Upload
others
View
123
Download
7
Embed Size (px)
Citation preview
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ
MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
DİNAMİK
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
İÇİNDEKİLER
1. GİRİŞ
- Konum, Hız ve İvme - Newton Kanunları
2. MADDESEL NOKTALARIN KİNEMATİĞİ
- Doğrusal Hareket - Düzlemde Eğrisel Hareket - Bağıl Hareket (Ötelenen Eksenlerde) - Birbirine Bağlı Maddesel Noktaların Hareketi
3. MADDESEL NOKTALARIN KİNETİĞİ
- Kuvvet, Kütle ve İvme - İş ve Enerji - İmpuls ve Momentum
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ
DİNAMİK
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ
DİNAMİK
2KİNEMATİK
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Doğrusal Hareket
2.1Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
MADDESEL NOKTALARIN KİNEMATİĞİ
DİNAMİK
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
2.1. Doğrusal Hareket 1
YörüngeA
Yörünge
v
A
O
r 'r
A'd r
v = d r
dt
v // d r
v =
v = ds
dt
Yön :
Şiddet :
Doğrusal harekette hız vektörü daima yörüngeye paraleldir.
YörüngeA
Or '
r A'd r
d r
a = d v
dta =
Yön :
Şiddet :dv
dt
Doğrusal harekette ivme vektörü daima yörüngeye paraleldir.
Bu eşitliksadece doğrusal harekette geçerlidir.
DinamikBehcet DAĞHAN
= dt
| d r |= s
= dt
= v
Maddesel Noktaların Kinematiği
a // d v
| d v | Yörünge
d vv
v '
A
a
dv
| d v | = dv
dssO
Hız vektörününboyunda meydana gelen değişme
Hız vektöründekivektörel değişimin boyu
www.makina.selcuk.edu.tr
s = 0
!
Herhangi bir nokta orijin olarak seçilebilir.
Yörüngesi bir doğru olan harekete doğrusal hareket denir.
→
→→
→
→ →
→→
→→
→→
→
↑
↑
↑
↑ →
→→
→
→ →
→→
→
→←
Fakat yörünge üzerinde bir noktanınorijin olarak seçilmesi daha uygundur.
→
↑
| d r | = ds→←
↑
Yönleri aynıdır.
Yönleri aynıdır.
Dolayısıylabütün hız vektörleri de birbirine paraleldir.
Dolayısıylabütün ivme vektörleri de birbirine paraleldir.
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
DinamikBehcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinematiği
Yörünge
v > 0
A
a > 0
s > 0
O
v < 0a < 0
s < 0
Yörüngenin bir tarafıkeyfi olarak pozitif taraf seçilir ve
Orijinden itibaren bir taraf pozitif konumların bulunduğu taraftır vediğer taraf da negatif konumların bulunduğu taraftır.
YörüngeA
s > 0s > 0v > 0a > 0
s < 0v < 0a < 0
O
s < 0
v > 0a > 0
v < 0a < 0
Hızlanma
v > 0v < 0
Yavaşlama
a > 0 a < 0
diğer taraf negatif taraf olur.Pozitif taraf verilen problemde önceden seçilmiş olabilir.
Doğrusal harekette hız ve ivme vektörleridaima yörüngeye paralel oldukları içinbu vektörlerin sadece şiddetleri ile ilgilenmekyeterli olur. Hız ve ivme vektörlerinin hangiyönde olduklarını belirtmek için deşiddetleri pozitif veya negatif alınır.
a = − 10 m/s2
Sadece doğrusal hareketteyön belirtmekiçin kullanılır.
İvme negatif olsa da maddesel noktahızlanabilir.
Keyfi olarakseçilmiş olan
pozitiftaraf
İvme pozitif olsa da maddesel noktayavaşlayabilir.
YavaşlamaHızlanma
2.1. Doğrusal Hareket 2
s = 0
s = 0
Keyfi olarakseçilmiş olannegatiftaraf
www.makina.selcuk.edu.tr
v = − 12 m/s
! !
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
DinamikBehcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinematiği
ds = v(t) dt
a = dv
dt
v = ds(t)
dtv =
ds
dtdt =
ds
v(s)
dv = a(t) dta = dv(t)
dtdt =
dv
a(v)
v dv = a(s) dsa
v=
dv
ds
a
v=
dv(s)
ds ds = v dv
a(v)
ds = v dt
dv = a dt
v dv = a ds
dt = ds
v
dt = dv
a
ds = v dv
a
a = dv
dtv =
ds
dt
Aşağıdaki bağıntıların tamamı yukarıdaki iki bağıntıdan yola çıkarak elde edilmiş bağıntılardır.Problem çözerken yapılabilecek matematik işlemlere örnek olarak verilmiştir.
Doğrusal hareket problemlerinde zaman, konum, hız ve ivme büyüklükleri arasında s(t), v(t), a(t), v(s), a(v,s) vb. bağıntılar verilmiş olabilir.Verilen bağıntıda hangi büyüklüğün hangisine bağlı olduğuna ve problemin diğer verilerine bakıp
ona göre aşağıdaki sık rastlanılan formlardan faydalanarak problem çözülür.
2.1. Doğrusal Hareket 3
veya
www.makina.selcuk.edu.tr
veya
veya veya
veya veya
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
a = a0 = sb. iken:a = a0 = sb. iken:
dv = a dt ∫ dv = a0 ∫ dtt1
t2
v1
v2
∫ dv = a0 ∫ dt0
t
v0
vv = v0 + a0 t
ds = v dt ∫ ds = ∫ v(t) dt = ∫ (v0 + a0 t) dtt1
t2
s1
s2
s = s0 + v0 t + a0 t 2∫ ds = ∫ (v0 + a0 t ) dt
0
t
s0
s
veya
veya
v dv = a ds ∫ v dv = a0 ∫ dss1
s2
v1
v2
0
s
v0
vv 2 = v0
2 + 2 a0 sveya ∫ v dv = a0 ∫ ds
1
2
Dv = a0 Dt
t1
t2
v = f(t)
s = f(t)
v = f(s)
Maddesel Noktaların Kinematiği
v2 − v1 = a0 ( t2 − t1)
İvme, sabit olduğu için integral dışında bırakılabilir.
a
t
a = a0 = sb.a0
0
2.1. Doğrusal Hareket 4
+ lar daima + dır. s0 , v0 veya a0 negatif olabilir.
→
→
→
→
→
→
www.makina.selcuk.edu.tr
Dinamik
!
Behcet DAĞHAN!
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Dinamik
s
t
v = ds
dt
1v
t
a = dv
dts = f(t)
Ds
v = f(t)
teğet teğet a
t
a = f(t)
Dv
t
Maddesel Noktaların Kinematiği
Not : Bu grafikler aynı hareket için çizilirken birbiri ile uyumlu çizilir. Buradaki grafikler ise aynı hareket için çizilmiş grafikler değildir.
s-t grafiğinin teğetinin eğimit-anındaki hızı verir.
v-t grafiğinin teğetinin eğimit-anındaki ivmeyi verir.
t
a-t grafiğinin altında kalan alan,göz önüne alınan zaman aralığında
hızların farkını (Dv) verir.
t1 t2 t1 t2
v-t grafiğinin altında kalan alan,göz önüne alınan zaman aralığında
konumların farkını (Ds) verir.
ds = v dt ∫ ds = ∫ v(t) dtt1
t2
s1
s2
Ds =v-t grafiğininaltında kalan alan
dv = a dt ∫ dv = ∫ a(t) dtt1
t2
v1
v2
Dv =a-t grafiğininaltında kalan alan( ( ( (
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
2.1. Doğrusal Hareket 5
} } } }→ →
1
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik
s
t
v
t
Ds = v0 Dt
Ds
Dv = a0 Dt
v
t
v = v0 = sb.
Ds
a
t
a = a0 = sb.
Dv
a = a0 = sb.
v = v0 = sb.a = 0
v = v0 + a0 t
s = s0 + v0 t
s = v0 t
0
0
Maddesel Noktaların Kinematiği
Dt
v0
Dt
a0
s0
0
v0
0
v = a0 t
t1 t2
t1 t2
0
0
0
0t1 t2
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
2.1. Doğrusal Hareket 6
→
→
→
→
Ds = vort Dt
vort = ––––––v1 + v2
2
n ≥ 2
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik
y
x
Maddesel Noktaların KinematiğiBehcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
2.1. Doğrusal Hareket 7
y = k x1
A
a
b
O
A = –– a b1
2
y
x
y = k x2
A
a
b
O
A = –– a b1
3
y
x
y = k x3
A
a
b
O
A = –– a b1
4
y
x
y = k xn
A
a
b
O
A = ––––– a b1
n + 1
. . .
y
x
y = k xn
A
a
b
O
A ≠ ––––– a b1
n + 1
O (0,0)
y
x
y = k xn
a
b
O
A = ––––– a bn
n + 1A
!
!
Parabolik bir eğrinin altında kalan alanı bulmanın pratik yolu
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği
Serbest düşme veya düşey atışta hız ve ivmenin durumuSerbest düşme veya düşey atışta hız ve ivmenin durumu
Sadece yerçekimi etkisinde düşey olarak doğrusal hareket yapan bir maddesel noktanın ivmesi daima düşey ve aşağı doğrudur.
Yukarı taraf pozitif seçilirse Aşağı taraf pozitif seçilirse
+
+
A
a = − g v > 0
A
a = g v < 0
−
−
a = a0 = sb.
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
2.1. Doğrusal Hareket 8
Düşey yörünge
pozitiftaraf
negatiftaraf
+
A
a = − g v < 0
− +
A
a = g v > 0
−
Yönbelirtir
Bir cisim x-ekseni boyunca sabit bir ivme ile hareket etmektedir. t = 0 anında x0 = − 6 m ve vx0 = 4 m/s dir. Ayrıca t = 10 s anında x in değeri maksimumdeğere ulaşmıştır. xmax değerini ve t = 15 s anındaki x değerini bulunuz. t = 0 ile t = 15 s zaman aralığında maddesel noktanın konumundaki değişmeyi vekatettiği yolu bulunuz.
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği
Örnek Problem 2/1Örnek Problem 2/1
1. Çözüm1. ÇözümVerilenler:Verilenler:
t = 0 iken x = x0 = − 6 m v = vx0 = 4 m/s
İstenenler:İstenenler:
t = 10 s anında x = xmax
x = 0 iken x = xmax olur.
xmax = ?
t = 15 s anında x = ?
a = ax0 (sabit)
a = ax0 (sabit)
x = vx
vx = vx0 + ax0 t
t = 10 s → v x = 0
0 = 4 + ax0 (10)
ax0 = − m/s225
x = x0 + vx0 t + ax0 t21
2
x = − 6 + 4t + (− ) t212
25
x = − 6 + 4t −t2
5
t = 10 s anında x = xmax = 14 m
x = f(t)
t = 15 s anında x = 9 m
x, m
t = 0
x = − 6 m
a = ax0 (sabit)vx0
t = 10 s
t = 15 sx = 0
x = xmax = 14 m
vx = 0
x = 9 m
t1 = 0, t2 = 15 szaman aralığındamaddesel nokta yön değiştirdiğiiçin konumdaki değişme ∆x ilekatettiği yol Dbirbirine eşit değildir.
D = AB + BCD = (xB − xA) + (xB − xC)D = [14 − (− 6)] + (14 − 9)
D = 25 m
∆x = AC∆x = xC − xA
∆x = 9 − (− 6)
∆x = 15 m
A O BC
vx < 0
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
2.1. Doğrusal Hareket 9
t1 = 0t2 = 15 s } ∆x = ?
D = ?
Bir cisim x-ekseni boyunca sabit bir ivme ile hareket etmektedir. t = 0 anında x0 = − 6 m ve vx0 = 4 m/s dir. Ayrıca t = 10 s anında x in değeri maksimumdeğere ulaşmıştır. xmax değerini ve t = 15 s anındaki x değerini bulunuz. t = 0 ile t = 15 s zaman aralığında maddesel noktanın konumundaki değişmeyi vekatettiği yolu bulunuz.
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği
2. Çözüm2. Çözüm
a = ax0 = − ––– = − –– m/s2
t, s
vx, m/s
0 10
A B Cx = − 6 m
∆xI = 20 m
4
0
10
4
15
−2
xmax = xB = (−6) + 20
D = 20 + |−5|
xC = (−6) + 20 + (−5)
∆x = 20 + (−5)
∆xII = −5 m
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
2.1. Doğrusal Hareket 10
Örnek Problem 2/1Örnek Problem 2/1
x, m
t = 0
x = − 6 m
a = ax0 (sabit)vx0
t = 10 s
t = 15 sx = 0
x = xmax = 14 m
vx = 0
x = 9 mA O BC
vx < 0
x = xmax = 14 m x = 9 m
xmax = 14 m xC = 9 m
∆x = 15 m
D = 25 m
4
10
2
5
İstenenler:İstenenler:
xmax = ?
t = 15 s anında x = ?
t1 = 0t2 = 15 s } ∆x = ?
D = ?
Verilenler:Verilenler:
t = 0 iken x = x0 = − 6 m v = vx0 = 4 m/s
t = 10 s anında x = xmax
x = 0 iken x = xmax olur.
a = ax0 (sabit)
x = vx
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği
Doğrusal hareket yapan bir araba, hareketsiz iken 10 s içinde düzgün bir şekilde sıfıra inen 6 m/s2 lik bir ivme ile harekete başlıyor ve10 s sonunda da sabit bir hızla harekete devam ediyor. Başlangıçtan itibaren katettiği yol ne kadar sürede 400 m olur?
Verilenler:Verilenler:
a = f(t)
t = 0 iken v = v0 = 0
İstenenler:İstenenler:
dv = a dt
dv = (− t + 6) dt
0
Hareketin iki farklızaman aralığında iki farklıivmesi var. Dolayısıylahareketi iki kısımdaincelemek uygun olacaktır.
I. kısım:
a = 0
II. kısım:
D = Δs = 400 m
Δt = ?
t, s
6
10
a = − t + 635
5
30
0 t, s100
0
a = 0
I. kısım II. kısım
I. kısım için:
35
∫ dv = ∫ (− t + 6) dt350
v
30
t
v = − + 6t35
t2
2
t = 10 s anında:
v = sb.
t
v = − + 6t3t2
10
ds = v dt
I. kısım için:
∫ ds = ∫ (− + 6t) dt3t2
1000
s 10
ds = (− + 6t) dt3t2
10
s = (− + 6 |310
t3
3t2
2 0
10
s = 200 m = ΔsI
I. kısmın sonunda ulaştığı konum
Göz önüne alınan aralıktahareketin yönü değişmediğiiçin katedilen yolkonumlar arası farka eşittir.
ds = v dt
II. kısım için:
∫ ds = 30 ∫ dt10200
400 t
ds = 30 dt
t = 16.67 s
400 − 200 = 30 (t − 10)
Δt = ?
v = sb.
www.makina.selcuk.edu.tr
2.1. Doğrusal Hareket 11
Örnek Problem 2/2Örnek Problem 2/2
I. kısım II. kısım
I. kısmın sonunda ulaştığı hız
1. Çözüm1. Çözüma, m/s2
v = 30 m/s
v, m/s
Δt = 16.67 s
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği
Doğrusal hareket yapan bir araba, hareketsiz iken 10 s içinde düzgün bir şekilde sıfıra inen 6 m/s2 lik bir ivme ile harekete başlıyor ve10 s sonunda da sabit bir hızla harekete devam ediyor. Başlangıçtan itibaren katettiği yol ne kadar sürede 400 m olur?
a = f(t)
t = 0 iken v = v0 = 0
Hareketin iki farklızaman aralığında iki farklıivmesi var. Dolayısıylahareketi iki kısımdaincelemek uygun olacaktır.
D = Δs = 400 m
Δt = ?
t, s
a, m/s2
6
100
0
v, m/s
100
0
I. kısım II. kısım I. kısım II. kısım
30
Δv
t
I. kısım için:
Δv =
Δv = 30 m/s = v − v0
6 (10)
2
v0 = 0 olduğu için:
v = 30 m/s
I. kısmın sonunda ulaştığı hız
a-t grafiğinin altında kalan alanhızdaki değişmeyi verir:
ΔsI ΔsII
Göz önüne alınan aralıktahareketin yönü değişmediğiiçin katedilen yolkonumlar arası farka eşittir.
ΔsI = 200 m
I. kısım için:
v-t grafiğinin altında kalan alankonumdaki değişmeyi verir:
ΔsI = 30 (10)2
3
II. kısım için:
Δs = ΔsI + ΔsII = 400 m
ΔsII = 30 (t − 10)
t = 16.67 s
200 + 30 (t − 10) = 400
Δt = 16.67 s
400 m
Verilenler:Verilenler:
İstenenler:İstenenler:
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
2.1. Doğrusal Hareket 12
Örnek Problem 2/2Örnek Problem 2/2
a = 0
v = sb.
Δt = ?
t, s
2. Çözüm2. Çözüm
I. kısım:
II. kısım:
ÇözümVerilenler:
İstenenler:
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği
s = 0 konumundan ilk hızsız olarak harekete başlayan ve doğrusal hareket yapan bir motosikletin ivmesikonuma bağlı olarak şekildeki gibi değişmektedir. s = 200 m iken motosikletin hızını bulunuz.
ÇözümVerilenler:
s = 0 iken v = 0
İstenenler: v dv = a ds
0
200v
0
2
4
6
0 100 200s, m
a, m
/s2
s = 200 m iken v = ?∫ v dv = ∫ a ds
0
a-s grafiğinin altında kalan alan
0
2
4
6
0 100 200s, m
a, m
/s2
950 (m/s)2
v 2 = 950 (m/s)21
2
v = 43.6 m/s
{ {
www.makina.selcuk.edu.tr
2.1. Doğrusal Hareket 13
Örnek Problem 2/3Örnek Problem 2/3
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği
Şekildeki plancırın ve şaftın yatay hareketi, şafta bağlı diskin yağ içerisinde hareket etmesindendolayı dirençle karşılaşmaktadır. Plancırın A konumunda x = 0 ve t = 0 iken hızı v0 dır.Yavaşlatıcı olan ivme ise hız ile doğru orantılı, yani a = − k v dir. Burada k bir sabittir.Plancırın hızı v yi ve konumunun koordinatı x i t cinsinden veren bağıntıları elde ediniz.Ayrıca v yi x e bağlı olarak yazınız.
Yağ
x v
A
ÇözümÇözümVerilenler:Verilenler:
a = − k v a = f(v)
x = 0t = 0 } iken v = v0
k = sb.
İstenenler:İstenenler:
v = f(t)
x = f(t)
v = f(x)
dv = a dt
dv = (− k v) dt
dvv = − k ∫ dt
0
t
v0
v
v0
( ln v | = − k t
v = v0 e− k t
v = f(t)
ds = v dt
dx = (v0 e− k t) dt
∫ dx = v0 ∫ e− k t dt
0
t
0
x
dx = v dt
x = ( e− k t |v0
− k 0
t
v
v dv = a ds
v dv = (− k v) dx
∫ dv = − k ∫ dx0
x
v0
v
v = v0 − k x
v = f(x)
x = f(t)
x = (1 − e − k t )v0
k
v0 e− k t = v0 − k x
ds = v dt
dx = v dt
0
t
0
x
dx = (v0 − k x) dt
v0 − k x
dx= ∫ dt
[ ln (v0 − k x)| = t0
x
− k
1
x = f(t)
x = (1 − e − k t )v0
k
x = f(t)
x = (1 − e − k t )v0
k
x-t bağıntısı için alternatif çözümler
∫
∫
www.makina.selcuk.edu.tr
2.1. Doğrusal Hareket 14
Örnek Problem 2/4Örnek Problem 2/4