Elementær Matematik Differentialligninger Parameterkurver Keglesnit

Ole Witt-Hansen Køge Gymnasium 2008

Indhold Indhold .................................................................................................................................................1 Kap 1. Differentialligninger .................................................................................................................1

1. Differentialligninger af første orden ............................................................................................1 1.1 Første ordens differentialligninger..................................................................................1 1.2 Eksempler på 1. ordens differentialligninger ..................................................................3 1.3 Fuldstændige løsning til den lineære differentialligning af første orden ..............................7

2. Differentialligninger af anden orden............................................................................................8 2.1 Wronski-determinanten ..........................................................................................................9 2.2 Entydighed af en løsning......................................................................................................12

3. Eksempler på problemer, der fører til differentialligninger .......................................................15 3.1 Trykkets afhængighed af højden over jordoverfladen..........................................................15 3.2 Kædelinien ...........................................................................................................................16

4. Numerisk integration af differentialligninger ............................................................................18 5. Differentialligningsmodeller......................................................................................................20

5.1 Forløbet af en influenza epidemi. ........................................................................................21 5.2 Differentialligning for vekselvirkning mellem to dyrearter.................................................24 5.3 Konkurrerende arter ............................................................................................................27

Kap 2. Parameterkurver .....................................................................................................................31 1. Indledende betragtninger .......................................................................................................31 2. Vektorfunktioner.....................................................................................................................32 3. Tangent til en parameterkurve ...............................................................................................33 3.1 Lodrette, vandrette tangenter og spidser. ............................................................................36 4. Undersøgelse af parameterkurver .........................................................................................37

5. Kurvelængde og overstrøget areal .............................................................................................43 Kap 3. Keglesnit................................................................................................................................48

1. indledning...................................................................................................................................48 2. Ellipsen.......................................................................................................................................48

2.1 Ellipsens ligning...................................................................................................................49 2.2 Ellipsens parameterfremstilling ...........................................................................................50 2.3 Ellipsetangent.......................................................................................................................50 2.4 Ellipsens ledelinier...............................................................................................................51

3. Hyperblen...................................................................................................................................51 3.1 Hyperblens asymptoter ........................................................................................................53 3.2 Hyperbolske funktioner. Hyperblens parameterfremstilling ...............................................53

4. Parablen......................................................................................................................................55 4.1 En sætning om brændstrålen og normalen ..........................................................................56

5. Keglesnit ....................................................................................................................................57 5.1 Ellipse...................................................................................................................................58 5.2 Parabel.................................................................................................................................58 5.3 Hyperbel...............................................................................................................................59

Differentialligninger 1

Kap 1. Differentialligninger

1. Differentialligninger af første orden En differentialligning af første orden er en ligning, hvor der foruden en funktion y=f(x) indgår differentialkvotienten af denne funktion y' = f '(x). Hvis også den 2. afledede y'' = f ''(x) indgår, så siges differentialligningen at være af 2. orden. Vi minder om skrivemåden:

(1.1) dx

dyxf )('

samt definitionen af differentialet af en funktion (1.2) dxxfdy )(' . Formelt kan man sige, at differentialet dy fås ved at "gange over med" dx i (1.1). En førsteordens differentialligning, kan skrives:

),( xyHdx

dy ,

hvor H er en vilkårlig (kontinuert) funktion af y og x. At løse differentialligningen vil sige at bestemme alle de funktioner: y = f(x), der opfylder

f '(x) = H(f(x),x). Vi illustrerer dette med et eksempel: 1.3 Eksempel.

Vi ser på differentialligningen: xx

yy

dx

dy

2 . Differentialligningen kan ikke umiddelbart løses, men vi ”gætter” på

løsningen: y = x∙tan(x). Vi differentierer:

xx

y

x

yxxx x x x) x·(y'

222 tantantantan1

Det er herefter nemt at indse, at alle funktionerne: y = x∙tan(x+c). er løsninger til differentialligningen ovenfor. Det er helt karakteristisk, at løsningerne til en 1. ordens differentialligning, kun er bestemt på nær én integrationskonstant. Eksemplet ovenfor er ikke karakteristisk for de differentialligninger vi skal se på, men det viser blot, hvorledes man kan undersøge om en funktion er løsning.

1.1 Første ordens differentialligninger Vi har allerede set på differentialligninger, hvor y ikke optræder i ligningen, dvs. en ligning af formen:

Differentialligninger 2

(1.4) )(xfdx

dy

Der som bekendt har løsningen:

(1.4) dxxfy )(

eller RccxFy ;)( , hvor F'(x) = f(x)

En lineær differentialligning af 1.orden er en ligning, hvor y' og y kun optræder i 1. potens (lineært). En sådan ligning kan skrives:

)()()( 121 xhyxgdx

dyxg

Hvis vi indskrænker os til intervaller, hvor g1(x)≠0, kan vi dividere med g1(x) og ligningen får da udseendet:

(1.5) )()( xhyxgdx

dy

hvis h(x) = 0 siges ligningen at være homogen:

0)( yxgdx

dy

Man kan angive den fuldstændige løsning til en 1. ordens differentialligning, men før vi viser dette, skal vi se på differentialligninger, hvor man kan separere afhængigheden af y og x på hver side af lighedstegnet. Vi skriver en sådan ligning:

(1.6) )()( xhdx

dyyg , hvor g(y) og h(x) er kontinuerte funktioner.

Lad G(y) være en stamfunktion til g(y) og H(x) være en stamfunktion til h(x). Der gælder altså: G'(x)=g(x) og H'(x)=h(x). Vi vil da vise følgende: 1) Hvis y er bestemt ved ligningen G(y)=H(x) + c , så er y en løsning til differentialligningen (1.6). 2) Hvis y = f(x) er en løsning, så tilfredsstiller den ligningen: G(f(x)) = H(x) + c. Når vi har vist dette, har vi bevist at samtlige løsninger til differentialligningen er givet ved:

G(y) = H(x) + c. Vi viser først 1), idet vi differentierer G(y)=H(x) + c efter reglerne for differentiation af sammensat funktion:

G'(y)y '= H'(x) g(y)y' = h(x) )()( xhdx

dyyg

Differentialligninger 3

Som viser at y , bestemt ved G(y) = H(x) + c er løsning til differentialligningen. Vi viser dernæst 2, idet y =f(x), antages at være en løsning. Vil da vise at G(f(x)) = H(x) + c, hvor c er en konstant, eller at G(f(x)) - H(x) = c. Vi differentierer venstresiden af ligningen (G(f(x)) - H(x))’ = G'(f(x))f '(x) - H'(x) = g(f(x))f '(x) - h(x) =g(y)y’ – h(x) = 0 Vi har i det sidste udtryk anvendt, at y = f(x) er en løsning, så g(y)y' = h(x). Differentialkvotienten (G(f(x))-H(x))’ er identisk nul, hvilket medfører at:

G(f(x)) - H(x)=c G(f(x)) = H(x) + c, hvormed sætningen bevist. I praksis løses ligningen (1.6) ved separation af de variable og integration i følgende skridt:

(1.7) )()( xhdx

dyyg dxxhdyygdxxhdyyg )()()()(

G(y) = H(x) +c Hvor betydningen af G og H er den samme som før. Vi kan herved se, at vi ved separation og integration, netop når frem til den fuldstændige løsning. Når vi ikke fra starten gjorde dette er det fordi regning med differentialer er matematisk "uldent". Bemærk tilstedeværelsen af integrationskonstanten c. c bestemmes ved at løsningen y = f(x) skal gå gennem et punkt (x0, y0), altså så y0 = f(x0). (1.8) Man kan vise følgende (men vi undlader beviset, da det er ret abstrakt): Eksistens- og entydighedssætning for differentialligninger af førsteorden. Hvis h(x) er defineret og kontinuert i et interval I og g(y) er defineret og kontinuert i et interval J, så findes der netop en løsning y= f(x), som går gennem punktet (x0, y0), hvor JyIx 00 .

(1.7) repræsenterer den generelle metode til løsning af første ordens differentialligninger, der kan separeres.

1.2 Eksempler på 1. ordens differentialligninger 1.8 Eksempel. Vi vil bestemme løsningerne til differentialligningen

(1.9) kydx

dy

hvor k er en reel konstant forskellig fra 0.

Differentialligninger 4

Fra differentialregningen ved vi, at eksponentielle funktioner har den egenskab, at differentialkvotienten er proportional med funktionen selv. Vi gætter derfor på løsningen y = c·ekx.. Ved differentiation fås: y' = cekx·k = k·cekx = ky Som viser at y = c·ekx er løsning til ligningen. Vi vil nu løse ligningen mere formelt og dermed godtgøre at y = c·ekx hvor. Rc Vi separerer derfor ligningen som det er vist i (1.7). Vi deler løsningen op i 2 tilfælde:

1) Man ser umiddelbart at y = 0 er løsning til differentialligningen. Denne løsning kaldes for nulløsningen. 2) y ≠ 0. Man udregner integralerne på begge side.

kdxdyy

kdxdyy

kydx

dy 11

kxec

eykxec

eykxec

eyckx

eyckxy 11111 ||||||ln

(1.9) Rccey kx ,

Den sidste omskrivning er fremkommet, idet Rc

e 1 og c = 0 svarer til nulløsningen.

Denne opdeling er karakteristik for de fleste af denne type differentialligninger, og man vil i almindelighed ikke gentage detaljerne, når man opskriver løsningen. Dog er det vigtigt, at man husker nulløsningen.

1.10 Eksempel Differentialligningen ovenfor er en af de mest hyppige i mange videnskaber. Fysik, økonomi og især biologi. I disse videnskaber vil x ofte (men ikke altid) betegne tiden t. Når man differentierer med hensyn til tiden, bestemmer man hastigheden, f.eks. væksthastigheden for en population. Sammenlign f.eks. med definitionsligningerne for hastighed og acceleration:

t

vaog

t

sv

, som i grænsen, hvor 0t bliver til en differentialkvotient.

t

v

tdt

dsaog

t

s

tdt

dsv

0lim

0lim

Når y’ er en hastighed skrives ligningen og dens løsning da:

(1.9) Rcktceykydt

dy ,

1.11 Eksempel. Eksponentiel vækst. For en population (bakterier, en befolkning) med ubegrænset adgang til føde, kan man med god tilnærmelse antage, at for små tidsrum t antage at tilvæksten i populationen y er proportional med populationens størrelse y og med t . Dette kan man udtrykke:

kyt

ytkyy

Ved at lade t gå imod nul, genfinder man differentialligningen (1.9)

Differentialligninger 5

Rcktceykydt

dy ,

Hvis en population har en vækst, der fører til differentialligningen (1.9) taler man om eksponentiel vækst. Det viser sig at talrige biologiske organismer, herunder befolkningsvækst i en begrænset tidsperiode kan beskrives ved eksponentiel vækst. Det er lige så klart, at sammenhængen vil bryde sammen på et eller andet tidspunkt, da en eksponentialfunktion går (hurtigt) mod uendelig.

I afsnittet om eksponentialfunktioner, så vi, at man kan beregne fordoblingskonstanten k

T2ln

2 .

1.12 Eksempel. Vi skal nu se på en type differentialligning, der minder meget om (1.9), og som løses på samme måde.

(1.13) baydx

dy

Indfører vi hjælpevariablen bayaza

byz gælder:

dx

dy

dx

dz og hermed:

abaxax ceycezaz

dx

dxbay

dx

dy

Vi ser at løsningen svarer til eksponentiel vækst, blot parallelforskudt på y-aksen. 1.13a Eksempel En sø, som har et volumen V, får tilført u liter forurenet vand pr. døgn, brøkdelen af forurening betegnes q. Fra søen udledes den samme mængde vand u pr. døgn. Vi vil opstille en differentialligning, der angiver den brøkdel y, som søen er forurenet med.

Den hastighed dy/dt , hvormed søen forurenes har to bidrag: Det tilførte, som er V

uq , og det afledte, som er

V

uy .

Differentialligningen bliver herefter: )( yqV

u

dt

dy

V

uy

V

uq

dt

dy

Det ses umiddelbart at differentialligningen er af typen (1.13), hvorfor vi direkte kan opskrive løsningen:

qt

V

u

cey

Antager vi at søen er ren til tidspunktet t = 0, finder man, at 0 = c + q c = -q, hvorefter vi kan opskrive løsningen:

)1(t

V

u

eqyqt

V

u

qey

Da

tfort

V

u

e 0 , vil søen ende med at have den samme forureningsgrad som det tilførte spildevand.

Vi vil nu bestemme forureningsgraden, når der er tilført forurenet vand, svarende til halvdelen af søens volumen.

Hermed er ut = ½V, så vi finder

)1( 2

1

eqy 0.393q svarende til 39,3%

1.14 Eksempel. Logistisk vækst. Antagelsen om ubegrænset adgang til føde er kun realistisk i begrænsede tidsrum. En mere realistisk model får man, hvis man antager at væksthastigheden er proportional med populationens størrelse (som ved eksponentiel vækst), men også proportional med afstanden til en øvre grænse M for populationens størrelse. Hvorvidt denne model afspejler en populations udvikling, kan man kun afgøre ved at afprøve modellen på en virkelig population. Da vi eksplicit taler om vækst, anvender vi t (tiden) som uafhængig variabel.

Differentialligninger 6

Vi kan nu opskrive differentialligningen:

(1.15) )( yMaydt

dy

Hvor M – y er afstanden til den øvre grænse for populationen. Ligningen løses som før ved separation, idet man bemærker at y = 0 og y = M begge er trivielle løsninger til ligningen.

adtyMy

dy

)(

Det første integral er ikke så ligetil at løse, men det udregnes ved en teknik, der kaldes for udvikling på partialbrøker. Vi forsøger således at skrive integranden, som en sum af to brøker, hver kun med en faktor.

)(

)(

)(

)(

)(

1

yMy

ypqpM

yMy

qyyMp

yM

q

y

p

yMy

Hvis denne identitet skal gælde for alle y følger det at q = p og pM = 1, så M

qp1

. Idet vi ganger igennem med

M, opnår vi differentialligningen:

kaMtyMyaMdtdyyMy

)ln(ln)11

(

Vi har her antaget at y > 0 og y < M, som var forudsætningen for modellen. Ved reduktion ved hjælp af logaritmeregneregler får man:

kaMtyM

ykaMtyMy ln)ln(ln kaMte

yM

y

Løser vi denne ligning med hensyn til y, og sætter cke , hvor c er en positiv konstant får man løsningen:

(1.15) ce

cMyce

ecMy

aMtaMt

aMt

1

1

Ofte ser man i løsningen c erstattet med 1/c, hvorefter løsningen får den simple form:

(1.15) aMtce

My

1

a og M er fastlagt ud fra modellen, mens c er fastlagt ved populationens størrelse på et givet tidspunkt. 1.15 Eksempel I en sø er fosforkoncentrationen en funktion y = f (t) af tiden. I en model forudsættes det at der pr. døgn udledes en konstant mængde fosfor til søen, mens den mængde der ledes bort fra søen er proportional med koncentrationen. Man kan opstille en differentialligning, der udtrykker, at den relative tilvækst i fosforkoncentration i tidsrummet t er en konstant gangen t minus en konstant gange y gange t .

)()( yb

aby

t

ybyay

t

ytbyta

y

y

Ved at lade t gå imod nul får man en differentialligning, som man genfinder som den logistiske ligning.

Differentialligninger 7

)( yb

aby

dt

dy

For den pågældende sø er b = 0,00001 og a/b =200. Endvidere opfylder f ligningen f(475) = 107. Bestem en forskrift for f, og beregn f(1000), samt væksthastigheden for fosforkoncentrationen til t =1000. Ved at indsætte f(475) = 107 i løsningsformlen (1.15) finder man:

20,295,0107

93107200107

475002,01

200107 95,0

ec

cece

Løsningen bliver da

te

y002,020,21

200

med 154220,21

200)1000(

ef

Væksthastigheden er dy/dt, og den bestemmes ved direkte indsættelse i differentialligningen.

0708,0)154200(15400001,0)200(00001,0 yydt

dy

1.3 Fuldstændige løsning til den lineære differentialligning af første orden Vi vil løse ligningen:

(1.16) )()( xhyxgdx

dy

Hvor vi antager at g(x) og h(x) er kontinuerte funktioner, så de har en stamfunktion. Hvis G(x) betegner en stamfunktion til g(x), så G’(x) = g(x), ganger vi ligningen igennem med

)( xGe , herved får man

)()()()( )()()()()( xheyedx

dxheyxge

dx

dye xGxGxGxGxG

Omskrivningen følger af :

yxgedx

dyeyxGe

dx

dyeye

dx

d xGxGxGxGxG )()(')( )()()()()(

Ligningen

)()( )()( xheyedx

d xGxG

kan umiddelbart integreres til

(1.17) dxxheeydxxheye xGxGxGxG )()( )()()()(

Differentialligninger 8

Hvilket er den fuldstændige løsning, idet man husker på at det ubestemte integral altid kræver en arbitrær konstant (integrationskonstant). 1.18 Eksempel.

Bestem den løsning til differentialligningen: 2x

x

y

dx

dy , hvor x > 0 og som går gennem (2,-3).

Vi finder direkte

x

xexGeogxxexGesåxdxx

xG1ln)(ln)(ln

1)(

Ved indsætning i løsningsformlen finder man da:

)44

1(

11 2 cxxx

dxxxyx

cxy 3

4

1

Løsningen gennem (2,-3) findes ved indsættelse af (x,y)= (2,-3) i løsningsformelen: 102

23 cc

x

xy103

4

1

2. Differentialligninger af anden orden En differentialligning af anden orden er en ligning, hvor den anden afledede af en funktion indgår. Vi vil indskrænke os til at betragte ligninger af formen

(2.1) ykdx

yd 22

2

, hvor k ≠ 0

Tilfældet k = 0 ses umiddelbart at give løsningen y = c1x + c2 Denne type ligninger, kan ikke løses på samme måde som første ordens ligninger, men opgaven er den samme, at undersøge om der findes løsninger og i givet fald finde dem alle sammen. Vi viser først sætningen: Hvis f1 og f2 er løsninger til differentialligningen (2.1), så er enhver linearkombination: (2.2) f(x)= c1 f1(x) + c2 f2(x) også en løsning. Vi skriver nu differentialligningen på formen

(2.3) mydx

yd

2

2

, hvor m = 2k

Vi differentierer nu (2.2) to gange og får ifølge regnereglerne for differentiation. f ’’(x)= c1 f1 ’’(x) + c2 f2’’ (x)

Differentialligninger 9

da såvel f1 og f2 er løsning til (2.3), gælder der:

f1’’ (x) = m f1(x) og f2’’ (x) = m f2(x), hvoraf følger:

f ’’(x)= c1 f1 ’’(x) + c2 f2’’ (x) = c1 m f1(x) + c2 m f2(x) =m(c1 f1(x) + c2 f2(x)) =m f(x) hvilket viser, at f(x) er en løsning til differentialligningen (2.3).

2.1 Wronski-determinanten I det følgende får vi brug for løsningsformlen for to lineære ligninger med to ubekendte med determinantmetoden. Ligningssystemet

(2.4) 222

111

cybxa

cybxa

har determinanten 122122

11 bababa

baD

Hvis D ≠ 0, har ligningssystemet (2,4) netop en løsning givet ved

(2.5) 1221

1221

22

11

22

11

baba

bcbc

ba

ba

bc

bc

x

og 1221

1221

22

11

22

11

baba

caca

ba

ba

ca

ca

y

For at bestemme samtlige løsninger til differentialligningen:

mydx

yd

2

2

,

indfører man den såkaldte Wronski-determinant af to differentiable funktioner:

(2.6) gffggf

gfgfW ''

''),(

2.7 Eksempel Wronski-determinanten kan udregnes for to vilkårlige differentiable funktioner. F.eks. f(x) = x2 og g(x) = sin x.

xxxxxx

xxgfW sin2cos2

cos2

sin2),(

I almindelighed er Wronski-determinanten en funktion af x, men vi vil nu vise den lidt overraskende sætning: (2.8) Hvis f1 og f2 er løsninger til differentialligningen (2.3), så er Wronski-determinanten konstant.

Differentialligninger 10

W(f1, f2) = c <=> W’(f1, f2) = 0

Differentierer man W(f1, f2) = f1 f2’ - f1’ f2 efter produktreglen for differentiation for de to faktorer fås:

212121212121212121 '''''''''''')'''(),(' ffffffffffffffffffW Anvender man nu, at f1 og f2 er løsninger til differentialligningen (2.3), således at f1’’ =m f1 og f2’’ =m f2 finder man: 0)(''''),(' 21212121212121 ffffmfmfmffffffffW så Wronski-determinanten er konstant for to vilkårlige løsninger til (2.3). Vi er da klar til at vise hovedsætningen om differentialligningen (2.3). Hvis f1 og f2 er løsninger til differentialligningen

mydx

yd

2

2

For hvilket det gælder at W(f1, f2) ≠0 (en konstant forskellig fra 0), så kan samtlige løsninger y = f(x) skrives som en linearkombination af de to løsninger. f(x)= c1 f1(x) + c2 f2(x) Vi har allerede vist, at f(x)= c1 f1(x) + c2 f2(x) er løsning, hvis f1(x) og f2(x) er løsninger, så vi mangler blot, at vise at alle løsninger kan skrives på denne form. Hvis man ikke stiller krav om, at c1 og c2 er konstanter, så kan man altid bestemme funktioner c1(x) og c2(x), der tilfredsstiller ligningssystemet:

)(')(')('

)()()(

2211

2211

xfxfcxfc

xfxfcxfc

Determinanten for ligningssystemet er jo netop

''),(

21

2121 ff

ffffW ,

som vi har forudsat forskellig fra nul. Løsningerne c1=c1(x) and c2 = c2(x) kan ifølge løsningsformlen for ligningssystemet skrives:

Differentialligninger 11

),(

),(

),(

''

),(

),(

),(

''

21

1

21

1

1

221

2

21

2

2

1 ffW

ffW

ffW

ff

ff

cffW

ffW

ffW

ff

ff

c

Da f1 , f2 og f alle er antaget at være løsninger, er alle de indgåede determinanter konstante ifølge den tidligere sætning og dermed er c1 og c2 konstanter, hvilket vi skulle bevise.

Vi vil nu løse differentialligningen mydx

yd

2

2

for m > 0 og m < 0.

2. 8 Eksempel

m>0: Vi sætter m = k2. , hvorefter differentialligningen bliver: ykdx

yd 22

2

.

Funktioner, hvis anden afledede er proportional med funktionen selv er enten eksponentialfunktioner eller sin, cos-funktioner. Når konstanten er positiv er det eksponentialfunktioner.

Ved direkte indsætning ses at kxexf )(1 og kxexf )(2 er løsninger, idet

kxkx kee )'( og kxkxkx ekkee 2)'(')'( .

Vi udregner da Wronski-determinanten for de to løsninger.

02'2'1

21)2,1(

kkkkxkekxke

kxekxeff

ffffW

Da Wronski-determinanten er forskellig fra 0, kan vi opskrive den fuldstændige løsning:

(2.8) kxeckxecxf 21)(

2. 9 Eksempel

m < 0: Vi sætter m =- k2. , hvorefter differentialligningen bliver: ykdx

yd 22

2 .

Funktioner, hvis anden afledede er proportional med funktionen selv er enten eksponentialfunktioner eller sin, cos-funktioner. Når konstanten er negativ er det sin eller cos-funktioner.

Ved direkte indsætning ses at kxxf cos)(1 og kxxf sin)(2 er løsninger. Vi nøjes med at vise det for cos kx

kxkkx sin)'(cos og kxkkxkkx cos2)'sin(')'(cos . Vi udregner da Wronski-determinanten for de to løsninger.

0)sin(cossincoscossin

sincos

''),( 2222

21

2121

kkxkxkkxkkxk

kxkkxk

kxkx

ff

ffffW

Da Wronski-determinanten er forskellig fra 0, kan vi opskrive den fuldstændige løsning:

(2.8) kxckxcxf sin2cos1)(

Differentialligninger 12

2.2 Entydighed af en løsning Ved et linieelement, forstår man et punkt, som løsningen går gennem, samt kurvens differentialkvotient i dette punkt. Et linieelement kan f.eks. skrives (x0, y0, α). Hvis en løsning går gennemlinieelementet gælder således: f(x0) = y0 og f ’(x0) = α. Der gælder følgende Sætning: Til ethvert linieelement (x0, y0, α) findes der en løsning til differentialligningen

mydx

yd

2

2, som går gennem dette linieelement.

Vi skal altså vise, at der findes en løsning y = f(x), som opfylder f(x0) = y0 og f ’(x0) = α. Samtlige løsninger til differentialligningen kan skrives f(x)= c1 f1(x) + c2 f2(x) hvor f1(x) og f2(x) er to løsninger, hvis Wronski-determinant er forskellig fra 0. Løsningsbetingelserne f(x0) = y0 og f ’(x0) = α kan derfor skrives:

)(')('

)()(

022011

0022011

xfcxfc

yxfcxfc

Dette kan betragtes som et ligningssystem med de ubekendte c1 og c2. Ligningssystemet determinant er imidlertid:

)0('2)0('1

)0(2)0(1xfxf

xfxf ,

som netop er Wronski-determinanten for de to løsninger, som vi har vist er konstant, og som vi har forudsagt er forskellig fra nul. Da ligningssystemets determinant er forskellig fra nul, har ligningerne netop en løsning c1 og c2, hvilket vi skulle vise. 2.10 Eksempel

Bestem til differentialligningen yy4

1'' den løsning, hvis graf går genne A(0,6) og i punktet A har en tangent med

hældning 1.

Ligningen er af formen 2

12'' kmedyky , så vi kan direkte opskrive løsningen.

xx ececxf 2

121

21)( og xx ececxf 2

121

221

121)('

Løsningsbetingelserne: 1)0('6)0( fogf 1022

1012

1 ecec

2416 21221

121

21 cccccc Løsningen bliver herefter

xx eexf 2

121

24)(

2.11 Eksempel

Bestem til differentialligningen )(9)('' xfxf den løsning, hvis graf går genne )32,9

(

P og i punktet P har en

tangent med hældning -6.

Differentialligninger 13

Ligningen er af formen 32'' kmedyky , så vi kan direkte opskrive løsningen.

xcxcxf 3sin23cos1)( med xcxcxf 3cos233sin13)(

Løsningsbetingelserne:

6)9

('32)9

(

fogf 69

3cos239

3sin13329

3sin293cos1

cccc

63

cos233

sin13323

sin23cos1

cccc

22

122

3132

2

322

11 cccc

423134321 cccc

Ligningerne løses lettest, ved at gange den sidste ligning med - 3 og lægge ligningerne sammen , herved får man:

223213814 ccc

Løsningen bliver herefter

xxxf 3sin23cos32)(

Differentialligningen

ykdx

yd 22

2

har den fuldstændige løsning:

kxckxcxf sin2

cos1

)(

Vi ønsker at bestemme værdimængden for denne funktion. Dette opnås ved at bestemme tal A og φ, således at c1 og c2 kan skrives på formen:

c1 =Acosφ og c2 =Asinφ

Af de to ligninger, får man ved division tan φ =1

2

cos

sin

c

c

A

A

Kvadreres de to ligninger og adderes får man 22

21

222 )sin(cos ccA ,

Hvoraf man finder : 22

21 ccA .

Indsætter man de fundne udtryk for c1 og c2 i udtrykket for løsningen, får man dernæst: )cos()sinsincos(cos)( kxAkxkxAxf

Differentialligninger 14

Det sidste udtryk skyldes en omskrivning ved hjælp af den første af de additionsformler, der blev udledt i vektorregningen. yxyxyx sinsincoscos)cos( Bemærkning: I fysikken, hvor løsningen til differentialligningen er løsningen til en harmonisk svingning, og hvor x er erstattet med t (tiden), skriver man i almindelighed løsningen som: )cos()sinsincos(cos)( ktAktktAtf Dette svarer til at man har erstattet φ med –φ i den øverste ligning, (hvilket dog havde virket lidt kunstigt på dette sted) Hvad enten man anvender det ene eller det andet udtryk, så er det indlysende at værdimængden for løsningen er [-A, A], da værdimængden for cosinus er [-1, 1]. A kaldes for amplituden (i svingningen) og φ kaldes for begyndelsesfasen. kx + φ kaldes da for fasen og φ kaldes for begyndelsesfasen.

Differentialligningsmodeller 15

3. Eksempler på problemer, der fører til differentialligninger I alle naturvidenskaber, men også i biologi og økonomi, optræder differentialligninger, som svar på problemer. Vi vil her give nogle eksempler, hentet fra fysikken.

3.1 Trykkets afhængighed af højden over jordoverfladen Vi betragter et kasseformet udsnit af atmosfæren. Arealet af endefladerne betegnes A. Kassen befinder sig i højden y over jordoverfladen. Kassen har højden Δy. Trykket på overside og underside betegnes p(y+ Δy) og p(y). Massefylden for luften i højden h betegnes ρ(y). Vi minder om at kraften på en flade med areal A er F = pA, hvor p er trykket på fladen. Vi udtrykker nu, at forskellen i kraften på underside og overside er lig med tyngden af den luft, der befinder sig i kassen. Dette fordi luften i kassen er i hvile. p(y)A - p(y+ Δy)A = mluft· g= ρ(y)Vluf tg = ρ(y)A Δyg Divideres denne ligning med AΔy får man:

(3.1) gydy

dp

y

ypyyp)(

)()(

For at løse differentialligningen (3.1), må vi imidlertid kende endnu en sammenhæng mellem ρ(y) og p(y). Den kan vi imidlertid få af :

1. tilstandsligningen for ideale gasser: PV = nRT,

2. definition af molmasseM

mnnMm , samt

3. definition af massefylde: VmV

m .

Indsættes nemlig de to sidste ligninger i tilstandsligningen finder man:

PRT

MRT

M

VRT

M

mnRTPV

Dette udtryk for massefylden indsættes så i (3.1), som herefter giver:

(3.2) pRT

Mg

dy

dp

Som bekendt aftager temperaturen ca. med 1oC for hver 200 m, man kommer til vejrs, men vi antager først, at temperaturen er konstant op igennem atmosfæren. Løsningen til differentialligningen (3.2) er kendt, så vi finder:

Differentialligningsmodeller 16

(3.3) y

RT

Mg

epyp

0)(

Indsættes de kendte værdier for konstanterne: M =29 g/mol, g = 9.82 m/s2, R= 8.31 J/(molK) og T = 273 K, finder man:

(3.4) yepyp42610.1

0)( hvor y skal måles i m.

Dette giver et trykfald på 1,3% pr. 100 m og 12% pr. 1000 m. Vi ser dernæst på løsningen til differentialligningen, hvis temperaturen aftager lineært med 10C, pr. 200 m. Temperaturen ved jordoverflade sættes til 20 0C = 293 K. Temperaturen i højden y er derfor: T = T(y) = 293 – y/200. Differentialligninger bliver herefter:

(3.5) pR

Mg

dy

dpy )293(

200

Denne ligning løses på sædvanlig vis ved separation og integreres:

yp

p

dyyR

Mg

p

dp

0 200293

1

0

200293

1

1

1

02930

med

R

Mg

p

dpyp

p

dyy

Ligningen integreres til at give:

(3.6)

R

Mg

yppyR

Mg

p

p 2930 )1()ln()ln( 1

2930

Udregnes trykket efter (3.6) giver det kun anledning til afvigelser fra (3.4) på 0,1 – 0,2 %.

3.2 Kædelinien

Differentialligningsmodeller 17

Kædelinien er betegnelsen for den kurve y = f(x), som en ”kæde” (tov, kabel) danner, når den er ophængt i to punkter.

)(xF betegner den tangentielle kraft, som kæden er påvirket af ved x. Den vandrette komposant F0 er uafhængig af x, da kæden er i hvile i vandret retning. Den lodrette komposant af kraften Fy(x0)=0

i minimumspunktet x = x0, da kraften

)(xF er vandret i dette punkt. Af dette følger, at Fy(x) er lig med tyngdekraften, der virker på kæden fra x0 til x. For længden af kurven, givet ved y = f(x), fra x0 til x, har vi i integralregningen udledt udtrykket

(3.7) dxxfxlx

x 0

2)('1)(

Hvis kædens masse pr. længdeenhed er μ, er tyngden af stykket μ·l·g, hvor g som sædvanlig betegner tyngdeaccelerationen g = 9,82 m/s2. Kraften Fy(x) = F0 tanθ , hvor θ betegner tangenthældningen, og dermed Fy(x)= F0 f ’(x). Vi sammenfatter dette.

gxlxfFxFogdxxfxl y

x

x)()(')()('1)( 0

2

0

dxxfgxfFx

x0

20 )('1)('

(3.8) dxxfF

gxf

x

x 0

2

0

)('1)('

Af denne differentialligning ses, at )(' xf er en stamfunktion til 2

0

)('1 xfF

g

og der gælder

derfor: 2

0

)('1)('' xfF

gxf

, som er en differentialligning af typen:

(3.9) 2'1'' yky , hvor 0F

gk

er en positiv konstant.

For at løse den sætter vi z = y’ og dermed z’ = y’’. Hefter er ligningen reduceret til følgende 1.ordens differentialligning:

(3.10) 21' zkz Ligningen (3.10) kan løses, men det kræver kendskab til de såkaldte hyperbolske funktioner. 3.11 Eksempel. Hyperbolske funktioner. Man definerer hyperbolsk cosinus (skrives cosh) og hyperbolsk sinus (skrives sinh), ved ligningerne:

(3.12) )(2

1sinh)(

2

1cosh xexexogxexex

navnet for disse funktioner kommer af, at de har mange egenskaber, som ligner dem vi kender fra sin x og cos x. For eksempel får man ved differentiation:

Differentialligningsmodeller 18

(3.13) xxogxx cosh)'(sinhsinh)'(cosh

Endvidere gælder grundrelationen mellem cos x og sin x i en lidt modificeret form:

1)4(4

12)(4

12)(4

12sinh2cosh xexexexexexexx

Der gælder altså

(3.14) 12sinh2cosh xx Vi løser nu differentialligningen (3.10) ved separation.

kdxz

dzzk

dx

dzzkz

21

2121'

kdxz

dz

21

For at udregne integralet på venstre side, foretager vi substitutionen

z=sinht => dz=coshtdt og t = sinh-1z.

Vi får derefter

kdxt

tdtkdx

z

dz

2sinh1

cosh

21

111cosh

coshckxtckxdtckxdt

t

t

)1sinh(11sinh ckxzckxz

Idet y’ = z integreres den sidste ligning til 2)1cosh(1

)( cckxk

xfy

Substituerer vi nu tilbage i den oprindelige ligning 0F

gk

finder man sluttelig:

(3.15) 2)10cosh(0)( ccx

F

g

g

Fxfy

Det sidste udtryk viser, at den kurve som en kæde indstiller sig efter er en hyperbolsk cosinus-funktion. Konstanterne c1 og c2 bestemmes ved begyndelsesbetingelserne.

4. Numerisk integration af differentialligninger Som omtalt i indledningen af afsnittet om differentialligninger, er det kun få typer af ligninger, der har en analytisk løsning. Det sidste betyder, at man kan bestemme en forskrift y = f(x) udtrykt med almindelige funktionstegn, som tilfredsstiller differentialligningen. I andre tilfælde, er man henvist til at løse ligningen numerisk, hvilket betyder, at starter med en begyndelsesbetingelse og regner sig frem i små skridt h. Der findes adskillige metoder til at løse en differentialligning numerisk. Disse metoder er en del af den matematiske disciplin, der kaldes numerisk analyse.

Differentialligningsmodeller 19

Andre eksempler på numerisk analyse er f.eks. nulpunkter for en funktion ved Newton-Raphsons metode eller numerisk udregning af integraler ved Simpsons formel. Vi skal kun se på den meste simple metode, som også kaldes for Eulers metode. Eulers metode er baseret på det approximerende 1. grads polynomium, som blev omtalt i differentialregningen.

En funktion y = f(x) er differentiabel i x0 (4.1) f(x0+h) = f( x0 )+ f ’( x0 )h+ ε(h)h, hvor ε(h) er en epsilonfunktion defineret ved: ε(h) ─> 0 for h ─> 0. I det approximerende 1. grads polynomium er f(x0+h) approximeret ved 3 led. Det første er af nulte orden i h (konstant), det næste er af første orden i h (h1) og det sidste er af anden orden i h (h2) på grund af epsilon funktionen. Hvis h er et lille tal, f.eks. h=0,01, så er h2 =10-4, af den grund får det sidste led mindre betydning, og betydningen aftager med aftagende h. Lad os antage, at vi har givet en differentialligning: y' = g(y,x) Eulers metode er derfor at approximere f(x1) = f(x0+h) med f( x0 )+ f ’( x0 )h. Dette vil give følgende værdier: y0 = f( x0 ) (4.2) y1 = f(x1) = f(x0+h) = f(x0)+ f ’( x0 )h = y0 + g( y0, x0)h

y2 = f(x2) = f(x1+h) = f( x1)+ f ’(x1)h = y1 + g( y1, x1)h Fejlen i hvert skridt er proportional med h2, men hvis f ’(x) har samme fortegn, vil fejlene akkumulere., dvs. trække i den samme retning. Numerisk løsning af differentialligninger sker nu om dage altid på en Computer.

Differentialligningsmodeller 20

En bedre metode, som tilskrives Aitken, kan angives, hvis man som begyndelsesværdier kender

)()( 00 2xfogxf

h . )(20

hxf kan f.eks. være fundet ved hjælp af Eulers metode ud fra 0(xf ).

Man bestemmer nu )(20

hxf på følgende måde:

hxygxfhxfxfxfxfhhh

),()()(')()()( 0000001 222

hxygxfhxfxfxfxfhhh

),()()(')()()( 1111112 222

Og sådan fremdeles. Man kan vise, at fejlen ved denne metode hvert skridt er proportional med h3. Ovenfor er de to metoder forsøgt illustreret grafisk. I praksis anvender man endnu mere avancerede metoder. De fleste programmer anvender nu den såkaldte Runge-Kutta 4. ordens metode, hvor fejlen er proportional med h4.

Nedenfor er vist den analytiske og den numeriske løsning af differentialligningen xx

yy

dx

dy

2 fra

eksempel (1.3). Man ser kun en kurve, så den numeriske metode er meget god i dette tilfælde.

5. Differentialligningsmodeller Når man taler om en model, mener man ofte et matematisk udtryk, der kan beskriver nogle data, som i almindelighed også er behæftet med statistisk usikkerhed. Når man anvender ordet model, så er det i almindelighed, fordi beskrivelsen ikke er ”den fuldstændige sandhed”, men blot er baseret

Differentialligningsmodeller 21

på nogle rimelige ofte simple antagelser. For det samme fænomen, kan man ofte opstille flere modeller, der hver for sig beskriver dele af data med rimelighed. Herimod taler man om en teori, når det betragtes som den fuldstændige beskrivelse af et fænomen. En beskrivelse, der ikke kan forbedres yderligere. Som eksempel på en teori, kan man i matematikken f.eks. nævne plangeometrien, differential- og integralregningen og i den klassiske fysik f.eks. Newtons gravitationslov og Einsteins relativitetsteori, hvorimod tilstandsligningen for ideale gasser er teori, hvis idealgasser eksisterede i naturen, (hvilket de næsten gør), men af samme grund nogen gange betegnes som en model. De eksempler vis skal se på her er imidlertid egentlige modeller, som langt fra rummer alle detaljerne fra det, som de repræsenterer.

5.1 Forløbet af en influenza epidemi. Udbredelse af en epidemi er i almindelighed en meget kompliceret proces, der skyldes tilfældigheder. Den dødelige SARS, der blev udbredt i flere lande, værst i Kina og i den vestlige verden Canada, skyldes den omstændighed, at en fjerkræ-handler overnattede på et internationalt hotel, hvorefter sygdommen hurtigt blev spredt til flere lande gennem lufthavnsterminaler mv. Det ligger i sagens natur, at man ikke kan opstille en matematisk model for en sådan udbredelse. Et bedre eksempel er de influenza epidemier, der med jævne mellemrum rammer Europa og USA. Her kan man godt opstille en simpel model for udbredelsen i en tæt population af med N individer. Det kan være en storby. Da influenza smitte overføres ved dråbe infektion (udånding), er det væsentligt at hele populationen har mulighed direkte eller indirekte at være i fysisk kontakt med hinanden. Vi indfører først nogle betegnelser: R(t) = ”Raske: Antallet af personer, der endnu ikke er smittede til tidspunktet t” S(t) = ”Syge: Antallet af personer, der er smittede, og som kan overføre smitten til tidspunktet t. I(t) = ”Immune: Antallet af personer, der har været syge, og som er blevet immune tidspunktet t. Der vil til ethvert tidspunkt gælde: R(t)+ S(t) + I(t) = N Da modellen er baseret på et sandsynlighedsargument, indfører vi også de tilsvarende brøkdele:

N

tRtr

)()( Brøkdelen af ”raske” personer.

N

tSts

)()( Brøkdelen af ”syge” personer.

N

tIti

)()( Brøkdelen af ”immune” personer.

Der vil til ethvert tidspunkt gælde: r(t)+ s(t) + i(t) = 1 Som altid angiver differentiation med hensyn til tiden hastigheden, hvormed en størrelse ændres. Hvis, der er mindst en ”syg” vil r(t) være en aftagende funktion. Hastigheden, hvormed den aftager vil (under den mest simple antagelse), være proportional med sandsynligheden for at en rask møder

Differentialligningsmodeller 22

en syg. Denne er igen proportional med antallet (brøkdelen) af syge gange (antallet) brøkdelen af raske. Vi kan således skrive, (hvor a er en proportionalitetskonstant):

(5.1) )()( tstradt

dr

Da en syg person efter et tidsrum bliver rask (eller dør), må hastigheden, hvormed man bliver immun være proportional med s(t), med en proportionalitetskonstant b.

(5.2) )(tbsdt

di

For at opstille en differentialligning for s(t), anvender vi ”normaliseringsbetingelsen” r(t)+ s(t) + i(t) = 1, som vi differentierer:

dt

di

dt

dr

dt

ds

dt

di

dt

ds

dt

dr 0

(5.3) )()()( tbststradt

ds

Man kan også direkte indse (5.3), idet en person, der ikke længere er rask, er blevet syg. Så brøkdelen af syge vokser med den samme faktor )()( tstra , men aftager samtidig proportionalt med s(t), da en syg bliver rask (eller dør) efter en vis periode. De 3 ”koblede differentialligninger 5.1 - 5.3 har ikke nogen kendt analytisk løsning. Differentialligningerne løses imidlertid let på en Computer og et passende matematikprogram. Programmet, som viser løsningerne på nedenstående grafer, er mit eget, kaldet Mathemat, som er et ældre DOS-baseret program, skrevet i Turbo Pascal 7.0 Fastsættelsen af konstanterne a og b, kan f.eks. ske ved at sammenligne med aktuelle data, her har vi ret vilkårligt valgt, at sætte a=0.5 og b=0.33. Den sidste konstant kan begrundes ved at en smittet person kan overføre smitte i ”3 dage”, så en tredjedel=0.333 bliver immune over et døgn. På den næste graf har vi igen sat a=0.5, men antaget at perioden, hvor man kan smitte er 7 dage, så b=0.141 (=1/7). I begge tilfælde ser man at antallet af syge vokser op, for derefter at falde igen. Bemærk, at man i modellen antager at sygdommen udvikler sig helt frit, og at man ikke vaccinerer eller isolerer de syge, som det var tilfældet med SARS. I det første tilfælde er det maximale antal syge 8%, mens det i det andet tilfælde er ca. 38% - en meget væsentlig forskel. I det første tilfælde bliver ca. 58% smittede, mens det i det andet tilfælde er helt oppe på 96%. Hvis man justerer på a, får man naturligvis helt andre kurver.

Differentialligningsmodeller 23

Differentialligningsmodeller 24

Modellen kan anvendes, hvis man i starten af en epidemi har nok indsamlet data til at kunne skønne over a og b, så kan man få et skøn over hvor længe epidemien vil vare og hvor mange sygdomstilfælde, man kan forvente.

5.2 Differentialligning for vekselvirkning mellem to dyrearter En af de mere kendte matematiske modeller er den, som beskriver vekselvirkningen mellem to dyrearter. Vi vil her behandle to forskellige typer af vekselvirkning, nemlig rovdyr-bytte og to arter, der konkurrerer om samme adgang til føde. Som i det forrige tilfælde, bygger modellen på nogle helt simple antagelser, der slet ikke tager højde for detaljer eller tilfældigheder, hvilket altid er tilfældet i naturen. Alligevel kan modellen given en generel beskrivelse af nogle tilfælde i naturen. Lad os antage, at der i en skov lever ræve og mus. Antallet af ræve til tidspunktet t, betegner vi r(t), mens vi betegner antallet af mus til tidspunktet t med m(t). Hvis der var tale om ubegrænset adgang til føde for begge parter, og hvis ingen af arterne var byttedyr for en andet art, så ville såvel r(t) og m(t) udvikle sig eksponentielt, og derfor tilfredsstille differentialligningerne:

(5.4) )()( tmkdt

dmogtrk

dt

drmr

Nu er adgangen til føde for rævene afhængig af antallet af mus, men dette vil vi på den mest simple måde indbygge i modellen ved at gøre kr = kr(m) til en funktion af m= m(t), antallet af mus.

Differentialligningsmodeller 25

Hvordan kr(m) afhænger af m, kan vi ikke vide, andet end at kr(m) må være en voksende funktion af m. Den mest simple antagelse er derfor, at kr(m) er en voksende lineær funktion af m, således, at (5.5) kr(m) = a·m - b, hvor a og b er positive konstanter, der er bestemt af hvad modellen skal anvendes på. På helt tilsvarende vis kan man argumentere for at km = km(r) er en aftagende funktion af r= r(t), antallet af ræve. Vælger vi også her en lineær sammenhæng (5.6) km(r)= c - d·r får man to nye differentialligninger:

(5.7) mrdcdt

dmogrbma

dt

dr)()(

Bemærk ligheden med den logistiske ligning. Begge ligninger ville nemlig være logistiske, hvis man erstattede m med r i den første ligning og r med m i den anden ligning. Ligningerne har heller ikke nogen analytisk løsning, men de kan løses numerisk på samme måde, som vi gjorde det i det første eksempel. Nedenfor er vist en løsning, hvor vi har valgt begyndelsesværdierne (m0, r0) = (9000, 354), indsamlet fra en svensk skov. De indgående konstanter er fastlagt ved a = 0,00001, b = 0.08, c = 1, d = 0.002. Man ser tydeligt, at en periode med mange mus får bestanden af ræve til at vokse, som derefter får bestanden af mus til at falde, som får bestanden af ræve til at falde, som får bestanden af mus til at vokse. Der er et cyklisk forløb, og de to arter lever i en slags økologisk symbiose. Det bemærkelsesværdige er, at selv om det er rovdyr og byttedyr, så kan ingen af dem overleve uden den anden. Hvis man udrydder alle rævene, vil musenes antal vokse ud over den grænse, hvor de kan finde føde. Resultatet er eventuelt, at de alle dør. Figuren nedenfor viser samtidig bestanden af ræve og bestanden af mus, som funktion af tiden

Differentialligningsmodeller 26

Dividerer vi den sidste af differentialligningerne (5.7) op i den første finder vi følgende ligning

(5.8) mrdc

rbma

dm

dr

)(

)(

Denne ligning kan imidlertid separeres til at give:

(5.9) dmm

bmadr

r

rdc )()(

Ligningen kan nu integreres.

(5.10) kmbmadrrcdmm

badrd

r

c)ln()ln()()(

Hvor k er en integrationskonstant, der er bestemt af begyndelsesbetingelserne. Ligningen (5.10) er transcendent og kan derfor hverken løses mht. til r eller m.

Man kan dog se nogle generelle egenskaber ud fra (5.9). For m

cr er dm=0, og har

fortegnsvariationen +, 0, - , hvis dr er positiv og -, 0, + hvis dr er negativ. Dette viser at m har såvel et maximum og et minimum og bevæger sig mellem disse to værdier. Noget helt tilsvarende kan siges om r. I stedet for at anvende (5.10), for at fastlægge sammenhængen mellem r og m grafisk, vil vi igen løse de to differentialligninger (5.7), men afbilde (r(t), m(t)) som en parameterkurve. Nedenstående er først vist inddata til matematikprogrammet og dernæst (r,m) grafen.

Differentialligningsmodeller 27

Ovenstående graf er sådan set ikke overraskende, men den indeholder mange detaljer, som man ikke kan slutte sig til uden anvendelsen af en matematisk model.

5.3 Konkurrerende arter Vi skal nu se på et eksempel på en model, der beskriver to dyre arter, der konkurrerer om en begrænset mængde føde. Vi vil holde de to populationer anonyme, og betegne dem med x og y, så x(t) betegner antallet af x individer til tidspunktet t og y(t) betegner antallet af y individer til tidspunktet t. Den logistiske ligning er en model for en population, hvis størrelse har en øvre grænse. Dette er f.eks. tilfældet, hvis der kun er en begrænset mængde føde til rådighed. Det er derfor rimeligt i første omgang, at opstille den logistiske ligning for de to populationer.

(5.11) )()( yMyadt

dyogxMxa

dt

dxyyxx

Imidlertid hæmmer de to populationer hinanden vækst, så vi tilføjer et ”hæmmende” led for den anden population i hver af de to ligninger.

(5.12) )()( xbyMyadt

dyogybxMxa

dt

dxyyyxxx

Før vi ser på eksempler på en numerisk løsning, vil vi lave nogle generelle betragtninger. Bestanden af x er konstant, (der er ligevægt), hvis dx/dt = x’(t)=0. Tilsvarende for y bestanden. Dette føre til ligningerne. (5.13) 0)(0)( xbyMyaogybxMxa yyyxxx

Ligninger har ud over de trivielle løsninger: xy MxyellerMyx 00

Løsningerne (5.13) 00 xbyMogybxM yyxx

eller yyxx MxbyogMybx

De to ligninger fremstiler hver en ret linie i x-y planen. Hvis linierne har et skæringspunkt, har vi en samtidig ligevægt for de to populationer. Ligningssystemets determinant er imidlertid D = bx by - 1 , så D ≠ 0 bx by ≠1. Hvis bx by = 1 eller x<0 eller y <0 er der ingen fælles ligevægtstilstand (andet end den trivielle x=0 eller y=0) for de to populationer. Selv om der findes en ligevægtstilstand, så er det ikke sikkert, at den er stabil. Stabilitet kræver, at en forskydning fra ligevægtsstilstanden fører tilbage til ligevægtstilstanden og ikke længere bort fra den. Som eksempel på en stabil ligevægt, kan man tænke på en bold, der ligger i bunden af en halvkugleformet skål. En forskydning fra ligevægtstilstanden vil føre kuglen tilbage mod bunden. Som eksempel på en ustabil ligevægt, kan man tænke på et balancenummer. En forskydning fra balancetilstanden vil føre stangen længere bort fra ligevægtstilstanden.

Differentialligningsmodeller 28

Nedenfor er vist 4. grafer fig. 5.5 til fig. 5.8, hvor de to linier (5.13) er indtegnet for forskellige værdier af de indgående parametre. Endvidere er fortegnene for dx/dt og dy/dt markeret med pile. Som man ser, er der ingen ligevægt i de to første figurer. Enhver forskydning vil føre til udryddelse af den ene art. På fig 5.7 er der et fælles punkt med ligevægt, men denne ligevægt er ikke stabil. I fig. 5.8, derimod er der en stabil ligevægtstilstand, som kan fortolkes på følgende måde: Hvis der for begge arter gælder, at den ene art hæmmer den anden art mindre end den hæmmer sig selv, så er der en mulighed for stabil ligevægt. Nedenfor er vist eksempler på en numerisk løsning på differentialligningerne. Dette er med værdierne:

Mx = 10000; ax =0,2; bx =0,8; My = 6000; ay =0,5 ; by =0,5.

Bemærk, at disse værdier opfylder betingelserne på fig. 5.8. Øverst er vist en løsning, hvor man har afsat (x(t), y(t)), men hvor man har startet med 5 forskellige begyndelsesværdier. Som det fremgår, konvergerer løsningen i alle tilfælde mod den samme ligevægtstilstand (8400, 1500).

Differentialligningsmodeller 29

Nedenfor er vist to separate grafer for x(t) og y(t), svarende til en af graferne ovenfor. Efter nogle ret hidsige ændringer i begyndelsen stabiliser de sig ved det samme konvergenspunkt, som vist på den første graf.

Parameterkurver 31

Kap 2. Parameterkurver

1. Indledende betragtninger Når vi hidtil har behandlet funktioner, så har det altid været funktioner, hvor definitionsmængde og værdimængde er delmænger af de reelle tal. Funktionsbegrebet er imidlertid et specialtilfælde af det mere generelle afbildningsbegreb. Definition. Lad der være givet to ikke tomme mængder A og B. Ved en afbildning f af A ind i B, som skrives:

BAf : forstås en forskrift f, som til ethvert element i en delmængde af A, knytter et og kun et element i B. De elementer i A, som har et billede i B, kaldes for definitionsmængden for afbildningen, og de elementer i B, som er billede af et element i A, kaldes for billedmængden. Det element y i B, som er knyttet til et element x i A ved afbildningen f, kaldes for billedet af x og skrives y = f(x) Hvis der for vilkårlig to elementer x1 og x2 i A, gælder: )()( 2121 xfxfxx siges afbildningen at være injektiv, og hvis ethvert element i B er billede af et element i A, siges afbildningen at være surjektiv. Hvis en afbildning er både injektiv og surjektiv siges den at være en bijektion.

Parameterkurver 32

2. Vektorfunktioner Lad V betegne mængden af vektorer i planen. En vektorfunktion er da en afbildning fra R ind i V. Hvis t betegner tiden, og et punkt Pt bevæger sig rundt i planen, vil punktet beskrive en kurve. Da der er netop en position af Pt til ethvert tidspunkt t, er dette en afbildning af R ind i mængden af

punkter i planen. Hvis

tOP er stedvektoren til dette punkt, kan vi definere en vektorfunktion på

følgende måde:

(2.1)

)(

)()()(

ty

txOPtrtf t

Vi får dog brug for et afstandsbegreb mellem to vektorer. Ved afstanden mellem to vektorer a og b, forstår man længen af deres differensvektor | a – b|. Med denne definition, er vi nu i stand til at definere, at en vektorfunktion har en grænseværdi, at den er kontinueret og differentiabel. (2.2) Definition: f(t) går imod a for t gående mod t0 , som skrives f(t) → a for t → t0

|)()(|||:00 00 tftftt

(2.3) Definition: f(t) er kontinuert i t0

f(t) → f(t0) for t → t0

Parameterkurver 33

(2.4) Definition: f(t) er differentiabel i t0 hvis og kun hvis brøken:0

0 )()(

tt

tftf

har en grænseværdi

for t gående mod t0. Grænseværdien, (hvis den eksisterer) betegnes

)(' 0tf og kaldes for

differentialkvotienten af f(t) i t0. Dette kan skrives mere kompakt:

(2.5)

)(')()(

lim 00

0

0

tftt

tftftt

Behandlingen af vektorfunktioner ligner på mange måder behandlingen af reelle funktioner, idet en vektor funktion kan opfattes som de to reelle koordinatfunktioner. Uden så meget omsvøb, vil vi derfor fastslå: (2.6) at en vektorfunktion er kontinuert, hvis og kun hvis begge koordinatfunktionerne er

kontinuerte. (2.7)

at en vektorfunktion er differentiabel, hvis og kun hvis begge koordinatfunktionerne er differentiable.

Regnereglerne for kontinuitet og differentiabilitet følger regnereglerne for reelle funktioner.

3. Tangent til en parameterkurve På figuren nedenfor er illustreret begrebet tangent for en parameterkurve f(t) = r(t).

Det to nabopunkter ttt PogP svarer til funktionsværdierne i ttogt . Vektoren

)()( trttrr svaret til en sekant på kurven. For t > 0 er vektoren t

r

t

trttr

)()(

Parameterkurver 34

fremadrettet, dvs. ensrettet med vektoren

r . For t < 0 er vektoren

r bagudrettet, mens t

r

stadig vil være fremadrettet.

Hvis f(t) = r(t) er differentiabel, vil grænseværdien )('lim0

trt

rt

være lig med

differentialkvotienten f’(t). Samtidig vil grænsestillingen af t

r

(hvis den ikke er nul-vektoren)

være en fremadrettet tangentvektor til kurven. (3.1) Dette fører til følgende definition: Hvis f(t) = r(t) er differentiabel i t0, og f’(t0) ≠0

(nulvektoren), så siges grafen for f at have en fremadrettet halvtangent i t0. 3.2 Eksempel. Sammenhængen mellem kinematik (bevægelseslære) og parameterkurver. Hvis t betegner tiden, så svarer f(t) = r(t) til en bevægelse i planen. Differentialkvotienten v(t) = r’(t) vil være hastigheden i bevægelsen og a(t) = r’’(t) vil være accelerationen. Fra fysikken har man overtaget den konvention at man betegner længden af en vektor med det samme bogstav uden vektorstreg over. Farten i bevægelsen er længden af hastighedsvektoren v(t) = |v(t)|. Størrelsen af accelerationen er givet ved længden af accelerationsvektoren: a(t) = |a(t)| 3.3 Eksempel. Jævn retlinet bevægelse.

En jævn retlinet bevægelse er givet ved en parameterfremstilling:

14

33

)(

)()(

t

t

ty

txtr

Man finder hastigheden ved differentiation af koordinatfunktionerne:

4

3

)('

)(')(')(

ty

txtrtv

Man ser at hastigheden er en konstant vektor. Farten er v = 52423 .

I nogle tilfælde, kan man opnå en ligning for parameterkurven ved eliminination af t. I dette tilfælde er det meget simpelt, idet man finder: x = 3t – 3 t = 1/3x +1 indsat i y = 4t + 1 => y = 4/3x +5. Hvilket man genkender som ligningen for en ret linie.

3.4 Eksempel. Skråt kast. Bevægelse i tyngdefeltet.

Vi betragter en bevægelse er givet ved en parameterfremstilling:

tt

t

ty

txtr

625

8

)(

)()(

Man finder hastigheden ved differentiation af koordinatfunktionerne:

610

8

)('

)(')(')(

tty

txtrtv

Begyndelseshastigheden (for t = 0) er

6

8)0(v og begyndelseshastigheden er 1026280 v

Accelerationen er konstant rettet nedad (lig med tyngdeaccelerationen)

10

0)(')( tvta

Bevægelsen starter fra (0, 0). Vi vil bestemme det tidspunkt, hvor partiklen igen rammer x-aksen.

2,1006250 tttty .

Parameterkurver 35

Vi indsætter det sidste tidspunkt i udtrykket for x = 9,6. Denne værdi kaldes for kastevidden.

Stighøjden findes ved at sætte vy = 0 6,00610 tt , som indsættes i y. 8,16,0626.05 y

Endelig kan man beregne kastevinklen som 09,368

6

0

0tan

xv

yv.

Til slut vil vi bestemme ligningen for banekurven ved at eliminere t.

xxyttyxttx4

3264

5625

8

18

Vi genkender udtrykket som ligningen for en parabel. En såkaldt kasteparabel. På grafen nedenfor er banekurven vist sammen med hastighedsvektorerne i nogle punkter.

3.5 Eksempel. Jævn cirkelbevægelse.

Vi betragter en bevægelse er givet ved en parameterfremstilling:

t

t

ty

txtr

2sin3

2cos3

)(

)()(

At banekurven er en cirkel ses let ved at udregne 9)22sin22(cos922sin922cos922 ttttyx .

Banekurven er en cirkel med ligningen 22 yx 9.

Hastighedsvektoren findes ved differentiation:

t

t

ty

txtrtv

2cos6

2sin6

)('

)(')(')(

Det bemærkes, at )(2)(' trtr

, hastighedsvektoren er vinkelret på radius vektor, rettet langs tangenten.

Parameterkurver 36

Vi finder dernæst accelerationsvektoren:

t

t

ty

txtrtvta

2sin12

2cos12

)(''

)('')('')(')(

Hvoraf ses, at accelerationen til stadighed er rettet modsat )(tr

, altså mod centrum, hvorfor accelerationen betegnes

centripetalaccelerationen. Dette var tidligere en del af fysikpensum på den matematiske linie.

3.1 Lodrette, vandrette tangenter og spidser.

Hvis en parameterkurve )()( trtf

er differentiabel i t0 og

0)(' tr , så gælder der,

hvis x’(t0) = 0, så har kurven en lodret tangent i t0. hvis y’(t0) = 0, så har kurven en vandret tangent i t0.

Hvis )()( trtf

ikke er differentiabel i t0 , men differentiabel far højre og venstre, altså, hvis både

t

rtrog

t

rtr

tttt

00

lim)('lim)(' 00

eksisterer, men

)(')(' 00 trtr , så siges parameterkurven at have en spids i t0.

Dette er f.eks. tilfældet på kurven vist nedenfor,

Når man vil beregne spidsens åbningsvinkel, angiver man det ikke som vinklen mellem

)(')(' 00

trogtr men som vinklen mellem )(')(' 00

trogtr .

Vinklen beregnes ved almindelig vektor regning, som:

|)('||)('|

)(')('cos

00

00

trtr

trtrv

Parameterkurver 37

4. Undersøgelse af parameterkurver En undersøgelse af en parameterkurve udføres i princippet på samme måde som en funktionsundersøgelse, forskellen ligger i, hvorledes man fortolker resultaterne. 1. Skæring med koordinatakserne. For at bestemme skæringen med x-aksen skal man løse ligningen y(t) = 0. Lad os antage, at man finder løsningerne 21 tttt Tilsvarende for at bestemme skæringen med y-aksen skal man løse ligningen x(t) = 0. Lad os antage, at man finder løsningerne 543 tttttt

Man laver da en fortegnsvariation som vist på nedenstående figur. Det man kan læse af fortegnsvariationerne – ud over skæringer med akserne – er hvilket kvadrant kurven forløber i. Dette er markeret på den øverste tallinie. Hvis x > 0 og y < 0, forløber kurven f.eks. i 4. kvadrant. Tilsvarende bestemmer man positionen af eventuelle lodrette og vandrette tangenter ved at løse ligningerne x’(t) = 0 og y’(t) = 0. Lad os antage, at 9876 0)('0)(' tttttyogtttttx

Man laver da ligesom før en fortegnsvariation for x’(t) og y’(t). Vist nedenfor på figuren.

Parameterkurver 38

Ud over at kunne se, hvor der er lodrette og vandrette tangenter, så kan man aflæse i hvilken retning kurven forløber i hvert af monotoniintervallerne. Uden at kende til egentlige støttepunkter, kan man herefter få et overblik over kurvens forløb. Nedenfor er tegnet grafen for en parameterkurve, som opfylder kravene fra de to fortegnsvariationer:

4.1 Eksempel. Nedenfor er vist en Computerlavet kurveundersøgelse, af en parameterkurve, som ligner kurven ovenfor. Blandt andet er skæringen med akserne og de lodrette og vandrette tangenter bestemt, endelig er grafen tegnet.

Parameterkurver 39

4.2 Eksempel. Firkløver. Hvorfor denne parameterkurve har fået dette navn, fremgår af figuren nedenfor. Parameterfremstillingen er:

t

tt

tt

tt

ty

txtr

sin

cos2sin3

sin2sin3

cos2sin3

)(

)()(

Parameterkurven kan opfattes som en jævn cirkelbevægelse, men med en radius, som varierer mellem 0 og 3 med en periode på π. Nedenfor er vist en Computerlavet kurveundersøgelse, samt grafen for parameterkurven.

4.3 Eksempel. Cykloiden. Cykloiden er en klassisk parameterkurven. Det er den kurve som et punkt af fælgen på et hjul beskriver, når hjulet trilles af sted. For at bestemme parameterfremstillingen, betragtes nedenstående figur.

Af figuren fremgår:

trr

trrt

tr

tr

r

rt

ty

txtr CPOCOP

cos

sin

)2

3sin(

)2

3cos(

)(

)()(

Parameterkurver 40

Parameterfremstillingen bliver da:

trr

trrt

ty

txtr

cos

sin

)(

)()(

Betragter vi cykloiden, som en funktion y = f(x), så ses det at den er periodisk med perioden 2π.

Differentialkvotienten bliver:

tr

trr

ty

txtr

sin

cos

)('

)(')('

Idet

0)0('r har cykloiden ingen tangent for t = 0. For alligevel at få et indblik i kurvens forløb omkring 0, kan vi

betragte forholdet )('

)('

tx

ty for t gående mod 0 fra højre og fra venstre. Dette forhold er nemlig ”tangenthældningen” i

punktet.

2sin

2cos

22sin2

2cos

2sin2

cos1

sin

)('

)('t

t

t

tt

t

t

tx

ty

.

Heraf ses, at

)('

)('

0lim

)('

)('

0lim

tx

ty

tog

tx

ty

t

Vi slutter heraf, at cykloiden har en lodret spids i punkterne t = p2π, p = 0, ±1, ±2,… Nedenfor er vist en computer undersøgelse af cykloiden efterfulgt af en graf. Der er også udregnet et overstrøget areal, hvilket vi skal vende tilbage til.

4.4 Eksempel. Arkimedes spiral. Arkimedes spiral, fremkommer ved at man udfører en jævn cirkelbevægelse, samtidig med at radius vokser

proportional med drejningsvinklen. Lader vi

t

tte

sin

cos så gælder der

te

t

tte

cos

sin'

I sin mest simple form er parameterfremstillingen derfor

Parameterkurver 41

tettr )(

tt

tt

ty

txtr

sin

cos

)(

)()(

og mere generelt

trt

trt

ty

txtr

sin

cos

)(

)()(

For hastigheden finder vi:

)(

cossin

sincos

)('

)(')(')( trte

ttt

ttt

ty

txtrtv

Nedenfor er vist grafen for en Arkimedes spiral.

Også på denne figur er der tegnet et par tangenter, samt markeret et overstrøget areal. 4.5 Eksempel. Logaritmisk spiral. Den logaritmiske spiral er en spiral, hvor radien vokser proportionalt med t, mens drejningsvinklen vokser proportionalt med logaritmen til t. Den logaritmiske spiral er derfor næsten ”uendelig lang tid” om at foretage en omgang. Nedenfor er vist en computerundersøgelse af en logaritmisk spiral med parameterfremstillingen.

tt

tt

ty

txtr

lnsin1.0

lncos1.0

)(

)()(

Parameterkurver 42

4.6 Eksempel. Ubådsjagt. Årsagen til at den logaritmiske spiral er medtaget er, at den kommer ud som løsning i en bestemt slags problemer. Lad os antage at en destroyer og en ubåd får visuel kontakt, hvor de befinder sig i afstanden d fra hinanden. Ubåden dykker straks ned og tager flugten uden at ændre kurs med en bestemt hastighed u. Destroyeren kan sejle med farten v. Det antages, at v > u. Problemet er nu, om destroyeren kan sejle på en sådan måde, at den vil møde ubåden ligegyldig, hvilken kurs ubåden har taget. Situationen er illustreret nedenfor, hvor der også er indlagt et passende koordinatsystem.

Parameterkurver 43

Ubåden vil befinde sig på en cirkelperiferi med radius r = ut. Løsningen for destroyeren er, at den skal sejle på den samme periferi indtil den har nået en omgang. Da hastigheden v > u , skulle dette principielt være muligt. Først skal destroyerne sejle direkte mod ubåden til et punkt, på den cirkelperiferi, hvor ubåden befinder sig. Dette er nemt at finde, idet der må gælde: ut + vt = d, så t =d/(u+v). Vi begynder analysen ud fra dette punkt, som vi sætter til t = 0. Opgaven simplificeres, hvis vi skriver destroyerens position (x,y) i polære koordinater. Det er kendt fra trigonometrien, at ethvert punkts koordinater kan skrives som: )sin,cos(),( rryx Vi skriver da destroyerens

parameterfremstilling som

)(sin)(

)(cos)(

)(

)()(

ttr

ttr

ty

txtf

Det er klart, at radialhastigheden er r’(t). Den bue ds, der overstryges, når vinklen forøges med d er ds = r(t) d .

Heraf følger det, at tangentialhastigheden er )(')()( ttrdt

dtr

dt

ds

Da destroyeren til stadighed skal befinde sig på samme cirkelperiferi, skal den sejle med samme radialhastighed u. Heraf følger, at r’(t) = u eller r(t) = ut. Destroyerens fart er kvadratroden af kvadratsummen af radial og tangentialhastighed. Vi får således:

2))('(2 tutuv

som kan løses mht. )(' t til at give.

0

ln)(11

2

22)('

t

tt

ttu

uvt

hvor vi har sat

2

22

u

uv

t0 er det tidspunkt, hvor jagten langs periferien begynder. t0=d/(u+v). For simpelheds skyld sætter vi t0 = 1 og finder:

tt ln)( . Vi indsætter nu dette i parameterfremstillingen og ser, at destroyerens bane netop vil være en logaritmisk

spiral.

)lnsin(

)lncos(

)(

)()(

tut

tut

ty

txtf

Vi kan forsigtigt forsøge at vurdere, hvor lang tid det vil tage destroyeren for at sejle en hel omgang, og hvor lang væk ubåden så er kommet. Vi antager derfor at u = 12 knob og v = 25 knob. Vi finder da α = 1,83. Vi skal da løse ligningen: αln(t) = 2π 1,83ln(t) = 2π. => t = 30,98, på hvilket tidspunkt ubåden har sejlet 12∙30,98 sm = 371,8 sømil = 689 km.

5. Kurvelængde og overstrøget areal

Figuren nedenfor antyder, hvorledes vi vil finde længden af en kurve og det areal som

)(tr overstryger mellem to tidspunkter. Formlerne udledes ved infinitesimalregning. Ved beregningen af kurvelængden betragter vi buen ds, svarende til den (infinitesimale) tilvækst dt. For infinitesimale tilvækster, vil der gælde:

dttytxdtdt

dy

dt

dxdsdydxds 22

2222 )(')(')()(

Vi finder således formlen

Parameterkurver 44

(5.1) dttytxsdttytxdst

t 2

1

2222 )(')(')(')('

Hvis man skal bestemme arealet mellem kurven og x-aksen, så kan det gøres på to forskellige måder. 1. Hvis man kan finde en ligning for kurven: y =y(x) ved at eliminer parameteren t, så kan arealet mellem kurven og x-aksen udregnes som et almindeligt integral.

(5.2) 2

1

)(x

x

dxxyA

2. Selv om man ikke kan eliminere parameteren t, kan man i nogle tilfælde alligevel bestemme arealet mellem kurven og x-aksen, idet man opskriver

(5.3) 2

1

2

1

)(')(t

t

x

x

dttxtyydxA

Hvis man derimod ønsker at bestemme det overstrøgne areal mellem parameterværdierne t1 og t2,

ser vi af figuren ovenfor, at det infinitesimale areal dA, som )(tr

overstryger i tidsrummet dt, så er

det halvdelen af det parallelogram, som udspændes af )(tr

)()( trdttrdr

. Dette areal, kan igen udtrykkes på flere måder:

Parameterkurver 45

dttrtrdtdt

drrdrrdA |)(')(||),det(||),det(|

2

1

2

1

2

1

Skal man udregne arealet med denne formel, så må man dele op i intervaller, hvor determinanten har det samme fortegn, og så tilføje et minustegn, der hvor den er negativ. Man finder da følgende formel:

(5.4)

2

1

|)(')(||)(')(|2

1

2

1t

t

dttrtrAdttrtrdA

5.5 Eksempel. Vi vil undersøge parameterkurven givet ved parameterfremstillingen:

.22

123

)(

)()( Rt

tt

ttty

txtr

Skæring med x-aksen: y(t) = 0 200)2(022 tttttt

Skæring med y-aksen: x(t) = 0 323200)122(0123 ttttttt Fortegnsvariation:

Differentialkvotient: .22

1223)('

)(')(' Rt

t

tty

txtr

Lodret tangent: x’(t) = 0 3t2 - 12 = 0 t = ±2 Vandret tangent: y’(t) = 0 2t + 2 = 0 t = -1 Fortegnsvariation:

Parameterkurver 46

Til højre er tegnet en kurve, som er i overensstemmelse med de to fortegnsvariationer. Som det ses, har kurven et dobbeltpunkt, altså to forskellige t-værdier, der giver det samme (x,y). Et dobbeltpunkt kan principielt bestemmes ved at løse de to ligninger med de to ubekendte t1 og t2 . x(t1) = x(t2) og y(t1) = y(t2). Da ligninger aldrig er lineære (så har kurven nemlig ikke et dobbeltpunkt), er man henvist til at gætte sig frem. Hvis vi gætter den ene t-værdi, kan man ofte finde den anden. Vi gætter (se grafen nedenfor) på t = 2, som giver (x,y) =

(-16,8). Dernæst løser vi ligningen: y(t) = 8 24822 tttt , som indsat giver (x,y) = (-16,8).

Vi ønsker at beregne vinklen mellem tangenterne i dobbeltpunktet.

6

36)4('

6

0)2('

22

1223)(' rogrt

ttr

Heraf finder man

46,9926202)6(236

36

|)2('||)4('|

)2(')4('cos

v

rr

rrv

Nedenfor er vist kurveundersøgelsen med et matematikprogram, samt den rigtige graf. Kurven begrænser et område af planen. Vi ønsker at bestemme arealet af dette område. Det er ud fra det foregående klart, at randen af området gennemløbes fra t = -4 til t = 2. Vi anvender derfor blot formlen (5.4).

2

1

|)(')(|2

1t

t

dttrtrA

212344

22

1223

12322

)(')( tttt

t

tt

tttrtr

Da udtrykket ses, at være negativt i intervallet [-4, 2] skal vi skifte fortegn. Vi får da.

4

234455

12

12123442

12

4

)( tttttt dtA 129,6

Hvilket er det samme resultat, som matematikprogrammet får. (De to minustegn er en mindre fejl i programmet)

Parameterkurver 47

Keglesnit 48

Kap 3. Keglesnit

1. indledning Keglesnit er en betegnelse for tre forskellige geometriske figurer, nemlig ellipser, hyperbler og parabler. Grunden til fællesbetegnelsen keglesnit er naturligvis, at de alle tre kan frembringes som snitkurve mellem en plan og en kegle. Før vi viser dette sidste, vil vi give en alternativ definition af de tre kurver.

2. Ellipsen En cirkel defineres som det geometriske sted for de punkter P som har den samme afstand fra et givet punkt C. Punktet C betegnes centrum og afstanden for radius. (2.1) Tilsvarende defineres en ellipse, som det geometriske sted for de punkter P, hvis afstande fra

to givne punkter F1 og F2 har en given sum 2a, afstandene regnet positive. F1 og F2 betegnes som ellipsens brændpunkter.

På figurerne ovenfor, har vi indlagt et koordinatsystem, med x-aksen gennem F1 og F2, mens y-aksen deler liniestykket F1F2, således at |OF1 | = |OF2|. I dette koordinatsystem må ellipsen, således være symmetrisk med hensyn til såvel x som y-aksen . Punkterne A,B,C og D antages at være på ellipsens skæringspunkter med de to koordinatakser. Der gælder således f.eks. |F1A| + |F2A | = 2a og |F1B| + |F2B | = 2a Specielt må |F1A| = |F2B |, på grund af symmetrien, hvoraf følger

|F1A| + |F2A | = 2a = |F2B |+|F2A| = |AB| =2a , så A = (-a, 0) og B=(a, 0). a kaldes for ellipsens halve storakse. Betragter vi punktet C (ellipsens ene skæring med y-aksen), så må der på grund af symmetrien gælde: |F1C| = |F2C | = a, idet |F1C| + |F2C | = 2a, da C ligger på ellipsen. Vi sætter b= |OC|=|OD| , hvormed C og D får koordinaterne: C=(0,b) og D=(0, -b,). b kaldes for ellipsens halve lilleakse. Vi giver endvidere F1 og F2 koordinaterne F1 = (-ea, 0) og F2 = (ea, 0),

Keglesnit 49

hvor 0 < e <1 er et tal, som kaldes for ellipsens eccentricitet. e er et mål for ”fladtrykningen” af ellipsen i forhold til cirkelformen, som nås, når e = 0. (da er nemlig F1 = F2). Når e = 1, udarter ellipsen til en ret linie. Af den retvinklede trekant OCF2 får man umiddelbart:

222

22222 11 eabe

a

babae

2.1 Ellipsens ligning Svarende til cirklens ligning, vil vi nu bestemme en ligning for ellipsen. Dette gøres lettest ved at finde et udtryk for de to brændstråler til et punkt P(x,y) på ellipsen. Ved anvendelsen af afstandsformlen finder man: 222

2222

1 )(||)(|| yeaxPFogyeaxPF Heraf fås: eaxPFPF 4|||| 2

22

1 , idet alle de øvrige led går ud mod hinanden. Ved en omskrivning med en af kvadratsætningerne får man da eaxPFPFPFPF 4|)|||)(|||(| 2121 Samtidig gælder der, da P ligger på ellipsen: aPFPF 2|||| 21

Ved at dividere denne ligning op i ovenstående, får man de to ligninger: aPFPFogexPFPF 2||||2|||| 2121 som nemt løses til at give: exaPFogexaPF |||| 21 Indsætter man nu det første udtryk i ligningen: 222

1 )(|| yeaxPF får man: 222 )()( yeaxexa som efter kvadrering og reduktion giver:

1)1(

)1()1(22

2

2

222222

ea

y

a

xeayex

idet 21 eab fører dette til ellipsens ligning,

(2.2) 12

2

2

2

b

y

a

x

Keglesnit 50

For at bestemme skæringspunkterne med akserne sætter man x = 0 eller y = 0, herved får man umiddelbart byyogaxx 00 , som vi vidste i forvejen. Helt på samme måde, som det gælder for en cirkel, kan man finde ligningen for en ellipse med centrum i (x0, y0).

(2.3) 1)()(

2

20

2

20

b

yy

a

xx

2.2 Ellipsens parameterfremstilling

Sætter vi ]2,0[,sincos ttbyogtax , er dette en parameterfremstilling for en kurve. Vi vil vise at kurven er en ellipse.

Man finder nemlig: tb

yogt

a

xsincos , hvoraf følger: 1sincos 22

2

2

2

2

ttb

y

a

x.

Punktet (x,y) ligger på ellipsen.

(2.4) ]2,0[,sin

cos

)(

)()(

ttb

ta

ty

txtr

kaldes for ellipsens parameterfremstilling.

Betydningen af parameteren t er imidlertid ikke helt indlysende, som vist på figuren nedenfor Foruden ellipsen, har vi tegnet en cirkel med centrum i ellipsens centrum og radius lige med ellipsens halve storakse a. Hvis Q =(x,y)= (acost, bsint) er et punkt på ellipsen er P = (acost, asint) et punkt på cirklen, som vist på figuren. t er således ikke retningsvinklen for punktet Q, som man måske umiddelbart skulle tro. t kaldes for ellipsens eccentriske anomali.

2.3 Ellipsetangent Man kan godt bestemme en tangentligning for ellipsen ved at isolere y i ellipsens ligning, og differentiere de to udtryk, men det fører til lidt uoverskuelige regninger. Meget lettere er det, at bestemme tangentvektoren til parameterkurven. Vi vil bestemme tangentligningen i punktet (x0, y0)

tb

ta

ty

txtr

cos

sin

)('

)(')('

Idet tb

yogt

a

xsincos 00 finder man: 00 cos)('sin)(' x

a

btbtyogy

b

atatx , og

hermed tangenthældningen: 0

02

2

)('

)('

y

x

a

b

tx

ty

Tangentligningen findes herefter på sædvanlig vis af: )( 00 xxyy , hvis man insætter

hældningen α, får man således:

Keglesnit 51

0)()(

)(2

002

000

0

02

2

0 a

xxx

b

yyyxx

y

x

a

byy

102

20

2

20

20

20

2

20

20

2

20

20

b

y

a

x

b

yy

a

xx

a

x

a

xx

b

y

b

yy

Det sidste lighedstegn fremkommer, fordi (x0, y0) ligger på ellipsen. Ligningen for en tangent til ellipse, gennem punktet (x0, y0) er derfor

(2.5) 120

20

b

yy

a

xx

2.4 Ellipsens ledelinier Det viser sig, at man kan give en alternativ definition af en ellipse. En ellipse er det geometriske sted for de punkter, hvor forholdet mellem afstandene fra et givet punkt og en given linie er konstant lig med e < 1.

På figuren er tegnet en ellipse, samt en linie med ligningen x = a/e. Det højre brændpunkt F2 = (ae, 0). Vi vil bestemme de punkter, hvor forholdet mellem afstanden til F2 og afstanden til en linie er lig med e < 1.

ex

yaex

e

a

||

)( 22

Hvis man kvadrerer og ordner ligningen finder man:

11)1(

)1()1()()(

2

2

2

2

22

2

2

2

222222222

b

y

a

x

ea

y

a

x

eayexxeyaexe

a

Unødvendigt at sige, så har ellipsen to ledelinier, som svarer til hvert sit brændpunkt

3. Hyperblen En hyperbel er det geometriske sted for de punkter, hvis afstande fra to givne punkter F1 og F2, har en konstant numerisk differens 2a. Kaldes Hyperblen for H, gælder der således: aPFPFHP 2|||||| 21

Keglesnit 52

Hvis de to brændpunkter F1 og F2 er beliggende på x-aksen, symmetrisk om y-aksen, så må hyperblen ud fra definitionen være symmetrisk mht. x-aksen og y-aksen. Den må endvidere bestå af to adskilte grene på grund af numerisk tegnet. aPFPFaPFPFaPFPF 2||||2||||2|||||| 212121 Hyperbelen skærer x-aksen i to punkter A og B, fordi ligningen ovenfor har to løsninger på x-aksen. På grund af symmetrien gælder endvidere: |||| 21 BFAF . Heraf følger:

||||||2|||| 1121 ABAFBFaBFBF , så aAB 2|| . A og B har derfor koordinaterne (-a, 0) og (a, 0). Vi giver F1 og F2 koordinaterne: F1 =(-ea, 0) og F2 = (ea,0), hvor e > 1. (Dette til forskel fra ellipsen hvor 0 < e <1.) Udledningen af hyperblens ligning følger derfor fuldstændig udledningen af ellipsens ligning, og udregningerne kan overtages direkte, indtil man når ligningen:

)1()1( 22222 eayex Her husker man at e > 1, så den omskrives, så alle led er positive.

1)1(

)1()1(22

2

2

222222

ea

y

a

xeayex

For hyperblen definerer man: )1( 222 eab , hvorefter vi kan skrive hyperblens ligning.

(3.2) 12

2

2

2

b

y

a

x

Bemærk den formelle lighed med ellipsens ligning. Den eneste (men væsentligste) forskel er minustegnet mellem de to led på venstre side.

Keglesnit 53

På samme måde, som for ellipsen, findes en alternativ definition af hyperblen. (3.3) En hyperpel er det geometriske sted for de punkter, hvor forholdet mellem afstandene fra et givet punkt og en given linie er konstant lig med e > 1. Udledningen af dette sker helt på den same måde som for ellipsen, ved at opstille forholdet.

ex

yaex

e

a

||

)( 22

med e > 1.

3.1 Hyperblens asymptoter

På figuren med parablen ovenfor er indtegnet to linier med ligningerne xa

by . Vi vil vise at

disse to linier er asymptoter til hyperbelen. Vi minder om: Linien y = ax + b er en skrå asymptote til grafen for y = f(x), hvis og kun hvis: f(x) – (ax + b) → 0 for x → ∞ (eller x →- ∞)

Hvis man løser hyperblens ligning mht. y finder man: 22 axya

b .

For x > 0 og y > 0, ser vi da på forskellen:

xforxax

a

xax

xax

xax

xaxxaxxaxxaxxy

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

0))

)

)))

22

2

222

222

222

2222222222

((

(

(((

Hvilket viser at xa

by er skrå asymptote til 22 axy

a

b for x → ∞.

De øvrige tilfælde vises på helt samme måde. Med indførelsen af asymptoterne, kan vi også beskrive, hvor man kan aflæse b. Linien x = a, skærer

nemlig asymptoten xa

by i b, idet: ba

a

by .

3.2 Hyperbolske funktioner. Hyperblens parameterfremstilling I matematikken definere man hyperbolsk cosinus og hyperbolsk sinus ved udtrykkene:

)(sinh)(cosh2

1

2

1 xxxx eexogeex

Selv om graferne for coshx og sinhx er meget forskellige fra graferne for cosx og sinx, så har de en række egenskaber, som minder stærkt om hinanden. (coshx og sinhx er dog ikke periodiske). Grundrelationen for cosx og sinx

1sincos 22 xx bliver f.eks. til 1sinhcosh 22 xx

Keglesnit 54

At det sidste er tilfældet ses ved en simpel udregning.

14

4

1(((

4

14

1

4

1

))2)2

)()(sinhcosh

2222

2222

xxxxxxxx

xxxx

eeeeeeee

eeeexx

Det er ligeså nemt at vise relationerne: xxxogxxx coshsinh22sinhsinhcosh2cosh 22 Nedenfor er graferne for sinhx og coshx vist. Vi minder om, at en parameterfremstilling for ellipsen var )sin,cos(),( tbtayx . Vi vil nu vise, at

)sinh,cosh(),( tbtayx er en parameterfremstilling til hyperblen. Dette følger af omskrivningen

)sinh,(cosh)( , ttb

y

a

x . Af relationen 1sinhcosh 22 xx finder man:

(3.4) 11sinhcosh2

2

2

222

b

y

a

xxx

Keglesnit 55

4. Parablen

En parabel defineres om det geometriske sted for de punkter, som har samme afstand fra et givet punkt F og en given linie l. F kaldes for parablens brændpunkt og l kaldes for parablens ledelinie. Bemærk, at parablen med denne definition er et grænsetilfælde mellem ellipsen og hyperblen, hvor forholdet mellem afstandene var henholdsvis 0 < e <1 og e > 1. Parablen svarer derfor til e = 1. Vi indlægger parablen, som vist på tegningen, så koordinatsystemets begyndelsespunkt O ligger på

parablen. På figuren har vi givet brændpunktet koordinaterne )0,(4

pF . Da O ligger på parablen er

|OF| = dist(O, l), så ledelinien må have ligningen 4

px , hvor p kaldes for parablens parameter.

For et vilkårligt punkt P=(x, y), udtrykker vi da blot, at |PF|2 = dist(P, l)2

2||)(4

224

ppxyx

Ved at kvadrere og samle leddene får man: (4.1) pxy 2

Man ser umiddelbart, at dette er ligningen for parablen 21xy

p spejlet i linien y = x.

Keglesnit 56

4.1 En sætning om brændstrålen og normalen En omdrejningsparaboloide, (kaldet en parabol) dvs. en parabel der er roteret 1800 om x-aksen, har mange teknologiske anvendelser, som forlygterne på en bil, i lommelygter, til at modtage TV-signaler fra satellitter, som radioteleskoper i astronomien osv. osv. Alt dette bygger på følgen sætning som vi vil bevise. Hvis man anbringer en lyskilde i brændpunktet af en parabol belagt med et indvendigt spejl, så vil alle de reflekterede stråler være parallelle efter refleksionen. Omvendt hvis en parabol rammes af et bundt af stråler parallelle med parabolens akse, så vil de alle samles i brændpunktet. Det sidste er netop grunden til at parabolen anvendes som antenne, idet det indkommende signal i hele parabolens tværsnitsareal, vil samles i brændpunktet, (hvor man anbringer modtageren). Selv om sætningen lyder simpel, er den alligevel lidt ”tricket” at bevise. På figuren er tegnet brændstrålen FP. L er ledelinien og ifølge parablens definition er |FP| = |PT| . Endvidere har vi tegnet tangenten t i P, og normalen i P. Opgaven går da ud på at vise at indfaldsvinklen i og refleksionsvinklen r er lige store, r = i.

Parablens ligning er: pxy 2 . For de to parabelgrene gælder derfor: pxy . Vi nøjes med at se

på den øverste parabelgren, hvor pxy .

Vi bemærker først, at |FP|=|PT|, så ∆FPT er ligebenet. Vi vil da vise, at tangenten t står vinkelret på FT, altså er højde på FT. Men hvis det er tilfældet, så er tangenten også midtnormal på FT og vinkelhalveringslinie for vinkel FPT.

Hældningen for linien FT er: p

yyppFT

20

)4

(4

Hældningskoefficienten for tangenten findes som differentialkvotienten af y:

y

p

px

py

22'

Keglesnit 57

Heraf føler det at:

12

2'

y

p

p

yyFT ,

hvoraf vi slutter, at tangenten er vinkelret på FT, hvilket var hvad vi ønskede. Det følger så: at v = u. D to vinkler u er lige store, da de er topvinkler for to skærende linier. Når v = u er imidlertid i = r, (idet i + v = 90 og r + u = 90).

5. Keglesnit En kegle kan frembringes ved at rotere en linie 3600 omkring en akse, som bliver keglens symmetriakse. Vinklen mellem linien og aksen er keglens halve åbningsvinkel α. Figuren til venstre viser 3 forskellige snit med en plan og keglen. I det første tilfælde, danner planen en vinkel med aksen, som er større end α. Snitkurven bliver en ellipse.(En cirkel hvis vinklen med aksen er 900). I det andet tilfælde danner planen en vinkel med aksen, som er lig med α. Snitkurven bliver en parabel. I det tredje tilfælde danner planen en vinkel med aksen, som er mindre end α. Snitkurven bliver både i keglens øvre og nedre del. Snitkurven er en hyperbel. (Hvis vinklen er 00, og aksen ligger i planen, bliver snitkurven to linier, som skærer hinanden i keglens toppunkt. Kaldet to frembringere).

Dette er tre påstande, hvoraf vi vil søge at bevise to af dem. Til beviset får vi gentagne gange brug for en sætning fra geometrien. Hvis en vinkels to ben tangerer en kugle, så er afstanden fra vinklens toppunkt til tangenternes røringspunkter den samme.

Keglesnit 58

Det er velkendt (og meget let at vise), at afstanden fra en tangentvinkels toppunkt til de to røringspunkter er den samme. Dette er illustreret på figuren til venstre. På figuren til højre er vinklen tangentvinkel til en kugle. Snitkurven mellem den plan som vinklen udspænder og kuglen er en cirkel. (Snitkurven mellem en kugle og en plan er altid en cirkel). Vinklen er i denne plan imidlertid tangentvinkel til snitkurven, hvoraf sætninger følger af tilfældet fra plangeometrien.

5.1 Ellipse Figuren til højre viser det første tilfælde. Vi vil bevise, at snitkurven er en ellipse. Vi indlægger nu to kugler i keglen, som tangerer snitplanen i punkterne F1 og F2. Kuglerne tangerer keglen i to cirkler, som det fremgår af figuren. Afstanden mellem cirklerne |KL|= 2a. M er et punkt på planens snitkurve med keglen. Vinkel KMF2 er tangentvinkel til den lille kugle. Derfor er |MK| = |MF2|. Tilsvarende er Vinkel LMF1 tangentvinkel til den store kugle. Derfor er |ML| = |MF1|. Vi får således:

|MF2|+ |MF1|=|ML|+ |MK| =|LK|=2a Vi har således bevist, at for et vilkårligt punkt på snitkurven gælder, at summen af afstandene til F1 og F2 er konstant lig med 2a, hvoraf følger at snitkurven er en ellipse

Idet | F1F2| = 2ea og |BC| = 2a, er det er relativt nemt ud fra geometrien at vise, at cos

cos ve , hvor

v er den vinkel som aksen danner med snitplanen.

5.2 Parabel

Keglesnit 59

Parablen er en del mere spidsfindig end ellipsen. Snitplanen er valgt så den er parallel med en frembringer. Som før indlægger man en kugle som tangerer såvel keglen som snitplanen. Den plan som røringscirklen danner med keglen tegnes og dens skæringslinie med snitplanen betegnes l. P er et punkt på snitkurven. Gennem dette punkt tegnes en plan parallel med røringscirklens plan (begge vinkelret på keglens akse). Idet vi anvender figurens betegnelser, ses det at vinkel FPL er tangentvinkel til kuglen, så |FP|=|PL|. Endvidere ses det, at MP || RN og NP || l og NQ || RS. Vi finder derfor: |FP| = |PL| = |SQ| = |RN| =|MP| For et vilkårligt punkt P på snitkurven gælder det åbenbart, at det har samme afstand til F og l. Snitkurven må derfor være en parabel.

5.3 Hyperbel Hyperblen er den vanskeligste at vise. (Figuren er hentet fra en (min) lærebog i matematik fra 1958 ). Vi skitserer beviset nedenfor ud fra tegningen. Vi vil vise, at snitkurven mellem keglen og snitplanen er en hyperbel Som ved ellipsen og parablen, indlægger man, nu to kugler som tangerer snitplanen og keglen. På grund af rotationssymmetrien, må snitkurven have en symmetrilinie. En frembringer er en linie, som er snitkurve mellem keglen og en plan, som indeholder keglens akse. På figuren er vist to frembringere Symmetrilinien skærer frembringerne i punkterne B og C. Disse ligger på hver sin side af keglens toppunkt A. De to kugler, tangerer snitplanet i F1 og F2. M er et punkt på snitkurven. MF1 = MK, idet MK og MF1 er tangenter til samme kugle. Ligeledes MF2 =ML. Der gælder således: MF1 – MF2 = MK - ML =KL

KL er den konstante afstand mellem de to parallelle røringscirkler målt på en frembringer. Specielt er afstanden KL =BC, idet B og C er punkter på hyperblen. |BC| = 2a er hyperblens storakse. Forskellen mellem afstandene fra et vilkårligt punkt M på snitkurven til F1 og F2 er konstant, hvilket betyder, at snitkurven er en hyperbel.

Keglesnit 60