Einteilung der VL - KIT

Wim de Boer, Karlsruhe

Kosmologie VL, 15.11.2012 1

Einteilung der VL

1. Einführung

2. Hubblesche Gesetz

3. Antigravitation

4. Gravitation und ART

5. Entwicklung des Universums

6. Temperaturentwicklung

7. Kosmische Hintergrundstrahlung

8. CMB kombiniert mit SN1a

9. Strukturbildung

10. Neutrinos

11. Grand Unified Theories

12.-13 Suche nach DM

HEUTE



Vorlesung 4:

Roter Faden:

1.Licht empfindet Gravitation

2.Krümmung des Universums

3.Grundlagen der ART



Grundlagen der

Allgemeinen Relativitätstheorie

ART

beschreibt Gravitation als

Krümmung der Raum-Zeit



Licht empfindet Gravitation???

Nach der bekannten Einsteinschen Energie-Masse-Beziehung

kann man dem Photon der Energie h×f eine Masse zuordnen. Es

gilt:

Gravitation wirkt auf Masse:

wird Energie des Photons

sich ändern im Grav. Feld????

Erwarte für Höhe H = 22.5m:

Frequenzverschiebung im

Gravitationsfeld

wurde von Pound und Rebka

mit Mössbauereffekt bestätigt!!



http://www.uni-duisburg.de/FB10/LAPH/Keune/hs/Utochkina.pdf

Mössbauereffekt

Durch die extrem kleine natürliche Breite der Kernniveaus werden

Energieverluste im Gravitationsfeld schon Absorption verhindern. Absorption

kann wieder hergestellt werden durch die Photonen ein bisschen mehr Energie

zu geben durch die Quelle langsam zu bewegen, bis die Gravitationsverluste

ausgeglichen sind



Pound-Rebka Versuch: Licht empfindet Gravitation (1960)

In 1960, R. Pound and G. Rebka, Jr. at

H a r v a r d U n i v e r s i t y c o n d u c t e d

experiments in which photons (gamma

rays) emitted at the top of a 22.57 m high

apparatus were absorbed at the bottom,

and photons emitted at the bottom of the

apparatus were absorbed at the top. The

experiment showed that photons which

had been emitted at the top had a higher

frequency upon reaching the bottom than

the photons which were emitted at the

bottom. And photons which were emitted

at the bottom had a lower frequency upon

reaching the top than the photons emitted

at the top. These results are an important

part of the experimental evidence

supporting general relativity theory which

predicts the observed "redshifts" and

" b l u e s h i f t s . "



Einsteins Gedankenexperiment: Licht durch Gravitation abgebogen

Betrachte Raumschiff, worin eine Lichtquelle von A nach B strahlt-

Ein außenstehender Beobachter sieht das Raumschiff mit der Beschleunigung g.

Der Lichtstrahl folgt für ihn die Kurve C, d.h. der Raum ist gekrümmt im

beschleunigten System. Beachte: spezielle Rel.-Theorie für unbeschleunigte Systeme,

ART für beschleunigte Systeme.

Photon im Gravitationsfeld folgt AC,

Photon in einem beschleunigten System folgt AC.

Sind sie equivalent????



Äquivalenzprinzip

Equivalenzprinzip:

Physik durch Gravitation ist identisch mit Beobachtungen

in einem beschleunigten Referenzsystem,



Abbiegung im Gravitationsfeld der Sonne

Scheinbare Verschiebung der Sternen hinter der Sonne,

Beobachtbar bei Sonnenfinsternis!



Raumkrümmung in 1919 von Eddington beobachtet.

Einsteins ART bestätigt

Verschiebung der Positionen der Sterne von Eddington

gleichzeitig in Westafrika und Brasilien beobachtet.

Vorhersage nach Newton: δ=0.87 Bogensekunden

Vorhersage nach Einstein: δ= 2 x 0.87 Bogensekunden

durch zusätzliche Zeitverzögerung !

Mond



Zeitverzögerung im Gravitationsfeld

bedeutet:

Oder 1+2-1 1+2/1+1 =2/1=T1T2

Setze 1=0 , 2= und T1= = Periode im Ruhesystem, t=T2

Dann: 1+=/t oder (1+)t

Für Licht gilt: d2=c2dt2-dl2=0.

Naheliegende Verallgemeinerung:

d2=c2(1+2)dt2-dl2=0 oder dl2=c2(1+2)dt2 oder dl=c(1+) dt

Geschwindigkeit: dl/dt=c(1+)=c(1-mgh), d.h. Photon wird

langsamer im Gravitationsfeld bei Höhe h!



Äquivalenzprinzip bedeutet:

Beschleunigung = Gravitation = Raumkrümmung

Experiment: bringe Cs Uhr von A->B und messe Zeit (=n Wellenberge) bis

C. Vergleiche mit Uhr in A bis gleiche Anzahl an Wellenberge. Uhr bei BC

langsamer als bei AD, da c‘=c(1+) (siehe vorherige Seite). D.h.tt0 AB

nicht parallel DC oder Raum gekrümmt durch Gravitation!

t0

t´ Höhe

Zeit

Gravitation = Raumkrümmung!

A

B C

D



Raumkrümmung



Raumkrümmung



Gravitation = Scheinkraft

Scheinkräfte sind Kräfte, die nur von Ort und Geschwindigkeit

eines Körpers abhängen.

Scheinkräfte können verschwinden:

Zentrifugalkraft = 0 in einem ruhenden System (ω = 0)

Corioliskraft = 0 in einem ruhenden System (ω = 0)

Schwerkraft = 0 in einem geschickt beschleunigten System,

d.h. auch die Schwerkraft ist eine Scheinkraft!

Elektrisches Feld um ein Elektron niemals 0! Elektrische Kraft

Ist KEINE Scheinkraft.



Grundidee der Allgemeinen Relativitätstheorie

1. Masse erzeugt Krümmung

2. Krümmung bestimmt wie Masse sich bewegt

(auch relativ. in sowohl Inertial- als auch

beschleunigte Systeme, daher allgemeiner

als spezielle Relativitätstheorie

Analogie: Masse krümmt Membran und Krümmung

bestimmt wie Kugel rollt.



Einsteinsche Feldgleichungen der ART

Quellterm: Energie-Impuls-Tensor T,

die alle Energie und Impuls umfasst

Krümmung: Einstein-Tensor G, die Geometrie der

vierdimensionalen Raum-Zeit beschreibt

Einsteinsche Feldgleichungen: G=kT

Bei Isotropie ist die Krümmung konstant und hängt nur von R ab.

Daher hat G nur noch 2 Komponenten: R und t und wird

statt ein 4x4 ein 2x2 Tensor.

Auch der Quellterm darf bei Isotropie keine Scherspannungen

enthalten. T reduziert sich daher auf Diagonalterme

(-E,p)=(-c2,p), wobei p der Druck ist.



Einsteinsche Feldgleichungen in Tensor-Form

Im Allgemeinen sind G und T symmetrische 4x4 Tensoren, daher

10 unabh. Elemente. Dies entspricht 10 unabh. nicht-lineare

Differentialgl. Nicht-linear, weil mehr Masse (=rechte Seite) linke

Seite nicht-linear ändert. Bisher keine allgemeine Lösungen

gefunden, nur Spezialfälle gelöst, wie z.B. bei einer isotropen und

homogenen Massenverteilung. Dann reduzieren sich die Gl. auf 2

Differentialgl., die sogenannte Friedmann-Gleichungen. Sie wurden

unabh. entdeckt vom belgischen Priester Lemaitre, der daraus als

Erster die Schlussfolgerung eines expandierenden Univ. inklusive

Urknall zog.

Isotrop:



Friedmannsche Gl. und Newtonsche Mechanik

Die Friedmannsche Gleichungen der ART entsprechen

1. Newtonsche Mechanik

2. + Krümmungsterm k/S2

3. + E=mc2 (oder u=c2)

4. + Druck ( Expansionsenergie im heißem Univ.)

5. + Vakuumenergie (=Kosmologische Konstante)

Dies sind genau die Ingredienten die man braucht

für ein homogenes und isotropes Universum,

das evtl. heiß sein kann (Druck ≠ 0)



Friedmann Gleichungen



Erste Friedmann Gleichung und Newton

Dies entspricht erste Friedmann-Gleichung im Grenzfall

E=0 , k=0, =0, d.h. keine kosmologische Konstante und

keine Krümmung (wie erwartet für E=0).

M m v

Für E=0: H2 = (S/S)2 = 8G/3



Berücksichtigung der Expansionsenergie



Differenziere (1) und benutze u=c2

ergibt die zweite Friedm. Gl., wenn man für u Gl. 5.15 benutzt.

Zweite Friedmanngl.

(1)

(2)



Zum Mitnehmen:

1. Licht empfindet Gravitation. Lichtquant (Photon)

hat effektive Masse m = E/c2 = hν/c2

2. Materie krümmt den Raum und Weltlinien der Materie

folgen Raumkrümmung.

Diese gekrümmte Weltlinien erzeugen für Licht

Gravitationslinsen und Schwarze Löcher

3. Friedman-Lemaitre Gleichungen beschreiben

ART für eine isotrope und homogene

Massenverteilung



3 km

Extremste Form der Raumkrümmung: Schwarzes Loch



Ein Schwarzes Loch wird sichtbar durch Zuwachs



Extremste Form der Raumkrümmung: Schwarzes Loch

SL umgeben von Akkretionsscheibe,

Durch Drehimpulserhaltung rotiert

einfallende Materie immer schneller

bei kleinen Radien und bildet

Akkretionsscheibe, die heiss wird

und Röntgenstrahlung aussendet.

Magnetfeld im Zentrum sehr hoch,

wo Beschleunigungsprozesse der

geladenen Teilchen stattfinden.

Diese führt zu Materieströmen

aus dem Zentrum (Jets).

Praktisch jede Galaxie hat im Zentrum

ein SL. In der Milchstraße sichtbar

durch Drehung einiger Sterne um

einen sehr kleinen Radius mit sehr

hoher Geschwindigkeit.



Größe und Dichte eines SL.

Radius eines SL:

R = 2GM/c2, d.h.

wächst mit Masse!

Masse unseres

Universums: die

kritische Dichte von

10-29 g/cm3 (1023 M☼)

liegt auf diese Linie,

d.h. es ist nicht

ausgeschlossen, dass

wir in einem SL leben. J. Luminet

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