REPBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITCNICO

SANTIAGO MARIO

EXTENSIN MATURN

ELABORACIN DE UN PROBLEMARIO DE EJERCICIOS DE MECNICA DINMICA QUE SIRVA COMO ORIENTACIN A LOS ESTUDIANTES DE LA CARRERA DE MANTENIMIENTO MECNICO.

.

Maturn, Febrero del 2014

INDICE GENERAL

pp.

INTRODUCCIN

4CAPTULO I:

FORMULACIN DEL ESTUDIO

Planteamiento del Tema

6Objetivos de la Investigacin

8Objetivo General

8Objetivos Especficos

8CAPTULO II

DESARROLLO DEL TEMA

Desarrollo

9CONCLUSIONES

60BIBLIOGRAFA

61INTRODUCCIN

Ladinmicaes la rama de lafsica(especficamente de lamecnica clsica) que describe la evolucin en el tiempo de un sistema fsico en relacin con las causas que provocan los cambios deestado fsicoy/o estado de movimiento. El objetivo de la dinmica es describir los factores capaces de producir alteraciones de unsistema fsico, cuantificarlos y plantearecuaciones de movimientoo ecuaciones de evolucin para dicho sistema de operacin. El estudio de la dinmica es prominente en lossistemas mecnicos(clsicos, relativistas o cunticos), pero tambin en latermodinmicayelectrodinmica. En este trabajo se describen los aspectos principales de la dinmica en sistemas mecnicos, y se reserva para otros artculos el estudio de la dinmica en sistemas no mecnicos. En otros mbitos cientficos, como laeconomao labiologa, tambin es comn hablar de dinmica en un sentido similar al de la fsica, para referirse a las caractersticas de la evolucin a lo largo del tiempo del estado de un determinado sistema.

La idea de crear una Gua de Ejercicios de Mecnica Dinmica para facilitar el estudio de los alumnos de nivel universitario es de vital importancia, ya que ser de gran ayuda para los mismos al momento de buscar las soluciones a los problemas planteados en clases, en investigaciones y para el estudio de las evaluaciones, tomando en consideracin algunos de los temas ms importantes y/o resaltantes de la materia.A continuacin se describe el desarrollo del presente trabajo, se presenta de forma general informacin concerniente una Gua de Ejercicios de Mecnica Dinmica. El trabajo est estructurado en dos (2) captulos, el Captulo I comprende la Formulacin del Tema y se detalla el planteamiento del contenido. El Captulo II recoge un conjunto de aportes tericos sobre el tema estudiado y el desarrollo de los resultados que se arrojaron en la investigacin. Las conclusiones, recomendaciones y se finaliza con la bibliografa.

CAPTULO I

FORMULACIN DEL ESTUDIO

Planteamiento del Tema

El proceso natural de aprendizaje comienza con situaciones sencillas y pasa luego a otras ms complicadas. Esta gua est estructurada de manera que cada principio se aplica primeramente a un punto, luego a un sistema de puntos, luego a un cuerpo rgido sometido a un sistema de fuerzas coplanarias y por ltimo al caso general de un Cuerpo sometido a un sistema de Fuerzas tridimensional. La Cinemtica (estudio del movimiento sin atender a las causas que lo originan) del punto y del cuerpo rgido se desarrolla con todo cuidado ya que el dominio de esta materia es esencial para el tratamiento de la Cintica (estudio de la relacin entre el movimiento y las fuerzas que lo originan) del punto y del cuerpo rgido.

A continuacin, se desarrollan para su utilizacin en una gran variedad de problemas los tres mtodos comunes para la resolucin de problemas de Cintica, cuales son, (1) fuerza, masa y aceleracin; (2) trabajo y energa; (3) impulso y cantidad de movimiento. Estos mtodos se desarrollan uno tras otro y se aplican primero a un punto, luego a un sistema de puntos, luego a cuerpos rgidos en movimiento plano y por ltimo a casos tridimensionales cualesquiera. El dominio del mtodo fuerza, masa y aceleracin proporciona un medio para resolver todos los problemas de Dinmica. Los otros dos mtodos slo proporcionan un mtodo ms eficaz para la resolucin de ciertos problemas. Se cree que este enfoque da la organizacin lgica y conveniente de la materia objeto de un curso de introduccin a la Dinmica. La Cinemtica se trata por completo antes de estudiar la Cintica. sta se desarrolla totalmente, utilizando las leyes de Newton, antes de presentar al estudiante los mtodos trabajo-energa e impulso-cantidad de movimiento. De esta manera, se evita introducir al estudiante a dichos mtodos de manera desarticulada.

El presente trabajo consiste en una recopilacin de conceptos tericos fundamentales y de problemas prcticos correspondientes al estudio de la Dinmica de los Sistemas Materiales. El mismo ha sido concebido como un material terico-prctico, perteneciente al pensum de estudios de la Escuela de Ingeniera de IUPSM. Sin embargo, se cree que puede ser de gran utilidad a estudiantes de otras instituciones en las cuales se comparten cursos de Mecnica Racional u otras materias afines al campo.

El objetivo principal de este resumen es brindarle al estudiante una alternativa de consulta y referencia sobre los temas fundamentales relacionados con la Dinmica de los Sistemas Materiales como rama de la Mecnica Racional, haciendo especial nfasis en estudio de la Cintica de estos sistemas y en particular de los Sistemas Materiales Rgidos. Se resalta el hecho de que la mecnica es una ciencia deductiva.

El contenido del trabajo, que incluye problemas resueltos y propuestos, ha sido diseado bajo los criterios de exigencia y de grado de dificultad necesarios para que el estudiante adquiera un nivel de conocimiento adecuado y acorde con el perfil del ingeniero que la Universidad espera tener de sus egresados. Es por ello que el grado de razonamiento y dificultad de los conceptos y problemas analizados en este trabajo son de alto nivel y trascienden en forma significativa de los comnmente encontrados en los diferentes libros de texto disponibles en el mercado.Los ejemplos presentados en este trabajo han sido concebidos como una forma de mostrar al estudiante no solo como debe ser la mejor metodologa a seguir a efectos de transformar los conocimientos tericos en aplicaciones prcticas, sino que se insiste en la importancia que reviste la comprensin del fenmeno en cuestin y del manejo racional de los conceptos a utilizar, as como la evaluacin de los resultados a la luz del sentido comn que debe desarrollar todo futuro ingeniero.

El trabajo cuenta con problemas propuestos que sirven como complemento a los problemas resueltos, stos tienen por finalidad permitir que los conocimientos adquiridos por el estudiante avancen por cuenta propia de manera que estos se desarrollen y maduren progresivamente durante la duracin del curso. Por ello, se visualiza la necesidad de establecer una gua de consulta y referencia, que contemple los procedimientos de mecnica dinmica desde la etapa de su estructura hasta la bsqueda de soluciones y de resaltar aspectos importantes en la solucin de problemas, el acceso y la difusin, cumpliendo con las normas del manejo documental y la disciplina de la materia.

De este modo, se pueden establecer mecanismos que mejoren el estudio de la Dinmica de los Sistemas Materiales, haciendo particular nfasis en la Cintica de los Sistemas Materiales y sus aplicaciones de ingeniera y poder hacer uso de estas herramientas para aprovechar los recursos de informacin, humanos y materialesObjetivos

Objetivo General

Proponer un Problemario de ejercicios de mecnica dinmica que sirva como orientacin a los estudiantes de la carrera de Ingeniera de Mantenimiento Mecnico.

Objetivos Especficos

Definir alternativas de consulta y referencia (ejercicios) sobre los temas fundamentales relacionados con la Dinmica de los Sistemas Materiales.

Elaborar una proposicin metodolgica para aplicar como herramienta de consulta en el estudio de la mecnica dinmica.CAPTULO II

DESARROLLO DEL TEMABases Tericas.

Cuerpo Rgido

Un cuerpo rgido se puede definir como aquel que no sufre deformaciones por efecto de fuerzas externas, es decir un sistema de partculas cuyas posiciones relativas no cambian. Un cuerpo rgido es una idealizacin, que se emplea para efectos de estudios de cinemtica, ya que esta rama de la mecnica, nicamente estudia los objetos y no las fuerzas exteriores que actan sobre de ellos.

La mayora de los cuerpos considerados en la mecnica elemental son rgidos. Mas sin embargo, en la prctica todo cuerpo se deforma por efecto de una fuerza externa de manera que las estructuras y maquinas reales nunca han tenido la posibilidad de considerarse lo absolutamente rgidas ya que se pueden deformar bajo la accin de las cargas que actan sobre ellas. A pesar de esto, en lo general esas deformaciones son muy pequeas y no pueden afectar las condiciones de equilibrio o de movimiento de la estructura que se toma en consideracin. No obstante, tales deformaciones son importantes en lo que concierne a la resistencia en la falla de las estructuras y se consideran en el estudio de materiales.

Dentro de lo que son los cuerpos rgidos se estudia el efecto de las fuerzas ejercidas sobre un cuerpo rgido y ver como reemplazar un sistema de fuerzas dado por un sistema equivalente ms simple. Este anlisis se basa en la suposicin fundamental de que el efecto de una fuerza dada sobre un cuerpo rgido permanece inalterado si dicha fuerza se mueve a lo largo de su lnea de accin. Por tanto, las fuerzas que actan sobre un cuerpo rgido pueden representarse por vectores deslizante.El movimiento del cuerpo rgido, en el caso plano, se puede describir de la siguiente manera:

Figura 1. Descripcin de Traslacin y rotacin de un cuerpo rgido Traslacin y rotacin de cuerpos

Un cuerpo se traslada cuando todos sus puntos se mueven paralelamente y con la misma velocidad, tal como se ilustra en la figura 1a. Un cuerpo rota cuando todos sus puntos giran alrededor de un mismo eje (llamado eje de rotacin) con la misma velocidad angular, tal como se ilustra en la figura 1b (en este caso el eje de rotacin es perpendicular al plano representado por la hoja de papel que estamos observando y pasa por el punto O). En general el movimiento del cuerpo ser una combinacin de ambos.

Traslacin: Una traslacin es la operacin que modifica las posiciones de todos los cuerpos segn la frmula: donde se cumple

Rotacin:es el movimiento de cambio de orientacin de un cuerpo o un sistema de referencia de forma que una lnea (llamadaeje de rotacin) o un punto permanece fijo. Una rotacin de un cuerpo se representa mediante un operador que afecta a un conjunto de puntos o vectores. Un movimiento rotatorio se representa mediante el vector velocidad angularW, que es un vector de carcter deslizante, situado sobre el eje de rotacin. Cuando el eje pasa por el centro de masa o de gravedad se dice que el cuerpo gira sobre s mismo. Segn la frmula:

Cuando el cuerpo est en traslacin pura (o cuando el intereses en analizar su movimiento de traslacin), se puede asumir como si fuera una partcula. Son ejemplos:

- Un esquiador deslizndose por una montaa (figura 2a).

-Un ciclista trasladndose (en cuyo caso no hay inters en lo que pasa con la bicicleta, sino con el sistema como un todo - figura 2b -).

- El anlisis de la traslacin de la tierra alrededor del sol (en este caso la tierra se considerara una partcula).

En el caso de querer estudiar la rotacin del cuerpo no se puede asumir como una partcula. En la figura 3a se ilustra la rotacin delplaneta Tierraalrededor de su eje (eje que pasa por los polos). En la figura 3b se ilustra la transmisin de movimiento de rotacin entre dos piones.

Un cuerpo slido rgido realiza un movimiento detraslacincuando, considerando un segmento entre dos puntos A y B del cuerpo, ste se mantiene siempre paralelo a s mismo, durante todo el movimiento. Considerando el cuerpo rgido como un conjunto continuo de puntos materiales, cada punto material describir, en el movimiento, una trayectoria determinada y a todos los dems puntos materiales describirn trayectorias equidistantes entre s.Centro de Gravedad

Es el punto de aplicacin de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actan sobre las distintas masasmaterialesde uncuerpo, de tal forma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de gravedad es el mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen dicho cuerpo. En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo (dicho punto no necesariamente corresponde a un punto material del cuerpo, ya que puede estar situado fuera de l. En el caso de una esfera hueca, el CG est situado en el centro de la esfera que, obviamente, no pertenece al cuerpo).

Por ejemplo, si consideramos dos puntos materiales A y B, cuyas masas respectivas valgan m1 y m2; adems los suponemos rgidamente unidos por una varilla de masa despreciable, a fin depoderconsiderarlos como formando parte de un cuerpo slido. La gravedad ejerce sobre dichos puntos sendas fuerzas paralelas m1g y m2g que admiten una resultante cuyo punto de aplicacin recibe el nombre de centro de gravedad o centroide.

En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto de aplicacin de la resultante de todas las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo.Centroide

El centroide es un punto que define el centro geomtrico de un objeto. Su localizacin puede determinarse a partir de formulas semejantes a las utilizadas para determinar el centro de gravedad o el centro de masa del cuerpo. Se consideran tres casos especficos.

Volumen: Si un objeto se subdivide en elementos de volumen dv, la localizacin del centroide para el volumen del objeto se puede determinar calculando los momentos de los elementos en torno a los ejes de coordenadas. Las formulas que resultan son:

X = " x dv Y = " y dv Z = " z dv" dv " dv " dv

rea: De manera semejante, el centroide para el rea para el rea superficial de un boleto, como una placa o un casco puede encontrase subdividiendo el rea en elementos diferentes dA y calculando los momentos de estos elementos de rea en torno a los ejes de coordenadas a saber.

X = " x dA Y = " y dA Z = " z dA" dvA " dA " dA

Lnea: Si la geometra del objeto tal como una barra delgada un alambre, toma la forma de una lnea, la manera de encontrar su centoide es el siguiente:

X = " x dL Y = " y dL Z = " z dL" dL " dL " dL

En todos los casos anteriores la localizacin del centroide no est necesariamente dentro del objeto. Tambin los centroides de algunas formas pueden especificarse parcialmente o completamente usando condiciones de simetra. En los casos en los que la forma tiene un eje de simetra el centroide de la forma estar a lo largo del eje.

Para un objeto unidimensional uniforme de longitud L, el centroide es el punto medio del segmento de lnea. Para un tringulo, el centroide es el punto de interseccin de sus tres medianas. El centroide de una figura geomtrica es el centro de simetra. Para cualquier otro objeto de forma irregular de dos dimensiones, el centroide es el punto donde un soporte simple puede equilibrar este objeto. Por lo general, el centroide de un objeto bidimensional o tridimensional se encuentra utilizando integrales dobles o triples.

Momentos de Inercia de rea

Tambin denominado segundo momento de inercia o momento de inercia de rea, es una propiedad geomtrica de la seccin transversal de elementos estructurales. Fsicamente el segundo momento de inercia est relacionado con las tensiones y deformaciones mximas que aparecen porflexinen un elemento estructural y, por tanto, junto con las propiedades del material determina la resistencia mxima de un elemento estructural bajo flexin. El segundo momento de rea es una magnitud cuyas dimensiones son longitud a la cuarta potencia (que no debe ser confundida con el concepto fsico relacionado deinercia rotacionalcuyas unidades son masa por longitud al cuadrado).

Dada una seccin plana transversal de un elemento estructural, el segundo momento de inercia se define para cada eje de coordenadas contenido en el plano de la seccin mediante la siguiente frmula:

Donde:

Ieje, es el segundo momento de inercia alrededor del eje escogido.

dA, es el diferencial de rea, de la seccin .

r, es la mnima distancia del elementodAal eje escogido.

Momentos de Inercia Principales

Si consideramos nuevamente una seccin transversal plana y la parametrizamos mediante coordenadas rectangulares (x,y), entonces podemos definir dos momentos de inercia asociados a la flexin segn X o segn Y adems del momento de inercia mediante:

Estos momentos definen las componentes de un tensor de segundo orden:

Los ejes se dice que sonejes principales de inerciasiIxy= 0, y en ese caso podemos escribir la tensin perpendicular asociada a la flexin esviada simple del elemento estructural sobre cada punto de la seccin estudiada como:

SiendoMxyMylas componentes delmomento flectortotal sobre la seccin . Las unidades en el Sistema Internacional de Unidades para el segundo momento de inercia sonlongituda la cuarta potencia, en la prctica la mayora de secciones de uso en ingeniera se dan en (cm4). Si los ejes de referencia empleados no necesariamente son ejes principales la expresin completa de la tensin en cualquier punto genrico viene dada por:

Teorema de los ejes paralelos

El teorema deSteinero de ejes paralelos permite, conocidos los momentos respecto a ejes que pasen por elcentro de gravedad, calcular muy fcilmente los momentos de inercia respecto a ejes paralelos que no pasen por el centro de gravedad. Este "traslado" del segundo momento de inercia, se hace mediante la frmula:

Donde:

Ieje- Segundo momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa.

I(CM)eje- Segundo momento de inercia para el eje que pasa por el centro de gravedad.A- rea de la seccin transversal.

d- Distancia entre el nuevo eje y el eje que pasa por el centro de gravedad.

El resultado anterior se puede generalizar a todas las componentes deltensor de inercia:

Donde:son las coordenadas de un punto P respecto al centro de masas (CM), respecto al cual se quieren recalcular los momentos de inercia.

Momentos de inercia de figuras planas Rectngulode alturahy anchob, respecto a dos ejes paralelos a los lados del mismo (el eje X perpendicular al ladohy el eje Y perpendicular al ladob) y que pasan por su centro de gravedad:

Tringulo isscelesde baseby alturah, respecto a los ejes que, siendo paralelos a base y altura, pasan por su centro de gravedad:

Tringulo rectngulode baseby alturah, respecto a los ejes que, siendo paralelos a los catetos del mismo, pasan por su centro de gravedad:

Crculode radioR, respecto de cualquier eje que pase por su centro de gravedad:

Semicrculode radioR, respecto de los ejes que pasan por su centro de gravedad (el ejeXparalelo al lado plano):

Cuadrante(Cuarto de crculo) de radioR, respecto a los ejes que, siendo paralelos a los lados planos, pasan por su centro de gravedad:

Polgono cualquiera: Sumando las contribuciones de trapecios yendo desde cada lado del polgono al eje coordenado correspondiente (el orden en que se recorren los vrtices del polgono da signo al valor obtenido):

dondeson las coordenadas de los vrtices del polgono.Momentos de inercia de masa

La inercia es la tendencia de un objeto a permanecer en reposo o a continuar movindose en lnea recta a la mismavelocidad. La inercia puede pensarse como una nueva definicin de la masa. El momento de inercia es, entonces, masa rotacional. Al contrario que la inercia, el MOI tambin depende de la distribucin de masa en un objeto. Cuanto ms lejos est la masa del centro de rotacin, mayor es el momento de inercia.

Una frmula anloga a la segundaleydeNewtondel movimiento, se puede rescribir para la rotacin: F = M.a.

F = fuerza

M = masa

a = aceleracin lineal

T = IA (T = torsin; I = momento de inercia; A = aceleracin rotacional)

Consideremos un cuerpo fsico rgido formado por N partculas, el cual gira alrededor de un eje fijo con una velocidad angular W, como se indica en la figura 1.

Donde: I = Momento de inercia

M = masa del elemento

R = distancia de la masa puntual al eje de referencia.

Se denomina momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de giro. El momento de inercia expresa la forma como la masa del cuerpo est distribuida con respecto al eje de rotacin y por tanto su valor depende del eje alrededor del cual gire el cuerpo. Un mismo cuerpo tiene diferentes momentos de inercia, uno por cada eje de rotacin que se considere.Trabajo y Energa

Eltrabajoy laenergaaparecen en la mecnica gracias a los teoremas energticos. El principal, y de donde se derivan los dems teoremas, es elteorema de la energa cintica. Este teorema se puede enunciar en versin diferencial o en versin integral. En adelante se har referencia al Teorema de la energa cintica como TEC. Gracias al TEC se puede establecer una relacin entre la mecnica y las dems ciencias como, por ejemplo, la qumica y la electrotecnia, de dnde deriva su vital importancia.

Este principio se utilizar para analizar el movimiento plano de cuerpos rgidos. Aqu utilizaremos los parmetros de velocidad y desplazamiento, no es necesario elclculode la aceleracin. Tambin debemos observar que estas cantidades, trabajo y energa cintica, son cantidades escalares.

Recordar, que tambin debemos suponer que el cuerpo rgido est formado por "n" partculas de masa "?mi".

T1 + U1-2 = T2Donde "T1" y "T2", son el valor inicial y final de la energa cintica total de las partculas que forman el cuerpo rgido respectivamente."U1-2" es el valor de todas las fuerzas que actan sobre las diversas partculas del cuerpo rgido.La energa cintica total:

"U1-2", representa el trabajo que realizan todas las fuerzas que actan en un cuerpo rgido, tanto interno como externo.Por definicin de cuerpo rgido,"U1-2" , Interno es cero; pues la distancia es la misma y las fuerzas internas son iguales, la misma direccin, sentido opuesto."U1-2", se reduce al trabajo de las fuerzas externas y estas actan sobre el cuerpo durante el desplazamiento considerado.

El Trabajo de una fuerza "F", durante un desplazamiento de su punto de aplicacin desde "A1" hasta "A2", es :o F = magnitud de la fuerza.

o ? = ngulo que forma con la direccin del movimiento de su punto de aplicacin A

o s = es la variable deinteraccinque mide la distancia recorrida por "A" a lo largo de su trayectoria.

Laley de la conservacin de la energaconstituye el primer principio de latermodinmicay afirma que la cantidad total de energa en cualquier sistema aislado (sin interaccin con ningn otro sistema) permanece invariable con el tiempo, aunque dicha energa puede transformarse en otra forma de energa. En resumen, la ley de la conservacin de la energa afirma que la energa no puede crearse ni destruirse, slo se puede cambiar de una forma a otra, por ejemplo, cuando laenerga elctricase transforma en energacalorfica en un calefactor.

Enmecnica lagrangianala conservacin de la energa es una consecuencia del teorema de Noether cuando el lagrangiano no depende explcitamente del tiempo. El teorema de Noether asegura que cuando se tiene un lagrangiano independiente del tiempo, y por tanto, existe ungrupouniparamtrico de traslaciones temporales o simetra, puede construirse una magnitud formada a partir del lagrangiano que permanece constante a lo largo de laevolucintemporal del sistema, esa magnitud es conocida como hamiltoniano del sistema. Si adems, la energa cintica es una funcin slo del cuadrado de las velocidades generalizadas (o lo que es equivalente a que los vnculos en el sistema sean esclernomos, o sea, independientes del tiempo), puede demostrarse que el hamiltoniano en ese caso coincide con la energamecnicadel sistema, que en tal caso se conserva.

Enmecnica newtonianael principio de conservacin de la energa, no puede derivarse de un principio tan elegante como el teorema de Noether, pero puede comprobarse directamente para ciertos sistemas simples de partculas en el caso de que todas las fuerzas deriven de un potencial, el caso ms simple es el de un sistema de partculas puntuales que interactan a distancia de modo instantneo.

Impulso y cantidad de movimiento

Partiendo de la Segunda Ley deNewton("La resultante de las fuerzas que actan sobre un cuerpo de masa m, es directamente proporcional y tiene la misma direccin y sentido que la aceleracin que produce") podemos definir dos conceptos importantes para el anlisis del movimiento, como son elimpulsoy lacantidad de movimientoque posee un cuerpo.

Supongamos que analizamos a un lanzador de bala durante la ejecucin de un lanzamiento, y que este se realiza sobre una plataforma especial que permite medir la intensidad y registrar el tiempo durante el cual actan las fuerzas que se ejercen contra ella.

En la figura podemos observar elregistrode las componentes horizontales de las fuerzas que se ejercen contra elsuelo, considerando como positivas a aquellas que tienen la direccin del lanzamiento, y negativas en caso contrario.

Si observamos el registro notamos la variacin de la fuerza en los diferentes intervalos de tiempo. A la integral de una fuerza en el intervalo de tiempo que ella acta se lo denominaimpulso.

De la expresin anterior podemos deducir que el impulso est representado por el rea bajo la curva limitada por los instantes de tiempo definidos.

Aplicando la Segunda Ley de Newton podemos llegar a encontrar una interesante relacin:

Recordando que:F =m.aDonde "F" representa la fuerza media ejercida en un intervalo de tiempo "?t = tf-ti" , en el cual podemos considerar a "ti = 0", y "a"representa la aceleracin media, la cual puede ser reemplazada por :

a= (vf vi) / tReemplazando en la anterior tenemos que:

F =m(vf vi) / tPasando "t" al otro lado de laigualdady eliminando el parntesis obtenemos:

F.t =m.vf m.vi

La expresin anterior implica queel impulso de una fuerza es igual a la variedad de cantidad de movimiento que esta produce.

Cabe aclarar que en ciertabibliografaa lavariacin de la cantidad de movimientose la conoce comomomentum.

Conservacin de la cantidad de movimiento durante los choques:Los choques son una situacin muy comn en la actividad deportiva. Por ejemplo cuando un futbolista impacta una pelota, la fuerza ejercida por el pi contra la pelota es igual y contraria a la que ejerce la pelota contra el pi (Tercera Ley de Newton). El tiempo que durante el cual actan dichas fuerzas es tambin idntico. Dado que el impulso de una fuerza es igual al producto de dicha fuerza por el tiempo durante el cual acta, podemos deducir que el impulso que la fuerza del pi ejerce sobre la pelota es igual y contrario al que la pelota recibe, por lo tanto tambin ocurrir lo mismo con la cantidad de movimiento.

Expresando esto ltimo algebraicamente:mvf1 mvi1 = -(mvf2 mvi2) Pasando el segundo trmino de la igualdad al primero:

(mvf1 mvi1) + (mvf2 mvi2) = 0

La anterior expresa el principio de la conservacin de la cantidad de movimiento que dice:en un sistema en el cual los cuerpos chocan, la variacin de la cantidad de movimiento permanece constante, a menos que sobre dicho sistema acten fuerzas externas.

En realidad, en cualquier situacin de choque siempre acta alguna fuerza externa, como la fuerza de gravedad. El principio de la cantidad de movimiento es aplicable a los choques,siempre que el tiempo que dure el choque sea lo suficientemente pequeo, de manera que se pueda despreciar la influencia de dicha fuerza. En la prctica deportiva los choques ms usuales como el de una raqueta, el de un bate, o el de un pi contra una pelota, siempre duran un instante de tiempo muy pequeo.

Ejercicios de Cuerpo Rgido1. Un correa de cuero esta enrollada en una polea a 20 cm de dimetro. Se aplica a la correa una fuerza de 60 N. Cul es el momento de torsin en el centro del eje?

2. Una varilla metlica de 4.00 m de longitud y rea transversal de 0.50 cm se estira 0.20 cm al someterse a una tensin de 5000 N. Qu modulo de Young tiene el metal?

3. Una pelota de 100 N suspendida por una cuerda A es tirada hacia un lado en forma horizontal mediante otra cuerda B y sostenida de tal forma que la cuerda a forma un ngulo de 30con el muro vertical. encuentre las tensiones en las cuerdas A y B.

4. Cul es el momento de torsin resultante en torno del pivote de la figura? Considerando que el peso de la barra curva es insignificante?

5. Halle el momento de torsin resultante en torno al punto A de la figura.

Ejercicios de CentroideEjercicio 1.: Calcular la ubicacin del Centroide de la siguiente figura geomtrica.

Como primer paso se fija el sistema de coordenadas rectangulares que nos servir de referencia:

Posteriormente dividimos la figura en reas ms simples de centroides conocidos.

Calculamos las reas de las tres figuras conocidas:

rea A1 (Tringulo): Base por altura entre dos.

A1 = Area A2 (Rectngulo) : Base por altura.A2 = (8)(2) = 16Area A3 (Rectngulo) : Base por altura.A3 = (3)(4) = 12Los ejes centroidales de una figura plana vienen dados por las siguientes formulas:Donde Ai es el rea de la figura simple estudiada, Xi es la abscisa del centroide de dicha figura simple y Yi la ordenada del centroide de la misma figura simple. Es bueno recordar que el centroide de un triangulo rectngulo est ubicado a un tercio de su base y a un tercio de su altura.

El centroide de un rectngulo est ubicado a un medio de su base y a un medio de su altura.Luego, resulta ms cmodo determinar los valores de X y Y del centroide de cada una de las figuras simples para incluirlas en la frmula respectiva, tomando en cuenta el sistema de coordenadas de referencia.Estudiando la figura 1 (Triangulo):

Estudiando la figura 2 (Rectngulo):

Estudiando la figura 3 (Rectngulo):

Con toda esta informacin el problema se limita a introducir estos valores en las dos frmulas:

El Centroide de la figura completa estar ubicado en:

Ejercicio 2: Calcular la ubicacin del Centroide de la siguiente figura geomtrica.

El rea se obtiene con la suma de un rectngulo, un triangulo y un semicrculo y despus se resta un circulo (se sobre entiende que la figura tiene un hueco en forma de circulo). rea A1 (Rectngulo): Base por altura. A1 = (120) (80) = 9.600 mm2

rea A4 (Circulo): A4 = r2 = (40)2 = 5.026,55 mm2rea Total = A1 + A2 + A3 A4 = 13.828,32 mm2Luego, resulta ms cmodo determinar los valores de X y Y del centroide de cada una de las figuras simples para incluirlas en la frmula respectiva, tomando en cuenta el sistema de coordenadas de referencia.

Estudiando la figura 1 (Rectngulo):

Estudiando la figura 2 (Triangulo):

Ntese que la coordenada Y del centroide del tringulo es negativa para el sistema de coordenadas rectangulares tomado como referencia.Estudiando la figura 3 (Semicirculo):Estudiando la figura 4 (Circulo):

Con toda esta informacin el problema se limita a introducir estos valores en las dos frmulas:

Debiendo tomar en cuenta que el valor del rea del crculo (A4) tendr signo negativo y el valor de la coordenada Y del centroide del tringulo (Y2) tambin tendr signo negativoYcentroide = 36,6 mm

El Centroide de la figura completa estar ubicado en:

Ejercicio 3: Calcular la ubicacin del Centroide de la siguiente figura geomtrica.

Como se indic al inicio de esta gua: Si una figura geomtrica posee un eje de simetra, el centroide de la figura coincide con este eje. Esta figura en particular posee un eje de simetra horizontal y un eje de simetra vertical, luego su centroide estar ubicado en el punto de interseccin de sus dos ejes de simetra.

Se recomienda el uso de los procedimientos explicados en los dos ejercicios anteriores y verifique la ubicacin del centroide de la figura.Mtodo de Integracin Directa:

Para calcular el centroide de una figura plana que est limitada por arriba por la funcin f(x), por debajo por la funcin g(x), por la izquierda por la recta X = a y por la derecha por la recta X = b; se utilizan las siguientes frmulas:Donde A representa el rea de la figura plana a la que se le est calculando el centroide.Ejercicio 4: Calcular la ubicacin del Centroide de la regin acotada por Y = X2 y Y = X El primer paso consiste en graficar las dos funciones para determinar cul queda ubicada arriba y cul debajo. Igualmente se deben calcular los puntos de interseccin de las dos funciones para conocer los ndices superior e inferior de la integral definida.

Una vez hecha la grfica podemos decir que: f(x) = Y = Xg(x) = Y = X2a = 0b = 1Calculando el rea de la regin acotada:

Calculando las coordenadas del centroide:

El centroide estar ubicado en el punto (0.5 , 0.4)Ejercicio 5: Calcular la ubicacin del Centroide de la regin acotada por f (x)= 4-x2 y g (x)= x+2 :

El primer paso consiste en graficar las dos funciones para determinar cul queda ubicada arriba y cul debajo. Igualmente se deben calcular los puntos de interseccin de las dos funciones para conocer los ndices superior e inferior de la integral definida.

Estas 2 curvas se cortan en (-2,0) y en (1,3), por lo que el rea es:

El centroide tiene coordenadas:

El centroide es: (-1/2,12/5)El centroide es: (-0.5 , 2.4)Ejercicios de Centro de Gravedad

Ejercicio 1: :Encontrar el centro de masa de la regin limitada por la curva y el eje .

que tambin es una respuesta lgica dado que es eje de simetra, que tiene que ser negativo y por la forma de la grfica ms hacia 0 que hacia el vrtice que queda en Ejercicio 2: Sobre un mvil de masa m=1[kg] que se encuentra sobre una superficie sin roce, inicialmente en reposo en el origen (x=0), acta una fuerza F(x)= (x+1). (x corresponde a la posicin del mvil). Despus de recorrer 5[m] la rapidez de la masa es de:

En virtud del teorema del trabajo y la energa cintica

Como el cuerpo parte en reposo, K(x=0) = 0. Luego,

WF es el trabajo de la fuerza F entre x = 0 y x = 5 [m], y corresponde al rea bajo la curva F v/s x entre tales posiciones. En la figura del lado, tal rea corresponde a un trapecio dado por:

Finalmente

Reemplazando valores queda: que corresponde a la alternativa (e)

Ejercicio 3: Un estudiante valiente, de 60 [kg] de masa, se deja caer desde un puente estando atado a una cuerda elstica de 10 [m] de longitud. El estudiante desciende verticalmente 30 [m] antes de detenerse y empezar a subir. Considere que la cuerda acta como un resorte cuando se le estira por sobre su largo natural. La constante elstica de la cuerda es, en [N/m]:

a) 380; b) 180; c) 90; d) 40; e) 30

En la situacin A, el cuerpo parte del reposo. Est a una altura h = 30 [m] sobre el nivel del suelo. La cuerda no est estirada, por lo que no ejerce fuerza alguna.

En la situacin B, el cuerpo est al nivel del suelo, y est detenido a ese nivel. La cuerda acta como un resorte de constante elstica k y alargamiento x = 20 [m] (pues su largo natural es 10 [m] y su largo total en ese punto es 30 [m]). -2 -1 0 1 2 3 4 x[m] F F r V = 0 m A B Haciendo un balance de energas

Por conservacin de la energa mecnica:

Esta respuesta corresponde a la alternativa (c).

Ejercicio 4: Un bloque puede moverse en una trayectoria circular sobre una mesa horizontal, atado a un poste mediante una cuerda de masa despreciable. Existe roce entre el bloque y la superficie de la mesa. La velocidad inicial que hay que darle al bloque para que ste se detenga justo despus de dar una vuelta completa es:

I) Inversamente proporcional a la masa del bloque (aumenta al doble si la masa se reduce a la mitad)

II) Directamente proporcional al largo de la cuerda (aumenta al doble si el largo de la cuerda aumenta al doble)

Son verdaderas:

a) Slo I b) Slo II c) Todas d) Ninguna e) Se requiere informacin adicional

Considrese que la cuerda tiene longitud L. Inicialmente el cuerpo va a tener una velocidad de magnitud V0. Luego de dar una vuelta completa exacta, el cuerpo se detendr en el mismo punto (Kfinal = 0). La fuerza de roce consumir toda la energa cintica inicial. En virtud del teorema del trabajo y la energa cintica:

Donde Wroce = Froce 2L = mg 2L . Cabe hacer notar que, durante toda la trayectoria, la fuerza de roce tiene direccin opuesta al desplazamiento.

Luego,

Analizando las afirmaciones de estos resultados tenemos:

La afirmacin I) es FALSA, pues V0 es independiente de la masa. Luego, se descartan las alternativas a) y c).

La afirmacin II) es FALSA, pues si bien V0 depende de L, tal dependencia no es lineal, sino que proporcional a la raz de L. Luego, la alternativa correcta es la d).

Ejercicio 5: Fernando Gonzlez saca con una velocidad cercana a los 180 [km/h]. la masa de la pelota de tenis es de 50 [g]. Suponiendo que el tiempo de contacto de la pelota con la raqueta es de 0.2 [s], el impulso dado por la raqueta a la pelota tiene una magnitud cercana a:

a) No se puede determinar sin conocer la masa de la raqueta b) 2.5 [Ns] c) 9,0 [Ns] d) 12,5 [Ns] e) 62,5 [Ns]

De la definicin de impulso como cambio de momentum lineal entre A y B

En A, la pelota est en reposo, por lo queEn B, la pelota tiene una velocidad Luego,

Finalmente, Luego, el impulso aplicado tiene una magnitud de

2.5 [Ns], lo que corresponde a la alternativa a)

Ejercicios de Momento de Inercia de Masa

Ejercicio 1: Calcule el momento de inercia de un cilindro hueco, cuyo radio exterior y cuyo interior son R2 y R1, respectivamente. Utilice el resultado obtenido arriba para evitar cualquier tipo de procedimiento de integracin.

Para calcular el momento de inercia de la masa de un cilindro macizo y homogneo de masa m, radio R y altura h, respecto a su eje de figura, comenzaremos determinando su masa en funcin de su volumen: La cantidad que hemos designado con es la masa especfica (o masa por unidad de volumen), tambin llamada densidad. Por tanto

Ahora vamos a descomponer al cuerpo en infinidad de cilindros de pared delgada concntricos. Cada uno de ellos tendr un radio r y un espesor dr, como se muestra en la figura. El volumen de dicho elemento diferencial ser

Que corresponde lo largo (h), lo ancho y el espesor (dr) del elemento. O sea que su masa es

Por lo tanto, su momento de inercia ser:

Y el de todo el cilindro:

Como lo contenido en el parntesis es la masa del cilindro podemos decir:

Como solucin al problema planteado tenemos: Al momento de inercia de un cilindro macizo de radio R2 le restaremos el momento de otro de radio R1.

Como el producto de dos binomios conjugados es la diferencia de los cuadrados

Una fcil comprobacin del resultado anterior sera tomar el caso de que R1 y R2 fueran iguales. Entonces el momento de inercia tendra un valor de mR2, que es precisamente el que corresponde al de un cilindro de pared delgada.

Ejercicio 2: El momento de inercia de un paraleppedo usando el teorema de Steiner .

Sea un paraleppedo de masa M y de lados a, b y c respecto de un eje perpendicular a una de sus caras.

I es el momento de inercia del cuerpo respecto al eje paralelo al original, Icm es el momento de inercia del eje que pasa por el centro de masas, m es la masa total del cuerpo y d es la distancia entre estos ejes paralelos.

Dividimos el paraleppedo en placas rectangulares de lados a y b y de espesor dx.

El momento de inercia de cada una de las placas respecto de su eje de simetra es

Aplicando el teorema de Steiner, se calcula el momento de inercia de esta placa respecto de un eje paralelo situado a una distancia x es:

El momento de inercia del slido en forma de paraleppedo es:

Ejercicio 3: Momento de inercia un anillo de masa M y radio R, en el plano xy, Con respecto a los ejes x, y, z.

La masa del elemento diferencial ds = Rd es:

El momento de inercia del anillo con respecto al eje z es:

Por el teorema de la figura plana

Por simetra

Luego,

b) Para calcular el trabajo realizado en 30 min debemos tener en cuenta la potencia real. Por tanto:Preal = W /t; W = Preal . t = 1125 unidades. 1800 = 2025000 J

Ejercicio 2: Calcula la energa cintica de un vehculo de 1000 kg de masa que circula a una velocidad de 120 km/h.

Se extraen los datos del enunciado que son los siguientes:

m = 1000 kg

v = 120 km/h

Ec = ?

Todas las magnitudes deben tener unidades del SI, en este caso es necesario convertir 120 km/h en m/s

Una vez que tenemos todas las magnitudes en el SI sustituimos en la frmula:

Ec = 0,5 m v2 = 0,5 1000 unidades (33,3)2 = 554445 J

Ejercicio 3: Calcula la energa potencial de un saltador de trampoln si su masa es de 50 kg y est sobre un trampoln de 12 m de altura sobre la superficie del agua.

Se extraen los datos del enunciado que son los siguientes:

m = 50 kg

h = 12 m

Ep = ?

Todos los datos se encuentran en unidades del SI; por tanto, sustituimos en la frmula:

Ep = m g h = 50 unidades. 9,8 . 12 = 5880 J

Ejercicio 4: Un escalador con una masa de 60 kg invierte 30 s en escalar una pared de 10 m de altura.

Calcula:

a) El peso del escalador

b) El trabajo realizado en la escalada

c) La potencia real del escalador

Se extraen los datos del enunciado que son los siguientes:

m = 60 kg

t = 30 s

h = 10 m

a) El peso se calcula mediante la 2 Ley de Newton P = m g = 60 unidades 9,8 = 588 N

b) En la escalada, la fuerza que debe hacer el escalador debe ser igual a su peso y con sentido hacia arriba; por tanto, fuerza y desplazamiento tienen igual direccin y sentido, el ngulo entre ellos es 0. W = F cos x = 588 1 10 = 5880 J

c) La potencia se calcula realizando el cociente entre el trabajo realizado y el tiempo empleado: P = W/t = 5880 / 30; P = 196 W

Ejercicio 5: Antonio arrastra su trineo de 80 kg de masa por un plano horizontal en el que el coeficiente de rozamiento es 0,1. Para ello tira de l mediante una cuerda que forma un ngulo de 30 con la horizontal. Si la fuerza que aplica es de 100 N, qu trabajo ha realizado despus de recorrer 100 m?

Solucin: El movimiento de Antonio y su trineo es rectilneo y uniforme, de manera que la suma todas las fuerzas que actan sobre el trineo es nula. La normal compensa la diferencia entre del peso y la componente vertical de la fuerza:

Y la componente paralela de la fuerza compensa la fuerza de rozamiento:

De manera que:

El trabajo que realiza una fuerza constante en un desplazamiento rectilneo es el producto escalar de la fuerza por el vector desplazamiento:

Ejercicios de Impulso y cantidad de Movimiento

Ejercicio 1: Una fuerza de 10 Newton empuja un carrito durante 5 segundos. Calcular el impulso ejercido por F.

Entonces:

Si nos fijamos J se mide en unidades de Fuerza por unidades de tiempo, es decir, Newton x seg. Si a 1 Newton lo pongo como 1 Kg m / s 2 me queda que:

El impulso es un vector. Tiene punto de aplicacin, sentido y mdulo. Por este motivo se lo representa por una flecha as:

Por ser vector habra que poner siempre en vez de J. Puede colocarse sin la flechita, pero se debe saber que es un vector.

Si yo tom mi sistema de referencia para all , y jota va para all, ser . Si va al revs ser.Ejercicio 2: Una pelota de bisbol de 0,15 kg de masa se est moviendo con una velocidad de 40 m/s cuando es golpeada por un bate que invierte su direccin adquiriendo una velocidad de 60 m/s, qu fuerza promedio ejerci el bate sobre la pelota si estuvo en contacto con ella 5 ms?.Datos:

m = 0,15 kg

vi= 40 m/s

vf= - 60 m/s (el signo es negativo ya que cambia el sentido)

t = 5 ms = 0,005 s

p = Ipf- pi= Im.vf- m.vi= F.tF = m.(vf- vi)/t

F = 0,15 kg.(- 60 m/s - 40 m/s)/0,005 sF = 0,15 kg.(- 100 m/s)/0,005 sF = - 3000 NEjercicio 3: Un taco golpea a una bola de billar ejerciendo una fuerza promedio de 50 N durante un tiempo de 0,01 s, si la bola tiene una masa de 0,2 kg, qu velocidad adquiri la bola luego del impacto?Datos:

m = 0,2 kg

F = 50 N

t = 0,01 s

vi= 0 m/s

p = Ipf- pi= Im.vf- m.vi= F.tm.(vf- vi) = F.tvf- vi= F.t/mvf= F.t/m

vf= 50 N.0,01 s/0,2 kgvf= 2,5 m/sEjercicio 4: Se roca una pared con agua empleando una manguera, la velocidad del chorro de agua es de 5 m/s, su caudal es de 300 cm /s, si la densidad del agua es de 1 g/cm y se supone que el agua no rebota hacia atrs, cul es la fuerza promedio que el chorro de agua ejerce sobre la pared?Datos:

V= 300 cm /s (caudal volumtrico)

vi= 5 m/s

vf= 0 m/s (porque el chorro no rebota)

= 1 g/cm Primero debemos hallar la masa de agua y el tiempo de accin:

M= V. M= 300 cm /s.1 g/cm M= 300 g/s (caudal msico)

M= 0,3 kg/s ste dato nos dice que ent = 1 sla masa de agua esm = 0,3 kgp = Ipf- pi= Im.vf- m.vi= F.tF = m.(vf- vi)/t

F = 0,3 kg.(5 m/s - 0 m/s)/1 sF = 1,5NEjercicios de Sistemas de Cuerpos RgidosEjercicio 1: La varilla AB de la gura tiene longitud L y est sometida a la fuerza horizontal F. Utilizando la ecuacin (4.1), determine el torque de la fuerza respecto al extremo A y respecto al punto medio C. Compare los resultados obtenidos.

Respecto al punto A, las componentes rectangulares del vector posicin y de la fuerza estn dadas, respectivamente, por

Efectuando el producto vectorial entre estos vectores, se encuentra que el torque de la fuerza respecto al punto A es:

Operando en forma similar con:

El torque de la fuerza respecto al punto medio C, est dado por:

De acuerdo con las ecuaciones (1) y (2) se tiene que:

En ambos casos el torque es un vector que entra perpendicularmente al plano de la hoja , esto es, apunta en sentido negativo del eje z. De este modo, la fuerza tiende a generar una rotacin sobre la varilla en sentido horario.

Para una orientacin fija de la varilla, es mayor la cantidad de rotacin que tiende a imprimir la fuerza respecto al punto A, al compararla con la rotacin que tiende a imprimir con respecto al punto C.

En los dos casos, aunque con diferentes valores, la mxima rotacin se obtiene para , es decir, cuando la fuerza aplicada es perpendicular a la varilla.

Ejercicio 2: Calcule el momento que la fuerza Q de 80 kg produce respecto a cada uno de los puntos, A, B, C y D de la mnsula de la figura.

Ntese que la lnea de accin de Q es vertical y pasa por C, de modo que su distancia perpendicular al punto B es de 0,4 m, exactamente igual que su distancia a la articulacin A. los momentos no dependen del punto de aplicacin de la fuerza, sino de su lnea de accin. .

Ejercicio 3: Calcule el momento de la fuerza Q de 260 lb respecto al centroide

G de la seccin transversal de la viga I mostrada en la figura.

Las componentes ortogonales de la fuerza son

Primera solucin: descomponiendo en B

Segunda solucin: descomponiendo la fuerza Q en el punto A

Como puede apreciarse, una buena seleccin del centro de momentos facilita los clculos.

Ejercicio 4: La figura representa tres cajas colocadas sobre una tarima. Sustityalas por una sola que produzca los mismos efectos externos sobre la tarima.

Elegimos un sistema de referencia como se muestra

Elegimos el extremo A como centro de momentos y consideramos positivos los que tienen sentido horario.

Es decir,

O mejor:

CONCLUSIN

Las habilidades de pensamiento constituyen hoy en da una de las prioridades y retos de la educacin en el contexto de un mundo en constante cambio que demanda actualizacin profesional permanente y en donde es necesario formar a los estudiantes en los conocimientos, habilidades y actitudes necesarios para lograr un pensamiento lgico, crtico y creativo que propicie la adquisicin y generacin de conocimientos, la resolucin de problemas y una actitud de aprendizaje continuo que permita la autoformacin a lo largo de toda la vida.

La investigacin es muy importante en cualquier experiencia de estudio, ya que es enriquecida en las aulas de clases con los trabajos de las guas pedaggicas y actividades de cada asignatura. Algunas son elaboradas por los docentes, quienes elaboran una para el rea que ensean, otras pueden ser creadas por los mismos estudiantes con la finalidad de aplicar lo aprendido y ayudarse tanto a ellos como a las personas que lo puedan necesitar. Contienen las orientaciones de uso, los objetivos y la bibliografa. Luego de la explicacin del maestro o estudiante sobre esta herramienta, comienza la socializacin de las investigaciones, los docentes acompaan y revisan los talleres hechos para las indagaciones planteadas por los estudiantes y despus aplican la evaluacin. "(Las guas) estn diseadas por cada rea para trabajar con los estudiantes, pero tambin son diseadas por estudiantes para el goce y disfrute de sus conocimientos obtenidos de la materia.

REFERENCIAS

Beer y Johnston. Mecnica Vectorial para Ingenieros , Esttica y Dinmica. Edit. Mc Graw Hill, 6ma edicin.Ginsberg y Genin. Esttica y Dinmica Editorial Interamericana Hibbeler, Russel.: ingeniera Mecnica, Esttica y Dinmica, Edit. Prentice Hall, 7ma edicinLen, Juan. Mecnica Editorial Limusa, 2a edicin McGill y King. Esttica y Dinmica. Grupo Editorial Iberoamrica Meriam, J.L. Esttica y Dinmica Editorial Revert Morera, Francisco. Cinemtica del Cuerpo Rgido. Facultad de Ingeniera-UCAB. Nara, H. Mecnica Vectorial para Ingenieros, Esttica y Dinmica. Editorial Limusa Sandor, Bela Ingeniera Mecnica , Esttica y Dinmica. Editorial Prentice Hall Singer, Ferdinand. Esttica y Dinmica. Editorial Harla Shames, Irving. Ingeniera Mecnica , Esttica y Dinmica. Edit. Prentice Hall

Vera, Santiago. Mecnica Racional Ediciones Vega Caracas

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