Predavanja 2013/14

6 DISKRETNI SIGNALI I SISTEMI

6.1 Diskretni signali

Signal je matematička funkcija jedne ili više promenljivih koja opisuje prirodne ili veštački izazvane fizičke

pojave Osnovna podela signala je na kontinualne i diskretne signale.

Kontinualni signal x(t), je jednoznačno određena funkcija vremena t, definisana za svako t. Ukoliko

amplituda signala uzima bilo koju vrednost iz dozvoljenog opsega, signal je analogni. Većina signala je

takva.

Diskretan signal je jednoznačno definisan samo u diskretnim trenucima vremena. To je niz veličina koje su

definisane za svako celobrojno n, koje se naziva diskretno vreme, nZ, gde Z označava skup celih brojeva.

Vrednost elementa niza za diskretno vreme n obeležava se sa x(n), a diskretan niz sa nx . Diskretni signali

se mogu podeliti na realne i kompleksne. Ako je za 0n vrednost 0nx , diskretan niz je kauzalan.

Diskretni signali se mogu dobiti na osnovu odgovarajućeg kontinualnog signala primenom postupka

odabiranja (semplovanja) sa određenom periodom T ili generisanjem u nekom diskretnom procesu.

Ako se i amplitude diskretnog signala diskretizuju dobija se digitalni signal.

6.2 Elementarni diskretni kauzalni signali

6.2.1 Jedinični impuls

Jedinični impuls ili Dirakov impuls ili jedinična impulsna funkcija, n je najjednostavniji diskretni signal.

Definiše se na sledeći način

0za,0

0za,1

n

nn (6.1)

Slika 6.1.a. Jedinični impuls. Slika 6.1.b. Pomeren jedinični impuls.

Ukoliko je jedinični element pomeren za 0n odmeraka tada je

0

00

za,0

za,1

nn

nnnn (6.2)

Odziv kola na diskretni jedinični impuls n naziva se impulsni odziv i obeležava se sa nh .

6.2.2 Diskretna jedinična funkcija

Diskretna jedinična funkcija ili Hevisajdova funkcija ili odskočna funkcija, nu , kod diskretnih sistema

ima isti značaj kao Hevisadova funkcija kod analognih sistema. To je niz koji sadrži elemente jednake

jedinici za 0n , dok su svi elementi za 0n jednaki nuli,

0za,0

0za,1

n

nnu (6.3)

Pomerena diskretna jedinična funkcija definiše se na sledeći način

2

0

00 za,0

za,1

nn

nnnnu (6.4)

Slika 6.2.a. Jedinična funkcija. Slika 6.2.b. Pomerena jedinična funkcija.

Diskretna Hevisadova funkcija se može izraziti preko jediničnog impulsa

n

k

knu0

(6.5)

i obrnuto, jedinični impuls se može izraziti preko diskretne Hevisadove funkcije i njenog pomerenog oblika

1 nunun . (6.6)

Bilo koji kauzalni niz nx može se izraziti pomoću jedinične impulsne funkcije tako što se n-ti član niza

predstavi formulom

n

k

knkxnx

0

. (6.7)

Odziv kola na diskretnu jediničnu funkciju nu naziva se jedinični odskočni odziv i obeležava se sa na .

6.2.3 Diskretna ramp funkcija

Diskretni ramp signal, prikazan na slici 6.3, definiše se na sledeći način

0za,0

0za,

n

nnnr , (6.8a)

odnosno,

nunnr . (6.8b)

Slika 6.3. Jedinični ramp signal.

6.2.4 Diskretna eksponencijalna funkcija

Eksponencijalni niz sadrži elemente koji se definišu na sledeći način

0za,0

0za,

n

naAnx

n

(6.9a)

gde je a realna konstanta i za 1a niz je opadajući. Niz

nuaAnx n (6.9b)

ima sve elemente jednake nuli za 0n , dok su za 0n elementi određeni diskretnom eksponencijalnom

funkcijom.

3

Slika 6.4. Eksponencijalni niz.

6.2.5 Diskretna prostoperiodična funkcija

Prostoperiodični niz se dobija odmeravanjem prostoperiodičnog signala. Opšti član ovog niza se može

zapisati u obliku

nAnx 0cos (6.10a)

gde je A amplituda prostoperiodičnog signala, a 0

0

2

n

frekvencija odmeravanja.

Prostoperiodični niz

)(cos 0 nunAnx (6.10b)

ima sve elemente jednake nuli za 0n , a za 0n elementi su određeni diskretnom prostoperiodičnom

funkcijom.

Slika 6.5. Prostoperiodični niz.

6.3 Diskretne mreže

Diskretana mreža je ona koja diskretan signal na ulazu transformiše u diskretan signal na izlazu mreže. Ako

na ulazu mreže deluje diskretan signal nx , i ako se izlazni diskretan signal obeleži sa ny , onda se

preslikavanje može opisati relacijom,

nxny (6.11)

gde je sa obeležen matematički operator. On karakteriše diskretnu mrežu i predstavlja način na koji se

ulazni niz nx pretvara u izlazni niz ny .

Primer 6.1: Neka je zadat ulazni niz u obliku jediničnog niza, nunx i neka je operator mreže zadat

sa dve jednačine:

1 nybnxny i

10 y .

Odrediti izlazni signal.

Rešenje:

Članovi izlaznog niza se računaju za ,3,2,1,0n i iznose

bybxy 1011

21122 bbybxy

4

321233 bbbybxy

k

i

ik bbbbbkybkxky0

3211

Opšti, k ti član niza čini prvih k članova geometrijske progresije, i on se može izraziti u zatvorenom

obliku na sledeći način

b

bbbbbbbbbky

k

i

ik

i

ik

i

i

ki

i

i

ik

i

i

1

11

1

0

1

0

1

0100

.

Za izračunavanje izlaznog niza ny koriste se svi članovi ulaznog niza, nx .

6.3.1 Osobine diskretnih mreža

1. Linearnost. Neka su nx1 i nx2 nizovi na ulazu diskretne mreže a operator, mreža je linearna ako

zadovoljava princip superpozicije pa važi

nybnyanxbnxa 2121 ,

kada su ba i konstante.

2. Vremenska invarijantnost. Ako pomeraj ulaznog niza za diskretno vreme 0n prouzrokuje pomeraj

odziva za isto vreme, mreža je vremenski invarijantna i važi princip nezavisnosti računanja vremena.

Odnosno za

nynx

sledi da je

00 nnynnx

3. Kauzalnost. Mreža ne može da generiše odziv pre pobude, drugim rečima odziv u trenutku 0nn zavisi

samo od vrednosti ulaznog signala za koje je 0nn .

4. Stabilnost. Mreža je stabilna samo ako ograničen ulazni niz prouzrokuje ograničen izlazni niz.

6.4 Odziv diskretnog sistema u vremenskom domenu

Linearni vremenski nezavisni diskretni sistemi mogu se opisati diferencnim jednačinama sa konstantnim

koeficijentima. Određivanje odziva na pobudu proizvoljnog oblika u domenu diskretnog vremena u opštem

slučaju nije jednostavan problem. Međutim, pomoću operacije konvolucije može se odrediti odziv na

pobudu proizvoljnog oblika ukoliko je poznat odziv kola na jedinični impuls.

Neka je poznat impulsni odziv nh diskretnog sistema,

nnh . (6.12)

Zbog vremenske invarijantnosti sistema je

00 nnnnh .

Imajući u vidu da se bilo koji kauzalni niz nx može izraziti pomoću jedinične impulsne funkcije tako što

se n-ti član niza predstavi formulom (6.7), to se koristeći osobine linearnosti i vremenske invarijantnosti,

odziv na proizvoljnu pobudu može odrediti na sledeći način

n

k

n

k

n

k

knhkxknkxknkxnxny

000

. (6.13)

Slika 6.6. Diskretna mreža.

5

Poslednji izraz je poznat kao konvoluciona suma ili konvolucija. Operacija konvolucije se označava zvezdi-

com između sekvenci. Kako konvolucija zadovoljava osobinu komutativnosti to je odziv mreže

nxnhnhnxny . (6.14)

U opštem slučaju konvolucija dva vremenski diskretna niza nf1 i nf2 jednaka je nizu nf ,

nfnfkfknfknfkfnfnfnf

kk

122

0

12

0

121

. (6.15)

6.5 Z transformacija signala

Analogno Laplasovoj transformaciji kod kontinualnih signala, za diskretne signale se definiše Z

transformacija na sledeći način

0n

nznfzFnfZ , (6.16)

gde je z kompleksna promenljiva.

Primer 6.2:

Odrediti Z transformaciju niza nunf .

Rešenje:

Z transformacija jedinične funkcije se određuje na sledeći način

11

11

1

321

00

z

z

zzzzzznunuzF

n

n

n

n Z . (6.17)

Očigledno je da Z transformacija jedinične funkcije ima oblik geometrijskog niza koji ima konačnu sumu

ako je 11 z . Prema tome, kauzalni niz nu konvergira ako je 1z .

Primer 6.3:

Odrediti Z transformaciju eksponencijalnog niza nuanf n .

Rešenje:

Z transformacija kauzalnog eksponencijalnog niza ,nanf za ,2,1,0n je

az

z

zazazanuazF

n

n

n

nnn

1

0

1

01

1Z . (6.18)

Primer 6.4:

Odrediti Z transformaciju niza knfny

Rešenje:

Z transformacija vremenski pomerenog signala se određuje na sledeći način

zFzzknfzzknfknfzY k

n

knk

n

n

00

Z . (6.19)

Prema tome, Z transformacija vremenski pomerenog signala jednaka je proizvodu člana kz i Z

transformacije niza, zF , gde je k vremenski pomeraj niza nf .

6

Tabela 1. Parovi kod Z tranformacije

Vremenski domen, nf Z transformacija, zF

1. n 1

2. kn kz

3. nu 11

11

z

z

z

4. nun

221

1

11

z

z

z

z

5. knu 11

1

1

z

z

z

z kk

6. nuan az

z

za

11

1

7. knf zFz k

8. nuan n 221

1

1 az

za

za

za

6.5.1 Z transformacija konvolucije signala

Ako diskretni nizovi nf1 i nf2 imaju Z transformacije zF1 i zF2 onda se Z transformacija

konvolucije, zF , dobija iz relacije

0

2

0

1

0

2

0

1

0

2121

n

n

k

n

n k

n

n

zknfkfzknfkfznfnfnfnfzF Z

iz koje se posle smene mkn dobija

zFzFzmfzkfzFm

m

k

k21

0

2

0

1

. (6.20)

Prema tome, konvoluciji u diskretnom domenu odgovara operacija množenja u Z domenu.

6.6 Inverzna Z transformacija

Ako je poznata Z transformacija diskretnog signala, primenom inverzne Z transformacije dobija se

diskretni vremenski oblik signala nf . Simbol za inverznu Z transformaciju je 1-Z , pa je

zFnfnf 11 ZZZ . (6.21)

Najčešći oblik Z transformacije niza nf , koji se koristi u praksi, je u obliku racionalne funkcije po 1z ,

N

M

MN

zbzbzbb

zazazaazF

2

21

10

22

110 .

Nadalje se razmatra samo slučaj kada je MN i kada su polovi funkcije jednostuki i realni.

Za određivanje inverzne Z transformacija funkcije zF biće korišćen metod parcijalnih razlomaka.

Funkciju zF treba rastaviti na parcijalne razlomake,

7

N

N

N

NN

i i

i

pz

zk

pz

zk

pz

zk

zp

k

zp

k

zp

k

zp

kzF

2

2

1

1

112

2

11

1

1

1 1111 (6.22)

gde su ip polovi polinoma zF a ik ostaci u polovima. Zadnja relacija je poznata pod imenom Hevisajdov

razvoj.

Ostatak ik u polu prvog reda ip se određuje po relaciji

i

i

iii

pzzF

z

pz

pzzFzpk

11 , za Ni ,,2,1 . (6.23)

Primenom inverzne Z transformacije dobija se trenutna vrednost diskretnog signala nf u obliku

N

i

nii pkzFZnf

1

1 . (6.24)

Primer 6.5:

Odrediti vremenski oblik diskretnog signala nf ako je poznata njegova Z transformacija,

21

zz

zzF .

Rešenje:

Funkcija zF se može rastaviti na parcijalne razlomke i napisati u obliku

21

21

z

zk

z

zkzF .

Konstante 1k i 2k se dobijaju iz relacija

1

1

11

zzF

z

zk i

1

2

22

zzF

z

zk

pa je

21

z

z

z

zzF

Vremenski oblik diskretnog signala dobija se primenom inverzne Z transformacije i iznosi

nunununf nn 122 .

6.7 Realizacija diskretne mreže

Da bi diskretna mreža mogla da se realizuje, potrebno je, u opštem slučaju, obezbediti čuvanje prethodnih

vrednosti ulaznih sekvenci, ,2,1 nxnx , vrednosti izlaznih sekvenci, ,2,1 nyny i međure-

zultata i realizovati računske operacije sabiranje i množenje. Ovo podrazumeva postojanje tri vrste

elemenata, a to su sabirač, množač i elemenat za kašnjenje, čije su blok šeme prikazane na slikama 6.7, 6.8 i

6.9, respektivno.

Slika 6.7. Sabirač

8

Slika 6.8 Množač Slika 6.9. Element za kašnjenje

Sabirač je blok koji predstavlja sklop u koji ulaze signali i odgovara operaciji algebarskog sabiranja. Množač

realizuje operaciju množenje ili skaliranje. Element za kašnjenje služi za pamćenje ulaznih ili izlaznih

signala. Simbol za kašnjenje je T i označava kašnjenje za jedan odmerak.

Primer 6.6:

Realizovati diskretnu mrežu koja je opisana diferencnom jednačinom

1412 nynxnxny .

Rešenje:

Blok dijagram diskretne mreže definisane zadatom diferencnom jednačinom prikazan je na slici 6.10.

Slika 6.7 Primer realizovane diskretne mreže.