Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása

TK. II. kötet 25. old. 3. feladat

xxa 224) −=−

1. lépés: Az egyenlet bal oldalának ábrázolása függvényként. 2. lépés: Az egyenlet bal oldalának ábrázolása függvényként. 3. lépés: A metszéspontot merőlegesen vetítjük az x tengelyre.

Megoldás: 2=x

xxb 224) −>−

1. lépés: Az egyenlőség megoldása. 2. lépés: Az x - 4 hol nagyobb, mint a 2 - 2x ? 3. lépés: Intervallum leolvasása az x tengelyről.

Megoldás: 2>x vagy ] [∞;2

xxc 224) −≤−

1. lépés: Az egyenlőség megoldása. 2. lépés: Az x - 4 hol kisebb vagy egyenlő, mint a 2 - 2x ? 3. lépés: Intervallum leolvasása az x tengelyről.

Megoldás: 2≤x vagy ] [2,∞−

TK. II. kötet 25. old. 8. feladat

2

1

2

132) −=−+ xxa

1. lépés: Az egyenlet bal oldalának ábrázolása. 2. lépés: Az egyenlet bal oldalának ábrázolása. 3. lépés: A metszéspontot merőlegesen vetítjük az x tengelyre.

Megoldás: 13 21 =−= xx

2

1

2

132) −>−+ xxb

1. lépés: Az egyenlőség megoldása. 2. lépés: Az |x + 2|-3 hol nagyobb, mint a 1/2x – 1/2 ? 3. lépés: Intervallum leolvasása az x tengelyről.

Megoldás: 3−<x vagy 1>x

2

1

2

132) −≤−+ xxc

1. lépés: Az egyenlőség megoldása. 2. lépés: Az |x + 2|-3 hol kisebb vagy egyenlő, mint a 1/2x – 1/2 ? 3. lépés: Intervallum leolvasása az x tengelyről.

Megoldás: 13 ≤≤− x

TK. II. kötet 25. old. 10. feladat

xxa −=− 33) 2

1. lépés: Az egyenlet bal oldalának ábrázolása. 2. lépés: Az egyenlet bal oldalának ábrázolása. 3. lépés: A metszéspontot merőlegesen vetítjük az x tengelyre.

Megoldás: 23 21 =−= xx

xxb −>− 33) 2

1. lépés: Az egyenlőség megoldása. 2. lépés: Az x2 - 3 hol nagyobb, mint a 3 - x ? 3. lépés: Intervallum leolvasása az x tengelyről.

Megoldás: 3−<x vagy 2>x

xxc −≤− 33) 2

1. lépés: Az egyenlőség megoldása. 2. lépés: Az x2 - 3 hol kisebb vagy egyenlő, mint a 3 - x ? 3. lépés: Intervallum leolvasása az x tengelyről.

Megoldás: 23 ≤≤− x

Házi feladat: TK. II. kötet 25. old. 11. feladat: füzetben ábrázolni úgy, ahogyan órán!

xxf

xxe

xxd

xxc

xxb

xxa

>+−

<+−

=+−

+−>−

+−<−

+−=−

2)

2)

2)

11)

11)

11)

2

2

2 Megoldás:

11)

11)

11)

11)

11)

11)

21

21

<<−>−<

=−=>−<

<<−=−=

xf

xxe

xxd

xxc

xb

xxa

TK. II. kötet 25. old. 5. feladat: a) Melyik lehet az a két szám, amelyek összege 4? Az egyik szám

függvényében írd fel a másik számot és a kapott függvényt ábrázold koordináta rendszerben!

Egyik szám: x Másik szám: y A két szám összege négy: x+y=4 A kapott egyenletet y-ra rendezve megkapjuk a keresett függvényt: x+y=4 /–x y=4–x

b) Melyik lehet az a két szám, amelyek összege 4 és különbségük 1? A feladatot grafikusan oldd meg!

Egyik szám: x Másik szám: y A két szám összege négy: x+y=4 A két szám különbsége egy: x–y=1 A kapott egyenleteket y-ra rendezve megkapjuk a keresett függvényeket: x+y=4 /–x y=4 – x

x–y=1 /–x – y=1–x /·(-1) y= –1+x

x=2,5 y=1,5

Az egyik szám tehát 2,5 a másik pedig 1,5. Összegük valóban 4, különbségük pedig 1.

TK. II. kötet 25. old. 6. feladat: Melyik az a két szám, amelyek összege -6 és különbsége 2? Egyik szám: x Másik szám: y A két szám összege –6: x+y=–6 A két szám különbsége 2: x–y=2 A kapott egyenleteket y-ra rendezve megkapjuk a keresett függvényeket: x+y=–6 /–x y=–6 – x

x–y=2 /–x – y=2–x /·(-1) y= –2+x

x=–2 y=–4

Az egyik szám tehát (-2) a másik pedig (-4). Összegük valóban (-6), különbségük pedig 2.

2

12

−=− xx

−=−=−2

1

2

1

2

1

22

1x

xx

Házi feladat:

1.) 2

12

−=− xx megoldásainak ellenőrzése

Első megoldás: -5

332

652

2

1)5(52

−=−

−=−

−−=−−

Első megoldás: 5/3

3

1

3

16

2

2

1

3

22:

3

2

23

2

23

3

3

5

3

5

3

6

2

13

5

3

52

=

=⋅===−

=−

−=−

2.) 2

12

−≥− xx egyenlőtlenség grafikus megoldása

Megoldás: 3

55 ≤≤− x

3.) TK. II. kötet 154. old. 382. feladat a) Melyek azok a számok, amelyek összege 9? Az egyik szám

függvényében írd fel a másik számot és készítsd el a kapott függvény grafikonját!

Egyik szám: x Másik szám: y A két szám összege kilenc: x+y=9 A kapott egyenletet y-ra rendezve megkapjuk a keresett függvényt: x+y=9 /–x y=9–x

b) Melyek azok a számok, amelyek összege 9 és különbsége 3? Egyik szám: x Másik szám: y A két szám összege kilenc: x+y=9 A két szám különbsége három: x–y=3 A kapott egyenleteket y-ra rendezve megkapjuk a keresett függvényeket: x+y=9 /–x y=9 – x

x–y=3 /–x – y=3–x /·(-1) y= –3+x

x=6 y=3

Az egyik szám tehát 6 a másik pedig 3. Összegük valóban 9, különbségük pedig 3.

TK. II. kötet 154. old. 385. feladat: a) 432 −>+ xx 1. megoldási mód (algebrai):

x

x

xxx

xx

<−−⋅−>

−>++−>+

7

)1(/7

2/72

4/432

2. megoldási mód (grafikus):

Megoldás: 7−>x

b) xx

2134

2 −≤−

−=−=−2

1

4

1

4

2

44

2x

xx

1. megoldási mód (algebrai):

6

9:/549

2/5229

8/8522

4/2134

2

≤≤

+≤−+−≤−

⋅−≤−

x

x

x

xxx

xx

2. megoldási mód (grafikus):

Megoldás: 6≤x

TK. II. kötet 155. old. 389. feladat: (Csak grafikus módon tudjuk megoldani!) a) 122 += xx

Megoldás: 1=x b) xx 2212 −≥−

Megoldás: 3−≤x vagy 1≥x

c) 33 2 −<− xx

Megoldás: 3−<x vagy 2>x

Házi feladat: 1.) a 389. feladat c) részét befejezni 2.) xx −= 2

Megoldás: 1=x

3.) 13

13 −≥− xx

Megoldás: 36 ≤≤− x

4.) TK. II. kötet 154. old. 385. feladat (próbáld meg mindkét módszerrel megoldani!)

d) 312

1 +≤− xx

Megoldás: 8−≥x e) xx 5554 −<−

Megoldás: azonosság (minden szám megoldás)

x

x

xx

xx

≤−+≤−

+≤−

+≤−

8

62

622

312

1

54

5554

<−<− xx

f) 22

62 +≥+x

x

Megoldás: azonosság (minden szám megoldás)

1. feladat: Add meg az alábbi pontok hiányzó koordinátáit, úgy, hogy a pontok az 3−xx a egyenesen legyenek!

3−= xy

[ ]( )

[ ]

[ ]

−

;2

1

;5

3

;0

C

B

A

( )

( )5,32

7

2

6

2

13

2

1:

4,25

12

5

15

5

33

5

3:

330:

−=−=−−=−−=

−=−=−=−=

−=−=

yC

yB

yA

[ ]( )[ ]( )

[ ]

−

5

3;

3;

1;

F

E

D

( )6,35

183

5

3:

033:

431:

==⇒−=

=⇒−=−=⇒−=

xxC

xxB

xxA

46

4262

22

62

≥+≥+

+≥+

xx

xx

2. feladat: Oldd meg a következő egyenlőséget!

233

1 +−−=−x

x

−=−=−3

1

3

1

3

1

33

1x

xx

Megoldás: 11 =x és 42 =x Ellenőrzés:

11 =x :

220

223

0

2313

11

+−=

+−−=

+−−=−

42 =x :

211

213

3

2343

14

+−=

+−=

+−−=−