QA 371996 ISABEL CARMONA JOVER ECUACIONES
DIFERENCIALES111111111111111111111111111 111111111111111 11111
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ECUACIONES DIFERENCIALES
QA 371996 ISABEL CARMONA JOVER ECUACIONES DIFERENCIALES
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ECUACIONES DIFERENCIALES
Isabel Carmona JoverDepartamento de Matemticas Instituto
Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey
PEARSON
Educacin
Mxico Argentina Brasil Colombia Costa Rica Chile Ecuador Espaa
Guatemala Panam Per Puerto Rico Uruguay Venezuela
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CUARTA EDICiN, 1992 Primera reimpresin, 1994 Segunda reimpresin
, 1996 Tercera reimpresin, 1997 Cuarta reimpresin , 1998
Longman de Mxico Editores, SA de C.V.D.R. 1998 por Addison
Wesley Longman de M'lico, S.A. de C.v.Atlacomulco Nm. 500-5 Piso
Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Jurez, Edo. de Mxico
CNIEM 1031 Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni
parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o
transmitirse, por un sistema de recuperacin de informacin, ninguna
forma o por nungn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico,
magntico o electroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro,
sin permiso previo por escrito del editor. El prstamo, alquiler o
cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir
tambin la autorizacin del editor o de sus representantes. ISBN
968-444-150-9 Impreso en Mxico. Printed in Mexico.
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Para mis padresISABEL y JESS
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"Cuando cojo este libro, sbitamente se me pone limpio el corazn,
lo mismo que un pomo cristalino. -Me da luz en mi espritu, luz
pasada por mirtos vespertinos, sin ver yo sol alguno ... Qu rico me
lo siento! Como un nio que no ha gastado nada de su vivo tesoro, y
an lo espera todo de sus lirios -la muerte es siempre para los
vecinostodo lo que es sol: gloria, aurora, amor, domingo."Juan Ramn
Jimnez
As te lo deseo, lector amIgo.
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"
PrlogoEl mundo es, en todas sus partes, una aritmtica viviente
en su desarrollo, y una geometra realizada en su reposo.
Platn: Timeo.
Desde tiempo inmemorial, la matemtica ha ejercido una fascinacin
especial sobre la mente humana. Casi todo ser que se enfrenta a
ella, toma partido a favor o en contra; a favor, por lo sugerente
de su eficacia y la hermosura de su constitucin; en contra, por
sentirse, quiz, ante una tarea superior a las propias fuerzas. Voy
a decir algo a aquellas personas que piensan .que la matemtica no
es para ellas: el cerebro del hombre trabaja exactamente como una
estructura matemtica, pues obtiene conclusiones acerca de hechos o
suposiciones lgicas, compara, infiere, calcula, acopia datos,
proyecta, mide, la mayor parte de las veces usando las leyes
lgicas, algebraicas, topolgicas y otras que constituyen la base de
esta formidable ciencia. La matemtica posee a su vez tal armona,
tal proporcin, exactitud y belleza que se identifica con la "msica
de las esferas", citando libremente a Pigoras. El libro que est en
sus manos en este momento pretende presentarle una introduccin, a
nivel elemental y bsico, de una parte de la matemtica sumamente til
y ap li cable a casi todas las ramas del saber: las ecuaciones
diferenciales. El texto contiene la exposicin y desarrollo de las
ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden, enfatizando las
aplicaciones de las primeras. Tambin se estudian ecuaciones de
orden superior a dos y se desarrollan los mtodos de series y
transformadas de Laplace. El libro contiene problemas resueltos y
ejercicios para que el estudiante ponga a prueba su aptitud, y
cuando resuelva los de opcin mltiple podr aquilatar la precisin del
resultado evitando caer en errores bastante comunes. Cada captulo
contiene un resumen y un examen de auto evaluacin, este ltimo con
un nivel de conocimiento medio, suficiente para detectar una clara
comprensin del texto. Se ha procurado rodear a cada captulo de un
ambiente humans!ico, mediante biografas, comentarios, curiosidades
y pasatiempos. El requisito para leer este libro es conocer el
clculo diferencial e integ!':ll. [9]
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10
PRLOGO
Este libro naci, creci y sali a la luz gracias a la colaboracin
de mis maestros, colegas y alumnos, de mis amigos y de mi familia,
cada uno de ellos aport lo que a su rea competa. Especialmente
agradezco al Lic. Juan Manuel Silva Ochoa, maestro, colega y amigo,
su apoyo en todo momento y al Lic. Christian Garrigoux Michel su
participacin en la redaccin de las biografas. Espero del amable
lector todas las sugerencias que mejoren esta obra que deseo
disfrute y le sea til en su formacin profesional y en su
trabajo.
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Estructura lgica de los captulos1Ecuaciones diferenciales en
general
...2Ecuaciones diferenciales de primer orden
3
H
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden
... r 4Ecuaciones lineales de segundo orden
5Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales de
segundo orden
... r6Solucin mediante series de potencias
7Transformadas Laplace de
'r8Series de Fourier
9Mtodos numricos
[11]
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Gottfried Wilhelm, Barn von Leibniz (1646-1716)
[13]
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Gottfried-Wilhelm, Barn von Leibniz"Este sabio gemetra empez
donde los dems haban acabado. Su clculo lo llev a pases hasta
entonces desconocidos donde hizo descubrimientos que son una
sorpresa para los matemticos ms hbiles de Europa" .
G. de L'Hpital
Gottfried-Whilhelm Leibniz naci el 21 de junio de 1646 en
Leipzig, en la actual AIemania del Este, donde su padre fue
profesor en la universidad. En 1663 obtuvo su bachillerato y luego
su maestra en filosofa y jurisprudencia en 1664. A los 20 aos fue
doctor en leyes, despus de superar algunas dificultades
administrativas debidas a su edad. Empez entonces a trabajar como
diplomtico, lo que le permiti trabajar en Europa e indirectamente
lo llev a la creacin del clculo. En efecto, durante una estancia en
Pars conoci al gran cientfico holands Huygens quien lo inici
seriamente en el conocimiento de las matemticas . . En 1676, despus
de varios aos de e studio autodidctico, invent un nuevo mtodo
matemtico que public en 1684 bajo el ttulo: Un m todo nuevo para
mximos, mnimos y tangentes. Esta publicacin desat la ms famosa
contro~ versia en cuanto a la prioridad de la Grea-Gin de una obra
oientfca, puesto que Newton, si bien no lo haba manifestado
pblicamente, era ya poseedor del clculo. Hoy en da, se considera
que Newton se adelant a Leibniz, pero que ste ltimo invent
independientemente el clculo y us un simbolismo ms apropiado, de
hecho vigente hasta la fecha. A la clsica comparacin entre ellos, a
favor de la mente ms rigurosa y profunda de Newton, cabe agregar la
universalidad del genio de Leibniz quien fue, adems, uno de los
mayores filsofos de su siglo, as como un pionero en el estudio
sistemtico de las leng>ua~. A pesar de que no logr satisfacer su
deseo de crear una lgica simblica se adelant a su poca ms de un
siglo y con su muerte, acaecida en 1716, desapareci probablemente
el ltimo de los sabios con conocimientos universales.[14]
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IndicePrlogo Estructura lgica de los captulos Leibniz Simbologao
o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
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Pgina 9 11 13 20o o o o
Qu son las ecuaciones diferenciales? Cmo resolver una ecuacin
diferencial? Definiciones bsicas Clasificacin dp. las ecuaciones
diferenciales Solucin de una ecuacin diferencial ... ..... SoluCin
general, solucin particular .... . ..... Solucin singular
Interpretacin geomtrica . . .. . .. . Campo direccional . .
Isoclinas ." Ortogonalidad .... . Trayectorias ortogonales '"
Existencia y unicidad de las soluciones Resumen Autoevaluacin 1 ..
Riemann Comentarioso o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o" o o o o o o o o o o o o
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2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden Variables
separables Homogneas . . , Exactas .. ' Factores integrantes ..
Lineales Resumen Autoevaluacin 2 " Cauchy . Comentarioso o o o o o
o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
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124lZ
3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden
Geometra . .. ... Ecuacin de Bernoullio o o o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o
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129 150
[15]
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16
NDICE
Pgina Ecuacin de Lagrange . . .. . .. .. .. .. .. ........ . . .
......... . . . ... . . . . 152 Ecuacin de Clairaut . . . . .. ...
. ................. . .. .. ... . ... . . . . . . . 156 Qumica ...
. .. . ... .. ..... . . ....... . . . ..... . ... . ... . . .. . ..
. .... . .... 159 Biologa . . . .. . ... . ... . . .. . . . . .
..... . . . . . .... .. ... .. .... .. .. .. .. . ... 166 Fsica . .
......... .. ....... . .. . .. . . .. . ... . .. . . .......... .
...... . .... 171 Otras aplicaciones . . . .... . .. . . . .......
. . . .. . . ... . . .. . .... . ... . . . . ... 182 Familia
Bernoulli .. . .. . . . ......... .. .... . ...... . .. . .. ... .
. . ..... . . . . 185 Comentarios . . ..... . .. . . ... . .. . . .
. ... . ........ . ... . . . ...... . .... . .. 1874 Ecuaciones
diferenciales de orden superior
Ecuaciones reducibles a primer orden .. ... . .. . .... .
........... .. ... . 196 Ecuaciones lineales .. . .............' ..
. ... .. . . . , .... . ... ... ... .. . . .. . 202 Principio de
superposicin o linealidad . .. , . . . . . .. . . .. ... . ...... .
. .. . 205 Dependencia e independencia lineal . .... . .. . .. . .
.... , . ........ . ... . . 206 Wronskiano .. . .............. ,
.... . ........................... . . . .. . 208 Ecuaciones
lineales homogneas . ..... ... .. .... , .... ... ... . .. . ..
.... . 218 Ecuaciones con coeficientes constantes ... ..... ... ...
. . . . . . . . ...... . 219 Ecuacin de Cauchy-Euler . .. ... ,
..... . .. . .... . . .. . .. . . .. .. . . . .. . 222 Ecuaciones
de orden arbitrario con coeficientes constantes ' . .. ..... . 234
Ecuaciones lineales no homogneas de segundo orden . ..... .....
..... . 241 Mtodo de coeficientes indeterminados ... ....... ... .
. . . . .. . .. . . . . . 242 Mtodo de variacin de parmetros ... .
.. .. .. .. ... . .. . .. .. .. . . . . . . 255 Resumen ... . ... .
... . .. . .. .. . , . . . .. ... . .... . .. , ............ . . .
. ... , 267 Autoevaluacin 4 ....... .. ..... . .. ... . .. . . ..
... ......... .... ....... . 270 Euler 277 Comentarios 2795
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo order
Geomtrica:. . . . . . .. . . . .... .. . .. . . . . ..... , .
..... . . .. .. . ...... , .. ... . Osciladores .. . .............
. . ', . . .......... . .. , .. . ...... . , ... . . . .. . Cada
libre y leyes del movimiento . .. , .. . ... . ... ' . .. . . . ..
.. .. .. . .. . . Circuitos elctricos ..... . ...... . : . .. .
........... , . . .... ... . . .. .. .... . Flexin de vigas
.............. . . . . . .. . .. .... . ....... . ... ... . , .....
. Otras aplicaciones , . . . ....... . ...... , .... . . .. . . ..
...... .. .. . ... . . . . . Gauss . . . ..... . ...... . ..... ..
. ... , ... .. . . . ... . ... . .. . ... . .... . . . . . ,
Comentarios6 Resolucin de ecuaciones diferenciales mediante
series
283287
293 298302 31? 316
318
Pruebas de convergencia de series . ... .. . ..... . .... . ...
.... . . . . .... . 322 Series de potendas ... . .... .. . . .
.......... . . . .. , . .. . . ... .. .. . 32b
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NDICE
17
Pgina Desarrollo de una funcin en series .. . . . .
................. . ......... 339 Funcin analtica en un punto . .
............. . .......... . .. . . . ... . ... 346 Operaciones con
series de potencias .. . . . .. . ... . . . . . .. . . .. ..
....... .. . 347 Puntos notables .. . ....... . ... . ... . .... ..
... . . .... ......... ...... . . .. 352 Punto ordinario ..... ...
. .. . . ...... ..... . ............ . . ....... .. . 352 Punto
singular ................. . . . .... . ... . .......... . ... . .
... . . 353 Punto singular regular ............ ...... ....... .
....... . ......... 354 Solucin de ecuac ion es diferenciales alred
edor de puntos ordin arios, mediante series de potencias . ........
.. . .. . . . ........ ....... ... . . . . .. 3.::;8 Solucin de
ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares .. . . 372
Ecuacin de Bessel .. ........... . .. . ... ....... .... . . .... .
...... . .. . . 401 Ecuaciones reducibles a la ecuacin de Bessel ..
. ..... . .... . .. .. .. 401 Funcin Gamma . .. ... .. . . ... .
..... . . .. ........... . .. . ... . .... . . 402 Resumen ... ...
... . . ...... .. ..... . . . .. . ..... .. . . ... .. ... . .... .
.. .. . 412 Autoevaluacin 6 . .. ... . ..... . ........... . ... .
. . . .... . ... . .. . . .. . . .. 417 Bessel ... ..... .. . .. ..
.. . . . . ... ......... . .. .. . ....... . .. . ........... 423
Comentarios 425 7 Transformadas de Laplace Definicin . . . ... ..
.... . .... .. . . ............ . . . . . . . . .. .. . . .... . ..
. .. Transformada inversa de Laplace . .. .. .. ... . . .. .
....... . ... . .... .... . Traslacin sobre el eje s ... . .. .. ..
... . .. ..... .. . . ..... . .. . . .. ...... . Existencia de la
transformada . . . .... ..... . ..... .. .. .. . .. . .. . . .. ..
... Propiedades de la transformada de Laplace ... .. . .. ... . ...
...... ... .. Resolucin de ecuaciones mediante transformadas ......
... .. . ......... Factores lineales no repetidos ... .. ... . . ..
. . .. . . . .. . .. . .. . ....... . Factores con:plejos no
repetidos . ...... . ........ . . . ... .. ... . ... .. Factores
lineales repetidos .. . ... . .. .. .... . . . . . .. . .. . .. . .
. . . . . .... Factores complejos repetidos .. .... . . .... ....
... . . . ..... . .. . .... .. Derivacin de las transformadas ... .
..... .. . ... . . . .. . . . .. . ...... . .. . . Integracin de
las transformadas .. . .. ... .. . ... .. .... . .... . . ......
... Funcin escaln unitario . .. ... . .. .. . ...... . .. . . . ...
. ..... . . . .. . ..... Traslacin sobre el eje t .. . . . .. ...
.. ... ... .. ...... . ... ... . . ...... . .. Funciones peridicas
.. . .. ... . .. . ..... . . .. . . . . ......... . . . . .. .... .
.. Convolucin . ............. . . . .. . .. . . . . .. . . ... . .
. ..... .. . ... .. . . .. .. Aplicaciones de la transformada de
Laplace ... . .. . . .... . . .... .. . . .. .. Resumen . . .. .
...... . . .. ... ... . ..... . ..... . . . .. .. . .. . . .. . .
....... . . Autoevaluacin 7 ... .. ..... . . . .. . ..... . . . . .
. . . . ... . . .. . .. .... . .. . .. . Laplace .. . .. ....... .
.. . . . ..... . . ..... . .. . . . .............. . . . . . . ...
Comentarios . .. . . .. . . .... ... .. . . ....... ... . .... . .
..... .. . .. .. . . ... ..
430 436 437 442 451 463 463 467 470 474 477 479 491 496 514 518
527 531 536 541 543
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18
NDICE
Pgina8 Series de F ourier Series trigonomtricas y funciones
peridicas ... . .................. . .. 548 Frmulas de Euler ......
. ........... . ... .. ... ,... . . . .. . .. . ...... . .. 560
Convergencia . .. . .......... . . .. ............. ,..
..................... 572 Funciones pares e impares . . ...... :
.............. . ..... . . . .. . . ~ ... " 587 Series de Fourier
para las funciones pares e impares ..... . ............ 594
Funciones de periodo arbitrario ................ . ... . .... .
........... 605 Desarrollo de funciones no peridicas en series de
Fourier . . .......... 615 Resumen . ..... .. ............. ; . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
625 Autoevaluacin 8 .. . ...... . ..... . .... . .... . ...... .
......... . ..... . .. 627 F ourier .. . .............. .. ..... .
.............. . .................... 633 Comentarios
........................ . ............ .. ................ 635
9 Mtodos numricos para resolver Ecuaciones diferenciales Mtodo
de Euler .. .... .. ... . . . ....... . ... .. . ... .. . .. . . .
......... Mtodo de Euler mejorado ................ . . . .. ..
............. .. . Mtodo de TayJor .. ..................... .. ...
. .. ... ....... . ..... . Mtodo de Runge-Kutta ... . .. . ..... .
..... . ... . . . .............. . . Resumen ... .. ........ . . .
..... . . . ....... .. ........... . . .. ....... . . .
Autoevaluacin 9 .... .. .. . .... .. .... . ... . ......... ...
....... . .. . . . . Abel ...... . .................. .. ...... .
........... ~ ........... ..... Comentarios .. . .. .
........................... . .................. . ..
639 642 643 645 650 651 653 655 Bibliografa ... .
.................................................... 659 Indice
anaIitico ......................................... . ...........
6,61 Soluciones de los crucigramas ................ .
................... . ... 663
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Simbologa
R CE
Conjunto de nmeros reales. Conjunto de nmeros complejos.
Elemento de .Intervalo abierto (no contiene a los extremos del
mismo). Intervalo cerrado. Intervalo semiabierto por la izquierda.
Intervalo semiabierto por la derecha. "Qued demostrado" . Es el
smbolo de implicacin usado en el texto, las ms de las veces, como
entonces. Doble implicacin, se lee "si y slo si". Equivalencia o
idnticamente igual. Semejante o aproximadamente igual. Por lo
tanto, en conclusin.
(a, b)
[a, b](a, b]
[a, b)
o.~
fx
Significa derivada parcial de la funcin f(x) con respecto a
x.
[19]
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1Qu son las ecuaciones diferenciales?
Lo que precede, en Morse, es la frase que tarde o temprano
decimos y la que todos queremos or. Es un lenguaje. Para
representar la realidad en movimiento usamos tambin una clave
especial, una simbologa sinttica que nos informa acerca de una
velocidad, de un descenso de temperatura, de un aumento de
poblacin, de un monto de intereses, hasta del menor cambio, en
cualquier aspecto, de nuestro planeta. Las realidades cambiantes,
antes mencionadas, tienen en comn que son variaciones a travs del
tiempo, esa dimensin inmutable (en el sentido de una cuarta
dimensin) en la cual se mueven la materia y la conciencia. As pues,
en matemticas usamos el lenguaje de las ecuaciones diferenciales
para los hechos y los datos cambiantes.
Cmo resolver una ecuacin diferencial?Hay dos maneras de aprender
a patinar sobre ruelo. Primera: En una librera se compra uno los
siguientes manuales: Cmo dominar el patinaje en 15 lecciones,
Patinar y rascar, todo es empezar, Historia del patinaje sobre
hielo en el
[21 ]
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22
QU SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES?
Paleoltico y sus repercusiones en el mundo moderno, Agarre su
patn, El patn, su constitucin, ,desarrollo y reforzamiento, con
bibliografa e ilustraciones a todo coloT; se va uno a su casa, se
instala en su lugar favorito y se sumerge en la lectura, sin
olvidar tomar apuntes, hacer anlisis comparativos y aplicar el
clculo de probabilidades hasta agotar todos los aspectos del tema.
Llegar un momento en el que ya est uno totalmente capacitado para
estrenar los patines - regalo de la abuelita-, momento, repito, en
el que quiz ya sufri uno su primer reuma. Segunda: Se toma el par
de patines y amparndose en el instinto de conservacin se lanza uno
a la pista helada con los consiguientes riesgos y posibles huesos
ro,l:os. As se aprenden muchas cosas : hacindolas. Para resolver
una ecuacin diferencial lo mejor es arriesgarse : intentemos
integrarla, y si eso no resulta un procedimiento inmediato,
apliquemos cambios de variable o transformaciones que lleven a
integrales ms o menos familiares.Si tenemos la llamamos ecuacin
diferencial de segundo orden. Integrando:dy
x!2+ Cl
-- = -
dx
Si volvemos a integrar :
obtenemos un1\ funcin-solucin que podemos comprobar al instante
: derivando: derivando de nuevo con respecto a x:
el resultado nos convence de la exactitud del mtodo empleado .
As, en este captulo se exponen las nociones generales acerca de las
ecuaciones diferenciales y el mtodo geomtrico para obtener
soluciones.
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CMO RESOLVER UNA ECUACIN DIFERENCIAL?
23
Definiciones bsicasDefinicin 1.1. Una ecuacin ,diferencial es
aquella ecuacin que contiene derivadas o diferenciales.
Definicin 1.2. Orden de una ecuacin diferencial es el de la
derivada ms alta contenida en ella.
Definicin 1.3. Grado de una ecuacin diferencial es la potencia a
la que est elevada la derivada ms alta, siempre y cuando la ecuacin
diferencial est dada en forma polinomial. CLASIFICACIN DE LAS
ECUACIONES DIFERENCIALES La ecuacin diferencial contiene derivadas
de una o ms variables dependientes con respecto a una sola variable
independiente. La ecuacin diferencial contiene derivadas parciales
de una o ms variables dependieiites con respecto a dos o ms
variables independientes.F(x, y, y') = O F(x, y, y', y") = O F(x,
y, y', y", y"')
Ordinarias Tipo Parciales
Orden
Primer orden Segundo orden Tercer orden Orden n
=O
F(x, y, y', ... , yen)) = O
J neales Grado No lineales
a) La variable dependimte y y todas sus derivadas son de 1er.
grado. b) Cada coeficiente de y y sus derivadas depende solamente
de la va. riable independiente x (puede ser constante) . Las ~ue no
cumplen las propiedades { antenores.
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24Ejemplo de ecuaciones
QU SON LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES?
diferenciales:
Tipody dx
Orden1
Grado1
LinealS
= 2e-x
Ordinaria
--
oy
ot
= --
ox
ot
+ kx
-
--
0Y.
Os
ParcialOrdinaria Ordinaria
12 2
11 1
SI
,
x2y"
+ xy' + y
=O
S No (porque el coef. de y" no depende de x exclusivamente)
uv" + ry
=x
-+ -=: C ot OS2x2 -d2y
oy
02y
Parcial
2
1
S
dr
+ x-- + (r-v )y2
dy
dx
=O
Ordinaria
2
1
S
-4-
04V ot
= kvy'"
(02m) 2 -2on
Parcial Ordinaria Ordinaria Ordinaria
4 5 lINo 1?
1 3
No No
(yVly'
+ y"
- y2 = O
+y
= x/y+y
sen y'
=O
No
Ejercicios 1.1Escoger la opcin que da la clasificacin
diferenciales: correcta de las siguientes ecuaciones
1. y"
+ xyy' = sen
x
A. Ordinaria, orden 2, grado 1, lineal. B. Parcial, orden 2,
grado 1, lineal. C. Ordinaria, orden 2, grado 1, no lineal. D.
Ordinaria, lineal. orden 3, grado 1, no
05X 2. e' __ ot5B. Parcial,
+ -- 2 = cte.ororden 2, grado 2, lineal. orden 5, grado 1,
lineal.
02y
A. Ordinaria,
C. Parcial, orden 2, grado 2, no lineal. D. Parcial, orden 2,
grado 1, lineal.
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CMO RESOLVER
UNA ECUACIN
DIFERENCIAL?
25
3. ryy'"
_ x2yy"
+ y =O
A. Ordinaria, orden 2, grado 1, no lineal. B. P.arcial, orden 2,
grado - 1, no lineal. C. Ordinaria, orden 3, grado 1, lineal. D.
Parcial, orden 1, grado 1, lineal.
D. Parcial, orden 3, grado 1, lineal. . Ordinaria, orden 3,
grado 1, lineal.
4. y"
+ 2x3y'
-
(x - 1)y orden
= xy3/21, no 3 no
A. Ordinaria,lineal.
2, grado
A. Ordinaria, orden 2, grado 2, no lineal. B. Parcial, orden 1,
grado 2, lineal. C. Ordinaria, orden 1, grado 2, lineal. D.
Parcial, orden 2, grado 1, no lineal.
B. Parcial,lineal. C. Ordinaria, lineal.
orden
2, grado
2'
orden
3 3, grado -, 2
no
Respuestas.
1. C; 2. B; 3. C; 4. A;
5. D.
Definicin 1.4. Solucin de una ecuacin diferencial es una funcin
que no contiene derivadas y que satisface a dicha ecuacin; es
decir, al sustituir la funcin y sus derivadas en la ecuacin
diferencial resulta una identidad. Definicin 1.5. Solucin general
de una ecuacin diferencial es la funcin que contiene una o ms
constantes arbitrarias (obtenidas de las sucesivas integraciones) .
Definicin 1.6. Solucin particular de una ecuacin diferencial cin
cuyas constantes arbitrarias toman un valor especfico. EJEMPLO La
funcin 1 x es la fun-
+ y2 = C
es la solucin dy dx
general 1
de la ecuacin
diferencial:
----
2y 1
Porque derivndola en otra forma:
implcitamente
tenemos: 2yy' =-1
+ 2y
dy --
nx
= O, o expresado
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26
QU SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES?
Sustituyendo y y y' obtenemos una identidad:
2.yc=x(-
1 J=-1 :.-1=-1; 2-/c-x}
donde y
= -vc=x.
EJEMPLO 2 La funcin y = e-X + 8 es solucin particular de la
ecuacin diferencial y' + e-X = O, porque derivando la solucin y
sustituyndola en la ecuacin dada, obtenemos: y' = _ e-X
_ e- x
+ e-X = O
:. O = O
EJEMPLO 3 La funcin y 3:x! + CX cial y" = 6, porque:y
=
+ C2
es solucin general de la ecuacin diferen-
y' = 6xy"
+ C:.6
= 6
= 6
EJEMPLO 4 La funcin t = 2xy2 + 3:x!y + g(y) ecuacin diferencial
parcial:(it
+ f(x.).
es la solucin general de la
- -=4y +6x
oy ox
Porque: y-~--
~ = 2y2 + 6xy + f(x)ox
02t
ay ox
= 4y + 6x; sustituyendo:
4y
+ 6x = 4y + 6x.
EJEMPLO 5 La funcin y = ce- x ecuacin diferencial:
+ C2eX + C3e-2X + C4e2Xy/V _ 5y"
es solucin general de la
+ 4y =
O
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CMO RESOLVER UNA ECUACIN DIFERENCIAL?
27
Porque: y' y"
= - cle - X + C2eX - 2c3e-2X + 2c4 e 2X
= + cle - x + C2eX + 4c3e-2X + 4c e2X4
Sustituyendo:
-------------y/v
- 5cle-X - 5C2 ex - 20c3e- 2X - 20c4e 2X
----
+
'-~----
4c le- x + 4c2ex
..
- 5y"
-..............
-
-----~----4y
+ 4c3e- 2X + 4c e2 x =4
+
.._--
O
:. O
=O
EJEMPLO 6 La funcin y = e X (3 cos 2x + sen 2x) es solucin
particular de la ecuacin diferencial: y" - 2y' + 5y = O, porque: y'
= e X ( - 6 sen 2x + 2 cas 2x) + e X (3 cas 2x + sen 2x) y" = e X (
_ 12 cas 2x - 4 sen 2x) + e:r(_ 6 sen 2x + 2 cas 2x)
+
eX (_ 6 sen 2xSustituyendo: eX ( _ 12 cas 2x X
+2
cos 2x)
+
eX (3 cas 2x
+ sen
2x);
e (3 cas 2x + eX (_ 6 oas 2x - 2 sen 2x)
4 sen 2x) + 2e X (_ 6 sen 2x + 2 cos 2x) X sen 2x) + e (12 sen
2x - 4 cas 2x) +
+
+ e (15 'casX
2x
+5
sen 2x) =
eX[- 12 cas 2x - 4 sen 2x - 12 sen 2x 12 sen 2x - 4 cas 2x - 6
cas 2x 15 cos 2x] = eX(O) = O. :.0=0.
+ 4 cas 2x + 3 cas 2x + sen 2x + _ 2 sen 2x + 5 sen 2x +
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28
QU SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES?
Ejercicios 1.2Averiguar si las siguientes funciones son solucin
de la correspondiente ecuacin diferencial.
l. Y
2.
= Ge 1 Y = 2e - 2x + - eX 3X
de y' - y de y' de y'
=O ~- 2y = pX = / 64xVx3
3. Y
= B In x +
G
4. y
5.'6.
= G,e - x + G2e2X X X y = Be + xe
de y" - y' - 2!J de y" - 2y' de xy '
=O + Y =OGas x
sen x Y3x
+y=
7. y - - - = OGas x
1
de y' - y tan x = O de y' = 3y2 de (1 - X2)y'
8. y = 9. y10.
33x
+2
= 1 + G .j 1 - X2 y = 2x VT=7' = e-X Gas -1 x 21
+ xyRX3
=x
de yy' de 4y"de y '"
= 4x -
11. y
+ By' ++y
5y = O
12. y = e-X Gas -X 213.
= e-x Gas -1 2yO
x
xy
= Gas t} =et
dey '
+
~= 1 - X2
14. y= - Gas x15. x 16. yG as t } y=.2 sen t
x
de xy' - y
=r
tan x seG x
=
de yy '
+ 4x = O
=e
sen
_1
2x
de xy' - y tan in y = O
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CMO RESOLVER UNA ECUACIN DIFERENCIAL!'
29
Respuestas: S son solucin, excepto las de los ejercicios 6, 8 Y
12.NOTA.
Usando este tringulo:cos t sen t
~~SiXx
y la regla de la cadena, se pueden verificar algunas soluciones
anteriores.
Definicin 1.7. Solucin singular de una ecuaClOn diferencial es
una funcin cuya tangente a su grfica en cualquier punto (X, Yo)
coincide con la tangente de otra solucin, pero ya no coincide con
esta ltima tangente en ninguna vecindad del punto (xo, Yo), por
pequea que sta sea.
Estas soluciones no se obtienen a partir de la solucin general.
Un mtodo para encontrar dichas soluciones es derivar la ecuacin
diferencial dada con respecto a y', con lo cual formamos un sistema
de ecuaciones:F(x, y, y')
=
oF(x, y, y') - - - - - = 0,oy'
del cual, eliminando y', se obtienen una o ms soluciones
singulares.
EJEMPLO Hallar las soluciones singulares, si las hay, de la
ecuacin diferencial:y'2 = 16x2
Derivando con respecto a y', tenemos:
:?y'
= =-
De donde y' = O; sustituyendo en la ecuacin, obtenemos x = 0, qu
e es l a solucin singular. En efecto, las soluciones generales de
dicha ecuacin son:y
=
2 X2
+ c,
Y
2x2 "+ c,
y para el punto (0,0) su grfica es y
= 2 X2
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30
QU SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES?y
------~E----------
..... x
Figura 1.1
YX es el punto de contacto con las pendientes de y punto
(0,0).
=
I
= + 2r
en el
Definicin 1.8. Problema con valor inicial es la ecuacin
diferencial acompaada de condiciones iniciales.
EJEMPLO 1 Resolver la ecuacin diferencial:y' -4xy =1
Para la condicin inicial: Y = - cuando x = 0, o bien,
brevemente: 51 y(O) = 5
La ecuacin puede escribirse como:dy
= 4xy
dx
o
dy -y
= 4x dx,
integrando ambos lados de la igualdad, tenemos:-In y
=
2X2
+c2.
Y = ce2x
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C6MO RESOLVER UNA ECUACI6N DIFERENCIAL?
31
1 1 1 Sustituyendo los valores del punto (O, - ), tenemos que:
ce'l ~ C 5 5 5
=
= -.
Entonces la solucin particular es:
y =_ e2X 5
1
2
EJEMPLO 2 Resolver la siguiente ecuacin diferencial:y"
= x,,
para
y(-2)y'(O)
=4=1
Integrando ambos lados de la ecuacin tenemos:y
=- + Cl2
r
Volviendo a integrar:Y=
- + C1X + C2 es solucin general.6
X
3
Aplicando las condiciones iniciales dadas: para y' para y1 4
=
O+
Cl ~ C l
= 1
= -- 6
-8
2Cl
+ C2
4
=
3 -
-4
2(1)
+ C2
C2 = - -
223
. '. y
22 = 6' + x + 3' esX
3
solucin particular.
Comprobacin : derivando la solucin particular y sustituyndola en
la ecuacin, debe satisfacerla:y' =y"
r +12
= x.
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32
QU SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES?
OBSERVACIN. Se necesita igual nmero de condiciones iniciales que
el del orden de la ecuacin diferencial.
EJEMPLO 3 Dada la siguiente funcin:
como solucin (la forma de obtenerla se estudiar ms adelante) de
la ecuacin diferencial:y'" - 4y"
+ y'
-i- 6y = O
Encontraremos la solucin particular para las siguientes
condiciones iniciales:y(O) =4, y'(O) = -1 , y"(O)=O
y"(O)
= 4c
l
+ C2 + 9C3
.~
4c l
+ C2 + 9C3 = O
Resolviendo el sistema de ecuaciones:Cl
+ C2 + C3 = 4
Obtenemos:y
Cl
= 10/ 3,_
C2
= 29/ 12, C3 = -7/ 47 4e 3x
.
= 10 - e 2x + 29 _ e-x312
-
.,. . . es la soluclOn particular para las condIcIones
dadas.
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CMO RESOLVER
UNA ECUACIN
DIFERENCIAL?
33
Ejercicios 1.3Dada la ecuacin diferencial, su solucin y las
condiciones el valor de las constantes arbitrarias. iniciales,
determinar
Respuestas:
1. yy'
+ 6x = O
y(O) 1
=4
e
= 163
2. y2y' - 4x = O 3. y' = 1 + y2
y(-) = O2 y
e=--
2
= tan(x + e)tan x
+e=x + e
1- e tan x
y(-) 4
1t
=1 =O
e=O e=O
4. y' = 1 _ y2
tanh-ly Donde
y(O)
- 12x
y' y" Sustituyendo en la ecuacin
= 2cx +
2C2X
= 2c + 2c2
diferencial:
Para x
O 2 dt dt'o
-+ 2n 2
d2 x dt
dx dt 2
+ a2x =
O, 2n
=- ,m
b
cuya ecuacin auxiliar es:m2
+ 2nm + a
2
= 0, m = - n + .Jn= c e t + C2effl2tml l
2 -
a2
Cuando n 2 > a2, la solucin es x sobreamortiguado;
y el movimiento se llama
" + c 2 em para n 2 = a 2 , la solucin es x = ce m " Y el
movimiento se llama crticamente ml amortiguado y se expresa x = e,e
+ eieml,y si n 2
= a la solucin es x = e-nI(el2 ,
eos
.Ja
2
-
n 2t + C2 sen~00,
.Ja
2
-
n 2 t) y el movi~
miento se llama subamortiguado .En los tres casos se observa que
cuando t el desplazamiento x
o.
Oscilaciones forzadasSi se aplica una fuerza exterior sobre el
sistema, la ecuacin diferencial es : d 2x dx m-= - kx - b - +F(t) 2
dt dt 2 . b k dx dx 2 _ o 2n = - , a2 - _ dt 2 + 2n dt + a x -
F(t),m m
La solucin general es x(t) = Xh + X p , donde la solucin Xh
tiene siempre el factor e- nt, el cual tiende a cero cuando t
tiende a infinito; por eso Xh se llama solucin transitoria. Si F(t)
es peridica, entonces Xp se llama solucin estacionaria, Si una
oscilacin forzada llega a una amplitud mxima, la frecuencia im
pulsora recibe el nombre de resonancia.
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OSCILADORES
289
EJEMPLO 1 Una ll anta de masa m cuelga de un resorte. Una vez
conseguido el punto de eq uilibrio, se su elta la ll a nta con una
velocidad inicial Va a una distan cia Xa d ebajo de la posi cin de
equilibrio y simultneamente se le aplica una fuerza ext erna F(t)
dirigida haci a aba jo. E ncontrar la ecuacin del movimiento.
(Considerar la resistencia del aire).
x= o
Figura 5.1
Se toma como posItIva la direcc in hacia abajo d el eje x y se
tien e en cu enta la friccin del aire (resistenci a proporcional a
la velocidad d e la masa) . En cualquier tiempo t, hay tres fuerzas
que actan en el sistema: F(t) es la fuerza ext erna medida en e l
sentido positivo. F, = - kx, k > O es la fuerza de restitucin
del resorte (ley d e Hooke). Fb ~ - bx', b > O es la fu erza
debida a la resistencia de l aire y acta siempre en direcc in
opuesta a la velocidad; por e llo ti end e a re tardar el
movimiento. F , y F b son nega tivas porqu e van en sentido opuesto
al eje x considerauo. Por la segunda ley de New ton, la fuerza neta
qu e ac ta sobre la masa (masa) (ace leracin ). es: F
=
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290
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN
Entonces: F = Fr + Fb + F(t) representa la aplicacin de todas
las fuerzas sobre la masa m. Es decir: mx" = - kx - bx' + F(t) o
sea x" + 2nx' + a2 x = f(t), donde :2n
= !!...., a = ~, f = F, m m m2
es la ecuacin que rige una oscilacin forzada. Las condiciones
iniciales del proceso son: x(O) = xo y x'(O) = Vo.
EJEMPLO 2: A un resorte, que se estira 50 cm al aplicarle una
fuerza de 4 N, se le cuelga un peso de 19.6 N. A este peso se le
aleja de su posicin de equilibrio jalndolo 1 m hacia abajo. Si se
suelta el peso, estudiar el movimiento en los casos: a) No hay
resistencia del aire, b) si la resistencia del aire es 8dx/ di Y c)
si adems de la resistencia del aire hay una fuerza aplicada al peso
de 80 sen 2t. El peso W del objeto es 19.6 y.como W = mg, la
masa
w 19.6 m = - = - = 2kg g 9.8a) Sea x el alargamiento del
resorte, por la ley de Hooke Fr este caso: F r = 4 N para x = 0.5
m. Entonces Adems
= kx;
en
k-~ - 8. - 0.5 Fb
=O y
F(t)
= O.dt
d2 x La ecuacin del sistema es: m - 2o sea cuya solucin es: x =
el eas 2t
=x"
kx
+ 4x = O
+ e2 sen 2t.
Aplicando las condiciones iniciales : cuando t = O, x = 1 Y x' =
O se obtiene el 1, el = O. Por tanto: x = eas 2t representa un
movimiento
=
oxmnico de amp1 itud 1m,
2n + perio d o: 2
= n seg
' y f recuanCla:
~- := !.- =2rr. rr
0.318ciclasj segunda
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OSCILADORES
291
b) En este caso, la ecuacin es:
d 2x dx m--= - kx - 8 dt 2 dtX"
+ 4x' + 4x =
O
cuya solucin es: x
= e- 2t (el + e2t).
Aplicando de nuevo las condiciones iniciales:
x
= e _2t (1 + 2t)
El factor de amortiguamiento es e-l!. c) En este caso, tenemos
la ecuacin:
d'x dx m-- = - 8x+80 sen 2t - 8 dt" dt' x" = - 4(x - IOsen2t) -
4x', x"Su solucin es x
+ 4x' + 4x = 40 sen 2t. + Xp,donde:XpXh
=
Xh
= e- 2t (el + C2t)' y
= -
5 cos2t.
Para las condiciones iniciales dadas:
x = e- 2t (6
+ 12t)
- 5 cos 2t,
La partee- 2t (6 + 12t) representa un movimiento transitorio y-S
cos 2t es el movimiento estable.
Ejercicios 5.2l. Un resorte cuelga verticalmente; su extremo
superior est mo inferior pende una caja que pesa 196 N. Una vez
tira de la caja hacia abajo hacindola desplazar 0.25 m biendo que k
= 80 N/m y que la resistencia del aire fijo y del extreen
equilibrio se y se suelta. Saes despreciable,
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292
APLICACIONES
DE LAS ECUACIONES
DE SEGUNDO
ORDEN
hallar: a) la ley del movimiento de la caja y b) el tiempo
necesario para que la caja se mueva desde la posicin inicial hasta
0.0625 m por debajo de la posicin de equilibrio.
Respuestas: a) x = (cos 2t)j4b) t
= 0.659 segundos.1 suponiendoque hay una resistencia del
aire:
2. Resolver
el problema a) de vj4 y b) 4v.
Respuestas:
a) x = e-1/160t(0.25 cas 1. 996t
+ 0.00078 sen 1.996t)
3. Una masa de 98 N de peso se cuelga de un resorte con lo que
ste interrumpe su estado de reposo. Sabiendo que ~ = 4.9 N/m,
hallar el movimiento de la masa si al soporte del resorte se le
imprime una fuerza de y = sen..J2i, t metros.
Respuesta: x =
- 0.7.J2i 0.49 - 2g
sen O.7t
+
0.49 0.49 - 2g
sen-l2it.
4. Se suspende
una masa de 10 kg de un resorte, el cual se alarga 0.6533
metros. La masa se pone en movimiento desde la posicin de
equilibrio con una velocidad inicial de 1 m/ seg dirigida hacia
arriba. Hallar el movimiento resultante si la fuerza debida al aire
es de 80v newtons.
Respuesta:
x
= (e-51
-
e-31)j2.
5. Supongamos que al sistema del problema anterior se le aplica
una fuerza externa: I(t) 10 sent. Hallar el movimiento resultante
de 'la masa.
=
Respuesta: x = - --
9
20
e-31
25 + -52
e-51
+ --1
130
(7 sent - 4 cost},
6. De un resorte que tiene una constante k = 50 se suspende un
peso de 49 N. El peso se pone en movimiento desde el reposo,
estirndolo 0.98 metros hacia arriba de la posicin de equilibrio y
aplicando una fuerza externa f(t) = 10 sen 2t. Si no hay
resistencia del aire, hallar el movimiento del peso.Respuesta:
x
=-
0.98cos
foil -
0.21 sen .,yot
1 + -sen2t. 3
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CADA LIBRE Y LEYES DEL MOVIMIENTO
293
7. Dos pesos iguales estn colgados del extremo de un resorte. Si
uno de ellos se desprende, hallar la ecuacin del movimiento del
otro peso. Sugerencia: x(O) b.
=
Respuesta:
x
= b GaS
/'f;
t.
8. Una cadena de 8 metros de longitud se desliza sin rozamiento,
desde unsoporte hacia abajo. Si el movimiento se inicia en el
momento en que la cadena cuelga 1 metro del soporte, hallar el
tiempo que tardar en deslizarse toda la cadena.
Respuesta: t
= 2.49
segundos.
9. Se cuelga de un resorte una masa de 2 kg, de tal manera que
el resorte Se alarga0.6125 metros. A esta masa se la aleja (aparta)
de su posicin de equilibrio jalndola 1 m hacia arriba y se la
suelta. Hallar el movimiento resultante de la masa, sabiendo que
hay una resistencia del aire de 16v
Respuesta: x = e - 4 ' (-1 - 4t).10. Un resorte cuelga
verticalmente. En su extremo libre se coloca una masa de m kg. Si
la masa se mueve con velocidad Va m / seg cuando el resorte est sin
alargar, hallar la velocidad en funcin del alargamiento.
Respuesta: v 2 = 2gx - -
kX2
m
+ va
2
Cada libre y leyes del movimientoSe va a considerar la cada
vertical de un cuerpo de masa m que est afectado por dos fuerzas:
la aceleracin de la gravedad y la resistencia del aire proporcional
a la velocidad del cuerpo. Suponemos que tanto la gravedad como la
masa permanecen constantes y que la direccin positiva es hacia
abajo. Por la segunda ley de Newton:
dv F = ma = m --. dt
g
= 9.8 m / seg
La fuerza de la gravedad dada por el peso w del cuerpo es: w =
mg, donde2
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294
APLICACIONES D- LAS ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN
La fuerza debida a la resistencia del aire es - kv, k ~ O,
negativa por ser opuesta a la velocidad; k es la constante de
proporcionalidad. Entonces la fuerza neta sobre el cuerpo es:
F= mg - kvo sea
dv m - - = mg - kv dt
de donde
Tt+
dv
k m v=g,
es la ecuacin del movimiento del cuerpo. Si la resistencia del
aire es despreciable, entonces k O Y la ecuacin es:
=
-=g.
dv dt
La velocidad lrrte se define as:
VI
=
:g .
Si la resistencia del aire no es proporcional a la ve10cidad
sino al cuadrado de la velocidad u otra relacin, entonces las
ecuaciones deben modificarse.
EJEMPLO 1 Un paracaidista junto con su paracadas cae partiendo
del reposo. El peso total es w kilogramos. Sobre el sistema acta
una berza debida a la resistencia del aire que es proporcional a la
velocidad. Si la cada es vertical, hallar : a) La ecuacin del
movimiento. b) La ecuacin con los siguientes 98 kg, Y k 10. datos :
w
=
=
kv/
w=mg
c) La distancia recorrida por el paracaidista. a) La fuerza neta
e3:
F = mg - kv
Figura 5.2
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CADA LIBRE Y LEYES DEL MOVIMIENTO
295
de donde
dv m-- =mg-kv dt k
y -. +- v g es la ecuacin diferencial del sistema con las con
di_ dt m ciones siguientes: para t O, v O.
dv
=
=
=
La solucin de esta ecuacin es: mg v = - - (I - e- ktjm ) k b)
w
= mg = 98 kg.
Entonces m
98 = -= 10 kg, g = 9.8 m/seg 9.800,
2
: . v = 9.8 (1 - e- t ), cuando t ~dad lmite constante. c) Como
vdx = dt
v se aproxima a mg que es la velocik
tenemos:dx
mg = -(1 k
e- ktjm ) dt
Con condiciones iniciales: x
= O para t = O.
y para los datos del inciso b):
x
= 9.8 (t + e-
t
-
1).
EJEMPLO 2 Una partcula se mueve a lo largo del eje x segn la
ecuacin:d 2x dx -+9-+20x=0 df dt
A partir de un punto a 2 m a la derecha del origen, la partcula
en el tiempo t Oseg se dispara hacia la izquierda con una velocidad
v = 12 m/seg. Hallar:
=
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296
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN
a) El tiempo en que la partcu la pasa por el origen. b) El
desplazamiento mximo negativo. c) La velocidad mxima (posit iva).
Solucin: La ecuacin auxiliar correspondiente a esta ecuacin
diferencial de segundo orden con coeficientes constantes es:
A2con races Al
+ 9A + 20 = O5.
=-
4, A2
=-
Por tanto, las ecuaciones del desplazamiento y de la velocidad,
son:
Encontramos los valores de el y e2 mediante las condiciones
iniciales; aSI: para t = O ~ x = 2 Y tambin para t
=O ~ v =-
12,C1 -
_? -
- 12= - 4c- 5c 2
e2
= 4.
a) Cuando la partcula pasa por el origen: x
= O. Entonces :
4e- S !1 ffitlltip licando por _ 2
= 2e -
4!
eS!
t = ln 2 = 0.6931 segundos.b) El desplazamiento mximo negativo
se dar cuando v
= O.
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CADA LIBRE Y LEYES DEL MOVIMIENTO
297
Entonces:
Be- 4t
= 20e- 5t ~ t = ln 2.5. x = - 2e- 41n2 .5 + 4e-51n2.5 = - 2
(2.5)_4 + 4 (2.5)-5= _X
(2.5)-50.01024 m.
=-
c) La mxima velocidad se tendr para:
- - = - 32e- 4t + IODe- sl =JOOe- SI
dv dt
O
= 32e- 41
de donde Entonces
t
v
=
= In (25/8).
n2S j8 8e- 41n (2S j8) _ 20e- S1
_ _4 - 20 (25) -s _8 (25) 8 8
= 5(25 / 8)-Sv
=
0/)]677 m / seg.
Ejercicios 5.31. Hallar el ti empo necesario para qu e un cuerpo
ca iga a la Tierra desd e la a ltura de 400000 kilm etros si la
altura se mide desde el centro de la Tierra y sabiendo qu e su
radio es 6400 kilme tros aproximadamente.R es puesta: y2y"
=-
k, t
= 122d 2x dt2
horas .
2. Una partcula se mueve a lo largo del eje .r de acuerdo con la
' ley :
-
+ 4 - + 13.r =dt
dx
O
Si esa partcula empieza su movimi ento en .r O, con una
velocidad inicial d e 6 metros por segundo hacia la izquierda,
hallar : a) :r en funcin de t. b) Los tiem pos en qu e se producen
las paradas. Respuestas: a) .r = - 2e - 21 sen 3t. b) t = 0.33
=
+-
nn:
3
radi anes, n = 0,1 ;'!,3, .. .
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298
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN
3. Una partcula de masa m se mueve por el eje x con una fuerza
de repulsin que es inversamente proporcional al cubo de la
distancia desde el punto Xo al origen. Determinar la ley del
movimiento.
4. Un cuerpo de masa m cae desde cierta altura con una velocidad
v. Durante la cada, el c uerpo experimenta una resistencia que es
proporcional al cuadrado de ola velocidad. Hallar la ecuacin del
movimiento.m Respuesta: x = - In cosh
k
fIg-
m
t.
5. Si en el problema anterior m
4 kg, g 9.8 m l seFf, k 3.673. Hallar: a) la velocidad al cabo
de dos segundos. b) El tiempo necesario para caer a una distancia
de 8 metros.
=
=
=
Respuesta: v
= 3.26mlseg, t = 2.68
segundos.
6. Un hombre y su barca pesan 98 kg. La fuerza ejercida en la
direccindel movimiento es 4.9 kg y la resistencia al movimiento es
igual al doble de la velocidad. Determinar: a) la velocidad 20
segundos despus de que la barca haya empezado a moverse. b) La
distancia recorrida al cabo de esos 20 segundos.Respuesta: a) v
= 2.4 mlseg, x = 36.97
metros.
Circuitos elctricosSe puede establecer la siguiente analoga
entre un sistema mecnico y un circuito elctrico : Sistema mecnicod
2x dx m- 2 kx - b - + F(t) dt dt Desplazamiento: x dxldt Velocidad:
v Masa : m Amortiguamiento: b Constante del resorte: k Fuerza
externa: F(t)
Circuito elctricod 2q dq 1 L= - R - - - q + E(t) df dt c Carga:
q (culombios) Corriente: 1 = dqldt (amperios) Inductancia: L
(henrios) Resistencia: R (ohmios) Capacitancia: C (faradios)
Voltaje aplicado, fem, E(t) (voltios)
=-
=
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CIRCUITOS ELCTRICOS
299
Tendremos presentes las siguientes leyes: Segunda ley de
Kirchhoff : la suma algebraica de los cambios de potencial en el
recorrido de cualquier malla de un circuito es cero. Es decir: el
voltaje aplicado en un circuito cerrado es igual a la suma de las
cadas de voltaje en el resto del circuito. La cada de voltaje a
travs qe la resistencia es: IR. La cada de vohaje a travs de la
induct;lllcia es: L dI. dt La cada de voltaje a travs del
condensador es: - q. e1
EJEMPLO 1 Un circuito tiene una fem R 100,e- st voltios, una
resistencia de 10 ohmios y una capacitancia de 0.02 faradios. Si
q(O) = O, hallar : a) la carga y la intensidad de la corriente en
cualquier instante t, b) carga mxima y el tiempo necesario para
obtener la carga mxima. Voltaje proporcionado E = JOOe- St R
=
Cada de voltaje en la resistencia IR = 101. Cada en el
condensadorq/ c
= 10
E
=
q / 0.02
=
50q.
a) Por la segunda ley de Kirchhoff:10 1
+ 50q =
JOOe -
st
,
como 1 = dt
dq
C = 0.02 F igura 5.3
entonces:
dq 10 dto
+ 50q =
JOOe- St
-dt + 5q =
dq
lOe- St con q(O)
'
=
cuya solucin es : q
= lOte - Sto
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300
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN
La intensidad de la corriente es I dq 1= dt
dq = -, dt
es decir:
= lOe-S! - 50te- S! = lOe - SI (] -5t)
dq b) La carga mxima ocurre cuando : dt entonces: lOe - 51 (1 -
5t) Para este ti empo, la carga es:q
=O
= O, t = 0.2 segundos
= 2e- 1 = - = 0.735 culombios.e
2
EJEMPLO 2Un circuito consta de una inductancia 1 = 0.25 henrios,
una resistencia R =] ohmio, una capacitancia e = 0.2 faradios, una
fem E = JO sen 2t voltios y un interruptor k. Hallar: a) la ecuacin
diferenoial de la carga en cualquier momento t . b) La carga y la
intensidad de la corriente en t si al cerrar el interruptor en t =
O, la carga es nula. Cada en la resistencia IR Cada en la
inductancia dI dI L - - = 0.25 - - o dI dt Cada en el condensadorq
q -= =5q. e 0.2
= 1.e= 0.02
E
1
= 0.25
Figura 5.4
a) Aplicando la segunda ley de Kirchhoff: dI 1+ 0.25dI
+ 5q
= lOsen2!
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ClHCUITOS
EU: ~CTHICOS
301
Como /
dq = -dt '
d 2q entonces: 0.25 - dt 2 d 2q dt2
+ -- + 5qdt
dq
= 10 sen 2t
o
- - + 4 - - + 20qdt
dq
= 40 sen2t,SI-
es la ecuacin diferencial que rige a este circuito, con las
condiciones guientes: en t 0, q 0, / O.
=
=
=
b) La solucin
Ch
es:qh
= e- 2t (el Gas 41 +
C2
sen 4t),
La solucin
Cp
es:
qp
= - GOS 2t + 2 sen 2t
y la solucin general es: q = e-U (el Gas 4t
+ e2 sen 4t) -
Gas 2t
+ 2 sen 2t.
Que para las condiciones inicial es dadas queda: q = e- 2t
(eos4t - 1?
sen4t) - c;as2t
+ 2sen2t.
La intensidad .de la corriente es: 1 = dq j dt ; entonces :
/ = e- t (-
3 sen 4t - 4 Gas 4t)
+
2 (sen 2t
+
2 cas 2t).
La parte transitoria de q y de 1 es: qh yq' h Y la permanente
es: qp y q' p.
Ejercicios 5.41. Un circuito consta de una induGtaneia de L =
0.5 henrios, una resistencia R 20 ohmios, un condensador cuya
capacidad es e 0.0025 faradios y una f em E 100 voltios. Hallar la
carga y la corriente, sabiendo que en t O, q O e 1 O.
= =
=
=
=
=
Respuesta: q = 0.25 [e-"Ot (- ca~ 20t - sen 20t) 1 10 e- 20t sen
20t.
=
+ 1},
2.
Un circuito elctrico consta de una induGtancia de L 0.2 henrios,
una resistencia R 4 ohmios y un condensador de e 0.01 faradios.
Hallar la
=
=
=
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302
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN
carga q y la corriente 1 en la tiempo t, si en t 1 = - 1
amperio.
= O, q = 0.5 culombios e
Respuesta: q = e- lOt (0.5 cas 20t + 0.2 sen 20t), 1 e- lOt ( -
12sen20t - cas20t).
=
3. Resolver el problema 1, sabiendo que la fem aplicada es
ERespuesta: q1 = -[e 65_ 20t ( -
= 50 cas lOt.
.
7 cas 20t - 9 sen 20t)
+7
cas 10t
+4Respuesta 1
sen lOt]. sen 20t-40 cas 20t)-70 sen 10t
1 = -[e-~Ot (320
65
+ 404. Un c ircuito tiene L
cas 10t].
10 hernios, R 90 ohmios, e 0.005 faradios y un voltaje E = 500
sen t. En t = O no hay carga en el circuito, pero s hay una
corriente inicial de 0.5 amperios, hallar la carga del condensador.
R espuesta: q9 = -(16ge 4424t -
=
=St
=
11ge -
)
25 + -(221
9 cas t
+ 19 sen t).
Flexin de vigasConsideramos vigas horizontales a aquellas que
son uniformes en forma y material. El eje de simetra (lnea
punteada) se llama curva elstica y su ecuacin da informacin acerca
de la flexin de la viga producida por su propio peso y por cargas
externas. En mecnica se demuestra que el momento de flexin de todas
las fuerzas exteriores que actan sobre la viga est dado por:
M= El R
--- ---- - ---- -- --oFigura 5.5
Donde E es el mdulo de elasticidad de Young que depende del
material y del diseo de la viga, 1 es el momento de inercia de la
seccin transversal de la viga en x, tomado con respecto a una lnea
horizontal que pasa por el centro
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FLEXIN
DE VIGAS
303El se llama rigidez a la flexin y es
de gravedad de la seccin. El producto una constante. R es el
radio de curvatura de la curva elstica con ecuacin:
[1 + (y'/P/2 R=-----y"
~---t!----~xFigura 5.6
Como y' en todos sus puntos es muy pequea, 1 R=~ y" de ah que:
M
entonces:
= Ely".suma algebraica de los molas fuerzas hacia arriba dan
momentos negativos, el eje el eje x se llama flecha de
El momento M en la seccin transversal es la mentos de las
fuerzas exteriores. Suponemos que momentos positivos y las fuerzas
hacia abajo dan y se toma positivo hacia arriba. El desplazamiento
y de la curva elstica desde la viga.
EJEMPLO
1
Viga simplemente apoyada. Una viga uniforme, de longitud 1 5
metros, apoyada segn se muestra en la figura 5.7 se flexiona bajo
su propio peso, que es de w = 2 kgjm. Hallar la ecuacin de la curva
elstica.
=
I~/ZZZZZZVZZZZZ~/.~
Figura 5.7
y
x O wl 2
~~
l-x
Qwl 2
x
P wx Figura 5.8 .w(l-x)
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304
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN
Como la viga est simplemente apoyada, cada extremo soportar la
mitad wl del peso de la viga: - = 5. 2 Tomando un punto P a una
distanc:ia x del origen, observamos primero las fuerzas qu e actan
a la izquierda de P:wl2
Una fuerza hacia arriba:
Una fuerza hacia abajo wx en el centro de OP; entonces el
momento total de flexin en P es:M
= - x - wx (- ) = - x - 2 2
wl
x 2
wl
wX2
2
Para demostrar Cjue el momento flector en P es independi ente
del segmento estudiado, vamos a ver Cju pasa en PQ. Hay dos
fuerzas:wl Una fuerza hacia arriba - a una distancia 1- x de P.
2
Una fuerza hacia abajo w(l - x) a una distancia - -- de P. 2
l-x
Entonces:M
= 2
u;!
(1 -
(l-x) x) - 1(;(1 - x ) - -
2
y
M = wl x _
2
~r2
(igual que antes)
Sustituyendo el valor de M en la ecuaClOn M E/y", teni endo en
cuenta que y O cuando x O Y cuando x = l, tenemos :
=
=
=
E/y" .
= wl x_ 2
1(' X 2.
2
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FLEXIN DE VIGAS
305
Integrando:
, wl 3 w 4 E/y = - x - - x12 24
+ex+c1 3
2
.
Para las condiciones dadas
C2
wl = 0, = - -. 24el
Por tanto:y
.
= -~ (- x 24EI1 12E/
4
+ 2lx
3
-
[3x)
y en particular para este caso:Y
.
= - - (_x 4
+ 1Ox
3
-125x).
EJEMPLO 2Viga cantilever. (Apoyada en un extrelllo y libre en el
otro.) Una viga uniforme de longitud l = 5 metros y con w = 2 kg/m
tiene libre un extremo. Hallar la curva elstica y la flecha del
extremo libre.
!I
x
----t------==========----------~------_--+x
o
...
l-x
Qw(l-x)Figura .5.9
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306
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN
Para calcular M es ms sencillo estudiar el segmento a la derecha
de P, en el que acta la fuerza w(l- x): M
=-
l-x w(l- x) ( - - ) 2
= -w -(l-xy = 2Ely", tenemos:
(5 - xY.
Sustituyendo en la ecuacin: M
=
" - w(l- xy E/y = 2 ''con las condiciones siguientes : cuando x
= 0, y = la tangente y' = O. Integrando:
y la pendiente de
Ely'
w 1 =. - (1- xl + el 2 3e l = -W -13
Para x
= 0,
y'
= 0,
entonces
6
Integrando de nuevo:
w (l - x )4 - W Ely = - 24
Z3
6
x
+ e2
Para x = 0, y = 0, entonces
e =2
_
w
24
l4
y
Ely = _y
W
(l _
24W
xr _ 6 f3 x + 24W W
l4
= - - (- x 4 + 4lx3 - 6f2x!).24El
La flecha ser la deformacin mxima que ocurre cuando x = 1,Ymax
-
_
-
--
W
1 4
8 El
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FLEXIN DE VIGAS
307
En particular, para este caso, la curva elstica es:Y
= - - (12EI 625
1
X
4
+ 20x3 -
150r)
y la flecha:
Yma..r
= 4EI - hacia abao.
EJEMPLO 3 Una viga horizontal de 8 metros de longit.ud est
empotrada en un ex~ tremo y apoyada en el otro. Hallar: a) la
ecuacin de la curva elstica si la viga tiene una carga uniforme 4
kg/ m y soporta un peso de 100 kg en el punto medio. b) El punto en
el cual la flecha es mxima.
y
i 1 .1---------- l-x--------_~I 1 a; para toda n,
~ L a;11=1
diverge.
I) Criterio
de comparacin por limite.
Sean ~an y ~bn dos series de trminos positivos.
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324
RESOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
1) Si ltm n -+t;lJ b nan
, an = c > O
~
Ambas series c onvergen o ambas divergen.
2) Si lm - = O Y si n -+CQ b n
n =l
L
'"
b n converge,
~
n =l
tan converge.I
an 3) SI ltm n -+~ b n
= +
00
y si
n =l
L00
b n diverge,
~
n =l
tandiverge.an una serie
g) Criterio de la razn o cociente. Sea
n =l
t
y lmn --+-.r..
I I=an1
an
+
L
~
Si L
< L >L
1 la serie converge, 1 la serie diverge, 1 no hay informacin
acerca de la convergencia o diverge ncia.
=
Definicin 6.2. Una serie alternante es de la forma: t(-lt+1an=a1
- a2+ ... + ( - lt+1a n +n =l
Pruebas de convergencia de las series alternantesa) Para que una
serie alternante sea convergente deben cumpHrse:1) lm ann ....
"
=
O y,
b) Prueba de la razn, la cual -da convergencia absoluta.
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PRUEBAS DE CONVERGENCIA DE LAS SERIES
325
Clases de convergencia'" Si L:n=l
(-
Ir+
1
a n converge
y
t lanl110:::1
tambin converge,1
~Si
t (- 1r+
an es absolutamente convergente.
n =l
t (- Ir+lanl
1
a n converge
y
n=1
t
diverge1
~
n :: 1
t (- 1r+ a
n
es condicionalmente convergente.
Definicin 6.3. Una serie de potencias es de la forma:
(alrededor de x
= a, = O,
segn Taylor), o11,=1
t
C n Xn
(alrededor de a
segn Maclaurin).
Convergencia de las series de potenciasTeorema 1. Sea~
t11, ::: 0
cnxn una serie de potencias
exactamente se cumple una de las tres:
1. La serie converge solamente cuando x = O.2. La serie es
absolutamente convergente para toda x E: R (Reales).
3. Existe un nmero R
O tal que la serie es absolutamente convergente para todos los
valores de x tales que IXI < R Y diverge cuando Ixl > R. R es
el radio de convergencia de la serie.
>
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.'326
RESOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
Definicin 6.4. El intervalo de convergencia absoluta es el
intervalo abierto que contiene los valores de x para los cuales la
serie de potencias converge.El conjunto de convergencia absoluta es
la totalidad de los valores de x para los cuales la serie de
potencias converge, es decir, consta del intervalo abierto ms los
extremos del mismo, en caso de que tambin la serie converja en
ellos. El radio de convergencia es la mitad de la longitud del
intervalo abierto de convergencia absoluta.
FORMA DE ENCONTRAR LA CONVERGENCIA DE SERIES DE POTENCIASPrueba
de la razn:
Se toma L
oo n+1 lm(- -t=e n-->oo n + 1n In (- - ) n +11
_1 _((n + + Jf n)1) n (n
' ---l lmn-4 C(1
=e
n
= e
, n + 1 tm - - - -- - - - 1 1
=e
n-->",
lim ~ (~) n-->oo IIm(- ~-) n +1
n2
=e
1
lm ( - 1)
=e:. Ixllm (_Haciendo
= e-
I
n--> oo n
+ 1rn _
_ lm _1_ = n-->., n + 11 ~
Ixl e-lO
Ixl O oo
211mn -->oo
1+ - + - + 3n n" n
3
n " lmJ 13
+~ n
21 (l) (l).1,
:. Ix - 21 Yn -n3
n
3
+
.~
1
~Vn .LJ - - converge. 3 n=l n + 1
:. el conjunto de convergencia es [1 , 3].
EJEMPLO 5Hallar el radio de convergencia de la serie:
lmn -+oo
1-----1 = e 1/ n xn+l= Ixl (1)1
e1 j{n+l ) xn+~
Ixllm e1j{n+l) - ljnn~ CX)
=~
Ixllm e-1jn(n+l)n -->",
Ixl oo
(n
+ 1) 3
I
+ (x - sr
= ~3.~
Ix -
Sllm _n_ =n-> oo
n
+1
~ Ix - SI (1),3
3'lx - SI
l. ( 1)
Sea kl e" ~ (k
> k":'1)1 ek+1
+
> (k +
1)\ ser cierto?
(2)
El trmino por el cual multiplicamos (1) para obtener (2) en el
primer miembro es (k + 1)e; por qu cantidad debemos multiplicar p-l
para que resulte (k + 1]k?
p_1 (x) = (k + 1]k,Para que (k
(k + 1]k x=---=(l p_l
+-Yk k1 es creciente; pues de
1
+ l)e >
(1
+ -yk
1
k, vemos si (1a e.
+ -yk
ser as har una convergencia Una sucesin es creciente si (1
+
1
k
+
1
y+' > (1 + -yk
1
para toda k.
Vamos a verificarlo.
Comparemos:
(1 k+2 k+1 k+2 k+1
+ __1k
+
]k+l 1
?
(1 +-]kkk
1
k )
(
)
(
?(
k+1 --k- , pero)
k+2 k+l --- O.
EJEMPLO 1 Encontrar los puntos ordinarios de:X (X2 -
1) y"
+ xy' + (x + 2) y =
O
Primero estableceremos cules son exactamente las funciones f(x)
y g(x), dividiendo la ecuacin entre x (X2 - 1):"
y
+ X2
_1_, - 1Y
+ x(X21)
x+2 -O - 1) Y -
donde f(x) =
r _1
1
Y g(x)
x+2X(X2 -
f(x) no es analtica en x = g(x) no es analtica en x
+1
= O, x = + 1
. '. los puntos ordinarios de la ecuacin diferencial dada son
todas las x E: R, excepto x = O Y x = 1.
EJEMPLO 2 Ser xf(x) =
= O un punto ordinariox5 5/
de la ecuacin xy"
+ ry' + (sen x)y = O?
r =x
x analtica en todos los R,
sen x 1 x3 g(x) = - - = - ( x - x x 3/X2
+ - - - + ... )7/
X1
=1--+---+ 31 51 71tambin es analtica en todos los R, ... los
puntos ordinarios de esta ecuacin son los Reales.
x4
x6
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PUNTOS NOTABLES
353
Definicin 6.7. Punto singular de la ecuacin diferencial:y"
+ f(x)y' + g(x)y =
O
es aquel punto xo, en el cual, al menos una de las funciones
f(x) y g(x) no tiene representacin en series de potencias de x -
xo. Se observa, por lo tanto, que un punto singular es un punto no
ordinario.
EJEMPLO 1El puntoXo
= O es un punto singular de la ecuacin diferencial:y" +x(lnx)y'
=0,
porque la funcin ln x no tiene una serie de potencias que la
represente, en cero.
,EJEMPLO 2Hallar los puntos singulares de:X2(X -
l)y"
+ X3(~ -
l)y'
+ xy =0
f(x)
=
x3(x2-1) ~ (x _ 1)
= x (x
+ 1)1
es analtica para toda x,
x g(x) = -----:---~ (x - 1)
- - - - - no es analtica en O y 1, x (x - 1)
. '. los puntos singulares son x = O Y x = l .
Vemos que los coeficientes polinominales darn puntos ordinarios
en donde las funciones estn definidas y puntos singulares en donde
no lo estn.
EJEMPLO 3Dada xy"g(x)
+ (cos x) y =
O, tendr algn punto singular?
cos x , = --no es anahtica en x = O x Por lo tanto x = O es un
punto singular y todos los puntos x =1= O son or-
dinarios.
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354
RESOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
EJEMPLO 4 La ecuacin de Cauchy-Euler : ax2y"
+
bxy"
+
cy
=O
donde a, b, e son constantes, tiene un punto singular en x ya
que f(x)
=O
b = -ax
y g(x)
e = -ax 2(reales o complejos)
no estn definidas en x son puntos ordinarios.
= o. Todos los dems puntos
EJEMPLO 5 La ecuacin de Bessel: x2y" gular en x = o.
+ xy' + (r -
d) y
= O tiene
un punto sin-
EJEMPLO 6 La ecuacin de Legendre: (1 - r) y" - 2xy' puntos
singulares: x l.
=+
+ n (n + 1) Y =
O tiene dos
Definicin 6.8. Punto singular regular. Dada la ecuacin:y"
+ f(x) y' + g(x) y =
O,
el punto x = Xo es singular regular si las funciones (x - xo)
f(x) y (x - xof g(x) son analticas en x Xo.
=
NOTA : Basta que lo sean en una vecindad de xo. Se trabajan como
un lmite. Si estas nuevas funciones no tienen representacin en
series de potencias, entonces x = Xo se llama punto singular
irregular. EJEMPLO 1 Los puntos singulares de: x 3 (r - 9) y" x -3,
x OYx 3; de ellos, slo x dos son si.tl-gulares regulares.
=
=3
=,
+
= O es singular irregular los otros
(x
+ 3) y' +
(x - 3y Y
=
O, son
Si f(x) =
1 x (x - 3)
g(x)
= - --~(x+3)
(x - 3f
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PUNTOS NOTABLES
355
Para x = -3
(x
+ 3)f(x) =
X3(X _
x+3 3)'
(x
(x - 3)2 (x + 3) + 3y g(x) = - - - - x3
ya son analticas en x = -3. Similarmente para x = 3. Sin
embargo, en x = O no son analticas:
xf(x),
=
1X2
(x _ 3) ,
X2
g(x)
(x - 3]2 =--x (x
+ 3)
EJEMPLO 2(x -
1/ y" + y' + y =
O
Sean f(x) =
1
(x -
q
, g(x) -
1
1 -(x - q
El punto x =1 es singular irregular, porque:(x - 1) f(x) =x
-1y
(x -
q
g(x) = 1;
aunque g(x) s es analtica en x = 1, como f(x) no lo es, la
ecuacin no es desarrollable en potencias de x - l.
EJEMPLO 3x4 (2ry"
+ 9xx3 (2x 2
- 5) y"
+ xy =Y
OO
+
+ 9x
1
- 5)
=
f(x) = O g(x)
= x3(2r + 9x 1
1
5)
=
1 1 x 3(x - - ) (x 2
+ 5)
x x
= - y x = -5 son puntos singulares regulares2
= O es un punto singular irregular.
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356
RESOLUCIN
DE ECUACIONES
DIFERENCIALES
MEDIANTE
SERIES
Ejercicios 6.4Encontrar los puntos ordinarios, de las siguientes
ecuaciones: singulares regulares o singulares irregulares
Respuestas:
1. xy"
+ (x
-
1) y'
+ x2y = O
x = O singular regular x =F O ordinarios x = O, x = 1 singular
regular x =F O, x =F 1 ordinarios
2. X2(X - 1) y" + xy' = O3. (x
+ 1'1 y" +
xy'
+
ry
=O
x -1 singular irregular x =F -1 ordinarios
=
4. x2y"
+ eXy' + y = O + xy' + (sen. x)y = O + X3y' + (sen + 2)y"x)y
x = O singular irregular x =F O ordinarios00
5. xy" 6. x2y"
O
~
y(x)
=Ln=o
.,
cn(x -
xot
en el mismo
intervalo.
4. EXISTENCIA
DE UNA SOLUCIN ALREDEDOR DE UN PUNTO SINGULAR REGULAR
Sea y" + f(x) y' + g(x) y = O una ecuacin diferencial con un
punto singular en x Xo, entonces siempre existe al menos una
solucin de la forma:
=
y(x) Que converge Mtodo para en: O
42. Probar que 2'{t 1 / 2 } = - 3 -2 2S /
yn
Sugerencia: usar el resultado anterior.
43. Probar que 2' {t - 1/ 2 }
=~,5 2 /
s> O.
44. Probar que 2' W/2 }
3yn =-o 4S
En los siguientes problemas encontrar f(t) dada su transformada
de Laplace F(s), donde f(t) = 2' - l{F(s)} .
Respuestas:45. F(s)
=
1/ s2
f(t)
=t
46. F(s) =S3
2
f(t) = f f(t)1 1 =r 6
47. F(s) =S4
1
48. F(s) = - - - S2 S
1
+1
f(t)
=t -
e- t
49. F(s) = (s
+ 2/S3 S5
f(t) = 1
+ 4t + 2t
2
(s - 3/ 50. F(s)= - - -
f(t) = 1 - 12t +27f -lBt3t = 1 - 3t f()
+ 27 tB
4
51. F(s) =
-~S4
(s
- 1/1
+-
3
1 t2 - - t 3 2 6
52. F(s) = - - S3
2
s
+ -s -1- 4
f(t) = t 2
-
1 + e4t
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44853. F(s) = 7 + 54 . F(s)1
TRANSFORMADAS
DE LAPLACE
-;- + s + 9 + s+ --31 _ 24S3
6
1
f(t)=-t2
122t
+ 6 + e3t -
9t
= -s-2
1
f(t) f(t)
= e + e= !.- e2tj33
12 t2
55. F(s) = 3s _ 2 56. F(s)
1
= 4s +1
1
7
1 f(t) = - e=t'" 4
57 F(s) =. -.
2s - 1
+2 s1
3
f(t)
=
.!.-
etj2
+ 3t1
23(s
58. F(s) = 59. F(s) 60. F(s)61. F(s)
1 3(s -1) 1 4s _ 1
+
+
1)
f(t)
= _et + _e-t3 3
1
=
+
1 4 (s - 1) f(t)
f(t)
= - etj4 + - e'4 4
1
1
=
2s2s2
+ +
1
= Gas-tf(t)
.
V221 3
1 9s2
1
1 = -sen-t 3
62. F(s)
=
s 6s2
+41 1
1 2 f(t) = - Gas ~t 6 y6 f(t)
63. F(s)
= 25s2 _4s
=- senh1
1 5
t 5
64. F(s) = 4s2 _ 1 65. F(s)
f(t)
= cosh - t2
= ~+ 4s+4
3s -
2
f(t)
= 3 Gas 2t
-
sen 2t
66. F(s) = S2 67. F(s) 68. F(s)
+3
f(t)
= Gas ~tf(t)
~ + 4--sen3
~t
= ~+9= s3j21
7s - 4
= 7 Gas 3t - .-- sen 3t3
4
f(t)
2Jf
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EXISTENCIA
DE LA TRANSFORMADA
449de Laplace.
1 69. Probar que la funcin - 2 no tiene transformadat
70. Probar que r(O) = oo, Escoger la opcin que contiene la
transformada funciones: 71. f(t) A. B.
de Laplace de las siguientes
= cos 3t - senh 3t ----S2 + 9 s s3
74. f(t) = (sea t
+ cos
ty
S2 - 93
A. (~: 1 + S2 : 1J2 S2 + 2s + 4 S(S2 + 4) S2 + 2 S(S2 + 4)C.
----s2-9 s2+9----S2 + 93S
C.
S2 - 9s
D.
----= cas22t
s S2 + 9
S2 - 9
D.
72. f(t) A.
75. f(t) = (1A. 2s
+
e-t) et
-+ s1
1
s S2 + 16s
s(s
+1 + 1)
B.
-+-S S2 + 4S2 + 2 S(S2 + 4) S2 + 8 S(S2 + 16)
B.
2s -]
s(s - 1)2s
C.
C. -s+l D. 76. f(t) A. B. s-1
+11
D. 73. f(t)
2s -
A.~[_1_ + ~ + -1_J4 s-2s
= cosh" t - senh2 t
= e-
2t
(3 cos 6t-5
sen 6t)
3s - ;4
s+2
S2 + 4s -30 S2 + 4s S2 + 4s
+ 40 + 40 + 40
B. C.
: [ s ~ 2 1
~
+
s ~ 2]
s1 48
C.
8 - SS
D.
D.
3s + 2 S2 + 4s + 40
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450
TRANSFORMADAS DE LA PLACE
Escoger la opcin que contiene la funcin f(t) que se obtiene
aplicando 2- I {F(s)} (la transformada inversa de F(s)).
77. F(s) = A. f(t)
1S
+ - - -S2-
1
= t2 + t3
3 s- 2 3 e 2t
79. 2-1 {A. B.
B. f(t) =C. f(t)
e+f1
- 3 e- 2t3 e2t
+ 4s + 8 f(t) = (sen 2t + 3 eos 2 t) ef(t) = (eos 2t + 3 sen 2
t) e- 2tS2
S
+8
}
2t
D.
+t f(t) = 1 + t =3s - 1
C. f(t)
= eos Bt e- 2t
3 e 2t
D. f(t) = eos 4t e- 2t
78. 2-1{
1
+
3 (s - 1)
2
}A. e- tl2 [sen--t 2
A. f(t)
= - e tl3 + - et3 3
1
2
Y3 + --eos--t] 1 V3V32
1 2 B. f(t) = - etl3 + _ etl3 3 3C. f(t)
B. e-t feos t
+ sen t]
= - et + - etl3
1 33
2 33
C. e- t/2 feos - - t 2
V3 + --sen--t] 1 Y3.,321 + eos-t]
1 D. f(t) = - Respuestas:
+-
2
et
D. e-t [sen-t
1
2
2
71. A. La respuesta B corresponde a f(t) = eosh 3t - sen 3t. La
opcin C corresponde a f(t) = sen 3t - eosh 3t. La opcin D
corresponde a f(t) eos 3t - cosh 3t.
=
72. D. Como eos 22t = - (1mado f(t)
=
+ eos 4 t), el error de la opcin A es haber to2 1 + eos 4 t, el
error de la B es haber tomado
1
f(t)
= 2' (1 + eos 2t).
1
73. C. Debido a que eosh 2 t - senh 2 t = 1 las opciones A y B
contemplan slo 2{cosh2 t} y 2{senh 2 t}. La opcin D contiene un
factor equivocado.
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PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
451
74. C. La opcin A aplic directamente la transformada dentro del
parntesis, en vez de desarrollar el cuadrado. La opcin B presenta
la t ransformada de sen 2t nicamente. La opcin D la de cos2t
solamente.
75. B. La opcin A representa la transformada de 1 + e-t. Las
opciones D olvidan misteriosamente la transformada de f(t j = l
.
e y
76. A. La opcin B contiene la transformada de f(t) = - 5 e- 2t
sen 6 t . La opcin C la de f(t) 3 e- 2t sen 6 t - 5 e- 2t cos 6 t
(que no es la que se pide) . La opcin D la de f(t) 3 e- 2t cos 6
t.
=
=
77. D. La opcin A tiene equivocados los dos primeros trminos. La
opcin B 1 1 3 los tres. Y la opcin C supone que F(s) = - + - - - --
o s s2 s+2 78. A. Los errores provienen de tomar la F(s)F(s)
= 3 (s 1 -
1)
+
23 (2 - 1)
o
1 =- + 3s -2 3s - 1
--o
1
79. B. La opcin A tiene intercambiadas las frmulas. Las opciones
C y D no acomodan la fraccin correctamente y por eso falta la
funcin sen 2 t.80. C.
Propiedades de la transfonnada de LaplaceAlgunas integrales se
complican mucho o se invierte demasiado tiempo en ellas, aunque
sean sencillas; por ejemplo: 2W e t sen t}; de ah la necesidad de
usar teoremas que faciliten las operaciones. Teorema 4.
Transformada de la derivada de una funcin.
Si .ft'(f(t)}
= F(s)
~
2{f'(t)}
= sF(s) -
feO)
Demostracin:
2{f'(t)}
= So'" e-stf'(t) dt = e- st, dv = f'(t) dt, du = - se- st dt, v
= fft).u
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452
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
~
f(t) leo st e o
+ S feo e- ts f(t) dto
=-
feO)
+ s2{f(t)}D
= sF(s) - feO)
Procediendo de la misma manera, obtenemos:
2{f"(t)} = 2{f''' (t)}Generalizando:
S2
F(s) - s feO) -
l' (O)etc.
=
8
3
F(s) - s2f(0) - s 1'(0) - 1"(0),
2{f(n) (t)}
= sn F(s) -
sn-l f{O) - sn_2 1'(0) - sn-3f"(0) -
. .. -
rn-l)
(O).
Y de orden exponencial a y, adems,
Esta igualdad se cumple siempre que f, 1', 1" ... f In) sean
continuas en t ~ O en) sea seccionalmente continua en t > o.
EJEMPLO 1Usar este teorema para demostrar que: 1 2ft} =-. 28
Sea: f(t)~
= t ~ 1'(t) = 1 y feO) = O 2{1} = s F(s) - feO) = s 2{t} - feO)
= s 2{t} =1
O
Despejando: 2{t}
-2{1}s1 1D
1
s
s
s2
EJEMPLO 2Dada: 2{sent} = - - ,S2
1
+1
usar el teorema de la transformada de la derivada para obtener
2{cos t}.
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PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
453
Sea f(t)~
= cas t fet) = - sen t= s Z{cas t}
y
feO)
=1
Z{-sent} =sZ{cast} - feO) 1 -Z{sen t}oL
CO{
cas t
}
t} = -1 -Z{sen - ---'----'-
s
=:(1-S2~1)1 s2+1-1 s S2 + 1
EJEMPLO 3Demostrar que: Z {senh a t} =
aS2 _
a2
, mediante el teorema de la
transformada de la derivada.
Sea
f(t)
= senh a t,f"(t)
feO)
= O,1'(0) = a,
f(t) = a Gosh a t,
= a2 senh a t. = S2 Z{f(t)} - s feO) - l' (O) = S2 Z{senh a t} -
O - a = (i - aZ) Z{senh a t} =a::; _ a Z. . 2 --
Z{f"} Z{a 2 senh a t} a Z{senh a t}
O
EJEMPLO 4Hallar: Z{t Gas wt}. Seanf(t)
= t Gas wt,
feO)
=O
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454f(t)
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
=S2
wt sen wtGaS
+ GaS wt,
f(O)
=1
f"(t) = - w 2t~
wt - 2w sen wtS
.:&'{f"} =
.:&'{f(t)} -
feO) - feO)
.:&'{ -w2t GaS wt - 2w sen wt}
=
S2
.:&'{t GaS wt} - 0-1
- 2w .:&' {sen wt} =
(S2
+ w 2).:&' {t GaS wt}
- 1
EJEMPLO 5Resolver la siguiente ecuacin diferencial, con
condiciones iniciales:
y" -
!.... y' 22
y
=
O,
1j(0)
= O,
y'(O)
=~ 2
.:&'{y"} -
~.:&'{y'}S
- .:&'{y} = .:&'{O}
~ .:&'{y}
y(O) - y'(O) -
~ [s .:&'{y}2
- y(O)] - .:&'{y} = O
.:&'{y}
(~- ~s3
2 2 2
-1)
= sy(O) + y'(O) - ~y(O) = ~
.:&'{y} =~ -
5/2-s-1
~
.:&'-11
2
~ = y. s2-~S-1~5/2 2
Nota. Llamaremos: .:&'{y}
= Y(s).
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PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
455
Aplicando el mtodo de fracciones parciales:
5/2 A B -----=- +-1 s-2 1(s - 2) (s
B=[A=1
+ 2)
s
+21
--s-2
1
s+ =e 2t _
12e-t/2
2- 1
1-1--_1_(s- 2
s+2
1
Teorema 5. Transformada de la integral de una funcin. Sea f(t)
una funcin seccionalmente continua en t ~ O Y de rden exponencial
a, y si 2{f(t)} = F(s), entonces:
2Demostracin.
lit
f('t) d.
(= ~
2{f(t)}
=~
F(s).
Sea
G(t) =
ltd
f('t) d't
~ G'(t)
= dt Jo f('t) d't = f(t)
(t
Tomando transformada de Laplace:2{G'(t)} = s2{G(t)} - G(O)
=s2{G(t)},
de donde:
2{G}
=~2{G'}s
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456
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
= s
1"'
t e-st(i f(t) d't) dt integrando por partes:
dy = e-stdt,
du = f(t) dt;
y
= -1 _ , __S
e-a'
Tenemos : s [- : e-
st
1t
f('t) d't
1: + : Sa"'
e- st f(t) dt]
=
Sa"' e-st f(t) dt
= 2{f(t)}, F(s).~
2{G'(t)}
= F(s) = ~2{G'(i)} s= -F(s)s1 O
Pero: 2{G(t)}
EJEMPLO 6Hallar f(t) mediante el teorema de la transformada de
la integral, si F(s) = (2S S
1-
1
)
Sabemos que 2- 1
1_1_? =s2 - 1 )
senh t, entonces:
2- 1
1 ses
2
1 I=ftsenh'td't =cosh'tlt =cosht-1, - 1) o o
:. f(t) = cosht - 1.
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PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
457
EJEMPLO 7Dada F(s)
= s (s 20 3
2)
hallar f(t) usando el teorema de la transformada
de la integral de una funcin. Sabemos que !l'-1
~
2-1
Jo20 ses - 2) 20
~l = s - 2)
20e Zt ,
= (t 20e2T d't = 10e2T
I
t
o
= 10e2t _ 10,
y 2- 1
~l(s - 2)\
~
1==
i
t
(lOe 2T - 10) d't
o
5e
2T
- 1O't
I:
y 2- 1
=20
5e 2t - 10t - 5,
S3(S -
2))
l=
Jo2
r (5e 2T _ 1O't 5-2 .. - 5't
5) d't
5 e 2T = -
I
t
o
= -5 e 2t - 5t 2 - 5t - -521 = 5 ( '2 e2t 2
21\ '2).
f(t )
- t - t -
Como se puede comprobar, aplicando la transformada y reduciendo
a comn denominador, se observa que el teorema puede aplicarse
sucesivamente.
Ejercicios 7.2Usar el teorema de la transformada de la derivada
de una funcin para encontrar F(s), dada f(t):
Respuestas:
1. t sen 3t
6s
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458
TRANSFORMADASS2
DE LAPLACE
2.. t cosh. t
+11f4s
(S2 -
3. t senh 2t
(S2 6s2 (S2 2s3 (S2 6s2(S2 -
4/2
4. t2 sen t\
+q-
5. t2 Gas 3t
54s
+ 9j3 +2lj3
6. t2 senh t3t O:::;; t :::;; 1 t
7. Sea f(t) =
,ta) Hallar 2{f(t)} b) Hallar 2{f'(t)} c) Se cumple 2{f'} Dar
las razones.Respuestas: a)S2
'> 1
= s2{fl
- feO) en este caso?
~ _ e-s(~+~)sS2
b) ~_~e-s
s
s
8. Sea f(t)
=
t2 O:::;; t :::;; 1O
resto
a) Hallar 2{f(t)} b) Hallar 2 {f"} e) Justificar
2{f"}Respuestas: a) e-S
=1= s22{flS
- sf(O) ~ 1'(0)
2 (- -1 - -2 - -2) +-,S2 S3 S3
b) ~ s
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PROPIEDADES
DE LA TRANSFORMADA
DE LA PLACE
459
Usar el teorema de la transformada contrar f(t), dada F(s):
de la integral de una funcin
para en-
9.
10.
11.
12.
2- 1 2- 1 2 11 2111 1
1 4) s(s -
S2(S
1 + 3)
S(8
2
1 + 16)
8
2S2(S2
-
+ 4)- 1
I
Respuestas: ~(t4 1 +t:" + 3t-1) 9 1 - (1 - cos At] 16
-1)
1 - (sen 2t - Gas2t4
+ 1) -
2
t
13. 2-1
12sS2(S
+ 1))-
3 - t - Se='
14.
15.
2 11 2 11
S3(S
7
1)
7 (e' - ~ - t - 1)2 1 9 1 3
s2(i 3 - 9) f s+41
-senh3t 1
--t
16. 21
1
S2(S2
+ 16)
-(1 16a _ea2
- cos-tt 2
sen4t) 2 a2
+-t
4
17. 21s-aS3(S
+ a)
2
t
t 2t --+--2
a
Resolver las siguientes ecuaciones transformada de Laplace:
diferenciales
con valor
inicial,
usando
la
Respuestas: 18. y' 19. y"
+y
= O, y(O) = 1 + 4y = 2, y(O) = Oy'(O)
y Y
= e-X= -(1 - cos Zx]21
=O
20. y" - 9y = O
y (O) y'(O)
=1=O
y
= costi 3 x
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460 21. y' - 2y ",2. y"
TRANSFORMADAS
DE LAPLACE
=x
y (O)
=O
Y
= 4 (e3
1
ZX -
1) - ~1
2
+ 16y = 4
Y (O) = 1 y'(O) = O
Y =-cos4x 4
+4
En los siguientes ejercicios escoger la opcin correcta. Usando
el teorema de la transformada de la derivada, hallar F(s). 23. t2
e2t 2 A. (s - 2/ B. 2(s 1 (s 1
2/ 2/
c.
D. (s - 2/ 24. t sen 5 t. A. B. lOs (S2 + 25)2 lOs S2 + 25s
(S2
C. D.
+ 25/s
S2
+ 25
25. t2 sen2 t.A. 2S3 -
24
S
(S2 B.. (S2
+ 4l
4s
+ 4)2
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PROPIEDADES
DE LA TRANSFORMADA
DE LAPLACE
461
C.
2 S3 1 S3
2s3-24s (S2 + s3-12s (S2 +
4? 4?
D.
Usar el teorema de la transformada de la integral: 26. 2
1
1 fI (/+1t
1)
A. et-1 B. et
D. et
-
1- t
27. 2
11
s (S2 -
3
1) ~ 1)
{
A. 3 (senh t -
B. 3 cosh tC.3(cosht-1)
D. 3 senht
28. 2-
1\ S2(S2 s+l l + 4) ~41 - -sen2t)
1 A. -(t
2
1 B. -(1-co.s2t+tsen2t)4
1 C. 4(1-
cos2t)
+ 4t
1
-
8
1
sen 2t
1 D. -(1 - cos2t) 4
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462
TRANSFORMADAS
DE LAPLACE
Resolver mediante transformada de Laplace. 29. y' - y
= O, Y (O) =
7t
A. -s - 1 B. 7tet C._7t_
7t
s
+
1
D. 30. y"A.
7te-t
+ 25 y = 3, y (O) = 1, Gas 5 t + sen 5 t22 25
y' (O)
=5
B. -
Gas 5 t
+ sen
5t
+-
3
25
3 C. -(1 25
cos s t
D. Gas 5 t - sen 5 t.
Respuestas: 23. A. La opcin B contiene la transformada de 2 t
et. La opcin te2t
e
la de
La D contiene la de -
1
2
e e",10
24. A. La opcin B contiene la transformada de10
Gas 5 t. La opcin
e
la
de ~ t sen 5 t. La opcin D representa la de Gas 5 t. 25. D. La
opcin A contiene la transformada de f Gas 2 t (paso intermedio de
la correcta solucin). La opcin B contiene la de t sen 2 t (tambin
es un paso intermedio). La opcin e la de f - f Gas 2 t (ser tambin
un paso til para llegar a la solucin correcta?). 26. D. La opcin A
contiene la transformada inversa de1 s (s -
B aplic mal los lmites de la integral. La opcin errores
anteriores.
e
. La opcin 1) contiene los dos
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RESOLUCIN DE ECUACIONES USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
463
27. C. La opcin A equivoc las frmulas. La opcin B contiene la
transfor3 mada inversa de - - -o La opcin C los dos errores
anteriores. S2 - 128. C. La opcin A contiene la transformada
inversa de1 1~(~
+ 4)
solamen-
te. La opcin B tiene un coeficiente equivocado. La opcin D
contiene la des (s2
+ 4)
(la A y D son pasos intermedios).
29. B. La opcin A -representa la F(s) a la cual se le debe
aplicar la transformada inversa. La opcin C no aplic correctamente
el teorema de la derivada de la transformada y adems est
incompleta. La opcin D contiene el error de la C aunque ya est
completa. 30. B. La opcin A contiene una parte de la solucin. La
opci
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