Economía de intercambio puro Economía de intercambio con producción

1. Economía de intercambio puro

2. Economía de intercambio con producción

3. Optimalidad en el sentido de Pareto

Tema 1.Equilibrio General y Eficiencia

Económica


1.0. Supuestos del modelo

Modelo (2x2) 2 consumidores y 2 bienes

Representación más simple Economía intercambio.

Se puede representar gráficamente: Caja Edgeworth

2

4

2 ; ,

2 ; 1, 2

2

:

:

i

j

ji

i ij

ij

ij

consumidores X i A B

bienes X j

cestas de consumo X

Funcióndeutilidad U X

Dotaciones iniciales W

R

Asignacio Xnes R


1.0. Supuestos del modelo

Dotaciones iniciales Asignación correspondiente a la cantidades iniciales que tienen los agentes (A).

Riqueza Precio de mercado de las dotaciones iniciales

Dotación final Asignación resultante tras intercambio.

Asignación Cesta de consumo de cada individuo; viable y no derrochadora si la cantidad utilizada es igual a la disponible

1 1 1 1

2 2 2 2

A B A B

A B A B

X X W W

X X W W


1.1. La caja de Edgeworth

Permite representar dotaciones, restricción presupuestaria y preferencias de dos personas y analizar el intercambio.

Dos bienes: Base (Q total queso); Altura (Q total vino)



Decisiones consumo Juan (María) se miden desde esquina inferior (superior) desplazamientos hacia derecha (izquierda) mejoran el bienestar.

Preferencias completas cada agente tiene curva indiferencia que pasa por dotación inicial.

Cualquier punto caja representa una distribución (no derrochadora) entre los 2 consumidores de las dotaciones totales de la economía



Dotación inicial Cesta (W)

En la Zona sombreada Juan y María mejoran su bienestar a partir de la situación inicial intercambio mutuamente ventajoso.

Si Juan renuncia a vino y María a Queso ambos elevan su bienestar

(U) ambos están mejor ¿es el óptimo? ¿existen incentivos a intercambiar nuevamente?


1.2. Asignaciones eficientes en el sentido de Pareto

Intercambio hasta tangencia de las curvas de indiferencia (E) No existe ningún punto en común entre zonas que mejoran el bienestar de cada persona óptimo de Pareto


1.2. Asignaciones eficientes en el sentido de Pareto

Asignación eficiente en el sentido de Pareto No es posible mejorar el bienestar de todas las personas involucradas y, por tanto, se han agotado las ganancias derivadas del comercio.

Múltiples asignaciones eficientes en el sentido de Pareto

Conjunto de Pareto o curva de contrato Conjunto de todos los puntos eficientes en el sentido de Pareto.

Une los dos orígenes si Juan/Maria lo tienen todo es un óptimo Pareto


1.3. La ley de Walras y el equilibrio competitivo

Supongamos “subastador” cuya función es ajustar P hasta que Q demandada iguala la ofrecida.

Subastador cobra sentido con multitud consumidores, si existen 2 intentan negociar suponemos 2 grupos consumidores.

Definimos

Demanda bruta Q total del bien que desea un consumidor a los precios vigentes.

Demanda neta o exceso demanda Diferencia entre demanda bruta y su dotación inicial.

111 AAA WXE



Desequilibrio Relación P no iguala oferta/demandaDemanda neta (Distancia W – XA/ XB). Juan desea desplazarse hasta XA y María hasta XB .Demanda bruta. (XA , XB ). La cantidad que desean tener los dos agentes no coincide con la existente.



Equilibrio Relación P iguala oferta/demanda

Equilibrio de mercado, competitivo o walrasiano el individuo elige la cesta preferida entre las asequibles y las decisiones individuos son compatibles.

RMSA = RI y puesto que los precios son los mismos RMS entre consumidores ha de ser igual.

Gráficamente en equilibrio la pendiente de la RP es la misma para A y B las CI son tangentes.



1) (P*) Las funciones de demanda igualan a las dotaciones (oferta):

2) El exceso de demanda ha de ser igual a 0

3) Función de exceso de demanda agregada

21

*2

*12

*2

*12

11*2

*11

*2

*11

,,

,,

BABA

BABA

WWppXppX

WWppXppX

0,,

0,,

2*2

*122

*2

*12

1*2

*111

*2

*11

BBAA

BBAA

WppXWppX

WppXWppX

22212212212212212

21

*2

*1

11211211211211211

,,,,,

,0

,0,,,,,

BABABA

BABABA

WWppXppXppEppEppE

pp

ppWWppXppXppEppEppE



Ley de Walras El valor del exceso de demanda agregada es idénticamente igual a 0 para cualquier conjunto de precios

Cada agente cumple con su restricción presupuestaria

Cada mercado la oferta es igual a la demanda

0,, 21222111 ppEpppEp

0

0

0

22211122112211

22211122112211

22211122112211

21

21

BABABBAA

E

BB

E

BBBBBB

E

AA

E

AAAAAA

EEpEEpEpEpEpEp

WXpWXpWpWpXpXp

WXpWXpWpWpXpXp

BB

AA

01111 BA EpEp



La Ley de Walras se cumple para cualquier P,…

…también para P*

1 1 1 2 2 2 1 2, , 0p E p p p E p p

* * * *1 1 1 2 2 2 1 2, , 0p E p p p E p p



Para k bienes, tenemos equilibrio si k-1 mercados en equilibrio k-1 ecuaciones independientes.

Problema: ¿cómo determinar k precios con k-1 ecuaciones?

K-1 precios independientes

Su multiplicamos P y M por un número t, el conjunto presupuestario no varía.

Podemos elegir libremente un precio y suponer que es constante numerario

Fijamos como numerario p1 y multiplicamos por t=1/p1


1.4. La ley de Walras: Caso general

Cesta de consumo de k bienes por el agente i.

Asignación: conjunto cestas consumo de los n agentes

Asignación viable, si es posible (agota todos los bienes)

Vector de precios

Resolvemos el problema

Equilibrio Walrasiano

ikiij XXX ,.....,1

nXXX ,.....,1

n

ii

n

ii WX

11 kppp ,.....,1

ii

iiX

pWs.a. pX

XUi

max

i

ii

i WWppX **,

Ejemplo 1.- • En una economía con dos mercancías y consumidores, la función de ED es

a) Calcular la función ED del bien 2.Aplicamos la Ley Walras (VED=0=y despejamos

b) Calcule precios de equilibrioSabemos que cada agente cumple con su RP

𝒛𝟏ሺ𝒑𝟏,𝒑𝟐ሻ= 𝟏𝟐𝒑𝟏𝒑𝟐 + 𝟑𝟒𝒑𝟐𝒑𝟏 − 𝟕𝟒

൬12𝑝1𝑝2 + 34𝑝2𝑝1 − 74൰= ൬24𝑝2 + 3𝑝24 − 74൰= ቆ

24𝑝2 + 3𝑝224𝑝2 − 7𝑝24𝑝2ቇ= 0 3𝑝22 − 7𝑝2 + 2 = 0 J֜ ൜𝑝2 = 2𝑝2 = 0,33

𝑝1𝑧1ሺ𝑝1,𝑝2ሻ= 0 ሳሰ 𝑝1 ൬12𝑝1𝑝2 + 34𝑝2𝑝1 − 74൰= 0

𝑝1𝑧1ሺ𝑝1,𝑝2ሻ+ 𝑝2𝑧2ሺ𝑝1,𝑝2ሻ= 0 J֜ 𝑧2ሺ𝑝1,𝑝2ሻ= −𝑝1𝑧1ሺ𝑝1,𝑝2ሻ𝑝2 = −𝑝1𝑝2൬12𝑝1𝑝2 + 34𝑝2𝑝1 − 74൰


2.1. La tecnología: concepto y modelización

La manera más sencilla de describir la tecnología de una empresa es mediante la función de producción Representa toda las posibilidades de la tecnología

Posibilidades tecnológicas de la producción: combinaciones factores-productos tecnológicamente viables.

Las decisiones que ha de tomar la empresa van a ser:La demanda de factores: Combinación de factores tecnológicamente viables (Incurrirá en unos costes).

Factores de Producción = X1, X2, ….Xn

La oferta: Qué producción sacará al mercado (Obtendrá ingresos)



Objetivo esencial empresario Max π = I – C .

El empresario tendrá restricciones o limitaciones:

Tecnología

Marco en el que venda su producción; Ingresos dependen de la producción y precio de venta.

Marco institucional en el que demanda sus factores; Costes dependen de los factores y su precio

Estudio decisiones empresariales Requiere modelización que resuma las posibilidades de producción: combinaciones factores-productos tecnológicamente viables.



Producción neta bien j Diferencia entre la producción del bien j (output) y su uso como factor productivo (input)

Plan de producción Lista de producciones netas

Conjunto de posibilidades de producción de la empresa Conjunto de todos los planes de producción tecnológicamente viables

Conjunto de posibilidades de producción restringido o a corto plazo Combinaciones compatibles con restricción Z.

0 ij j jy y y

ny R

nY R



Ej: Conjunto de cantidades necesarias de factores

Combinaciones factores (x) que generan al menos y

Ej: La isocuanta

Combinaciones factores (x) que generan exactamente y

Ej: Conjunto de posibilidades de producción de cp

( ) : ,nV y x R y x Y

( ) : ( ); ( ') 'nQ y x R x V y y x V y si y y

( ) , , :Y k y l k Y k k



Ej: La función de producción Caso 1 bien.

Ej: La función de transformación Plan producción es tecnológicamente eficiente, si no es posible obtener mayor producción con factores dados

Posibilidad de describir planes producción eficientes mediante función transformación (selección de máximos vectores de producciones netas)

( ) :

-

f x y R y es el nivel máx de producción

correspondiente a x Y

: , ( ) 0 nT R R donde T y y es eficiente



Tecnologías monótonasUna cantidad mayor/igual de ambos factores debe generar, al menos, el mismo volumen de producción.

Tecnologías convexasSi se puede producir una cantidad mediante técnicas independientes, también será viable una media ponderada de las técnicas

( ) ' ' ( )Si x V y y x x x V y

' ( ), (1 ) ' ( ) , 0 1

( )

Si x y x V y tx t x V y t tal que t

V y es conjunto convexo



Tecnologías regularesEs posible obtener un nivel cualquier producción.El conjunto de factores ha de contener su frontera

Tecnologías homogéneashomotéticas (transformación monótona de una función homogénea de grado 1)

( ) 0V y es un conjunto no vacío y cerrado cualquiera que sea y

homogénea de grado ( ) ( )kk si f tx t f x


2.1. La tecnología: la Relación Técnica de Sustitución

Cantidad a la que la empresa ha de sustituir un factor (X2) por otro (X1), para mantener constante el nivel de producción.Es la pendiente de la Isocuanta.

En términos diferenciales

Ley rendimientos decrecientes RTS decreciente

1 1 2 2

2 12,1

1 2

· · 0y PMgx x PMgx x

x PMgxRTS

x PMgx

1 21 2

2 12,1

1 2

0

/

/

f fdy dx dx

x x

dx f xRTS

dx f x


2.2. La conducta del productor y del consumidor

El productor y la maximización de beneficiosEmpresas competitivas, precio-aceptantes y max. Π

Dadas (m) empresas, un vector de precios (p), un vector de producciones netas que maximiza los beneficios para p (yj), la

función de oferta neta agregada es

Conjunto agregado de posibilidades de producción (Y) vectores de producciones netas viables.

Maximización de los beneficios agregados el plan de producción de cada empresa maximiza los beneficios.

1( ) ( )

m

jjy p y p

1

m

jjY Y


2.2. La conducta del productor y del consumidor

La distribución de beneficiosEl consumidor participa en la propiedad de las empresas y en los beneficios.Llamamos Tij a la participación del consumidor i en los beneficios de la empresa j. La renta empresarial es

La restricción presupuestaria

1( )

m

ij jjT py p

1( )

m

i i ij jjpx pw T py p


2.3. El equilibrio con producción

El exceso de demanda agregada

La ley de Walras. Si z(p) responde a la definición anterior, pz(p) = 0 cualquiera que sea p.

Si cada consumidor satisface su restricción presupuestaria, la economía en su conjunto ha de satisfacer la restricción presupuestaria agregada.

( ) ( ) ( )z p X p Y p w


2.3. El equilibrio con producción

Equilibrio competitivo por parte de la empresa:

Maximizar beneficio considerando costes mínimos.

Equilibrio competitivo por parte del consumidor:

Maximizar la utilidad incorporando la participación en los beneficios de la empresa en su restricción presupuestaria

1 2 · - ( , , )

. . 0

Max P Y c P P Y

s a Y

1

( )

. . ( )m

i i ij jj

Max U X

s a px pw T py p


3.1. Eficiencia en el sentido de Pareto

Asignación eficiente en el sentido de Pareto Una asignación de recursos es eficiente en el sentido de Pareto si no es posible (mediante más reasignaciones) que una persona mejore sin que alguien más empeore.

Eficiencia en la producción Una asignación de recursos es eficiente en la producción (técnicamente eficiente) si ninguna nueva reasignación permitiría producir más de un bien sin reducir necesariamente la producción de algún otro bien.

Distinguir: Eficiencia técnica y asignación Pareto-eficiente.

La primera no garantiza la segunda.Ej. Pueden producir “eficientemente” los bienes equivocados Modificando la producción puede conseguirse mejora en el sentido de Pareto.


3.2. Caracterización asignación Pareto eficiente: Producción

1) Asignación eficiente de factores en una empresa

Utilización plena de los factores.

La RST entre K y L es la misma para cada producto que fabrica la empresa.

De la resolución del problema obtenemos la curva de combinaciones eficientes y la frontera de posibilidades de producción

1 1 1 1

1 2

2 2 2 1 1

( . )

. . ( . ) , KL KLEquilibrio

Max X f K LRST RST

s a X g K L g K K L L



Caja de Edgeworth de eficiencia en la producción.

Cualquier punto es de pleno empleo.

Combinaciones eficientes Tangencia isocuantas.



Frontera de posibilidades de producción o Curva de Transformación.Muestra las combinaciones alternativas de dos producciones que se pueden obtener con cantidades fijas de factores si se emplean eficientemente dichos factores.

Pendiente (-) es la Relación de Transformación de Producto (RTP) muestra la tasa de sustitución de la producción.

2 1

1 2

1

2

X X

FPPX dX

RTPFPP dXX



Conclusión.- Condición de eficiencia en la producción

1 21 2

1 2

X XX XKL KL

X X

PMgL PMgLRMST RMST

PMgK PMgK



2) Asignación eficiente de factores entre varias empresas

Se han de asignar los recursos a aquellas empresas donde se utilicen de forma más eficiente.

La PMg de un recurso ha de ser igual en todas las empresas para el mismo bien.

1 1 1 2 2 2

1 2 1 2

1 21 1 1 2 1 1

1 2

( . ) ( . )

. . y

( . ) ( , )Equilibrio

Max X f K L f K L

s a K K K L L L

f fMax X f K L f K K L L

L L



3) Coordinación elecciones producción de las empresas.

Todas las empresas han de producir combinaciones eficientes de productos.

La RTP (pte FPP) debe ser las misma para todas las empresas que fabrican los dos bienes.

2 1

1 11 21 1 2*

11 212 1 11 2 21

: X ( ) 1, 2

. . ( ) ( )

i i i

Equilibrio

FPP f X para i

Max X X X f f

X Xs a X f X f X


3.3. Caracterización asignación Pareto eficiente: Consumo

FPP y Caja de Edgeworth La FPP ofrece la producción máxima/disponible dotaciones iniciales.



Los consumidores maximizan su función de utilidad sujeto a la utilidad de los otros consumidores y a las restricciones de factibilidad. Hemos de resolver:

De la resolución del problema de optimización obtenemos: la factibilidad, la curva de contrato y la frontera de utilidad.

1 2

1 2

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

( , )

( , )

A A A

BB B B

A B A B

A B A B

Max U X X

sa U X X U

X X w w W

X X w w W



Curva de contrato (CC).- Conjunto de las asignaciones Pareto eficientes o puntos Pareto óptimos.

Es independiente de las dotaciones iniciales.

Las asignaciones son factibles/viables.

21 21A BRMS RMS



Núcleo Conjunto de asignaciones que no pueden mejorarse por ninguna coalición de individuos.Segmento de la curva de contrato que se encuentra entre las curvas de

indiferencias que pasan por dotación inicial.

1 2 1 2{ / ( , ) (W , )}i i i i i iNúcleo X CC U X X U W



Las asignaciones del núcleo cumplen con las siguientes características:

Factibilidad/viabilidad Las demandas de los agentes igualan las dotaciones de la economía.

Racionalidad individual Los individuos sólo aceptarán intercambios en aquellos puntos de la curva de contrato que les da mayor utilidad que las dotaciones iniciales.

Racionalidad Pareto Los intercambios que se realicen mejora el bienestar de los agentes implicados.



' ' ' ' '( ), ( ) / ,A A B A BFU U X U X X X X CC

Frontera de Utilidad.- Recoge los niveles de utilidad de cada consumidor a lo largo de la curva de contrato.

La utilidad máxima que puede obtener un consumidor dada la utilidad del otro.

La obtenemos a partir de la tercera C.P.O de la resolución del problema de optimización.

B AU g U



Conclusión.- Condición de eficiencia en el consumo

1 121 21

2 2

A BA B

A B

UMg UMgRMS RMS

UMg UMg


3.3. Caracterización asignación Pareto eficiente: Conjunta

Consumidores y productores en equilibrio

1 2

1 2

1 1 1 1

2 2 2 2

1 1 1

2 2 2

1 2

( , )

( , )

( , )

( , )

A A A

B B B B

A B

A B

Max U X X

sa U U X X

X f K L

X f K L

X X X

X X X

K K K

1 2 L L L

2 1 2 1 2 1X X X X

A BX XRTP RMS RMS

Referencias Bibliográficas

NICHOLSON, W. (2008): Microeconomic theory, Capítulos

16.- General Competitive Equilibrium

17.- The efficiency of perfect competition

VARIAN, H.R. (2006): Intermediate Microeconomics, Capítulos

18.- Technology

31.- Exchange

VARIAN, H.R. (1992): Intermediate Microeconomics, Capítulos

1.- Technology

17.- Exchange

18.- Production

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