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110 Ⅱ.방정식과부등식
4불꽃놀이의색으로원료의성분을알수있다.
밤하늘을화려하게수놓는불꽃놀이에서볼수있는여러가지색깔은어떻게만들어질까? 화려한
색깔의불꽃은마그네슘, 알루미늄등의여러가지금속의불꽃반응을이용한것이다. 불꽃반응이
란어떤물질을겉불꽃속에넣었을때그속에포함된원소에따라독특한불꽃색이나타나는반응
을말한다. 불꽃반응이일어나는금속은빛을흡수하였다가다시방출하여특정파장의빛을내놓는
데금속의종류마다내놓는빛의파장이다르기때문에불꽃반응이다양하게나타난다. 예를들어
방출된빛의파장이650 nm(나노미터) 근처이면붉은색이고470 nm근처이면파란색이다.
스트론튬(Sr)은짙은빨간색, 구리(Cu)는청록색의빛을낸다.
이단원을배우면서다음과제를해결하여보자. 114`쪽
부등식을이용하여금속의불꽃반응색을예측할수있을까?
여러가지부등식
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4.여러가지부등식 111
01●부등식의성질을이해하고, 절댓값을포함한일차부등식을풀수있다.
부등식
부등식의 성질에는 어떤 것이 있는가?
난청
현대인은스마트폰, MP3 플레이어, 인터넷강의, 컴퓨터게
임등디지털매체에많이노출되어있고, 이를이용할때대
부분이어폰을사용하기때문에난청이증가하고있다. 난청
은타인과의사소통을하는데어려움을주며, 현재효과적인
치료법이없으므로이어폰사용시볼륨을낮추거나오래
듣지않는등예방에힘써야한다.
탐구 활동 다음 표는 난청의 정도에 따라 들을 수 있는 최소 소리의 크기를 나타낸 것이다. 물음에
답하여보자.
난청의정도에따라들을수있는소리의크기 (dB: 데시벨)
1. 들을수있는최소소리의크기가 55 dB인사람의난청의정도를말하여보자.
2. 소리의크기가 x dB일때, 경도난청인사람이들을수있는최소소리의크기를부등호를
사용하여나타내어보자.
3. 소리의크기가 x dB일때, 심도난청인사람이들을수있는최소소리의크기를부등호를
사용하여나타내어보자.
생각 열기
난청정도
정상
경도
중도
고도
심도
들을수있는최소소리의크기(dB)
0이상~이상30미만
30이상~이상50미만
50이상~이상70미만
70이상~이상90미만
90이상~이상90미만
회화의이해정도
속삭이는소리까지들을수있음
소곤거리는소리는듣지못함
가까운곳의소리는들을수있음
크게말해야대화를할수있음
소리를전혀듣지못함
부등호<, >, …, æ를사용하여수또는식의대소관계를나타낸식을부등식이
라고한다.
예를들어 3a+4bæ2a, a¤ +2ab<3b¤ , x¤ -3x+6>-2x등은모두부등식이다.
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112 Ⅱ.방정식과부등식
부등식의기본성질
⑴ a>b, b>c이면 a>c
⑵ a>b이면 a+c>b+c, a-c>b-c
⑶ a>b, c>0이면 ac>bc, >
⑷ a>b, c<0이면 ac<bc, <b1c
a1c
b1c
a1c
부등식을풀때에는다음과같은부등식의기본성질을이용한다.
허수에 대해서는 대소 관계
를 생각할 수 없으므로 부등식
에 포함되는 문자는 모두 실수
를나타낸다.
a>b>0, c>d>0일때, ac>bd임을보여라.1문제
a<b<0일때, a¤ >b¤임을보여라.2문제
예제 01a>b이므로 a+c>b+c (부등식의기본성질⑵)
c>d이므로 b+c>b+d (부등식의기본성질⑵)
따라서 a+c>b+d이다. (부등식의기본성질⑴)
a>b, c>d일때, a+c>b+d임을보여라.
풀이
예제 02a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)
이때 a>0, b>0이므로 a+b>0
a>b이므로 a-b>0
두양수의곱은양수이므로 (a+b)(a-b)>0, a¤ -b¤ >0
따라서 a¤ >b¤ 이다.
a>b>0일때, a¤ >b¤임을보여라.
풀이실수의대소관계
두실수 a, b에대하여
a-b>0이면 a>b이다.
중③
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예제 03⑴ |x-3|<5이면 -5<x-3<5
각변에 3을더하면 -2<x<8
⑵ |2x-1|æ3이면 2x-1…-3 또는 2x-1æ3
2x…-2 또는 2xæ4, x…-1 또는 xæ2
답 ⑴-2<x<8 ⑵ x…-1 또는 xæ2
다음부등식을풀어라.
⑴ |x-3|<5 ⑵ |2x-1|æ3
풀이
4.여러가지부등식 113
절댓값과부등식
a>0일때
⑴ |x|<a는‘-a<x<a’이다.
⑵ |x|>a는‘x<-a 또는 x>a’이다.
x-a a0
x-a a0
절댓값을 포함한 일차부등식을 어떻게 푸는가?
탐구 활동 수직선위의원점 O와점 P에대하여다음물음에답하여보자.
1. 점 P의좌표를 x라고할때, OP”…1인 x값의범위를구하여보자.
2. 1에서구한 x값의범위를절댓값을이용하여나타내어보자.
실수x의절댓값 |x|는수직선위에서x를나타내는점과원점사이의거리이다.
부등식 |x|<2는수직선위에서 x를나타내는점이두수-2와 2 사이에있음을
의미한다. 즉, |x|<2는-2<x<2와같은의미이다.
마찬가지로 |x|>2는수직선위에서x를나타내는점이-2보다작거나 2보다크
다는것을의미한다. 즉, |x|>2는x<-2 또는x>2와같은의미이다.
일반적으로다음이성립한다.
-2 8 x
-1 2 x
다음부등식을풀어라.
⑴ |x-1|<2 ⑵ |2x+1|…5
⑶ |5-2x|æ7 ⑷ |2- |>1x13
3문제
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114 Ⅱ.방정식과부등식
다음부등식을풀어라.
⑴ |x+3|+|x-2|…7 ⑵ 2|x-4|+|x-1|>9
4문제
앞의단원과제에대하여다음을해결하여보자.
오른쪽 표는 금속의 불꽃 반응에서 금속이 내놓는 빛의 파
장에 따른 불꽃의 색을 나타낸 것이다. 나트륨(Na)이 불
꽃 반응에서 내놓는 빛의 파장 k nm(나노미터)에 대하여
|k-580|<10일 때, 나트륨의 불꽃 반응은 어떤 색인지
말하여라.
파장(nm)
400…k<450
450…k<500
500…k<570
570…k<590
590…k<610
610…k<700
색
보라
파랑
초록
노랑
주황
빨강
일반적으로절댓값을포함한부등식을풀때에는다음과같이절댓값기호를없애
고풀수있다.
|x-a|=‡
x-a (xæa일때)
-(x-a) (x<a일때)
예제 04x-1, x+1이 0이되는 x의값을기준으로범위를나누어생각한다.
⁄ x<-1일때
-(x-1)-(x+1)…6에서 -2x…6, xæ-3
그런데 x<-1이므로 -3…x<-1
¤ -1…x<1일때
-(x-1)+(x+1)…6에서 2…6이므로항상성립한다.
-1…x<1
‹ xæ1일때
(x-1)+(x+1)…6에서 2x…6, x…3
그런데 xæ1이므로 1…x…3
따라서 구하는 해는 ⁄, ¤, ‹에서 -3…x…3
이다.
답 -3…x…3
부등식 |x-1|+|x+1|…6을풀어라.
풀이
x-1 1
(ⅰ) (ⅱ) (ⅲ)
절댓값 기호 안의 식의 부
호에따라범위를나눈다.
-3 -1 1 3 x
(ⅰ) (ⅲ)(ⅱ)
파장(k)에 따른 불꽃의색
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4.여러가지부등식 115
02●이차함수와이차부등식의관계를이해하고, 이차부등식과연립이차부등식을풀수있다.
이차함수와이차부등식의관계
어느 리듬 체조 선수가 마룻바닥에서 1 m 높이의 위치
에서 공을 위로 던져 올릴 때, x초 후의 공의 높이를
ym라고 하면 y=-5x¤ +14x+1의 관계가 성립한
다고하자. 다음물음에답하여보자.
1. 이선수가던진공이마룻바닥으로부터 9 m보다높이있는
시간을구하는부등식을 ax¤ +bx+c<0의꼴로나타내어보자.
2. 1에서구한부등식의 a, b, c에대하여이차함수 y=ax¤ +bx+c의
그래프를그려보자.
3. 2의그래프에서함숫값이 0보다작은 x값의범위를그래프에표시
하여보자.
탐구 활동
이차함수의그래프를이용하여이차부등식의해를구하여보자.
이차부등식x¤ -4x+3>0의해는이차함수
y=x¤ -4x+3에서 y>0이되도록하는 x의값, 즉그
래프가x축보다위에있는x값의범위이므로x<1 또는
x>3이다.
한편 이차부등식 x¤ -4x+3<0의 해는 이차함수
y=x¤ -4x+3에서 y<0이되도록하는 x의값, 즉그
래프가x축보다아래에있는x값의범위이므로 1<x<3
이다.
일반적으로 이차부등식 ax¤ +bx+c>0 (a+0)의 해는
이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프가 x축보다 위에 있는
x값의 범위이고, 이차부등식 ax¤ +bx+c<0의 해는 이차
함수 y=ax¤ +bx+c의그래프가 x축보다아래에있는 x값
의범위이다.
x3
y=x@-4x+3
1
x3
y=x@-4x+3
1
x
y=ax@+bx+c`{a>0}
+ +
-
부등식의 모든 항을 좌변으
로 이항하여 정리하였을 때 좌
변이 x에 대한 이차식으로 나
타나는 부등식을 x에 대한 이
차부등식이라고한다.
이차함수의그래프를이용하여이차부등식의해를어떻게구하는가?
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예제 01 이차함수의그래프를이용하여다음이차부등식을풀어라.
⑴x¤ -6x+5æ0 ⑵-x¤ +x+2>0
116 Ⅱ.방정식과부등식
따라서이차방정식 ax¤ +bx+c=0 (a>0)의판별식을 D=b¤ -4ac라고할때,
이차함수의그래프와이차부등식의해사이에는다음과같은관계가성립한다.
⑴이차함수 y=x¤ -6x+5=(x-1)(x-5)의 그래프
는오른쪽그림과같다.
이차부등식 x¤ -6x+5æ0의 해는 오른쪽 그림에서
그래프가 x축보다 위에 있거나 x축과 만나는 x값의
범위이다. 따라서구하는해는 x…1 또는 xæ5이다.
⑵양변에-1을곱하면 x¤ -x-2<0
이차함수 y=x¤ -x-2=(x+1)(x-2)의 그래프
는오른쪽그림과같다.
이차부등식 x¤ -x-2<0의 해는 오른쪽 그림에서
그래프가 x축보다아래에있는 x값의범위이다.
따라서구하는해는-1<x<2이다.
답 ⑴ x…1 또는 xæ5 ⑵-1<x<2
풀이
x
y y=x@-x-2
O
-2
2-1
x
y y=x@-6x+5
O 51
판별식의부호 D>0 D=0 D<0
y=ax¤ +bx+c
의그래프
이차함수의그래프와이차부등식의해(a>0인경우)
xå ∫ å=∫ x x
ax¤ +bx+c<0
의해
ax¤ +bx+c>0
의해x<a 또는 x>b x+a인모든실수 모든실수
a<x<b 없다. 없다.
ax¤ +bx+c…0
의해a…x…b x=a 없다.
ax¤ +bx+cæ0
의해x…a 또는 xæb 모든실수 모든실수
a<0인경우에는주어진부등식의양변에 -1을곱하여부등식을변형한다음푼다. 이
때부등호의방향이바뀌는것에주의한다.
참고
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4.여러가지부등식 117
이차함수의그래프를이용하여다음이차부등식을풀어라.
⑴x¤ -11x+30<0 ⑵-x¤ -6x+7<0
⑶-2x¤ +7x+4æ0 ⑷x¤ -4x+1æ0
1문제
예제 02 이차함수의그래프를이용하여다음이차부등식을풀어라.
⑴ x¤ +4x+4<0 ⑵-x¤ +10x-25<0
⑴이차함수 y=x¤ +4x+4=(x+2)¤ 의그래프는오른쪽
그림과같다.
이차부등식 x¤ +4x+4<0의해는오른쪽그림에서그
래프가 x축보다아래에있는 x값의범위이다.
따라서구하는해는없다.
⑵양변에-1을곱하면 x¤ -10x+25>0
이차함수 y=x¤ -10x+25=(x-5)¤ 의그래프는오른
쪽그림과같다.
이차부등식 x¤ -10x+25>0의 해는 오른쪽 그림에서
그래프가 x축보다위에있는 x값의범위이다.
따라서구하는해는 x+5인모든실수이다.
답 ⑴해는없다. ⑵ x+5인모든실수
풀이
O x
y
-2
4y=x@+4x+4
O x
y y=x@-10x+25
5
이차함수의그래프를이용하여다음이차부등식을풀어라.
⑴x¤ +2x+1>0 ⑵x¤ -6x+9<0
⑶ 16x¤ -8x+1æ0 ⑷-4x¤ +12x-9æ0
3문제
지상으로부터 1008 m 높이의 비행기에서 낙하한 사람의
t초후의높이는 (1008-2t-5t¤ )m라고하자. 이 사람이
지상으로부터 적어도 488 m 이상에서 낙하산을 펴야 한
다면, 낙하하기시작한후몇초안에낙하산을펴야하는
지구하여라.
2문제
실생활
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예제 03 이차함수의그래프를이용하여다음이차부등식을풀어라.
⑴ x¤ -x+1<0 ⑵-x¤ -4x-5…0
118 Ⅱ.방정식과부등식
⑴이차방정식 x¤ -x+1=0에서
D=(-1)¤ -4¥1¥1=-3<0이므로이차함수
y=x¤ -x+1의그래프는오른쪽그림과같다.
따라서이차부등식 x¤ -x+1<0의해는없다.
⑵양변에-1을곱하면 x¤ +4x+5æ0
이차방정식x¤ +4x+5=0에서 =2¤ -1¥5=-1<0
이므로이차함수 y=x¤ +4x+5의그래프는오른쪽그
림과같다.
따라서이차부등식 x¤ +4x+5æ0의해는모든실수이
므로이차부등식-x¤ -4x-5…0의해는모든실수이다.
답 ⑴해는없다. ⑵모든실수
D144
풀이
x
y y=x@-x+1
O
1
O x
yy=x@+4x+5
5
이차함수의그래프를이용하여다음이차부등식을풀어라.
⑴x¤ +x+2<0 ⑵-4x¤ -8x-7…0
4문제
예제 04 모든 실수 x에 대하여 이차부등식 x¤ -2ax+3a>0이 성립하도록 하는 실수 a값의 범
위를구하여라.
이차함수 y=x¤ -2ax+3a가 모든 실수 x에 대하여
y>0이항상성립해야하므로그래프는오른쪽그림과
같아야 한다. 즉, 이차방정식 x¤ -2ax+3a=0에서 판
별식D<0이어야한다.
=a¤ -3a<0에서 a(a-3)<0
따라서구하는 a값의범위는 0<a<3이다.
답 0<a<3
D144
풀이
O a
y y=a{a-3}
3
y=x@-2ax+3a
O x
y
모든실수 x에대하여이차부등식 -2x¤ -mx+m<0이성립하도록하는실수 m값의범
위를구하여라.
5문제
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4.여러가지부등식 119
이차함수 y=x¤ -4x+1의 그래프가 직선 y=2x+8보다 아래쪽에 있는 x값의 범위를 구
하여라.
6문제
예제 05 이차함수 y=x¤ -4x+4의 그래프가 직선 y=x-2보다 위쪽에 있는 x값의 범위를 구
하여라.
이차함수 y=x¤ -4x+4의함숫값이직선 y=x-2의함숫값보다큰 x값의범위를
구하면된다.
x¤ -4x+4>x-2에서 x¤ -5x+6>0, (x-2)(x-3)>0
따라서구하는 x값의범위는 x<2 또는 x>3이다.
답 x<2 또는 x>3
풀이
이차부등식 ax¤ +bx+c<0 (a+0)이 모든 실수 x에 대하여 성립하기 위한 실수
a, b, c의조건을구하여보자.
사고력기르기▶추론
▶의사소통
▶문제 해결
연립이차부등식을 어떻게 푸는가?
탐구 활동 어느 회사에서 인터넷 배너 광고를 하기 위하여 직사각형 모양의 광고 창을 만들려고 한
다. 이 광고창의둘레의길이는 20 cm로하고, 넓이를 21 cm¤ 이상이되도록가로의길
이를정하려고한다. 가로의 길이를세로의길이보다짧게만든다고할때, 가로의 길이를
x cm라고하면다음두부등식을얻을수있다. 물음에답하여보자.
1. 부등식①을만족시키는 x값의범위를수직선위에나타내어보자.
2. 부등식②를만족시키는 x값의범위를수직선위에나타내어보자.
3. ①과②에서얻은범위의공통부분을말하여보자.
‡
0<x<10-x yy①
x(10-x)æ21 yy②
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120 Ⅱ.방정식과부등식
연립이차부등식을풀때에는중학교에서배운연립일차부등식을풀때와마찬가지
로각부등식의해를구한후이들의공통부분을구한다.
연립부등식을 이루고 있는
부등식 중에서 차수가 가장 높
은 부등식이 이차부등식일 때,
이 연립부등식을 연립이차부등
식이라고한다.
예제 06 다음연립이차부등식을풀어라.
⑴ ‡ ⑵ ‡
x¤ -5x+6æ0 yy①
x¤ -3x-4<0 yy②
2x+5>x+2 yy①
x¤ +4x-5<0 yy②
⑴①을풀면 x>-3 yy③
②를풀면 (x+5)(x-1)<0, -5<x<1 yy④
따라서구하는해는③, ④를동시에만족시키는 x값의범위이므로
-3<x<1
⑵①을풀면 (x-2)(x-3)æ0, x…2 또는 xæ3 yy③
②를풀면 (x+1)(x-4)<0, -1<x<4 yy④
따라서구하는해는③, ④를동시에만족시키는 x값의범위이므로
-1<x…2 또는 3…x<4
답 ⑴-3<x<1 ⑵-1<x…2 또는 3…x<4
풀이
x1-3-5
④ ③
-1 2 3 4 x
④ ③ ③
연립이차부등식에서각부등
식의해의공통부분을구할때,
수직선을이용하면편리하다.
다음연립이차부등식을풀어라.
⑴ ⑵
⑶ 2(x-3)<x(x-3)…x ⑷ 2x+5<x¤ <7x+8
‡
x¤ -4æ0
x¤ …x+20‡
2x-1>0
x¤ -3x-4<0
7문제
두이차방정식
x¤ +2(1+a)x+3+a=0, x¤ +ax+a=0
이모두허근을가질때, 실수 a값의범위를구하여라.
8문제
A<B<C 꼴의부등식은
연립부등식 ‡ 와같다.A<B
B<C
발전
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4.여러가지부등식 121
1 오른쪽 부등식의 풀이에서 쓰인 부등식의
기본성질을보기에서찾아라.
중단원 기초 수준별학습
다음부등식을풀어라.
⑴ |x+3|æ5 ⑵ |1-2x|<7
⑶ …1 ⑷ |1- x|>3112
|3x+1|111242
2
이차함수의그래프를이용하여다음이차부등식을풀어라.
⑴ x¤ -x-12…0 ⑵-x¤ -3x+10<0
⑶ x¤ -8x+16…0 ⑷ x¤ +2x+5>0
3
다음연립이차부등식을풀어라.
⑴ ⑵
⑶ ⑷ ‡
x¤ -3x+2æ0
x¤ +x-6<0‡
x¤ +2x-15…0
x¤ -x-2æ0
‡
3x-5æx-7
x¤ -4x+3>0‡
2x-6æ0
x¤ -6x+8<0
4
1-3x< x+8
2-6x<x+16
-7x<14
x>-2
112
⑴
⑵
⑶ㄱ. a>b, b>c이면 a>c
ㄴ. a>b이면 a+c>b+c
ㄷ. a>b, c>0이면 ac>bc
ㄹ. a>b, c<0이면 ac<bc
보기
부등식의 기본 성질
01 부등식
절댓값을포함한일차부등식
01 부등식
이차부등식
02 이차함수와이차부등식의관계
연립이차부등식
02 이차함수와이차부등식의관계
[̀해답 p.̀224]
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122 Ⅱ.방정식과부등식
1 부등식 (a-b)x<a+2b의해가 x<3일때, 부등식 ax>2b를풀어라.
중단원 기본 수준별학습
5 연립이차부등식 의해가-2…x<1 또는 2<x…4라고할
때, 실수 a, b의값을구하여라.
‡
x¤ -3x+a>0
x¤ +bx-8…0
부등식 3|x|+|x-2|>4를풀어라.2
이차부등식 x¤ -2kx-k>0의해가모든실수가되도록하는실수 k값의범
위를구하여라.
3
다음연립이차부등식을풀어라.
⑴ ⑵
⑶ x-1<3…4x¤ -x ⑷ x-2…x¤ -2x<x+4
‡
x¤ æ4
x¤ +4x-5<0‡
2x¤ -7x+3æ0
x¤ -8x+12<0
4
부등식의 기본 성질
01 부등식
절댓값을포함한일차부등식
01 부등식
이차부등식
02 이차함수와이차부등식의관계
연립이차부등식
02 이차함수와이차부등식의관계
연립이차부등식
02 이차함수와이차부등식의관계
[̀해답 p.̀224]
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4.여러가지부등식 123
1 a<x<b, c<y<d일 때, 다음 중에서 항상 옳은 것을 모두 찾고, 그렇지
않은것은예를들어설명하여라.
⑴ a+c<x+y<b+d
⑵ a-d<x-y<b-c
⑶ ac<xy<bd
중단원 실력 수준별학습
5 이차부등식 x¤ -5x+4æ0과 x¤ +(a-3)x-3a<0을 동시에 만족시키는
정수 x가오직한개만존재할때, 실수 a값의범위를구하여라.
부등식 |x|+|x+1|…a의해가- …x…b일때, 실수 a, b의값을구하
여라.
3122
연립이차부등식 의임의의해가이차부등식 x¤ -a¤ <0을
만족시킬때, 실수 a값의범위를구하여라.
‡
x¤ -5x-6<0
x¤ -3x-10>03
세변의길이가 x, x+1, x+2인삼각형이둔각삼각형이되도록하는자연
수 x의개수를구하여라.
4
부등식의 기본 성질
01 부등식
절댓값을포함한일차부등식
01 부등식
연립이차부등식
02 이차함수와이차부등식의관계
연립이차부등식
02 이차함수와이차부등식의관계
연립이차부등식
02 이차함수와이차부등식의관계
[̀해답 p.̀224]
(096~129)230교과2K(윤130) 2013.7.8 9:51 PM 페이지123 mac01 T
124 Ⅱ.방정식과부등식
자동차의정지거리
교통사고를예방하기위해서는운전자의안전거리확보가중요한데, 안전거리란앞차
가갑자기정지하더라도부딪치지않도록유지해야하는앞차와의거리를말한다.
그럼안전거리는얼마나확보해야할까?
운전자가멈춰야한다는판단을한순간부터브레이크페달을밟은뒤자동차가완전히
정지할때까지자동차가움직인거리를정지거리라고하는데, 안전거리는정지거리이상
으로유지해야한다.
정지거리에영향을주는요인으로는운전자의주의력, 반응속도, 자동차의무게, 브레
이크의성능, 도로의상태등이있으며, 속력이빠르면정지거리는길어진다.
어떤고속국도에서시속x km로달리는자동차의정지거리 ym는
y= x¤ + x
라고한다. 다음물음에답하여보자.
31450
1124100
이고속국도에서시속 80 km로달리는자동차가확보해야하는최소안전거리를구하여라.| 과 제 | 1
이 고속 국도에서 유지해야 하는 안전거리의 규정이 100 m 이상으로 주어졌을 때, 규정을 준수하
면서달릴수있는최대속력은약몇 km/h인지구하여라.
| 과 제 | | 과 제 | | 과 제 | | 과 제 | | 과 제 | | 과 제 | | 과 제 | | 과 제 | | 과 제 | | 과 제 | | 과 제 | | 과 제 | | 과 제 | | 과 제 | | 과 제 | | 과 제 | | 과 제 | 2
수행 과제
(096~129)230교과2K(윤130) 2013.7.8 9:52 PM 페이지124 mac01 T
대단원학습내용정리 125
대단원 학습 내용 정리
복소수
복소수
⑴허수단위: 제곱하여-1이되는수, i='∂-1
⑵복소수: a+bi (a, b는실수)의꼴로나타나는수
⑶허수: 실수가아닌복소수
⑷복소수 a+bi의켤레복소수는 a+bi”=a-bi
복소수의 사칙계산
a, b, c, d가실수일때
⑴ (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
⑵ (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
⑶ (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
⑷ = + i (단, c+di+0)bc-ad1112c¤ +d¤
ac+bd1112c¤ +d¤
a+bi1123c+di
1
이차방정식
이차방정식의 근의 판별
계수가 실수인 이차방정식 ax¤ +bx+c=0 (a+0)의 판별식
D=b¤ -4ac에대하여
⑴D>0이면서로다른두실근을가진다.
또서로다른두실근을가지면D>0이다.
⑵D=0이면중근(실근)을가진다.
또중근을가지면D=0이다.
⑶D<0이면서로다른두허근을가진다.
또서로다른두허근을가지면D<0이다.
이차방정식의 근과 계수의 관계
이차방정식 ax¤ +bx+c=0 (a+0)의두근을 a, b라고하면
a+b=- , ab= c1a
b1a
2
이차방정식과 이차함수
이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계
이차함수 y=ax¤ +bx+c (a+0)의그래프와직선 y=mx+n
의위치관계는이차방정식 ax¤ +(b-m)x+c-n=0의판별
식을D라고할때
⑴D>0이면서로다른두점에서만난다.
또서로다른두점에서만나면D>0이다.
⑵D=0이면한점에서만난다(접한다).
또한점에서만나면(접하면) D=0이다.
⑶D<0이면만나지않는다.
또만나지않으면D<0이다.
3
여러 가지 부등식
절댓값과 부등식
a>0일때
⑴ |x|<a는‘-a<x<a’이다.
⑵ |x|>a는‘x<-a 또는 x>a’이다.
이차부등식의 해
이차방정식 ax¤ +bx+c=0 (a>0)의 판별식을 D=b¤ -4ac
라고할때, 다음이성립한다.
4
D의부호
D>0
D=0
D<0
x<a 또는
x>b
x+a인모든
실수
모든실수
a<x<b
해가없다.
해가없다.
xå ∫
+ +
-
xå=∫
+ +
ax¤ +bx+c>0y=ax¤ +bx+c ax¤ +bx+c<0
x
+ +
용어와 기호 허수단위, 복소수, 실수부분, 허수부분, 허수, 켤레복소수, 실근, 허근, 판별식, i, a+bi, a+bi”
a+ b i
허수부분
실수부분
(096~129)230교과2K(윤130) 2013.8.8 5:5 PM 페이지125 mac01 T
126 Ⅱ.방정식과부등식
대 /단 /원 평가 문제 Ⅱ. 방정식과부등식
다음중에서허근을가지는이차방정식은?
① x¤ +4x-3=0 ② 4x¤ -6x+1=0
③ x¤ +2x+3=0 ④ x¤ +2x-7=0
⑤ 5x¤ -4=0
2
이차방정식 x¤ -3x+5=0의 두 근을 a, b라고
할때, a¤ , b¤을두근으로하고, x¤의계수가 1인
이차방정식은?
① x¤ -x+25=0
② x¤ +x+25=0
③ x¤ -19x+25=0
④ x¤ +19x+25=0
⑤ x¤ +19x-25=0
3
삼차방정식 x‹ -px+6=0의 한 근이 -2이다.
이 방정식의 나머지 두 근을 a, b라고 할 때,
p+a+b의값은?
① 1 ② 2 ③ 3
④ 4 ⑤ 5
6
(3+i)z’+2iz=7+9i를 만족시키는 복소수
z=x+yi (x, y는실수)에대하여 xy의값은?
(단, z’는 z의켤레복소수이다.)
①-2 ②-1 ③ 0
④ 1 ⑤ 2
1
이차함수 y=x¤ -2ax+6의최솟값이 2가되도
록하는상수 a값의합은?
①-2 ②-1 ③ 0
④ 1 ⑤ 2
4
이차함수 f(x)=x¤ -4x+a의 그래프가 x축과
만나는두점사이의거리가 6일때, f(x)의최
솟값은?
①-10 ②-9 ③-8
④-7 ⑤-6
5
이차함수 y=f(x)와
일차함수 y=g(x)의
그래프가 오른쪽 그림
과 같을 때, 부등식
f(x)>g(x)와 같은 해
를 가지고, x¤ 의 계수가 1인 이차부등식을
x¤ +ax+b>0이라고 하자. 이때 두 상수 a, b
의값을차례로적으면?
① 2, 3 ②-2, 3 ③-2, -3
④ 3, 2 ⑤-3, 2
8
연립일차방정식 의해를
x=a, y=b, z=c라고할때, a-b+c의값은?
① 2 ② 3 ③ 4
④ 5 ⑤ 6
(x-2y+z=8
{ 3x+2y+2z=7
9 2x-y-2z=67
선 택 형
O x
y
y=Ì{x}
y=f{x}
2 3-1
(096~129)230교과2K(윤130) 2013.7.8 9:52 PM 페이지126 mac01 T
대단원평가문제 127
부등식 |2x-3|<1의 해가 a<x<b라고 할
때, x¤ -bx+a…0의해는?
①해는없다. ② x=1
③ x…1 ④ x+1인모든실수
⑤모든실수
9
이차부등식 ax¤ -4(a-1)x+3aæ0이모든실
수 x에 대하여 성립하도록 하는 정수 a의 개수
는?
① 1 ② 3 ③ 5
④ 7 ⑤ 9
10
이차함수 y=x¤ -2x+3의그래프가직선
y=mx-1의위쪽에있을때, 실수m값의범위
를구하여라.
13
연립이차부등식 의해가
1<x…3일 때, 실수 a, b에 대하여 b-a의 값
은?
①-10 ②-5 ③ 0
④ 5 ⑤ 10
‡
x¤ +ax-b…0
x¤ +bx+2a>011
a=(1+i)« 이 양의 실수가 되도록 하는 최소의
자연수 n의값과그때의 a의값에대하여 n+a
의값을구하여라.
12
내접원의반지름의길이가 2인직각삼각형이있
다. 이 삼각형의 둘레의 길이가 24일 때, 세 변
의길이를구하여라.
14
이차함수 y=f(x)의
그래프가 오른쪽 그림
과 같이 점 (1, 0)을
지나고 꼭짓점의 x좌
표가 x=-1일때, 다
음을구하여라.
⑴방정식 f(x)=0의해
⑵부등식 f(x)<0의해
15
삼차방정식 x‹ -3x¤ +ax+b=0의 한 근이 '2i
일때, 실수 a, b의값을구하는풀이과정과답
을서술하여라.
16
이차방정식 x¤ -ax+1=0은 실근을 가지고,
x¤ +(a-1)x+1=0은 허근을 가질 때, 실수
a값의 범위를 구하는 풀이 과정과 답을 서술
하여라.
17
서 답 형
|서|술|형 |̀
|서|술|형 |̀
y
xO-1
1
y=f{x}
[̀해답 p.̀225]
(096~129)230교과2K(윤130) 2013.7.8 9:52 PM 페이지127 mac01 T
삼차방정식의대수적해법을최초로발견한사람은 1515년이탈리아볼로냐대학의수학교수였던
페로(Ferro, S. ; 1465~1526)이다. 그는그결과를자신의제자이자사위인피어에게만알려주고
죽었다.
1535년경에타르탈리아(Tartaglia, N. F. ; 1499~1557)가삼차
방정식의대수적해법을발견하였다고주장하자, 피어는타르탈리아에
게방정식의풀이에관한시합을제안하였다. 결국이시합에서타르
탈리아가승리하여명성을얻게되었지만그는끝까지그해법을발
표하지않았다.
삼차방정식의해법을알고싶어하던카르다노(Cardano, G. ;
1501~1576)가타르탈리아에게삼차방정식의해법을알려주면
비밀도지키고좋은후원자를소개시켜주겠다고제안하였다.
결국타르탈리아는카르다노에게삼차방정식의해법을알려
주었고, 카르다노는이것을자기의업적인양그의책“위대한
술법”을통하여발표해버렸다. 타르탈리아는언어장애가
있었기때문에오히려표절자로몰렸고, 그때문에삼차방
정식의해법은‘카르다노의공식’이라고불리게되었다.
그러나오늘날이모든것이밝혀지면서삼차방정식의
대수적해법에관한공적은카르다노와타르탈리아에
게동시에돌리고있다.
History
삼차방정식은누가처음풀었을까?
수 학 역 사
타르탈리아
카르다노
128 Ⅱ.방정식과부등식128 Ⅱ.방정식과부등식128 Ⅱ.방정식과부등식128 Ⅱ.방정식과부등식128 Ⅱ.방정식과부등식128 Ⅱ.방정식과부등식128 Ⅱ.방정식과부등식128 Ⅱ.방정식과부등식128 Ⅱ.방정식과부등식128 Ⅱ.방정식과부등식128 Ⅱ.방정식과부등식128 Ⅱ.방정식과부등식128 Ⅱ.방정식과부등식128 Ⅱ.방정식과부등식128 Ⅱ.방정식과부등식128 Ⅱ.방정식과부등식128 Ⅱ.방정식과부등식
(096~129)230교과2K(윤130) 2013.7.8 9:52 PM 페이지128 mac01 T
스마트폰의 애플리케이션을 활용하면 함수의 그래프에 대한 다양한 학습 활동과 흥미 있는 경험을
할수있다. 적절한애플리케이션을이용하여두함수의그래프의교점의좌표를구하여보자.
Engineering
수학플러스 129
❶함수 y=-x-1의그래프를그리기위하여초기화면의‘f̀(x)=’옆에
‘-x-1’을입력하고 , 를차례로누른다.
❷함수y=x¤ -2x-3의그래프를그리기위하여‘f̀(x)=’옆에
‘x^2-2≠x-3’을입력하고 , 를차례로누른다.
❸ 를누르면두그래프가하나의좌표평면에위에그려진다.
수 학 공 학
1\ 두 함수 y=-x-1, y=x¤ -2x-3의 그래프를 하나의 좌표평면 위에 그려 보자.
스마트폰으로교점의좌표를구하여보자.
3 \ 두 함수 y=x+1, y=x¤ -2x+1의 그래프의 교점의 좌표를 구하여 보자.
위의그림에서 를누르거나다음왼쪽그림에서 를누른뒤 를
누르면교점의좌표는오른쪽그림에서(-1, 0), (2, -3)임을알수있다.
2 \ 두 함수 y=-x-1, y=x¤ -2x-3의 그래프의 교점의 좌표를 구하여 보자.
(096~129)230교과2K(윤130) 2013.7.8 9:52 PM 페이지129 mac01 T
