Ekonomski fakultet, Beograd,11/ 2010. 1avs.ekof.bg.ac.rs/master-medjunarodna ekonomija/eko21-10.pdf · Profesor Zorica Mladenovic Ekonomski fakultet, Beograd,11/ 2010. 1 1 Klasi čni

Profesor Zorica Mladenovic

Ekonomski fakultet, Beograd,11/ 2010. 1

1

Klasični linearni regresioni model

Brooks, Introductory econometrics for finance, 2002, CUP

modifikacije: Zorica Mladenović

Mladenović i Petrović, Uvod u ekonometriju, 2007/10, EF.

2

Struktura predavanja

• Jednostavna regresiona analiza i metod običnih najmanjih

kvadrata (metod ONK)

• Klasični jednostavni linearni regresioni model (KLRM)

• Svojstva ocena dobijenih primenom metoda ONK u KLRM

• Statističko zaključivanje u KLRM

• Klasični višestruki linearni regresioni model



• Klasični višestruki linearni regresioni model

Klasični višestruki linearni regresioni model

• Prethodno smo ispitivali zavisnost inflacije od deprecijacijedeviznog kursa

• Ovakva postavka može biti suviše restriktivna.

• Inflacija može zavisiti i od:

1. ostalih troškovnih faktora (jedinični troškovi rada),

2. faktora na strani tražnje (proizvodni jaz) i

3. uvoznih faktora (cene uvoznih proizvoda, pre svega cena nafte)

• Neophodno je napraviti uopštenje linearnog regresionog modela: izabrana zavisna promenljiva zavisi od većeg broja nezavisnih promenljivih.

• Time dolazimo do višestrukog linearnog regresionog modela.

T. 1,2,..., t =++= ,tutXtY βα



Postavka modela

• Analitički oblik višestrukog linearnog regresionog modela:

• Gde je X1? To je konstantni član, koji se uobičajeno predstavlja vektor kolonom dimenzije Tx1:

• β1 je parametar uz konstantni član, koji se često naziva slobodan član (koji smo ranije označavali sa α)

T,...,2,1t,tuktXk...t3X3t2X21tY =+++++= ββββ

=

1

1

1

1XM

Postavka modela (II)

• parcijalni koeficijenti nagiba

• Na primer: ako se X2t poveća za jednu jedinicu, očekivana

promena Yt je jedinica, pod pretpostavkom da se ne

menja uticaj ostalih objašnjavajućih promenljivih

- k,...,3 ,2 βββ

.ktX,...,t3X2β



Pretpostavke KLRM (višestrukog)

1. E(ut) = 0

2. Var(ut) = σ2 < ∞ za svako t

3. Cov (ui,uj) = 0, i različito od j.

4. Objašnjavajuće promenljive nisu određene stohastičkim

članom

5. ut ∼ N(0,σ2)

6. Ne postoji tačna linearna zavisnost između objašnjavajućih

promenljivih (ni jedna od objašnjavajućih promenljivih se ne

može predstaviti kao linearna kombinacija ostalih).

Primenom metoda ONK dobijaju se najbolje linearne

nepristrasne ocene.

• Jednačinu možemo zapisati za svaku vrednost t:

• Ovaj sistem jednačina se može jednostavnije zapisati u

matričnoj formi:

Y = Xβ +u

gde je: Y vektor kolona dimenzije T × 1

X matrica dimenzije T × k

β vektor kolona dimenzije k × 1

u vektor kolona dimenzije T × 1

T,TukTXk...T3X3T2X21TY

,2u2kXk...32X322X212Y

,1u1kXk...31X321X211Y

=+++++=

=+++++=

=+++++=

t

2 t

1 t

ββββ

ββββ

ββββ

MMM

Postavka modela u matričnoj formi



Postavka modela u matričnoj formi (II)

• Pretpostavimo da je k jednako 2, što znači da u modelu imamo jednu objašnjavajuću promenljivu:

T ×1 T×2 2×1 T×1

+

=

Tu

2u

1u

2

1

T2X1

22X1

21X1

TY

2Y

1Y

MMMM β

β

Primena metoda ONK

• U jednostavnom modelu razmatrali smo rezidualnu sumu

kvadrata. Odgovarajuće ocene parametara smo dobili iz uslova

da vrednost rezidualne sume kvadrata bude minimalna.

• Predstavljamo reziduale u u matričnom zapisu:

• Rezidualna suma kvadrata je:

=

Tu

u

u

u

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ 2

1

M

[ ] ∑=+++=

==

T

1t

2t

2T

22

21

T

2

1

T21 uu...uu

u

u

u

uuuu'u K



Primena metoda ONK (II)

• Da bismo dobili ocene parametara β1, β2,..., βk, potrebno je

da odredimo minimum rezidualne sume kvadrata u odnosu

na ocene β1, β2,..., βk .

• Vektor ocena je:

YXXX

k

′′=

= −12

1

)(

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

β

β

β

βM

( )

( ) ( ) {

)Y'X(1)X'X(ˆ0ˆX'X2Y'X2ˆ

L0

ˆ

L

ˆX'X'ˆY'X'ˆ2Y'Yu'uL

ˆXˆX'X'ˆˆX'YY'X'ˆ:Napomena

1x1

ˆX'X'ˆ

1x1

)1kx(x)Txk(x)xT1(

ˆX'Y

1x1

)1Tx(x)kxT(x)xk1(

Y'X'ˆ

1x1

Y'YˆXY'ˆXYu'uL

?

kˆ

2ˆ

1ˆ

ˆˆXYu,ˆXY

−=⇒=+−=∂

∂⇒=

∂

∂

+−==

−=

+−−=−−==

=

=−==

ββββ

βββ

βββββ

ββββββ

β

β

β

βββ

kvadrat - skalar,

, reziduala vektor

43421

444 3444 21

321

444 3444 21

321

M

Primena metoda ONK (III)



Određivanje standardnih grešaka

ocena u višestrukom modelu

• U jednostavnom modelu ocena varijanse σ2 je:

• U jednostavnom modelu ocena varijanse ocene nagiba je:

• U višestrukom modelu ocene varijanse σ2 je:

• U višestrukom modelu ocene varijansi vektora ocena je:

∑ − 2)XtX(

2s

2T

us

2t2

−∑

=

12 −)X'X(s

kT

u'us

−=2


ocena u višestrukom modelu (II)

12 −)X'X(s

• Ovo je matrica dimenzije kxk koja se naziva kovarijantna

matrica ocena parametara.

• Elementi na glavnoj dijagonali su ocene varijansi.

• Element (1,1) je ocena varijanse ocene slobodnog člana

• Element (2,2) je ocena varijanse ocene , itd.

• Elementi van glavne dijagonale su ocene kovarijacionih

koeficijenta između ocena.

1ββββ

2ββββ



( )( )

1)X'X(2s)ˆ(2s)ˆr(av

1)X'X(21)X'X)(X'X(1)X'X(21)X'X(X

I2

'uuE'X1)X'X(

1)X'X(X'uu'XE1)X'X(1)X'X(X'uu'X1)X'X(E

'u

'X

1)X

'X(u

'X

1)X

'X(E

'ˆˆE)ˆvar(

u'

X1

)X'

X())uX('

X(1

)X'

X(ˆ

)Y'X(1

)X'X(ˆ

uXY

−==

−=−−=−

−=

−

−=

−

−=

−

−=−−=

−+=+−=

−=

+=

ββ

σσ

σ

βββββ

βββ

β

β

321


ocena u višestrukom modelu (III)

Izračunavanja ocena parametara i

standardnih grešaka ocena: primer

• Primer: Mesečni podaci privrede Srbije u periodu: januar

2003 – avgust 2009. godine (T=80) za sledeće promenljive:

Inflacija (stopa rasta cena na malo u %)

Deprecijacija deviznog kursa (u %)

Stopa rasta cena industrijskih proizvoda (u %)

• Ocenjujemo model oblika:

• Uzoračka funkcija je:

t3X3ˆ

t2X2ˆ

1ˆ

tY βββ ++=

tut3X3t2X21tY +++= βββ



Primer - grafički prikaz modela (II)

Primer (III)

i.p. cena

inflacija rasta s. deprec.

↓↓↓

=

=

−=

TY

2Y

1Y

Y,

T3XT2X1

32X22X1

31X21X1

X

)Y'X(1

)X'X(ˆ

MMMM

β



Primer (IV)

0.356677

27.4615 27.4615,

0.35826

0.15005

0.48973

68.09048

63.03460

67.80240

0.02119 0.00138 0.01728-

0.00138 0.00463 0.00348-

0.01728- 0.00348- 0.02781

68.09048

63.03460

67.80240

97.0166618.0397862.53804

18.03978241.7423841.44851

62.5380441.4485180

====

=

=

==

=

=

∑

∑

∑

=

=

∑∑∑

∑∑∑

∑∑

=

−

T-k

u'u2su'u,

3ˆ2

ˆ1

ˆ

ˆ

)Y'X()X'X(

3ˆ2

ˆ1

ˆ

ˆ

tYt3X

tYt2X

tY

)Y'X(

,

2t3

Xt3Xt2Xt3X

t3Xt2X2t2

Xt2X

t3Xt2XT

)X'X(

1

β

β

β

β

β

β

β

β

Primer - izračunavanje standardnih grešaka ocena (V)

• Kovarijantna matrica ocene vektora $β

( ) ( ) ( )0869.00406.00996.0

X3583.0X1500.04897.0Y t3t2t

++=

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) 0869.0ˆSEˆvar

0406.0ˆSEˆvar

0996.0ˆSEˆvar

)X'X(s

33

22

11

12

=⇒=

=⇒=

=⇒=

=

=−

ββ

ββ

ββ

0.00756

0.00165

0.00992

0.00756 04-4.92672e 0.00616-

04-4.92672e 0.00165 0.00124-

0.00616- 0.00124- 0.00992

0.02119 0.00138 0.01728-

0.00138 0.00463 0.00348-

0.01728- 0.00348- 0.02781

0.3566



Primer (VI)

• Parcijalni koeficijenti nagiba:

0.1500 – ako se deprecijacija dinara ubrza za 100 procentnih poena, tada se inflacija povećava za 15 procentnih poena (uz stabilne cene industrijskih proizvoda)

0.3583 – ako se rast cena industrijskih proizvoda ubrza za 100 procentnih poena, tada se inflacija povećava za oko 36procentna poena (uz stabilan devizni kurs).

• Da li deprecijacija deviznog kursa i stopa rasta cena industrijskih proizvoda utiču značajno na inflaciju?

( ) ( ) ( )0869.00406.00996.0

X3583.0X1500.04897.0Y t3t2t

++=

Specifičan tip t-testa: t-odnos

• Kao i u slučaju jednostavnog modela, i u višestrukoj regresiji se

koristi test-statistika oblika:

• Pretpostavimo da je hipoteza od interesa: H0 : βi= 0, protiv

H1 : βi≠ 0, i=1,2,3.

• U uslovima validnosti nulte hipoteze test-statistika je:

• Budući da je u pitanju količnik ocene i odgovarajuće standardne

greške te ocene, ova statistika se naziva t-odnos.

• Na ovaj način se proverava značajnost pojedinačnog uticaja svake

od objašnjavajućih promenljivih na zavisnu promenljivu.

)ˆ(SE

*ˆstatistikatest

i

ii

ββββ

ββββββββ −=−

)ˆ(SE

ˆstatistikatest

i

i

ββββ

ββββ=−



Uticaj deprecijacije deviznog kursa i stope rasta cena

industrijskih proizvoda na inflaciju: primena t-odnosa

• U prethodnom primeru smo dobili:

Ocena 0.4897 0.1500 0.3583

SE ocene 0.0996 0.0406 0.0869

t-odnosi 4.92 3.69 4.12

Kritična vrednost t-raspodele sa 80-3= 77 stepeni slobode i

nivo značajnosti 5% (2.5% na svakom kraju repa raspodele): 1.99.

Da li prihvatamo

H0: β1 = 0? (Ne)

H0: β2 = 0? (Ne)

H0: β3 = 0? (Ne)

Zaključak: promenljive ostvaruju uticaj koji je statistički

značajan na nivou značajnosti 5%.

Documents

Ekonomski fakultet, Beograd,11/ 2010. 1avs.ekof.bg.ac.rs/master-medjunarodna ekonomija/eko21-10.pdf · Profesor Zorica Mladenovic Ekonomski fakultet, Beograd,11/ 2010. 1 1 Klasi čni