Eksterno Matematika Odgovori 2015

7/25/2019 Eksterno Matematika Odgovori 2015

http://slidepdf.com/reader/full/eksterno-matematika-odgovori-2015 1/22

Обратен размер на размерот a :b е: / b:a Математика

Геометриска средина x на отсечките m и n е: / x=корен од m*n Математика

За де !еометриски "и!#ри $то имаат сосема иста "орма% а

различни или исти !олемини елиме дека се: / слични Математика

&редноста на размерот '( :) е: / ( Математика

Односот на страните и периметрите на да слични триа!олниие: / еднако

Математика

За пропори+ата ):,=-:. натре$ни членои се: / , и - Математика

&о праоа!олниот триа!олник за ко+ ажи c = a 0 b% 1ипотен#зае страната: / 2


&исината h сп#$тена кон 1ипотен#зата с о еден праоа!олен

триа!олник е !еометриската средина на проекиите p и q одкатетите рз 1ипотен#зата3 4оа со "орм#ла се запи$#а: /5=корен од 6*7


8азмерот ( : -) претстаен о ид на размер чии членои сеприродни броеи е:/ ):'9


о+ бро+ треба да стои на местото на б#ката a за да биде точнораенстото )=,a ; / а = <


Триаголниците АBC и MNP се слични, притоа BC¯=20 cm, AC¯=22 cm и NP¯=30 cm . ол!" и#нес"$а MP¯ % & MP = 33 cm


А!о триаголниците ABC и A'B'C' се слични и пло(тината натриаголни!от ABC е )* cm2, пло(тината на триаголни!отA'B'C' е 2+ cm2, страната a = - cm, !ол!а$а е ол/инатана страната ' % & + cm


ко должините на страните на триа!олникот изнес#аат )2m%-2m и (2m% то!а$ идот на триа!олникот според а!лите е: /праоа!олен


А!о ипотен"#ата $о еен пра$оаголен триаголни! е '0 cm,а ената !атета е -cm, тога( р"гата !атета е1 & ) cm


А!о триаголниците ABC и A'B'C' се слични и L = '' cm, L' =22 cm, a = 2 cm,тога( ол/ината на страната ' е1 & * cm


>и+а!оналата о праоа!олник со страни ( 2m и ' 2m ?:/ ') 2m Математика

@ериметарот на еден праоа!олен триа!олник со катети a = , 2mи b = . 2m е:/ A = - 2m


&редноста на непознатиот член о пропори+ата , :)='9 : x ?:/ (




ко должините на страните на триа!олникот се <2m% '2m и

'(2m% то!а$ еден не!о натре$ен а!ол изнес#а: / <9BМатематика

ко односот на пло$тините на да слични триа!олнии е ( : .' то!а$ односот на нините соодетни страни е: / (:<


Cипотен#зата на праоа!олен триа!олник со катети < m и ' m е:/2= '( m Математика

олк# изнес#а !еометриската средина на отсечките со должини- и <;/ ,


ко редноста на размерот x : '- е )% то!а$ x ?: / x= - Математика

8омб со ди+а!онали - 2m и '9 2m има страна со должина: / ') 2m Математика

олк# изнес#а исината на едно дро ако не!оата сенка е - m%а расто+анието од рот на дрото до кра+от на сенката е ( m; / )m


>и+а!оналата на праоа!олник со страни )9 2m и -9 2m ?: / (9 2m Математика

ко L1 = ,9 2m и L2 = 9 2mсе периметри на да сличнитриа!олника% то!а$ нините соодетни пло$тини P1 и P2 сеоднес#аат како: / <:'


&о еден праоа!олник дадени се ди+а!оналата d = '9 2m истраната b = , 2m3 олк# е дол!а страната а; / a = , 2m


>аден е размерот (( 3 олк# изнес#а редноста на не!оиотобратен размер;/ (


>адени се раенките:

x0)=9)x0-DEF=()x0(=9x0(D=.

о+а од дадените раенки е линеарна раенка со една непозната;/ x0) = 9


>адени се раенките: xaE)D='9a.xEG='(0(x-xE(=(x,x)E-D0G=9о+а од дадените раенки е параметaрска;/ xaE)D='9a


8аенката чие$то множесто ре$ени+а е празно множесто е: /неозможна


8е$ение на неранеката xH) е интералот: / I)% JnKnJLDM Математика

Гра"икот на "#нки+ата D=x0) е паралелен со !ра"икот на"#нки+ата: / треNа да има x


>адени се раенките: Математика



)x0-=Gx0a.x0(D=Gx0-x09%G=9%(,x0<'<xE,Dx=-x0)о+а од ни е линеарна раенка со непознати;/ .x0(D=.x 0

ко на дете страни на раенката има еднаки членои% то!а$: /тие може да се изостаат


8аенстата со променлии се икаат: / раенки Математика

>адени се раенките: x + y = '% x 0 ( = '% x - y + z = % x 0 = '3о+а од ни е линеарна раенка со една непозната;/ x0(='


Oро+от n о "#нки+ата PIxM=Qx0n се ика: / слоNоден член Математика

8е$ението на раенката )x0'(=<9 е: / 1= ( Математика

о+а од раенките е екиалентна на раенката ( 0 y = '( R) y ; / D= S )D0D='(E(


За ко+ природен бро+ раенката 23= премин#а о точнобро+но раенсто;/ 1 = ,


8аенката )-xE=( запи$ана без именител ?: / )1E. = 9 Математика

За ко+а редност на x нераенстото 24256+ премин#а оточно бро+но нераенсто; / ре$и +а на лист


8е$ение на нераенката xTE, е интералот: / UE) S JnKnJLD M Математика

V#ла на "#нки+ата f I x M = xE, е: / x=) Математика

>адени се точките IE%E(M% IE'%E-M % I9% )M и I%E'M3 Vиз ко+а одни мин#а !ра"икот на "#нки+ата D=ExE, ; / I E' S E- M


Vиз ко+а од дадение точки: IE%E(M % IE'%EM% I9% )M и IE%E'Mмин#а !ра"икот на "#нки+ата D=xE); / I E S E(M


Wто претста#аат !ра"иите на линеарните "#нкии D'=E)x0( и D=E)xE( и ко+а е нината заемна положба; / 4ие сепраи и се паралелни


8е$ение на раенката )x0,=' е: / 1 = Математика

За ко+а редност на параметарот a раенката .xE)aE(=a0(xE', има ре$ение x = ); / а = -




8е$ение на нераенката xX( е интералот: / x е IE JnKnJLD S ( Y Математика

Vа ко+ кадрант припаZа точката М со координати I)% E -M; / [\ Математика

]киалентна раенка на раенката -x0)D=G ?: / D= GE-x : ) Математика

8е$ение на системот нераенки 57 843 ?: / IE) S GM Математика

олк# е f IEM ако f(x) = - x – (; / PIEM = E ') Математика

Vераенката -xE'H)xE' доедена о ре$ена "орма ?: / xH) Математика

>адена е "#нки+ата D=xE) 3 о+а од точките ^I9% )M % _I'% 'M% `I% 'M и I(% ,M припаZа на не+зиниот !ра"ик; / ` I%'M


Оп$т облик на раенката xE)E()xE-=E'x е: / ре$и +а и треNа

1ED = 9 да до+деМатематика

8е$ение на раенката x0'=' е бро+от: / 1 = E '' Математика

>адени се следние раенки: х 0 ' = )% х 0 ' = G% х 0 ) = ) 0 х % ) 0 х = х E (%о+а од ни нема ре$ение;/ )01=1E(


>адена е нераенката (xE)Hx0, 3 о користеcе на теоремитеза екиалентни раенки и нините последии точно е: / 1H)


ол!" ре(ени9а и:а ра$ен!ата xE'=x0) ; / Vиедно% немаре$ение


8е$ение на системот линеарни нераенки xHE'xT' еинтералот: / UE' S JnKnJLDM


А!о систе: о $е линеарни ра$ен!и со $е непо#нати не:аре(ение, тога( гра;иците на тие линеарни ра$ен!и се1 &паралелни


А!о #а ра$ен!ата не е аено е;иниционото :но/ест$о,<е с:ета:е е!а тоа е :но/ест$ото на1 & реални рое$и


>е!о9а ра$ен!а со реални непо#нати x и y !о9а :о/е а се

транс;ор:ира $о $иот ax 6 by = c, !ае (то , ?, c@, 0, ?0D , се $и!а1& линеарна ра$ен!а со 2 непо#нати


Eа ра$ен!ата E,x0 (D=' !ое;ициенти се1 & 4) и 4+ Математика

F$а систе:а о$е линеарни ра$ен!и со $е непо#нати сее!$и$алентни $о истото е;иниционо :но/ест$о, а!о иса:о а!о1 & и:аат исти :но/. ре(ени9а




Gоочи 9а транс;ор:аци9ата 362H=+42H=4'35=I 362H=+*=4- . о9 :ето е !ористен% & :ето соспроти$ни !ое;ициенти


о9 о пореените паро$и1 ', 0D, 3, 43D, 0,42D, 2, 4'0D еено ре(ение на линеарната ра$ен!а со $енепо#нати x 6 y = 0% & 3 J 43D


Kа$ен!ата )x0D=xE-D0' L е!$и$алентна со1 & 2 6 )H = ' Математика

Kе(ение на систе:от ра$ен!и x0D=-)x0(D=< L1 & = 4 2 JH = 3


ол!" ре(ени9а и:а систе:от x0D=)xE-D=9 % & ено Математика

ол!" ре(ени9а и:а систе:от D0x='D0-x=( % & иено ,не:а ре(ение


O!$и$алентен на систе:от ра$ен!и x0D=')xE(D=' есисте:от

1 & H = ' 2 J 3 +H = 2'


ол!" ре(ени9а и:а линеарната ра$ен!а со $енепо#нати 2 x 6 y = 7 $о :но/ест$ото на реални Qрое$и% &ес!онечно :ног"


>о !о9 систе: о $е линеарни ра$ен!и со $е непо#нати епретста$ена реченицата REQирот о гоините на Sетар иT"са е *7, а ра#ли!ата $о ни$ните гоини е 3U% & 6H =*7 J 4H=3


ол!" ре(ени9а и:а ра$ен!ата 2 x y = 2', а!о x = 0, а y 0% & ено J H= 42'


Kе(ение на систе:от линеарни ра$ен!и D=x)x0D='9 е1 &

L = =2 J H=*Математика

>о е!$и$алентна транс;ор:аци9а, ра$ен!ата x0)DE'=-DExE) е о$еена $о оQли!1 & 3 H = 4 2


Vра;и!от на линеарната ра$ен!а y 2 x = * 9а сечеапсцисата $о точ!ата A со !ооринати1 & A 2J0 D


Eа !о9а $реност на m пореениот пар 2, 4 'D е еноре(ение на ра$ен!ата 2 x 3Dm y = 7 m% & m = 3


Vра;и!от на линеарната ра$ен!а D=)x0) % 9а сечеоринатната ос!а $о точ!ата со !ооринати1 & 0 J 3 D


ол!" ре(ени9а и:а систе:от ра$ен!и x0D='x0D= % &

иено , не:а ре(ение


А!о пореениот пар 2, 43D е ено ре(ение о:но/ест$ото ре(ени9а на ра$ен!ата 2k 'D x + 3y = ',тога($реноста на k е1 & W = 3


Sореениот пар ', 4 2D е ено ре(ение на ра$ен!ата1 &Eа:ени $о #аачата


А!о гра;и!от на ра$ен!ата ax 6 by = ' :ин"$а ни# точ!итесо !ооринати 9%E') и '(%9 % тога( !ое;ициентите на




ра$ен!ата се1 & ре(и 9а со а6?H = ' и #а:ени та:о

ол!" ре(ени9а и:а систе:от ра$ен!и x0D=(E)xE,D=E'( % &Xес!онечно :ног"


о9 о слени$е паро$и ра$ен!и се е!$и$алентни12 x 6 y = - и 2 x 6 y 2 = '0,

2 x 6 y = - и 2 x 6 y 6 2 = '0,2 x y = + и * x 6 2y 2 = '0 ,2 x y = - и 2 x 6 y = -.& 2 6 H = - и 2 6 H 6 2 = '0


о9а ;"н!ци9а и:а гра;и! паралелен со гра;и!от на;"н!ци9ата y = 2 x 4 3 и :ин"$а ни# точ!ата со !оорината0, 3D% & H = 2 6 3


А!о $е точ!и о ена пра$а ле/ат на не!о9а ра:нина,тога( !а!$а е #ае:ната поло/Qа на пра$ата и ра:нината% &Sра$ата ле/и $о ра:нината


Gол":енот на !$аар со и:ен#ии a, b, c се прес:ет"$а со;ор:"лата1

& Y = Z?Zc


Oна прое!ци9а е ортогонална прое!ци9а а!опрое!тирач!иот пра$ец е1& ор:ален на прое!тирач!ата ра:нина


Gол":енот на !оц!а со раQ a се прес:ет"$а со ;ор:"лата1

& Y = dМатематика

А!о $е ра#лични ра:нини и:аат #аенич!а точ!а, тога(тие и:аат #аенич!а1

& Sра$аМатематика

Gол":енот на пира:иа со осно$а пра$оаголни! сострани a и b и $исина H,се прес:ет"$а со ;ор:"лата1 & [ =BZ\


ол!" раQа и:а триаголна при#:а% & раа Математика

А!о Bе пло(тината на осно$ата, а Mпло(тината на Qочнатапо$р(ина, тога( пло(тината Pна пира:иата сепрес:ет"$а со ;ор:"лата1& P = B6M


А!о Bе пло(тината на осно$ата, а H$исината на при#:ата,тога( $ол":енот V на пра$а при#:а се прес:ет"$а со;ор:"лата1& [ = BZ\






@ло$тината на праилна четириа!олна призма со раб a и исинана призмата Hсе пресмет#а со "орм#лата: / e = _ 0 f S e = aIa0gM


А!о B е пло(тината на ената осно$а, а Mпло(тината наQочната по$р(ина, тога( пло(тината P на при#:ата сепрес:ет"$а со ;ор:"лата1 & P = 2B6M


Fи9агоналниот пресе! на !$аар претста$"$а1 &пра$оаголни!


ол!" $!"пно раQо$и и:а ос":аголна при#:а% & 2* Математика

]сно$ата на пра$илна четириаголна пира:иа е1 & !$арат Математика

Sло(тината на !$аар сои:ен#ии =2 cm, ?=3 cm, c=+ cm и#нес"$а1

& )2 cmhМатематика

ол!" литри и:а $о m) ; / 999 i Математика

^ол!" и#нес"$а раQот на !оц!а чи9 $ол":ен е V = - cm3% & = 2 cm


А!о пло(тината на ената осно$а на цилинар е 2+ m2, аQочната пло(тина е 30 m2, тога( пло(тината на

цилинарот е1 & P = -0 mhМатематика

Gол":енот на !оц!а со раQ a = 3 cm и#нес"$а1 & 27 cmd Математика

ол!" и#нес"$а Qочната пло(тина на !он"с, а!опло(тината на !он"сот е <j 2m и пло(тина на осно$ата

е )j 2m ; / f = , j 2mh


Sросторната и9агонала на !оц!а со раQ a = ' cmи#нес"$а1

& k) 2mМатематика

Sло(тината на топ!а со раи"с R = 2 _m и#нес"$а1 & ') j

lmhМатематика

А!о осно$ата на ена при#:а е пра$оаголни! со ол/ина ')m и (ирина 3 m, тога( пло(тината на ена осно$а напри#:ата и#нес"$а1

& *- mh


А!о !оц!а и:а $ол":ен о 27 cm3, тога( пло(тината на

еен `и на !оц!ата е1& P = cmh Математика

Sло(тината на осно$ата на еен !он"с е '2 cm2, а$ол":енот на !он"сот е 3) cm3. ол!" и#нес"$а $исината на!он"сот%& \ = cm


ол!" и#нес"$а пло(тината на цилинар со раи"с + mи$исина * m%




& P = 0 j mh

олк# изнес#а ол#менот на кон#с со ради#с R = '( m иисина H = . m;

/ \= ,99 j mdМатематика

олк# изнес#а просторната ди+а!онала на кока чи+а$тоди+а!онала на осноата е 2m; / k) 2m


ол!" е $исината на !он"с со раи"с 3 cm и$ол":ен '(j 2m) ;/ g = '( 2m


ол!" и#нес"$а $ол":енот на топ!а со и9а:етар ) cm%

& [ = 3) j 2mdМатематика

ол!" и#нес"$а пло(тината на Qочната по$р(ина напра$илна триаголна при#:а со раQ a = + cmи$исина H = 20cm%

& M = 300 cmh


ол!" и#нес"$а пло(тината на Qочната по$р(ина напра$илна(естаголна при#:а со раQ a = * cmи$исина H = +cm%

& M = '20 cmh


Sри#:а и пира:иа и:аат ена!$и осно$и и ена!$и$исини. Gол":енот на пира:иата е )* cm3. ол!" е$ол":енот на при#:ата%& [= '2 cm3


олк# изнес#а пло$тината на кон#с со ради#с G 2m и!енератриса . 2m;

/ e = '9( j 2mhМатематика

Sри#:а и пира:иа и:аат ена!$и осно$и и ена!$и$исини. А!о $ол":енот на при#:ата е '+0 cm3, $ол":енот напира:иата е1

& [ = +0 cmd


ол!" и#нес"$а $ол":енот на пра$а при#:а со пло(тина наосно$ата *0 cm2 и $исина на при#:ата cm%

& [ = 3)0 cmdМатематика

ол!" и#нес"$а $ол":енот на !$ар со страни = '0 cm, ?= + cm и c = - cm%

& [ = *00 cmdМатематика

Sло(тината на осно$ата на ена пра$а при#:а е )0 cm2 , а$ол":енот на при#:ата е '-00 cm3 . ол!" и#нес"$а$исината на при#:ата%& \ = 30 cm


Kаи"сот на топ!ата е + _m. ол!" и#нес"$а пло(тината наголе:иот !р"г%

& P = 2+ j lmhМатематика

a#Qраниот ел еле:енти о поп"лаци9ата, на !ои се $р(и Математика



испит"$аbето се $и!а1& при:еро!

Gеро9атност на не$о#:о/ен настан е1 & 0 Математика

Gеро9атноста а се пане грQ при ено ;рлаbе на :онета е1

& d J 0,+ Математика

Gо ена !"ти9а и:а 3 Qели и * црни топчиbа. Gеро9атностаа се и#$лече Qело топче е1 & 3&7


Gо ена !"ти9а и:а 3 Qели и * црни топчиbа. Gеро9атностаа се и#$лече црно топче е1 & *&7


А!о ена $ртеле(!а и:а ) ена!$и полиbа оQеле/ани со ',2, 3, *, +, и ). ол!а$а е $еро9атноста стрел!ата а #астанена полето со Qро9 '%& '&)


ол!а$а е $еро9атноста при ;рлаbе на !оц!а (то ео#начена на се!о9а о страните со Qрое$ите о ' о ) на

горната страна а Qие прост Qро9%/ '/


Sри ;рлаbе на !оц!а #а играbе (то е о#начена на се!о9ао страните со Qрое$ите о ' о ), $еро9атноста а сепане Qро9от 7 е1 & 0


Eа $а пара отсеч!и a, b и c, d а 0, b 0, c 0, d 0Dсе$ели е!а се пропорционални а!о1 & 1? = c1_


А!о триаголни!от ABC е пра$оаголен со ипотен"#а cи!атетиaиb, при (то $исината сп"(тена !он ипотен"#атае h, а соо$етните ортогонални прое!ции на!атетите aиb$р# ипотен"#ата се pиq, тога( $исинатасп"(тена !он ипотен"#ата се прес:ет"$а со ;ор:"лата1 & e

= k6*7


А!о триаголни!от ABC е пра$оаголен со ипотен"#а cи!атетиaиb, притоа $исината сп"(тена !он ипотен"#атае h, а соо$етните ортогонални прое!ции на!атетите aиb$р# ипотен"#ата се pиq, тога( !атетата aсе

прес:ет"$а со ;ор:"лата1 & = k6*2 S k7*2


А!о триаголни!от ABC е пра$оаголен со ипотен"#а cи!атетиaиb, притоа $исината сп"(тена !он ипотен"#атае h, а соо$етните ортогонални прое!ции на!атетите aиb$р# ипотен"#ата се pиq, тога( !атетата bсе

прес:ет"$а со ;ор:"лата1 & ?= k7*2 S k6*2


Fаени се отсеч!ите a = '0 cm, b = ) cm, c = 20 cm и d = '2cm. ои о аените паро$и отсеч!и се пропорционални% &1c = ?1_


е!а ол/ините на страните на f АВС се онес"$аат!а!оa 1 b 1 c = 3 1 + 1 -. ол!а$и се ол/ините на странитена f А'В'С' со пери:етар *-cm, а!о f АВС е сличенна f А'В'С'% & ,'+,2*


>траните на еен триаголни! се ) cm, - cm и '2 cm. Математика



ол!а$и се ол/ините на страните на р"г триаголни!,сличен со него а!о !ое;ициентот на сличност е Q=' ; /'%',%-

ое ра$енст$g претста$"$а пропорци9а соста$ена ослени$е четири отсеч!и2,+ cm, 3 cm, + cm и ',+ cm%& ',+ 1 3 = 2,+ 1 + J 3 1 ',+ = + 1 2,+


>траните на еен триаголни! се '0 cm, '2 cm и '+ cm.ол!а$и се страните на р"г триаголни! сличен со него а!о!ое;ициентот на сличност е W=2+ %& ре(и 9а та:"


Gо f АВС на црте/от пра$ата MN е паралелна со BС.ол!а$а треQа а Qие ол/ината на AN h , а!о AB h=- cm, AC h='2 cm , AM h =) cm %

& AN = cm


Sери:етрите на сличните триаголници ABC и A'B'C' сеонес"$аат !а!о * 1 +, а пло(тината на триаголни!от ABCе32 cm2. ол!" и#нес"$а пло(тината на триаголни!от A'B'C'%

& P = *0 cmh


>аени се отсеч!ите a = ) cm, b = *,- cm и c = '0 cm.ол!а$а треQа а Qие ол/ината на отсеч!ата d та!а (топаро$ите a,bи c, d а Qиат пропорционални%& _ = - cm


>траните натриаголни!от ABC се онес"$аат !а!о 3 1 * 1 ).

А!о на9:алата страна на триаголни!от A'B'C' !о9 е сличен сотриаголни!от ABC е cm, !ол!" и#нес"$а пери:етарот натриаголни!от A'B'C'%& i = 3 cm


F$а и#ра#и с$р#ани со #на!от R=U оQра#"$аат1 & ра$енст$о Математика

А!о ра$енст$ото не пре:ин"$а $о точно Qро9но ра$енст$о #анит" ена $реност на про:енли$ата о е;иниционото:но/ест$о се $и!а1 & не$о#:о/но или проти$речно


А!о сите члено$и на аена ра$ен!а се по:но/ат со ', сеоQи$а ра$ен!а1& е!$и$алентна на аената или спроти$на


Kа$ен!ата x = a a @ jD о !о9а :о/е а се прочитаре(ението се $и!а1


о9 интер$ал е ре(ение на систе:от нера$ен!и со енанепо#ната x0HE-xE'HEx ;/ x ? I'% JnKnJLDM


Eа !о9а $реност на x @0, ', ', *k нера$ен!ата 2 x 3D 6 ' Математика



I 3 x 'D 6 x 6 *пре:ин"$а $о точно Qро9но нера$енст$о%& = 4 *

Tно/ест$ото ре(ени9а на нера$ен!ата xEx0')Xx0 епретста$ено со интер$алот1& l47 J nonpH D J Iq 7


ол!" и#нес"$а k $о ;"н!ци9ата f x D = k – 2D r x – ', та!а(то f 2D = *%& W = *,+


Eа !ои $рености на x @ 0, ', 2, 3Dра$енст$ото x0,=(x пре:ин"$а $о точно Qро9но ра$енст$о%& 2 и 3


о9 интер$ал е ре(ение на систе:от нера$ен!и Ix0'MEIxE'MX,xT' ;/ U' S )/ Y


ол!" и#нес"$а k $о ;"н!ци9ата f x D = 2k *D x ', та!а(то f ' = *%& W = 7


>о !о9 интер$ал :о/е а се претста$и :но/ест$оторе(ени9а на нера$ен!ата x T *%& l4* J nonpH D


Kа$ен!ата xE(=x0'( #апи(ана $о оп(т $и е1& ре(и 9а, треа а се о$ее 4H = 0


Eа !о9а $реност на пара:етарот a ра$ен!ата x 3Da x 6'Da 3D = x 6 a 6 -, и:а ре(ение x = 3%& = '&+


ол!" и#нес"$а !оренот на ра$не!ата 2 x ' = 3 x 6 +%& = 4 )


F$е линеарни ра$ен!и со $е непо#нати оQра#"$аат систе:,а!о #а тие $е ра$ен!и се Qара1& ре(ение


А!о $о ената ра$ен!а на систе:от линеарни ра$ен!и со$е непо#нати се и#ра#и ената непо#ната пре!" р"гата иистата непо#ната се #а:ени со оQиениот и#ра# $о р"гатара$ен!а се оQи$а е!$и$алентен систе: линеарни ра$ен!и.]$о9 начин на ре(а$аbе систе: линеарни ра$ен!и со $енепо#нати се $и!а1& Tето на #а:ена


ол!" ре(ени9а и:а систе:от а!о гра;иците на ра$ен!итена систе:от линеарни ра$ен!и со $е непо#нати сесо$паsаат% & Xес!онечно :ног"


Kа$ен!ата I)xE'M0ID0M=<IxE'M0ID0'M #апи(ана $ооQли! ax 6 by = c е1& '2 6 2H = +


Kа$ен!ата Ix0MEID0M=xEDx0DE)% претста$ена $о;ор:а ax0bD=2 е:/ -x R -D = E )


Kе(ение на систе:от линеарни ра$ен!и x0D=(9xED=)9 е1 Математика



& = *0 J H = '0

>о !о9 пореен пар е претста$ено :но/ест$ото ре(ени9ана ра$ен!ата 2 x 6 3y = +, #а x = k k @ D%& ,HD = W, +42W&3D


Kе(ение на систе:от линеарни ра$ен!и E

x0GD=,9x0)D=-9 е1& =+ J H='0


Kе(ение на систе:от линеарни ра$ен!и xED=,D=E е1& =2 J H = 4 2


Kе(ение на систе:от линеарни ра$ен!и xED=,x=9 е1& =0 J H = 4 3


Kе(ение на систе:от линеарни ра$ен!и xED=9)x0D=( е1& = ' J H = 2


Kе(ение на ра$ен!ата 3 x 6 2y = 7 #а x = R 3 е1& H = -


Sресечните точ!и на пра$ите на црте/от се те:иbа на еен!$аар. а!$а е #ае:ната поло/Qа на пра$ите mи%

& Sаралелни


Sресечните точ!и на пра$ите на црте/от се те:иbа на еен!$аар. а!$а е #ае:ната поло/Qа на пра$ите cиd %

& >е сечат


Sресечните точ!и на пра$ите на црте/от се те:иbа на еен!$аар. а!$а е #ае:ната поло/Qа на пра$ите mиc% & >ера#:ин"$аат




>о !о9а ;ор:"ла се прес:ет"$а $ол":ен на !он"с%

& [ = jhg / )Математика

о9а е ;ор:"лата #а прес:ет"$аbе пло(тина на цилинар%

& P = 2j I0gMМатематика

ол!" литри $оа соQира !оц!а со раQ 0,* _m%

& [ = 0,0)* t Математика

ол!" и#нес"$а $ол":ентот на пра$илна триаголна при#:асо осно$ен раQ '0cm и $исина * cm%

& [ = *00 cmdМатематика

Fаена е пра$илна четириаголна при#:а со пло(тина наосно$ата B = ') cm2 и пло(тина на Qочната по$р(ина M =) cm2. ол!" и#нес"$а пло(тината на при#:ата%

& P = '2- cmh


Fаена е пра$илна четириаголна при#:а со пло(тина наосно$ата B = 2+ cm2 и пло(тина на Qочната по$р(ина M ='00 cm2. ол!" и#нес"$а пло(тината на при#:ата%

& P = '+0 cmh


Fаена е пра$илна четириаголна при#:а со пло(тина P ='72 cm2 и пло(тина на Qочната по$р(ина M = 72 cm2. ол!"и#нес"$а пло(тината на осно$ата на при#:ата%

& B = +0 cmh


Sло(тината на ена пира:иа е '3) cm2, а Qочнатапло(тина M = ' _m2. ол!" и#нес"$а пло(тината наосно$ата на пира:иата%

& B = 3) cmh


Sра$илна пира:иа со пери:етар на осно$ата 30 cm иапоте:а 7 cm и:а пло(тина на Qочната по$р(ина1

/ f = '9( 2mh


Sра$а при#:а со пери:етар на осно$ата 30 cm и $исина напри#:ата 7 cm и:а пло(тина на Qочната по$р(ина1

& M = 2'0 cmhМатематика

Sра$а при#:а со пло(тина на Qочната по$р(ина M=2*0cm2 и $исина на при#:ата \ = )cm и:а пери:етар наосно$ата1& i = *0 cm




ол!" и#нес"$а пло(тината на пира:иа а!о пло(тинатана осно$ата е 3) cm2 , а пло(тината на Qочната по$р(ина

на пира:иата е ')* cm2 % & P = 200 cmhМатематика

ол!" и#нес"$а пло(тината на !он"с со раи"с наосно$ата R = )cm и генератриса ! = *cm%

& P = )0j 2mh


ол!" и#нес"$а $ол":енот на !он"с со раи"с наосно$ата R = 3 cm и $исина на !он"сот \ = *cm%

& [ = '2 j 2m dМатематика

Sри ;рлаbе !оц!а #а играbе !а9 !о9а се!о9 `и е о#наченсо ра#личен прироен Qро9 о ' о ), $еро9атноста а панееен о Qрое$ите ', 3 или ) е1& '&3


uто е про;ит%& Kа#ли!а :еs" !"по$ната и проа/ната цена


Sроа/ната цена на прои#$оот се ;ор:ира !а!о #Qир о1

& "по$ната цена и про;итот Математика

&оочи +а транс"ормаи+ата Rx0,D='<xED=E- oEH (D='(xED=E-ое со+сто Iопераи+аM е применето на раенките о системот;/ Метод на спротини кое"ииенти


@одредениот пар IE'% 'M е ре$ение на системот: xED=Ex0D=9 % x0D=xED=9 % Ex0D=x0D= или Ex0D=9xED=E ;/ x E D = E x 0 D = 9


о+ од системите: x=DD=) % x='D= % x=DD0'=0' или x=DDE=9V] е екиалентен насистемот x=DD= ;/ px = ' S D =

Математика Задолжителен предме

@ло$тината на топка е -<,j 2m3 олк# изнес#а пло$тината на!олемиот кр#! на топката;

/ q = '- j 2mhМатематика

истемот xED=9xE'ED0))=' е екиалентен со xED=9)xE

'ED0)= r % ако симболот r с? замени со:/ ,


@ло$тината на осноата на илиндар е ', j 2m% а не!оатабочната пло$тина е ,- j 2m3 олк# е пло$тината наилиндарот;

/ <, j 2mh


о+ систем линеарни нераенки е екиалентен на системотнераенки xE-HExH)xE' ;




/ p x H ' S x o s

@ло$тината на !олемиот кр#! на топка е < j 2m3 олк# изнес#апло$тината на топката;

/ ), j 2mhМатематика

8ади#сот на топката е ' lm3 олк# изнес#а пло$тината на!олемиот кр#!;

/ q = j lmhМатематика

&оочи +а транс"ормаи+ата )x0D=(xE)D=E'- o=H )x0D=(x= )DE'- 3 о+ метод е користен;/ метод на замена


8е$ение на системот раенки x=DEx= е подредениот парброеи:/ I E S E ' M


о+ од дадените системи од де линеарни раенки со денепознати:Ex=)DD=, %

Ex0D=E''x=-D % x=''<xED=, % или x=''D=,е запи$ан о ре$ена "орма;/ x = '' S D = ,


@ло$тината на осноата на еден кон#с е <j 2m% ол#менот након#сот е -(j 2m)3 олк# изнес#а исината на кон#сот;/ g = '( 2m

о+а "и!#ра може да биде осен пресек на пра илиндар;/ праоа!олник или кадрат


ко !ра"икот на "#нки+ата y = kx 0 )мин#а низ точката IR% R)M% то!а$ k има редност:

/ Q = E )


&о ко+ кадрант припаZа точката М со координати IR)% -M;/ &тор


ко о да слични триа!олнии односот на соодетнитепло$тини е-< : ), то!а$ односот на нините соодетни страни е: / G:,


&ол#менот на праа призма со пло$тина на осноата _ и исинаg се пресмет#а со "орм#лата:/ \ = _*g


олк# рамнини определ#аат темиcата на осноата на еднатриа!олна пирамида;

/ ]дна


о+ од подредените парои: I'% ,M% I(% 'M% IE'% (Mили I,% 'M ере$ение на раенката ) x E D = E);/ I' % ,M


олк# ре$ени+а има раенката x R D = ' за D = 9;/ ]дно


истемот од де линеарни раенки со де непознати има едно Математика



единстено ре$ение ако !ра"иите на линеарните "#нкии/ е сечат

tо+а од дадените раенки е линеарна раенка со де непознати; ) x = G y 0-S ) x R - = GS ) R G y = - x S или

) x 0 G x = '9 x 3/ )1 = GD 0 -


ко о да слични триа!олнии односот на соодетните страни е- : ( то!а$ односот на нините соодетни пло$тини е:/ ', : (


&о пропори+ата - : ( = x : -9 непознатиот член има редност:/ x = )


ко редноста на размерот x : - е (% то!а$ x е:/ 9


о+ бро+ треба да стои на местото на б#ката a за да биде точнораенстото (=a. ;

/ .


>аден е размерот ,'. 3 олк# изнес#а редноста на не!оиотобратен размер;/ )


олк# изнес#а кое"ииентот на пропорионалноста напропори+ата - : . = -( : '(;/ )


ко 1ипотен#зата о еден праоа!олен триа!олник е ( 2m% аедната катета е - 2m% то!а$ др#!ата катета е:/ a = )


За "#нки+ата f(x) = ) x – ( редноста на f IM е:

/ 'Математика

о ко+а раенкa о оп$т ид е запи$ана раенката)I x 0 'M R I x 0 'M = R );/ (x 0 ( = 9


За ко+ природен бро+ раенката -)=x, премин#а о точнобро+но раенсто;/ x = .


о+а нераенкa даденa о ре$ена "орма е екиалентна сонераенката - x H ;/ x = s


о+а од дадените раенки:

) x R x = ( 0 '%) x 0 x = ( 0 '% x R ) x = ( 0 ' или) x R x = ( R 'е екиалентна со раенката ) x R ( = x 0 ';/ )x R x = ( 0 '


Гра"икот на "#нки+ата зададена со праилото ax + by =c е:/ праа




о ко+а линеарна раенка може да се запи$е речениата: uкоеден бро+ се з!олеми - пати% а добиениот произод се намали )пати% се добиа бро+ $то е за G по!олем од дадениотv;/ -*x /) = G*x


о+а редност на x е ре$ение на раенката x 0 '. = . x R );

/ x = )


ои од наедените должини може да бидат должини на странитена праоа!олен триа!олник;<2m% '2m и 'G2mSG2m% '92m и 'G2mS.2m% '92m и '(2mS илиG2m% -2m и (2m3/ G 2m S - 2m и ( 2m


ко периметрите на да слични триа!олнии се о однос a b% око+ однос се нините соодетни страни;/ ист однос


ко за страните на еден триа!олник ажи c = a 0 b% то!а$ то+

триа!олник е:/ праоа!олен


олк# литри има о )( lm);

/ )( iМатематика

@ло$тината на осноата на една праа призма е ', 2m % аол#менот на призмата е .9 2m) 3 олк# изнес#а исината напризмата;/ g = ( 2m


аки мно!#а!олнии се бочните wидои на праа пирамида;/ рамнокраки триа!олнии


олк# праи лежат на една рамнина;

/ Nесконечно мно!# Математика

о кое раенсто може да се запи$е осноното со+сто напропори+ата% т3е3 ако a b = c d % то!а$:/ a*l = b*2


ко една ртеле$ка има , еднаки полиcа обележани со '% % )%-% (% и , %колкаа е еро+атноста стрелката да застане на полетосо бро+ -;/ '/,


ко о една к#ти+а има 9 рни топчиcа% колкаа е еро+атностада се излече рно топче;/ ' или '99


@одредениот пар IE '% E 'M е ре$ение на системот: xED=Ex0D=9 % x0D=ExED=9 % Ex0D=x0D= или Ex0D=9xED=E 3/ p x 0 D = E S x R D = 9


о!а настан порзан со еден експеримент нико!а$ нема да сесл#чи% елиме дека то+ настан има еро+атност:/ 9




&ол#менот на кон#сот е (- lm)% а не!оата исина е ,9 2m3олкаа е пло$тината на осноата на кон#сот;

/ _ = G 2mhМатематика

о+ бро+ треба да стои на местото на б#ката a за да биде точнораенстото (-=a. ;

/ '9


@ло$тината на осноата на една праа призма е ) 2m % аол#менот на призмата е ',9 2m) 3 олк# изнес#а исината напризмата;/ g = ( 2m


&о пропори+ата ' : ( = x : '9 непознатиот член има редност:/


За ко+а редност на кое"ииентот пред ар!#ментот% "#нки+ата y = kx + n е опаZачка;/ Q Nи треNало да е не!атино о од!оорите


tyza од раенките O O параметарска;)ax – = x + .S)x R = x 0 .S) x – )a = a + .S или) x – k = -kx + 'G3/ )x R = x 0 .


о+а од нераенките има непознати; x + y ! z – 'Sx R x o ) R 'S y + ( " y – 'S или x – y ! – ) – '3/ x R D o E ) E '


о!а е си!#рно дека настанот {е се сл#чи% елиме дека имаеро+атност:

/ ' или '99


8е$ение на системот раенки E-x=DEx= е подредениот парброеи:/ IE S - M


о+а раенка е екиалентна со раенката)x R , = x 0 ;/ {е иди$ о задачата% 1 = -


о ко+а раенка о оп$т ид може да се запи$е запи$анараенката )Ix 0 'M R Ix 0 M = R ;/ 1 R ' = E


Vа ко+ кадрант припаZа точката М со координати IR(% R,M;/ )


о+а од нераенките има непознати; x + y ! z – 'Sx R x o ) R 'S y + ( " y – 'S или x 2 – y 2 ! – ) – '3

/ 1h E Dh o E ) E'


ко периметрите на да слични триа!олнии се о однос b : a% о Математика



ко+ однос се нините соодетни страни;/ ист

&ол#менот на кон#сот е G lm)% не!оата исина е <9 2m3 олкаае пло$тината на осноата;

/ _ = - lmhМатематика

За "#нки+ата f I x M = ) x R ( редноста на PI')M е:/ E -


о+ систем е екиалентен на системот x=DD= ;/ px = ' S D =


tо+а од дадените раенки:)x = .D 0-%)x R - = Gx%) R GD= -x%)x 0 Gx = '9x%е линеарна раенка со де непознати;/ )x = .D 0 -


ко една ртеле$ка има ( еднаки полиcа обележани со '% % )%- и (% колкаа е еро+атноста стрелката да застане на полето собро+ );/ '/(


Гра"икот на линеарната "#нки+а е:/ праа


ко о да слични триа!олнии односот на соодетните страни е : ) то!а$ односот на нините соодетни пло$тини е:/ - : <


8ади#сот на една топка е '9 сm3 олк# изнес#а пло$тината на!олемиот кр#!;

/ '99 j 2mhМатематика

Wто претста#а осен пресек на пра илиндар;

/ праоа!олникМатематика

@ло$тината на осноата на една праа призма е '. 2m % аисината ' lm3 олк# изнес#а ол#менот на призмата;/ \ = '.9 2m)


|оек исок '%. m има сенка ' m3 ко о исто реме дрото $то едо не!о има должина на сенката 9 m% колк# е исоко дрото;/ ), m


>аден е праоа!олен триа!олник со 1ипотен#за ' 2m ипроеки+а на катетата bрз 1ипотен#зата ) 2m3 олк# изнес#адолжината на катетата b;

/ b = , 2m


ко ди+а!оналите на еден ромб се ,9 2m и .9 2m% то!а$ не!оиотпериметар е:/ A = 99 2m


ко отсечка _ со должина 2m е разделена на де отсечки ооднос -:G% то!а$ должините на делоите се:/ . 2m и '- 2m




|етртата !еометриска пропорионала на отсечките a% b и c опропори+ата a : b= c : x % ако a=') lm% b= -< lm и 2=)- lmизнес#а / x = '


@ериметарот на кадрат е ', 2m3 олк# изнес#а ди+а!оналата накадратот;

/ l = -

k 2m


8е$ение на нераенката xE')E'ox0', е интералот:/ I E JnKnJLD S M


|оек исок '%, m има сенка ' m3 ко о исто реме дрото$то е до не!о има должина на сенката )9 m% колк# е исокодрото;/ x = -. m


&о праоа!ол?н триа!олник 6 и 7 се проекиите на катетите a и bрз 1ипотен#зата 2 соодетно% при $то6='% 7=) 3олкаа е исината 5 сп#$тена кон 1ипотен#зата на

праоа!олниот триа!олник;/ ,


ко о праоа!олниот триа!олник 1ипотен#зата 2 има должина( 2m% должината на катетата a е '9 2m% то!а$ проеки+ата накатетата a рз 1ипотен#зата е:/6 = - 2m


ко отсечка _ со должина _ = )) 2m е разделена на деотсечки о однос -:G% то!а$ должините на делоите се:/ ' 2m [ ' 2m


ко периметарот на еден ромб е 99 2m% а едната ди+а!онала е.9 2m то!а$ др#!ата ди+а!онала на ромбот има должина:/ l' = ,9 2m


@ериметарот на праоа!олник со ди+а!онала '( 2m и страна <2m изнес#а:/ A = - 2m


@ериметарот на кадрат е 9 2m3 олк# изнес#а ди+а!оналатана кадратот;

/ ( k


@ериметарот на рамнокрак триа!олник со осноа . 2m иисина кон осноата -. 2m изнес#а:/ A = '. 2m


>аден е праоа!олен триа!олник со 1ипотен#за ' 2m идолжина на катетата b = , 2m3 олк# изнес#а проеки+ата накатетата b рз 1ипотен#зата;/ q = ) 2m


&о кр#жниа со ради#с '9 2m е полечена тетиа на расто+ание. 2m од ентарот3 олк# изнес#а должината на тетиата;/ L = ' 2m


8азмерот меZ# ди+а!оналата на кадрат и не!оиот периметар езапи$ан со:

/ k : -


|етртата !еометриска пропорионала на отсечките a% b и 2 о Математика



пропори+ата x : b = 2 : l% ако b = -< lm% 2 = )- lm и l = ' lmизнес#а:/ x = '/) lm

]дно дро има сенка да пати по!олема од не!оата исина3 коо исто реме еден чоек има сенка )-9 2m то!а$ не!оатаисина е:

/ 'G9 2m


@ериметарот на еден праоа!олник е -, 2m% а едната не!оастрана е . 2m3 олк# изнес#а ди+а!оналата на праоа!олникот; /l = 'G 2m


олкаи се должините на дата дела добиени при делеcе наотсечка од - 2m о однос - : ; / ', 2m и . 2m


траната а на триа!олникот & е '9 2m% а исинатасп#$тена кон таа страна е ( 2m3 олк# изнес#аат должините настраната a ' и соодетната исина h' на триа!олникот '&'' чи+а пло$тина е .' 2m% ако то+ е сличен сотриа!олникот & ;/ a' = '. 2m


@ериметарот на еден рамнокрак триа!олник со крак )G 2mизнес#а <. 2m3 о+а е должината на исината сп#$тена коносноата;/ 5 = )( 2m


&о дадената пропори+а '. : - = %( x : -( % непознатата x имаредност:/ .'


олк# се дол!и делоите добиени при делеcе на отсечка од '9(2m о однос : ) : (;/ ' S )'%( S (%(


ко периметрите на да слични триа!олнии се однес#аат како

( : % а збирот од на+!олемата страна на едниот триа!олник ина+!олемата страна на др#!иот триа!олник изнес#а - 2m%колкаи се должините на на+!олемите страни на триа!олниите;/ a = )9 2m S a' = ' 2m


&о пропори+ата ' : , = x : '( % непознатата x има редност:/ '(


Documents

Eksterno Matematika Odgovori 2015