DISTRIBUSI STATISTIKA MAXWELL-BOLTZMANN DAN FERMI DIRAC

Untuk memenuhi tugas matakuliah Statistical Physics

Oleh :

Insani Mahardika (110210152007)

Kelas X

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS JEMBER

2014

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang.

Fisika statistik menunjukkan bagaimana sifat makroskopik sistem banyak

partikel dapat diturunkan dari sifat mikroskopik partikel penyusunnya. Walaupun

sepintas sangat berbeda dan tidak bersesuaian dari kedua sifat tersebut, namun

sebenarnya kedua pendekatan tersebut saling terkait. Bila kedua pendekatan tersebut

diterapkan pada sistem yang sama maka hams dihasilkan kesimpulan yang sama.

Hubungan yang sama berlaku antara termodinamika (besaran makroskopik) dengan

fisika statistik (besaran mikroskopik). Hubungan keduanya terletak pada kenyataan

bahwa beberapa sifat makroskopik yang terukur secara langsung sebenarnya

merupakan nilai rata-rata terhadap selang waktu tertentu dari sejumlah ciri khas

mikroskopik.

Statistik Maxwell Boltzmann (MB) dipakai untuk menentukan distribusi

termungkin dari partikel-partikel tak interaksi pada suatu asembel klasik. Masalah-

masalah yang rumit sering muncul pada estimasi parameter pada distribusi ini guna

mengidentifikasi dari pada sifat-sifat partikel klasik yang berupa molekul- molekul

gas. Terlihat dari hasil plot pada distribusi Maxwell Boltzmann ada kemiripan dengan

distribusi Weibull, Sehingga perlu dilakukan analisis mengenai kedekatan distribusi

Weibull terhadap distribusi Maxwell Boltzmann pada laju partikel melalui MCMC

(Markov Chain Monte Carlo).

Pada waktu menurunkan statistic boltzmann, dianggap bahwa tiap partkel

dapat dibedakan satu sama lain, dan bahwa tiap tingkat energi dapat diduduki oleh

paratikel – partikel dalaam jumlah berapa pun. Dalam statistic kuantum, anggapan

yang pertama tidak berlaku ( partikel – partikel yang identik tidak dapat dibedakan

satu sama lain ).anggapan kedua juga tidak berlaku apabila hal ini membahas

mengenai partikel seperti electron dan proton. Dalam hal ini prinsip eksklusi pauli

mensyaratkan bahwa tiap tingkat energi tadak dapat diduduki oleh lebih dari satu

partikel. Akan tetapi, partikel seperti deuteron dan photon dapat menempati sel energi

tertentu dalam jumlah berapa pun.

2

1.2 Rumusan Masalah

Adapun rumusan masalah dalam makalah ini yaitu:

1. Apakah yang dimaksud dengan fungsi distribusi statistika Maxwell-

Boltzmann?

2. Apakah yang dimaksud dengan fungsi distribusi statistika Fermi Dirac?

1.3 Tujuan Penulisan

Adapun tujuan dari penulisan makalah ini yaitu:

1. Untuk mengetahui fungsi distribusi statistika Maxwell-Boltzmann.

2. Untuk mengetahui fungsi distribusi statistika Fermi Dirac.

3

BAB II

MAXWELL-BOLTZMANN

2.1. Fungsi Distribusi Statistika Maxwell-Boltzmann

Jika titik-titik fase a, b, c, dan d, bergeser secara kontinu, maka semua

mikrostate bergeser dengan frekuensi yang sama, makrostate yang pertama dan yang

kelima masing-masing akan diamati 1/16 kali, makrostate kedua dan keempat masing-

masing 1/4 kali, dan makrostate ketiga akan diamati 3/8 kali.

Kembali pada permasalahan menghitung W untuk kasus gas, di mana jumlah

N dan semua N adalah sangat besar. Faktorial untuk jumlah bilangan yang besar dapat

dilakukan dengan pendekatan Stirling yang akan kita turunkan sebagai berikut.

Logaritme asli (alamiah) dari x faktorial adalah:

ln (x!) = x ln x – x + 1 = x ln x – x

Harga logaritme ini secara exact sama dengan luas daerah di bawah kurva tangga

yang ditunjukkan dengan garis putus-putus pada gambar 1, antara x = 1 dan x = x,

karena masing-masing segiempat lebarnya satu satuan dan tinggi yang pertama ln 2,

tinggi yang kedua ln 3, dst.

y

Luas daerah di bawah kurva pada gambar 1 secara aproksimasi sama dengan luas

kurva di bawah fungsi y = ln (x) dengan batas-batas yang sama dengan kurva tangga.

Secara pendekatan untuk x yang besar, diperoleh:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 x

Ln 5Ln 4Ln 3Ln 2

y = ln x

4

Untuk x besar faktor 1 dapat diabaikan , dengan demikian:

ln (x!) = x ln x – x ................................................................(1)

Formula ini dikenal dengan Pendekatan Stirling.

Analisis yang lebih exact dengan menggunakan deret tak hingga:

..................... (2)

Bila semua suku dalam deret diabaikan kecuali suku pertama, maka diperoleh:

............................................(3)

Jika x sangat besar, dua suku pertama persamaan (3) diabaikan, maka akan diperoleh

persamaan (1).

Dengan mengambil logaritme dari persamaan

maka akan diperoleh:

dengan

Sekarang seiring dengan perubahan waktu dan titik fase di dalam cell dari

ruang fase berubah, jumlah Ni akan berubah. Jika sistem dalam keadaan peluang

thermodinamika maksimum W0, variasi pertama W0 muncul dari variasi Ni. Dalam hal

variasi Ni adalah nol. Kita akan menggunakan simbul untuk menyatakan perubahan

kecil yang muncul dari gerak kontinu titik fase di dalam ruang fase. Jika peluang W0

adalah maksimum, maka logaritmenya juga maksimum, dengan demikian untuk

peluang maksimum adalah:

..........................................................(4)

5

..............

..................................................................(5)

akan diperoleh:

akan tetapi:

karena jumlah total partikel adalah konstan. Dengan demikian:

.............................................................................(6)

Jika persamaan (6) dinyatakan dalam bentuk suku-sukunya, maka didapatkan:

..................................(7)

Kuantitas δ N1, δ N2, δ N3, dst adalah penambahan atau pengurangan kecil dari N1, N2,

N3, dst sebagai hasil dari gerak molekul atau tumbukan. Jika penambahan atau

pengurangan tersebut semuanya independen, maka koefisien masing-masing akan

vanish secara terpisah. Akan tetapi penambahan atau pengurangan δNi tidak

independen, karena jumlah total partikel adalah konstan, dan penambahan populasi

beberapa cell yang lainnya, yakni:

δ Ni = ∑ δ Ni = δ N1 + δ N2 + δ N3 + ... = 0 .................................(8)

Persamaan (8) ini adalah salah satu persamaan kondisi yang dikenakan pada δNi.

Disamping persamaan (8), masih ada persamaan kondisi yang lain. Sistem dianggap

terosilasi, dengan demikian energi internal U sistam adalah konstan. Memang ada

δ ln (W0) = 0

δ ln (W0)

6

perubahan populasi di dalam cell yang mana titik fase yang energinya lebih besar

harus diseimbangkan dengan perubahan titik fase yang di dalam cell lain yang

energinya lebih rendah. Misalkan wi menyatakan energi molekul bila titik fasenya

dalam cell ke-i. Kuantitas wi secara umum bergantung pada koordinat semua

koordinat cell. Energi total untuk semua Ni partikel yang titik fasenya terletak di

dalam cell ke-i adalah wiNi dan energi internal U dari sistem adalah:

U = ∑ wiNi ...................................................................................(9)

Perubahan energi internal terjadi bila jumlah titik-titik dalam cell ke-i berubah

dengan δNi yakni: wi δNi, dan karena energi internal total adalah konstan, maka

jumlah semua perubahan ini harus nol. Dengan demikian:

δU = ∑ wi δNi = w1 δN1 + w2 δN2 + w3 δN3 + ... = 0 ..................(10)

Persamaan (10) ini adalah persamaan kondisi yang kedua yang dikenakan pada δNi.

Sekarang kita gunakan metode pengali tak tentu dari Lagrange. Kalikan

persamaan (8) dengan sebuah konstanta –ln α, kalikan persamaan (9) dengan

konstanta β, dan jumlahkan dengan persamaan (6), sehingga diperoleh:

∑ ( ln Ni – ln α + β wi ) δNi = 0

Karena δNi sekarang adalah independen, maka koefisien masing-masing adalah

vanish, dengan demikian nilai untuk sembarang i, adalah:

ln Ni – ln α + β wi = 0

atau

Ni = α exp (-β wi ) ........................................................................(11)

Sebagai perbandingan dengan hasil teori statistik yang akan dikembangkan

selanjutnya, kita definisikan kuantitas A sebagai A = 1/α, sehingga kita dapat

menuliskan:

...........................................................(12)

Konstanta α dapat diperoleh dari hubungan:

N = ∑ Ni = α exp (-β wi ) ..............................................................(13)

Kuantitas exp (-β wi ) memegang peranan penting di dalam teori statisktik. Kuantitas

itu disebut fungsi partisi atau jumlah keadaan dan dinyatakan dengan Z (bahasa

Jerman, Zustandssumme).

Z = exp (-β wi ) .............................................................................(14)

Dengan demikian dari persamaan (13) dan (14) maka diperoleh:

α = N / Z

7

Jumlah partikel di dalam cell ke-i, di dalam keadaan peluang thermodinamika

maksimum dinyatakan dengan:

......................................................................(15)

Adapun salah satu penerapan statistika Maxwell-boltzmann adalah pada gas ideal.

2.2.1 Penerapan Statistik Maxwell-Boltzann pada Gas Ideal

Tinjau suatu gas ideal terdir dari N buah atom atau molekul identik. Atom atau

molekul ini dipandang sebagai titik yang mengikuti hukum-hukum gerak Newton.

Karena sistem ini mengikuti statistik Maxwell-Boltzmann maka berlaku

...........................................................(16)

..................................................(17)

Rapat keadaan g (ε) dapat dicari sebagai berikut:

Karena atom atau molekul gas dianggap sebagai titik partikel maka mereka

hanya mempunyai energi kinetik translasi dan setiap partikel dapat memiliki energi

kinetik dari nol sampai tak terbatas secara kinetik. Keadaan partikel-partikel ini dapat

dinyatakan oleh momentum dengan komponen-komponennya adalah px, py, pz,

sehingga keadaan yang ada dapat direprenentasikan sebagai titik-titk dalam ruang

momentum.

Energi partikel adalah

Momentum dapat dinyatakan sebagai

Maka dan p dp = m d ε .....................................(18)

Dengan

Cacah k keadaan yang berenergi antara ε dan ε + d ε sama dengan cacah keadaan

yang bermomentum anatara p dan p + dp sehingga:

g(ε) d ε = g (p) dp .................................................................(19)

yang besarnya sama dengan volume kulit bola dVp jejari p dan dp dalam ruang

momentum yaitu dVp = 4 p2 dp

g (p) dp = p2 dp .....................................................................(20)

Py

8

dp Px

PZ

Persamaan (20) identik dengan (19)

g (ε) dε = g (p) dp ~ p2 dp

Dengan mengganti p dp dari persamaan (18) diperoleh

g (ε) dε ~ m, p dε

Cacah partikel yang berenergi antara ε dan ε + dε dalam persamaan (17) menjadi

~

= C ..................................................(21)

Jika persamaan diatas dinyatakan untuk seluruh energi yang mungkin akan diperoleh

cacah partikel total N

Dari tabel integrasi dalam hal ini a = 1/kB T

Maka

Atau sehingga

.......................................(22)

Persamaan (22) di atas menunjukkan distribusi ebergi atom atau molekul.

Energi total diperoleh degan mengalihkan cacah partikel dengan energi tiap

partikel:

9

Dengan menggunakan penyelesaian integral standar:

dengan a = 1/kB T diperoleh

.....................................................

....................(23)

Ini adalah total gas yang terdiri dari N atom atau molekul

Energi rerata tiap molekul gas ideal adalah E/N

...............................................................................(24)

Energi rerata pada suhu kamar adalah 0,04 eV

Molekul gas yang dianggap sebagai titik partikel di atas memiliki tiga mode

energi translasi yang disebut derajat kebebasan f yang berhubungan dengan gerakan

pad arah sumbu x, y, dan z. Dengan demikian energi rerata untuk tiap derajat

kebebasan adalah ½ kB T (hukum Ekipartisi atau bagi adil) sehingga

...............................................................................(25)

Untuk molekul gas beratom dua, atau gas diatomik, misalnya H2, O2 dan sebagainya

mempunyai 3 derajat kebebasan translasi dan 2 derajat kebebasan rotasi sehigga f = 5,

maka

................................................................................(26)

Sedang molekul gas beratom tiga atau lebih (disebut gas poliatomik) mempunyai tiga

derajat kebebasan translasi dan tiga derajat kebebasan rotasi, f = 6 maka ε = 3 kB T

Z Z Z

y y

x x x

Monoatomik diatomik poliatomik

3 translasi 3 translasi 3 translasi

0 rotasi f 3 2 rotasi f = 5 3 rotasi f = 610

Untuk suhu cukup tinggi masih ada tambahan dengan derajat kebebasan vibrasi.

Kapasitas panas molar gas pada volume tetap cv didefinisikan sebagai energi

yang diperlukan untuk menaikkan suhu 1 mole gas 1 K dengan volume tetap.

.................................................................................(27)

Dengan n adalah cacah mole N/NA ; NA = bilangan Avogadro yang besarnya adalah

6,02204 × 1023 (gr mol)-1.

Untuk gas mono atomik

..............................................................................................(28)

Dengan R = NA kB = tetapan gas = 5,31441 J/ (gr mol K).

Contoh:

Andaikan suatu ruangan dengan volume ~ 50 m3 diisi gas hidrogen. Cacah gas

hidrogen pada suhu dan tekanan standar adalah 1,34 × 1027. Beberapa atom hidrogen

yang berada di tingkat eksitasi pertamanya (n = 2)?

Jawab : n2 = 2, l = 0, 2 keadaan

l = 1 6 keadaan

nI = 1 , l = 0 , ml = 0 keadaan g1 = 2

n1 = 1 , g1 = 2

n1 = 2 , g1 = 8 = -3,4 eV

11

n2 = n1 4 e-433 ~ n1 10 -188

Karena maka 0. Jadi tidak ada satupun molekul gas yang berada

di tingkat tereksitasi. Distribusi laju molekul gas dapat diturunkan dengan substitusi

Dengan memasukkan pers.(29) dan (30) ke pers. (22) diperoleh cacah partikel yang

berlaju antara v dan v+dv adalah

persamaan ini pertama kali diturunkan oleh Maxwell pada tahun 1859. Laju rata-rata

partikel dihitung sebagai berikut. Laju paling terboleh jadi (the most probable

(29)

(30)

(31)

12

speed) berhubungan dengan nilai maksimum dari n (v). Misalkan

Syarat ekstrim :

Jadi, laju boleh jadi adalah

Laju efektif dihitung sebagai berikut:

Energi rata-rata

v vmaks vf vef

f (v) (32)

13

2.3 Entropi dan Probabilitas (Peluang).

2.3.1. Entropi (S)

Telah diketahui bersama bahwa entropi (S) adalah salah satu variabel dalam

termodinamika. Dimana entropi lebih banyak dibahas dalam penerapan hukum ke dua

termodinamika. Dalam hal ini hukum kedua termodinamika dalam konsep entropi

mengatakan, "Sebuah proses alami yang bermula di dalam satu keadaan

kesetimbangan dan berakhir di dalam satu keadaan kesetimbangan lain akan bergerak

di dalam arah yang menyebabkan entropi dari sistem dan lingkungannya semakin

besar". Jadi dalam hal ini dapat dikatakan, bahwa entropi adalah ukuran

ketidakteraturan sistem atau secara sederhana bisa dikatakan sebagai suattu derajat

ketidakberaturan atau derajat kehancuran. Jika entropi sistem meningkat, komponen

sistem menjadi semakin tidak teratur, random dan energi sistem lebih terdistribusi

pada range lebih besar Sdisorder > Sorder.

Pada persamaan (14) menyatakan jumlah titik fase N i di dalam cell ke i di

dalam ruang fase untuk makrostate dengan peluang maksimum. Dari sudut pandang

termodinamika, keadaan seimbang untuk sistem tertutup memiliki entropi maksimum.

Jika sistem tidak seimbang maka akan terjadi perubahan dalam sistem sampai entropi

maksimum tercapai. Jadi, di dalam keadaan seimbang baik entropi dan peluang

termodinamika mempunyai harga maksimum, yang mana akan dapat digunakan

sebagai dasar memprediksi korelasinya. Dalam hal ini dapat dicari korelasinya yaitu

antara S dan W dengan meninjau dua buah sistem A dan B yang serupa yang

bersentuhan secara termal. Pada sistem A terdapat kondisi dengan besar entropi SA

dan peluang termodinamik WA, dan untuk sistem B terdapat kondisi dengan besar

entropi SB dan peluang termodinamik WB. Karena entropi merupakan perubahan

ekstensif, maka entropi total sistem gabungan adalah:

Stotal = Sfinal – Sinitial …………………………………(33)

Jadi seperti halnya energi dalam atau entalpi, entropi (S) juga fungsi keadaan

yaitu hanya tergantung pada keadaan awal dan akhir tidak pada bagaimana proses

terjadinya yaitu: Jika entropi meningkat maka Stotal akan negatif, sebaliknya jika

entropi turun, maka Stotal akan positif.

Sedangkan untuk peluang termodinamikanya, perumusannya adalah:

Wtotal = WA .WB ……………………….…………(34)

Jika kita ambil dalam hal ini S = f (W), maka:

14

f (WAWB) = f (WA) + f (WB). ……………………………(35)

Satu-satunya fungsi yang dapat memenuhi hubungan antara entropi (S) dengan

Peluang termodinamik (W) adalah logaritma, maka dapat dituliskan persamaannya

yaitu:

S = k ln W ……………………………………………….(39)

Dengan:

K adalah konstanta Boltzman = 1, 381 x 10-23 J/K atau 8, 617 x 10-5 eV/K.

S adalah entropi.

W adalah peluang termodinamik.

Dari sudut pandangan mekanika statistik dapat diinterpretasikan bahwa

kenaikan entropi di dalam sistem tertutup adalah sebagai konsekuensi kecendrungan

alamiah sebuah sistem dari keadaan kurang mungkin menjadi lebih mungkin.

Jika ditinjau perubahan entropi suatu gas ideal di dalam ekspansi isotermal,

dimana banyaknya molekul dan temperatur tak berubah sedangkan volumenya

semakin besar, maka kemungkinan sebuah molekul dapat ditemukan dalam suatu

daerah bervolume V adalah sebanding dengan V; yakni semakin besar V maka

semakin besar pula peluang untuk menemukan molekul tersebut di dalam V.

Kemungkinan untuk menemukan sebuah molekul tunggal di dalam V adalah, pers.

(39):

W1 = c V ………………………………………….(40)

dimana c adalah konstanta. Kemungkinan menemukan N molekul secara serempak di

dalam volume V adalah hasil kali lipat N dari w. Yakni, kemungkinan dari sebuah

keadaan yang terdiri dari N molekul berada di dalam volume V adalah, pers.(40):

w = w1N = (cV)N. …………………………………(41)

Jika persamaan (41) disubstitusikan ke (39), maka perbedaan entropi gas ideal dalam

proses ekspansi isotermal di mana temperatur dan banyaknya molekul tak berubah,

adalah bernilai positif. Ini berarti entropi gas ideal dalam proses ekspansi isotermal

tersebut bertambah besar.

Definisi statistik mengenai entropi, yakni persamaan (39), menghubungkan

gambaran termodinamika dan gambaran mekanika statistik yang memungkinkan

untuk meletakkan hukum kedua termodinamika pada landasan statistik. Arah dimana

proses alami akan terjadi menuju entropi yang lebih tinggi ditentukan oleh hukum

kemungkinan, yakni menuju sebuah keadaan yang lebih mungkin. Dalam hal ini,

15

keadaan kesetimbangan adalah keadaan dimana entropi maksimum secara

termodinamika dan keadaan yang paling mungkin secara statistik. Akan tetapi

fluktuasi, misal gerak Brown, dapat terjadi di sekitar distribusi kesetimbangan. Dari

sudut pandang ini, tidaklah mutlak bahwa entropi akan semakin besar di dalam tiap-

tiap proses spontan. Entropi kadang-kadang dapat berkurang. Jika cukup lama

ditunggu, keadaan yang paling tidak mungkin sekali pun dapat terjadi: air di dalam

kolam tiba-tiba membeku pada suatu hari musim panas yang panas atau suatu vakum

setempat terjadi secara tiba-tiba dalam suatu ruangan. Hukum kedua termodinamika

memperlihatkan arah peristiwa-peristiwa yang paling mungkin, bukan hanya

peristiwa-peristiwa yang mungkin.

2.3.2. Peluang (Probability).

Konsep peluang lebih sering digunakan di dalam istilah lain seperti

ketidakketeraturan sistem. Semakin besar ketidakketeraturan, maka semakin besar

peluang termodinamika dan semakin besar entropinya. Derajat keteraturan terbesar

dari titik fase gas di dalam ruang fase tercapai jika semua berada di dalam sebuah cell,

yakni jika semuanya di dalam volume yang sangat kecil di dalam ruang biasa dan

semua bergerak dengan kecepatan sama. Peluang termodinamika W mempunyai nilai

minimum satu dan entropi k ln w adalah nol. Lebih banyak partikel yang terpancar

keluar di dalam ruang biasa, dan lebih besar kecepatan yang terpancar dalam ruang

kecepatan, maka lebih besar ketidakketeraturan dan lebih besar entropinya.

Tinjaulah sebuah contoh, misalkan sebuah bejana dibagi menjadi dua bagain

sama dipisahkan dengan sebuah partisi. Kedua bagian bejana tadi diisi dengan jumlah

molekul yang sama dari gas yang berbeda. Sistem mempunyai derajat keteraturan

tertentu untuk smeua molekul pada masing-masing sisi dari partisi. Jika partisi

sekarang dihilangkan, gas menyebar secara difusi ke sisi yang lain, dan akhirnya ke

dua molekul-molekul terdistribusi secara uniform ke seluruh ruang volume. Dari

awal, keteratauran tidak muncul dan sistem tidak teratur, atau ketidak teraturan telah

meningkat. Demikian pula entropinya bertambah, karena volume ditempati oleh

masing-masinggas yang telah rangkap (pada temperatur konstan, jika gas adalah

ideal).

Di dalam ekspansi adiabatik reversible dari gas, volume bertambah tetapi

temperatur berkurang. Entropi yang tersisa adalah konstan, dengan demikian ketidak

teraturan juga tetap. Peningkatan ketidak teraturan sebagi akibat penambahan volume

16

dikonpensasi dengan penurunan ketidak teraturan akibat dari pemancaran kecepatan

yang lebih kecil pada suhu yang lebih rendah.

Menurut hukum termodinamika, proses ini hanya dapat terjadi di dalam sistem

tertutup untuk entropi yang membesar atau di dalam limit yang tersisa konstan. Setiap

proses dalam mana entropi akan berkurang merupakan sesuatu yang dilarang. Kita

lihat bahwa penjelasan statistik dalam menginterpretasikan entropi merupakan

pernyataan dogmatis yang harus dimodifiskasi. Misalnya sebuah sistem dalam

keadaan peluang termodinamika maksimum atau entropi maksimum. Keadaan ini

bukanlah statis karena perubahan kontinue titik fase di dalam ruang fase. Kadang-

kadang sebuah keadaan akan menghasilkan peluang dan juga entropi kurang dari

harga maksimum. Perubahan kecil lebih mungkin dari pada perubahan besar, namun

perubahan besar tersebut tidak mungkin. Kita akan membahas permasalahan ini lebih

detail di dalam topik fluktuasi.

Marilah kembali pada persamaan (39) S = k ln W. Berdasarkan persamaan (4)

dan persamaan (13), maka diperoleh:

ln W = N ln N – Σ Ni ln Ni

= N ln N – Σ Ni (ln N – ln Z - βwi)

= N ln N – ln N Σ Ni + ln Z Σ Ni + β Σ Ni wi …………(42)

Karena Σ Ni = N dan β Σ Ni wi sama dengan energi internal U. Dengan demikian:

S = k ln W = N k ln Z + k β U ………………………………..(43)

Berdasarkan uraian diatas, konsep temperatur tidak muncul di dalam

pengembangan teori statistik. Hal itu sekarang dapat dikumukakan sebagai berikut.

Berdasarkan prinsif termodinamika dari hubungan:

atau …………………………….(44)

Berdasarkan persamaan (44), maka diperoleh:

= k β …………………………………………………(45)

Dengan:

…………………………………………(46)

Berdasarkan persamaan (45) dan (46), maka diperoleh:

17

β = 1/kT

sekarang konstanta β dapat ditentukan. Dengan demikian seperangkat persamaan yang

melibatkan β dapat dituliskan kembali yaitu:

Jumlah titik-titik di dalam cell ke I dapat dinyatakan dalam bentuk T.

……………………………………(47)

Dengan Z menyatakan fungsi partisi, yang dirumuskan sebagai:

Z = Σ exp (- wi / kT )………………………………………(48)

Energi internal sistem U adalah:

U = Σ wi Ni =

Turunan Z terhadap T adalah:

Dengan demikian, akan diperoleh:

U = ……………………….(49)

Kemudian berdasarkan persamaan (44), maka diperoleh:

S = N k ln Z + U/ T

Fungsi Helmholtz diberikan oleh F = U – TS, jadi akan diperoleh:

F = - N kT ln Z

Jadi, dapat kita lihat bahwa sekali fungsi partisi z telah ditentukan, maka

semua sifat-sifat thermodinamika dari sistem dapat ditentukan. Hanya perbedaan pada

energi internal dan entropi dapat di dalam thermodinamika, metode statistik

mencakup kedua pernyataan ini tanpa memerlukan konstan tak tentu.

18

BAB III

FERMI DIRAC

3.1 Pengenalan tentang statistik fermi-diract

Fermi-Dirac statistik (-D statistik F) adalah bagian dari ilmu dari fisika yang

menggambarkan energi partikel tunggal dalam suatu sistem yang terdiri dari banyak

partikel identik yang mematuhi Prinsip Pengecualian Pauli . Hal ini dinamai Enricos

Fermi dan Paul Dirac , yang masing-masing menemukan secara mandiri.

F-D statistik berlaku untuk partikel identik dengan setengah-integer spin

dalam sistem dalam kesetimbangan termal Selain itu, partikel dalam sistem ini

diasumsikan memiliki diabaikan saling interaksi . Hal ini memungkinkan-sistem

banyak partikel dijelaskan dalam istilah tunggal-partikel keadaan energi . Hasilnya

adalah distribusi Fermi-Dirac partikel lebih dari negara-negara ini dan mencakup

kondisi bahwa tidak ada dua partikel dapat menempati keadaan yang sama, yang

memiliki pengaruh yang besar pada sifat-sifat sistem. Fermi-Dirac Sejak statistik

berlaku untuk partikel dengan-integer spin setengah. Hal ini paling sering diterapkan

pada elektron , yang fermion dengan spin 1 / 2. Fermi-Dirac statistik merupakan

bagian dari bidang umum lebih dari mekanika statistik dan menggunakan prinsip-

prinsip mekanika kuantum .

F-D statistik pertama kali diterbitkan pada tahun 1926 oleh Enrico Fermi dan

Paul Dirac . Menurut account, Pascual Jordan dikembangkan pada tahun 1925

statistik yang sama yang disebut Pauli statistik, tapi itu tidak dipublikasikan pada

19

waktu yang tepat . Bahwa menurut Dirac, itu pertama kali dipelajari oleh Fermi, dan

Dirac menyebutnya statistik Fermi dan partikel yang sesuai fermion.

F-D statistik diterapkan pada tahun 1926 oleh Fowler untuk menggambarkan

runtuhnya sebuah bintang ke kerdil putih . Pada tahun 1927 Sommerfeld diterapkan

untuk elektron dalam logam dan pada tahun 1928 Fowler dan Nordheim diterapkan

ke lapangan emisi elektron dari logam. Fermi-Dirac statistik tetap menjadi bagian

penting dari fisika.

Pada waktu menurunkan statistic boltzmann, dianggap bahwa tiap partkel

dapat dibedakan satu sama lain, dan bahwa tiap tingkat energi dapat diduduki oleh

paratikel – partikel dalaam jumlah berapa pun. Dalam statistic kuantum, anggapan

yang pertama tidak berlaku ( partikel – partikel yang identik tidak dapat dibedakan

satu sama lain ).anggapan kedua juga tidak berlaku apabila hal ini membahas

mengenai partikel seperti electron dan proton. Dalam hal ini prinsip eksklusi pauli

mensyaratkan bahwa tiap tingkat energi tadak dapat diduduki oleh lebih dari satu

partikel. Akan tetapi, partikel seperti deuteron dan photon dapat menempati sel energi

tertentu dalam jumlah berapa pun.

3.2 Distribusi Statistik Fermi-diract

Partikel dengan spin setengah integral identik dan tidak dapat dibedakan.

Disini, suatu prinsip eksklusi (dikenal sebagai prinsip eksklusi pauli) membatasi

penempatan suatu tingkat energi hanya dengan syarat tidak lebih dari satu partikel.

Jumlah susunan yang dapat dibedakan dari Ni partikel diantara gi tingkat energi dari

sel yang ke I diperoleh sebagai berikut : bila pertkel dapat dibedakan, partikel pertama

dapat ditempatkan pada salah satu dari gi tingkat energi, dan untuk tiap pemilihan ini,

partikel yang kedua dapat ditempatkan pada salah satu dari (gi-1) tingkat yang tersisa,

dan seterusnya. Jumlah susunan bila partikel – partikel dapat dibedakan adalah :

gi (gi - 1) ……… (gi – Ni +1) =

Bila pertikel tidak dapat dibedakan, hasil ini harus dibedakan dengan Ni!,

jumlah permutasi dari Ni partikel diantara mereka sendiri. Probalitas termodinamika

untuk sel ke i menjadi :

Wi =

20

Untuk berabgai sel yang digabungkan, probalitasnya adalah

W = W1 W2………….. = Wi

Atau :

W =

Distribusi partikel kedalam keadaan – keadaan energi, peluang termodinamika

pada tingkat energi ke i : gi Ni

Missal tingkat energi 2 dengan gi = 3 dan Ni = 2 banyak cara menyusun

paertisi kedalam keadaan – keadaan energi adalah :

x X

X x

x x

Gambar. 1 Distribusi Fermi-diract

W2 = peluang termodinamika

N partikel terdistribusi kedalam :

N1 partikel ditingkat 1 dengan banyaknya kedaan g1

N2 partikel ditingkat 2 dengan banyaknya kedaan g2

N3 partikel ditingkat 3 dengan banyaknya kedaan g3

3.3 Energi Fermi

Keadaan makro dengan peluang terbesar, dicari W yang maksimum maka ln W

maksimum, maka dln W = 0, lalu diterapkan untuk system yang terisolasi

, gunakan pendekatan strling

ln W = { ln gi - gi – Ni ln Ni + Ni - (gi – Ni) ln Ni (gi – Ni) + (gi – Ni)}

dln W =

21

= { - ln Ni dNi - dNi + ln (gi – Ni) dNi +

= { - ln Ni dNi + ln (gi – Ni)} dNi

=

Untuk sistem terisolasi :

N tetap dN = 0

U tetap dU = 0

dln w + dN + dU = 0

Sehingga :

Fermi dirac (partikel identik dan tak dapat dibedakan tetapi tiap sel hanya

dapat berisi tidak lebih dari satu pertkel).

Bila gi >> Ni >>1, maka (x) menjadi,

Sehingga (x) menjadi : , parameter dan parameter ,

dengan ef dinamakan energi Fermi.

22

3.4 Fungsi Fermi

, dengan

, dinamakan fungsi Fermi

3.5 Temperatur Fermi

Bentuk kurva f (e) Pada T =00 K, pada temperature absolute nol Kelvin (T=0),

o Untuk e < ef

o Untuk e>ef

f(e)

1

0,5

Gambar. 2 Kurva Hubungan F(e) - E

Pada T=0, keadaan energi yang energinya kecil dari ef. maka keadaan energi

tersebut terisi, keadaan yang energi yang energinya besar dari ef maka keadaan energi

tersebut kosong.

T 0

Contoh gas fermion

Gas , gas electron logam (alkali)

Electron valensi Na 1 elektron valensi

0

T2 > T1

T1 = 0

T = 0 0k

23

K 1 elektron valensi

Ag 1 elektron valensi

N(e)de = f(e) g(e) de, pada temperature nol mutlak, fungsi Fermi

f(e)

1

Gambar. 3 Kurva f(E) – ef(0)

Sehingga :

Untuk Boson

Sedngkan untuk fermion :

(Fermion)

Ef(0) untuk gas electron >> ef(0) untuk gas helium 3(2He), karena

perbedaan massa

0 ef(0) e

24

Gas

Helium ( He32 ) 0,94X10-3k 10 k

Gas Elektron dalam intan (li) 4,7 59x103 k

Gas Elektron dalam potensial(k) 2,1 29x103

= Temperatur fermi

Tinjau gas 3He pada T= 300 0k

Contoh : 1 contoh statistic klasik

3.6 Gas elektron

Pada temperature kamar (T<< Tf) maka kurva untuk fungsi Fermi adalah

F(e)

Gambar. 4 Kurva hubungan F(e)-Ef(0) pada Gas elektron

Tinjau tiga Kasus berikut :

e= (ef-kt)

e= ef

E=(ef+kt)

f(e)

0 ef(0) e

25

1

Gambar. 5 Kurva f(e)-Ef;kt

Pada distribusi Fermi-Diract kita dapatkan bahwa :

g(E) dE merupakan jumlah keadaan (tingkat energi) dalam daerah energi E dan E+dE.

Pada gas ideal kita dapatkan bahwasanya :

Dengan persamaan tersebut maka kita dapatkan

N(E) dE = f(E) . g(E) dE pada temperatur o0 C

Gambar. 6 Kurva Hubungan dn/dE-E pada T=0

Ini merupakan distribusi energi dari elektron bebas menurut distribusi fermi-

diract.

Ef-kt ef+kt e

26

Gambar. 7 Kurva Hubungan antara dn/dE - Ef

Nilai rata-rata energi sebuah elektron dalam gas elektron pada temperatur nol mutlak

adalah :

dan jika T<<<Tf maka

Untuk energi internal suatu gas elektron pada temperatur T adalah : U=NE

Kapasitas kalor pada volume tetap untuk satu mol elektron (NA) elektron adalah :

Untuk zat padat Cv = 3R

Untuk partikel bebas = 3/2 R

Untuk partikel gas elektron = 0,05 R

27

Peluang termodinamik (W)

Entropi (S)

S = k ln W

Bila g j >> Nj >>1

S =k ln W

=k ln

=

Bila g j>>Nj >> 1

X<<1 ,

Pendekatan yang telah dilakukan

28

Untuk Fermi – Dirac

Bila << 1 , maka

E Z U Pers. keadaan

F Entropi

Cv

29

(Statistik klasik Maxwell-Boltzman)

Pada distribusi Maaxwell-Boltzman

,

Untuk seluruh tingkat energy

Untuk seluruh keadaan energy

, Fungsi partisi untuk tiap keadaan

N j ≠ N i

30

BAB IV

PENUTUP

4.1 Kesimpulan

Maxwell-Boltzmann

Berdasarkan pembahasan yang telah dipaparkan di atas, dapat ditarik simpulan

sebagai berikut.

1. Satu-satunya fungsi yang dapat memenuhi hubungan antara entropi (S)

dengan Peluang termodinamik (W) adalah logaritma, maka dapat dituliskan

persamaannya yaitu: S = k ln W .

2. Penerapan Statistik Maxwell-Boltzann pada Gas Ideal

Tinjau suatu gas ideal terdir dari N buah atom atau molekul identik. Atom

atau molekul ini dipandang sebagai titik yang mengikuti hukum-hukum

gerak Newton. Karena sistem ini mengikuti statistik Maxwell-Boltzmann

maka berlaku

...........................................................(16)

..................................................(17)

3. Konsep peluang lebih sering digunakan di dalam istilah lain seperti

ketidakketeraturan sistem. Semakin besar ketidakketeraturan, maka semakin

besar peluang termodinamika dan semakin besar entropinya. Derajat

keteraturan terbesar dari titik fase gas di dalam ruang fase tercapai jika

semua berada di dalam sebuah cell, yakni jika semuanya di dalam volume

yang sangat kecil di dalam ruang biasa dan semua bergerak dengan

kecepatan sama. Peluang termodinamika W mempunyai nilai minimum satu

dan entropi k ln w adalah nol. Lebih banyak partikel yang terpancar keluar

di dalam ruang biasa, dan lebih besar kecepatan yang terpancar dalam ruang

kecepatan, maka lebih besar ketidakketeraturan dan lebih besar entropinya.

Fermi Dirac

Fermi-Dirac statistik (-D statistik F) adalah bagian dari ilmu dari fisika yang

menggambarkan energi partikel tunggal dalam suatu sistem yang terdiri dari banyak

31

partikel identik yang mematuhi Prinsip Pengecualian Pauli . Hal ini dinamai Enricos

Fermi dan Paul Dirac , yang masing-masing menemukan secara mandiri.

Untuk mengetahui banyak cara menyusun partisi kedalam keadaan-keadaan energi

adalah :

Untuk mengetahui Energi Fermi(Ef) kita menggunakan persamaan :

Untuk mengetahui Energi Fermi pada saat temperatur fermi (Ef(0)),kita dapat

nilai Ef(0) adalah sebagai berikut :

4.2 Saran.

Dalam pembelajaran fisika statistik Maxwell-Boltzmann dan Fermi Dirac,

perlu membaca banyak sumber yang berkaitan untuk menambah pengetahuan.

32

DAFTAR PUSTAKA

Anonim,2010,http://biomed.ee.itb.ac.id/courses/Material%20biomedika/BAB%209%20b5%2 0Sifat%20Listrik%20Metal.pdf

,2010,http://phys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/ Termos tatistik. pdf

___________,2010,http://id.wikipedia.org/wiki/Partikel_Elementer

___________,2010.http://www.fisikanet.lipi.go.id/data/1014224400/data/1215589659.pdf

Purwanto,A.,2007, Fisika Statistik, Yogyakarta, Gava Media

33