DISTRIBUSI NORMAL

DAN DISTRIBUSI POISSON

Disusun Oleh :

KELOMPOK I MATEMATIKA IIIB

1. Triwiyati N (08411.276)

2. Erna Dwi K (08411.123)

3. Heri Cahyono (08411.145)

4. Heri Kiswanto (08411.146)

5. Hifa Ari Norani (08411.147)

6. Ika Setianingsih (08411.156)

7. Rudi Hartono (08411.248)

8. Yudha Sofyan M (08411.293)

DOSEN PENGAMPU :

Ika Krisdiana, S.Si.

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA

DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

IKIP PGRI MADIUN

2009

Kata Pengantar

Assalamualaikum Wr. Wb.

Puji syukur Alhamdulillah kami panjatka kehaditat Allah SWT yang telah

melimpahkan rahmat, hidayah dan inayah-Nya kepada kami, sehingga makalah

yang berjudul Distribusi Poisson dan Distribusi Normal dapat diselesaikan

dengan baik.

Adapun tujuan dan maksud dari penulisan makalah ini adalah sebagai

tugas mata kuliah statistika dasar semester III pada program studi pendidikan

matematika di IKIP PGRI Madiun.

Kami mengucapkan terima kasih kepada ibu Ika Krisdiana, S.Si. selaku

dosen mata kuliah statistika dasar yang telah memberi kami kesempatan sehingga

kami dapat menyelesaikan pembuatan makalah ini dengan baik. Ucapan terima

kasih juga kami sampaikan kepada semua pihak yang telah membantu pembuatan

makalah ini.

Kami menyadari bahwa masih banyak kekurangan dan kelemahan dalam

pembuatan makalah ini, karena itu kami sebagai penulis senantiasa mengharapkan

kritik dan saran dari pembaca.

Wassalamualaikum Wr. Wb.

Madiun, 14

Desember 2009

Penyusun

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ......................................................................................................

DAFTAR ISI .....................................................................................................................

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ...............................................................................................

1.2 Rumusan Masalah ..........................................................................................

1.3 Tujuan Penulisan ...........................................................................................

BAB II PEMBAHASAN DISTRIBUSI NORMAL DAN DISTRIBUSI POISSON

A. Distribusi Poisson ..........................................................................................

B. Distribusi peluang untuk variabel kontinu .....................................................

C. Latihan soal ....................................................................................................

BAB III PENUTUP

Kesimpulan ....................................................................................................

LAMPIRAN

DAFTAR PUSTAKA

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG

Setiap peneliti yang mencoba memahami fenomena yang dipelajari

secara kuantitatif, sering menggunakan Statistik. Banyak peneliti datang

kepada penulis menanyakan masalah evaluasi kualitas analisis statistik yang

mereka laksanakan. Memang tidak mungkin dapat dilakukan evaluasi

terhadap kualitas analisis statistik, tanpa pemahaman dasar dasar teori

peluang yang memadai. Dari kalangan mahasiswa yang datang kepada

penulis, umumnya mereka menanyakan masalah penggunaan teori peluang

dalam kehidupan sehari-hari. Dapat memahami, mereka perlu memperluas

wawasannya.

1.2 RUMUSAN MASALAH

Masalah yang dirumuskan dalam makalah ini, sebagai berikut :

1. Apakah definisi Distribusi Poisson.

2. Bagaimana menentukan peluang suatu kejadian yang berdistribusi

Poisson.

3. Bagaimana menentukan peluang suatu kejadian yang berdistribusi Binom

dengan pendekatan Distribusi Poisson.

4. Apakah definisi Distribusi Normal.

5. Bagaimana menentukan peluang suatu kejadian yang berdistribusi Binom

dengan pendekata distribusi Normal.

1.3 TUJUAN PENULISAN

Tujuan penulisan makalah ini adalah sebagai berikut :

1. Menentukan peluang suatu kejadian yang berdistribusi Poisson.

2. Menentukan peluang suatu kejadian yang berdistribusi Binom dengan

pendekatan Distribusi Poisson.

3. Menentukan peluang suatu kejadian yang berdistribusi Normal.

4. Menentukan peluang suatu kejadian yang berdistribusi Binom dengan

pedekatan distribusi Normal.

BAB II

PEMBAHASAN

DISTRIBUSI POISSON DAN DISTRIBUSI NORMAL

A. Distribusi Poisson

Dalam kehidupan sehari-hari variabel yang mengikuti distribusi

poisson adalah variabel yang menggambarkan peristiwa-peristiwa yang

jarang terjadi.

Variabel acak diskrit x dikatakan mempunyai distribusi poisson, jika fungsi

peluangnya berbentuk :

P(x) = P (X = x) =

x = 0 1, 2, . . . . n

e = Sebuah bilangan konstan jika dihitung hingga 4 desimal

e = 2,7183. Nilai dapat dilihat pada lampiran.

Ternyata distribusi poisson ini mempunyai parameter :

=

=

Distribusi poisson sering digunakan untuk menentukan peluang sebuah

peristiwa yang dalam area kesempatan tertentu diharapkan terjadinya sangat

jarang.

Contoh :

1. Misalkan dari 50 siswa SD kelas 1, rata-rata ada 2 orang yang dapat

berenang. Sebuah sampel berukuran 100 siswa sudah diambil. Jika x

adalah banyak siswa SD kelas 1 yang dapat berenang. Berapa peluang

siswa SD kelas 1 yang tidak dapat berenang?

Jawab:

x = 0

= 2 x 2 = 4

P (0) = P (X = 0) =

=

=

= 0,0183

Jadi, peluang siswa SD kelas 1 tidak dapat berenang adalah 0,0813.

2. Misalkan rata-rata ada 1,4 orang buta huruf untuk setiap 100 orang.

Sebuah sampel berukuran 200 telah diambil. Jika x = banyak buta huruf

per 20 orang. Berapakah peluang tidak terdapat buta huruf ?

Jawab:

x = 0

= 1,2 x 2 = 2,8

P (0) = P (X = 0) =

=

= 0,0608

Jadi, peluang tidak terdapat buta huruf adalah 0,0608.

Distribusi poisson dapat dianggap sebangai pendekatan kepada

distribusi binom. Apabila pada distribusi binom N cukup besar, sedangkan P

= peluang terjadinya peristiwa A sangat dekat kepada 0. Sedemikian sehingga

= N.x.p tetap. Maka distribusi binom dapat idekati oleh distribusi poisson.

Untuk penggunaannya sering dilakukan pendekatan ini. jika N 50

dan Np 5.

Contoh:

Peluang seorang siswa SMP akan mendapat reaksi buruk setelah

mengikuti latihan berenang besarnya 0,0005 dari 4000 siswa yang

mengikuti latihan berenang. Berapakah peluang siswa yyangb mendapat

reaksi buruk :

a. Tidak ada

b. Ada 1 orang

c. Paling banyak 2 orang

Jawab :

N = 4000

P = 0,0005

= N . P = 4000 . 0,0005

= 2

a. Tidak ada, x = 0

P (0) = P (X = 0) =

=

= 0,1353

b. Ada 1 orang, x =1

P (1) = P (X = 1) =

=

= 0,1353 . 2

= 0,2706

c. Paling banyak 2 orang, x = 0,1,2

P (0,1,2) = P (0) + P (1) + P (2)

P (2) = P (X = 2) =

=

=

= 0,2706

P (0,1,2) = 0,1353 + 0,2706 + 0,2706

= 0,6765

B. Distribusi Peluang Untuk Variabel Kontinu

1. Distribusi normal

Definisi :

Apabila x merupakan variabel yang mengikuti distribusi peluang (fungsi

dentitas):

f (x) =

; - < x <

- < <

> 0

Maka dikatakn x mengikuti distribusi normal dengan rata-rata : x dan

simpangan baku :

Sifat-sifat distribusi normal:

a. Kurvanya berbentuk kurva yang simetrik sekitar .

b. Luas daerah di bawah kurva menunjukkan peluang.

Luas daerah grafik = i.

Menghitung peluang untuk distribusi normal secara matematis harus

menggunakan perhitungan integral.

Luas daerah = 1

< x <

x x

Misal :

P (x1 < x < x2) = .?

P (x1 < x < x2) =

.

dt

Perhitungan integral diatas merupakan perhitungan yang sukar

diselesaikan. Untuk menghitung luas dibawah kurva normal tidak

langsung membuat perhitungan integral tetapi menggunakan tabel

distribusi normal baku.

2. Distribusi normal baku

Dalil :

Apabila terhadap variabel x yang mengikuti distribusi normal dengan

rata-rata : dan simpangan baku : , kita melakukan transformasi variabel

z =

Maka akan mengikuti distribusi normal dengan rata-rata = 0 dan

simpangan baku : = 1 dan bentuk fungsi dentitas distribusi normal baku

adalah

f (x) =

; - ~ < z < ~

Jadi distribusi normal baku adalah distribusi distribusi normal yang rata-

ratanya : = 0 dan simpangan baku = 1.

?

x2 x1 x

N = 0,1

Z 0

Peluang untuk distribusi normal baku dapat dilihat dari tabel normal baku.

Bilangan-bilangan yang ada pada badan tabel memperlihatkan luas daerah

dibawah kurva dari 0 ke z.

Kurva distribusi normal baku bentuknya simetri. Jadi luas daerah dari 0

ke z sama dengan luas daerah dari 0 ke z.

Contoh penggunaan tabel normal baku.

Mencari luas daerah (peluang).

1. Berapa luas dareah antara z = 0 dan z = 1,51

Dari tabel normal baku dibawah kolom z pada kolom kiri cari 1,5 dan

kolom atas angka 1. Dari 1,5 maju ke kanan dan dari 1 menurun,

sehingga diperoleh angka 4345.

Maka luas daerah yang dicari adalah 0,4345.

2. Berapa luas daerah antara z = 0 sampai dengan z = -2,27

P (- 2,27 < z < 0) = .?

Luas daerah dari z = 0 sampai z = -2,27 adalah 0,4884

3. Berapa luas daerah antara z = 1,82 dan z = 3,24

P (0 < z < 1,51)

0 1,51 Z

Z -2,27 0

P1 (-1,82 < z < 0)

P2 (0 < z < 3,24)

P = P1 + P2 ?

= (-1,82 < z < 3,24)

P1 = 0,4656

P2 = 0,4994

P = P1 + P2

= 0,4656 + 0,4994

= 0,9650

4. Berapa luas daerah antara z = 2,45 dan z = 3,47

P1 (0 < z < 3,47)

P2 (0 < z < 2,45)

P = P1 - P2 ?

= (2,45 < z < 3,47)

Jadi luas daerah antara z = 2,45 dan z = 3,47 adalah 0,4997 0,4929 =

0,0068.

Antara distribusi Binom dan Distribusi Normal terdapat hubungan

tertentu. Jika untuk fenomena yang berdistribusi Binom berlaku :

-1,82 0 3,24 Z

Z 0 2,45 3,47

a. N cukup besar

b. = P(A) = peluang peristiwa A terjadi, tidak terlalu dekat kepada nol

maka distribusi Binom dapat didekati oleh distribusi Normal dengan rata-

rata = N. dan simpangan baku =

untuk pembakuan, agar daftar distribusi Normal baku dapat dipakai, maka

digunakan transformasi:

Z =

Dengan X = variabel acak diskrit yang menyataka terjadinya A. karena

disini telah mengubah variabel acak diskrit dari distribusi Binom menjadi

variabel acak kontinu dalam distribusi normal, maka nilai-nilai X perlu

mendaptkan penyesuian. Yang dipakai ialah dengan jalan menambah atau

mengurangi dengan 0,5. Pendekatan distribusi Binom oleh distribusi

normal sangat berfaidah, antara lain untuk mempermudah perhitungan.

C. Latihan Soal

1. Misal dari sekumpulan orang, 1% nya berkacamata. Secara random

ditunjuk 500 orang.

a. Tentukan probabilitasnya bahwa dari 500 orang itu yang berkacamata

2 orang.

b. Berapa orangkah yang diharapkan berkacamata dari 500 orang

tersebut?

c. Carilah Varians banyaknya orang yang berkacamata dari 500 orang

tersebut?

2. Pada setiap 100 lembar kertas produksi suatu pabrik diperkirakan terdapat

1 lembar yang rusak. Tentukan probabilits mendapatkan selembar kertas

rusak dari 20 lembar kertas yang diambil secara acak dari hasil produksi

tersebut.

3. Andaikan 2% dari uang di Bank adalah palsu. Tentukan probabilitas

terdapat 3 lembar uang palsu dari 100 lembar uang yang diambil secara

acak.

4. Misal X variabel random yang berdistribusi noral dengan dan

. Hitunglah nilai Z untuk dan , kemudian hitunglah

).

5. Diberikan suatu distribusi normal dengan dan .

Tentukanlah:

a. Luas daerah di bawah 214

b. Luas daerah di atas 174

BAB III

PENUTUP

KESIMPULAN

1. Distribusi Poisson merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit

acak yang mempunyai nilai 0, 1, 2, 3, dst. Distribusi Poisson adalah nilai-

nilai bagi suatu variabel random X (X diskrit), yaitu banyaknya hasil

percobaan yang tejadi dalam suatu interval waktu tertentu atau disuatu

daerah tertentu.

2. Distribusi Poisson mengkalkulasi distribusi probabilitas dengan

kemungkinan sukses p sangat kecil dan jumlah eksperimen n sangat besar.

3. Rumus distribusi Poisson suatu peristiwa

P(x) = P (X = x) =

Keterangan:

P(x) = nilai probailitas distribusi Poisson

= rata-rata hitung dan jumlah nilai sukses, dimana

= bilangan konstan = 2,71828

= jumlah nilai sukses

= probabilitas sukses suatu kejadian

DAFTAR PUSTAKA

Dra. Kustini, M.Pd dan Dra. Etty Tejo Dwi Cahyowati, M.Pd. 1994.

Statistika Matematika I. Jakarta: Universitas Terbuka

Depdikbud

Prof. Dr. Sudjana, M.A., M.Sc. 1975. Metoda Statistika. Bandung: Tarsito

http://www.wahana-statistika.com/index.php/Ilmu-Probabilita/distribusi-

peluang.html

LAMPIRAN

KUNCI JAWABAN LATIHAN SOAL

1.

n = 500

a.

b.

Banyaknya orang yang diharapkan berkacamata = 5 orang

c. Var

Varians banyaknya orang yang berkacamata = 5 orang

2. Pada peristiwa tersebut dan

Karena n besar dan p kecil maka terjadi distribusi Poisson dengan

3. Karena dan maka

Sehingga

Var

Jadi dari 100 lembar uang yang diambil, banyaknya uang palsu yang

diharapkan ada 2 lembar, sedangkan variannya ada 2 lembar.

4. Z1 =

= 3

Z2 =

= 1

5. a.

b.

= 0

-3 0 1

0 1,4

-0,40 1,2