DOĞRUSAL ve DOĞRUSAL OLMAYAN …kisi.deu.edu.tr/mustafa.unlu/Sinirlamalar_18_11_2014.pdfDOĞRUSAL SINIRLAMALARIN TESTİ Sınırlamalar doğrusal olduğunda test edilmeleri için

DOĞRUSAL ve DOĞRUSAL OLMAYAN SINIRLAMALAR

DOĞRUSAL SINIRLAMALARIN TESTİ

• t testi• F testi• Diğer testler:• Chow testi• MWD testi

DOĞRUSAL OLMAYAN SINIRLAMALARIN TESTİ

• Benzerlik Oranı Testi• Lagrange Çarpanı Testi• Wald Test

1

DOĞRUSAL SINIRLAMALAR

Bazen İktisat teorisinden kaynaklanan bazı sınırlamaların

modelde yer alması istenebilir veya gerekebilir.

Tüketim ve tasarruf eğilimlerinin toplamı, Coubb-Douglas

modelinin katsayılarının toplamının ölçeğe göre sabit getiri

olması için bire eşit olması gibi durumlarda doğrusal

birleşimler söz konusu olabilir.

Benzer şekilde bazı katsayıların birbirine eşitliği veya farklı

doğrusal birleşimlerinin varlığı da arzu edilebilir. Bu tür

sınırlamalara doğrusal sınırlamalar denir.2

Regresyon modeli,

İi XXXXY 554433221ˆˆˆˆˆ

143

34 1

ve sınırlama,

olsun. Bu durumda,

olacağından,

İi XXXXY 554333221ˆ)ˆ1(ˆˆˆ

İi XXXXXY 5543433221ˆˆˆˆˆ

3

İi XXXXXY 554332214ˆ)(ˆˆˆ

)( 4XYİ )( 43 XX olacak ve model ve için ve tanımlaması yapılırsa,

*Y *X

İXXXY 55*

3221* ˆˆˆˆ

olarak tahmin edilecektir.

Katsayıların birbirine eşitliği de doğrusal sınırlamadır. Aynımodelde sınırlama olursa,32

İi XXXXY 554433221ˆˆˆˆˆ

modeli,

4

32* XXX İ

tanımlaması ile model,

İii XXXY 5544*

21ˆˆˆˆ

olarak tahmin edilir.

olarak incelenebilir. Burada,

İi XXXXY 55443221ˆˆ)(ˆˆ

5

DOĞRUSAL SINIRLAMALARIN TESTİSınırlamalar doğrusal olduğunda test edilmeleri için t ve Ftestleri kullanılabilir.

t TESTİKatsayıların anlamlılığının veya belirli bir değere

eşitliğinin söz konusu olduğu durumda açıklanan t testi,

doğrusal sınırlamaların testi için de benzer bir şekilde

kullanılır. Doğrusal sınırlama türlerinin gösterdiği farklılığa

bağlı olarak t testinin uygulanması da farklılıklar gösterir.

Sabit değer sınırlamasında katsayılardan birinin belirli bir

değere eşit olması söz konusu olduğunda yapılacak t testi

katsayıların belirli bir değere eşit olmasının testi ile aynıdır. 6

Regresyonun orijinden geçip geçmediği test edilmekistendiğinde ise, sabit katsayının anlamlılığın yani sıfırdanfarklı olup olmadığının test edilmesi gerekecektir. Sabit değerkısıtlaması birden fazla parametre için geçerli ise, t testi herbiri için ayrı ayrı uygulanacaktır. Test işlemlerisınırlandırılmamış model ile yapılacaktır.

İki parametrenin birbirine eşit olması, toplamlarının veyafarklarının belirli bir değere eşit olması şeklinde bir sınırlamasöz konusu ise, yani veya sınırlamasıveya örneğin veya sınırlaması testedilecekse hipotezler daha önce açıklandığı gibi oluşturulur.Test istatistiği ise eşitlik için,

21 121

021 021

21ˆˆ

2121 )()ˆˆ(

st

olacak ve test edildiğinden 21 7

),(2 21

2ˆ

2ˆ

2ˆˆ

2121

Covsss

121

olarak tahmin edilir.

Toplamlar veya farklar söz konusu olduğunda test istatistiği, örneğin durumu için,

21ˆˆ

2121 )()ˆˆ(

st

ve

21ˆˆ

21 1)ˆˆ(

st

ve

21ˆˆ

21ˆˆ

s

t olacaktır.Burada,

8

olacaktır. Diğer işlemler daha önce açıklandığı gibiyapılacaktır.

),(2 21

2ˆ

2ˆ

2ˆˆ

2121 Covsss

9

Uygulama: Türkiye’nin 1980-2000 yılları arasında elde ettiğiturizm gelirlerini (TG) incelemek amacıyla Türkiye’ye gelenturist sayısı (TS) ve turizm yatırımları (TY) değişkenleri ile tamlogaritmik model elde edilmiştir. Bulunan bu modelde turistsayısına ilişkin parametrenin turizm yatırımlarına ilişkinparametre ile eşit olduğunu sınayınız.

LN(TG) = -3.1406+2.1888LN(TS)+1.1413LN(TY)

s(bi) = (0.77) (0.523) (0.325)

t = (-4.078) (4.185) (3.512)

prob = [0.0000] [0.0000] [0.0000]

Fhes= 461.68 R2=0.9777

prob [0.0000]

7042.02 te

14.0)Cov( 32 10

)0(: 32320 H

)0( 32321 H

734.118;05.0 t

32ˆˆ

3232 )()ˆˆ(

st

273.332.0

0)1413.11888.2(

t

32.0)14.0(2)325.0()523.0( 22ˆˆ32

s

11

thes= 3.273 > ttab= 1.734

H0 reddedilir. Sınırlama geçerli değildir.

Parametrelerin birbirine eşit olduğu söylenemez.( )32

12

F TESTİDoğrusal sınırlamaların testi için sınırlandırılmış ve

sınırlandırılmamış modellerin tahmin edilmesi gereklidir. Bu

test yapılırken sınırlama sayısı önemli değildir. Test söz

konusu olan sınırlamaların geçerli olmaması halinde

modellerin açıklandığı değişim miktarlarının aynı olacağı

mantığına dayanmaktadır. Diğer bir ifade ile söz konusu olan

sınırlamalar geçerli ise sınırlandırılmış ve sınırlandırılmamış

modeller tarafından bağımlı değişkendeki değişmelerin

açıklanma miktarları arasında istatistiksel olarak anlamlı bir

fark olacaktır.13

Test için açıklanmayan değişme, yani artıkların kareleri

toplamı kullanılabilir. Sınırlandırılmış modelin artıklarının

kareleri toplamı ve sınırlandırılmamış modelin artıklarının

kareleri toplamı ile ifade edilirse F test istatistiği,

)/(/)(

2

22

uUt

UtRt

knecee

F

olarak hesaplanacaktır. Burada,

RU kkc

2Re

2Ue

14

ve test istatistiğinin dağılımı c ve (n- kU) serbestlik dereceli F dağılımıdır.

F test istatistiği R2 değerleri ile,

)/()1(/)(

2

22

knRcRRF

U

RU

olarak da hesaplanabilir.

veya

( ) /( ) / ( )

U R

U

RBD RBD cFHBD n k

15

Kimya Sanayii dalında faaliyet gösteren 15 firmanın üretimleri (Y), emek girdileri(X 2) ve sermaye girdileri (X3) aşağıdaki gibidir.

Firma Üretim(bin ton) Emek(saat) Sermaye(makine saati)

1 60 1100 3002 120 1200 4003 190 1430 4204 250 1100 4005 300 1520 5106 360 1620 5907 380 1800 6008 430 1820 6309 440 1800 61010 490 1750 63011 500 1950 85012 520 1960 90013 540 1830 98014 410 1900 90015 350 1500 800

16

32 log366228.0log721901.272020.16log XXY

n=15, k=3915.02 uR

Bu üretim fonksiyonu sınırlanmamış modeldir, zira bparametrelerine sınır konmamıştır.

Şimdi b2 + b3 =1 sınırlamasını koymak isteyelim.

1. Aşama: 1:1:

321

320

bbHbbH

2. Aşama: 05.0 anlamlılık seviyesi ve f1=c=1 sınırlama,

f2=n-k=15-3=12 sd. lerinde Ftab=4.75

2 31 2 3. b bY b X X

17

3. Aşama: R2=0.915 Sınırlandırılmamış üretim fonksiyonunun belirlilik katsayısıdır. Sınırlandırılmış üretim fonksiyonunun belirlilik katsayısı; ?2 RR

Bunu bulabilmek için sınırlandırılmış üretim fonksiyonunubelirleyip EKKY ile tahmin etmeliyiz, yani sınırlandırılmışEKKY’yı uygulamalıyız. Şöyleki; yukarıdaki sınırlandırılmamışorijinal üretim fonksiyonu;

uXbXbbY 33221 lnlnlngöre H0 hipotezi sınırlaması b2 + b3=1’i dikkate almak için

3223 11 bbveyabb alınmalıdır. Biz sonuncusunu alalım:

uXXbXbuXbXbbY

)ln(lnln

lnln)1(ln

23321

33231

veya 18

uXXbbXYveya

uXXbb

XY

uXbXbbXYuXbXbXbY

uXXbbXY

)/ln()/ln(

)ln()ln(

lnlnlnlnlnlnlnln

)ln(lnlnln

23312

2

331

2

233312

332321

23312

Burada Y/X2, üretim/emek oranı; X3/X2, sermaye/emek oranıolup, iktisadi yönden önemlidir. İşte b1 ve b3 ‘ün denklemdenEKKY ile tahmini sınırlandırılmış EKKY adını alır. b3’ü buyöntemle bulduktan sonra b2 =1-b3’den b2’yi bulabiliriz. Üretimfonksiyonu için yani sınırlandırılmış EKKY tahmin sonuçlarışöyledir:

402.0)433029.0()4407080.0()(

)/ln(279176.1376067.0)/ln(2

232

Ri Rbs

XXXY

Şimdi formül uygulanabilir,19

253.7212/)915.01(

1/)402.0915.0(

hesF

4. Aşama: %5 ve %10 önem düzeyinde, Fhes=72.253 > Ftab=4.75 H0 reddedilir. Yani sabit verimlilik reddedilir. Yani ilgili dönemde

değeri %5 ve %10 anlamlılık seviyesinde 3.088129’un 1’den farklıolduğu kabul edilir. Buradan, istatistik testlerden anlamlılıkseviyesinin tespitinin, testi gerçekleştirmeden önce yapılmasıgerektiği sonucu çıkmaktadır.

088129.33

^

2

^bb

Sınırlı EKKY tahminlerinden bulunduğuna göre 27917.13

^b

279176.0279176.112

^b

olacaktır. 20

Yapısal Kararlılığın Sınanması

2121.-30. slaytlar arası http://yalta.etu.edu.tr/econometrics-lecture-notes.html sayfasından alınmıştır.










1HKT =8,9210

3HKT =55,0062

2HKT =10,3487


Chow Sınaması


Chow SınamasıVerilen varsayımlar altında Chow sınaması şöyle yapılır.

►Birinci modelden sd’si (n1 –k) olan HKT1 bulunur.

► İkinci modelden sd’si (n2 –k) olan HKT2 bulunur.

►İki bağlanıma ait hata terimleri bağımsız kabul edildiği için,

HKTR=HKT1+HKT2 olarak hesaplanır.

►Tüm gözlemlerin kullanıldığı 3. model tahmin edilir ve HKT3 yada

HKTU bulunur.

►Yapısal değişim yoksa HKTR ve HKTU istatistiksel olarak farklı

olmamalıdır. Sınırlamalar için şu istatistik kullanılır.


U R

1 2R 1 2

HKT HKT / kF F k, n n 2k

HKT / n n 2k

Chow Sınaması


16

Chow Sınaması

1 2 3HKT HKT HKT RHKT


Regresyon Modelinin Fonksiyonel Biçiminin Test Edilmesi (MWD)

Bir doğ-doğ regresyon modeli ile log-log regresyon

modelinden hangisinin tercih edileceğine karar vermek için

MWD testini kullanabiliriz.

H0: Doğ-doğ model geçerlidir

H1: Log-log model geçerlidir.

1 2 2 3 3Y a a X a X u (1)

1 2 2 3 3ln Y b b ln X b ln X v (2)

31

)(ˆ doğY1. ADIM: 1 nolu model (doğ-doğ) model tahmin edilir.

)(ˆ doğY

2. ADIM: 2 nolu model (log-log) model tahmin edilir.

)(ˆln doğY

Yln3. ADIM: 1. adımdaki değerlerinin log.

YdoğYZi ˆln)(ˆln 4. ADIM:

5.ADIM: 4.adımda elde edilen Z değişkeni 1 nolu modeldekidoğrusal regresyon modeline bağımsız değişken olarakeklenir .

Z değişkeninin katsayı tahmini istatistiksel olarak anlamlıise H0 red edilir.

32

UYGULAMA:

year and quarter Y X2 X3

1971–III 11,484 2.26 3.49

–IV 9,348 2.54 2.85

1972–I 8,429 3.07 4.06

–II 10,079 2.91 3.64

–III 9,240 2.73 3.21

–IV 8,862 2.77 3.66

1973–I 6,216 3.59 3.76

–II 8,253 3.23 3.49

–III 8,038 2.6 3.13

–IV 7,476 2.89 3.2

1974–I 5,911 3.77 3.65

–II 7,950 3.64 3.6

–III 6,134 2.82 2.94

–IV 5,868 2.96 3.12

1975–I 3,160 4.24 3.58

–II 5,872 3.69 3.53

İzmir ilinde 1971(III)-1975(II) üçer aylık dönemlerinde onikişer adetlik demet gül talebi (Y), demet gülün fiyatı ( ) ile ikame mal olarak bir demet karanfilin fiyatı ( ) değişkenlerine ait veriler yan tabloda verilmiştir.

2X3X

UYGULAMA:

İzmir ilinde 1971(III)-1975(II) üçer aylık dönemlerinde onikişeradetlik demet gül talebi incelenmiştir. Demet gül talebi Ybağımlı değişken, bir demet gülün fiyatı X2 ve ikame mal olarakda bir demet karanfilin fiyatıX3 bağımsız değişken olarakmodele alınmıştır. Bu model hem doğ-doğ hem de log-logmodel olarak tahmin edilmiştir. Hangi model tercih edilmelidir?

Doğ-doğ model:

2 3Y 9734.26 3782.19X 2815.25X R2 = 0.776

Log-log model:

2 3ln Y 9.2278 1.7607ln X 1.3398ln X R2 = 0.729234

Zi değişkeni ile birlikte tahmin edilen doğrusal model

2 3 iY 9727.56 3783.06X 2817.71X 85.23Z

t (3.2178) (-6.3337) (2.8366) (0.0207)

R2 = 0.7707

H0: Doğ-doğ model geçerlidir

H1: Log-log model geçerlidir.

ttab = tn-k = t12, =0.05 = 2.179

thes < ttab H0 reddedilemez.

35

UYGULAMA: Bir ekonomideki para talebi modelinde MD = Talep edilen para miktarı, Y = Milli Gelir, L = (para dışındaki) likit Akifler stoku( tasarruflar, vadeli mevduat gibi) değişkenleri yer almaktadır.

1960-1997 dönemi verileri ile bir ülke için şu tahmin edilmiştir.

Daha sonra bu değişkenlerle tam logaritmik model oluşturulmuştur.

Doğrusal modelin doğru model olduğu hipotezini test etmek için aşağıdaki model kurulmuştur. Gerekli hipotezleri kurup %5 önem seviyesinde hangi modelin tercih edileceğini söyleyiniz.

D

i2 2i

M 0.003 0.216 i 0.53 Y 0.367 Ls(b ) 0.009 0.112 0.101 0.102

y 0.1903 R 0.579

D

i2 2i

ln M 0.412 2.325ln i 1.982ln Y 0.417 ln Ls(b ) 0.519 0.321 0.192 1.562

y 0.123 R 0.413

D 1

i2 2i

M 0.01 0.038 i 0.23 Y 0.68 L 2.814Zs(b ) 0.004 0.0026 0.004 0.512 0.164

y 0.09 R 0.495

36

UYGULAM:

1.Adım:H0 : Dog-dog model geçerlidir.H1: Log-log model geçerlidir.

2.Adım: z değişkeninin t değeri

3.Adım: ttab = t38-5=33 ,=0.05 = 2.042

4.Adım: thes > ttab H0 reddedilir. Log-log model geçerlidir

hes2.814t 17.150.164

37

DOĞRUSAL OLMAYAN SINIRLAMALAR

İiiii XXXY 4433221ˆˆˆˆ

1. 43

Bazı durumlarda sınırlamaların yapısı doğrusal olmaz. Bu

durumda doğrusal sınırlamalardan farklı olarak modellerin

tahmininde problemlerle karşılaşılır. Parametreler klasik en

küçük kareler yöntemi ile tahmin edilemeyebilirler.

Regresyon modelinin,

olduğunu ve katsayılar ile ilgili sınırlamanın olduğunu

varsayalım. Bu durumda,

34

1

38

İiiii XXXY

43

332211ˆˆˆ

olacaktır. Bu model doğrusal olmayan bir modeldir. Model

parametreleri, en küçük kareler veya farklı bir yöntemle

tahmin edilecektir.

olacağı model,

39

DOĞRUSAL OLMAYAN SINIRLAMALARIN TESTİGerçekte doğrusal olmayan modeller için söz konusu olan

doğrusal olmayan sınırlamalar için kullanılacak testlerde, bu

tür modellerin tahmincilerinin dağılımı normal dağılım

olmadığından farklı olacaktır.

Sınırlamalar için Benzerlik Oranı testi (LR), Wald testi (W) ve

Lagrange Çarpanı testi (LM) kullanılır. Bu testler sadece

doğrusal olmayan sınırlamalar için geçerli olmayıp, doğrusal

sınırlamalar için de geçerlidir.

Ancak doğrusal sınırlamalar için açıklanan testlerin gerçekte

doğrusal olmayan modeller için kullanılması söz konusu

değildir.40

BENZERLİK ORANI TESTİBenzerlik oranı testi için adından da anlaşılacağı gibi

benzerlik fonksiyonu kullanılır. Test için sınırlandırılmış

modelin tahmini de yapılır ve logaritmik benzerlik

fonksiyonunu eğiminin sıfır veya sıfırdan farklı olması

durumuna göre sınırlamaların geçerli olup olmayacağına

karar verilir. Sınırlandırılmış modelin logaritmik benzerlik

fonksiyonunu LR, sınırlandırılmamış modelin logaritmik

benzerlik fonksiyonu LU ile ifade edersek test istatistiği,

)(2 UR LLLR olarak hesaplanır. LR test istatistiğinin dağılımı c serbestlikdereceli ki-kare dağılımıdır. c sınırlama sayısıdır. Temelhipotez sınırlamaların geçerli olduğunu,alternatif hipotez isesınırlamaların geçerli olmadığını ifade eder.

41

LR test istatistiği hata payı ve c serbestlik derecesi ileki-kare tablosundan bulunacak değer ile karşılaştırılır. LRtablo değerinden büyükse H0 hipotezi reddedilir, sınırlamalargeçersizdir. Aksi söz konusu ise sınırlamalar geçerlidir.

LR test istatistiği sınırlandırılmış ve sınırlandırılmamışmodellerin artıklarının karelerinin toplamı ile

Ut

Rte e

enLR

2

2

log

veya sınırlandırılmış ve sınırlandırılmamış modellerinbelirlilik katsayısı ile,

olarak da hesaplanabilir.

2

2

11log

U

Re R

RnLR

42

LAGRANGE ÇARPANI TESTİBu test Lagrange fonksiyonuna ve sınırlandırılmış modelintahminine dayanarak yapılır. Büyük örnekler için

neee

LMRt

UtRt

/2

22

olarak hesaplanır ve test istatistiğinin dağılımı c (sınırlamasayısı) serbestlik dereceli ki-kare dağılımıdır. LM testistatistiği R2 değerleri ile,

nRRRLMR

RU

/)1()(

2

22

hesaplanabilir.

Doğrusal sınırlamalar söz konusu olduğunda test istatistiği,43

2nRLM olarak hesaplanabilir. Hipotezler ve hipotezin kabul kararı benzerlik oranı testinde açıklandığı gibidir.

LM testi F testi gibi bağımsız değişken katsayılarınıntümünün anlamlılığını test etmek için kullanılabilir. Budurumda test istatistiği sınırlandırılmamış modelin belirlilikkatsayısı kullanılarak2

UR

2UnRLM

hesaplanır. LM test istatistiğinin dağılımı test edilenparametre sayılı (k-1) serbestlik dereceli ki-karedağılımıdır.

44

WALD TESTİTestte, sınırlandırılmamış modelden tahmin edilen varyans

kullanıldığından sınırlandırılmamış modelin tahminini gerektirir.

Birden fazla sınırlama test edilebilir. Sınırlama sayısı c ile ifade

edilebilir. Wald test istatistiği,

neee

WUt

UtRt

/2

22

olarak hesaplanır. Wald test istatistiği R2 değerleri ile,

nRRRW

U

RU

/)1()(

2

22

hesaplanır. 45

Sınırlama sayısı c=1 olduğundan ki-kare tablosunda 1

serbestlik derecesi ile tablo değeri bulunarak benzerlik

oranı testinde olduğu gibi karar verilir.

Aynı modelde aynı kısıtlamalar için Lagrange çarpanı,

Benzerlik oranı ve Wald testleri hesaplandığında,

WLRLM

ilişkisi görülür.

46

Uygulama: Mayıs 2001-Mart 2010 dönemi için faiz oranları

(FAİZ), enflasyon açığı (EACIK), üretim açığı

(URETİMACIK), bir dönem önceki faiz oranı (GFAİZ) ve

döviz kuru açığı (DKACIK) değişkenleriyle model tahmin

edilmiştir.

Daha sonra döviz kuru açığının yer almadığı modeli ele

alarak sınırlama testlerinden F, LR, LM ve W testleri ile

hangi model ile çalışılacaktır.

47

Sınırlandırılmamış model: = 0.995498

0:0:

31

30

HH

Yt=β1+β2GFAİZ β3DKAÇIK+β4EAÇIK+β5ÜRETİMAÇIK+ut

2UR

4291.1212 Ute 48

Sınırlandırılmış model: = 0.994842 2RR

1270.1392 Rte 49

1. aşama: H0: Sınırlamalar geçerlidir. ( )

H1: Sınırlamalar geçersizdir. ( )

2. aşama: f1: c= 1 , f2: n-k= 106-5=101 Ftab=6,85

3. aşama:

)/()1(/)(

2

22

knRcRRF

U

RU

7170.14101/)995498.01(

1/)994842.0995498.0(

F

1. F TESTİ ÖRNEĞİ0: 30 H

0: 31 H

50

4. aşama: Fhes = 14.7170 > Ftab = 6.85

H0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir. Sınırlandırılmamış

model ile çalışılmalıdır.

51

2.BENZERLİK ORANI TESTİ ÖRNEĞİ1. aşama: H0: Sınırlamalar geçerlidir. ( )


2.aşama: c=1

3.aşama:

84.321

Ut

Rte e

enLR

2

2

log

42.144291.1211270.139log106 eLR

0: 30 H

0: 31 H

52

4.aşama: LR=14.42 >

H0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir. Sınırlandırılmamış model ile çalışılmalıdır.

veya

84.32 tab

2

2

11log

U

Re R

RnLR

419.14995498.01994842.01log106

eLR > 84.32 tab

H0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir. 53

3.LAGRANGE ÇARPANI TESTİ ÖRNEĞİ



2.aşama: c=1

3.aşama:

84.321

neee

LMRt

UtRt

/2

22

483.13106/127.139

4291.121127.139

LM

0: 31 H

0: 30 H

54

84.321 4.aşama LM=13.483 >

H0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir.

veya

nRRRLMR

RU

/)1()(

2

22

481.13106/)994842.01(

)994842.0995498.0(

LM > 84.321


55

WALD TESTİ ÖRNEĞİ1. aşama: H0: Sınırlamalar geçerlidir. ( )


2.aşama: c=1

3.aşama:

84.321

neee

WUt

UtRt

/2

22

449.15106/4291.121

4291.1211270.139

W

0: 30 H

0: 31 H

56

W=15.449 >


veya

84.321

nRRRW

U

RU

/)1()(

2

22

446.15106/)995498.01(

)994842.0995498.0(

W > 84.321


57

LM=13.483

LR=14.42

W=15.449

LM LR W

58

Yt=β1+β2GFAİZ β3DKAÇIK+β4EAÇIK+β5ÜRETİMAÇIK+ut

0:0:

431

430

HH

Sınırlandırılmamış model: = 0.9954982UR

4291.1212 Ute 59

Sınırlandırılmış model: =0.9945972RR

7361.1452 Rte 60



2.aşama: c=2

0: 430 H

0: 431 H

991.52 tab

3.aşama: neee

WUt

UtRt

/2

22

218.21106/4291.121

4291.1217361.145

W

4.WALD TESTİ ÖRNEĞİ

61

W=15.449 >


veya

991.52 tab

nRRRW

U

RU

/)1()(

2

22

214.21106/)995498.01(

)994597.0995498.0(

W

W=15.449 >


991.52 tab

62

Documents

DOĞRUSAL ve DOĞRUSAL OLMAYAN …kisi.deu.edu.tr/mustafa.unlu/Sinirlamalar_18_11_2014.pdfDOĞRUSAL SINIRLAMALARIN TESTİ Sınırlamalar doğrusal olduğunda test edilmeleri için