TESTIRANJE HIPOTEZA

Teorija grešaka geodetskih merenja

Prof. dr Branko Božić, dipl.geod.inž.

Građevinski fakultet – Odsek za geodeziju i geoinformatiku

Verzija 01.02.2019

SADRŽAJ

• GRUBA GREŠKA (OUTLIER)

• OSNOVNI POJMOVI O TESTIRANJU HIPOTEZA

• TESTIRANJE HIPOTEZE O PRIPADNOSTIPOJEDINOG ELEMENATA OSNOVNOM SKUPU

• TESTIRANJE HIPOTEZE O SREDNJOJ VREDNOSTI POPULACIJE

• TESTIRANJE HIPOTEZE O VARIJANSI POPULACIJE

• TESTIRANJE HIPOTEZE O KOLIČNIKU DVE VARIJANSE ISTE POPULACIJE

• TESTIRANJE HIPOTEZA O HOMOGENOSTI SERIJA MERENJA

• TESTIRANJE HIPOTEZA O SAGLASNOSTI RASPOREDA SA PRETPOSTAVLJENIM RASPOREDOM

GRUBE GREŠKE U REZULTATIMA

MERENJA (OUTLIERS)

Opšta ideja:

1. Pretpostavka o vrsti raspodele

2. Sračunati parametre raspodele kojoj dati

uzorak pripada (ili su poznati)

3. Gruba greška je podatak sa malom

verovatnoćom pripadnosti datom uzorku

(npr. Odstupаnje u odnosu na srednju

vrednost vеće od 3 puta)

Osnovna pretpostavka:

1. Normalna raspodela

2. Značajno odstupanje u odnosu na

pretpostavljenu vrednost saglasno raspodeli

Moguće prisustvo grubih

grešaka

Podaci merenja

Prognozirane

granične

vrednosti merenja

Očekivane

vrednosti merenja

OSNOVNI POJMOVI O TESTIRANJU

HIPOTEZA

Nulta hipoteza

Alternativna hipoteza

Test statistika

Ho: E(x) =

Ha: E(x) >

n

x

x

n

i

i 1

Reon odbacivanja nulte hipoteze

ODLUKA, TIP GREŠKE I MOĆ TESTA

Mogućnosti Stvarno stanje

HO istinitoHO nije

istinito

Odluka

Odbacivananje

HO

Tip I Ispravna

odluka II

Ne odbacivanje

HO

Ispravna

odluka ITip II

Tip I – pogrešno odbacivanje

nulte hipoteze sa

verovatnoćom

Ispravna odluka I – ne

odbacivanje HO kada je ona

istinita, p = 1 -

Tip II –– pogrešno odbacivanje

HA kada je ona istinita, p =

Ispravna odluka II – ne

odbacivanje HA kada je ona

istinita, p = 1 -

Faktori od uticaja na moć testa:

1. i su u inverznom medjusobnom odnosu

2. Veće N = bolja moć testa

1

2

3

4

TESTIRANJE HIPOTEZA O PRIPADNOSTI

POJEDINOG ELEMENATA OSNOVNOM SKUPU

• Međukvartalni raspon

• Modifikovani Tomsonov Tau test

• Standardizacijom merenja – Z količnik

• Kriterijum Čebiševa

• Test raspona

• Test količnika varijansi

• Kriterijum Šuvenea

• Diksonov test

MEĐUKVARTALNI RASPON

• Nenumerička metoda

• Gruba greška = izvan intervala

• Konstanta k = 1.5 (Tukey predlog)

PRIMER:

12.4

12.712.8

12.913

13.5

13.717

12.78 Q1

12.95 Q2

13.55 Q3

0.78 IQR

1.50 k

11.61 Q1-k x IQR

14.71 Q3+k x IQR

17 > 14.71

ODLUKA:

Ho: U rezultatima merenja nema grubih grešaka

Ha: Rezultat merenja x=17 ne pripada datom skupu

Odbacuje se Ho, x=17 ne pripada

datom skupu, za k=1.5, p=99.3%

gde je i

MODIFIKOVANI TOMSONOV TAU TEST

• Sračunati test statistiku

𝛿 =𝑥𝑚𝑎𝑥−𝑥𝑠𝑟

𝑠

• Odluka: Ukoliko je 𝛿 > 𝑇, xmax ne

pripada datom skupu

• Odbacuje se testirani rezultat i

postupak se ponavlja sa sledećim

sumljivim rezultatom

• Proces se ponavlja do

zadovoljenja kriterijuma 𝛿 ≤ 𝑇

𝑻 =𝒏 − 𝟏 𝒕/𝟐

𝒏 𝒏 − 𝟐 + 𝒕/𝟐𝟐

Kritična

vrednost

studentove

raspodele za

n-2 stepeni

slobode i α/2

PRIMER:

X

12.4

12.6

12.7

12.9

13.1

15.3

Sumnjiv rezultat

𝛿 = 1.99

s=1.07

= 0.05

t/2 = 2.78, dvostrano

T = 1.66

𝛿 T

Zaključak: Odbacuje

se rezultat 15.3

STANDARDIZACIJA MERENJA – Z SCORE

• Normalna raspodela

• Parametarska metoda

• Transformacija

promenljive (scaling)

• Zα/2 iz tablica normalne

raspodele

E(Z) N(0,1)

Ho: E(Zi) = 0

Ha: E(Zi) ≠ 0

1 (68.2 %)

2

3

α/2

KRITERIJUM (TEOREMA) ČEBIŠEVA

• Kriterijum Čebiševa definiše interval raspodele vrednosti rezultata merenja (unutar k x od srednje vrednosti).

• 𝑃( 𝑋 − 𝜇 ≤ 𝑘𝜎) ≥ (1 −1

𝑘2)

• Npr. za k=2, dobija se ¾ ili 75% interval poverenja, ukoliko uzorak pripada populaciji normalne raspodele

• 𝑃( 𝑋 − 𝜇 ≥ 𝑘𝜎) ≤1

𝑘2 govori da se

najmanje 25% rezultata (za k =2) može naći izvan intervala dvostruke vrednosti standardnog odstupanja

k1 −

1

𝑘2 100 × (1 −1

𝑘2)

2 0.75 75 %

3 0.89 89 %

4 0.94 94 %

4.472 0.95 95 %

5 0.96 96 %

10 0.99 99 %

Neka je srednja vrednost promenljive neke

raspodele jednaka 50, a standardno odstupanje 5.

a) Kolika je verovatnoća da će slučajna

promenljiva biti između 40 i 60 ?

ODGOVOR: k = 2, ... 75%

b) Kolika je verovatnoća da će slučajna

promenljiva biti između 42.5 i 57.5 ?

ODGOVOR: k = 1.5, ... 56 %

TEST RASPONA

ww

G

1)www(PGn

6n

Primenjuje se za

3, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 10, 11, 17 14317 nw

6.185.2229.5ˆ99.0 wwG

5.2ˆ

Raspon uzorka

Dozvoljen rasponOdgovarajući kvantil

raspodele raspona za zadati

nivo značajnosti

PRIMER:

Standardno odstupanje

raspona

Uzorak rezultata merenja

Novo značajnosti

ww

Wn

n

Standardizovani raspon merenja

Standardno odstupanje raspona merenja 𝜎= σ𝑥 2

TEST KOLIČNIKA VARIJANSI

2

2

2

1

s

sF

Ocena varijanse uzorka sa fn-1 = f1 stepeni slobode

Ocena varijanse uzoraka bez i-tog (simnjivog) rezultata sa fn-2 = f2 stepeni slobode

21 ,, ffFF Reon odbacivanja nulte hipoteze

Kvantil Fišerovog rasporeda za nivo značajnosti i broj stepeni slobode f1 i f2

H0: varijanse dva seta podataka su bliske, tj. razlika koja postoji između njih nije statistički značajna

F ˂ Fcr Ho: prihvata se

F ˃ Fcr Ho: odbacuje se

RB Merenja

1 12.3

2 12.4

3 12.6

4 12.8

5 12.9

6 15.1

PRIMER

s1 = 1.04

s2 = 0.25

F = 4.1

25.64,5,05.0 F

Excel funkcija F.INV(0.95,5,4)

REŠENJE:

ODLUKA: Prihvata se Ho

KRITERIJUM ŠUVENEA

Primenjuje se pri malom uzorku

Odstupanja sumnjivog rezultata od srednje vrednosti

n xi

1 6.45 -0.08 0.0064

2 6.62 +0.09 0.0081

3 6.47 -0.06 0.0036

4 6.57 +0.04 0.0016

5 6.62 +0.09 0.0081

6 6.50 -0.03 0.0009

7 6.71 +0.18 0.0324

8 6.43 -0.10 0.0100

9 6.58 +0.05 0.0025

10 6.49 -0.04 0.0016

11 6.60 +0-07 0.0049

12 6.50 -0.03 0.0009

13 6.56 +0.03 0.0009

14 6.48 -0.05 0.0025

91.58 0.0844

xxi 2

xxi

Primer

54614

5891.

.x

0806013

08440.

.s

123208060

180..

.

. Odbacuje se sumnjiv rezultat i

postupak se ponavlja sve dok se

ne isključe svi rezultati koji

odskaču

DIKSONOV Q TEST

Nxxx ...

21

1

12

xx

xxQ

N

1

1

xx

xxQ

N

NN

N(CL:90%)

(CL:95%) (CL:99%)

3 0.941 0.970 0.994

4 0.765 0.829 0.926

5 0.642 0.710 0.821

6 0.560 0.625 0.740

7 0.507 0.568 0.680

8 0.468 0.526 0.634

9 0.437 0.493 0.598

10 0.412 0.466 0.568

critQ crit

Q critQ PRIMER: 13.1

13.6

14.7

14.9

14.9

17.9

Qexp = (13.6 – 13.1)/(17.1 – 13.1) = 0.104

Qexp = (17.9 – 14.9)/(17.9 – 13.1) = 0.625

Primenjuje se na malim

uzorcima od 3 do 7

elemenata.

Q ˂ Qcr H0: prihvata se

Q ˃ Qcr H0: odbacuje se

UZORKOVANJE I RASPODELA

FREKVENCIJA

• Populacija od 20

elemenata

• 10 uzoraka po

četiri elementa

• sr iz populacije

iznosi 0.46

• sr iz uzoraka od

0.62 do 1.60

10.1

11.2

11.4

11.6

12.3

12.5

12.8

13.1

13.2

13.4

13.5

13.7

14.1

14.5

15.2

15.6

16.1

16.7

17.1

17.2

mi 13.77

sigma 2.04

N= 20

sigma sr 0.46

10.1 10.4 11.4 11.6 11.6 12.6 12.8 12.3 13.2 11.6

15.6 11.2 12.8 12.3 12.8 13.2 13.4 13.1 14.1 13.7

16.7 12.3 14.5 13.7 13.4 15.2 13.7 14.1 16.1 15.6

16.9 14.1 15.6 17.1 15.6 16.1 16.1 15.2 16.7 17.2

14.83 12.00 13.58 13.68 13.35 14.28 14.00 13.68 15.03 14.53

3.20 1.60 1.85 2.44 1.68 1.65 1.45 1.26 1.65 2.42

1.60 0.80 0.93 1.22 0.84 0.82 0.72 0.63 0.82 1.21

• Oceniti da li je

ocena srednje

vrednosti iz uzorka

saglasna ili da li

pripada populaciji

za koju smo

pretpostavili da

pripada

• A) Poznato

• B) Nepoznato

TESTIRANJE HIPOTEZE O SREDNJOJ

VREDNOSTI POPULACIJE - poznato

Nulta hipoteza može biti: jednostrana i dvostrana.

x:H0 Nulta hipoteza

n

xz

Test statistika

Tri slučaja:

x:H0

x:Ha

z

n

xzP1

Одлука: Ukoliko je zz odbacije se nulta hipoteza

2 x:H0

x:Ha

z

n

xzP Одлука: Ukoliko je

z z odbacije se nulta hipoteza

3 x:H0

x:Ha

1z

n

xzP 2/2/ Одлука: Ukoliko je / 2

z z

ili / 2z z

odbacije se

nulta hipoteza

x:Ha Alternativna hipoteza

OCENA SAGLASNOSTI SREDNJE VREDNOSTI

UZORKA SA OČEKIVANOM – poznato • Generisan je uzorak od N= 20

merenja koji pripada populaciji sa =3

=2 i = 0.45

• Iz uzorka xsr = 2.66

• Oceniti saglasnost ocene srednje

vrednosti uzorka sa očekivanom

vrednošću, za α=0.05

• Test hipoteze:

• Test statistika = - 0.76

• Odluka:

• Ukoliko je Z ≤ -1.96 ili Z ≥ 1.96,

odbacuje se HO

• Ukoliko je Z > -1.96 and Z < 1.96, ne

odbacuje se HO

1.01

4.11

0.10

0.89

2.09

2.83

5.93

3.52

4.08

3.48

0.74

-0.52

5.43

4.44

5.58

3.48

2.96

2.94

0.33

-0.17

Ho xsr = Nema značajnih uticaja

HA xsr Uticaj je značajan

Dvostrani test

Kvantil normalne

raspodele za α=0.05

(dvostrani)

OCENA SAGLASNOSTI SREDNJE VREDNOSTI

UZORKA SA OČEKIVANOM – nepoznato

• Umesto nepoznate

koristi se njena ocena iz

uzorka

𝑠2 =σ(𝑥 − ҧ𝑥)2

𝑛 − 1

𝑠 ҧ𝑥 =𝑠

𝑛

• Umesto Normalne koristi

se Studentova raspodela

s = 1.73sxsr= 0.48

= 0

= - 1.45

1. Očekivana vrednost parametra = 02. Uzorak je formiran kao slučajan

3. Pretpostavlja se da uzorak pripada

populaciji čija je raspodela normalna

Pretpostavke:

Donošenje odluke:

Odluka

Ho xsr = Nema značajnih uticaja

HA xsr Uticaj je značajan

Za t ≤ -2.17 ili t ≥ 2.17, odbacuje se HO.

Za t > -2.17 i t < 2.17, ne odbacuje se HO

0.56

-1.8

-1.53

-0.53

1.61

-4.87

-1.53

-1.15

0.23

-1.31

-1.03

1.74

0.55

=CONFIDENCE.T(0.05,A15,13) 1.046576=

=T.INV.2T(0.05,12) = 2.178813 x 0.48 = 1.046576- 2.17 2.17

X = - 0.697

- 0.697 – 1.05 < < - 0.697 + 1.05

– 1.75 < < 0.35

Kvantil studentove

raspodele za α=0.05

I f=12 stepeni

slobode (dvostrani)

p = 95%

OCENA SAGLASNOSTI SREDNJIH VREDNOSTI DVA

UZORKA ISTE POPULACIJE- nepoznato

ns

xt

Umesto , koristi se njena ocena s, odnosno z i z/2 zamenjuju se sa t i t /2 ,

gde je f = n-1 broj stepeni slobode

Za n > 30, t se zamenjuje sa z koji se uzima iz tablica normalnog rasporeda

Pretpostavimo dva međusobno nezavisna uzorka nejednakih dimenzija n1 i n2

normalne raspodele sa očekivanjima 1 i 2

Nulta hipoteza : 210 :H

Alternativne hipoteze: 21

21

21

2

2

21

2

1

21

nn

xxz

Test statistika – poznato

Test statistika – nepoznato

2121

2

22

2

11

21

n

1

n

1

2nn

s)1n(s)1n(

xxt

Reoni odbacivanja isti kao pri poznatom

)2nn(f 21

Broj stepeni slobode

Testiranje na saglasnost varijansi i srednjih

vrednosti dva uzorka - Excel

Uzorak 1 Uzorak 2

12.4 11.2

13.1 13.1

13.5 14.2

13.8 14.7

14.1 15.1

15.3 15.2

16.1 15.6

16.6 15.7

F-Test Two-Sample for Variances

Variable 1 Variable 2

Mean 14.3625 14.35

Variance 2.21125 2.328571

Observations 8 8

df 7 7

F 0.949617

P(F<=f) one-tail 0.473691

F Critical one-tail 0.264058

F test saglasnosti varijansi dva uzorka

t-Test: Two-Sample Assuming Equal Variances

Variable 1 Variable 2

Mean 14.3625 14.35

Variance 2.21125 2.328571

Observations 8 8

Pooled Variance 2.269910714

Hypothesized Mean Difference 0

df 14

t Stat 0.016593409

P(T<=t) one-tail 0.493497571

t Critical one-tail 1.761310136

P(T<=t) two-tail 0.986995142

t Critical two-tail 2.144786688

Test saglasnosti srednjih vrednosti dva uzorka jednakih varijansi

Anova: Single Factor

SUMMARY

Groups Count Sum Average Variance

Column 1 8 114.9 14.3625 2.21125

Column 2 8 114.8 14.35 2.328571

ANOVA

Source of VariationSS df MS F P-value F crit

Between Groups0.000625 1 0.000625 0.000275 0.986995 4.60011

Within Groups31.77875 14 2.269911

Total 31.77938 15

Test saglasnosti srednjih vrednosti dva uzorka

Data/Data Analysis/

Budući da je α (ili p) vrednost dvostranog

intervala = 2 x 0.47 = 0.94 > 0.05 prihvata

se hipoteza o jednakosti dve varijanse

Dvostrana p

vrednost veća

od 0.05,

prihvata se

nulta hipoteza o

jednakosti dva

uzorka

Dvostrana p

vrednost veća

od 0.05,

prihvata se

nulta hipoteza o

jednakosti dva

uzorka

TESTIRANJE HIPOTEZE O VARIJANSI

POPULACIJE

Koristi se 2 raspodela

TESTIRANJE HIPOTEZE O KOLIČNIKU

DVE VARIJANSE ISTE POPULACIJE

Vrednosti kvantila F и F/2 lociraju granice i /2 intervala F raspodele sa f1 stepeni

slobode u brojiocu i f2 u imeniocu

Kod obostranog testa, broj stepeni slobode brojioca odgovara numerički većoj vrednosti

varijanse uzorka

Koristi se Fišerov raspored

TESTIRANJE HIPOTEZA O

HOMOGENOSTI SERIJA MERENJA

• Testiranje homogenosti serija merenja

primenom Fišerove raspodele

• Testiranje homogenosti serija merenja

primenom Bartletovog testa

• Testiranje homogenosti serija merenja

primenom Levenovog testa

TESTIRANJE HIPOTEZA O

HOMOGENOSTI SERIJA MERENJA –

primenom F statistike

Neka je iz osnovnog skupa izdvojeno j=1,2,..., k uzoraka sa elemenatima121 jnjj

x,...,x,x

j - matematičko očekivanje obeležja X iz uzorka j

- matematičko očekivanje obeležja X iz iz svih uzorka

j - efekat j. tog uzorka

Važi pretpostavka:

k

j

j

1

0

Neka su:

jn

i

ji

j

jx

nx

1

1- Srednja vrednost pojedinog uzorka j

jn

j

jj

n

i

ji

k

j

xnn

xn

x111

11- Srednja vrednost svih uzoraka

k

j

jnn

1

jn

i

k

i

jjji

i,j

k

j

jji

i,j

k

j

jjjj

xnx)xx(B

xnxn)xx(nA

1 1

22

1

2

1

222

- Pomoćne veličine

(nezavisne međusobno)

1. Nulta hipoteza:

0210

k

...:H

2. Alternativna hipoteza:

0ia

:H

k,...,,j 21

- barem jedno

B

A

f

f

kn

/Bk

/A

F

1

2

2

2

1

3. Test statistika:

4. Donošenje odluke (α, f2=n-k, f1=k-1)

,f,fFF

21 Odbacuje H0

- Ukupan broj elemenata

2 raspored

2 raspored

Fišerov

raspored

TESTIRANJE HIPOTEZA O

HOMOGENOSTI SERIJA MERENJA–

ANOVA tabela (Fisherova raspodela)

Nulta hipoteza (jednakost srednjih vrednosti):

43210 :H

Alternativna hipoteza:

jia:H

1. Korak: Odrediti varijanse svakog uzorka

Test procedura:

2. Korak: Oceniti ukupnu varijansu iz varijansi po

uzorcima (unutrašnja varijansa)

4

1

4

1

2

2

1

1

i

i

i

ii

U

)n(

s)n(

s

3. Korak: Oceniti varijansu iz odstupanja između

uzoraka

)k(

)XX(

s i

**

i

I1

4

12

n

i

*

i

*

ii

*

i

XX

XnX

1

4. Korak: Definisanje test statistike

2

2

U

I

s

sF

21 f,f,FF odluka

Odbacuje H0

f2

f1

24072 .sU

633722 .sI

F= 8.28 Alfa = 0.00014

Funkcija FDIST (program Excel)

ODLUKA:?

154573010 .FF ,,.

TESTIRANJE HIPOTEZA O

HOMOGENOSTI SERIJA MERENJA–

Bartletov testBartletov test je osetljiv ukoliko elementi skupova ne pripadaju normalnom rasporedu

1. Nulta hipoteza (jednakost varijansi uzoraka):

22

2

2

10 k...:H

2. Alternativna hipoteza:

22

0 ji:H barem u jednom slučaju

3. Test statistika:

kNn)k(

)sln()n()sln()kN(

k

i i

k

i

iip

1

1

1

13

11

1

1

1

22

2

k

i

inN

1

- Ukupan broj elemenata svih uzorka

221

1i

i

ips)n(

kNs

- Zajednička varijansa celog uzorka

2

is - Varijansa pojedinog uzorka

k - Broj uzoraka

2

1

2

,k

Odluka

Odbacuje se nulta hipoteza

1. 2. 3. ... k

x11 x21 x31 .. .....

x12 x22 x32 ... ...

x13 x23 x33 ...

... ... ...

n1n2 n3

TESTIRANJE HIPOTEZA O

HOMOGENOSTI SERIJA MERENJA–

Levenov test

Levenov test predstavlja alternativu Bartletovom testu i koristi se najčešće u situacijama kada

merenja u uzorcima odstupaju od normalnosti.

2. Alternativna hipoteza:

k...:H

210

1. Nulta hipoteza:

jia:H u najmanje jednom slučaju

3. Test statistika

in

j

iij

k

i

k

i

ii

)zz()k(

)zz(n)kN(

W

1

2

1

1

2

1

iijijyyz

iijijy~yz

'

iijijyyz

iy - Srednja vrednost

iy~

i'y

- Medijana

- 10% zasečena

vrednost i-tog

uzorka

Srednja vrednost iz svih

uzoraka

Srednja vrednost od zij

i-tog uzorka

4. Odluka

kN,k,FW

1

Kritična vrednost

Fišerovog rasporeda

za k-1 i N-k stepeni

slobode i nivo

značajnosti Alfa

Odbacuje H0

TESTIRANJE HIPOTEZA O SAGLASNOSTI

RASPODELE SA PRETPOSTAVLJENOM

RASPODELOM

• Pirsonov Hi-kvadrat test

• Test Jestremskijeva

• Test Kolmogorova

• Test Kolmogorov- Smirnova

TESTIRANJE HIPOTEZA O SAGLASNOSTI

RASPODELE SA PRETPOSTAVLJENOM

RASPODELOM – Pirsonov test

nl,...,l,l

21 - Skup događaja slučajne promenljive X

'''

nf,...,f,f

21- Eksperimentalne frekvencije događaja

n,f,...,f,f

21- Teorijske frekvencije događaja

n

i i

i

'

n

n

'''

f

)ff(

f

)ff(...

f

)ff(

f

)ff(in

1

22

2

2

2

1

2

12 21 2

n

i i

'

i nf

f

1

2

2

n

i

n

i

i

' nffi

1 1

Pri velikom broju podataka merenja, radi lakše matematičke obrade podaci se razvrstavaju u grupe (razrede, klase).

Prema Fišeru, broj elemenata u klasi ne bi trebao biti manji od 5.

32 Nn - Optimalan broj klasa

Odluka:

22

,

Odbacuje se tvrdnja o saglasnosti eksperimentalnog

rasporeda sa pretpostavljenim teorijskim rasporedom

1 n - Broj stepeni slobode ukoliko su poznati parametri populacije

mn 1 - Broj stepeni slobode ukoliko nisu poznati parametri populacije

Pirsonov test - primer

Test procedura:

Osnovni skup promenljive ima funkciju raspodele

oblika F0(x;θ1,θ2,...θn) koja zavisi od r nezavisnih

promenljivih θ1,θ2,...θn.

Neka su x1,x2,...xn elementi uzorka koji pripada

osnovnom skupu, dok su a0<a1<…<ak granice intervala

I1, I2,…,Ik, a π1, π2,… πk su verovatnoće da vrednosti

slučajne promenljive X leže u intervalima I1, I2,…,Ik .

k

i i

i

'

n

)nf(i

1

2

2

2 raspodela sa k-1-m stepeni

slobode

2

1

2

,rk

Odluka:

Prihvata se hipoteza H0

Pirsonov test – primer, nastavak

Srednja

vrednost

Standardno

odstupanje

Granica

intervala

n =615

TESTIRANJE HIPOTEZA O SAGLASNOSTI

RASPODELE SA PRETPOSTAVLJENOM

RASPODELOM –Test Jestremskijeva

n

i

i

Npq

vJ

1

2

- Statistika Jestremskijeva

i

'

iiffv - Razlike eksperimentalnih i teorijskih frekvencija

n - Broj grupa

N - Ukupan broj elemenata iz svih grupa

p - Teorijska verovatnoća pojedine grupe

pq 1

nJI

Ukoliko

0 Značajna saglasnost sa

teorijskim rasporedom

Maksimalno dozvoljeno odstupanje:

4222 .nImax

Test Jestremskijeva - primer

n fi fi pi qi vi =fi-fi vi2 Npq v2/Npq

1 11 7.1 0.0157 0.9843 3.9 15.21 7.1 2.1

2 4 8.5 0.0186 0.9814 - 4.5 20.25 8.3 2.4

3 11 15.5 0.0338 ... ... ... 14.9 1.4

4 18 25.2 0.0551 23.8 2.2

5 28 36.9 0.0806 ... ...

6 51 48.4 0.1059

7 67 56.9 0.1246

8 65 60.1 0.1315

9 68 56.9 0.1246

10 44 48.4 0.1059

11 33 36.9 0.0806

12 30 25.2 0.0567

13 12 15.5 0.0338

14 8 8.5 0.0186

15 7 7.0 0.0000 1.0000 -0.0 0.01 0.00

457 457.0 1.0000 0.0000 - - 18.3

Pri merenju 457 uglova dobijeni rezultati su razvrstani u 15 klasa, zajedno sa eksperimentalnim frekfencijama njihove

pojave i teorijskim frekvencijama. Testirati date vrednosti na saglasnost sa očekivanim (normalnim) rasporedom.

J = 18.3

I = 18.3 – 15 = 3.3

Imax= 11.4

I < Imax

TESTIRANJE HIPOTEZA O SAGLASNOSTI

RASPODELE SA PRETPOSTAVLJENOM

RASPODELOM –Test Kolmogorova

nx,...,x,x

21 uzorak od n elemenata čija funkcija rasporeda glasi:

xxза,

xxxза,n

k

xxза,

)x(F

n

kkn

1

0

1

1

i koju treba uporediti sa teorijskom )x(F0

Neka je k broj elemenata manjih od vrednosti iz skupa x1,x2,...,xn

Funkcijan

k)x(F

n predstavlja novu slučajnu promenljivu

)x(F)x(FmaxDnn 0

- predstavlja meru odstupanja eksperimentalne od teorijske raspodele – parametar Kolmogorova

Nulta hipoteza: )x(F)x(F:H00

Alternativna hipoteza: )x(F)x(F:Ha 0

)dD(p

,nn

Odluka: Kvantil funkcije rasporeda koji se uzima iz tablica Kolmogorova

Za 100n

PRIMER 4.6.6.3-1

Test Kolmogorova - primer

TESTIRANJE HIPOTEZA O SAGLASNOSTI

RASPODELE SA PRETPOSTAVLJENOM

RASPODELOM –Test Kolmogorov-Smirnova

)x(G)x(F:H 0

Nulta hipoteza:

Dve funkcije raspodele

Alternativna hipoteza:

)x(G)x(F:Ha

Test statistiuka:

)x(G)x(FmaxDnmn,m

Odluka:

,n,mn,mdD

Kritične vrednosti određuju se iz tablica

Kolmogorov-Smirnova

nm

nmk

Tablice Kolmogorov-Smirnova