DISTRIBUSI NORMAL

OLEH

ELLIN JUNIARTI

06121408012

Distribusi normal menggunakan variabel acak

kontinu. Distribusi normal sering disebut Distribusi

Gauss. Distribusi ini merupakan salah satu yang paling

penting dan banyak digunakan. Distribusi ini

menyerupai bentuk lonceng (bell-shape) dengan nilai

rata-rata sebagai sumbu simetrisnya.

Variabel acak kontinu X mempunyai fungsi densitaspada X = x dengan persamaan:

dengan :

nilai konstan yang ditulis hingga 4 desimal

e = bilangan konstan yang ditulis hingga 4 desimal, e =2,7183

parameter, merupakan rata-rata untuk distribusi

parameter, merupakan simpangan baku untuk distribusi

Jika nilai x mempunyai batas < x < , makadikatakan bahwa variabel acak X berdistribusi normal.

3,1416

21( )2

1( )

2

x

f x e

Sifat-sifat penting dari distribusi normal, yaitu:

1. Grafiknya selalu ada di atas sumbu-X (horizontal)

2. Bentuk simetrik terhadap x =

3. Mempunyai modus pada x = sebesar 0,3989/

4. Grafik mendekati (berasimtutkan) sumbu-X pada X

= -3 dan X = +3

5. Kurva normal digunakan sebagai acuan pengujian

hipotesis jika ukuran sampel n = 30

6. Luas daerah yang dibatasi oleh sumbu-X dan kurva

normal sama dengan satu satuan luas.

Untuk tiap pasang dan , sifat-sifat di atas selaludipenuhi, hanya bentuk kurvanya saja yang berlainan.

Jika makin besar, kurvanya makin rendah (platikurtik)

Jika makin kecil, kurvanya makin tinggi (leptokurtik)

Untuk menentukan peluang harga X antara a dan b,

yakni P (a < X < b).

Untuk penggunaan praktis telah dibuat daftar distribusi

normal standar atau normal baku yaitu dengan = 0 dan

= 1 sehingga fungsi densitasnya berbentuk:

Untuk z dalam daerah < z < .

21( )1 2( ) ( 2 )

b x

a

P a X b e dx

21

21

( )2

z

f z e

Untuk mengubah distribusi normal umum menjadi

distribusi normal baku dapat digunakan menggunakan

rumus :

Perubahan grafiknya dapat dilihat gambar di bawah ini:

XZ

Setelah distribusi normal baku yang didapat dari distribusi normalumum, maka daftar distribusi normal baku dapat digunakansehingga bagian-bagian luas distribusi normal baku dapat dicari.Caranya adalah :

1. Hitung z sehingga dua desimal

2. Gambarkan kurvanya seperti gambar normal standar

3. Letakkan harga z pada sumbu datar, lalu tarik garis vertikal hinggamemotong kurva.

4. Luas yang tertera dalam daftar adalah luas daerah antara garis inidengan garis tegak di titik nol.

5. Dalam tabel normal cari tempat harga z pada kolom paling kirihanya satu desimal dan desimal keduanya dicari pada baris palingatas.

6. Dari z di kolom kiri maju ke kanan dan dari z di baris atas turunke bawah, maka didapat bilangan yang merupakan luas yangdicari. Bilangan yang didapat harus dituliskan dalam bentuk0,xxxx (bentuk 4 desimal).

Contoh penggunaan daftar normal baku yang akan

dicari luas daerah, antara lain:

1. Antara z = 0 dan z = 2,15Gunakan tabel Distribusi Normal.

Di bawah z pada kolom kiri cari 2,1 dan di

atas sekali cari angka 5. Dari 2,1 maju ke

kanan dan 5 menurun, didapat 0,4842.

Luas daerah yang dicari, dilihat daerah yang

diarsir = 0,4842.

2. Antara z = 0 dan z = -1,86karena z bertanda negatif, maka pada

grafiknya diletakkan di sebelah kiri 0.

Untuk daftar digunakan di bawah z kolom

kiri didapat 1,8 dan di atas angka 6.

Dari 1,8 ke kanan dan dari 6 ke bawah

didapat 0,4686 Luas daerah = daerah diarsir

= 0,4686.

3. Antara z = -1,50 dan z = 1,82

Dari grafik terlihat kita perlu mencari luas dua kali,

lalu dijumlahkan.

Mengikuti cara di 1 untuk z = 1.82 dan cara di 2

untuk z = -1.50, masing-masing didapat 0,4656 dan

0,4332. Jumlahnya = luas yang dicari = 0,4332 +

0,4656 = 0,8988

4. Antara z = 1,40 dan z = 2,65

Yang dicari adalah luas dari z = 2,65 dikurangi luas

dari z = 0 sampai ke z = 1,40. Masing-masing didapat

0,4960 dan 0,4192. Jumlahnya = luas yang dicari =

0,4960 0, 4192 = 0,0768

5. Dari z = 1,96 ke kiri

Luasnya sama dengan dari z = 0 ke kiri (= 0,5)

ditambah luas dari z = 0 sampai ke z = 1,96.

Untuk z = 1,96 dari daftar didapat 0,4750.

Luas yang dicari = 0,5 + 0, 4750 = 0,9750

Fenomena distribusi data normal :

1. Kira-kira 68,27% dari kasus ada dalam daerah satu

simpangan baku sekitar rata-rata, yaitu antara

dan + .

2. Ada 95,45% dari kasus terletak dalam daerah dua

simpangan baku sekitar rata-rata, yaitu antara 2

dan + 2

3. Hampir 99,73% dari kasus ada dalam daerah tiga

simpangan baku sekitar rata-rata, yaitu antara 3

dan + 3

Contoh soal:

Berat bayi yang baru lahir rata-rata 3750 gram dengan

simpangan baku 325 gram. Jika berat bayi

berdistribusi normal, maka tentukan:

a. Berapa bayi yang beratnya lebih dari 4500 gram?

b. Berapa bayi yang beratnya antara 3500 gram dan

4500 gram, jika semuanya ada 10.000 bayi?

c. Berapa bayi yang beratnya lebih kecil atau sama

dengan 4000 gram jika semuanya ada 10.000 bayi?

d. Berapa bayi yang beratnya 4250 gram jika semuanya

ada 5000 bayi?

Penyelesaian:

Dengan X = berat bayi dalam gram, = 3750 gram, = 325 gram,maka:

a. Untuk X = 4500

Berat yang lebih dari 4500 gram, pada grafiknya ada disebelah kanan

z = 2,31

Luas daerah ini = 0,5 0,4896 =

0,0104.

Jadi, ada 1,04% dari bayi yang

beratnya lebih dari 4500 gram

4500 37502,31

325

Xz

b. Dengan X = 3500 dan X = 4500

Banyak bayi yang beratnya antara 3500 gram dan 4500 gram

diperkirakan ada (0,7960)(10.000) = 7690

Luas daerah yang perlu = daerah

yang diarsir = 0,2794 + 0,4896

= 0,7690.

3500 37500,77

325

4500 37502,31

325

Xz

Xz

c. Beratnya lebih kecil atau

sama dengan 4000 gram,

maka beratnya harus lebih

kecil dari 4000,5 gram.

maka,

Peluang berat bayi lebih kecil

atau sama dengan 4000 gram

= 0,5 + 0,2794 = 0,7794.

Banyak bayi

= (0,7794)(10.000) = 7794

d. Berat 4250 gram berarti

antara 4294,5 gram dan

4500,5 gram. Jadi, untuk X =

4294,5 dan X= 4500,5

didapat:

Luas daerah yang perlu

= 0,4382 0,4370 = 0,0012

Banyak bayi

= (0,0012)(5000) = 6

4000,5 37500,77

325z

4249,5 37501,53

325

4250,5 37501,54

325

z

z

Jenis bentuk kurva yang diakibatkan oleh perbedaanrentangan nilai dan simpangan baku ada tiga macam:

1. Leptokurtik, merupakan bentuk kurva normal yangmeruncing tinggi karena perbedaan frekuensi padaskor-skor yang mendekati rata-rata sangat kecil.

2. Platikurtik, merupakan kurva normal yangmendatar rendah karena perbedaan frekuensi padaskor-skor yang mendekati rata-rata sangat kecil.Skor-skor yang mendekati rata-rata sangat kecil.

3. Normal, merupakan bentuk kurva normal yangbiasa, artinya bentuknya merupakan bentuk antaraleptokurtik dan platikurtik, karena penyebaran skorbiasa dan tidak terjadi kejutan-kejutan yang berarti.

Bentuk ketiga kurva normal itu dapat dilihat pada

grafik, berikut ini: