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DISLOCATIONS INTERFACIALES EN ELASTICITEANISOTROPE ET ISOTROPE NON HOMOGENE

R. Bonnet

To cite this version:R. Bonnet. DISLOCATIONS INTERFACIALES EN ELASTICITE ANISOTROPE ETISOTROPE NON HOMOGENE. Journal de Physique Colloques, 1982, 43 (C6), pp.C6-215-C6-224.<10.1051/jphyscol:1982620>. <jpa-00222301>

JOURNAL DE PHYSIQUE

Colloque C6, supplément au n° 12, Tome 43, décembre 1982 page C6-215

DISLOCATIONS INTERFACIALES EN ELASTICITE ANISOTROPE ET ISOTROPE NON

HOMOGENE

R. Bonnet

Laboratoire de Thermodynamique et Physico-Chimie Métallurgiques associé au CNRS (L.A. 29), Institut National Polytechnique de Grenoble, E.N.S.E.E.G. Domaine Universitaire, B.P. 44,38401 Saint Martin d'Hères, France

Résumé.- Les champs élastiques de différents types de dislocations interfa­ciales sont illustrés en s'appuyant sur des exemples variés en élasticité anisotrope et isotrope non homogène. Le schéma du joint de flexion simple de Burgers (1939) est revu pour tenir compte de nouveaux résultats obtenus en élasticité anisotrope. Les dislocations de Somigliana relatives aux facettes interfaciales sont introduites ; les champs élastiques de certaines marches de joint infiniment longues et de fibres facettées cohérentes avec la matrice sont analysés. Une application à un matériau composite contenant des fibres continues est proposée.

Abstract.- The elastic fields of different kinds of interfacial dislocations are illustrated by means of various examples within anisotropic and non-homogeneous isotropic elasticity. The tilt boundary model of Burgers (1939) is reexamined to take into account new results obtained within anisotropic elas­ticity. The Somigliana dislocations relative to interfacial facets are intro­duced. The elastic fields of some infinitely long boundary ledges and cohe­rent faceted fibers in a matrix are examined. An application to a compo­site material containing continuous fibers is proposed.

1. Introduction.- Depuis les premières observations directes des dislocations, la théorie élastique linéaire a souvent servi de support pour l'analyse des données ex­périmentales. Dans son introduction au volume 1 de la récente collection "Disloca­tions in Solids" édité par Nabarro, Friedel tll fournit par exemple diverses applica­tions possibles de cette théorie. Cependant, d'une manière générale, très peu de tra­vaux sont consacrés aux dislocations dans le cadre de la théorie de l'élasticité dès lors qu'elles interagissent avec des surfaces libres ou des interfaces cristallines ou (et) que le milieu étudié ne peut plus être considéré comme homogène et isotrope. En particulier,la description des champs élastiques des dislocations interfaciales à partir des données expérimentales prête encore â discussion, comme d'ailleurs la description des marches interfaciales ou des binômes dislocations-marches.

Dans ce travail, les champs élastiques de trois principaux types de dislocations interfaciales sont présentés dans le cadre de la déformation plane et dans l'hypothè­se de cristaux anisotropes, ou de cristaux isotropes et de natures différentes. Elles se distinguent les unes des autres par des conditions aux limites différentes du champ des déplacements. Il s'agit : a) des dislocations de translation de Volterra [1,2] (1907), appelées aussi communément "dislocations extrinsèques". Les deux termes seront utilisés dans la suite, b) des dislocations de Frank et van der flerwe [3] (1949) appelées en anglais "misfit dislocations". Par souci de clarté, elles sont ap­pelées dans la suite "dislocations intrinsèques", par opposition aux "dislocations extrinsèques", c) des dislocations de Somigliana [4] (1914, 1915) relatives aux mar­ches interfaciales et aux facettes cohérentes des précipités.

Des applications numériques faisant appel à divers matériaux illustrent des effets d'anisotropie élastique, ou, dans le cas de l'isotropie non homogène, des effets dus à la différence de modules des cristaux. Le cas simplifié où les cristaux ont les mêmes propriétés élastiques et sont isotrooes n'est pas considéré, sauf dans le cas c).

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1982620

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2. Dislocation de translation isolée.- En adoptant l e formalisme d'Eshelby e t col. 15 1 e t Stroh 16 1, Tucker 171 e s t parvenu l e premier à exprimer, dans l e cadre de 1 ' é l a s t i c i t é anisotrope, l e champ des déplacements u k d 'une dis1 ocation extrinsèque recti l igne sur un jo in t plan. Pour deux milieux isotropes, mais à propriétés é l a s t i - ques différentes, ce n ' e s t que quelques années plus tard que ce problème sera résolu par Nakahara e t col. 181. Par l a su i t e , Humble e t Forwood 191 corrigeront certaines erreurs typographiques de l a formule (27) de Tucker, e t vérif ieront l a val id i té de leur expression (1) en simulant à 1 'ordinateur l e contraste de t e l l e s dislocations s i tuées au jo in t de macle 13 du cuivre 110 1. Une expression analytique équivalente à cel le de Humble e t Forwood [91 a éti? récemment proposéepar Dupeux e t Bonnet 1111 en partant d'une analyse différente de ce l l e de Tucker [71. L'identi té des expres- sions des références [ I l l e t 191 a é té vérif iée par 1 'auteur en t r a i t a n t divers exem- ples à 1 'ordinateur.

La f ig . 1 i l l u s t r e l'importance des e f fe t s anisotropes dans l e cas d'une disloca- tion extrinsèque d'un joint de phases séparant deux cristaux de lai ton a e t B dont Au3iH) 1 'orientation re la t ive correspond à

cel le de Nishiyama [121 e t Wasserman , , [131. Dans u n repère cartésien

1.. !lxlx2xg, l a normale au plan du jo in t e s t [Tïûia// [O011 10x2 e t l a dis- location e s t orient8e selon

1: b3 ~ 1 1 2 I // 1110 1 // 0x3. ~e vecteur de ~ u r ~ e f s 1/2 [?IO& se trouve dans l e % plan du joint . La composanteu3 des dépl acements, considérée l e long d'un ' cercle de rayon 1 nm centré sur l a

Fig. 1.- Variation de la composante u3 des dislocation e t à par t i r de la coupure déplacements d'une dislocations extrinsèque sur 1 ' interface, e s t 1 oi n de varier (1/2) [1101, sur un joint lai ton a/lai ton 6, linéairement dans chacun des cristaux l e long d'un cercle de rayon 1 nm. L'écart comme ce devrait ê t r e l e cas en iso- à l a l inéar i té e s t imputable à des ef fe ts tropie élastique [BI. Le point de anisotropes . rebroussement au passage à travers

1 ' interface ( 9 = m) e s t part iculière- ment marqué.

Lorsque l a dislocation e s t si tuée à l ' a r ê t e d'un jo in t dièdre ou sur une droite commune à N ( 2 2) joints semi-infinis, 1 'auteur a montré [14 ; 15a,bl que l a forme analytique du champ des déplacements ne d i f fère pas sensiblement du cas où l e jo in t e s t plan. Par microscopie électronique à transmission, les contrastes de t e l l e s dis- locations dièdres peuvent ê t r e mis en évidence. Sur l a f ig . 2 des dislocations diè- dres sont si tuées à l ' in tersect ion des facettes 1,2 e t 2,3 d'un jo in t de macle C3 facet té d'un a l l iage Cu-6% Si . I l s ' a g i t d'une image en champ c l a i r u t i l i s an t un plan réflecteur commun aux deux cristaux + e t -.-Les facettes 1, 2 e s 3 correseon- dent respectivement aux plans ( I l l )+/ / ( I l l ) - , (211)+// (121)- e t (11,7,7)+// (5,13,5)- Les vecteurs diffraction sont parallèles aux dislocations dièdres.

Ces facettes sont aussi visibles dans les aciers inoxydables austénitiques [16]. Les franges visibles sur les images des facettes 2 e t 3 sont l iées à l 'existence de translations relat ives rigides entre les cristaux [17] ; ces translations sont à l 'o r ig ine de dislocations dièdres.

Dans l e repère cartësien Oxlx2x3 défini sur les f ig . 3(a,b), les expressions ana- lytiques des déplacements des dislocations dièdres sont les parties rée l les de fonc- tions complexes (a,k = 1,2,3)

3

uk = Re Aak [(Da/2iv) In za + Doal (1) a = l

en anisotropie élastique, où za = xl + pax2 ; en isotropie élast ique

u k = ~e [vlkln (xl + ix2) + ( v Z k x1 + v3kx2)/(x1 + ix2)1 (2)

Dans les expressions (1) e t (2) l e s constantes complexes A a k y Da. Pu, DOa v. ( j , k = 1,2,3) sont déterminéesdans les références [14 ; 15a,b] en fonctlon de l a

J k

géométriedesjoints, des constantes élastiques des cristaux e t du vecteur de Burgers.

'Pr'

Fig. 2.- Dislocations dièdres à l ' in tersect ion des facettes 1,2 e t 2,3 d'un jo in t de macle dans l ' a l l i a g e Cu-6% Si. Micrographie électronique 200 kV, champ c l a i r , diffraction simultanée des cristaux + e t -, 4 022)+//~(202)-, normale ascendante de l a lame 140J1+, direction des électrons I3hl+// //3!31 .

La fig.3a i l l u s t r e en anisotropie élast ique les courbes iso-contraintes 012 (en 10 MPa) d'une dislocation dièdre coin si tuée à l ' in tersect ion de deux facettes <112> d'un jo in t de macle c3 dans l ' o r [18]. L'échelle des longueurs e s t indiquée

Fig. 3.- Courbes iso-contraintes 012 autour de dislocations dièdres (a) en anisotro- pie élastique ; jo in t de macle z3 dans 1 'o r ; b = -0,056 nm (b) en isotropie élastique ; ii+ = 2u- = 20 GPa ; b, =-0,l nm. Noter l a dissyhétrie des courbes iso-contraintes.

Par l e diamètre du cercle centrai (1 nm). Sur l e jo in t inférieur sont indiquées (en 10 MPa) les contraintes normales au joint . L'écart à 1 ' isotropie se manifeste par l a discontinuité des cissions au travers du jo in t e t l ' é c a r t à 45" des angles polaires

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i nd iquan t l e s i so -con t ra in tes 012 = O. La f i g . 3b e s t un exemple analogue en i s o t r o - p i e é last ique, mais dans un cas f i c t i f où l i a n g l e d ièdre (II/~) renferme un m i l i e u p lus dur (u+/~- = 2, v+ = V- = 0,3) e t où I b l = 0 , l nm. La d i s c o n t i n u i t é des c i s - sions e s t t r è s importante au j o i n t e t l e s iso-contra in tes sont dissymétriques par rappor t à x2 = O ; l e s c i ss ions s'étendent p lus largement dans l e m i l i e u + p lus dur. Cet e f f e t dev ient négl igeable s i l e vecteur de Burgers e s t p a r a l l è l e à Ox2 [141.

3. D is loca t ions de t r a n s l a t i o n répar t ies périodiquement su r un j o i n t plan.- Bien q u ' i l s o i t poss ib le de t r a i t e r l e cas de d is loca t ions extr insèques r é p a r t i e s su r l e j o i n t avec une double p é r i o d i c i t é 119 ; 20a,bl, l e cas d'une seule p é r i o d i c i t é e s t t r a i t é e dans ce paragraphe pour l a s i m p l i c i t é de l 'argumentat ion.

En sommant l e s con t r ibu t ions de chaque d i s l o c a t i o n extr insèque [21] su ivant l a méthode de Read e t Shockley [221 ou en t r a i t a n t l 'ensemble des d is loca t ions par sé- r i e s de Four ie r [20a,b] il e s t poss ib le d ' o b t e n i r l e champ é las t ique r é s u l t a n t e t notamment l e champ des contra in tes. En an iso t rop ie é last ique, un r é s u l t a t nouveau appara î t : il e x i s t e des con t ra in tes à longue d is tance opj dans des s i t u a t i o n s où l a t h é o r i e i so t rope les trouve nu l les . Cet aspect a é t é developpé analytiquement par l ' a u t e u r à propos des j o i n t s de f l e x i o n symétrique dans l e s b i c r i s t a u x [ZOc]. La f i g . 4a e s t un+exemple r e l a t i f à un arrangement pér iod ique de d is loca t ions e x t r i n - sèques coins (b//Ox2, période l / g ) au j o i n t de gra ins d'un b i c r i s t a l symétrique de germanium d o ~ t l a ~ é s o r i e n t a t i o n autour de 1 'axe commun [O111 v a r i e en t re O e t II ; pour e = O, Oxl//[lOO1. Le c a l c u l i nd ique l ' e x i s t e n c e de con t ra in tes à lonque d i s - tance o0 e t

0!3 même pour des j o i n t s de f a i b l e s désor ientat ions. En admettant que

gb2 soitlde 1 ' o r r e de 10-3, il s ' e n s u i t que 1 'o rd re de grandeur de ces con t ra in tes e s t de 1 'o rd re de quelques MPa. La f i g . 4b indique, pour les m ê ~ e s j o i n t s , l e s l a r - g e s r a r i a t i o n s avec e/2 des con t ra in tes à longue d is tance pour b//Oxl,et b//Ox3// [0111. La t h é o r i e i so t rope e s t donc pratiquement sans va leur pour l e s e s t i - mations des contra in tes à longue d is tance : en e f f e t , e l l e l e s t rouve nu l les pour l a f i g . 4a e t constantes pour l a f i g . 4b. Ce r é s u l t a t m é r i t e d ' ê t r e soul igné compte tenu du f a i b l e fac teur d 'an iso t rop ie (égal à 1,6) du germanium r231.

b

- 50

-10

O JE12 812

F ig . 4 - Contraintes à longue d is tance d 'un b i c r i s t a l de germanium désorienté autour de l ' a x e [ O l l l d 'un angle 5 causées par des 2rrygement.s périodiques de d is loca- t i o n s extr insèques (a) $// 0x2 (b ) $// $il, ou b// 0x3.

4. D is loca t ions in t r insèques sur un j o i n t plan.- L 'énerg ie é las t ique emmagasinée par un j o i n t de f lex ion simple de f a i b l e désor ien ta t ion a une va leur f i n i e en é l a s t i -

c i t é i so t rope ; par con t inu i té , c e t t e énergie d o i t aussi ê t r e f i n i e en théor ie mi- sotrope. A ins i , l e s r é s u l t a t s du paragraphe précédent conduisent à r é f u t e r , pour des

ra isons énergétiques, l 'hypothèse tacitement admise depuis Read e t Shockley [22] que l e champ é las t ique d ' u n sous- jo in t de f l e x i o n r é s u l t e simplement de 1 ' a d d i t i v i t é des champs é last iques de d is loca t ions de t r a n s l a t i o n :en ef fe t , 1 'énergie deviendrait i n f in ie .

Un réexamen des condi t ions aux l i m i t e s du problème permet de résoudre l a quest ion. Soudons l e s m i l i e u x + e t - de l a f i g . 5a, sans imposer de con t ra in tes extér ieures pour x2 i n f i n i , de façon t e l l e qu'à l ' i n t e r f a c e l e déplacement r e l a t i f paral lèlement à 0x2 v a r i e l inéai rement avec x l à 1 ' i n t é r i e u r de l a période l /g , s o i t :

uk - uk = g bk x1 + constante

avec bk (o,b ,O). Un j o i n t i den t ique à c e l u i proposé par Burgers [241 e s t a i n s i cons- t i t u é . Les dgfauts formés de c e t t e façon sont appelés d is loca t ions in t r insèques, car propres à l a nature du j o i n t . Cet arrangement périodique de défauts correspond à un déplacement r e l a t i f p a r a l l è l e à 0x2 en forme de "dents de sc ie" ( f i g . 5a-b); l a f i g .6 i l l u s t r e aussi un t e l déplacement r e l a t i f , mais p a r a l l è l e à 0x1, pour un j o i n t de phases. Mathématiquement,chacun de ces types de déplacement r e l a t i f peut ê t r e consi- déré [211 comme l a somme d 'un déplacement r e l a t i f "en e s c a l i e r " e t d 'un déplacement r e l a t i f l i n é a i r e avec x i . Il s ' e n s u i t donc que l e champ é las t ique+ f ina l peut ê t r e d é c r i t par un ensemblé pér iod ique de d i s l o c a t i o n s de t r a n s l a t i o n b(dép1acement r e l a - t if "en esca l ie r " , f i g . 5c) auquel se superpose une d i s t r i b u t i o n c n t inue de d i s l o - P cat ions de t r a n s l a t i o n ayant chacune l e vecteur de Burgers -gb d x l .

t b112 AG+-- f Fig. 6 - Déplacement r e l a t i f (!-%'-&') l e long

d 'un j o i n t de phases (a) l e s m i l i e u x sont jux ta - posés sans déformation (b) déplacements r e l a - t i f s en ''dents de sc ie " .

Fig. 5a,b,c - (a) Var ia t ion en ''dents de sc ie " du jép lacement r e l a t i f i n t e r f a c i a l para1 lèlement à 0x2. (b) I n t e r p r é t a t i o n du sous- jo in t de Bur- gers, dans un continuum élast ique, en terme de d is loca t ions de t r a n s l a t i o n . ( c ) Var ia t ion "en e s c a l i e r " du déplacement r e l a t i f i n t e r f a c i a l causé par l a mise en p lace de d is loca t ions de t r a n s l a t i o n depuis xl i n f i n i .

e es condi t ions aux l i m i t e s en déplacement peuvent aussi ê t r e in te rp ré tées dans l e s deux cas comme c e l l e s correspondant à une succession a l iqnée e t i u x t a ~ o s é e de d i s - l oca t ions de Somigliana [41 analogues à c e l l e s décr i tes Fespectiiement f i g . 9d avec & -L&, e t f i g . 8b.

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Ce modèle de sous- jo in t a une énergie é las t ique f i n i e en an iso t rop ie ; une expres- s ion a é t é proposée par 1 'auteur [20b] e t des app l i ca t ions on t é t é présentées [20cl, soul ignant l ' a n i s o t r o p i e de l ' é n e r g i e avec l a d i r e c t i o n des d is loca t ions coins l o r s - q u ' e l l e s peuvent tourner dans l e p lan du sous- jo in t . Au passage vers l ' i s o t r o p i e l e champ des con t ra in tes du b i c r i s t a l f i g . 5b tend vers c e l u i obtenu par Read e t Sho- ck ley [22] ; en e f f e t , en t h é o r i e isot rope, l a d i s t r i b u t i o n cont inue de d is loca t ions de t r a n s l a t i o n n 'a pas de champ de contra in tes.

La f i g u r e 7a,b,c, i l l u s t r e pour des d is loca t ions in t r insèques r é p a r t i e s l e long b C

10

Fig. 7 - Anisot rop ie des énergies é last iques E, e t EB stockées dans chacun des cris: taux de l a i t o n a e t 6 avec l ' o r i e n t a t i o n du j o ~ n t de phases. (a) D is loca t ions i n - t r insèques l e long du j o i n t Ox,xg. (b) Var ia t ion des énergies é las t iques avec 03. (c) Var ia t ion des énergies é last iques avec e l .

d 'un j o i n t l a i t o n , / lai ton 6, l e s v a r i a t i o n s avec 1 ' o r i e n t a t i o n du j o i n t de phases des énergies é last iques E, e t EB emmagasinées par u n i t é de surface de j o i n t , dans chacun des c r i s t a u x a e t B. L ' o r i e n t a t i o n r e l a t i v e des c r i s t a u x e s t c e l l e de N ish i - yama [121 e t Wassermann L131. In i t i a lement , l e repère ca r tés ien 0 x 1 ~ 2 ~ 3 l i é au j o i n t e t confondu avec un repère ca r tés ien- f i xe OXlX2X3, t e l que l a normale au j o i n t s o i t O&// [1101,// [001Ig, e t ~~~ / / f l l 21 , / / [ l l O i ~ ; l e s d is loca t ions in t r insèques sont pa- r a l l è l e s à 033 ; l e u r distance, mesurée par Baro e t G l e i t e r [25] e s t d = 8.8 nm ; l e u r vecteur de Burgers e s t p r i s égal à 1/3 [ l l l h ~ 1/2 [110IE. Dans un second stade, l ior ientat i_ ton du+jo in t e s t cho is ie va r iab le autour de fi3 (93 = fi2, 0 j 2 ) ou 0x1 (€11 = 0x3, 0x3). Les f igu res 7b,c ind ique l e s v a r i a t i o n s avec e l e t 83 des éner- g ies E,, Eg e t E, + Eg . Ces énergies sont symétriques avec e l e t 93. Lorsque l e 3 [ tend vers a/2 l e s distances e n t r e les d is loca t ions in t r insèques d/Cos e3 s 'acc ro is - sen t e t E,, EB tendent vers zéro, f i g . 7b. Lorsque 1611 varie, ces distances demeu- r e n t égales à d ; l e s énergies E, e t €6 v a r i e n t cependant beaucoup avec l ' o r i e n t a t i o n du j o i n t , f i g . 7c, soul ignant un e f f e t anisotrope important.

5. Dis locat ions de Somigliana e t face t tes i n t e r f a c i a l e s . - Considérons l a f a c e t t e i n - t e r f a c i a l e rec tangu la i re ABCD, de sur face 2a x Zh, f i g . 8a, de normale 0x7, qu i sé- pare deux m i l i e u x +(x2 > O) e t -(x2 < O) élastiquement ident iques. La f a c e t t e e s t r2pérée dans l e t r i è d r e ca r tés ien Oxlx2x3 centré au m i l i e u de l a f a c e t t e avec Oxl//D%. Pratiquons une coupure s'étendant seulement sur ABCD e t supposons que l ' o n impose aux deux lèv res de l a coupure un déplacement r e l a t i f l i n é a i r e avec x l e t nu l l e long de l ' a x e Ox3, pour -h < x3 < h :

Pour s i m p l i f i e r l e problème, supposons b2 = b3 = O. 1 bll peut ê t r e ass im i lé à l ' u n e ou l ' a u t r e des distances r é t i c u l a i r e s a+ e t a- de deux f a m i l l e s de plans para l - l è l e s au p lan 0 x 2 ~ 3 e t en quasi -cont inu i té au t ravers de ABCD, f i g . 8b ; b l e s t du signe de (a-- a+). Dans une dern ière étape, soudons l e s deux lèv res de l a coupure. Le défaut a i n s i cons t i tué e s t une d i s l o c a t i o n de Somigliana [41 dont l e champ é las t ique peut ê t r e obtenu en é l a s t i c i t é i so t rope ( v o i r l ' e x e n i p l e proposé en annexe)en u t i l i - sant l a théor ie des d i s t r i b u t i o n s continues de boucles de d i s l o c a t i o n [261. La so lu- t i o n du problème analogue pour lequel il y a seulement un déplacement r e l a t i f l i n ë a i r e

F ig . 8 - (a) Facet te rec tangu la i re r e l a t i f s propor t ionnels à xl.

ABCD. (b) Les m i l i e u x + e t - o n t des déplacements

avec x3 e s t du même coup réso lu : il s u f f i t de changer b l en b2, h en 1, 1 en h, x3 en - x i e t x i en -x3. Cet te méthode donne a i n s i l a vo ie à une formulat ion analy t ique du champ é las t ique de n ' impor te quel p r é c i p i t é f a c e t t é cohérent ou semi-cohérent.

Lorsque l a 1ongueurAB de l a f a c e t t e ABCD tend vers l ' i n f i n i , l ' é n e r g i e purement é las t ique ES de l a d i s l o c a t i o n de Somigliana const i tuée à p a r t i r de l a f i g . 8b a une expression par t i cu l iè rement suggestive. En e f f e t , s i r o e s t un rayon de coupure dû à 1 ' i n t e r d i c t i o n d ' u t il i s e r 1 ' é l a s t i c i t é l i n é a i r e aux bords de l a face t te , 1 'énerg ie E~ e s t (pour ro/22 << 1, Bonnet e t Marcon, soumis pour pub l i ca t ion )

Cette expression e s t donc pratiquement iden t ique [ l e terme -1 d o i t ê t r e remplacé par an(e/211)] à c e l l e de 1 'énerg ie d'un sous- jo in t de f l e x i o n t221 f i c t i f pour lequel l e s d is loca t ions coins, d is tantes de 2a, aura ien t un vecteur de Burgers b l . Les champs é last iques de cer ta ines marches i n t e r f a c i a l e s à deux dimensions peuvent aussi ê t r e ca lcu lés par c e t t e méthode en é l a s t i c i t é anisotrope homogène. Les f i g . 9a,b schématisent deux types de d is loca t ions de Somigliana l i é e s respectivement à l ' e x i s - tence de marches pour lesquel les l e s condi t ions aux l i m i t e s (u+k - u-k) sont spéci- f i é e s sur l e s fig. 9c,d. Pour l a f i g . 9c, l ' a n g l e ACX v i e n t sur l ' a n g l e ABX' de ma- n i è r e à ce que BC s o i t perpendicu la i re à CX (ou BX') ; pour l a f i g . 9d, BC e s t para l - l è l e à CX'. Le champ é las t ique correspondant à l a marche f i g . 9a de la rgeur 22 a é t é ca lcu lé par 1 'auteur [27]

où l e s constan.tes Ank, D,, sont des constantes complexes. Pour l a f i g . 9b, il s u f f i t a.

I

l i a n a associées à de ment sont i 11 ustrées respect ive-

ment en (c ) e t (d) .

C6-222 JOURNAL DE PHYSIQUE

d ' a j o u t e r en B c e l u i d'une d i s l o c a t i o n r e c t i l i g n e [5,61 de vecteur de Burgers -ET. Le champ é l a s t i q u e d'une f i b r e ou d 'un ensemble de f i b r e s peut a i n s i ê t r e obtenu

en considérant des i n t e r a c t i o n s en t re d i f f é r e n t e s d is loca t ions de Somigliana répar- t i e s dans un m i l i e u élast iquement homogène e t anisotrope. La f i g . 10a schématise une f i b r e de f e r alpha 2a x 2a en cohérence avec une mat r i ce NiA1, ayant pratiquement l e s mêmes constantes é last iques anisotropes [23,28]. Les paramètres c r i s t a l l i n s aFe, e t a ~ j A l sont t r è s peu d i f f é r e n t s , de s o r t e que l e Vern ier 6 e s t p e t i t : 6 = ( a ~ i ~ l - aFea)/aF = 7,7.10-~ (Bonnet e t Marcon, t r a v a i l en cours). I c i , 21 = 37,6 nm. Le coefffTcient d 'an iso t rop ie de NiAl e s t v o i s i n de 2,4. Malgré l a f a i - b l e va leur du Vernier 6, l a f i g . l o b ind ique des d i l a t a t i o n s élevées au centre O de l a f i b r e (19,1.10-4) e t de f o r t e s compressions dans l a mat r i ce dans des zones légère- ment en avant des facet tes. Ces d i l a t a t i o n s e sont discontinues au t ravers des face t - tes. L'approximation i so t rope permet de donner une formule compacte DOUr l ' é n e r g i e é l a s t i q u e E emmagasinée par u n i t é de longueur de l a f i b r e (ro/27 << 1) :

La valeur e s t i c i 6,3 nJ/m. En an iso t rop ie 5,3 nJ/m, s o i t 19% i n f é r i e u r e . La f i g . 10c

a X2

élast ique, c e l l e - c i e s t trouvée égale à i l l u s t r e l e champ des d i l a t a t i o n s pour un

1 c 1 I I 1 , 1

L -------------- J 0.104 L---

Fig. 10 - (a ) F i b r e carrée cohérente Fe, dans une mat r i ce NiAl . C i r c u i t de Burgers SF/RH autour d'une d i s l o c a t i o n in t r insèque d ièdre ; (b) Courbes i s o - d i l a t a t i o n en an i - so t rop ie pour une f i b r e (a) seule ; (c ) idem, mais pour un composite formé de f i b r e s analogues à (a) ; (d) composite formé de f i b r e s cohérentes s i m i l a i r e s à (a), excepté qu'un demi-plan de mat ière e s t enlevé autour de chaque f i b r e .

composite à m o t i f ca r ré 4R x 4R formé à 1 'a ide de f i b r e s ident iques à l a f i g . 10a ; l e s d i l a t a t i o n s v a r i e n t peu à l ' i n t é r i e u r des f i b r e s . En l e u r s centres e = 21,2.10-4 ; 1 'approximation de 1 ' i s o t r o p i e é las t ique e s t mauvaise, ca r e l l e don- ne û = 14,9.10-4. La f i g . 10d i l l u s t r e un composite analogue, mais pour lequel un demi-plan de mat ière a é té enlevé autour de chaque f i b r e ; ces f i b r e s correspondent au modèle de cohérence de K e l l y e t Nicholson [29]. La f i g . 10d met en évidence une augmentation considérable des d i l a t a t i o n s à 1 ' i n t é r i e u r des f i b r e s puisqu'en l e u r s centres l e s d i l a t a t i o n s sont mu1 t i p l i é e s par 2 environ. Dans l e cas de l a f i g . 10c, il e s t in té ressan t de noter que l ' é n e r g i e é las t ique par u n i t é de volume du composite passe par un maximum pour une f r a c t i o n volumique de f i b r e s vo is ine de 0,8.

B ib l iog raph ie

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Annexe

Le champ des déplacements de l a d i s l o c a t i o n de Somigliana, f i g u r e 8a, peut ê t r e obtenu en par tan t .des expressions (2 ) , (4) e t (6)de Kroupa [30] . Calculons par exem- p l e l e champ u3 dû à (bl,O,O) ;

JOURNAL DE PHYSIQUE

Ces deplacements sont nuls sur les plans x2 = 0 e t x3 = 0.

DISCUSSION

M. RUHLE : 1. I assume t h a t you did your t h e o r e t i c a l work on t h e s t r a i n and

s t r e s s d i s t r i b u t i o n around i n t e r f a c e d i s loca t ions f o r the ana lys i s

of i n t e r f a c e d i s loca t ions . I s i t possible t o determine t h e proper-

t i e s of those d i s loca t ions from TEM observations?

2. Does e l a s t i c anisotropy inf luence t h e g u a l i t a t i v e behaviour

of t h e TEM cont ras t of those d i s loca t ions?

R. BONNET : 1. Yes, t h e i d e n t i f i c a t i o n of t h e s t reng th of t h e i n t e r f a c i a l dis-

loca t ion i s possible from TEM observations, f o r instance, by

comparing experimental images and computed simulated images obtai-

ned from an assumed e l a s t i c f i e l d (Head's technic, 1967). The

Burgers vec tor s ign cannot be properly determined by another way.

2. Yes, s i g n i f i c a n t l y i f e l a s t i c anisotropy i s high. This i s espe-

c i a l l y t r u e when 2.g i s c lose to zero.

A. BOURRET : Is t h e Somigliana d i s loca t ion a spec ia l case of continuous d i s t r i -

but ion d i s loca t ion and why don't you use t h e Krb.nerltheary?

R. BONNET : The Somigliana d i s loca t ion concept is equivalent t o t h e concept of

a continuous d i s t r i b u t i o n o f d i s loca t ions . Indeed, when i n s e r t i n g

successively each of these in f in i tes imal d i s loca t ions we impose

a c e r t a i n r e l a t i v e displacement along t h e two l i p s of t h e cut .

This i s equivalent t o defining t h e Somigliana d i s loca t ion . Two

theor ies of continuous d i s t r i b u t i o n s of d i s loca t ions have been

proposed: The Krb.nerls and Kroupa's theor ies . I found t h i s l a t t e r

more easy t o apply. I n p a r t i c u l a r the displacement f i e l d i s

s t r a i g h t forward by obtainingby in tegra t ion of a convenient dis-

t r i b u t i o n of in f in i tes imal d i s loca t ion loops (see r e f . Kroupa

1962, my paper) .