Dynamic Analysis of a Continuous Stirred Tank Reactor (CSTR) … · 2014-04-25 · Palabras clave: Tratamiento de aguas residuales, cin etica de Monod, cin etica de Haldane, bio-pel

Dynamic Analysis of a Continuous Stirred TankReactor (CSTR) with biofilm formation for the

treatment of residual wastewater

Analisis Dinamico de un Reactor Continuo de TanqueAgitado (RCTA) con Formacion de Biopelıculas para

el Tratamiento de Aguas Residuales

Karen Lopez Buritica

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Departamento de Matematicas y Estadıstica

Manizales, Colombia

2013

Analisis Dinamico de un Reactor Continuo de TanqueAgitado (RCTA) con Formacion de Biopelıculas para

el Tratamiento de Aguas Residuales

Karen Lopez Buritica

Tesis presentada como requisito parcial para optar al tıtulo de:

Magister en Ciencias - Matematica Aplicada

Director:

Dr. Simeon Casanova Trujillo

Codirector:

M. Sc. Hector Andres Granada Dıaz

Lınea de Investigacion:

Sistemas Dinamicos

Grupo de Investigacion:

Calculo Cientıfico y Modelamiento Matematico

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Departamento de Matematicas y Estadıstica

Manizales, Colombia

2013

Dedicatoria

A mis padres,

Ana Ligia Buritica V. y Alfonso Lopez B.

Agradecimientos

A Dios y la Santısima Virgen por permitirme concluir otra etapa de mi vida.

A mi hermano William Alfonso Lopez por su apoyo incondicional.

A mi director de tesis Simeon Casanova Trujillo y codirector Hector Andres Granada por

sus invaluables ayudas, grandes aportes y acompanamiento en este proceso.

Al profesor Carlos Daniel Acosta Medina por la confianza depositada en mı.

Al profesor Juan Carlos Higuita por sus valiosos aportes en la interpretacion biologica del

sistema.

Al profesor Alejandro Rincon Santamarıa quien me guio en la comprension de la cinetica de

Haldane.

A Fanny Yaneth Sanchez por su amistad y sinceros consejos.

A mis companeros de la Maestrıa por su carino y paciencia.

A todos aquellos companeros, profesores y familia de los cuales de una u otra forma he re-

cibido apoyo, solidaridad y afecto.

A la Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales por el financimiento de este trabajo

a traves de la convocatoria Apoyo a Tesis de Posgrado DIMA - 2012.

ix

Resumen

El presente trabajo analiza la dinamica de un sistema que modela la formacion de biopelıculas

en un reactor continuo de tanque agitado (RCTA) cuando es utilizado para el tratamiento de

aguas residuales. La tasa de crecimiento de los microorganismos es modelada mediante dos

cineticas distintas, Monod y Haldane con el fin de estudiar la influencia de cada una de ellas

en el sistema. Para cada cinetica se hallan los puntos de equilibrio, realizando el respectivo

analisis de estabilidad. En el sistema modelado con la cinetica de Monod se encuentra una

bifurcacion transcrıtica, igualmente encontrada en el sistema modelado con la cinetica de

Haldane, ademas de una bifurcacion silla-nodo. Por ultimo se caracterizan las bifurcaciones

encontradas.

Palabras clave: Tratamiento de aguas residuales, cinetica de Monod, cinetica de Haldane, bio-

pelıculas, RCTA, puntos de equilibrio, estabilidad, bifurcaciones.

Abstract

This paper analyzes the dynamics of a system that models the biofilm formation in a continuous

stirred tank reactor (CSTR) when it is used for the treatment of wastewater. The rate of growth

of micro-organisms is modeled using two different kinetics, Monod and Haldane in order to study

the influence of each of them in the system. For each kinetics were found equilibrium points, per-

forming the respective stability tests. In system modeling Monod kinetics was found transcritical

bifurcation, also found in the system modeling Haldane kinetics, besides a saddle-node bifurcation.

Finally we characterize the bifurcations found.

Keywords: Wastewater treatment, Monod’s kinetics, Haldane’s kinetics, biofilms, CSTR, equili-

brium points, stability, bifurcations.

Contenido

Agradecimientos VII

Resumen IX

Lista de sımbolos XI

1. Introduccion 1

1.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Descripcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4. Revision Bibliografica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5. Contribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Conceptos Matematicos Claves 5

2.1. Cinetica de Monod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2. Puntos de Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3. Metodo Indirecto de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4. Criterio de Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.5. Bifurcaciones uno-parametricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.6. Teorema de Sotomayor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.7. Diagramas de Bifurcaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.8. Aplicacion de Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.9. Cinetica de Haldane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3. Las Biopelıculas en el Tratamiento de Aguas Residuales 11

3.1. Biopelıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1.1. Etapas en el Desarrollo de las Biopelıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1.2. Aplicaciones de las Biopelıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2. Tratamiento de Aguas Residuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2.1. Procesos de Biopelıculas Vs Procesos de Lodos Activados . . . . . . . . . . . 13

3.2.2. Reactor de Biopelıcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2.3. Reactor Continuo de Tanque Agitado (RCTA) . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4. Analisis del Sistema Modelado con la Cinetica de Monod 17

4.1. Modelo Matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2. Influencia del Factor de Dilucion D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Contenido xi

4.3. Calculo de Puntos de Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.4. Analisis de Estabilidad de Puntos de Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29


4.5.1. Diagramas de Bifurcaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.5.2. Algoritmo para el Diagrama de Bifurcaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5. Analisis del Sistema Modelado con la Cinetica de Haldane 50

5.1. Influencia del Factor de Dilucion D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.2. Calculo de Puntos de Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.3. Analisis de Estabilidad de Puntos de Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62


5.4.1. Diagramas de Bifurcaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6. Conclusiones 76

Bibliografıa 77

Lista de sımbolos

Sımbolos con letras latinas

Sımbolo Termino Unidad SI

S Concentracion del Sustrato mg/l

Xu Concentracion de Biomasa de Microorganismos Suspendidos mg/l

Xw Concentracion de Biomasa de Microorganismos Adheridos mg/dm2

Xw,m Maxima Densidad de Area de Biomasa de Microorganismos Adheridos mg/l

W Fraccion de Ocupacion sobre la superficie

D Factor de Dilucion h−1

k Tasa de mortalidad de microorganismos h−1

S0 Concentracion del Sustrato en el Alimentador mg/l

Sımbolos con letras griegas

Sımbolo Termino Unidad SI

γ Constante de Rendimiento

µ Tasa especıfica de crecimiento de microorganismos h−1

µm Tasa maxima de crecimiento de microorganismos h−1

α Tasa de Fijacion de Microorganismos Suspendidos h−1

β Tasa de Desprendimiento de Microorganismos Adheridos h−1

Contenido xiii

Subındices

Subındice Termino

u Microorganismos Suspendidos

w Microorganismos Adheridos

1 Introduccion

1.1. Motivacion

El agua es el recurso natural mas importante, sin el cual no habrıa vida, es ademas el lıquido mas

abundante de la Tierra, cubre el 71 % de la superficie de la corteza terrestre, del cual tan solo un 3 %

es agua dulce. Su uso causa una disminucion de su calidad y un grave deterioro del medio ambien-

te si se devuelve inmediatamente, por eso se hace imprescindible depurarla para su reutilizacion.

De ahı nace entonces la necesidad de implementar las plantas de tratamiento de aguas residuales

(industriales, domesticas,...). Lastimosamente no todas las aguas residuales son tratadas, lo que

genera gran contaminacion. En Colombia, por ejemplo, “solamente el 30 % de las aguas residuales

reciben tratamientos que no son muy adecuados, falta el 70 %” [36], existen 562 sistemas instalados,

de los cuales 333 fueron inspeccionados durante los anos 2011 y 2012 en 278 municipios del paıs,

“... el resultado de las visitas realizadas senala que las empresas prestadoras del servicio incumplen

las normas de vertimiento de aguas residuales, desconocen el protocolo de operacion, no hacen el

mantenimiento adecuado a la infraestructura y son vulnerables a fenomenos naturales ... lo que

genera un impacto negativo en lo social y ambiental...” [30].

La situacion anterior no es solo un problema local sino que se presenta a nivel mundial, razon

por la cual en los ultimos anos ha cobrado vital importancia la puesta en marcha de plantas de

tratamiento cada vez mas eficientes, por lo que el papel de los procesos biologicos en el tratamiento

de aguas residuales ha aumentado considerablemente, siendo uno de los procesos biologicos mas

interesantes los reactores de biopelıcula [8]. Las biopelıculas son finas capas de microorganismos

adheridos a una superficie solida, se pueden desarrollar en casi cualquier tipo de superficie expuesta

a un medio acuoso, y en el tratamiento de aguas residuales se utilizan para eliminar y oxidar los

componentes organicos e inorganicos. La concentracion de biomasa en una biopelıcula puede llegar

a ser diez veces mayor que la concentracion en cultivo lıquido [20], ello reduce el volumen de los

equipos al aumentar la tasa de eliminacion por unidad de volumen.

Implementar una planta piloto para estudiar estos procedimientos resulta costoso, por lo que los

modelos matematicos y simulaciones por computadora se vuelven utiles para describir, predecir

y controlar las complejas interacciones que se presentan [11]. La modelacion matematica tiene

ventajas tales como: probar configuraciones innovadas y comparar variantes, aun cuando la planta

proyectada no exista todavıa fısicamente; reducir las necesidades de estudio piloto, el tiempo y la

inversion que se requiere para esto; optimizar la configuracion y el funcionamiento de una planta de

tratamiento; responder a numerosas preguntas respecto a su capacidad e impactos de modificaciones

proyectadas; realizar estudios sin perturbar el funcionamiento de la planta, ni poner en riesgo sus

2 1 Introduccion

equipos, ademas de constituir un instrumento de ayuda a la decision para los administradores

de plantas y un medio grafico visual para convencer estos ultimos. Como principales lımites, se

debe notar la necesidad de realizar estudios anteriores para calibrar los modelos. Los datos que se

necesitan para esto son generalmente diferentes de los datos rutinarios de caracterizacion que se

tienen en las plantas de tratamiento [9].

1.2. Objetivos

Objetivo Principal

Realizar un analisis dinamico de un sistema que gobierna el crecimiento de biopelıculas en un

reactor cuando el crecimiento de microorganismos es modelado mediante la cinetica de Monod y la

cinetica de Haldane.

Objetivos Especıficos

1. Realizar un estudio analıtico y numerico de la formulacion del sistema modelado tanto con

la cinetica de Monod como la de Haldane.

2. Analizar la influencia de los parametros que intervienen en el sistema modelado tanto con la

cinetica de Monod como la de Haldane.

3. Caracterizar las posibles bifurcaciones que se obtengan en el sistema modelado tanto con la

cinetica de Monod como la de Haldane mediante la variacion adecuada de parametros.

4. Analizar el comportamiento del sistema modelado tanto con la cinetica de Monod como la

de Haldane usando tecnicas de la dinamica no lineal.

5. Comparar los resultados obtenidos cuando el sistema es modelado con las dos cineticas estu-

diadas, Monod y Haldane.

1.3. Descripcion

En [19] se plantea un modelo que ha tratado de sintetizar los factores que influencian la forma-

cion de las biopelıculas, eliminar la deficiencia de los modelos existentes y estudiar los mecanismos

de cinetica desde una nueva perspectiva. Este modelo es el elegido para el presente estudio, el

cual describe la formacion de poblaciones microbianas en un medio acuoso dentro de un reactor,

las bacterias puede estar suspendidas en el agua o colonizar la superficie. El sistema consta de

tres ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales y modela la formacion de biopelıculas aerobicas

heterotroficas dentro del reactor, tomando en cuenta tanto los microorganismos adheridos a las

biopelıculas como los microorganismos suspendidos. En [19] se plantea el sistema modelado con

la cinetica de Monod, se halla el equilibrio correspondiente a la condicion de lavado, ademas de

estudiar la influencia de los diferentes parametros en la formacion de las biopelıculas. En el presente

trabajo se encuentran otros puntos de equilibrio en el sistema modelado con la cinetica de Monod,

1.4 Revision Bibliografica 3

se estudia el sistema modelado con la cinetica de Haldane, se encuentran los puntos de equilibrio y

se analiza su estabilidad, ademas de caracterizar las bifurcaciones que se presentan. Se toma como

parametro de bifurcacion el coeficiente de dilucion D ∈ [0, 1]h−1.

En el capıtulo 2 se hace una breve descripcion de los conceptos matematicos que se van a utilizar

en el trabajo. En el capıtulo 3 se presenta una introduccion a las biopelıculas y su uso en el

tratamiento de aguas residuales. En el capıtulo 4 se analiza el modelo presentado en [19] cuando

el crecimiento microbiano es modelado mediante la cinetica de Monod, debido a la simplicidad que

esta ofrece, se hallan los puntos de equilibrio y se realiza un estudio de estabilidad, se caracteriza

una bifurcacion transcrıtica encontrada. Por ultimo en el capıtulo 5 se analiza el modelo cuando

el crecimiento microbiano es modelado con la cinetica de Haldane, esto con el fin de estudiar una

posible inhibicion del sustrato, igualmente se hallan los puntos de equilibrio con su respectivo

analisis de estabilidad, se caracterizan dos bifurcaciones encontradas, la bifurcacion silla-nodo y

transcrıtica.

1.4. Revision Bibliografica

En [20] se hace un analisis teorico de la formacion de las biopelıculas, y en [17, 27] una caracteri-

zacion y un analisis del uso de las biopelıculas en los sistemas de tratamiento de aguas residuales.

Resultados experimentales a escala-piloto han demostrado la eficiencia del reactor de biopelıcula

para el tratamiento de aguas residuales que contenıan melaza como fuente de carbono en diferentes

condiciones del afluente [8]; en reactores de movimiento vertical (VMBR) seguido por un filtro de

arena estratificada [39]; y en reactores en los que se combina el tratamiento con lodos activados [18].

Desde hace anos se viene trabajando en la realizacion de modelos matematicos que simulen el com-

portamiento de un reactor de biopelıcula de la forma mas acorde a la realidad. Por ejemplo, en

[4] se propuso un modelo de reactor de biopelıculas basado en aspectos netamente fisiologicos, este

fue sustituido con el paso del tiempo con modelos que fueron involucrando cada vez mas variables

[48, 32, 34]. En [9] se plantea un modelo con el fin de estudiar el efecto de la velociad de flujo de

un agua residual en un reactor de membrana con biopelıcula adherida (RMBA) para su tratamien-

to. En [15] y [24] se analiza la formacion de biopelıculas en un proceso de tratamientos de aguas

residuales. En [40] se diseno, construyo y modelo una planta de tratamiento de aguas residuales

domesticas a pequena escala. En [45] y [23] se hizo el analisis dinamico de un bioreactor UASB

2-dimensional con un forzamiento de perıodo y sistemas de Fillipov, respectivamente. En [37] se

planteo ademas una estrategia de control en un reactor de lecho fijo anaerobio de flujo ascendente.

En los ultimos tres modelos se encontraron los puntos de equilibrio y se hizo un analisis de esta-

bilidad, se realizaron simulaciones numericas en busca de bifurcaciones y en [37] se caracterizaron

las bifurcaciones encontradas. En [22] el modelo propuesto en [19] es reformulado en un modelo

matematico de ecuaciones diferenciales parciales con el objetivo de estudiar el comportamiento de

los microorganismos suspendidos.

4 1 Introduccion

1.5. Contribuciones

Como parte de la tesis se realizaron los siguientes trabajos:

Lopez Buritica Karen, Casanova Trujillo Simeon, Acosta Medina Carlos Daniel, Granada

Diaz Hector Andres. “Analisis Dinamico de un Reactor Continuo de Tanque Agitado (RCTA)

con Formacion de Biopelıculas para el Tratamiento de Aguas Residuales”. XIX Congreso

Colombiano de Matematicas. En calidad de ponencia. Julio 15 al 19 de 2013. Barranquilla,

Universidad del Norte.

Lopez Buritica Karen, Casanova Trujillo Simeon, Acosta Medina Carlos Daniel. “Analisis

del Crecimiento Microbiano mediante la cinetica de Monod y Haldane en un RCTA utilizado

para el Tratamiento de Aguas Residuales”. Revista Noos. Universidad Nacional de Colombia,

Sede Manizales. 2013.

Lopez Buritica Karen, Casanova Trujillo Simeon, Acosta Medina Carlos Daniel, Granada

Diaz Hector Andres. “Bifurcations in a Model of Biofilm Reactor used for Wastewater Treat-

ment”. Este artıculo esta en etapa de traduccion para ser enviado a la revista World Journal

of Microbiology & Biotechnology.

2 Conceptos Matematicos Claves

2.1. Cinetica de Monod

Los microorganismos adheridos y suspendidos dentro del reactor consumen la materia organica

que se encuentra presente en las aguas residuales a depurar. La tasa especıfica de consumo de

sustrato es la ”velocidad” con la que el organismo consume el sustrato. Aunque el crecimiento de

microorganismos es un fenomeno complejo, existen ecuaciones con las cuales se puede modelar este

comportamiento. La ecuacion de Monod es la mas sencilla y la que mas se utiliza para describir la

cinetica del crecimiento microbiano. Es funcion del sustrato limitante y se expresa de la siguiente

manera:

µ = µmSKS+S

donde µm es la velocidad maxima de crecimiento, KS es la concentracion de sustrato a la mitad del

maximo de velocidad de crecimiento y representa la afinidad de los microorganismos por el sustrato.

Si el organismo tiene gran afinidad por el sustrato limitante, el valor de KS es bajo [10]. De la Figura

2-1 se puede observar que cuando S es muy grande, la velocidad especıfica de crecimiento tiende a

la velocidad maxima. Si por el contrario S es muy pequena, la velocidad especıfica de crecimiento

depende del sustrato.

Figura 2-1: Ecuacion de Monod

El crecimiento de los microorganismos suspendidos y adheridos en el reactor es un fenomeno natural

no lineal, que puede analizarse mediante la teorıa de la dinamica no lineal, la cual aporta una

6 2 Conceptos Matematicos Claves

perspectiva global de los modos de comportamiento del sistema, tales como estados de equilibrio,

estabilidad y bifurcaciones.

2.2. Puntos de Equilibrio

Un punto x0 ∈ Rn es un punto de equilibrio o un punto crıtico de x =f(x) si:

f(x0) = 0

En este punto el sistema permanece en estado estacionario, es decir, si φt : U → Rn es el flujo

del sistema entonces φt(x0) = x0 para todo t que pertenezca a los reales [2, 14]. Los puntos de

equilibrio del sistema se hallan resolviendo las siguientes ecuaciones:

D(S0 − S)− γ−1µ(S)[Xu +Xw] = 0

Xu[µ(S)−D − k] + βXw +Xwµ(S)[1−G(W )]− αXu[1−W ] = 0 (2-1)

Xw[µ(S)G(W )− β − k] + αXu[1−W ] = 0

2.3. Metodo Indirecto de Lyapunov

Un punto de equilibrio de un sistema dinamico es estable en el sentido de Lyapunov si todas las

trayectorias con condiciones iniciales en una vecindad del punto de equilibrio permanecen en dicha

vecindad. El punto de equilibrio es asintoticamente estable si las trayectorias ademas de permanecer

en la vecindad, tienden hacia el punto de equilibrio. El metodo indirecto de Lyapunov enunciado

en [1] y demostrado en [12] brinda un procedimiento para determinar la estabilidad local de un

punto de equilibrio hiperbolico.

Sea x = x0 un punto de equilibrio del sistema no lineal x = f(x) y A =(∂f∂x

)x=x0

la matriz jaco-

biana del sistema. Entonces, notando con λi a los valores propios de A se tiene que:

· El equilibrio es asintoticamente estable si Re{λi} < 0 para todo λi· El equilibrio es inestable si Re{λi} > 0 para algun λi

El teorema de Hartman-Grobman dice ademas que en la vecindad de un punto de equilibrio hi-

perbolico, el sistema no lineal presenta un comportamiento cualitativamente equivalente al del

sistema lineal correspondiente [3, 31].

Un punto de equilibrio x0 del sistema es llamado hiperbolico si la matriz jacobiana A no tiene va-

lores propios con parte real cero; y es no hiperbolico si al menos un valor propio tiene parte real cero.

Para hallar los valores propios de A se necesita el polinomio caracterıstico, sin embargo no es

necesario factorizarlo. Tenemos ası el siguiente criterio.

2.4 Criterio de Routh-Hurwitz 7

2.4. Criterio de Routh-Hurwitz

Sea λ3 + a1λ2 + a2λ+ a3 el polinomio caracterıstico de una matriz A3×3. Se construye el siguiente

arreglo:

λ3 1 a2

λ2 a1 a3

λ1 b1 0

λ0 c1 0

Los coeficientes b1, c1 se evaluan ası: b1 =a1a2 − a0a3

a1c1 =

b1a3 − a1b2b1

El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz plantea que el numero de raıces del polinomio carac-

terıstico con parte real positiva es igual al numero de cambios de signo de los coeficientes de la

primera columna del arreglo.

2.5. Bifurcaciones uno-parametricas

Es conocido el hecho que la dinamica de un sistema puede cambiar drasticamente al variar uno

o mas parametros del mismo. Este cambio cualitativo o cambio estructural se conoce como una

bifurcacion. En general, la teorıa de bifurcaciones estudia los cambios estructurales que puede te-

ner un sistema dinamico cuando sus parametros varıan [7, 14]. Las bifurcaciones solo ocurren en

equilibrios no hiperbolicos, ya que por el teorema de Hartman-Grobman se sabe que los puntos de

equilibrio hiperbolicos son estructuralmente estables [21].

Bifurcacion Transcrıtica descrita en [47]:

Sea x = x0 un punto de equilibrio no hiperbolico. La estructura del sistema se caracteriza como

sigue:

· Dos curvas de puntos de equilibrios φ(t) y ψ(t) pasan a traves de x0.

· Ambas curvas existen en ambos lados de x0.

· La estabilidad de las curvas se intercambia cuando pasan a traves de x0 .

Bifurcacion silla-nodo descrita en [47]:

Sea x = x0 un punto de equilibrio no hiperbolico y sea d el parametro de bifurcacion. Un valor

propio λ = 0 ocurre en d = µ0. La estructura del sistema se caracteriza como sigue:

· Para valores de d < µ0 existen dos puntos de equilibrio.

· Para valores de d = µ0 existe un unico punto de equilibrio no hiperbolico.

· Para valores de d > µ0 no hay puntos de equilibrio.


2.6. Teorema de Sotomayor

El Teorema de Sotomayor da unas condiciones suficientes, tales que si se satisfacen, el sistema

presenta una bifurcacion silla-nodo o transcrıtica, segun sea el caso. El enunciado es el siguiente:

Considere un sistema de tiempo continuo dependiendo de un parametro uni-dimesional:

x=f(x, µ), x ∈ Rn, µ ∈ R

donde f es suave con respecto a x y µ. Sea x = x0 un punto de equilibrio que tiene un valor propio

nulo en µ = µ0. Suponga que f(x0, µ0) = 0 y que la matriz A = Df(x0, µ0) tiene un valor propio

λ = 0 con vector propio v y que AT tiene un vector propio w correspondiente al valor propio λ = 0.

Ademas, suponga que A tiene k valores propios con parte real negativa y n− k − 1 valores propios

con parte real positiva. El sistema presenta:

Bifurcacion Silla-Nodo si:

1. wT fµ(x0, µ0) 6= 0

2. wT [D2f(x0, µ0)(v,v)] 6= 0

Bifurcacion Transcrıtica si:

1. wT fµ(x0, µ0) = 0

2. wT [Dfµ(x0, µ0)v] 6= 0

3. wT [D2f(x0, µ0)(v,v)] 6= 0

La naturaleza de las anteriores expresiones es la siguiente:

· fµ(x0, µ0) =∂f(x, µ)

∂µ|(x0,µ0)

· Dfµ(x0, µ0) es el Jacobiano de fµ(x0, µ0)

· D2f(x0, µ0)(v,v)=∑n

i,j

∂2x

∂xixjvivj donde x = (x1, . . . , xn), v=(v1, . . . , vn)

2.7. Diagramas de Bifurcaciones

Las bifurcaciones son cambios estructurales del sistema. Este tipo de cambios se pueden apreciar

mediante su respectivo diagrama de bifurcaciones pues lo que determina es si el sistema converge

a un n-ciclo o si su comportamiento es aleatorio.

2.8 Aplicacion de Poincare 9

2.8. Aplicacion de Poincare

Esta aplicacion es una tecnica que reemplaza el analisis del flujo de un sistema a tiempo continuo

por el analisis de un sistema a tiempo discreto, con un espacio de estados de menor dimension que

el sistema continuo original, llamado seccion de Poincare. Esta aplicacion lleva cada punto de dicha

seccion en el primer punto en el que la orbita que lo contiene retorna a la misma. Se exige que la

seccion de Poincare sea transversal al flujo del sistema. Dicha transversalidad plasma la exigencia

de que las orbitas que comienzan en la seccion fluyan a traves de la misma y no paralelas a ella.

2.9. Cinetica de Haldane

La cinetica de Haldane es usada para describir la relacion entre la tasa de crecimiento de los micror-

ganismos y la concentracion de un sustrato inhibitorio. Se ha utilizado en el modelo del presente

trabajo con el fin de estudiar una posible inhibicion del sustrato en las reacciones que ocurren en el

bioreactor. La tasa de crecimiento de los microorganismos esta determinada por µ =µmS

KS + S + S2

KI

,

KI se define de forma analoga a KS , pero en este caso representa el valor de [S] cuando la inhibicion

es la mitad de la maxima.

De acuerdo con el valor de los parametros propuestos, se observa en la Figura 2-2 que cada modelo

de crecimiento microbiano presenta un comportamiento diferente [43]. Para la curva de Monod la

velocidad del proceso biologico de crecimiento tendera asintoticamente al valor maximo µm [23].

Para la curva de Haldane la velocidad del crecimiento microbiano es alta para bajas concentraciones

del sustrato y baja para altas concentraciones del sustrato, lo que muestra el efecto negativo de

una alta concentracion del sustrato. Ambos modelos exhiben un valor maximo en la velocidad de

crecimiento microbiano [43, 46].

Para las simulaciones KI = 1500. El valor de la constante es una caracterıstica propia del inhibidor.

En este caso cuando S = KI el grado de inhibicion es aproximadamente del 50 %.


Figura 2-2: Tasa de crecimiento para la cinetica de Monod y Haldane

3 Las Biopelıculas en el Tratamiento de

Aguas Residuales

3.1. Biopelıculas

Las biopelıculas son comunidades de microorganismos adheridas a una superficie que se encuentra

en un ambiente humedo. Estan presentes en todos los medios (natural, clınico o industrial) donde

existan bacterias, solo necesitan un entorno hidratado y una mınima presencia de nutrientes, porque

pueden desarrollarse sobre superficies hidrofobas o hidrofilas, bioticas o abioticas. Se pueden encon-

trar por ejemplo sobre las rocas marinas y los cascos de los barcos, alrededor de las raıces vegetales

y en la piel o la flora intestinal de los animales superiores, en el jarro de las flores de hace dıas, en el

grifo de la cocina o en el desague del refrigerador, tambien en la placa dental y en el oıdo infectado,

o contaminando productos implantados como cateteres y marcapasos [33]. Las biopelıculas pueden

estar formadas por una sola especie bacteriana, pero en la mayoria de las ocasiones consisten en una

mezcla de muchas especies de bacterias, tales como hongos, algas, levaduras, protozoos, residuos y

productos de corrosion. Las celulas presentes en las biopelıculas producen unos hilos moleculares

azucarados, denominados “Sustancias Polimericas Extracelulares” (o “EPS”-siglas en ingles) y se

mantienen unidas por estos, formando una matriz que los protege de la exposicion a rayos UV,

la toxicidad de los metales, la exposicion al acido, la deshidratacion y la salinidad, la fagocitosis,

antibioticos y agentes antimicrobianos. El ambiente dentro de las biopelıculas es optimo para el

intercambio intercelular de material genetico, las senales de comunicacion y metabolitos, que per-

miten la difusion de nutrientes necesarios. Lo anterior explica como probablemente las bacterias son

capaces de sobrevivir en tantos tipos diferentes de ambientes, incluyendo aquellos que son hostiles

para formas superiores de vida [28]. Las biopelıculas pueden ser tan delgadas como unas pocas

capas de celulas o muchas pulgadas de espesor, dependiendo de las condiciones ambientales [5].

3.1.1. Etapas en el Desarrollo de las Biopelıculas

En un medio acuoso, las celulas microbianas se pueden encontrar como celulas ”planctonicas”

(flotantes) o en superficies ”sesiles” (adheridas). La formacion de las biopelıculas (Figura 3-1)

tiene unas etapas de desarrollo comunes a todas, primero un grupo de celulas planctonicas que

pueden ser todos iguales o distintas entre sı, se reunen y, en cuestion de minutos, forman una unica

capa y se adhieren a la superficie mediante la produccion de algunos compuestos organicos que son

polisacaridos o glicoproteınas y forman una union reversible. Esta union se conoce como adsorcion.

Si la asociacion entre la bacteria y la superficie persiste el tiempo suficiente, habra una adhesion

12 3 Las Biopelıculas en el Tratamiento de Aguas Residuales

irreversible. Las bacterias quedan atrapadas en la superficie y producen EPS. Las EPS se componen

de una variedad de azucares tales como glucosa, manosa, fructosa, galactosa, y otros. Estas EPS

atrapan no solo mas bacterias, sino tambien materia organica, celulas muertas, minerales, etc. La

complejidad estructural permite que las bacterias profundas dentro de la biopelıcula tengan acceso

a los nutrientes transportados por el flujo de agua. Algunas de las bacterias que estan encerradas en

lo profundo de la biopelıcula pueden dejar de funcionar (pero son todavıa viables), mientras que, las

celulas mas cercanas al flujo de agua y los nutrientes pueden crecer y multiplicarse. Algunas de las

bacterias situadas en las superficies mas exteriores se pueden separar, para iniciar otra biopelıcula.

Figura 3-1: Ciclo de Vida de una Biopelıcula: 1) Adherimiento: Las bacterias

planctonicas se adhieren a una superficie. 2) Crecimiento: La produccion

de EPS permite a la comunidad de la biopelıcula emergente desarrollar una

estructura compleja. 3) Desprendimiento: Las celulas que conforman la bio-

pelıcula se desprenden y retornan a la vida planctonica transitoriamente y se

dispersan.

3.1.2. Aplicaciones de las Biopelıculas

Las biopelıculas pueden llegar a ser perjudiciales para la salud humana y la industria [25, 38, 26, 16].

Sin embargo, en los ultimos anos el estudio de las biopelıculas ha cobrado importancia ya que estas

comunidades son una parte integral del medio ambiente natural y pueden servir tambien para fines

beneficos, tales como el tratamiento de agua potable, aguas residuales y desintoxicacion de residuos

peligrosos [13].

Las biopelıculas se han utilizado con exito en el tratamiento de aguas residuales por mas de un

siglo. Ingenieros ingleses desarrollaron los primeros metodos de tratamiento de filtro de arena

para el tratamiento de aguas residuales en la decada de 1860. En estos sistemas de filtracion las

superficies del filtro actuan como soporte para la fijacion y el crecimiento microbiano, lo que resulta

en una biopelıcula adaptada para el consumo de la materia organica que se encuentra en el agua

en particular. El resultado final de la filtracion biologica es una conversion del carbono organico

presente en el agua dentro de la biomasa bacteriana.

3.2 Tratamiento de Aguas Residuales 13

3.2. Tratamiento de Aguas Residuales

3.2.1. Procesos de Biopelıculas Vs Procesos de Lodos Activados

La depuracion biologica de las aguas residuales consiste en la eliminacion del material organico

por una comunidad de microorganismos (biomasa), que es mantenida en un ambiente tecnicamente

controlado (reactor biologico). La biomasa puede encontrarse en forma de cultivo en suspension

(celulas planctonicas) o adherida a soportes (biopelıculas). El proceso mas representativo de los de

cultivo en suspension es el de lodos activados. “Los procesos metabolicos basicos de los sistemas

de lodos activados y los de biopelıculas son los mismos. Las principales diferencias se basan en la

forma de retener la biomasa en los reactores y en los fenomenos de transporte de los sustratos” [42].

En los sistemas de lodos activados los microorganismos se encuentran libres dentro del tanque, y es

necesario separar la biomasa en suspension del agua efluente y devolverla al reactor para mantener

en el una determinada concentracion. Por el contrario, en los reactores de biopelıcula no se requiere

un decantador para retener la biomasa, ya que esta no es arrastrada por el paso del agua, ademas

de tener menor volumen que los sistemas con biomasa suspendida, producen floculos con alto grado

de sedimentabilidad. [44]

El sistema de lodos activados es un proceso estable cuando los lodos son manejados apropiadamen-

te, y su mayor desventaja es la gran cantidad de lodo que produce. Entre las desventajas del proceso

con biopelıculas esta la posibilidad de atascamiento del sistema, bien debido a un pretratameinto

insuficiente o a un exceso de crecimiento de la biopelıcula, mayor complejidad para la modelizacion,

y por tanto el control del proceso.[27, 41]

Se pueden encontrar tratamientos que combinan ambos procesos, llamados cultivos hıbridos, en

los cuales una parte de las bacterias se adhieren a unos materiales soporte en el reactor biologico

donde cohabitan con unos floculos bacterianos libres.

3.2.2. Reactor de Biopelıcula

En un reactor de biopelıcula utilizado para el tratamiento de aguas residuales las bacterias absor-

ben y descomponen el material organico presente en el agua. Entre los distintos tipos de reactores

de biopelıculas se encuentran los de membrana (RMBR), lecho fluidizado (FBR), lecho empacado

(PBR), lecho percolador (TBR), continuo de tanque agitado (RCTA), de transporte aereo (ALR)

y de flujo ascendente (UASB) [35].

Dentro de un reactor de biopelıcula, los microorganismos crecen dentro de una matriz estructural

y se adhieren a una superficie. Los nutrientes, temperatura, y la naturaleza de las celulas afectan

la calidad de las biopelıculas, y por lo tanto la eficiencia del reactor.


3.2.3. Reactor Continuo de Tanque Agitado (RCTA)

Este reactor trabaja en estado estacionario, es decir, que sus propiedades no varıan con el tiempo.

Se considera que en cualquier punto las concentraciones son iguales a las de la corriente de salida,

la velocidad de reaccion para cualquier punto dentro del tanque es la misma, es decir, existe un

mezclado perfecto, aunque en la practica esto no es ası, puede crearse un mezclado de alta eficien-

cia que se aproxima a las condiciones ideales. Se puede observar un esquema de un RCTA en las

Figuras 3-2 y 3-3

Figura 3-2: Esquema de un RCTA

Figura 3-3: Diagrama de una seccion transversal de un RCTA

Existen tres parametros que afectan la dinamica del reactor: 1) Tasa de Flujo, 2) Tiempo de Resi-

dencia 3) Tasa de Dilucion. [6]

3.2 Tratamiento de Aguas Residuales 15

1) Tasa de Flujo F =V

RTcm3/h

La tasa de flujo (F ) es igual al volumen del reactor (V ) dividido por el tiempo de residencia (RT )


2) Tiempo de Residencia RT

Es el tiempo que toma la salida por completo del volumen del reactor.

3) Tasa de Dilucion D =F

Vh−1

La tasa de dilucion es igual a la tasa de flujo dividida por el volumen del reactor. Si el tiempo se

toma por ejemplo en horas, D representa el volumen del reactor que fluye cada hora.

La tasa o velocidad de flujo puede alterar la tasa de crecimiento del cultivo en el reactor. La re-

duccion de la velocidad del flujo permite el agotamiento de algunos nutrientes y la acumulacion

de residuos, por lo que el crecimiento de los microorganismos tiende con mayor rapidez a su fase

estacionaria. Una mayor velocidad de flujo aumenta la concentracion de nutrientes y reduce los

desechos con lo que el cultivo se acerca a su fase de crecimiento exponencial.

Si se aumenta la velocidad de flujo tal que D > µ (µ es la tasa de crecimiento de los microorganis-

mos), entonces las celulas planctonicas son lavadas del sistema dejando solo las celulas adheridas

a la superficie. En este punto el reactor opera como un reactor de biopelıcula. Aunque las celulas

planctonicas constantemente estan siendo liberadas de la biopelıcula por la erosion o por despren-

dimiento natural, estas son lavadas rapidamente del reactor.

4 Analisis del Sistema Modelado con la

Cinetica de Monod

4.1. Modelo Matematico

Se hacen las siguientes suposiciones con respecto a la dinamica de formacion de las biopelıculas:

Se ingnora la estructura tridimensional de las biopelıculas, ya que se consideran infinitamente del-

gadas.

Hay un numero finito de sitios de colonizacion disponible en la superficie de soporte y una densidad

de area maxima posible de microorganismos adheridos.

Las celulas adheridas son separadas fuera del fluido a una tasa proporcional a su densidad.

Las celulas hijas de microorganismos adheridos compiten por espacio en la superficie de soporte :

una fraccion G de las celulas hijas encuentran sitios de fijacion y la fraccion 1−G no. La funcion

G es decreciente (a mas celulas hijas hay menos que encuentran sitios de ocupacion).

Sımbolo Termino

µu Tasa especıfica de crecimiento de microorganismos suspendidos

µw Tasa especıfica de crecimiento de microorganismos adheridos

ku Tasa de mortalidad de microorganismos suspendidos

kw Tasa de mortalidad de microorganismos adheridos

δ = A/V Area disponible por unidad de volumen

A Superficie de area del reactor colonizable

KS Constante de saturacion media

W = Xw/Xwm Fraccion de Ocupacion sobre la superficie

G = (1−W )/(1.1−W )

Si la tasa de crecimiento µ(S) se calcula mediante la cinetica de Monod, entonces:

µ =µmS

Ks + S

18 4 Analisis del Sistema Modelado con la Cinetica de Monod

En esta ecuacion la tasa de crecimiento µ depende de la maxima que puede alcanzar el micro-

organismo µm, de la concentracion de substrato S y de un valor constante KS que representa la

concentracion de substrato a la que se alcanza una tasa de crecimiento igual a la mitad de la maxima.

Para situaciones en las que el crecimiento microbiano presenta inhibicion a altas concentraciones

del sustrato, µ(S) esta descrito por la cinetica de Haldane:

µ(S) =µmS

KS + S + S2

KI

Esta ecuacion depende ademas de µm, S y KS , de un valor constante KI , denominado constante

de inhibicion.

Cambio del sustrato

· La entrada : DS0· La Salida : −DS· El consumo de microorganismos suspendidos y adheridos: −γ−1 [µu(S)Xu + µw(S)δXw]

Cambio de la biomasa suspendida

· El crecimiento neto de biomasa suspendida: Xu [µu(S)− ku]

· La separacion de biomasa adherida: βδXw

· Las celulas hijas que no encontraron sitio en la superficie de soporte: δXwµw(S) [1−G(W )]

· La fijacion a la superficie de soporte de biomasa suspendida: −αXu [1−W ]

· La biomasa suspendida que sale del reactor: −DXu

Cambio de biomasa adherida

· El crecimiento neto de biomasa adherida: Xw [µw(S)G(W )− kw]

· La fijacion a la superficie de soporte de biomasa suspendida: αXu [1−W ] δ−1

· El desprendimiento de biomasa adherida:−βXw

4.2 Influencia del Factor de Dilucion D 19

Las ecuaciones quedan entonces ası:

dS

dt=D(S0 − S)− γ−1[µu(S)Xu + µw(S)δXw]

dXu

dt=Xu[µu(S)−D − ku] + βδXw + δXwµw(S)[1−G(W )]− αXu[1−W ]

dXw

dt=Xw[µw(S)G(W )− β − kw] + αXu[1−W ]δ−1

Se asume lo siguiente:

· Los microorganismos adheridos y suspendidos se presumen del mismo tipo, luego:

k = ku = kw y µ(S) = µu(S) = µw(S)

· Los microorganismos colonizan toda la superficie por unidad de volumen, luego: δ = 1

De lo anterior la dinamica del reactor queda descrita por las siguientes ecuaciones:

dS

dt=D(S0 − S)− γ−1µ(S)[Xu +Xw]

dXu

dt=Xu[µ(S)−D − k] + βXw +Xwµ(S)[1−G(W )]− αXu[1−W ] (4-1)

dXw

dt=Xw[µ(S)G(W )− β − k] + αXu[1−W ]

Los siguientes datos tomados de [19] se usan para la simulacion numerica:

· γ = 0.5

· k = 0.01 h−1

· Xw,m = 5000 mg/l

· D = 1 h−1

· β = 0.03 h−1

· α = 0.1 h−1

· S0 = 500 mg/l

· µm = 0.12 h−1

· KS = 80 mg/l

· Xu(0) = 1000 mg/l

4.2. Influencia del Factor de Dilucion D

Si la tasa de adherimiento α es nula entonces no hay formacion de biopelıculas si no existe un

inoculo inicial de microorganismos adheridos antes de la puesta en marcha del reactor, como se


muestra en la Figura 4-1. Sin embargo de la Figura 4-2 se concluye que si el reactor ya tiene una

biopelıcula antes de comenzar a funcionar sı hay formacion de mas biopelıculas. Ademas se observa

que tambien resulta beneficioso aumentar la tasa de dilucion.

Figura 4-1: Comportamiento del reactor con Condiciones Iniciales: S = 500, Xu = 1000,

Xw = 0. α = 0. D = 0.2

En la Figura 4-3 se observa que cuando la tasa de adherimiento de los microorganismos es no nula,

no nay necesidad de una biopelıcula previa presente en el reactor, solo un inoculo inicial (Xu).

Ademas aumentar la tasa de dilucion es benefica para la formacion de las biopelıculas, sin que sea

mayor a 1, ya que resultados experimentales en [19] muestran la erosion de las biopelıculas para

D > 1.


a)

b)


c)

d)

Figura 4-2: Comportamiento del reactor variandoD. Condicion Inicial S = 500,Xu = 1000,

Xw = 100. α = 0. a) D = 0.02 b) D = 0.06 c) D = 0.2 d) D = 0.8


a)

b)


c)

d)


Xw = 0. α = 0.1. a) D = 0.02 b) D = 0.06 c) D = 0.2 d) D = 0.8

4.3 Calculo de Puntos de Equilibrio 25

4.3. Calculo de Puntos de Equilibrio

Se tiene un equilibrio en la condicion de lavado para cualquier valor de los parametros, un equilibrio

fısicamente posible cuando hay adherimiento de los microorganismos a la superficie de soporte, y

dos equilibrios en el caso en el que los microorganismos suspendidos no se adhieran a la superficie

de soporte.

Primer punto de equilibrio, correspondiente a la condicion de lavado: E1 = (S0, 0, 0)

Si α 6= 0 existe un punto de equilibrio no trivial: E2 = (S∗, X∗u, X∗w) 6= (0, 0, 0).

Dado que este punto de equilibrio no se puede hallar analıticamente se hace entonces una

aproximacion numerica. En las figuras 4-4, 4-5 y 4-6 se observan 4 puntos de equilibrio

variando el parametro D. La Figura 4-4 representa el sustrato, la Figura 4-5 representa la

concentracion de microorganismos suspendidos y la Figura 4-6 representa la concentracion

de microorganismos adheridos. De acuerdo a la figura 4-4 se encuentra que los puntos P3 y

P4 no son fısicamente posibles, ya que la cantidad de sustrato no puede ser negativa. De la

Figura 4-6 se obtiene que en el punto P1 los valores de S,Xu, Xw son positivos, sin embargo

Xw > 5000, con lo que W = Xw/Xwm > 1 y esto no es posible, ya que W representa la

fraccion de la superficie que esta colonizada. El unico punto de equilibrio fısicamente posible

es P2, ya que en las Figuras 4-4, 4-5 y 4-6 se observa que S,Xu, Xw son positivos, ademas

de la Figuras 4-6 y 4-7 se obtiene que Xw < 5000.

Si α = 0 existen dos puntos de equilibrio:

· E3 = (S,Xu, Xw) =

((D + k)KS

µm −D − k,γD(So− S)

D + k, 0

)con µ(S)−D − k = 0

El punto de equilibrio E3 tiene sentido fısico si D < 0, 093448. Veamos:

a) S > 0 si µm −D − k > 0 ⇒ D < µm − k ⇒ D < 0, 11

b) Xu > 0 si S0 − S > 0 ⇒ D <S0(µm − k)− kKS

S0 +KS= 0, 093448

· E4 = (S,Xu, Xw) donde Xu =γ(So − S)(µ(S)− k)

µ(S), Xw =

1.1(β + k)− µ(S)

β + k − µ(S)Xwm

De la ecuacion (4-2) se obtiene que al reemplazar Xu y Xw en la siguiente ecuacion es posible

despejar S.

D(So − S)− γ−1µ(S)(Xu +Xw) = 0


a)

b)

Figura 4-4: Equilibrios en el sustrato variando D. La Figura b) es una ampliacion de la

Figura a).


a)

b)

Figura 4-5: Equilibrios en la concentracion de biomasa suspendida variando D. La Figura

b) es una ampliacion de la Figura a).


a)

b)

Figura 4-6: Equilibrios en la concentracion de biomasa adherida variando D. La Figura b)

es una ampliacion de la Figura a).

4.4 Analisis de Estabilidad de Puntos de Equilibrio 29

Figura 4-7: Curva de equilibrios para α 6= 0 variando el parametro D

4.4. Analisis de Estabilidad de Puntos de Equilibrio

A continuacion se analiza la estabilidad de los puntos de equilibrio mediante el metodo indirecto

de Lyapunov, linealizando el sistema y calculando los valores propios.

La matriz Jacobiana del sistema evaluada en el punto es: JE2 =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

donde

· a11 = −D − γ−1(Xu +Xw)µ′(S)

· a12 = −γ−1µ(S)

· a13 = −γ−1µ(S)

· a21 = Xuµ′(S) +Xw(1−G(W ))µ′(S)

· a22 = µ−D − k − α(1−W )

· a23 = β + µ(S)(1−G(W ))− µ(S)G′(W )Xw + αXuW′

· a31 = XwG(W )µ′(S)

· a32 = α(1−W )

· a33 = µ(S)G(0)− β − k + µ(S)G′(W )Xw − αXuW′


Para el punto de equilibrio E1: La matriz jacobiana del sistema evaluada en E1 es:

JE1 =

−D −γ−1µ(So) −γ−1µ(So)

0 µ(S0)−D − k − α µ(S0)[1−G(0)] + β

0 α µ(S0)G(0)− k − β

Sea A una submatriz de JE1 tal que A =

µ(S0)−D − k − α µ(S0)[1−G(0)] + β

α µ(S0)G(0)− k − β

Los valores propios λ1, λ2 y λ3 de la matriz JE1 son las raıces de la ecuacion:

(λ2 − δλ+ τ)(λ+D) = 0 δ = tr(A), τ = det(A)

λ1 =δ +√δ2 − 4τ

2λ2 =

δ −√δ2 − 4τ

2λ3 = −D

Se tiene que: max{µ(S0)−D − k − α, µ(S0)G(0)− k − β} < λ1. Reemplazando los valores

de los parametros se obtiene que µ(So)G(0)− k − β > 0. Por lo tanto E1 es inestable.

Para el punto de equilibrio E2: Haciendo el analisis de estabilidad del punto P2 numericamente

se tiene que siempre es estable. El algoritmo es el siguiente: Para un valor determinado de D

se halla el punto de equilibrio por el metodo de Newton - Raphson, y se construye la curva de

equilibrios con este mismo metodo tomando como condicion inicial el equilibrio anterior. Se

evalua cada punto de equilbrio en la jacobiana y se buscan los valores propios, si todos son

negativos el equilibrio es estable, si hay alguno positivo el equilibrio es inestable y si existe

uno o mas con parte real nula no es posible decidir todavıa.

Para el punto de equilibrio E3 = (S,Xu, Xw): La matriz jacobiana del sistema evaluada en

E3 es:

JE3 =

−D − γ−1Xuµ

′(S) −γ−1µ(S) −γ−1µ(S)

Xuµ′(S) 0 β + µ(S)[1−G(0)]

0 0 µ(S)G(0)− β − k

=

a11 a12 a13

a21 0 a23

0 0 a33

cuyo polinomio caracterıstico es:

λ3 − (a11 + a33)λ2 + (a11a33 − a12a21)λ+ a12a21a33 = 0 a11, a12 < 0, a21 > 0

Segun el criterio de Routh-Hurwitz, se construye el siguiente arreglo:


λ3 1 a11a33 − a12a21λ2 −(a11 + a33) a12a21a33

λ1 a11a33 −a11a12a21a11 + a33

0

λ0 a12a21a33 0

Para analizar la estabilidad se procede a encontrar los signos de las componentes del arreglo

anterior.

Se tiene que a11+a33 < 0. En efecto: a11+a33 = (DG(0)−D)+(kG(0)−k)−γ−1Xuµ′(S)−β <

0 ya que DG(0)−D < 0 y kG(0)− k < 0

Si a33 < 0 entonces a11a33 > 0 y a11a33 −a11a12a21a11 + a33

> 0

Si a33 < 0 entonces D <β + k − kG(0)

G(0). Luego para D < 0.034, a12a21a33 > 0.

Si a33 > 0 entonces D >β + k − kG(0)

G(0). Luego para D > 0.034, a12a21a33 < 0.

En lo siguiente las componentes de la primera columna del arreglo anterior estan reemplazadas

por su signo correspondiente (positivo o negativo). Se concluye lo siguiente.

Si D < 0.034 entonces:

λ3 +

λ2 +

λ1 +

λ0 +

No hay cambios de signo, por lo tanto la parte

real de todos los valores propios es negativa,

y el punto de equilibrio es estable.

Si 0, 034 < D < 0.093448 entonces:

λ3 +

λ2 +

λ1 x

λ0 −

No importa si x es positivo o negativo, siem-

pre hay un cambio de signo, lo que implica

que hay un valor propio con parte real posi-

tiva, por lo que el punto de equilibrio es ines-

table.

La Figura 4-8 muestra la estabilidad del punto de equilibrio E3 hallada numericamente.

Para el punto de equilibrio E4:


El polinomio caracterıstico correspondiente al punto E4 es: λ3 + bλ2 + cλ+ d = 0 donde:

· b = −(a11 + a22 + a33)

· c = −(a12a21 + a32a23 + a13a31 − a11a33 − a22a33 − a11a22)· d = −a11a22a33 − a12a23a31 − a13a21a32 + a12a21a33 + a32a23a11 + a13a31a22

Por el criterio de Routh-Hurwitz:

λ3 1 c

λ2 b d

λ1 c1 =bc− db

0

λ0 d

La Figura 4-9 muestra los valores de b, c1 y d cuando varıa el parametro D, la informacion

se resume en la tabla 4-2, en la cual se observa que para valores de D < 0.034 hay un cambio

de signo, por lo que el equilibrio es inestable, y para valores de D > 0.034 no hay cambio de

signo, por lo que el equilibrio es estable.

D

(0, 0.04) (0.04, 0.034) (0.034, 1)

1 + + +

b − + +

c1 − + +

d − − +

Tabla 4-2: Analisis de Estabilidad con el Criterio de Routh-Hurwitz para E4


a)

b)


c)

Figura 4-8: Estabilidad de la curva de equilibrios E3 variando el parametro D. Esta-

ble: Azul. Inestable: Verde. a) Sustrato. b) Biomasa suspendida. c) Biomasa

adherida.

a)


b)

c)

Figura 4-9: Valores de los coeficientes del polinomio caracterıstico del equilibrio E4 variando

el parametro D. a) b. b) c1. c) d



a)

b)


c)

d)

Figura 4-10: Estabilidad de la curva de equilibrios E4 variando el parametro D. Esta-

ble: Azul. Inestable: Verde. a) Sustrato. b) Biomasa suspendida. c) Biomasa

adherida. d) S,Xu y Xw



El sistema presenta una bifurcacion transcrıtica en las curvas de equilibrios E3 y E4, en efecto:

Cuando α = 0, para el punto E3 un valor propio λ = 0 existe si a12a21a33 = 0, dado que a12 < 0 y

a21 > 0 entonces a33 debe ser cero, es decir:

µ(S)G(0)− β − k = 0 con µ(S) = D + k

Ası:

D =β + k − kG(0)

G(0)=β + k(1−G(0))

G(0)=

0.03 + 0.01(1− 10

11

)1011

= 0.034

El punto de equilibrio en el parametro de bifurcacion es (S,Xu, Xw) = (46.31, 175.28, 0)

La curva de equilibrios E3 es estable para D < 0.034 e inestable para D > 0.034. Para E4 los

equilibrios son inestables para D < 0.034 y estables para D > 0.034. En la Figura 4-11 se observa

como las curvas de equilibrio de los puntos E3 y E4 se cruzan e intercambian estabilidad, por lo

que se presenta una bifurcacion transcrıtica.

El sistema modelado presenta una bifurcacion transcrıtica, sin embargo no se satisface la segunda

condicion del teorema de Sotomayor. En efecto:

Df(x0, µ0) =

−D − γ−1Xuµ

′(S) −γ−1µ(S) −γ−1µ(S)

Xuµ′(S) 0 β + µ(S)[1−G(0)]

0 0 0

=

a11 a12 a13

a21 0 a23

0 0 0

w =

0

0

1

y v =

v1

v2

v3

= v3

−a23a21

a11a23 − a21a13a211

con v3 constante libre.

Condicion 1:

fµ(x0, µ0) =

S0 − S

−Xu

0

|(x0,D0)

Luego wTfµ(x0, µ0) = 0

4.5 Bifurcaciones uno-parametricas 39

a)

b)

Figura 4-11: Bifurcacion Transcrıtica variandoD. a)D con respecto a la Biomasa Adherida.

b) Sustrato, biomasa suspendida y biomasa adherida. Estable: Azul. Inestable:

Verde.


Condicion 2:

Dfµ(x0, µ0) =

−1 0 0

0 −1 0

0 0 0

Luego wT[Dfµ(x0, µ0)v] = wT

−v1−v2

0

=[0 0 1

]−v1−v2

0

= 0

No se cumple la segunda condicion, por lo que el teorema de Sotomayor da condiciones suficientes

pero no necesarias para mostrar la existencia de una bifurcacion transcrıtica.

4.5.1. Diagramas de Bifurcaciones

En la Figura 4-12 se observa que para valores de D < 0.034 las trayectorias convergen al punto

de equilibrio E3 (S,Xu > 0 y Xw = 0) y se tiene que a una mayor tasa de dilucion el sistema se

estabiliza en una mayor concentracion de sustrato y de biomasa suspendida, sin embargo no hay for-

macion de biopelıculas. Para D > 0.034 las trayectorias convergen al equilibrio E4 (S,Xu, Xw > 0),

donde ya hay formacion de biopelıculas. Esto coincide con las curvas de estabilidad de E3 y E4

mostradas en las Figuras 4-8, 4-10 y 4-11.

Si se toma de nuevo la tasa de adherimiento α nula, y se varıan los otros parametros del sistema

(β, k, µm, S0) para conocer el comportamiento de las trayectorias, se tiene lo sigueinte:

En las Figuras 4-13 y 4-14 se observa que las trayectorias del sistema se estabilizan en equilibrios

en los cuales el sustrato, la biomasa suspendida y biomasa adherida es no nula para valores en los

que la tasa de desprendimiento β es menor a 0.083 y la tasa de mortalidad de los microrganismos

k es menor a 0.061. A medida que los valores de β y k aumentan, se tiene que la cantidad tanto de

microorganismos suspendidos como de microorganismos adheridos disminuye hasta llegar a valores

nulos, lo que es perjudicial para el funcionamiento del reactor, ya que el agua residual no estarıa

siendo tratada.

En la Figura 4-15 para valores de µm menores a 0.05 las trayectorias del sistema tienden a la

condicion de lavado, es decir que los microrganismos no crecen lo suficientemente rapido como para

poder multiplicarse y permanecer dentro del bioreactor por lo que son arrastrados por el flujo.

Cuando la tasa maxima de crecimiento de los microorganismos µm aumenta el sistema tiende a

equilibrios en los cuales la biomasa suspendida y adherida es no nula.

En la Figura 4-16 para valores de la concentracion inicial de sustrato S0 menores a 50 las tra-

yectorias del sistema tienden a la condicion de lavado, es decir que los microrganismos no tienen

suficientemente alimento. Cuando S0 crece el sistema tiende a equilibrios en los cuales la biomasa

suspendida y adherida es no nula.


a)

b)


c)

d)

Figura 4-12: Diagrama de Bifurcaciones variando D con respecto a S, Xu y Xw. La tasa

de adherimiento α es nula. a) Sustrato. b) Ampliacion de a). c) Biomasa

Suspendida. d) Biomasa Adherida.


a)

b)


c)

Figura 4-13: Diagrama de Bifurcaciones variando β con respecto a S, Xu y Xw. La tasa

de adherimiento α es nula. a) Sustrato. b) Biomasa Suspendida. c) Biomasa

Adherida.

a)


b)

c)

Figura 4-14: Diagrama de Bifurcaciones variando k con respecto a S, Xu y Xw. La tasa


Adherida.


a)

b)


c)

Figura 4-15: Diagrama de Bifurcaciones variando µm con respecto a S, Xu y Xw. La tasa


Adherida.

a)


b)

c)

Figura 4-16: Diagrama de Bifurcaciones variando S0 con respecto a S, Xu y Xw. La tasa


Adherida.


4.5.2. Algoritmo para el Diagrama de Bifurcaciones

Condicion Inicial=[40, 170, 20]

Se asignan los siguientes valores a los parametros, salvo para α, que tiene un valor nulo, los datos

fueron tomados de [19].

· γ = 0.5

· D = 1

· S0 = 500

· k = 0.01

· β = 0.03

· µm = 0.12

· Xwm = 5000

· α = 0

· KS = 80

Tiempo de integracion=[0, 6000]

Paso del tiempo=0.05

Integrador=ODE45

Tolerancia relativa=1x10−5

Tolerancia absoluta=1x10−6

Particion del intervalo= 3000 puntos.

Algoritmo:

Se toma la condicion inicial. Para cada valor del parametro a variar en la particion del intervalo

se halla la solucion del sistema y se toman los ultimos 1000 puntos de la trayectoria. Se grafica

los maximos locales con interpolacion lineal. Este criterio es equivalente a usar la Aplicacion de

Poincare [29].

5 Analisis del Sistema Modelado con la

Cinetica de Haldane

5.1. Influencia del Factor de Dilucion D

El comportamiento del sistema es similar a cuando esta modelado con la cinetica de Monod, lo que

se puede observar en las Figuras 5-1 y 5-2.

En un tiempo inicial cuando la concentracion de sustrato es alta se observa como en todos los

casos los microorganismos adheridos y suspendidos modelados por la cinetica de Monod crecen

mas rapido que los microorganismos modelados por la cinetica de Haldane, lo que quiere decir que

en un mismo instante de tiempo, la biomasa adherida y suspendida es mas grande con la cinetica

de Monod. Cuando el tiempo avanza y el sustrato disminuye, el crecimiento microbiano es practi-

camente el mismo para ambas cineticas.

Lo anterior concuerda con lo analizado en la Figura 2-2, a bajas cantidades de sustrato la velocidad

de formacion de los microorganismos es la misma, y a altas cantidades de sustrato la velocidad de

crecimiento microbiano decae para la cinetica de Haldane y tiende a la velocidad maxima para la

cinetica de Monod.

5.2. Calculo de Puntos de Equilibrio

El sistema tiene un equilibrio en la condicion de lavado para cualquier valor de los parametros, un

equilibrio fısicamente posible cuando hay adherimiento de los microorganismos a la superficie de

soporte, y tres equilibrios en el caso en el que los microorganismos suspendidos no se adhieran a la

superficie de soporte.


a)

b)

52 5 Analisis del Sistema Modelado con la Cinetica de Haldane

c)

d)


Xw = 0. α = 0.1. a) D = 0.02 b) D = 0.06 c) D = 0.2 d) D = 0.8


a)

b)


c)

d)


Xw = 100. α = 0. a) D = 0.02 b) D = 0.06 c) D = 0.2 d) D = 0.8


Primer punto de equilibrio, correspondiente a la condicion de lavado: E1 = (S0, 0, 0)

Si α 6= 0 existe un punto de equilibrio no trivial: E2 = (S∗, X∗u, X∗w) 6= (0, 0, 0).

Este punto se halla numericamente. En la Figura 5-3 se observan 2 puntos de equilibrio

variando D, de la Figura 5-3-c, en el punto P1 aunque S,Xu, Xw son positivos Xw > 5000 ,

con lo que W serıa mayor que 1 y esto no es posible. El unico punto de equilibrio fısicamente

posible es P2, Figura 5-3-d.

Si α = 0 se tienen tres puntos de equilibrio:

Sea Xw = 0 y µ(S)−D − k = 0. Despejando se obtiene:

S2 + bS + c = 0 donde: b =KI

D + k(D + k − µm) c = KSKI

S existe si 4 = b2 − 4c > 0, es decir, a1D2 + b1D + c1 > 0 con:

a1 = KI − 4KS b1 = 2ka1 − 2µmKI c1 = k2a1 − 2µmKIk +KIµ2m

D =−b1 ±

√b21 − 4a1c1

2a1⇒

D =KI(µm − k) + 2

√KIKS

KI − 2√KIKS

= 0.213

D =KI(µm − k)− 2

√KIKS

KI + 2√KIKS

= 0.0721

Se puede ver entonces que S existe si D ∈ (0, 0.0721) ∪ (0.213, 1).

Cuando S exista se obtienen dos puntos de equilibrio:

· E3 = (S3, Xu, Xw) =

(−b+

√b2 − 4c

2,γD(So− S)

D + k, 0

)

· E4 = (S4, Xu, Xw) =

(−b−

√b2 − 4c

2,γD(So− S)

D + k, 0

)


a)

b)


c)

d)

Figura 5-3: Puntos de Equilibrio variando el parametro D. a) Sustrato. b) Biomasa sus-

pendida. c) Biomasa adherida.


Si b > 0 es decir D > µm − k = 0.11, entonces S3, S4 < 0 ya que 4c > 0. Por lo tanto para

D < 0.11 los equilibrios E3, E4 no son fısicamente posibles.

Si b < 0 es decir D < µm − k = 0.11, entonces S3, S4 > 0.

Xu > 0 en el equilibrio E3 si D >KI(µm − k) + βk

KI − β= 0.0704 con β = − 1

S0

(S20 + c

)Xu > 0 en el equilibrio E4 si:

D <KI(µm − k) + βk

KI − β= 0.0704 o D >

KI(µm − k)− 2S0k

KI + 2S0= 0.062

Si Xw 6= 0 existe un punto de equilibrio E5 = (S,Xu, Xw) donde

Xu =γ(So − S)(µ(S)− k)

µ(S)Xw =

1.1(β + k)− µ(S)

β + k − µ(S)Xwm

Reemplazando Xu y Xw en la siguiente ecuacion se puede despejar S.

D(So − S)− γ−1µ(S)(Xu +Xw) = 0

En la Figura 5-5 se observan 4 puntos de equilibrio variando D, de la Figura 5-5-c el punto

P1 no es fısicamente posible, ya que la cantidad de microorganismos suspendidos no puede

ser negativa. De la figura 5-5-d, en el punto P3, Xw > 5000 , con lo que W serıa mayor que

1 y no es posible, ya que W representa la fraccion de la superficie que esta colonizada por

los microrganismos adheridos. De lo anterior el unico punto de equilibrio fısicamente posible

es P2, Figura 5-6. De lo anterior:

E3 tiene sentido fısico si 0.0704 < D < 0.0721

E4 tiene sentido fısico si 0 < D < 0.0721

En la Figura 5-4 se observan los equilibrios E3 y E4.


a)

b)

Figura 5-4: Curva de Equilibrios E3 y E4 variando el parametro D. a) Sustrato. b) Biomasa

suspendida.


a)

b)


c)

d)

Figura 5-5: Tres curvas de equilibrios de E5 variando el parametro D. a,b) Sustrato. c)

Biomasa suspendida. d) Biomasa adherida.


Figura 5-6: Curva de Equilibrios E5 fısicamente posible variando el parametro D

5.3. Analisis de Estabilidad de Puntos de Equilibrio

Para el punto de equilibrio E1.

El analisis de estabilidad es analogo que para el caso de la cinetica de Monod, de lo que se

concluye que E1 es tambien un punto de silla.


Haciendo el analisis de estabilidad del punto P2 numericamente se tiene que siempre es esta-

ble.

Para el punto de equilibrio E3 y E4.

Se evalua la estabilidad analıticamente en los valores de D donde los equilibrios tienen sentido

fısico.


La matriz jacobiana del sistema evaluada en E3 y E4 es:

JE3 =

−D − γ−1Xuµ

′(S) −γ−1µ(S) −γ−1µ(S)

Xuµ′(S) 0 β + µ(S)[1−G(0)]

0 0 µ(S)G(0)− β − k

=

a11 a12 a13

a21 0 a23

0 0 a33

donde µ′(S) =µm

(KS − S2

KI

)(KS + S + S2

KI

)2 . El polinomio caracterıstico es:

λ3 − (a11 + a33)λ2 + (a11a33 − a12a21)λ+ a12a21a33 = 0

Para aplicar el criterio de Routh-Hurwitz, se construye el siguiente arreglo:

λ3 1 a11a33 − a12a21λ2 −(a11 + a33) a12a21a33

λ1 a11a33 −a11a12a21a11 + a33

0

λ0 a12a21a33

Si S <√KSKI entonces µ′(S) > 0 , es decir, D <

KI(µm − k)− 2√KIKS

KI + 2√KIKS

= 0.0721

De lo anterior a11, a12 < 0 y a21 > 0.

Para analizar la estabilidad se procede a encontrar los signos de las componentes del arreglo

anterior.

De forma analoga al capıtulo anterior se tiene que a11 + a33 < 0.

Si a33 < 0 entonces a11a33 −a11a12a21a11 + a33

> 0

Si a33 < 0 entonces D <β + k − kG(0)

G(0). Luego para D < 0.034, a12a21a33 > 0.

Si a33 > 0 entonces D <β + k − kG(0)

G(0). Luego para D > 0.034, a12a21a33 < 0.


D

(0, 0.004) (0.004, 0.034) (0.034, 1)

1 + + +

b − + +

c1 − + +

d − − +

Tabla 5-1: Signos de los coeficientes de Routh-Hurwitz para analizar la estabilidad de E5

En lo que sigue las componentes de la primera columna del arreglo anterior estan reempla-

zadas por su signo correspondiente (positivo o negativo).

Si D < 0.034 entonces:

λ3 +

λ2 +

λ1 +

λ0 +

No hay cambios de signo, por lo tanto la parte

real de todos los valores propios es negativa,

y el punto de equilibrio es estable.

Si 0, 034 < D < 0.0721 entonces:

λ3 +

λ2 +

λ1 x

λ0 −

No importa si x es positivo o negativo, siem-

pre hay un cambio de signo, lo que implica

que hay un valor propio con parte real posi-

tiva, por lo que el punto de equilibrio es ines-

table.

La Figura 5-7 muestra la estabilidad del punto de equilibrio E3 y E4 hallada numericamente.


El proceso es analogo al del punto de equilibrio E4 del capıtulo anterior. La informacion se

resume en la Tabla 5-1. Se observa que para valores de D < 0.034 hay un cambio de signo,

por lo que el equilibrio es inestable, y para valores de D > 0.034 no hay cambio de signo, por

lo que el equilibrio es estable.



a)

b)

Figura 5-7: Estabilidad de los Equilibrios E3 y E4 variando el parametro D. Estable: Azul.

Inestable: Verde. a) Sustrato. b) Biomasa Suspendida.


a)

b)


c)

d)


e)

f)

Figura 5-8: Estabilidad de la curva de equilibrios E5 variando el parametro D. Estable:

Azul. Inestable: Verde. a,b) Sustrato. c,d) Biomasa Suspendida. e,f) Biomasa

Adherida.



Bifurcacion Transcrıtica

Cuando α = 0, para el punto E3 y E4 se tiene lo siguiente:

Un valor propio λ = 0 existe si a12a21a33 = 0, supongamos a21 6= 0 y dado que a12 < 0 entonces

a33 debe ser cero, es decir, µ(S)G(0)− β − k = 0 con µ(S) = D + k

Luego D =β + k(1−G(0))

G(0)= 0.034

En la Figura 5-9 se observa que se cruzan las curvas de equilibrio E3 con S1, y E4 con S2, y

cambian de estabilidad, por lo que se presenta una bifurcacion transcrıtica. La curva de equilibrios

S1 corresponde al equilibrio P1 de E5, la cual se cruza con la curva E3. S1 no es fısicamente posible.

La curva de equilibrios S2 corresponde al equilibrio E5, la cual se cruza con la curva E4.

El analisis de la bifurcacion transcrıtica con el teorema de Sotomayor es analogo al capıtulo ante-

rior. No se cumple la segunda condicion.

El sistema presenta una bifurcacion silla-nodo en las curvas de equilibrios E3 y E4, en efecto:

Supongamos ahora a33 6= 0 y dado que a12 < 0 entonces a21 debe ser cero, es decir:

Xuµ′(S) = 0 de aquı µ′(S) = 0

Existen dos valores para el parametro D para los que µ′(S) = 0.

D1 =KI(µm − k)− 2

√KIKS

KI + 2√KIKS

= 0.0721, D2 =KI(µm − k) + 2

√KIKS

KI − 2√KIKS

= 0.213

La dinamica es la siguinte:

· Para D < 0.0721 existen dos puntos de equilibrio E3 y E4 fısicamente posibles.

· Para D = 0.0721 E3 = E4.

· Para 0.0721 < D < 0.0213 los equilibrios E3 y E4 desaparecen.

· Para D = 0.213 E3 = E4.

· Para D > 0.213 nacen de nuevo E3 y E4 aunque no son fısicamente posibles.


a)

b)

Figura 5-9: Bifurcacion Transcrıtica variando D con respecto al Sustrato. Estable: Azul.

Punto de Silla: Verde.


El sistema satisface las condiciones del teorema de Sotomayor. En efecto:

Df(x0, µ0) =

−D − γ−1Xuµ

′(S) −γ−1µ(S) −γ−1µ(S)

0 0 β + µ(S)[1−G(0)]

0 0 µ(S)G(0)− β − k

=

a11 a12 a13

0 0 a23

0 0 a33

w =

w1

w2

w3

= w3

0−a33a231

con w1 = 0 y w3 libre. Si w3 = 1 entonces w =

0

w2

1

v =

v1

v2

v3

= v2

−a12a111

0

con v2 libre. Si v2 = 1 entonces v =

v1

1

0

Condicion 1:

fµ(x0, µ0) =

S0 − S

−Xu

0

|(x0,µ0)

Luego wTfµ(x0, µ0) = −w2Xu 6= 0

Condicion 2:

F = F (S,Xu, Xw). xi son las variables de estado, es decir x1 = S, x2 = Xu y x3 = Xw .

D2f(x0, µ0)(v, v) =∂2F

∂x1x1v1v1 +

∂2F

∂x1x2v1 +

∂2F

∂x2x1v1 +

∂2x

∂x2x2=

−γ−1Xuµ

′′(S)

Xuµ′′(S)

0

De aquı wT[D2f(x0, D0)(v,v)] = w2Xuµ

′′(S) 6= 0

Se cumplen ambas condiciones, por lo que efectivamente el sistema presenta una bifurcacion silla-

nodo en los dos valores del parametro D, D1 y D2 descritos anteriormente.


5.4.1. Diagramas de Bifurcaciones

El diagrama de bifurcaciones del sistema mostrado en la Figura 5-10 variando el parametro D

cuando α = 0 es analogo al que se presenta en el sistema modelado con la cinetica de Monod.

Esto se debe, como se puede ver en la Figura 5-9, a que los equilibrios E3 y E4 son estables para

D < 0.034, y dado que la condicion inicial [40, 170, 20] esta mas cercana a E4 las trayectorias ten-

deran entonces a este equilibrio, es decir, la concentracion de biomasa suspendida aumenta ya que

no hay formacion de biopelıculas. Para D > 0.034 las trayectorias del sistema tienden al equilibrio

estable E5.

Si se varıa el parametro KI el diagrama obtenido en la Figura 5-11 muestra que para valores de

KI menores a 270 el sistema tiende a la condicion de lavado, cuando KI aumenta las trayectorias

del sistema tienden a estabilizarse en valores no nulos de la biomasa suspendida y adherida.

Al variar los otros parametros el comportamiento obtenido es similar al del sistema modelado con

la cinetica de Haldane.

a)


b)

c)

Figura 5-10: Diagrama de Bifurcaciones variando D con respecto a S, Xu y Xw. La tasa


Adherida.


a)

b)


c)

Figura 5-11: Diagrama de Bifurcaciones variando KI con respecto a S, Xu y Xw. La tasa


Adherida.

6 Conclusiones

El sistema analizado tanto con la cinetica de Monod como con la cinetica de Haldane es estable

con los valores de los parametros inicialmente dados, es decir, cuando la tasa de adherimiento de

los microorganismos es no nula. El modelo con la cinetica de Monod presenta cuatro puntos de

equilibrios de los cuales solo uno es fısicamente posible en el cual la concentracion de sustrato,

microorganismos suspendidos y adheridos es mayor a cero, ademas es estable para todo el rango de

valores dado al parametro de bifurcacion D, igualmente para el modelo con la cinetica de Haldane,

aunque este presenta tres equilibrios y uno fısicamente posible.

Si la tasa de adherimiento es cero, ambos sistemas (Monod, Haldane) presentan una bifurcacion

transcrıtica para el mismo valor de D, esto debido a que el valor de la tasa de dilucion en la bifurca-

cion no depende de la cinetica con la cual es estudiado el sistema sino de las tasas de mortalidad y

desprendimiento de los microorganismos adheridos. El sistema modelado con la cinetica de Haldane

presenta ademas una bifurcacion silla-nodo.

En los diagramas de bifurcaciones se observa el mismo comportamiento para ambos sistemas al

variar el parametro D, y la poca influencia de la bifurcacion fold del modelo con la cinetica de

Haldane, lo anterior sucede porque para despues del valor de la tasa de dilucion en el que ocurre

la bifurcacion transcrıtica los equilibrios que generan la bifurcacion fold son inestables, por lo que

las trayectorias del sistema no tenderan hacia estos. Para valores de D antes de la bifurcacion, las

trayectorias tenderan hacia uno de los equilibrios estables dependiendo de la condicion inicial.

Se observa tambien para ambos sistemas que una mayor tasa de dilucion aumenta la formacion de

las biopelıculas en el reactor, es decir, que el sistema se estabiliza para una mayor concentracion

de microorganismos adheridos, a medida que disminuye la concentracion de microorganismos sus-

pendidos.

El comportamiento tanto para el sistema modelado con la cinetica de Monod como el modelado

con la cinetica de Haldane es similar, es decir, despues de cierto tiempo transcurrido el sistema

se estabiliza aproximadamente para las mismas concentraciones de sustrato, biomasa adherida y

suspendida. La diferencia esta en que en el sistema modelado con Monod el tiempo necesario para

la formacion de las biopelıculas es menor.

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Dynamic Analysis of a Continuous Stirred Tank Reactor (CSTR) … · 2014-04-25 · Palabras clave: Tratamiento de aguas residuales, cin etica de Monod, cin etica de Haldane, bio-pel