Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 9 / Vorlesung 9 1 Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) / Electromagnetic Field Theory I (EFT I)

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 9 / Vorlesung 9 1

Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) /

Electromagnetic Field Theory I (EFT I)

9th Lecture / 9. Vorlesung

University of KasselDept. Electrical Engineering /

Computer Science (FB 16)Electromagnetic Field Theory

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71

Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel

Universität KasselFachbereich Elektrotechnik /

Informatik (FB 16)

Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71Büro: Raum 2113 / 2115

D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René [email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

mailto:[email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de/

http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein


Electrostatic Volume Charge Density / Elektrostatisches Raumladungsdichte

ES Fields – Potential of a Point Charge / ES Felder – Potential einer Punktladung

with / mi t R e e e R e e ex y z x y zx y z x y z

e e( ) ( )R RRQ

3ee

0

3e

0

e

0

( )1( ) d

4 | |

( )d

4 | |

1

4 | |

s

s

V

V

Q

Q

Q

RR

RR

R

R

R

RR

R

R

R

R

z

:Source Volume / QuellvolumensV

y

x

e ( ) RR

R

| |R R e ( ) ReQ

R

ee

0

1( )

4 | |RR

R

Q


ee

0

1( )

4

Q

R

R R

Field of an Electrostatic Point Charge / Feld einer elektrostatischen Punktladung

Electrostatic Potential of a Point Charge / Elektrostatisches Potential einer Punktladung

3 3 3 / 22 2 22 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

x y z x y zx x y y z z x x y y z z

x x y y z zx x y y z z

e e e e e eR R

R R

1/ 22 2 2 2 2 2

1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x y y z z x x y y z z

R R

e3

0( )

4

Q

R RE R

R R

Electrostatic Field Strength of a Point Charge / Elektrostatische Feldstärke einer Punktladung

Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder

with x y z

x y z

x y z

x y z

R e e e

R e e e

e e( ) ( )R RRQ

3e ee

0 0

( )1 1( ) d

4 4 | || |sV

Q Q

RRR

R R

RR

R

3

3 3ee e

0 0

( )1 1 1( ) ( ) d ( ) d

4 4| | | |s sV V

QQ

R

R

R

R

R

RE R R

RRRR R

R R R

3 ee3 3

0 0

1( ) d

4 4sV

QQ

RR R

R

R RR

R R

R

R


Field of Two Electrostatic Point Charges – Electrostatic Dipole / Feld von zwei elektrostatischen Punktladungen – Elektrostatischen

Dipol


Field Lines of the Electric Field Strength of Two Spheres Carrying Charges of Opposite Sign / Feldlinien der elektrischen Feldstärke zweier

ungleich geladener Kugeln

+ +

+-

Electric Field Lines of Two Spheres Carrying Charges of the Same Sign / Feldlinien der elektrischen

Feldstärke zweier gleich geladener Kugeln


e+ ee

0

1( )

4R

R R R R

Q Q

Field of Two Electrostatic Point Charges – Electrostatic Dipole / Feld von zwei elektrostatischen Punktladungen – Elektrostatischen

Dipol

Electrostatic Potential / Elektrostatisches Potential

3 32 2 2

3 / 22 2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

e e eR R

R R

e e e

x y z

x y z

x x y y z z

x x y y z z

x x y y z z

x x y y z z

2 2 2

1/ 22 2 2

1 1

( ) ( ) ( )1

( ) ( ) ( )

R R x x y y z z

x x y y z z

e

e+ e3 30

( ) ( )

1

4

E R R

R R R R

R R R RQ Q

Electrostatic Field Strength / Elektrostatische Feldstärke


with/mit R e e e

R e e e

x y z

x y z

x y z

x y z

with/mit R e e e

R e e e

x y z

x y z

x y z

x y z


Field of Two Electrostatic Point Charges – Electrostatic Dipole / Feld von zwei elektrostatischen Punktladungen – Elektrostatischer

Dipol



Field of Two Electrostatic Point Charges – Electrostatic Dipole / Feld von zwei elektrostatischen Punktladungen – Elektrostatischer

Dipol



0

0

0( ) b

a

R R

R R

R

0R Rba

00 zEE e

x

z

y

0

0100a

b

Transition Conditions = ? / Übergangsbedingungen = ?


Boundary Conditions = ? / Randbedingungen = ?

Point Charge Attracted to a Electrically Charged Sphere /Punktladung angezogen von einer elektrisch geladenen Kugel

http://web.mit.edu/jbelcher/www/att.html




Boundary Conditions = ? / Randbedingungen = ?

Point Charge Repulsed By A Charged Sphere /Punktladung zurück gestoßen von einer elektrisch geladenen Kugel

http://web.mit.edu/jbelcher/www/rep.html

http://web.mit.edu/jbelcher/www/rep.html


(2) (1)

(2) (1) e

=

( ) ws / mq=

0 sf / qf

n× E R E R 0

Rn D R D R

e

= pec / iel

= ( ) pec / iel

n×E R 0

n D R R

Governing Equations in Integral Form /Grundgleichungen in Integralform

nMedium

(2)Medium

(1)

Medium

nTransition Conditions / Übergangsbedingungen Boundary Conditions / Randbedingungen

ws: with sources; sf = source-free / mq = mit Quellen; qf = quellenfrei

pec = perfectly electric conducting; pmc = perfectly magnetic conducting / iel = ideal elektrisch leitend; iml =

ideal magnetisch leitend

e

( ) 0

( , ) ( )d

C S

S V Vt V

E R dR

D R dS R

ES Fields: Transition and Boundary Conditions / ES-Felder: Übergangs- und Randbedingungen

I(nterface)S B(oundary)S

ISRFor / Für

BSRFor / Für


(2) (1)

(2) (1) e ( ) ws / mq

0 sf / qf

n× E R E R 0

Rn D R D R

e

pec / iel

( ) pec / iel

n×E R 0

n D R R

nMedium

(2)Medium

(1)

Medium

n

Transition Conditions / Übergangsbedingungen

Boundary Conditions / Randbedingungen


pec = perfectly electric conducting / iel = ideal elektrisch leitend

I(nterface)SR B(oundary)SR

( )

( )tan

tan tanE

n×E R E R

R e ( )nDn D R R

( ) : (Vector Tangential Component of

Vektorielle Tangentialkomponente von

Scalar Tangential Component of Skalare Tangentialkomponente vo

)

( ) :n

( )

tan

tanE

E R E R

R E R

Scalar Normal Component of

Skalare Normalkomponente vo( ) : ( )

nnD R D R

(2) (1)

e(2) (1)

0

( ) ws / mq

0 sf / qf

tan tan

n n

E E

D D

R R

RR R

e

0 pec / iel

( ) pec / iel

tan

n

E

D

R

R R

e ( )

pec/iel

R



nMedium

(2)Medium

(1)

Medium

nTransition Conditions /

ÜbergangsbedingungenBoundary Conditions / Randbedingungen


pec = perfectly electric conducting / iel = ideal elektrisch leitend

( ) ( )i i E R R

(2) (1)e e

(2) (1)e e e0

e(2) (2) (1) (1)

0r e r e

e(1)(2) (1) (2)re e 0 r(2)

r

( )ws / mq

0 sf / qf

( )ws / mq

0 sf / qf

n

n n

n× R R 0

R R

R

n R R

R

R R

e

e e0

0 r e e

ee

0 r

( )

( )

n

n

n× R 0

R

n R R

RR

( ) ( )( )0 r

( ) ( )0 r e

1, 2

i ii

i i

i

D R E R

R


(2) (1)

e(2) (1)

0

( ) ws / mq

0 sf / qf

tan tan

n n

E E

D D

R R

RR R

e

0 pec / iel

( ) pec / iel

tan

n

E

D

R

R R

e ( )

pec/iel

R



nMedium

(2)Medium

(1)

Medium

n

Transition Conditions / Übergangsbedingungen


(2) (1)

(2) (1)e e e0

0

const.

tan tanE E

R R

R R

e e0

0

const.

tanE

R

R


(2) (1)

e(2) (1)

0

( ) ws / mq

0 sf / qf

tan tan

n n

E E

D D

R R

RR R

e

0 pec / iel

( ) pec / iel

tan

n

E

D

R

R R

e ( )

pec/iel

R


e(2) (1)

(1)e(2) (1) (2)r

e e 0 r(2)r

( ) ws / mq

0 sf / qf

1( ) ws / mq

0 sf / qf

n nD D

n n

RR R

RR R

e

e e0 r

( )

1( )

nD

n

R R

R R



e e 0 e 0

e e0 r

const. ( 0 V)

1( )

n

R

R R

Medium

nB(oundary)SR

e, , ( )E R D R R


e ( ) R

e ( )

pec/iel

R

Dirichlet Boundary Conditions for Фe /

Dirichlet-Randbedingung für Фe

Neumann Boundary Conditions for Фe /

Neumann-Randbedingung für Фe


e2 2 2 e

0e2 2 2

e

for / Poisson Equation / für Poisson-Gleichung

for / Laplace Equation / fü

( , , )( , , ) 0

( , , )

0 ( , , )r Laplace-Gle0 ichung

x y zx y z

x y zx y z

x y z

ES Fields / ES FelderPoisson and Laplace Equation / Poisson- und Laplace-Gleichung (2)

Electrostatic (ES) Fields – Poisson and Laplace Equation / Elektrostatische (ES) Felder – Poisson- und Laplace-

Gleichung (3)Laplace Operator in Cartesian Coordinates / Laplace-Operator in Kartesischen Koordinaten

Example: pn Junction – pn Diode / Beispiel: pn-Übergang – pn Diode

2

e2

for /für

for /für

0 d( )

d 0

e n

e p

n d xe

xx n x d

nd pd0 x

Example: / Beispiel:

2 2

e2 2( , ) 0x y

x y

x

y e 10 V

e 0 V e 0 V

e 0 V

Separation of Variables / Separation der Variablen!


e2 2 2 e

0e2 2 2

e

for / Poisson Equation / für Poisson-Gleichung

for / Laplace Equation / fü

( , , )( , , ) 0

( , , )

0 ( , , )r Laplace-Gle0 ichung

x y zx y z

x y zx y z

x y z

Electrostatic (ES) Fields – Boundary Value Problem (BVP) / Elektrostatische (ES) Felder – Randwertproblem (RWP)

Examples: / Beispiele:

2 2

e2 2( , ) 0x y

x y

x

y e 10 V

e 0 V e 0 V

e 0 V

Separation of Variables / Separation der Variablen!

x

y

z

e

e

e

( ) 0

( ) 0

( ) 0

R

R

R

Between the Plates:Vacuum /

Zwischen den Platten:Vakuum

e

n×E 0

e

n×E 0

0

0

Boundary Conditions (BC) / Randbedingungen (RB)

e e 0 0

x d

e

0

0

x

e ( ) 0

( )

R

E R 0

e ( ) 0

( )

R

E R 0


ES Fields – Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates /

ES Felder – Elektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL PlattenBoundary Value Problem (BVP) – Electrostatic Poisson Equation /

Randwertproblem (RWP) – Elektrostatische Poisson-Gleichung

e

0

0

x

x

y

z

e

0 0 ( ) 0

co

for /für

for /fürnst.

R

x d

x

x d

e

e

e

( ) 0

( ) 0

( ) 0

R

R

R

e e 0 0

x d



e

n×E 0

e

n×E 0

e ( ) 0R

2 2 2

e2 2 2( , , ) 0x y z

x y z

2

e2

d( ) 0

dx

x

0

0

e

e

( ) 0

( ) 0

R

R

... Cartesian Coordinates /

... Kartesische Koordinaten

... Because of the Symmetry: 1-D Problem / ... wegen der Symmetrie: 1D-Problem

Between the Plates: Laplace Equation: Zwischen den Platten: Laplace-Gleichung


e

e e 0

0 : 0

: 0

x

x d

Boundary Conditions (BC) /Randbedingungen (RB)

Partial Differential Equation / Partielle Differentialgleichung

e ( ) 0

( )

R

E R 0

e ( ) 0

( )

R

E R 0



ES Felder – Elektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL Platten

e

0

0

x

x

y

z

e

e

e

( ) 0

( ) 0

( ) 0

R

R

R

e e 0 0

x d



e

n×E 0

e

n×E 0

2

e2

d( ) 0 0

dx x d

x

0

0

e

e

( ) 0

( ) 0

R

R

Boundary Condition (BC) / Randbedingung (RB)

Integrating once / Integriere einmal

Integrating twice / Zweifache Integration ergibt

2

e e2

d d( ) d ( ) const

ddx x x a

xx

ed

( ) constd

x ax

e ( )x ax b

e ed

( ) =const d ( )d

x a x x ax bx

Boundary Value Problem (BVP) – Electrostatic Poisson Equation / Randwertproblem (RWP) – Elektrostatische Poisson-Gleichung

e ( ) 0

( )

R

E R 0

e ( ) 0

( )

R

E R 0

e ( ) 0x ax b x d




e

0

0

x

x

y

z

e

e

e

( ) 0

( ) 0

( ) 0

R

R

R

e e 0 0

x d



e

n×E 0

e

n×E 0

0

0

e

e

( ) 0

( ) 0

R

R


e ( )x ax b

e

e e 0

0 : 0

: 0

x

x d


e ( 0) ( 0)

0

x a x b

0b

e ( )x ax

e

e0

( ) ( )

x d a x d

e0ad

e0e ( ) 0x x x d

d

Solution for the Electrostatic Potential / Lösung für das elektrostatische Potential


e ( ) 0

( )

R

E R 0

e ( ) 0

( )

R

E R 0




e

0

0

x

x

y

z

e

e

e

( ) 0

( ) 0

( ) 0

R

R

R

e e 0 0

x d



e

n×E 0

e

n×E 0

0

0

e

e

( ) 0

( ) 0

R

R


e0

e0

( )0 else / sonst

x x dx d

2

e2

d( ) 0 0

dx x d

x

e

e e 0

0 : 0

: 0

x

x d


Partial Differential Equation (PDE) / Partielle Differentialgleichung (DGL)

Solution for the Electrostatic Potential / Lösung für das elektrostatische Potential

x

e ( )x


e ( ) 0

( )

R

E R 0

e ( ) 0

( )

R

E R 0




e

0

0

x

x

y

z

e

e

e

( ) 0

( ) 0

( ) 0

R

R

R

e e 0 0

x d



e

n×E 0

e

n×E 0

0

0

e

e

( ) 0

( ) 0

R

R


e0

e0

( )0 else / sonst

x x dx d


e

e

e0

e0

( ) ( )

d( ) ( )

d

d0

d

0 else / sonst

0

0 else / sonst

E R R

E e

e

e

x

x

x

x x xx

x x dx d

x dd

The Electrostatic Potential and Electrostatic Field Strenth are Discontinuous at the Plates /

Das elektrostatisches Potential und die elektrostatische Feldstärke sind unstetig an den Platten

e ( ) 0

( )

R

E R 0

e ( ) 0

( )

R

E R 0





e0 0( )

0 else / sonst

eE x x dx d

Representation of the Electrostatic Field Strenth using the Unit Step Functions: /

Darstellung der elektrostatischen Feldstärke durch Einheitssprungfunktionen:

x

( )xE x

e0( ) u( ) u( ) E exx x x d xd

1 0u( )

0 0

xx

x

x

u( )x

x

u( )x

x

u( )x d

x d

x d

1

x

u( ) u( )x x d

x d


Step Functions / Einheitssprungfunktionen

1

1

1





e0

e0

( ) ( )

e0

e

0

d d( ) u( ) u( )

d d

d du( ) u( )

d d

( ) ( )

( )

x

x x d

E x x x dx d x

x x dd x x

x x ddx

e

e

0 e

e

0

( ) ( )

d( ) ( )

dd

( ) ( )d

( )d( )

d

x

x

x

D x xx

E x xx

xE xx

D R R

u ( )

du( ) ( )

dx

x xx

01 0

( ) 0

0

( )

u ( ) ( )d u( ) ( ) u( ) ( )d

u( ) ( ) u( ) ( ) ( )d

( ) ( )

( ) ( ) (0)

(0)

u ( ) ( )d (0)

u ( ) ( )

f

x

x f x x x f x x f x x

f f f x x

f f x

f f f

f

x f x x f

x x

Auxiliary Calculation / Nebenrechnung





x

e0e 0

e0 e0

e0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

x x x dd

x x d

x d

e ( )x

e0

e0

Electric Surface Charge Density / Elektrische Flächenladungsdichte

e0 ( )x e0 ( )x d

e

0

0

x

x

y

z

e

e

e

( ) 0

( ) 0

( ) 0

R

R

R

e e 0 0

x d



e

n×E 0

e

n×E 0

0

0

e

e

( ) 0

( ) 0

R

R


e ( ) 0

( )

R

E R 0

e ( ) 0

( )

R

E R 0


Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole … / Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol ...


Arbitrary Point Charge / Beliebige

Punktsladungsverteilungen

z

y

x

e ( ) R

ES 3e e e

0

3e

0

1( ) ( ) d

1 1( ) d

4 | |

G

R

R

R R R R R

R RR R

Expansion of in a Taylor Series for yields :

Entwicklung von in eine Taylor-Reihe für ergi

bt

1

| |

R 0

R R

3 5

1 1 1 1 13

2| |

Higher Order Terms / Terme höherer Ordnung:

R R R

R R R R R R R I RR R

HOT

HOT

ee

0

( )( )

R

R

A I I A A

1 0 0

0 1 0

0 0 1

x x y y z z

I e e e e e e

Property of the Unit Dyadic / Eigenschaft der Einheitsdyade

Unit Dyadic in Cartesian Coordinates/ Einheitsdyade im Kartesischen Koordinatensystem




1

3 3

3

3

3

3

R

R R :I

R R R R R I R R R :RR R R R I R

R R :RR R R R R

R R :RR R R

R R :RR R R : I

R R : RR I

3e e2 3

0

1 1 1 1 1( ) 3 ( ) d

4 2R R R

R

R R R R R R R R I R R R HOT

3e e2 3

0

1 1 1 1 1( ) 3 ( ) d

4 2R R R

R

R R R R R : RR I R R HOT

A

A B AB : I

A I B

A I B

A B

In general it holds / Allgemein gilt




e

e

e

3e e

0

3e2

3e3

1 1( ) ( ) d

4

1 ( ) d

1 1 ( ) d 3

2

Q

R

R

R

R

R

p

R

q

R R R

R R R R

R R R R : RR I

HOT

e e 2 3e e0

1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ( ) 34 2

Higher Order Terms / Terme höherer Ordnung :

QR R R

R p R q : RR I HOT

HOT




Arbitrary Point Charge / Beliebige Punktsladungsverteilungen

z

y

x

e ( ) R

3e e ( ) dQ

R

R RMonopole Moment / Monopolmoment

Dipole Moment / Dipolmoment

Quadrupole Moment / Quadrupolmoment

3ee( ) d

R

p R R R

3ee( ) d

R

q R R R R

3e e

0

1 1( ) ( )d

4 | |

R

R R RR R

Expansion of in a Taylor Series for yields :

Entwicklung von in eine Taylor-Reihe für ergi

bt

1

| |

R 0

R R

e e 2 3e e0

1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ( ) 34 2

Higher Order Terms / Terme höherer Ordnung :

QR R R

R p R q : RR I HOT

HOT


Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole / Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol


e e e0, , Q p 0 q 0

z

y

x

Monopole Moment / Monopolmoment

z

y

x

Dipole Moment / Dipolmoment

z

y

x

Quadrupole Moment/ Quadrupolmoment

eQ

d

d

eQ

eQ

d

eQ

eQ

eQ

eQ

e e e0, , Q p 0 q 0

e e e0, , Q p 0 q 0

Two Point Charges /Zwei Punktladungen

One Point Charge /Eine Punktladung

Four Point Charges /Vier Punktladungen

3e e ( ) dQ

R

R R

3ee( ) d

R

p R R R

3ee( ) d

R

q R R R R


Electrostatic Dipole / Elektrostatischer Dipol


e e e

e e

( ) ( ) ( )

( ) ( )2 2z z

Q Q

d dQ Q

R R R R R

R e R e

z

y

x

with 2

2

z

z

d

d

R e

R e

ee

0

1 1( )

4

Q

RR R R R

Electrostatic Dipole Moment / Elektrische Dipolmoment

Distance Vector / Abstandsvektor 2 2z z z

d dd d R R e e e

3 3e e ee

3 3e e e e e e

( ) d ( ) ( ) d

( ) d ( ) d ( )

Q Q

Q Q Q Q Q Q

R R

R R

R R

p R R R R R R R R R

R R R R R R R R R R R R d

Electrostatic Volume Charge Density / Elektrostatische Raumladungsdichte


e3 3

0

( )4

Q

R R R RE R

R R R R

Electrostatic Field Strength / Elektrostatische Feldstärke

d

eQ

eQ

R

R

zdd e


Electrostatic Dipole / Elektrostatischer Dipol


z

y

x

d

eQ

eQ

R

R

zdd e3

ee

3e e

3 3e e

e e

e

( ) d

( ) ( ) d

( ) d ( ) d

2 2z z

Q Q

Q Q

Q Q

d dQ

R

R

R R

R R R R

q R R R R

R R R R R R R

R R R R R R R R R R

R R R R

e e

e

2 2z z

z z z z

d d

Q d d

0

e e

e e e e

0

Electrostatic Dipole Moment / Elektrostatisches Dipolmoment

e ee eˆQ p p d p

e

eˆ

e ep Q Q

d R R

p d R R

with / mit

Electrostatic Quadrupole Moment / Elektrostatisches Quadrupolmoment


Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) FelderPoint Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole … /

Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol ... (2)

Application: Numerical Solution of Unbounded Static Problems / Anwendung: Numerische Lösung von unbegrenzten statischen

Problemen

ee

0

( )( )

R

R

e e

With Dirichlet Boundary Condition / Mit Dirichlet Randbedingung

With Open Boundary Condition (OBC) / Mit offener Randbedingung (ORB)

e e+ e( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )R y z x x y z x x

x

y

z

e0e+

e

( , )

0 else / sonst

( , )

y y y

y z z z z

y z



Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole … / Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol ... (2)

With Dirichlet Boundary Condition / Mit Dirichlet Randbedingung

With Open Boundary Condition (OBC) / Mit offener Randbedingung (ORB)

e+ e e+ e

e 0V

e 0V

e

0V

e

0V

offene e

offene e

e

offene

e

offene

offen/opene e

e 2 3e e0

( )

1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ34 2

QR R R

R

p R q : RR I


End of Lecture 9 /Ende der 9. Vorlesung

Documents

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 9 / Vorlesung 9 1 Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) / Electromagnetic Field Theory I (EFT I)