LEIS DO ELETROMAGNETISMOLEIS DO ELETROMAGNETISMOEquações de MaxwellEquações de Maxwell

J.R. Kaschny J.R. Kaschny (2011)(2011)

Física Geral e Experimental IIIFísica Geral e Experimental IIIIntrodução ao EletromagnetismoIntrodução ao Eletromagnetismo

Lei de CoulombLei de CoulombCharles Augustin de Coulomb (1785).

( )ij

ij2

ij

ji

0ji rr

rr

rr

QQ4π

1F−

−

−=

ε

ijij rrr −=onde

totalS

0 QdsnEε =⋅∫ ˆ

Lei de GaussLei de Gauss

ρEεdvρdvEεdsnEε 0VV

0S

0 =⋅∇⇒=⋅∇=⋅ ∫∫∫ ˆ

Análogo Magnético da Lei de GaussAnálogo Magnético da Lei de Gauss

BvqF ×=Para uma carga q em movimento com velocidade v →

0dsnBS

=⋅∫ ˆ

Como não existe monopolos magnéticos (nunca detectado):

00ˆ =⋅∇⇒=⋅∇=⋅ ∫∫ BdvBdsnBVS

Lei de AmpèreLei de AmpèreAndré Marie Ampère (1820) motivado pelos resultados de Hans Cristian Oersted.

dsnBldBSC

ˆ⋅×∇=⋅ ∫∫

∫=S

dsn.Ji ˆondeiµldB 0C∫ =⋅

como

JµBdsn.JµdsnB 0S

0S

=×∇⇒=⋅×∇⇒ ∫∫ ˆˆ

J0JµB 0 ⇒=⋅∇=×∇⋅∇ é estacionaria

Lei de Lei de FaradayFaradayMichael Faraday (1832)

dtdΦRiε

dtdΦ

R1i −==−= ou

∫=S

dsn.BΦ ˆonde

Escrevendo a força eletromotriz (que implica em uma diferença de potencial), como:

∫∫∫ ∂∂

−=⇒=SCC

dsn.Bt

l.dEl.dEε ˆ

tBEdsn.El.dE

C S∂∂

−=×∇⇒×∇=∫ ∫ ˆcomo

Corrente de DeslocamentoCorrente de Deslocamento

0µ∇× =B J

tρJ∂∂

−=⋅∇

James Clerk Maxwell (1864)→ Consideremos um condutor percorrido por uma corrente i:

→ Consideremos agora, um capacitor de placas paralelas sendo carregado:

• S2 é atravessada por i mas S1 não !!!

•

• De qualquer maneira, a continuidade de carga é garantida.dtdqi = é a taxa com que a carga se acumula nas placas.

Contudo, pela lei de Ampère ....

0tρ0JµB 0 =∂∂

⇒=⋅∇=×∇⋅∇

???

0µ 0⇒ ∇⋅∇× = ∇ ⋅ =B J0⇒ ∂ ∂ =ρ t

como

ou seja, nenhuma carga é retida ou criada no volume delimitado por S1 e S2.

Olhando novamente para a equação de continuidade

e considerando a lei de Gauss

temos:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

⋅∇=∂∂

⇒⋅∇=tEε

tρEερ 00

tρJ∂∂

−=⋅∇

0tEεJ 0 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+⋅∇

Logo, teremos consistência da lei de Ampère com a continuidade de cargas se:

tEεJµB 00 ∂∂

+=×∇ Lei de Ampére/Maxwell

Corrente de Deslocamento

Equações de MaxwellEquações de Maxwell

ε∇⋅ =

ρE

0∇⋅ =Bt

∂∇× = −

∂BE

µ µεt

∂∇× = +

∂EB J

Lei de Gauss

Lei de Faraday

Lei de Gauss para B

Lei de Ampere/Maxwell

Reunindo todas estas leis na forma diferencial, temos:

onde, para manter a generalidade, toma-se o cuidado de usar ε e µ no lugar de ε0 e µ0, com:

0D = εE = ε E + P

0B = µH = µ (H + M)

J = σE + ρv

D = densidade de fluxo elétrico, P = polarização do meio

H = intensidade de campo magnético, M = magnetização do meio

J = densidade de corrente, σ = condutividade, v = velocidade de cargas livres

S V

ε .d = dv∫ ∫E s ρ

L

.d µ µε .dtS

⎛ ⎞∂= +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

∫ ∫EB l J s

Lei de Gauss

Lei de Faraday

Lei de Gauss para B

Lei de Ampere/Maxwell

Correspondentemente, na forma integral, temos:

S

.d = 0∫ B s

L S

.d = - .dt∂∂∫ ∫E l B s

onde, toma-se o cuidado de usar novamente ε e µ no lugar de ε0 e µ0, respectivamente.

t)(z,EE =

Suponhamos a situação onde:

t)(z,BB = 0ρ = 0J =, , e

que corresponde ao caso simplificado onde imaginamos estar longe das fontes de campo, tal que eles dependem somente de uma coordenada espacial e do tempo, numa região sem cargas nem correntes. Calculando o divergente destes campos, temos:

zE

zE

yE

xEE zzyx

∂∂

=∂∂

+∂

∂+

∂∂

=⋅∇z

Bz

By

Bx

BB zzyx

∂∂

=∂∂

+∂

∂+

∂∂

=⋅∇

= 0 = 0 = 0 = 0

e

Calculando o rotacional, temos:

yz

Exz

E

EEEzyx

zyx

E xy

zyx

ˆˆ

ˆˆˆ

∂∂

+∂

∂−=

∂∂

∂∂

∂∂

=×∇ yz

Bxz

BB xy ˆˆ

∂∂

+∂

∂−=×∇e

Equação de Ondas para os Campos E e BEquação de Ondas para os Campos E e B

Aplicando estes resultados nas equações de Maxwell, obtemos:

0z

EερE z

0=

∂∂

⇒=⋅∇(1) Lei de Gauss

0z

B0B z =∂∂

⇒=⋅∇(2) Lei de Gauss para o campo magnético(não existência de monopolo magnético)

zt

Byt

Bx

tBy

zEx

zE

tBE zyxxy ˆˆˆˆˆ

∂∂

−∂

∂−

∂∂

−=∂∂

+∂

∂−⇒

∂∂

−=×∇

(3) Lei de Faraday0

tBz =∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=∂∂

+∂

∂−⇒

∂∂

+=×∇ zt

Eyt

Ex

tEy

zBx

zB

tEεµJµB zyxxy

000 ˆˆˆˆˆ 00εµ

(4) Lei de Ampere/Maxwell 0t

Ez =∂∂

Então podemos concluir imediatamente que Ez e Bz são constantes, ou seja, a compo-nente z dos campos elétrico e magnético não dependem da posição nem variam com o tempo. Estas constantes são normalmente adotadas como nulas!

Das outras duas relações ....

tB

zE

tB

zE

yx

xy

∂

∂−=

∂∂

∂∂

=∂

∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂∂

=∂∂

+∂

∂− y

tE

xt

Eyz

Bxz

B yxxy ˆˆˆˆ 00εµ

.... obtemos:

yt

Bx

tBy

zEx

zE yxxy ˆˆˆˆ

∂

∂−

∂∂

−=∂∂

+∂

∂−

tE

zB

tE

zB

xy

yx

∂∂

−=∂

∂

∂

∂+=

∂∂

00

00

εµ

εµ

que diferem, somente, pelas substituições Ex → Ey e By → -Bx

relação entre Ey e Bx

relação entre Ex e By

tB

zE

tB

zE

yx

xy

∂

∂−=

∂∂

∂∂

=∂

∂

tE

zB

tE

zB

xy

yx

∂∂

−=∂

∂

∂

∂+=

∂∂

00

00

εµ

εµ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂∂

⇒

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

∂∂

−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

2yx

yx

t

Bzt

E

tB

tzE

t22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂∂

−=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂⇒

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

∂∂

tzEεµ

z

B

tE

zεµ

zB

z

x002

y

x00

y

22

tzE

ztE xx

∂∂∂

=∂∂

∂ 22

0z

Bεµ

1t

B2y

2

002

y2

=∂

∂−

∂

∂⇒

tB

zE

tB

zE

yx

xy

∂

∂−=

∂∂

∂∂

=∂

∂

tE

zB

tE

zB

xy

yx

∂∂

−=∂

∂

∂

∂+=

∂∂

00

00

εµ

εµ

yx

22yx

2

BEz z z t

BEz z t

∂⎛ ⎞∂∂ ∂⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞∂⎛ ⎞∂

⇒ = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

y x0 0

2 2y x

0 0 2

B Eµ εt z t t

B Eµ εt z t

∂⎛ ⎞ ∂∂ ∂ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞∂

⇒ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

tzB

ztB yy

∂∂

∂=

∂∂

∂ 22

0zE

εµ1

tE

2x

2

002

x2

=∂

∂−

∂

∂⇒

tB

zE

tB

zE

yx

xy

∂

∂−=

∂∂

∂∂

=∂

∂

tE

zB

tE

zB

xy

yx

∂∂

−=∂

∂

∂

∂+=

∂∂

00

00

εµ

εµ

tzB

ztB xx

∂∂∂

=∂∂

∂ 22

0z

Eεµ

1t

E2y

2

002

y2

=∂

∂−

∂

∂

Usando o mesmo tipo de procedimento que o adotado anteriormente com:

tzE

ztE yy

∂∂

∂=

∂∂

∂ 22

e

Obtemos o par de equações:

0zB

εµ1

tB

2x

2

002

x2

=∂

∂−

∂

∂

Então, partindo das equações de Maxwell e das suposições feitas inicialmente, ou seja,

t)(z,EE = t)(z,BB = 0ρ = 0J =, , e

obtemos:

0z

Bεµ

1t

B2y

2

002

y2

=∂

∂−

∂

∂

0zE

εµ1

tE

2x

2

002

x2

=∂

∂−

∂

∂ 0zB

εµ1

tB

2x

2

002

x2

=∂

∂−

∂

∂

0z

Eεµ

1t

E2y

2

002

y2

=∂

∂−

∂

∂

Const.Ez = Const.Bz =

E B

x

y

z

Resumidamente, temos para as componentes x e y dos campos, equações do tipo:

0z

f1tf

2

2

22

2=

∂∂

−∂∂

ϑEquação da Onda

00εµ1

=ϑ

que corresponde a uma onda se propagando na direção z com velocidade

Velocidade de Propagação

NOTA:Usando os valores numéricos de µ0 e ε0 obtemos ϑ = 2.99792×108 m/s = c !!!!

Na direção de propagação teremos campos constantes, via de regra considerados nulos.

Cabe salientar as relação entre os pares (Ex,By) e (Ey,Bx), perpendiculares entre si e também a direção de propagação.

Referencias Bibliográficas Referencias Bibliográficas

• Curso de Física Básica, Vol. 3 Eletromagnetismo, H.M. Nussenzveig, cap. 12.

• Física, Vol. 2, F.J. Kelly, W.E. Gettys e M.J. Skove, cap. 34.

• Fundamentos da Teoria Eletromagnética, J.R. Reitz, F.J. Milford e R.W. Christy.

• Electromagnetic Field and Waves, P. Lorrain and D.R. Corson