Doğrusal Hareket

7/21/2019 Doğrusal Hareket

http://slidepdf.com/reader/full/dogrusal-hareket 1/18

Behcet DAĞHAN Behcet D

Behcet DAĞHAN

MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞ

MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ

Behcet DAĞHAN

www.makina.selcuk.edu.tr

DİNAMİK




İÇİNDEKİLER

1. GİRİŞ

- Konum, Hız ve İvme - Newton Kanunları

2. MADDESEL NOKTALARIN KİNEMATİĞİ

- Doğrusal Hareket - Düzlemde Eğrisel Hareket - Bağıl Hareket (Ötelenen Eksenlerde) - Birbirine Bağlı Maddesel Noktaların Hareketi

3. MADDESEL NOKTALARIN KİNETİĞİ

- Kuvvet, Kütle ve İvme - İş ve Enerji - İmpuls ve Momentum

Behcet DAĞHAN


MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ

DİNAMİK




Behcet DAĞHAN


MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ

DİNAMİK

2KİNEMATİK




Doğrusal Hareket

2.1

Behcet DAĞHAN


MADDESEL NOKTALARIN KİNEMATİĞİ

DİNAMİK

2 1 D ğDi ik

M dd l N kt l Ki tiği





2.1. Doğrus

A

Yörünge

v

A

O

r ' r

A' d r

v =d r

dt

v // d r

v =

v =ds

dt

Yön :

Şiddet :

Doğrusal harekette hız vektörü daima yörüngeye paraleldir.

A

O

r '

r A' d r

d r

a =d v

dt

a =

Yön :

Şiddet :dv

dt

Doğrusal harekette ivme vektörü daima yörüngeye paraleldir.

Bu eşitlik

sadece doğrusal harekette geçerlidir.

Dinamik Behcet DAĞHAN

=

dt

| d r |= s

=dt

= v

Maddesel Noktaların Kinematiği

a // d v

| d v |

d vv

v '

A

a

dv

| d v | = dv

ds sO

Hız vektörünün boyunda meydana gelen değişme

Hız vektöründeki

vektörel değişimin boyu


s = 0

!

Herhangi bir nokta orijin olarak seçilebilir.

Yörüngesi bir doğru olan harekete doğrusal hareket denir.

→

→→

→

→ →

→→

→→

→→

→

↑

↑

↑

↑ →

→→

→

→ →

→→

→

→←

Fakat yörünge üzerinde bir noktanınorijin olarak seçilmesi daha uygundur.

→ ↑

| d r | = ds→←

↑

Yönleri aynıdır.

Yönleri aynıdır.

Dolayısıyla

bütün hız vektörleri de birbirin

Dolayısıyla

bütün ivme vektörleri de birbir

Di ik M dd l N kt l Ki tiği 2 1 D ğ







Yörünge

v > 0

A

a > 0

s > 0

O

v < 0a < 0

s < 0

Yörüngenin bir tarafıkeyfi olarak pozitif taraf seçilir ve

Orijinden itibaren bir taraf pozitif konumların bulunduğu diğer taraf da negatif konumların bulunduğu taraft

Yörünge A

s > 0

s < 0

v < 0a < 0

O

s < 0

v > 0a > 0

v < 0a < 0

Hızlanma

v < 0

Yavaşlama

a > 0

diğer taraf negatif taraf olur.

Pozitif taraf verilen problemde önceden seçilmiş olabilir.

Doğrusal harekette hız ve ivme vektörleridaima yörüngeye paralel oldukları için bu vektörlerin sadece şiddetleri ile ilgilenmek yeterli olur. Hız ve ivme vektörlerinin hangiyönde olduklarını belirtmek için de

şiddetleri pozitif veya negatif alınır.a = − 10 m/s2

Sadece doğrusal hareketteyön belirtmek için kullanılır.

İvme negatif olsa da maddesel noktahızlanabilir.

Keyseçil

İvme pozitif olsa da maddesel noktayavaşlayabilir.

YavaşlamaHızlanma

2.1. Doğrus

s = 0

s = 0

Keyfi olarak seçilmiş olannegatif taraf


v = − 12 m/s

! !

Di ik Maddesel Noktaların Kinematiği 2 1 Doğrus







ds = v(t ) d t

a =dv

dt

v =ds(t )

d t v =

ds

dt dt =

d

v(

dv = a(t ) d t a =dv(t )

d t dt =

d

a

v dv = a( s) d sa

v=

dv

ds

a

v=

dv( s)

d sds =

v

a

ds = v dt

dv = a dt

v dv = a ds

dt =ds

v

dt =dv

a

ds =v dv

a

a =dv

dt v =

ds

dt

Aşağıdaki bağıntıların tamamı yukarıdaki iki bağıntıdan yola çıkarak elde edilmiş bağıntılardır.

Problem çözerken yapılabilecek matematik işlemlere örnek olarak verilmiştir.

Doğrusal hareket problemlerinde zaman, konum, hız ve ivme büyüklükleri arasında s

(t ) , v

(t ) , a

(t ) , v

( s

) , a

(v,s

) vb. bağıntılar verilmiş oVerilen bağıntıda hangi büyüklüğün hangisine bağlı olduğuna ve problemin diğer verilerine bakıp

ona göre aşağıdaki sık rastlanılan formlardan faydalanarak problem çözülür.

2.1. Doğrus

veya


veya

veyaveya

veya veya

Maddesel Noktaların Kinematiği 2 1 DoğrusDinamik



Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN

a = a0 = sb. iken:a = a0 = sb. iken:

dv = a dt ∫ dv = a0 ∫ dt t 1

t 2

v1

v2

∫ dv = a0 ∫ dt 0

t

v0

vv = v0 + a0 t

ds = v dt ∫ ds = ∫ v(t ) dt = ∫ (v0 + a0 t ) dt t 1

t 2

s1

s2

s = s0 + v0 t + a0 t2∫ ds = ∫ (v0 + a0 t ) dt

0

t

s0

s

veya

veya

v dv = a ds ∫ v dv = a0 ∫ ds s1

s2

v1

v2

0

s

v0

vv 2 = v0

2 + 2 a0 sveya ∫ v dv = a0 ∫ ds

1

2

Dv = a0 Dt

t 1

t 2

v = f(t)

s = f(t)

v = f(s)


v2 − v1 = a0 (t 2 − t 1)

İvme, sabit olduğu için integral dışında bırakılabilir.

a

a a0

0

2.1. Doğrus

+ lar daima s0 , v0 veya a0 neg

→

→

→

→

→

→


Dinamik

!

Behcet D!



Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği 2 1 Doğrus



Behcet D


Behcet DAĞHAN

Dinamik

s

t

v

t

D s = v0 Dt

D s

Dv = a0 Dt

v

v = v0 =

D s

a

a = a0 =

Dv

a = a0 = sb.

v = v0 = sb.

a = 0

v = v0 + a0 t

s = s0 + v0 t

s = v0 t

0

0


Dt

v0

Dt

a0

s0

0

v0

0

v = a0 t

t 1 t 2

t 1 t 2

0

0

0

0

t 1 t 2

Behcet DAĞHAN


2.1. Doğrus

→

→

→

→

D s = vort Dt

vort = ––––––

v1 + v2

2

Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği 2.1. Doğrus



n ≥ 2

Behcet D


Behcet DAĞHAN

Dinamik

y

x

Maddesel Noktaların KinematiğiBehcet DAĞHAN


2.1. Doğrus

y = k x1

A

a

b

O

A = –– a b1

2

y

x

y = k x2

A

a

b

O

A = –– a b1

3

y

x

y = k x3

A

a

b

O

A = –– a b1

4

y

A

a

b

O

A = –––––1

n + 1

. . .

y

x

y = k xn

A

a

b

O

A ≠ ––––– ab1

n + 1

O (0,0)

y

a

b

O

A = ––––– a b

n

n + 1 A

!

!

Parabolik bir eğrinin altında kalan alanı bulmanın pratik yolu




Behcet D


Behcet DAĞHAN

ğ

Serbest düşme veya düşey atışta hız ve ivmenin durumuSerbest düşme veya düşey atışta hız ve ivmenin durumu

Sadece yerçekimi etkisinde düşey olarak doğrusal hareket yapan bir maddesel noktanın ivmesi daima düşey ve aşağı doğrudur.

Yukarı taraf pozitif seçilirse Aşağı taraf pozitif seçilirse

+

+

A

a = − g v > 0

A

a = g v

−

−

a = a0 = sb.

Behcet DAĞHAN


ğ

Düşey yörünge

pozitif

taraf

negatif

taraf

+

A

a = − g v < 0

−+

A

a = g v > 0

−

Yön

belirtir




Bir cisim x-ekseni boyunca sabit bir ivme ile hareket etmektedir. t = 0 anında x0 = − 6 m ve v x0 = 4 m/s dir. Ayrıca t = 10 s anında x in değeri m

değere ulaşmıştır. xmax değerini ve t = 15 s anındaki x değerini bulunuz. t = 0 ile t = 15 s zaman aralığında maddesel noktanın konumundaki değ

katettiği yolu bulunuz.

Behcet D


Behcet DAĞHAN

ğ

Örnek Problem 2/1Örnek Problem 2/1

1. Çözüm1. ÇözümVerilenler:Verilenler:

t = 0 iken x = x0 = − 6 m

v = v x0 = 4 m/s

İstenenler: İstenenler:

t = 10 s anında x = xmax

x = 0 iken x = xmax olur.

xmax = ?

t = 15 s anında x = ?

a = a x0 (sabit)

a = a x0 (sabit)

x = v x

v x = v x0 + a x0 t

t = 10 s → v x = 0

0 = 4 + a x0 (10)

a x0 = − m/s22

5

x = x0 + v x0 t + a x0 t 21

2

x = − 6 + 4t + (− ) t 21

2

2

5

x = − 6 + 4t −t 2

5


= 14 m

x = f(t)

t = 15 s anında x = 9 m

x, m

t = 0

x = − 6 m

a = a x0 (sabit)v x0

t = 10 s

t = 15 s x = 0

x = xmax = 14 m

v x = 0

x = 9 m

t 1 = 0, t 2 = 15 szaman aralığında

maddesel nokta yön değ

için konumdaki değişm

katettiği yol D birbirine eşit değildir.

D = AB + BC D = ( x B − x A) + ( x

D = [14 − (− 6)] +

D = 25 m

∆x = AC ∆x = xC − x A

∆x = 9 − (− 6)

∆x = 15 m

A O BC v x < 0

Behcet DAĞHAN


ğ

t 1 = 0t 2 = 15 s } ∆x = ?

D = ?




Bir cisim x-ekseni boyunca sabit bir ivme ile hareket etmektedir. t = 0 anında x0 = − 6 m ve v x0 = 4 m/s dir. Ayrıca t = 10 s anında x in değeri m

değere ulaşmıştır. xmax değerini ve t = 15 s anındaki x değerini bulunuz. t = 0 ile t = 15 s zaman aralığında maddesel noktanın konumundaki değ

katettiği yolu bulunuz.

Behcet D


Behcet DAĞHAN

2. Çözüm2. Çözüm

a = a x0 = − ––– = − –– m/s2

t, s

v x , m/s

0 10

A B C x = − 6 m

∆xI = 20 m

4

0

10

4

15

−2

xmax = x B = (−6) + 20

D = 20

xC = (−6) +

∆x = 20

∆xII = −5 m

Behcet DAĞHAN



x, m

t = 0

x = − 6 m

a = a x0 (sabit)v x0

t = 10 s

t = 15 s x = 0

x = xmax = 14 m

v x = 0

x = 9 m A O BC

v x < 0

x = xmax = 14 m x = 9 m

xmax = 14 m xC =

∆x =

D =

4

10

2

5


xmax = ?

t = 15 s anında x = ?

t 1 = 0t 2 = 15 s } ∆x = ?

D = ?

Verilenler:Verilenler:

t = 0 iken x = x0 = − 6 m

v = v x0 = 4 m/s


x = 0 iken x = xmax olur.

a = a x0 (sabit)

x = v x

B h D ĞH N




Behcet D


Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN

Doğrusal hareket yapan bir araba, hareketsiz iken 10 s içinde düzgün bir şekilde sıfıra inen 6 m/s2 lik bir ivme ile harekete başlıyor ve

10 s sonunda da sabit bir hızla harekete devam ediyor. Başlangıçtan itibaren katettiği yol ne kadar sürede 400 m olur?

Verilenler:Verilenler :

a = f(t)

t = 0 iken v = v0 = 0


dv = a dt

dv = (− t + 6) dt

0

Hareketin iki farklı

zaman aralığında iki farklı

ivmesi var. Dolayısıyla

hareketi iki kısımda

incelemek uygun olacaktır.

I. kısım:

a = 0

II. kısım:

D = Δ s = 400 m

Δt = ?

t , s

6

10

a = − t + 635

5

3

0

0 10

0

0

a = 0

I. kısım II. kısım

I. kısım için:

3

5

∫ dv = ∫ (− t + 6) dt 3

50

v

30

t

v = − + 6t 3

5

t 2

2

t = 10 s anında:

v = sb.

t

v = − + 6t 3t 2

10

ds = v dt

I. kısım için:

∫ ds = ∫ (− + 6t ) dt 3t 2

1000

s 10

ds = (− + 6t ) dt 3t 2

10

s = (− + 6 |3

10

t 3

3

t 2

20

10

s = 200 m = Δ sI

I. kısmın sonunda ulaştığı konum

Göz önüne alınan aralıkta

hareketin yönü değişmediğiiçin katedilen yol

konumlar arası farka eşittir.

ds = v dt II. kısım için:

∫ ds = 30 ∫ 10200

400 t

ds = 30 dt

t = 16.67 s

400 − 200 = 30 (t −

Δt = ?

v = sb.



I. kısım II. kısım

I. kısmın sonunda ulaştığı hız

1. Çözüm1. Çözüma, m/s2

v = 30 m/s

v, m/s

Δt = 16.6

Dinamik Maddesel Noktaların Kinemat

iğiBehcetDAĞHAN

2.1. Doğrus



Behcet DA


Behcet DAĞHAN

Doğrusal hareket yapan bir araba, hareketsiz iken 10 s içinde düzgün bir şekilde sıfıra inen 6 m/s2 lik bir ivme ile harekete başlıyor ve

10 s sonunda da sabit bir hızla harekete devam ediyor. Başlangıçtan itibaren katettiği yol ne kadar sürede 400 m olur?

a = f(t)

t = 0 iken v = v0 = 0

Hareketin iki farklı

zaman aralığında iki farklı

ivmesi var. Dolayısıyla

hareketi iki kısımda

incelemek uygun olacaktır.

D = Δ s = 400 m

Δt = ?

t , s

a, m/s2

6

10

0

0

v, m/s

10

0

0

I. kısım II. kısım I. kısım II. kısım

30

Δv

t

I. kısım için:

Δv =

Δv = 30 m/s = v − v0

6 (10)

2

v0

= 0 olduğu için:

v = 30 m/s

I. kısmın sonunda ulaştığı hız

a-t grafiğinin altında kalan alan

hızdaki değişmeyi verir:

Δ sI Δ sII

Göz önüne alınan aralıkta

hareketin yönü değişmediğiiçin katedilen yol

konumlar arası farka eşittir.

Δ sI = 200 m

I. kısım için:

v-t grafiğinin altında kalan alankonumdaki değişmeyi verir:

Δ sI = 30 (10)2

3

II. kısım için:

Δ s = ΔsI + ΔsII = 400 m

Δ sII = 30 (t − 1

t = 16.67 s

200 + 30 (t − 10) = 400

Δt = 16.6

400 m

Verilenler:Verilenler :


Behcet DAĞHAN



a = 0

v = sb.

Δt = ?

2. Çözüm2. Çözüm

I. kısım:

II. kısım:

BehcetDAĞHAN

Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği

2.1. Doğrus



ÇözümVerilenler:

İstenenler:

Behcet D


Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN

s = 0 konumundan ilk hızsız olarak harekete başlayan ve doğrusal hareket yapan bir motosikletin ivmesi

konuma bağlı olarak şekildeki gibi değişmektedir. s = 200 m iken motosikletin hızını bulunuz.

ÇözümVerilenler:

s = 0 iken v = 0

İstenenler: v dv = a ds

0

200v

0

2

4

6

0 100 s, m

a , m / s 2

s = 200 m iken v = ?∫ v dv = ∫ a ds

0

a-s grafiğinin altında kalan alan

0

2

4

6

0 100 s, m

a , m / s 2

950 (m/s)2

v 2 = 950 (m/s)21

2

v = 43.6 m/s

{

{



Behcet DAĞHAN




Behcet D


Behcet DAĞHAN

Şekildeki plancırın ve şaftın yatay hareketi, şafta bağlı diskin yağ içerisinde hareket etmesinden

dolayı dirençle karşılaşmaktadır. Plancırın A konumunda x = 0 ve t = 0 iken hızı v0 dır.

Yavaşlatıcı olan ivme ise hız ile doğru orantılı, yani a = − k v dir. Burada k bir sabittir.

Plancırın hızı v yi ve konumunun koordinatı x i t cinsinden veren bağıntıları elde ediniz.

Ayrıca v yi x e bağlı olarak yazınız.

Y

x v

A

ÇözümÇözümVerilenler:Verilenler:

a = − k v a = f(v)

x = 0

t = 0 } iken v = v0

k = sb.


v = f(t)

x = f(t)

v = f(x)

dv = a dt

dv = (− k v) dt

dvv = − k ∫ dt

0

t

v0

v

v0

( ln v | = − k t

v = v0 e− k t

v = f(t)

ds = v dt

dx = (v0 e− k t ) dt

∫ dx = v0 ∫ e− k t dt 0

t

0

x

dx = v dt

x = ( e− k t |v0

− k 0

t

v

v dv = a ds

v dv = (− k v) dx

∫ dv = − k ∫ dx0

x

v0

v

v = v0 − k x

v = f(x)

x = f(t)

x = (1 − e− k t )v0

k

v0 e− k t = v0 − k x

ds = v dt

dx = v dt

0

t

0

x

dx = (v0 − k x) dt

v0 − k x

dx= ∫ d

[ ln (v0 − k x− k

1

x = f(t)

x = (1 − e− k t

)

v0

k x = f(t)

x = (1 − e−v0

k

x-t bağıntısı için alternatif çözümler

∫

∫



Documents

Doğrusal Hareket