Karakteristina svojstva osnovnih idealnih materijala prikazuje se elementarnim mehanikim modelima za sluaj aksijalnog naprezanja uz definiranje veza izmeu naprezanja i deformacija. Za prikaz ponaanja materijala sa sloenim mehanikim svojstvima upotrebljavaju se reoloki modeli. 5.1. Materijali idealnih svojstava5.1.1. Idealno elastian Hooke-ov materijalUz pretpostavku idealne linearne veze izmeu deformacija i naprezanja (C1 = C3 = C5 = C7 = 0) konstitutivne jednadbe glase:kk 4 kk 2C C (5.3)Dij 8Dij 6C C (5.4)Uvodei obujamski modul kompresije K kao vezu izmeu obujamske deformacije i srednjeg normalnog naprezanja obujamsku jednadbu moemo napisati kao:kk kkK 31(5.5)43pri emu je:) 2 1 ( 3EK (5.6)izraen preko modula elastinosti E i Poissonovog koeficijenta .Za devijatorske komponente modul posmika Gje veza izmeu tangencijalnog naprezanja i kuta klizanja:Gijij (5.7)pa uz:2ijij (5.8)distorzijska konstitutivna jednadba glasi:G 2Dij Dij.(5.10)Sreivanjem i razvijanjem dobivamo poznate Lame-ove jednadbe:j i za 0j; i za 1; 2ijij kk ij ij ij + (5.11)U sluaju jednoosnog naprezanja:( )33 22 11 11 112 + + + (5.12)12 122 (5.13)Uetvrtompoglavlju detaljno su prikazane veze izmeu komponenata tenzora naprezanja i komponenata tenzora deformacija za elastina tijela.Slika 5.144Hooke-ovotijelosimboliki seureolokimmodelimaprikazujeuformi elastinog pera (slika 5.1). U reolokim modelima koji radi jednostavnosti prikazuju samo deformaciju linearnog elementa (npr. vlanog tapa), moe se odnos deformacije i pripadnog naprezanja pokazati kao:E (5.14)Za idealno elastino tijelo pretpostavlja se da deformacija nastupa trenutno i to u konanom iznosu, pa izmeu komponenata tenzora brzine deformacija i brzine prirasta naprezanja postoje iste veze kaoi za odgovarajua statika stanja. Ponaanje materijala moe se prikazati u obliku dijagrama (slika 5.2) koji povezuju deformaciju odnosno naprezanje s vremenom. Na slici a) prikazana je ovisnost deformacije i naprezanja (sile) za stalno optereenje u trajanju t1, a za rastue i padajue naprezanje na slici b). Pri ovakvim se prikazima uvijek pretpostavlja da naprezanja rastu dovoljno sporo da ne izazovu oscilacije.Slika 5.25.1.2. Savreno plastian materijal Saint Venant-ov materijalSaint Venant je predloio model idealno kruto-plastinog materijala koji ima svojstva da ne pokazuje nikakve deformacijedok naprezanjene dosegne izvjesnu kritinu vrijednost:0 Y (5.15)45Nakon to je dosegnuto kritino naprezanje y: 0 Y (5.16)materijal se plastino deformira. Slika 5.3 Slika 5.4Veliina deformacije (slika 5.3) pri tome nije odreena nikakvim odnosom s intenzitetom naprezanja ili sa vremenom, nego ovisi o proizvedenoj deformaciji ili deformacijama susjednih elemenata. Na slici 5.4 predstavljen je fiziki model tijela savreno plastinih svojstava, a sastoji se od dviju ploa koje su meusobno pritegnute i meu kojima postoji Coulomb-ovo (suho) trenje: N TR f R (5.17)Sila trenja poputa kada sila F= A pree graninu silu trenja.5.1.3. Viskozan fluidDa bi definirali Newtonov materijal treba u osnovne konstitutivne jednadbe uvrstiti C2=C4=C6=C7=0. Za obujamsku jednadbu to znai da pri izvjesnoj brzini prirasta sfernekomponentetenzoranaprezanjapostojiodgovarajuabrzina deformacija. Nakon to prestane prirast naprezanja zaustavlja se i sferni dio deformacije pa jednadba (5.1) glasi:kk3kk1C C (5.18)odnosno izraena preko modula kompresije K:kk kkK 31 . (5.18)46Ova jednadba odnosi se na elastinu promjenu obujma fluida pod utjecajem hidrostatikog pritiska. Ova veza kod plinova zamjenjuje se jednadbom stanja, jer su promjene uslijed temperature znaajnije. Distorzijska konstitutivna jednadba glasi:Dij 8Dij5C C (5.19)Supstitucijom poznate relacije izmeu brzine prirasta deformacijaj iv, i devijatorske komponente tenzora naprezanja Dijza tekuine u jednadbu (5.19):ji Dijxv (5.20 )dobiva se:DijDij21 (5.21)pri emu je Newtonov koeficijent viskoznosti. Utjecaj sferne deformacije je vrlo malen jer se tekuine smatraju nestiljivim (K = ). Uvodei srednji normalni pritisak iip 31,uz 0 kk tj.DijDij u izraz za tenzor naprezanja2 p - pDij ijDij ijDijSij + + + (5.22)pri emu je:111]1

1 0 00 1 00 0 1ij(5.23)Ako se u diferencijalnu jednadbu ravnotee: 0 fi j , ij + (5.24)uvrste inercijske sile, te izrazi za ubrzanje i brzinu deformacije: t dv df a f fii i i i+ + 0 0(5.25)dobiju se Navier-Stokes-ove jednadbe gibanja viskoznog fluida:) ( ,1 tv, ,0,iij j jj i i i j j iv v p f v v + + +(5.26)47Slika 5.5Mehaniki reoloki model Newtonovog materijala prikazuje se hidraulikim odbojnikom(slika 5.5), probuenimklipomkoji se pomie unutar cilindra ispunjenog tekuinom. Takav cilindar, kakav je priblino amortizer automobila, ponaa se kao viskozno tijelo pa za linearan sluaj imamo da je: t(5.27)odnosnot (5.28)Idealnoviskoznotijelopoveavadeformaciju tijekom vremenatakodugo doktraje optereenje (slika 5.6). Nakon rastereenja ostaje trajna, nepovratna deformacija.Slika 5.6485.2. Reoloki modeli s dva elementaU reologiji treba obuhvatiti materijale sa poznatim mehanikim-reolokim svojstvima, ma kakvi bili odnosi naprezanja, deformacija i vremena. Oigledno da se ponaanje materijala pod naprezanjima ne moe opisati samo sa ova tri osnovna modela. Sloeni reoloki modelisu tako zamiljeni damogu pruiti kvalitativnu sliku o ponaanju razliitih materijala pod optereenjem. Radi boljeg opisivanja mehanikih karakteristika pojedinih materijala meusobno povezujemo dva, tri pa i vie osnovnih modela H, St. V i N. Ukljuivanje vie elemenata koji ulaze u model ponaanja nekog materijala dovodi do potrebe odreivanja veeg broja konstanata koje opisuju djelovanje svakog elementa u sklopu, a time se gubi pouzdanost konanih rezultata npr. kod numerikih metoda prorauna a pogotovo iznalaenja analitikih rjeenja. Postoje dva naina na koja se mogu meusobno povezati dva osnovna modela i to su:2. paralelno jedan kraj drugoga i 3. u seriju jedan za drugim.U analizi ovih modela polazi se od injenice da su kod paralelnog spajanjaproduenja svuda jednaka, dok je ukupno naprezanje jednako zbroju komponentnih naprezanja. Kod serijskog su spajanja naprezanje u svim dijelovima jednaka, dok je produenje jednako zbroju pojedinanih. 5.2.1. Viskoelastian Kelvin-Voigtov materijalKelvin i Voigt pretpostavljaju materijal koji polagano dosie konanu deformaciju, zadrava ju due vrijeme bez daljnjeg primjetnog poveanja, a prilikom rastereenja ta deformacija se polagano gubi i tijelo se vraa u prvobitni oblik. Takovo ponaanje materijala moe se objasniti istovremenim djelovanjem elastine i viskozne komponente. U trenutku nanoenja optereenja cijelo optereenje preuzima samo viskozni element. U svakom trenutku deformacija oba elementa je ista:N H (5.29)Poputanjem viskoznog elementa se sve vie angaira elastini element, tako dugo dok na kraju cijelo optereenje ne preuzme elastini element u modelu. Na slici 5.7 prikazane su dvijemoguekombinacijeparalelnogspajanja osnovnihmodela(Hooke-ovogi Newton-ovog) koji se simboliki oznaava kao:K = H || N49Slika 5.7Za ovaj se model moe ponaanje prikazati konstitutivnim jednadbama s time da se u obujamskoj jednadbi zanemaruje isezavajua viskozna promjena obujma, pa je dakle C1 = C3 = 0. U drugoj distorzijskoj jednadbi otpada promjena naprezanja, pa je samo C7 = 0, te imamo:kk 4 kk 2C C (5.30)Dij 8Dij 6Dij5C C C + (5.31)Ope rjeenje iz kojega se mogu poslije izvesti i rjeenja za neke probleme raspodjele deformacija i naprezanja u viskoelastinom kontinuumu glasi:kk kkK 31 (5.32)DijDijDijG 21G + (5.33)Svedeno na linearni sluaj aksijalno optereen tap jednadba (5.32)nema utjecaj, dok druga daje:dtd; E + (5.34)50Slika 5.8Pretpostavimo sluaj da puno optereenje djeluje trenutno u cijelom iznosu i zadrava se kroz vrijeme t1. Iz opeg se rjeenja (5.34) za linearni sluaj dobiva:0E +(5.35) Rjeenje u eksponencijalnom obliku:

,_

tE0e 1E) t ((5.36)kao rezultat daje asimptotsko pribliavanje deformacije konanoj deformaciji koja je jednaka istoj elastinoj deformacijiE0(slika 5.8). Ako se u trenutku t = t1prekine optereivanje, dolazi do postepenog nestajanja deformacije:( )1t t tt t e101 (5.37)5.2.2. Viskoelastian Maxwell-ov fluidNa slici 5.9 je prikazan Maxwell-ov model koji sesastoji od Hooke-ovog i Newton-ovog tijela povezanih u seriju i simboliki oznaenog:M = N H51Slika 5.9Maxwell je opisao i dao rjeenja za materijal koji ima ograniena elastina svojstva a kojemu deformacije mogu rasti bez ogranienja, budui da ima karakteristike fluida. U obujamskoj konstitutivnoj jednadbi se isto kao i u prethodnom sluaju konstatira da se obujamska deformacija ostvaruje praktiki trenutno, dakle neovisno o brzini prirasta naprezanja. U distorzijskoj jednadbi treba prikazati da se materijal ponaa kao fluid, to znai da sam tenzor brzine deformacija ovisi o devijatorskom dijelu tenzora naprezanja i o tenzoru brzina prirasta naprezanja. Ovo dovodi do konstitutivnih jednadbi oblika:kk 4 kk 2C C (5.38)Dij 8Dij7Dij5C C C + (5.39)i njihovog rjeenja:kk kkK 31 (5.5)DijDijDij21G 21 + (5.40)Za linearni element tap moe se napisati:t1E00 + (5.41)Pri tome se zanemaruje prirast naprezanja(kodpromatranja statikihmodela pretpostavlja se da se optereenje nanosi dovoljno polagano da ne izaziva oscilacije). Na slici 5.10prikazanjevremenski tijekdeformacijaMaxwell-ovogtijela, uzpretpostavkudase cijelooptereenjenanosiodjednom.Elastinadeformacija nastajeodmah,anakon toga se tijelo deformira tako dugo dok traje optereenje. Nakon rastereenja vraa se samo elastini dio deformacije, dok viskozni ostaje kao trajna deformacija.52Slika 5.10Maxwell-ovo tijelo pokazuje karakteristino ponaanje prilikom nanaanje odreene deformacije 0 i zadravanja te deformacije konstantnom (slika 5.11). Iz jednadbe (5.41)za t = 0 poetno naprezanje je 0 0 E.Zbog viskoznih svojstava tijela dolazi do postepenog rastereivanja tj. relaksacije. Ako se u vezu deformacije i naprezanja, jednadbu (5.41) uvrsti 0 konstantno dobivamo:tE) t (t1E10 0+

,_

+ (5.42)Nakon vremena t1 preostalo naprezanje iznosi:1tE 0 t+ (5.43)dok nakon duljeg vremena (t) naprezanje u tijelu potpuno isezava. Ovo vrijedi u potpunosti za ponaanje metala prilikom arenja, a djelomino za beton u podruju malih deformacija.53 Slika 5.115.2.3. Elastoplastian materijalSerijskimspajanje elastinogHooke-ovogi idealnoplastinogSaint Venant-ovog tijela (slika 5.12) dobiva se tijelo svojstava kako su ga definirali Prandtl i Reuss. Simbolika oznaka takvog modela je:R = H St. VSlika 5.12Za linearanodnos deformacija i naprezanja tijelozadrava obasvojstva. Akoje naprezanje manje od kritinog deformacije ostaju u granicama Hooke-ovog zakona E1 Y(5.44)Ako je naprezanje jednako kritinom Yonda se deformacija poveava, i ne ovisi o intenzitetu naprezanja nego o deformaciji susjednih elemenata. Odnosi naprezanja i deformacijatijekomvremenazasluajeve Ynije mogue. 54Slika 5.135.3. Sloeni reoloki modeli vie elemenataU daljnjem tekstu bit e prikazano nekoliko sloenih reolokih modela i razmatrat e se linearni odnos deformacija i naprezanja.5.3.1. Bingham-ov modelKod Bingham-ovog modela (slika 5.14) paralelno spojeni St. Venant-ov i Newton-ov model, serijski su spojeni s Hooke-ovim modelom. Shematski se moe oznaiti:B = H (St.V || N).Slika 5.1455Slika 5.15Karakteristian dijagram deformacija i naprezanja u ovisnosti o vremenu prikazan je na slici 5.15. Ponaanje mu se moe opisati u dva podruja:EaY ) (5.45)tE ) bYY + (5.46)U pogledu ponaanja podsjea na elastoplastian materijal, ali je trajna deformacija vezana uz vremensko trajanje optereenja. 5.3.2. Lethersich-ov modelElastini sol predstavlja materijal u kojem se naprezanja preko viskozne komponente prenose na vrstu komponentu. Simboliki oznaen model prikazan na slici 5.16L = N ( H || N )predstavljaserijski spoj Newton-ovogi Kelvinov-ogmodela(udijeluliteraturesenaziva Schofield-ovmodel ili model Scott Blair-a). Tijekdeformacijezastalnooptereenje0u trajanju t1prikazan je na slici 5.17. Ukupna deformacija jednaka je zbroju Newton-ove i Kelvinov-e deformacije:56

,_

+ t E12e 1Et(5.47)Slika 5.16Slika 5.17Kaoi koddrugihmodela ukojima prevladava viskozna komponenta i ovdje se prilikomnanaenjaodreenedeformacijeteuznjezinozadravanje 0 =konst. (slika 5.18), naprezanje pomalo gubi da bi se zat = asimptotski pribliavalo nuli prema izrazu:57

,_

+ t E102e 1E1 t(5.48)Slika 5.185.3.3. Schwedoff-ov modelPo svojstvima ovaj model predstavlja tzv. plastian gel. Pod gelovima se smatraju materijali u kojima prevladava vrsta faza. Simboliki se moe prikazati kao paralelan spoj Saint Venant-ovog i Maxwell-ovog modela, serijski spojen s Hooke-ovim modelom: S = H [ St.V || ( H-N )]Slika 5.19Ispod kritinog naprezanja ( > ovaj se kriterij moenapisati u obliku( ) ( ) ( ) [ ]21 323 222 1 distE 61U + + + (6.35)dist Y2U=1+3E(6.36)( - ) +( - ) +( - ) =21 222 323 12Y2 (6.37){ }max | - |,| - |,| - | =1 2 2 3 3 1 Y (6.38)1 3 Y- = (6.39)74Slika 6.8Ploha poputanja po von Misesu i TresciEksperimentalnim istraivanjimaTresca je dokazao da je u stanju plastinog poputanja materijala maksimalno tangencijalno naprezanje konstantno u svim tokama i jednako granici poputanja materijala pri istom smicanju. Navedeni kriteriji dobro opisuju ponaanje metala i njihovih legura. Nedostatak spomenutih kriterija je u pretpostavci da srednje normalno naprezanje2 nema utjecaja na pojavu plastinih deformacija u materijalu, to ne vrijedi prvenstveno za stijene i tla.6.2.4.3Mohr - Coulombov kriterij lomaPo ovom kriteriju, slino kao u prethodnom, do plastinog poputanja materijala dolazi kada maksimalno posmino naprezanje prekorai kritinu vrijednost i glasi pri emu je:posmino naprezanjennormalno naprezanje ckohezija kut unutranjeg trenja Izraz (6.40) predstavlja tangentu na najveu Mohrovu krunicuza troosno stanje naprezanja kako je prikazano na slici 6.9. Uzevi u obzir da je1 2 3> > moe se izraz (6.40) napisati u obliku: =c + tann (6.40)75ili nakon sreivanja Slika 6.9 Prikaz Mohr-Coulombovog uvjeta plastinosti pomou Mohrove kruniceDok je kod Trescinog kriterija maksimalno tangencijalno naprezanje mjerodavno za nastanak teenja, konstantno i predstavljeno polumjerom najvee Mohrove krunice ( - ) / 21 3 , dotle se po Mohrovom kriteriju taj isti polumjer mijenja i funkcija je koordinata sredita najvee Mohrove krunice.Uvjet plastinog teenja (6.42) predstavlja u koordinatnom sustavu glavnih naprezanja 3 2 10nepravilnu esterostranu piramidu kojoj je pravac1 2 3= = os. Presjek ove piramide ravninom okomitom na hidrostatsku os daje u devijatorskoj ravnini nepravilan esterokut (sl. 6.10).6.2.4.4 Drucker-Pragerov kriterij lomaDrucker-Pragerov kriterij teenja predstavlja aproksimaciju Mohr-Coulombova kriterija teenja odnosno modifikaciju von Misesovog. Utjecaj sfernog tenzora naprezanja na pojavu poputanja u materijalu uzet je u obzir ukljuivanjem dodatnog lana u von Misesov kriterij teenja i glasi1 3 1 3 1 3-2=c ++2--2tan

_,

cos sin(6.41)1 3 1 3+2--2=c sin cos (6.42) ( + + )+16( - ) +( - ) +( - ) = k1 2 3 1 222 323 12(6.43)76Slika 6.10Ploha poputanja po Mohr-Coulombu i Drucker-PrageruParametri ik' odreuju se pomou Mohr - Coulombovih parametara vrstoe c i . Izraz (6.43) predstavlja uspravni stoacu koordinatnom sustavu glavnih naprezanja 01 2 3 . Ukoliko Drucker-Pragerov stoacdodiruje bridove Mohr-Coulombove esterostrane piramide izvana, tada parametri ik' poprimaju slijedee vrijednosti:dok u sluaju da stoacdodiruje plat piramide iznutra parametri ik' iznoseKao odgovarajui za opis loma tla koriste se Mohr-Coulombov i Drucker-Pragerov kriterij.Osim navedenih potrebno je spomenuti Lade-Duncanov i Hoek-Brownov kriterij loma. 6.2.4.5 Lade-Duncanov kriterij lomaZa nekoherentno tlo Lade-Duncan [1975] definirali su plohu poputanja jednadbom:gdje suIiI 3 1 prva i trea invarijanta tenzora naprezanjaij.=23 (3 - );k =6c3 (3 - )sinsincossin (6.44)=23 (3 + );k =6c3 (3 + )sinsincossin (6.45)133 I-k I=0 (6.46)77Konstanta oblika k funkcija je kuta unutranjeg trenja i odreuje oblik plohe poputanja. U prostoru glavnih naprezanja povrina poputanja ima oblik stoca, kojemu je os hidrostatiki pravac (sl. 6.11). Presjek stoca ovisi o vrijednosti konstante k, koja se odreuje eksperimentalno.Slika 6.11 Ploha poputanja po Lade-Duncanu6.2.4.6Hoek-Brownov kriterij lomaHoek-Brown [1982] predloilisu kriterij loma za stijenski masiv (sl. 6.12) oblika:pri emu su:1 3 i -vee odnosno manje tlano glavno naprezanjec -jednoaksijalna tlana vrstoa stijenem i s-bezdimenzionalne konstante masiva kojima se definira kompaktnost stijenskog masivaRazmatranjem jednoaksijalnog tlanog odnosno vlanog naprezanja konstante imaju fizikalno znaenje i mogu se odrediti eksperimentalno. Za jednoaksijalni tlak kada je3=0 uz vrijednost s =1 glavno tlano naprezanje izjednaava se s jednoaksijalnom tlanom vrstoom stijene ( = )1 c . Iz toga slijedi da je za stijenski masiv bez pukotina s =1.Slino se za sluaj jednoaksijalnog vlaka kada je1 3 t=0= a moeodrediti vrijednost koeficijenta m. Ovisno o raspucalosti stijenskog masiva konstante se kreu u slijedeim relacijama:1 3 c 3 c2= + m +s (6.47)0,05 s 0,90 (6.48)5 m 20 (6.49)78Slika 6.12Hoek-Brownov kriterij lomaPrimjena ovog kriterija omoguava uoavanje podruja u kojima dolazi do vlanog loma odnosno klizanja.6.2.5. Elastoplastini modeli tlaCam-clay model zadovoljava navedene kriterije i pravila plastinosti te se uz izbor odgovarajuih parametara upotrebljava za opis ponaanja razliitih vrsta tla.Originalni Cam-clay model (sl. 6.13) definira:(i) Ploha poputanja izraenajednadbom:(ii) Pridruenopravilo teenja(iii) Izotropno pravilo ovrivanja odreeno parametrom cp koji ujedno definira plohu poputanjapri emu je:q = -1 3 - devijator naprezanjaq = M pppc ln(6.50) p d +q d = M p dvp p p (6.51)79 p =+ +31 2 3 - efektivno hidrostatsko naprezanjedvp - inkrement volumenske plastine deformacijedp- inkrement posmine plastine deformacijeM - konstanta materijala kojom se definira linija kritinog stanjaSlika 6.13Ploha poputanja za originalni Cam-clay model tlaVrijednost konstante ovisi o kutu unutranjeg trenja prema izrazu: Prirast volumenske plastine deformacije je:pri emu je e koeficijent pora, volumenski modul stiljivosti, a modul povratne deformacije.Na osnovu originalnog modela pretpostavljen je itav niz slinih. Osnovna razlika izmeu originalnog Cam-clay modela i modificiranog modela (sl. 6.14) je u obliku plohe poputanja.Modificirani Cam-clay model definiran je eliptinom povrinom poputanjaM=63-sinsin(6.52)pp d-e + 1= dc pv (6.53)2222cq +Mp =Mp p (6.54)80i pridruenimpravilom teenja oblikaSlika 6.14Ploha poputanja za modificirani Cam-clay model tlaAll-Tabba [1990] pretpostavlja model s dvije plohe poputanja (sl. 6.15) unutar vee povrine poputanja pretpostavlja manju povrinu poputanja (gnijezdo).Slika 6.15 Modificirani Cam-clay model tla s dvije plohe poputanjaNoviji modeli zahtijevaju vie parametara za definiranje ponaanja modela, sloenijisu od Cam-clay modela, ali bolje opisuju anizotropno poputanje materijala.dd=Mp - q2p qvpp22 2(6.55)816.3. OSNOVE ELASTOVISKOPLASTINOGMODELAVremenski neovisne konstitutivne jednadbene mogu na zadovoljavajui nain simulirati ponaanje realnih materijala kojima svojstva ovise o vremenu.Samo u nekim uvjetima plastine deformacije mogu biti vremenski neovisne ali openito su ovisne. Osim pojave plastinosti uzrok materijalne nelinearnosti vezan je uz fenomen teenja materijala, preraspodjela naprezanja odnosno deformacija tokom vremena.Poetak promatranja ponaanja materijala kao jedinstvenog modela kombinirajui efekte plastinosti i teenja vezan je uz radove Binghama, Henckya i Pragera. Osnove teorije elasto-visko-plastinosti postavio je Perzyna [1960].Model prikazan na sl. 6.16 (jednoosni problem) reagira trenutno elastino, pri emu viskoplastian element ostaje neaktivan sve dok je (F) < =ijvvpij (6.60)0 = (F) 0; F za0 =vpij (6.61)0 = (k)F- ) , ( F = F0vpij ij (6.62)83Prirast viskoplastinih deformacija uz pretpostavku pridrueneviskoplastinosti u vektorskom obliku glasi:Vektor teenjaapredstavlja derivaciju funkcije plastinosti F po vektoru naprezanja .P. Perzyna [1966], D. Owen i E. Hinton [1980] predlaudva oblika funkcije plastinog toka: (F) =e- 1MF -FF00

_,

(6.64) (F) =F -FFN00

_,

(6.65)gdje su M i N konstante, tako odabrane da to bolje simuliraju eksperimentom utvreno ponaanje materijala.Na osnovu Perzynove teorije elastoviskoplastinosti H. Sekiguchi [1985] polazei od Cam-clay modela predlaeslijedee izraze za: funkciju plastinosti- i funkciju plastinog tokaParametri c0imodnose se na viskoplastinost.Povrina poputanja F kod stacionarne viskoplastinosti ovisi o trenutnom stanju naprezanja imijenja se samo promjenom plastinih deformacija. Olszak-Perzynova teorijaelastoviskoplastinosti pretpostavlja nestacionarnu viskoplastinost to znai da moedoi dopromjene plohe poputanja bez promjena plastinih deformacija. a (F) < =F> (F) < =~v vvpij (6.63)F =qM pppc ln(6.66)e c= (F)F m0 (6.67)84LITERATURAAl Tabbaa A. (1990): Permeability and stress-strain response of speswhite kaolin, Ph. D. Thesis, University of Cambridge. Bland, D.R. (1960): The theory of linear viscoelasticity, Pergamon Press, Oxford.Drucker, D.C. and Prager, W. (1952): Soil mechanics and plastic analysis or limit design, Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics,Vol. 10, No. 2, 157-165. Duncan, J.M. and Chang, C.Y. (1970): Nonlinear analysis of stress and strain in soils, J. Soil Mechanics and Foundation Division, ASCE, Vol. 96, No.SM 5, 495-498.Findlay, W.N., Lai, J.S. and Onaran, K. (1976): Crep and relaxation of nonlinear viscoelastic materijals, North Holland Publishing-Co.Hill, R. (1950): The mathematical theory of plasticity, Oxford University Press, Oxford.Hinton, E. Owen, D.R. (1977): Finite element programing, London Academic Press, London.Hoek, E. and Brown, E.T. (1982): Underground excavation in rock. Institution of mining and metalurgy, London.Hudec, M.: Odabrana poglavlja iz mehanike kontinuuma, biljekeKonder, R.L. (1963): Hyperbolic stress-strain response; Cohesive soils, J. Soil Mechanics and Foundation Division, ASCE, Vol. 89, No. SM 1. Konder, R.L. and Zelasko, J.S. (1963): A hyperbolic stress-strain formulation for sands, Proc. 2nd Panam. CSMFE, Brasil.Kostreni, Z.: Teorija elastinosti, kolska knjiga, Zagreb 1982.Kovai, D. (1977): Nelinearni modeli tla, Graevinar, Vol. 29. No. 3, Zagreb.Lade, V.P. and Duncan, M.J. (1975): Elastoplastic stress-strain theory for cohesionless soil, J. Geotechn. Engin. Div., Vol. 101 No. 10.Mohr, O. (1900): Welche Umsaende bedingen die Elastizitaetsgrenze und den Bruch eines Materials, ZS. d. Vereins Deutscher Ingenieure, Vol. 44, 1524-1572.Naylor, D.J., Pande, G.N., Simpson, B. and Tabb, R. (1981): Finite elements in geotechnicalengineering, Pineridge Press, Swanse.Olszak, W. and Perzyna, P. (1970): Stationary and non-stationary viscoplasticity; Inelastic behavioutr of solis, McGraw-Hill Book Co.85Perzyna, P. (1960): The constitutive equations for rate sensitive plastic materials, Arch. Mech. Stos., Vol. 15, 113-130.Perzyna, P. (1966): Fundamental problems in viscoplasticity. Recent Advances in Applied Mechanics, Academic Press, Vol. 9, 243-377, New York.uklje, L. (1969): Rheological aspects of soil mechanics, John Wiley, London.Zienkiewicz, O.C., Valliappan S. and King, I.P. (1969): Elastic-plastic solution ofenginnering problems; Initial stress. Finite element approach, Inter. J. Numerical method in Engineering, Vol. 1, 75-100.