Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 4 / Vorlesung 4 1 Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) / Electromagnetic Field Theory I (EFT I)

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 4 / Vorlesung 4 1

Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) /

Electromagnetic Field Theory I (EFT I)

4th Lecture / 4. Vorlesung

University of KasselDept. Electrical Engineering / Computer

Science (FB 16)Electromagnetic Field Theory

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71

Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel

Universität KasselFachbereich Elektrotechnik / Informatik

(FB 16)Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71Büro: Raum 2113 / 2115

D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René [email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

mailto:[email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de/

http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein


Spherical Coordinates /Kugelkoordinaten

Cylindrical Coordinates /Zylinderkoordinaten

Cartesian Coordinates /Kartesische Koordinaten

x

y

z

cos

sin

r

r

z

sin cos

sin sin

cos

R

R

R

2 2

arctan

x y

y

xz

r

z

sin

cos

R

R

2 2 2

2 2

arctan

arctan

x y z

x y

zy

x

2 2

arctan

r z

r

z

R

Transformation Table / Umrechnungstabelle

z

y

x

R

Coordinates of Different Coordinate Systems /

Koordinaten verschiedenen Koordinatensystemen


cos sin cosx r R

1. Formulate x as a function of the cylinder and spherical coordinates. / Formuliere x als Funktion der Zylinder- und Kugelkoordinaten.

2. Formulate r as a function of the Cartesian and spherical coordinates. / Formuliere r als Funktion der Kartesischen und Kugelkoordinaten.

3. Formulate as a function of the cylinder coordinates. / Formuliere als Funktion der Zylinderkoordinaten.

2 2 sinr x y R

2 2 2 2 2 2

1

( cos ) ( sin ) cos sinx y r r r r

2 2x y2 2x y

Examples / Beispiele


Cartesian Coordinates /Kartesische Koordinaten

Cylindrical Coordinates /Zylinderkoordinaten

Spherical Coordinates /Kugelkoordinaten

x y zx y zA A A A e e e r zr zA A A A e e e RRA A A A = e e e

x

y

z

A

A

A

cos sin

sin cos

r

r

z

A A

A A

A

sin cos cos cos sin

sin sin cos sin cos

cos sin

R

R

R

A A A

A A A

A A

cos sin

sin cos

x y

x y

z

A A

A A

A

r

z

A

A

A

sin cos

cos sin

R

R

A A

A

A A

sin cos sin sin cos

cos cos cos sin sin

sin cos

x y z

x y z

x y

A A A

A A A

A A

sin cos

cos sin

r z

r z

A A

A A

A

RA

A

A

Transformation Table / Umrechnungstabelle

Scalar Vector Components in Different Coordinate Systems /Skalare Vektorkomponenten in verschiedenen

Koordinatensystemen


Example: Coordinate Transformation of the Position Vector / Beispiel: Koordinatentransformation des Ortsvektor

, ,, , , , zx y

x y zR x y zR x y z R x y z

x y z R e e e

Position Vector in the Cartesian Coordinate System / Ortsvektor im Kartesischen Koordinatensystem

( , , , , , ) cos sin( , , , , , ) sin cos( , , , , , )

r x y z x y

x y z x y

z x y z z

R r z R R R R RR r z R R R R RR r z R R R R

( , , ) ( , , ) cos( , , ) ( , , ) sin( , , ) ( , , )

x

y

z

R r z x r z rR r z y r z rR r z z r z z

, ,, , , ,

cos sinzx y

x y zR r zR r z R r z

r r z

R e e e

Transformation of the Coordinates / Transformation der Koordinaten Position Vector in the Cartesian Coordinate System as

a Function of Cylinder Coordinates / Ortsvektor im Kartesischen Koordinatensystem als

Funktion der Zylinderkoordinaten

Transformation of the Scalar Vector Components / Transformation der skalaren Vektorkomponenten

2 2

1

cos cos sin sin

(cos sin )

cos sin sin cos 0

r

z z

R r r

r r

R r r

R R

( )r z

r zR R

r z R e e

Position Vector in the Cylinder Coordinate System /

Ortsvektor in dem Zylinderkoordinatensystem

( , , , , , )

, , ( ) , , ( ) , ,

r z

r zr z

r z R R R

R r z R r z R r z

R

e e e

?Position Vector in the Cylinder Coordinate

System / Ortsvektor im Zylinderkoordinatensystem


Faraday‘s Induction Law in Integral Form /Faradaysches Induktionsgesetz in Integralform (1)

( ) ( ) ( )S t C t S t

m( ) ( ) ( ) ( )

d( , ) ( , ) ( , )

dC t S t S t S tt t t

t E R dR B R dS J R dS

Faraday‘s Induction Law / Faradaysches Induktionsgesetz

Time Dependent Surface /Zeitabhängige Fläche

Time Dependent Contour /Zeitabhängige Kontur


Faraday‘s Induction Law in Integral Form /Faradaysches Induktionsgesetz in Integralform (2)

Faraday‘s Induction Law / Faradaysches Induktionsgesetz

( ) ( )C t S t dR

( , )tE R

dR

( , )tE R dR

[m] Closed Contour Integral / Geschlossenes Kurvenintegral

[V/m] Electric Field Strength / Elektrische Feldstärke

[m] Vectorial Differential Line Element / Vektorielles differentielles Linienelement

[V]Scalar Product of E and dR = tangential projection of E onto dR / Skalarprodukt von E auf dR = Tangentialprojektion von E auf dR

dRdR s

Vectorial Differential Line Element / Vektorielles differentiellesLinienelement

Tangential Unit Vector / Tangentialer

Einheitsvektor

Scalar Differential Line Element / Skalares differentielles

Linienelement

m( ) ( ) ( ) ( )

d( , ) ( , ) ( , )

dC t S t S t S tt t t

t E R dR B R dS J R dS


Different Products / Verschiedene Produkte

C A BScalar Product / Skalarprodukt

C AB

C A×BVector Product / Vektorprodukt

Dyadic Product / Dyadisches Produkt


Scalar Product (Dot or Inner Product) / Skalarprodukt (Punktprodukt oder inneres Produkt) (1)

cos ( , )

cosAB

ABAB

A B A B A B

cos ABB

AB

A

B

cos ABA

ABEnclosed Angle / Eingeschlossener

Winkel

cos

cosBA

AB

BA

AB

A B B A

cos cosAB AB

cos

arccos

AB

AB

A B

A B

A B

A B



1 00

0 1 0

10 0

( ) ( )

+

+

x y z x y zx y z x y z

x x x y x zx x x y x z

y x y y y zy x y y y z

z x z y z zz x z y z z

A A A B B B

A B A B A B

A B A B A B

A B A B A B

A

A B e e e e e e

e e e e e e

e e e e e e

e e e e e e

x x y y z zB A B A B

1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 3

1 1 2 2 3 3

3

1

( ) ( )

( ) ( )

i i


x x y y z z

x x x x x xx x x x x x

x x x x x x

x xi

A A A B B B

A B A B A B

A A A B B B

A B A B A B

A B

A B e e e e e e

e e e e e e

x y z e e e

Orthonormal Unit Vectors / Orthonormale Einheitsvektoren

1

0

0

x x

x y

x z

e e

e e

e e

0

1

0

y x

y y

y z

e e

e e

e e

0

0

1

z x

z y

z z

e e

e e

e e

1

2

3

x x

y x

z x

Cartesian Coordinates / Kartesische Koordinaten



3 3

1 1

3 3

1 1

3 3

1 1

( ) ( )

or/oder

i ji j

i ji j

i j i j

ij

i j i j

ij

i j

xi


x xx xi j

x xx xi j

x x x xi j

x x x x

x x ij

B

A A A B B B

A B

A B

A B

A B

A B

A B e e e e e e

e e

e e

e e

e e

i j

x j

x xj j

i i

x ij x

A

A B

x x

A B

A B

1

0iji j

i j

Kronecker Delta / Kronecker-Delta

with Einstein’s Summation Convention / mit Einsteinscher Summationskonvention

Einstein‘s Summation Convention: If a index appears two times at one side of an equation (and not at the other side), the index is automatically summed over 1 to 3. / Einsteinsche Summenkonvention: Wenn ein Index auf einer Seite einer Gleichung zweimal vorkommt (und auf der anderen nicht), wird darüber von 1 bis 3 summiert.


Magnitude of a Vector / Betrag eines Vektors

1 00

0 1 0

10 0

(A A A ) (A A A )

A A A A A A

+ A A A A A A

+ A A A A A A




z x z y z zz x z y z z

A A A

e e e e e e

e e e e e e

e e e e e e

e e e e e e

1

2

2 2 2

A A A A A A

A A A

A

x x y y z z

x y z

3 3

1 1

2

i ji j

i ji j

i j i j

ij

i

x xx xi j

x xx x

x x x x

x

A B

A A

A A

A

A A A

e e

e e

e e


Example: Position Vector and Electric Field Strength Vector / Beispiel: Ortsvektor und elektrischer Feldstärkevektor

( , , ) R ( , , ) R ( , , ) R ( , , )

x y zx y z

x y z

x y z x y z x y z x y zx y z

R e e ee e e

Cartesian Coordinate System / Kartesisches Koordinatensystem

( , ) ( , , , )

E ( , , , ) E ( , , , ) E ( , , , )x y zx y z

t x y z t

x y z t x y z t x y z t

E R E

e e e

Electric Field Strength Vector / Elektrische Feldstärkevektor

2 2 2

( , , )ˆ ( , , )( , , )

x y z

x y zx y z

x y zx y z

x y z

RR

Re e e

2 2 2

( , , ) ( , , ) ( , , )

x y z x y z

x y z x y z x y z

x y z x y z

x y z

R R R

e e e e e e

2 2 2

( , , )ˆ ( , , )( , , )

E E E

E E E

x y zx y z

x y z

x y zx y z

x y z

EE

Ee e e

2 2 2

( , , ) ( , , ) ( , , )

E E E E E E

E E E


x y z

x y z x y z x y z

E E E

e e e e e e

Position Vector / Ortsvektor

Magnitude of the Position Vector (Distance) / Betrag des Ortsvektor (Abstand)

Magnitude of the Electric Field Strength Vector (Strength) / Betrag des elektrische Feldstärkevektors

(Stärke)

Position Unit Vector (Direction) / Ortseinheitsvektor (Richtung)

Electric Field Strength Unit Vector (Direction) / Elektrische Feldstärkeeinheitsvektor (Richtung)


Vector Product (Cross or Outer Product) / Vektorprodukt (Kreuzprodukt oder äußeres Produkt) (1)

sin ( , )

sin

AB

AB

AB

C

AB

S

C A×B

A B A B

AB

A

B

C

ABS

and /

und C A C B

Surface / Fläche



A×B B×A

0

0

( ) ( )

+

+

yz

z x

y x




z x z y zz x z y

A A A B B B

A B A B A B

A B A B A B

A B A B A

ee

e e

e e

A×B e e e × e e e

e ×e e ×e e ×e

e ×e e ×e e ×e

e ×e e ×e

0

( ) ( ) ( )

z z z

y z z y z x x z x y y xx x y z

B

A B A B A B A B A B A B

e ×e

e e e e

A×A 0

x y z e e e

Orthonormal Unit Vectors / Orthonormale Einheitsvektoren

x x

x y z

x z y

y x z

y y

y z x

z x y

z y x

z z

e × e 0

e × e e

e × e e

e × e e

e × e 0

e × e e

e × e e

e × e e

e × e 0



( )

+ ( )

( )

x y z

x y z

x y z

x y z x y

x y z x y

x y z x y

y z z y x

z x x z y

x y y x z

A A A

B B B

A A A A A

B B B B B

A B A B

A B A B

A B A B

e e e

A×B

e e e e e

e

e

e

Add the first two Columns / Addiere die beiden ersten Spalten

Sarrus Law /Regel von Sarrus

[Pierre Frédéric Sarrus, 1831]http://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_Sarrus


Dyadic Product / Dyadisches Produkt

3 3

1 1

3 3

1 1

i ji j

i ji j

i ji j

i j i j

i j i j

x xx xi j

x xx xi j

x xx x

x x x x

x x x x

x xi jD

A B

A B

A B

A B

D

AB e e

e e

e e

e e

e e

D

BA AB

D ε E

B μ H


Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder


Electrostatic Field Problem – Example: Parallel Plate Capacitor / Elektrostatisches Feldproblem – Beispiel: Paralleler

Plattenkondensator

Scalar Field: Electrostatic Potential /Skalarfeld: Elektrostatisches Potenzial

Vector Field: Electrostatic Field Strength /Vektorfeld: Elektrostatische Feldstärke


e

( ) 0

( ) ( )d

C S

S V VV

E R dR

D R dS R

e

( )

( ) ( )

×E R 0

D R R

Integral Form / Differential Form / Integralform Differentialform

Curl-Free E Field /Rotationsfreies E Feld

Divergence of D Represents Electric Charge Density /Quellstärke von D entspricht der elektrischen Raumladungsdichte

Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder: Governing Equations / Grundgleichungen

Electrostatic (ES) Fields – Governing Equations / Elektrostatische (ES) Felder – Grundgleichungen

e

( ) ::( )

( ) :

E RD RR

Electric Field Strength / Elektrische FeldstärkeElectric Flux Density / Elektrische FlussdichteElectric Charge Density / Elektrische Raumladungsdichte

Electrostatic /Elektrostatik 0

t

No Time Dependence and No Magnetic Field Quantities /Keine Zeitabhängigkeit und keine magnetischen Feldgrößen


e

e

( ) 0

( ) ( )d

C S

S V VV

Q

E R dR

D R dS R

e

( )

( ) ( ) ×E R 0

D R R

Integral Form / Integralform

Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder: Governing Equations / Grundgleichungen

Electrostatic (ES) Fields – Governing Equations / Elektrostatische (ES) Felder – Grundgleichungen

0( ) ( )D R E R

0 r( ) ( ) D R E R

Vacuum / Vakuum

Electric Field Constant / Elektrische Feldkonstante(IEEE, VDE)Permittivity of Free Space / Permittivität des Freiraumes

Side Remark: In some Cases /Nebenbemerkung: In einigen Fällen

Permittivity / Permittivität

2

3e

( ) [V/m Newton /Coulomb = N/C][As/ m ]( )

( ) [As/m ]

E RD RR

Differential Form /

Differentialform

rMaterial

1.006

Paper / Papier 2...4

Wet Earth / Nasse Erde 5...15

Gallium Arsenide / Gallium Arsenid 13

Seawater / Seewasser 70

Air / Luft


End of Lecture 4 /Ende der 4. Vorlesung

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