Distribusi Peluang Binomial

Distribusi peluang binomial adalah distribusi yang mempunyai dua macam kategori yaitu sukses dan gagal. Percobaan dalam distribusi ini dilakukan secara berulang – ulang sebanyak n kali dengan peluang sukses p untuk setiap percobaan dan q untuk peluang gagal, percobaan ini bersifat independent (Darsyah, 2013).

Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi Binomial adalah distribusi probabilitas diskrit yang jumlah keberhasilan dalam n percobaan (berhasil/gagal) saling bebas dengan setiap hasil percobaan memiliki probabilitas p. Eksperimen berhasil/gagal disebut juga percobaan Binomial. Bila bilangan n kecil dan p besar, maka perhitungan probabilitas nilai variabel acak x tidak mengalami masalah, karena nilai probabilitas p dapat dihitung secara langsung atau diperoleh dengan memakai tabel untuk bilangan n, nilai p dan nilai x tertentu. Namun jika n besar dan p sangat kecil, maka probabilitas nilai x sulit dihitung baik secara langsung maupun dengan memakai Tabel Distribusi Binomial karena tabel hanya menyediakan nilai probabilitas untuk maksimum n = 30 dan nilai minimum p = 0,01 (Manurung, 2013).

Dalam perhitungan probabilitas distribusi Binomial dilakukan dengan memakai pendekatan distribusi Poisson. Jika n besar dan p sangat kecil maka distribusi Binomial dapat didekati dengan memakai distribusi Poisson (Manurung, 2013).

Pada distribusi binomial, kurva semakin melenceng ke kanan seiring dengan semakin besarnya n dan perbedaan nilai peluang sukses (p) dan puncak kurva semakin tinggi untuk nilai n yang lebih besar (Darsyah, 2013).

Asumsi-asumsi yang digunakan dalam eksperimen Binomial menurut Manurung (2013) adalah:

1. Setiap percobaan memiliki dua kemungkinan hasil (outcomes), yakni sukses dan gagal yang saling bebas;

2. Kemungkinan sukses ditunjukkan dengan simbol p yang tetap (konstan) dari percobaan ke percobaan berikutnya dan kemungkinan gagal ditunjukkan oleh simbol q yang juga tetap dari percobaan ke percobaan berikutnya;

3. Percobaan-percobaan sebanyak n kali adalah bersifat bebas (independent), artinya hasil setiap eksperimen tidak mempengaruhi hasil dari eksperimen yang lain.

Besarnya nilai probabilitas setiap x peristiwa sukses dari n kali eksperimen ditunjukkan oleh probabilitas sukses p dan probabilitas kegagalan q. Definisi distribusi peluang Binomial:

dengan: p = probabilitas sukses = 1 - qq = probabilitas gagaln = jumlah total percobaanx = jumlah sukses dari n kali percobaan

Beberapa sifat distribusi Binomial adalah sebagai berikut:Mean : µ = n pVarians : σ2= n p qDeviasi standar : σ =√n p q

(Manurung, 2013).

Sebaran binomial dapat didekati dengan sebaran poisson, namun sebaran poisson tidak dapat di dekati dengan sebaran binomial. Sehingga kejadian binomial harus terjadi terlebih dahulu (peristiwanya harus peristiwa binomial).

Pendekatan sebaran binomial dengan sebaran poisson dapat digunakan dengan syarat sebagai berikut:1. Secara empiris nilai n (banyak sampel) harus sangat besar dimana n → ~ . Namun pada

prakteknya tidak mungkin digunakan nilai ~ pada jumlah sampel, sehingga dalam kesepakatan nilai n minimal 30 (n ≥ 30).

2. Nilai rata-rata dalam binomial (μ = np) harus sama dengan nilai λ (np = λ) dan nilai p (p

= λn

) harus lebih kecil atau sama dengan 3% (p ≤ 3%).

Sehingga jika kedua syarat di atas dipenuhi, maka akan berlaku:

(Anonim, 2013)

Bukti distribusi binomial: Misalkan hasil usaha ke j dinyatakan dengan variabel random Xj ; Xj dimisalkan mendapat nilai 0 dan 1, masing-masing dengan peluang 1 - θ dan θ. Ini disebut peubah Bernoulli dengan Xj = 0 menunjukan suatu kegagalan sedangkan Xj = 1 menunjukan suatu sukses. Jadi banyaknya sukses dalam suatu percobaan Binomial dapat ditulis sebagai n peubah penunjuk bebas, sehingga:

X = X1 + X2 + X3 + ...... + Xn

Setiap Xj mempunyai E(Xj) = 0.( 1 – θ) + 1.θ = θE(Xj) = μ = E(X1) + E(X2) + E(X3) + ...... + E(Xn)

= θ + θ + θ + ...... + θ= n θ*

Variansi setiap Xj diberikan oleh

σ2Xj

= Var Xj = E(Xj – θ)2

= E 2j – θ2

= (0)2 (1 – θ) + (1)2 θ – θ2= θ (1 – θ)

MakaVar(X)= σ2 = Var (X1) + Var (X2) + Var (X3) + ...... + Var (Xn)

= θ (1 – θ) + θ (1 – θ) + θ (1 – θ) + ...... + θ (1 – θ)= n θ (1 – θ)

(Walpole dan Myers, 1995)

DAFTAR PUSTAKA

_________. 2013. http://jonatmendrofa.blogspot.com/2013/04/pendekatan-sebaran-binomial-

dengan_8.html (Diakses pada 31 Oktober 2013 pukul 22:53).

Darsyah, Moh. Yamin dan Ismunarti, Dwi Haryo. 2013. Perbandingan Kurva pada Distribusi

Uniform dan Distribusi Binomial. Jurnal Statistika I (1): 21-29.

Manurung, Raini., Ariswoyo, Suwarno., dan Sembiring, Pasukat. 2013. Perbandingan

Distribusi Binomial dan Distribusi Poisson dengan Parameter yang Berbeda.

Jurnal Saintia Matematika 1 (3): 299-312.

Walpole, R .E dan Myers, R. H. 1995. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan

Ilmuwan Edisi ke - 4. Alih bahasa oleh Sembiring, R.K. Bandung: ITB.