Erhvervsøkonomisk institut Forfattere: Rie Brarup Nielsen

HA almen 6. semester & Linnea Jørgensen

Bachelorafhandling Vejleder: David Sloth Pedersen

CAPM

En teoretisk og empirisk undersøgelse

Handelshøjskolen i Aarhus

2011

”En teori kan kun erstattes af en bedre… teori”

(Levy & Sarnat, 1995)

Abstract

This thesis contributes to the large amount of work on the Capital Asset Pricing model

(CAPM). CAPM enables investors to valuate stock prices compared to the risk of a stock.

By testing the model empirically, we want to investigate the attributes of CAPM. CAPM

is an interesting model because it is highly criticized, but still frequently used, even

though there are many studies proving CAPM wrong and trying to prove another model is

better. CAPM is simply still the easiest model to handle in empirical testing

The thesis firstly reviews the different assumptions behind CAPM, before the theory

behind CAPM starting with Markowitz’ efficient frontier is present. Markowitz theory is

some of the earliest work, leading to what today is known as CAPM. He showed that

investors, assuming to hold a mean-variance efficient portfolio, could expect a positive

relationship between risk and reward. This itself wasn’t so groundbreaking, but

Markowitz revolutionized by creating the mathematic tool to select the portfolio with the

highest expected return, given a certain level of volatility or to put it in another way given

a certain level of return, a tool to choose the lowest volatility. The next step is the

introduction of a risk free asset. A risk free asset is an option for the investors to place

their investments in an asset without any risk for a certain period, and they are therefore

guaranteed a minor financial reward by the end of that period. How the investors choose

between different combinations of the risk free asset and risky asset, according to their

risk aversion, are shown by the Capital Market Line (CML). The idea behind this is that

all combinations of optimal portfolios are shown by the CML and the corresponding

formula. The slope of CAPM is often referred to as the marginal rate of substitution, as it

shows how much an investor wants in return when taking on more risk. The last part of

the theoretical production is the part where we show that maximizing the marginal rate of

substitution leads us to an optimal solution graphically shown by the Security Market line

and the formula we call CAPM.

The theoretical groundwork leads us to the empirical part of the thesis. Here we are using

five different tests to test whether CAPM are able to explain stock prices on the Danish

capital market based on historical data from 1996 to 2011. Stocks used in this empirical

test are all from OMXC and have to be active in the period. This means that we ended up

with 75 stocks. These stocks are tested altogether and divided up in smaller groups

containing the 10 largest stocks and the 10 smallest stocks. Furthermore we tested on sub

periods of 60 months. Founded was that CAPM couldn’t explain the Danish capital

market in this period. In only one period we had problems rejecting the hypothesis set,

meaning that CAPM have explanatory power on the market. Overall it had no affect to

vary the amount of stocks in the test. In contrast, we found that the, because of the

asymptotic results of some of the test, that testing on the total period, gave more valid

results.

Last in the thesis we are discussing whether some of our choices regarding period and

amount of assets, could have an effect on the empirical results found. Furthermore we are

discussing some aspects that could have caused some of the errors-in-variables, using

historical work to support our findings. An alternative model is presented, based on the

fact that the market portfolio is unobservable. Considering further analysis of the

Arbitrage Pricing Model could be used and adjustments could be made to our empirical

work to make the study better, which can be used as self-reflection on the thesis.

Indholdsfortegnelse

KAPITEL 1 ........................................................................................................................ 1

INTRODUKTION .............................................................................................................. 1

1.1 PROBLEMFORMULERING .............................................................................................. 1

1.2 AFGRÆNSNING ............................................................................................................ 2

1.3 STRUKTUR ................................................................................................................... 2

KAPITEL 2 ........................................................................................................................ 4

TEORETISK GRUNDLAG FOR CAPM ......................................................................... 4

2.1 FORUDSÆTNINGER ....................................................................................................... 4

2.2 USYSTEMATISK VS. SYSTEMATISK RISIKO ..................................................................... 7

2.3 TEORETISK GRUNDLAG FOR CAPM .............................................................................. 7

2.3.1 Markowitz efficiente linje ..................................................................................... 8

2.3.2 Introduktion af risikofrie rente ........................................................................... 10

2.3.3 Porteføljevalg .................................................................................................... 14

2.3.4 Security Market Line (SML) ............................................................................... 17

2.3.5 Fortolkning af ................................................................................................. 20

2.4 DELKONKLUSION ....................................................................................................... 21

KAPITEL 3 ...................................................................................................................... 22

METODE .......................................................................................................................... 22

3.1 DATAUDVÆLGELSE .................................................................................................... 22

3.2 METODE UDVÆLGELSE OG IMPLEMENTERING.............................................................. 25

3.2.1 Estimation af og for den ubegrænsede model ............................................... 26

3.2.2 Wald test, J0 ....................................................................................................... 29

3.2.3 Endelige stikprøvefordeling af Wald test, J1 ....................................................... 30

3.2.4 Estimation af og for den begrænsede model ................................................. 31

3.2.5 Likelihood ratio test, J2 ...................................................................................... 31

3.2.6 Forbedring af Likelihood Ratio test, J3 ............................................................... 33

3.3 TVÆRSNITSREGRESSION ............................................................................................. 33

3.4 DELKONKLUSION ....................................................................................................... 35

KAPITEL 4 ...................................................................................................................... 36

RESULTATERNE AF DEN EMPIRISKE UNDERSØGELSE..................................... 36

4.1 RESULTATERNE FOR J0, J1, J2 OG J3 ............................................................................. 36

4.1.1 Resultaterne for N =75 aktier ............................................................................. 36

4.1.2 Resultaterne for N =20 aktier ............................................................................. 37

4.1.3 Resultaterne for N =10 største aktier ................................................................. 38

4.1.4 Resultaterne for N =10 mindste aktier ................................................................ 39

4.2 SML FOR EMPIRISK UNDERSØGELSE ........................................................................... 41

4.3 TVÆRSNITSREGRESSION ............................................................................................. 42

4.3.1 Tværsnitsregressionsresultaterne for N = 20 aktier ............................................ 42

4.3.2 Tværsnitsregressionsresultaterne for N =75 aktier ............................................. 43

4.4 TENDENSLINJE FOR EMPIRISK UNDERSØGELSE............................................................. 43

4.5 DELKONKLUSION ....................................................................................................... 44

KAPITEL 5 ...................................................................................................................... 45

BEGRÆNSNINGER OG SVAGHEDER VED CAPM .................................................. 45

5.1 IMPLIKATIONER OG BEGRÆNSNINGER FOR DEN EMPIRISKE UNDERSØGELSE .................. 45

5.1.1 Betaværdier ....................................................................................................... 49

5.2 ALTERNATIVE MODELLER TIL CAPM ......................................................................... 52

5.2.1 APT.................................................................................................................... 52

5.3 FORSLAG TIL FREMTIDIGE STUDIER ............................................................................. 55

5.4 DELKONKLUSION ....................................................................................................... 55

KAPITEL 6 ...................................................................................................................... 56

KONKLUSION ................................................................................................................ 56

LITTERATURLISTE ...................................................................................................... 58

APPENDIKS A ................................................................................................................. 62

APPENDIKS B ................................................................................................................. 65

APPENDIKS C ................................................................................................................. 82

1

Kapitel 1

Introduktion

Sammensætningen af en optimal portefølje er et emne, der er vigtigt for den enkelte

investor. En investor ønsker at maksimere afkastet for et givent niveau af risiko og

forholdet mellem afkast og risiko er dermed et vigtigt emne, når kapitalmarkedets

effektivitet skal undersøges. Investorer vil belønnes for at påtage sig risiko, så jo højere

risiko de påtager sig, jo højere afkast forventer de at få. Først med udviklingen af Capital

Asset Pricing Modellen (CAPM) blev det muliggjort at måle risikoen og dets afkast

(Gunnlaugsson, 2006). Standart CAPM blev færdigudviklet af (Sharpe, 1964) og (Lintner,

1965) på baggrund af (Markowitz, (1959)) studie af den efficiente rand, og er en metode til

at vurdere sammenhængen mellem de enkelte aktiers afkast og den tilhørende risiko.

CAPM var ved sin fremkomst i 1964 et stort gennembrud i den finansielle teori, da den

angiver et aktivs pris baseret på dets risiko. Modellen bygger på nogle meget restriktive

antagelser, og har været udsat for stor kritik af bl.a. (Roll, 1977), der mener, at modellen

ikke er mulig at teste empirisk. Til trods for den massive kritik af modellen, benyttes den

ofte af finansielle virksomheder i praksis. En af grundene til at man stadig anvender

CAPM, trods den store kritik af modellen, er, at den er let anvendelig. Formålet med denne

opgave er, at beskrive det teoretiske grundlag for CAPM, samt lave en empirisk

undersøgelse af CAPM, for at teste hvor god modellen er til at forklare, det forventede

aktieafkast på det danske aktiemarked.

1.1 Problemformulering

Formålet med denne opgave er, at belyse hvor god CAPM er, til at beskrive det forventede

aktieafkastet. Opgaven vil fremstille det teoretiske grundlag for CAPM, samt vurdere

forudsætningerne for modellen. Der vil blive lagt vægt på grundig gennemgang af teorien

bag modellen. Under vurderingen af modellens forudsætninger, vil de teoretiske

konsekvenser og eventuelle problematiske antagelser for modellen blive vurderet.

Til undersøgelsen af hvor god CAPM som model er til at beskrive det forventede

aktieafkast, vil der blive foretaget en empirisk undersøgelse af det danske aktiemarked.

Denne undersøgelse foretages med udgangspunkt i perioden februar 1996 til marts 2011,

og forskellige statistiske test vil blive benyttet. Disse tests benyttes til at diskutere, hvor

god modellen er, til at beskrive aktieafkastet i forhold det danske aktiemarkeds historiske

afkast. Til slut vil CAPM blive vurderet i forhold til alternative prisfastsættelsesmodeller.

2

I denne opgave vil vi altså søge at besvare følgende undersøgelsesspørgsmål;

1. Kan CAPM benyttes til at beskrive det forventede aktieafkastet på det danske

aktiemarked?

Til dette undersøgelsesspørgsmål er der følgende underspørgsmål;

A. Hvad er det teoretiske grundlag for CAPM?

B. Hvordan vurderes CAPMs forudsætninger? Og hvilke konsekvenser har disse?

C. Hvordan vurderes CAPMs svagheder og begrænsninger, og hvordan kan disse

problemer overkommes?

1.2 Afgrænsning

Formålet med denne opgave er at behandle standard CAPM, hvilket betyder, at andre

versioner af modellen, såsom C-CAPM (consumption capital asset pricing model) og I-

CAPM (intertemporal asset pricing model), ikke behandles i nærværende opgave. Derfor

vil notationen CAPM henvise til standard CAPM.

Den teoretiske del af denne opgave er primært baseret på (Campbell et al., 1997). Andre

kilder, som synes relevante, benyttes hvor den primære kilde synes at have mangler. I

denne opgave lægges der stor vægt på den teoretiske del, da vi under gennemgang af den

eksisterende litteratur, synes en uddybning af denne manglede.

Den empiriske undersøgelse testes kun over en 15-årig periode fra marts 1996 til februar

2011, svarende til i alt 60 måneder. Herudover testes der på tre underperioder i samme

årrække, af hver 60 måneders varighed, og i denne undersøgelse vil kun det danske

aktiemarked indgå. Forudsætningerne for de test der foretages i den empiriske

undersøgelse, vil kun overordnet blive behandlet, og der vil derfor ikke blive foretaget

statistiske tests på, om disse forudsætninger er opfyldt i den empiriske undersøgelse.

Yderligere afgrænsninger vil foretages løbende i opgaven, hvor disse findes relevante.

1.3 Struktur

Denne opgave er bygget op omkring 4 hovedkapitler, der omhandler det teoretiske

grundlag for CAPM, metoden for den empiriske undersøgelse, de empiriske resultater og

diskussion af modellens svagheder. Strukturen for opgaven er følgende:

3

Kapitel 2 - Dette kapitel præsenterer det teoretiske grundlag for CAPM, dennes

muligheder, baggrund, antagelse og forudsætninger. Dette afsnit er relevant for at

kunne diskutere og teste modellen, og for at synliggøre de problemer, der ligger i

antagelserne, og hvordan disse problemer påvirker modellens evne til at beskrive det

forventede aktieafkast.

Kapitel 3 - Dette kapitel beskriver metoden af den empiriske undersøgelse. Her vil den

empiriske analyse blive beskrevet, og der foretages en diskussion vedrørende valg af

data.

Kapitel 4 - I dette kapitel præsenteres resultaterne af den empiriske undersøgelse, og

på baggrund af disse, vil CAPMs evne til at beskrive det forventede aktieafkast

evalueres.

Kapitel 5 - I dette kapitel diskuteres CAPMs svagheder og begrænsninger, og en

alternativ model vil blive præsenteret.

Kapitel 6 - Dette kapitel opsummeres hovedpunkterne i opgaven og der vil blive

konkluderet på opgaven.

4

Kapitel 2

Teoretisk grundlag for CAPM

I dette kapitel vil det teoretiske grundlag for CAPM blive beskrevet. De forskellige teorier

der beskrives i de følgende afsnit, danner grundlaget for den empiriske undersøgelse. I

afsnit 2.1 vil forudsætningerne bag CAPM samt eventuelle konsekvenser ved disse

opstilles. Forudsætningerne for modellen beskrives før teorien, da det anses som værende

relevant, at have disse forudsætninger in mente, når de forskellige udledninger foretages. I

afsnit 2.2 beskrives forskellen på systematisk og usystematisk risiko, hvilket leder læser til

afsnit 2.3, hvor teorien bag standart CAPM, som vi kender den i dag, vil blive præsenteret.

CAPM er en ligevægtsmodel til prisfastsættelse af finansielle aktiver. (Markowitz, (1959))

udarbejdede grundlaget for CAPM. Markowitzs model bygger på forudsætningen om, at

investorer optimalt vil holde en mean-variance portefølje, dvs. en portefølje der

maksimerer det forventede afkast for en given risiko, eller minimerer variansen for et

givent afkast. Modellen blev i 1960’erne videreudviklet af (Sharpe, 1964) og (Lintner,

1965), der viste, at hvis investorer har ens forventninger og optimalt vil holde en mean-

variance portefølje, vil markedsporteføljen være en mean-variance efficient portefølje.

2.1 Forudsætninger

I dette afsnit vil de 10 forudsætninger for CAPM blive beskrevet og diskuteret. CAPM

består under en lang række mere eller mindre realistiske forudsætninger. I dette afsnit vil

vi gennemgå disse forudsætninger, og beskrive hvordan den enkelte forudsætning påvirker

modellen.

1. Ingen transaktionsomkostninger, hverken i form af kurtage, tab der skyldes spreads

mellem købs- og salgspriser eller skat. Dette betyder, at der ikke er nogen omkostninger

forbundet med at købe og sælger aktiver, og dermed har antallet af transaktioner ikke

nogen indflydelse på de samlede omkostninger. Hvis der skal tages højde for

transaktionsomkostningerne, bliver modellen langt mere kompleks, da afkastet af et aktiv

dermed vil blive en funktion af ,hvorvidt investoren ejede dette aktiv før eller efter

investeringsbeslutningen blev truffet (Elton & Gruber, 1995) (Christensen & Pedersen,

2009). Hvis vi deraf antager, at transaktionsomkostninger reducerer det typiske antal af

aktiver i en investors portefølje, vil den andel af risiko, der ikke kan diversificeres væk,

afhænge af covariationen med investorens portefølje, og ikke af covariationen med hele

markedet. Da antallet af aktiver i en portefølje reduceres, vil det enkelte aktiv have en

5

større andel af dens portefølje, end den vil have af den aggregerede markedsportefølje,

hvilket betyder, at dens varians vil få en større betydning (MAYSHAR, 1981). I praksis

kan vi ikke undgå transaktionsomkostninger fuldstændigt. I aktiehandel er der større eller

mindre kurtage alt efter hvordan du ønsker at handle. Herudover er der mange fysiske

aktiver, såsom fast ejendom, hvor transaktionsomkostninger er forholdsvis høje (Jensen,

1972).

2. Aktiver er delelige, det vil sige, at de kan handles til den mindste regneenhed i

økonomien. Dette betyder, at en investor kan tage en hvilken som helst position i en

investering, ligegyldig hvor stor hans formue er. Denne forudsætning holder ikke i

virkeligheden, da investorer kun kan købe aktier i hele tal, til den kurs aktien har. Dette

betyder, at for at holde en velbalanceret portefølje, skal der investeres et forholdsvist højt

beløb, for at få den rette sammensætning af aktiver, og dermed holde den optimale

portefølje (Elton & Gruber, 1995). En løsning på dette problem kan være, at vælge at

investere i en investeringsfond, da selvstædige investorer med mindre investeringer har

begrænset mulighed for at diversificere den usystematiske risiko væk. (Wex, 2006)

3. Investorerne betaler ikke skat. Dette betyder, at investoren er indifferent overfor hvilken

form afkastet af investeringerne modtages i, fx dividende eller kapitalgevinst (Elton &

Gruber, 1995). Denne forudsætning er relevant for simplificeringen af CAPM, da, hvis

forudsætningen ophæves, vil de forskellige skattesatser på tværs af investorerne1 betyde, at

de forskellige investorsegmenter vil have forskellige efficiente rande efter der er fratrukket

skat. Et brud på denne forudsætning vil have den betydning, at de forskellige

investorsegmenter vil have forskellige forventede afkast for en given risiko, da

skattesatserne ikke er ens.

4. Der er fuldkommen konkurrence og alle investorer er pristagere. Dette betyder, at en

individuel investor ikke selvstændig kan påvirke ligevægtsmarkedspriserne, da disse

bestemmes af alle investorer under ét. Hvis vi forestiller os, at store investeringsselskaber

eller virksomheder mener, at de kan påvirke prisen, og dermed ikke er pristagere, vil de

vælge en porteføljesammensætning, der maksimerer deres forventede afkast, givet den

ligevægtspris, der er et resultat af den nye situation. En handlig der kan påvirke til en ny

situation, kan være opkøb af en virksomhed, da rygter om fusioner eller opkøb kan være

med til at hæve aktiekursen. Ved at antage, at de investorer der kan påvirke prisen, ønsker

at maksimere nytten, kan vi stadig ende i en ligevægtstilstand. Alle investorer vil stadig

holde en kombination af den risikofrie rente og markedsporteføljen, men de investorer, der

kan påvirke prisen, vil holde en mindre del af det risikofrie aktiv i forhold til hvis de ikke

kunne, eller var klar over at de kunne påvirke prisen. Da de investorer, der kan påvirke

prisen, stadig holder en kombination af markedsporteføljen og det risikofrie aktiv, gælder

1 her antages der at vi befinder og i Danmark, hvor skattesatserne er forskellige alt efter personers indkomst, om

man er privat person eller virksomhed

6

den simple form af CAPM stadig, dog er markedsprisen på risiko lavere, end hvis alle

investorer er pristagere (Elton & Gruber, 1995).

5. Investorer handler rationelt. Det vil sige, at investorer ønsker at maksimere det

forventede afkast for en given risiko (eller minimere risikoen for et givent afkast). En

investor forventes dermed at tage beslutninger udelukkende baseret på forventede værdier

og standard afvigelser for afkastet af porteføljen. Dette indebærer, at afkastet er

normalfordelt (Elton & Gruber, 1995). Et brud på denne forudsætning har den betydning,

at investorer vil handle irrationelt, og vælge porteføljer der ligger uden for SML, altså

aktiver som ikke er med til at give den optimale portefølje.

6. Ubegrænsede kortsalgsmuligheder. Investorerne kan sælge en hvilken som helst aktie,

også selvom de ikke ejer den, og benytte provenuet til at købe en hvilken som helst aktie.

Dette har i realiteten ingen betydning for CAPM modellen. I CAPM holder alle investorer

markedsporteføljen i ligevægt. I ligevægten sælger ingen investorer på kort sigt, og derfor

påvirkes ligevægten ikke. CAPM ville altså være den samme uanset om

kortsalgsmuligheder er tilladt eller forbudt (Elton & Gruber, 1995).

7. Ubegrænsede ind - og udlånsmuligheder til den risikofrie rente. Dette betyder, at en

investor kan låne eller give lån i de mængder han ønsker, til en rente svarende til den

risikofrie rente. I virkeligheden er det sjældent, at der ikke er begrænsninger på, hvor

meget man kan låne til den risikofrie rente. Ubegrænsede udlån er mere realistisk, da

investorer kan placere deres likvider i statsaktier, som har samme tidshorisont som deres

investeringshorisont, og derved være sikret et risikofrit afkast inden for tidshorisonten.

Hvis vi forstiller os, at ind- og udlånsrenten var forskellige, vil kapitalmarkedslinjen2

(CML) slå et knæk ved markedsporteføljen. De effeciente porteføljer vil derfor være

anderledes, men da markedsporteføljen stadig er den samme, ville det ikke ændre på om

denne er efficient eller ej(Christensen & Pedersen, 2009).

8. Investorer har homogene forventninger. Dette betyder, at alle investorer interesserer sig

for gennemsnittet og variansen af afkastet, og at alle investorer har samme forventede

værdier til dette. Dette kan også ses som, at investorerne har samme prisforventning over

en given periode.

Herudover forudsættes det, at alle investorer definerer den relevante periode ens (Elton &

Gruber, 1995). Hvis denne forudsætning ikke er opfyldt, betyder det, at investorerne vil

have forskellige efficiente rande, og markedsporteføljen derfor ikke længere nødvendigvis

er efficient (Elton & Gruber, 1995).

9. Investorer har samme forventninger til hvilke forhold, der påvirker porteføljevalget. Det

betyder, at investorerne har samme forventninger til, hvad der påvirker det forventede

2 Nærmere definition i afsnit 2.3.2

7

afkast, variansen af afkastet samt korrelationsmatricen, der repræsenterer

korrelationsstrukturen mellem alle kombinationer af aktier, og at de alle mener at dette er

det relevante mål til valg af porteføljen (Elton & Gruber, 1995)

10. Alle aktiver er omsættelige. Dette betyder, at alle aktiver kan blive solgt på markedet. I

modellen tages der dermed ikke højde for, hvilken type aktiver der handels med. Noget

kan tyde på, at denne forudsætning ikke holder i virkeligheden. Fx har flere investorer et

krav på sandsynlighedsfordelinger af en fremtidig indkomst, der ikke er omsættelige, det

vil sige at de ikke kan sælge disse krav på markedet. Et eksempel på dette er

arbejdsindkomst. Selvom lønnen på lønsedlen er et aktiv, er den fremtidig og kan ikke

omsættes med det samme (Jensen, 1972).

2.2 Usystematisk vs. systematisk risiko

Risikoen ved at holde en aktie over en given periode, er den risiko der opstår ved

svingninger i et aktivs pris, og dermed en risiko for at tabe penge. Risiko opdeles i to

kategorier; usystematisk og systematisk risiko. (Markowitz, (1959)) interesserede sig for

den usystematiske risiko, , og mente, at aktiver skulle prisfastsættes på baggrund af

denne. Den usystematiske risiko er den risiko, der er relateret til den enkelte aktie. Dette

kan fx være et enkelt firmas med- eller modgang i salg. Den usystematiske risiko er

uafhængig og urelateret mellem aktier. Denne kaldes også den usystematiske risiko for

den diversifible risiko, da denne kan diversificeres væk med en afbalanceret portefølje.

Ideen bag dette er, at hvad der er gode nyheder for nogle virksomheder, er dårlige nyheder

for andre. Dette udnyttede (Sharpe, 1964) og (Lintner, 1965). De argumenterede for, at

aktivers prisfastsættelse kun skulle afhænge af den systematiske risiko . Den

systematiske risiko er den risiko, der er relateret til hele markedet, og kan være alt fra

naturkatastrofer til nationaløkonomiske stød. Disse begivenheder påvirker aktierne

simultant, og kaldes også den indiversificible risiko. Det er altså ikke en risiko der kan

diversificeret bort, ved at holde en afbalanceret portefølje. Markedsporteføljen har, per

definition, en systematisk risiko lig 1 (Berk & DeMarzo, 2007).

2.3 Teoretisk grundlag for CAPM

I den nærværende sektion vil det teoretiske grundlag for CAPM blive præsenteret. I afsnit

2.3.1 vil (Markowitz, (1959)) tankegang bag den efficiente rand blive præsenteret.

Hernæst vil den risikofrie rente blive introduceret, og kapitalmarkedslinjen (CML) vil

blive beskrevet i afsnit 2.3.2. I afsnit 2.3.3 vil der blive vist, hvordan man vælger en

portefølje med den mindste varians for et givent forventet afkast. Til slut vil der i afsnit

8

2.3.4 blive vist, hvordan man kommer fra CML til Security Marked linjen (SML),

hvorved vi kommer frem til den formel vi kalder CAPM.

2.3.1 Markowitz efficiente linje

I følgende delafsnit vil vi CAPM blive udledt ved at tage udgangspunkt i Markowitz

efficiente rand. Markowitz formulerede den efficiente rand, der er sammensætningen af

alle de porteføljer, der vil give det højeste afkast for et givent niveau af risiko. Markowitz

forudsatte ikke, at investor kunne placere sine penge til en risikofri rente. Figur 2.1 vil

blive brugt til at beskrive Markowitz problem. X’erne i figuren viser forskellige

porteføljer. Under forudsætning af, at investorer optimalt vil holde en mean-variance

portefølje, og dermed holde en portefølje der giver det højeste forventede afkast for en

given risiko, eller mindste varians givet et forventet afkast, vil porteføljerne på linjen ABC

dominere de porteføljer, der ikke ligger på linjen ABC, da disse har en lavere varians for et

givent afkast. Porteføljer på linjen ABC er derfor minimum varians porteføljer.

Linjestykket AB dominerer linjestykket BC, da porteføljer på dette linjestykke har et

højere forventet afkast til et givent niveau af risiko end porteføljer på linjestykket BC.

Linjestykket AB kaldes den efficiente rand (Cuthbertson & Nitzsche, 2007). Punktet B i

figur 2.1 er den globale minimum-variansportefølje. Minimumvariansporteføljer, der har et

forventet afkast der er større eller lig med den globale minimumsportefølje, er efficiente

porteføljer (Campbell et al., 1997).

En måde at teste validiteten af CAPM på, er, at teste om markedsporteføljen af de

risikofrie aktiver er mean-varians efficient. Vi vil i dette afsnit se på det matematiske

grundlag bag mean-variance efficiens. Vi starter med notationer, hvorefter vi definerer et

optimeringsproblem, hvorved vi kommer frem til, hvordan det er muligt at finde de

efficiente porteføljer for et givent afkastniveau.

Figur 2.1 Efficiente og inefficiente porteføljer

Kilde: Egen tilskrivning fra (Cuthbertson & Nitzsche, 2007)

9

Vi har N risikofyldte aktiver med en (Nx1) gennemsnitsvektor , og en (NxN) covarians

matrix, . Gennemsnitsvektoren, , er gennemsnittet af hver variabel, og covarians

matrixen består af elementer, der er covariansen mellem aktiv i og aktiv j. Elementerne i

diagonalen af covarians matricen er variansen af kolonnerne. Da covariansen af kolonne i,

j er det samme som covariansen af kolonne j, i, er covarians matrixen symmetrisk. En

tilfældig portefølje a, der er en vektor af vægte, w, har en varians

, og et

gennemsnitlig afkast . Covariansen mellem to porteføljer, a og b, er

.

Da Markowitz ikke forudsatte en risikofri rente, er summen af vægtene lig 1.

For at finde minimum-variansporteføljen, fastsættes et givent afkast, og

porteføljerisikoen minimeres, da investorer ønsker at minimere risikoen for et givent

afkast. Dette er et begrænset optimeringsproblem, der skrives som følgende:

(2.1) 3

s.t.

(2.2) 4

(2.3) 5

Hvor w er en (Nx1) vektor af porteføljevægte, og er en (Nx1) enhedsvektor.

Optimeringsproblemet løses ved først at hjælp af Lagrangian funktion,

(2.4)

Dernæst differentieres med hensyn til w og sættes lig 0.

(2.5)

3 Variansen af afkastet =

4 Det forventede afkast af en portefølje =

5 Summen af porteføljevægtene begrænses til

10

Da er en varians-covarians matrix, og denne er symmetrisk, gælder det at

. Hvis (2.5) kombineres med (2.2) og (2.3) fås6

(2.6)

Hvor både g og h er (N x 1) vektorer defineret ved

(2.7)

(2.8)

Hvor A, B og C er defineret ved:

(2.9)7

(2.10)

(2.11)

Ved hjælp af (2.6) kan man finde de efficiente porteføljer ved et givent afkastniveau. De

porteføljer der opfylder (2.6), er porteføljer, der ligger på den efficiente rand. Den

efficiente rand viser alle kombinationerne af og , som minimerer portefølje risikoen

, for et givet niveau af forventet afkast ( ) (Huang & Litzenberger, 1993) (Campbell

et al., 1997).

(Markowitz, (1959)) teori om den efficiente rand gav investorer et teoretisk værktøj til at

udregne, hvor meget risiko de måtte påtage sig, for at opnå det afkast de ønskede.

Markowitz model blev derfor fundamentet for flere senere teoretikere

prisfastsættelsesmodeller. (Sharpe, 1964) og (Lintner, 1965) var nogen af dem. De

udvidede Markowitz teori om den efficiente rand, ved at tilføje en forudsætning om, at

investorer kan låne og udlåne til en risikofri rente.

2.3.2 Introduktion af risikofrie rente

Ved at forudsætte, at der eksisterer et risikofrit aktiv, har investorerne mulighed for ind- og

udlån til en risikofri rente, . Dette betyder, at investoren kan vælge 1. at investere hele

sin formue i risikofyldte aktiver, og dermed ikke benytte sig af ind- eller udlån, 2. at

investere mindre end den totale formue i risikofyldte aktiver, og udlåne resten til den

risikofrie rente, eller 3. at investere mere end den totale formue i risikofyldte aktiver, ved

at låne de yderligere midler til den risikofrie rente. Når vi har et risikofrit aktiv, er

porteføljevægtene ikke længere begrænset til at summere til 1, da (1-w’ ι) kan investeres i

6 Se appendiks A.1 for yderligere beregninger 7 Disse regneregler gælder, da A er skalær og er symmetrisk

11

det risikofrie aktiv. er uændret over hele perioden, hvilket også betyder at dennes

varians og covarians er 0. Forholdet mellem det forventede afkast og risikoen af en

portefølje, der indeholder et risikofrit aktiv og en portefølje af risikofyldte aktiver, kaldes

transformationslinjen. Transformationslinjen holder for enhver porteføljer, der består af

disse to aktiver, og det kan vises, at forholdet mellem det forventede afkast og risikoen i

lineært. Ligning (2.12) viser ligningen for transformationslinjen

, (2.12)

hvor er det forventede afkast for portefølje N. N består af q risikofyldte aktiver der er

vægtet i forholdet wi (i = 1,2,…, q), og samlet danner den risikofyldte portefølje, R, og

samt det risikofrie aktiv. er den risikofrie rente, er det forventede afkast af den

risikofyldte andel af portefølje N. og angiver standardafvigelse af henholdsvis

porteføljen af risikofyldte aktiver, R, og porteføljen N. Når w’ι = 1 investeres hele formuen

i det risikofrie aktiv, og = . Når w’ι = 0 investeres hele formuen i den risikofyldte

portefølje, og = . Hvis w’ι < 0 låner investoren penge til den risikofrie rente, , og

investerer disse i den risikofyldte portefølje.

(2.12) kan omskrives til

(2.13)

Her gælder det at δ0 = og δ1 =

. Heraf har vi, at for enhver portefølje bestående

af to aktiver, en risikofyldt aktiv og et risikofrit aktiv, er der et lineært forholdt mellem det

forventede afkast og standardafvigelsen af porteføljen. Skæringspunktet med y-aksen er δ0

og hældningen er δ1.

Mulighedsmatricen for en portefølje, der består af to aktiver, et risikofrit aktiv og

risikofyldte aktiver, er en lige linje med en positiv hældning. Hældningen,

, er

positiv, da altid er positiv. Dette skyldes at, hvis er negativ, er

præmien for at påtage sig risiko negativ, og en rationel investor ville dermed ikke påtage

sig risiko.

Punkt X i figur 2.2 viser en situation hvor w’ι = 0, og hele formuen investeres i risikofyldte

aktiver. Punktet r er når hele formuen investeres i det risikofrie aktiv. Alle punkter på

linjen derimellem er kombinationer af formuen investeret i henholdsvis det risikofrie aktiv

og i den risikofyldte portefølje. Ved punkter der ligger til højre for punktet X på

transformationslinjen, holder investoren en gearet portefølje, dvs. Han benytter hele sin

formue, og låner midler til den risikofrie rente, , til at investere i den risikofyldte

portefølje.

12

Ved hvert punkt på transformationslinjen, holder investoren de samme forholdsmæssige

vægte, wi, af de risikofyldte aktiver. Den eneste mængde der varierer langs

transformationslinjen, er andelen der holdes af de risikofyldte aktiver, i forhold til andelen

der holdes af det risikofrie aktiv. En investor kan låne- og udlåne hvilket som helst sted

langs transformationslinjen, rZ. Hvor på linjen rZ investoren ender, afhænger af hans

præferencer for risiko versus afkast. Hældningen på linjen rZ kaldes Sharpe ratio. Den

portefølje, der maksimerer Sharpe ratio, af alle porteføljer af risikofyldte aktiver, kaldes

tangentporteføljen, da denne er tangent til den efficiente rand (punktet M i figur 2.3)

(Cuthbertson & Nitzsche, 2007). Hvis Sharpe ratio af en given portefølje er maksimum af

alle porteføljer, er den givne portefølje en mean-variance portefølje (Campbell et al., 1997)

Figur 2.2: transformationslinjen

kilde: Egen tilskrivning fra (Cuthbertson & Nitzsche, 2007)

Figur 2.3: valg af porteføljer

kilde: Egen tilskrivning fra (Cuthbertson & Nitzsche, 2007)

13

Hvor på rZ’ en individuel investor ligger, afhænger af hans præferencer for risiko versus

afkast. En investor med lille, eller ingen risikoaversion, vil fx ende i punktet K, hvor han

låner midler til den risikofrie rente, , og investerer hele formuen i aktier i forholdet, wi,

der er repræsenteret i tangentporteføljen, M. En investor der er relativt risikoavers, vil

anbringe en andel af sin formue i det risikofrie aktiv og resten i markedsporteføljen, og fx

ligge i punktet A i figur 2.3. Alle investorerne har til fælles, at den optimale portefølje af

risikofyldte aktiver ligger på CML. IA og IB i figur 2.3 viser indifferentkurverne for en

investor, der har en henholdsvis risikoavers og risikovillig adfærd (Cuthbertson &

Nitzsche, 2007). Indifferenskurverne8

har en positiv hældning, da det kun er det forventede

afkast der giver nytte, mens risikoen giver en disnytte. Det er et krav til den optimale

portefølje, at indifferenskurven tangerer CML, og dermed har indifferenskurven og CML

samme hældning. (Christensen & Pedersen, 2009). Da hældningen på indifferenskurven er

lig hældningen på CML for en optimal portefølje, gælder at

Hældningen på CML refereres ofte til som markedsprisen på risiko, og hældningen på

indifferentkurven som marginal rate of substitution (MRS). Markedsprisen på risiko er det

ekstraafkast, der gives ved at investere i markedsporteføljen, frem for det risikofrie aktiv

(Cuthbertson & Nitzsche, 2007).

På grund af forudsætningen om at investorer handler rationelt, vil en enhver investor,

selvom denne kan opnå ethvert punkt på linjen rZ, foretrække at ligge på linjen rZ’ i figur

2.3. Dette skyldes, at investoren på denne linje har et højere forventet afkast til et givent

niveau af risiko. rZ’ kaldes også kapitalmarkedslinjen (CML), og er den

transformationslinje, der er tangent til den efficiente rand. Ved introduktionen af et

risikofrit aktiv, ligger alle efficiente porteføljer på CML. Da tangentporteføljen, M, er

tangent til den efficiente rand, vil de forholdsmæssige vægte, wi, af risikofyldte aktiver der

holdes i denne portefølje være optimal. En investors præferencer overfor risiko, bestemmer

hvor på CML den enkelte investor ligger, men de forholdsmæssige vægte, wi, i punktet M,

er de samme for alle investorerne, ligegyldig hvor på CML denne ligger.

Tangentporteføljen kaldes deraf markedsporteføljen. Da CML er tangent til

markedsporteføljen, M, er formen for denne givet ved (Cuthbertson & Nitzsche, 2007)

(2.14)

8 Fortolkningen af en indifferenskurve er, at en investor er indifferent mellem punkterne på kurven

14

Ifølge (Tobin, 1958) kan den optimale portefølje for et givent niveau af risiko findes ved at

dele problemet i 2 faktorer, hvilket også kendes som separationsprincippet. Første del af

separationsprincippet går ud på at beregne de kombinationer af aktier, der er repræsenteret

ved den efficiente rand. Herefter bestemmes tangentporteføljen, M, der er en lige linje fra

punktet til den efficiente rand. Første del af separationsprincippet tager ikke hensyn til

den individuelle investors præferencer. Alle investorer vil holde de risikofyldte aktiver i

samme andel som deres relative markedsværdi, dvs. alle investorer vil holde

markedsporteføljen, M. I den anden del af separationsprincippet, bestemmer investoren,

hvordan han ønsker at kombinere markedsporteføljen af risikofyldte aktiver med det

risikofrie aktiv. Dette afhænger af den enkelte investors præferencer for risiko versus

afkast. (Cuthbertson & Nitzsche, 2007).

2.3.3 Porteføljevalg

I dette afsnit ønsker vi at vise, hvordan man vælger den portefølje, der har den mindste

varians for et givent afkast. Denne portefølje vil, ifølge tidligere afsnit, ligge på CML.

Med forudsætningen om den risikofrie rente, står vi med samme problem som med

Markowitz efficiente linje. Vi har et mean-variance porteføljevalgsproblem. Vi ønsker at

finde porteføljen med den mindst mulige varians til et givent niveau af forventet

afkast ( ). Vi tager udgangspunkt i w, som er en (N x 1) vektor af porteføljevægte og

som er en (N x 1) enhedsvektor. Dette optimeringsproblem løses ved at minimere

variansen for et givent forventet afkast

(2.15)

s.t.

(2.16)

Dette optimeringsproblem løses ligeledes ved hjælp af Lagrangian funktionen

(2.17)

(2.17) differentieres med hensyn til og w, og sættes lig 0

(2.18)

(2.19)

For at lette de senere beregninger, omskrives (2.19) til

15

(2.20)

Og (2.18) omskrives til

(2.21)

(2.22)

Af (2.20) har vi, at hvilket benyttes, og (2.22) omskrives til

(2.23)

(2.23) omskrives så vi får et udtryk for Lagrange multiplikatoren,

(2.24)

Dette udtryk for Lagrange multiplikatoren sættes nu ind i (2.21) og vi får dermed

(2.25)

Næste skridt er at finde et udtryk for

. Vi ved, at variansen af afkastet på et givet

tidspunkt er lig med covariansmatricen . Summen af afkastene i et givet

tidspunkt, t, kan skrives som og . Covariansen kan

beskrives ved . Dette kan skrives som

. Dernæst defineres -vektoren, der er risikoen, givet

forudsætningen om at afkastet kun afhænger af den systematiske risiko, som

(2.26)

Ved at indsætte (2.26) i (2.25) får vi

(2.27)

Denne ligning ligner til forveksling SML, som vi vil komme ind på i afsnit 2.3.4.

Forskellen er, at (2.27) ikke specifikt indeholder markedsporteføljen.

Hvad vi ønsker at vise er, hvordan man finder de optimale porteføljevægte, og derfor

omskrives (2.18) yderligere til

(2.28)

16

Herefter ganger vi på (2.28) og får

(2.29)

Herefter benyttes regneregler for skalære, og (2.29) kombineres med (2.20)

(2.30)

(2.30) kombineres igen med (2.29) og vi får

(2.31)

Herefter omskrives (2.31) så vi får et udtryk for , men hvor forskellen fra (2,24) er, at

(2..32) ikke er udtrykt ved varianser

(2.32)

Ved at indsætte (2.32) i (2.28), får vi den optimale porteføljevægt, hvilket vi betegner

(2.33)

Ved at definere

, kan (2.33) omskrives til

(2.34)

Hermed er den optimale porteføljevægt et produkt af en konstant der afhænger af , og

en Nx1 vektor der er uafhængig af . Hvis vi har en portefølje, q, der kun består af

risikofyldte aktiver, dvs. , kan det vises, at

(2.35)

kaldes også tangentporteføljen, hvilket kan vises at være det samme som

markedsporteføljen. Nærmere udledninger af dette, vil vi ikke komme ind på i denne

opgave (Skovmand, 2009).

17

2.3.4 Security Market Line (SML)

I dette afsnit vil vi vise, hvordan man kommer fra CML, til den ligning vi i dag kender

som CAPM. Dette vil vi gøre, ved at vise, hvordan vi kan finde et optimalt punkt på CML,

hvor der er ligevægt på markedet. Hvis forudsætning 8 og 99 er opfyldt, betyder det, at

investorerne vil holde den samme sammensætning af risikofyldte aktiver, hvilket kaldes

for markedsporteføljen, M. Markedsporteføljen kan, som tidligere nævnt, beskrives som

den optimale tangeringsportefølje, eller det punkt, hvor hældningen på den efficiente linje

er størst. Tilsvarende punkt kan findes på CML, da CML tangerer den efficiente linje i M.

I dette punkt er markedsprisen på risiko ( ) højest (Cuthbertson & Nitzsche, 2007).

Hældningen på kapitalmarkedslinjen, og dermed også hældningen på indifferentkurven, er

jf. afsnit 2.3.2 givet ved

(2.36)

Hældningen kan også skrives som markedsprisen på risiko ( ) som er givet ved

(2.37)

Forskellen på 2.36 og 2.37 er, at er målt med hensyn til variansen af en portefølje i

stedet for standartafvigelsen, men da og konceptuelt er det samme, gælder det at

Vi ønsker at maksimere markedsprisen på risiko, da det er ekstraafkastet ved at investere i

markedsporteføljen frem for det risikofrie aktiv.

(2.38)

s.t

(2.39)

(2.40)

(2.41)

Ifølge (2.39), skal hele investorens formue investeres i markedsporteføljen, M. Af (2.40)

fremgår det, at det forventede afkast af markedsporteføljen er lig investorenes forventede

9 Se afsnit 2.1 for uddybning af forudsætninger

18

afkast, og (2.41) beskriver, hvordan standard afvigelsen af afkastet på markedsporteføljen

afhænger af de enkelte aktivers afkast, samt covariansen mellem disse.

De tre begrænsninger indsættes i (2.38), og deraf får vi

(2.42)

Ved at differentiere (2.42) med hensyn til alle porteføljevægtene, xi, og sætte lig 0, får vi

for det k’te aktiv

(2.43)

Ved at gange igennem med og isolere , kan (2.43) omskrives til

(2.44)

Herefter indsættes fra (2.37) i (2.44) og vi får

(2.45)

For alle givne aktiver, i, gælder det derfor

=

(2.46)

Hvor

for det enkelte aktiv er givet ved βi (Christensen & Pedersen, 2009). Denne

ligning kaldes Security Market linjen (SML), og viser grafisk CAPM. Hvis CAPM holder,

ligger alle aktiver eller porteføljer på SML. CAPM giver os mulighed for at prisfastsætte

alle porteføljer og aktiver i økonomien, både efficiente og inefficiente. Det forventede

afkast for et aktiv i, er lig den risikofrie rente plus mængden af systematisk risiko ganget

med markedsprisen på risiko. Hvis en investor investerer hele sin formue i det risikofrie

19

aktiv, , er det forventede afkast lig afkastet for det risikofrie aktiv, da den systematiske

risiko, i, er lig 0. Den præmie der gives for at en investor ligger sine penge i det risikofrie

aktiv, kan også beskrives som prisen for den tid, dvs. det afkast der kræves, for at udskyde

et potentielt køb en periode. Da både og er uafhængige af de enkelte aktiver, kan

forholdet mellem det forventede afkast af to aktiver sammenlignes ved at sammenligne

aktivernes betaværdier. Jo højere systematisk risiko, jo højere er det forventede

ligevægtsafkast. Ifølge CAPM er den systematiske risiko, den eneste variable faktor der

påvirker det forventede afkast af en portefølje eller et aktiv. Den usystematisk risiko har

ifølge CAPM, ingen betydning for prisfastsættelsen af porteføljer og aktiver, og en

investor belønnes kun for den del af variansen af det forventede afkast, der ikke kan

diversificeres væk (Elton & Gruber, 1995). Markedsporteføljen har per definition en = 1,

og de øvrige porteføljer måles derfor i forhold til denne betaværdi. Hvis en portefølje har

en < 1, har denne portefølje en systematisk risiko der er mindre end markedsporteføljens,

og en forventet afkast der er mindre end markedsporteføljens. Ligeledes gælder det, at en

portefølje der har en systematisk risiko > 1, har en systematisk risiko der er større end

markedsporteføljens, og et forventet afkast der er højere end markedsporteføljens

(Christensen & Pedersen, 2009). Dette illustreres i figur 2.4.

I figur 2.4 ses det, at en højere systematisk risiko belønnes ifølge SML og dermed CAPM

med et højere forventet afkast. En risikoavers investor, der påtager sig en lavere risiko end

markedsporteføljen, har ligeledes et forventet afkast, der er mindre end

markedsporteføljen.

Figur 2.4: Security market line, SML

20

Figur 2.5: Security market line, SML

kilde: Egen tilskrivning fra (Cuthbertson & Nitzsche, 2007)

2.3.5 Fortolkning af

I dette afsnit vil vi præsentere , og beskrive, hvilken betydning udsving i har for

CAPM modellen. Vi ønsker at understøtte forklaringen af , ved hjælp af grafisk

fremstilling.

Forskellen mellem en akties forventede afkast og det krævede afkast, givet CAPM, kaldes

, og er givet ved

Udover at CAPM kan bruges til at prisfastsætte aktiver, kan modellen også benyttes til at

udvælge under- og overvurderede aktier. En investor der holder markedsporteføljen, og

ønsker at forbedre sin portefølje, vil sammenligne de enkelte aktivers forventede afkast

med det krævede afkast givet CAPM. Dette illustreres i figur 2.5. , er forskellen mellem

et aktivs forventede afkast og det krævede afkast i henhold til SML (Berk & DeMarzo,

2007).

Når = 0, ligger aktiverne på SML, og markedsporteføljen er efficient. Hvis > 0

(punktet Q i figur 2.5), har aktien et højere gennemsnitligt afkast, end der forudsiges af

SML, og investorerne vil optimalt købe denne aktie. Hvis < 0 (punkterne S og T i figur

2.5), har aktien et lavere gennemsnitligt afkast, end der indikeres af SML, og investorerne

ønsker optimalt at sælge denne aktie. Da aktier som Q og S ikke ligger på SML, er de

aktuelt forkert prissat, og investorer ønsker derfor optimal at sælge S på kort sigt, og bruge

21

midlerne herfra til at købe Q, da disse to aktiver har samme -værdi. På grund af det

unormale høje afkast af Q, vil alle investorer købe denne aktie. Den høje efterspørgsel vil

få prisen på Q til at stige, og det forventede afkast vil tilpasse sig, indtil Q ligger på SML.

Ligeledes gælder det for S, at alle investorer ønsker at sælge S på kort sigt, og prisen

falder, indtil det forventede afkast stemmer overens med markedsligevægten (Cuthbertson

& Nitzsche, 2007). Når markedsporteføljen er efficient, ligger alle aktier på SML, og har

dermed en = 0. Hvis 0, kan investorer forbedre markedsporteføljens performance

ved at købe aktier med en > 0, eller sælger aktier med en < 0. (Berk & DeMarzo,

2007). Hvis CAPM holder, ligger alle aktiver altså på SML, og = 0.

2.4 Delkonklusion

I dette afsnit et det teoretiske grundlag for CAPM er blevet beskrevet. På baggrund af

forudsætningerne for CAPM, har vi gennem en række udledninger vist hvordan man

kommer fra Markowitz efficiente linje, der er sammensætningen af alle de porteføljer der

vil give det højest forventede afkast for et givent niveau af risiko, til hvad vi i dag kender

som CAPM. Vi fandt, at CAPM beskriver det forventede aktieafkast ud fra den risikofrie

rente, aktivets systematiske risiko samt afkastet på markedsporteføljen. Derudover blev

der vist, hvordan CAPM kan benyttes til at udvælge henholdsvis over- og undervurderede

aktier, samt at hvis CAPM holder, ligger alle aktier på SML og = 0.

22

Kapitel 3

Metode

I dette kapitel vil metoden til den empiriske undersøgelse blive beskrevet. I afsnit 3.1

beskrives de finansielle data, der senere benyttes til den empiriske test, og valget af disse

forklares og begrundes. I afsnit 3.2. beskrives de forskellige statistiske metoder, der

anvendes til den empiriske undersøgelse, og hvordan disse implementeres.

3.1 Dataudvælgelse

Da formålet med denne opgave er, at undersøge, hvor god CAPM er til at bestemme

aktieafkastet på det danske aktiemarked, har vi valgt at benytte data fra det danske

aktiemarked. Dataene er indsamlet fra Datastream. De aktier der indgår i den empiriske

undersøgelse, er de aktier, der er tilgængelige på det danske aktiemarked i en 180

måneders periode10

fra marts 1996 til februar 2011, det vil sige aktier der er noteret på

OMXC i hele perioden11

. Ud fra disse aktier har vi valgt at lave en underopdeling på de 10

største samt de 10 mindste aktier på det danske aktiemarked inddelt efter gennemsnitlig

markedsværdi12

. Underopdelingen består af tre perioder, hvor den første underperiode er

fra marts 1996 til februar 2001, den anden underperiode er fra marts 2001 til februar 2006

og den tredje og sidste underperiode er fra marts 2006 til februar 2011. Begrundelsen for

at vi har valgt netop de 10 største og de 10 mindste aktier på markedet er, at der er studier

der har vist, at størrelsen på de involverede virksomheder har indflydelse på forudsigelsen

af aktieafkastet (Banz, 1981). Derfor finder vi det interessant at undersøge, om størrelsen

på virksomheden har en betydning for forudsigelsen af aktieafkastet på det danske

aktiemarked ved benyttelse af CAPM. Grunden til at vi har valgt at benytte aktier, og ikke

hele porteføljer er, at det ikke var muligt at sammensætte porteføljer, der blev baseret på

markedsværdien for hver enkelt tidsperiode. Eventuelle problemer dette kan medføre, vil

blive diskuteret i afsnit 5.1. Estimater for det forventede afkast baseret på CAPM, baseres

på risikopræmien af markedsporteføljen, og aktivets sensitivitet til markedsporteføljen, .

Markedsporteføljen består, per definition, af alle aktiver i verden, dvs. aktier, obligationer,

ejendomme mv., og er derfor ikke mulig at observere. Da det ikke er muligt at observere

markedsporteføljen, benytter vi i stedet en proxy for denne. Når der i stedet for den sande

10 75 tilgængelige aktier. 11 Hele perioden er fra marts 1996 til februar 2011, hvilket dette udtryk vil refererer til i resten af opgaven. 12 Kapitalmarkedsværdien er defineret ved aktieprisen ganget med antallet af udestående aktier. Mængden af

udestående aktier opdateres når nye trancher af aktier udstedes, eller efter kapitalændringer (Datastream).

23

markedsportefølje anvendes en proxy, kan det medføre flere problemer (Roll, 1977),

hvilke vil blive diskuteret i afsnit 5.1. Som proxy for markedsporteføljen har vi til den

empiriske undersøgelse valgt at benytte OMXC. Alternativt kunne vi have valgt det

amerikanske S&P eller det danske OMXC20. Da de danske aktier ikke indgår i det

amerikanske S&P indeks, er denne proxy fravalgt, da aktiernes værdi, ifølge teorien,

indgår i markedsporteføljen. OMXC20 består kun af de 20 mest omsatte aktier listet på

NASDAQ Copenhagen (nasdaqomxnordic, ), hvorimod OMXC indeholder samtlige

noterede aktier på fondsbørsen. Derfor anses OMXC som den bedste proxy for

markedsporteføljen.

Figur 3.1: Kursudviklingen for OMXC markedsindekset marts 1996 til februar 2011.

Kilde: Egen tilskrivning fra data fra Datastream

Til vurdering af valg af markedsproxy ser vi på kursudviklingen i OMXC.

Kursudviklingen for OMXC markedsindekset for perioden marts 1996 til februar 2011 ses

i figur 3.1. Af figuren fremgår det, at perioden overordnet er kendetegnet ved vækst,

afbrudt af større eller mindre kursstigninger. Hvis perioden ikke indeholdte både stigninger

og fald, kunne det medføre en overestimering af afkastet i forhold til den systematiske

risiko, da kun de positive aspekter af den systematiske risiko ville være inkluderet.

I den empiriske undersøgelse ønskede vi at have så præcise -estimater som muligt, og har

derfor brugt så mange observationer som muligt. Da det danske aktiemarked er relativt

0

100

200

300

400

500

600

01-0

3-1

996

01-0

2-1

997

01-0

1-1

998

01-1

2-1

998

01-1

1-1

999

01-1

0-2

000

01-0

9-2

001

01-0

8-2

002

01-0

7-2

003

01-0

6-2

004

01-0

5-2

005

01-0

4-2

006

01-0

3-2

007

01-0

2-2

008

01-0

1-2

009

01-1

2-2

009

01-1

1-2

010

OMXC

24

beskeden af størrelse, og omsætningshastigheden13

på markedet derfor er relativ lav, har vi

valgt at anvende månedlige observationer. Dette begrundes med, at vi ønsker at undgå

nogle af de problemer, der kan forekomme pga. den lave omsætningshastighed på det

danske aktiemarked. Hvis vi valgte at anse aktier som en mere langsigtet investering,

kunne vi med fordel have valgt et aktieafkast for længere perioder, men vores ønske om så

præcise -estimater som muligt medførte et valg af månedlig data.

Da vi har valgt at bruge månedlige data for aktieafkast, har vi også valgt at bruge

månedlige data for den risikofrie rente. Da CAPM antager, at investorer ønsker at

maksimere deres afkast i forhold til hver periode (måned), synes ændringer i den risikofrie

rente for hver periode relevant. Til estimering af den risikofrie rente har vi valgt at

anvende CIBOR renten (Copenhagen Interbank Offered Rate) med en månedlig løbetid,

der er en rentesats, hvortil et pengeinstitut er villigt til at udlåne danske kroner til en

primebank14

på usikret basis (finansrådet, 2010). Alternativt kunne vi have valgt at

benytte den månedlige rente for et dansk skattekammerbevis. Vi har fravalgt

skattekammerbeviset, da det ikke ville være muligt at benytte et enkelt aktiv over

tidshorisonten grundet den korte løbetid for denne, og det dermed kan skabe problemer

med at lave en kontinuerlig serie (Danmarks Nationalbank, 2008).

Figur 3.2: Udviklingen for den månedlige risikofrie rente (CIBOR) med én måneds løbetid i perioden marts

1996 til februar 2011.

Kilde: Egen tilskrivning fra data fra Datastream

13 Ved omsætningshastighed forstås et nøgletal som viser, hvor mange gange afdelingens beholdning af aktier

eller obligationer er omsat ved porteføljepleje i løbet af året (InvesteringsForeningsRådet, 2007)

14 En primebank er en bank, der under de til enhver tid givne markedsforhold, er blandt de mest kreditværdige

banker.

0

1

2

3

4

5

6

7

01-0

3-1

996

01-0

1-1

997

01-1

1-1

997

01-0

9-1

998

01-0

7-1

999

01-0

5-2

000

01-0

3-2

001

01-0

1-2

002

01-1

1-2

002

01-0

9-2

003

01-0

7-2

004

01-0

5-2

005

01-0

3-2

006

01-0

1-2

007

01-1

1-2

007

01-0

9-2

008

01-0

7-2

009

01-0

5-2

010

01-0

3-2

011

CIBOR

25

Udviklingen CIBOR ses i figur 3.2, og ud fra figuren ses det, at der har været forholdsvise

store variationer i den månedlige risikofrie rente. Hvis vi i stedet for månedlige data for

den risikofrie rente havde valgt at benytte os af én enkelt observation for hele perioden,

ville dette ikke stemme overens med antagelsen om at investorer ønsker at maksimere

deres afkast i forhold til hver periode.

3.2 Metode udvælgelse og implementering

I dette afsnit vil de forskellige teststatistikker, der anvendes til at teste CAPM, blive

beskrevet. Vi tester på den lineære sammenhæng som CAPM forudser. Vi udfører fem

forskellige test. Testene er inspireret af (Campbell et al., 1997), og vil derfor blive kaldt

det samme. Vi udfører J0,J1,J2 og J3. Ydermere vil vi udføre en tværsnitregression inspireret

af (Fama & MacBeth, 1973).

For at gøre udregningerne i de følgende afsnit mere simple, omskrives vores CAPM til en

funktion af , som defineres som en (N*1) vektor for merafkastet. Det vil sige

(3.1)

Ved omskrivningen af CAPM fremgår det, at merafkastet i forhold den risikofrie rente skal

være lig med den systematiske risiko, , ganget med merafkastet af markedsporteføljen,

, i forhold til den risikofrie rente, . Ved test om CAPM holder, må det derfor gælde,

at merafkastet kun skal afhænge af og . Den oprindelige CAPM er en model for en enkelt periode, og har derfor ikke en

tidsdimension. For at kunne teste modellen, og estimere denne over tid, er det nødvendigt

at tilføje antagelser omkring tidsserier. Derfor antager vi, at afkastene er uafhængige og

identisk fordelt (IID) over tid, samt at de samlet er multivariat normalfordelte.

For at teste CAPM benytter vi implikationen om at skæringen i en simpel

regressionsligning er lig 0

(3.2)

Hvis (3.2) sammenholdes med CAPM i (3.1), fremgår det, at hvis CAPM holder, gælder

det at i = 0 i. Derfor formuleres en test for nul-hypotesen: . Da vi ønsker

at teste CAPM for hele markedet, ønsker vi at teste om alle i = 0 på samme tid, dvs. vi

26

ønsker at teste

for den fælles hypotese 15. (3.2) omformuleres derfor,

så vi får

, (3.3)

(3.4)

(3.5)

(3.6)

(3.7)

(3.8)

Vi antager, at den forventede værdi af fejlledet er nul (3.4), og da der antages IID i

tidsdimensionen af fejleddene, men ikke på tværs af de forskellige aktiver, har vi en

covariansmatrix, . (3.6) betyder, at den forventede merafkastsværdi af

markedsporteføljen i et givet tidspunkt t, skal være lig den forventede værdi for

markedsporteføljen. (3.7) giver os, at den forventede værdi af afvigelserne af

markedsporteføljen fra middelværdien, skal være det samme som selve variansen af

markedsporteføljen. I (3.8) har vi, at covariansen mellem markedsporteføljen og fejlleddet

skal være 0. I (3.3) er en (Nx1) vektor af merafkastet for N aktiver, er en (Nx1)

vektor af aktivafkastets skæring med y-aksen, er en (Nx1) vektor af betaer, og angiver

den rette linjes hældningskoefficient, er markedsporteføljens merafkast i tidspunkt t,

og er en (Nx1) vektor af aktieafkastets fejlled. Hvis , er m tangentporteføljen.

Hvor µ før var defineret som det forventede afkast, defineres den videre som det

forventede merafkast (Campbell et al., 1997).

3.2.1 Estimation af og for den ubegrænsede model

Første skridt i den empiriske undersøgelse er, at finde nogle passende estimater for vores

variable. Vi bruger de samme estimater til J0 og J1, og i dette afsnit vil metoden til

udregning af disse estimater blive beskrevet. Til testene J2 og J3 laves modifikationer og

nye estimater udregnes, hvilket vi viser i afsnit 3.2.4. Estimaterne til J0 og J1 findes for den

ubegrænsede model, ved hjælp af maksimum likelihood. Denne metode benyttes, da

15 I resten af opgaven benyttes notationen = 0 i stedet for

27

maximum likelihood estimaterne er konsistente, asymptotisk efficiente samt asymptotisk

normalfordelte.

Vi ønsker at finde den værdi af Zt der maksimerer , og dermed kommer så nær

den sande værdi som muligt. Først betragtes sandsynlighedsfunktionen (pdf) for

, dvs. sandsynlighedsfunktionen for merafkastet betinget af markedets

merafkast. Under antagelse af at er multivariatnormalfordelt har vi

(3.9)

Som tidligere antaget, er merafkastet IID fordelt over tid. Givet T observationer, er den

samlede sandsynlighedsfordeling derfor givet ved

(3.10)

Funktion af den ukendte parameter Zmt, der estimeres ud fra dataene for merafkastet Zt,

kaldes likelihood-funktionen. Givet observationerne fra merafkastet, er det muligt at

estimere parametrene af merafkastmarkedsmodellen ved hjælp af maximum likelihood.

For at finde maximum likelihood estimaterne, dannes log-likelihood funktionen, der er

logaritmen til den fælles sandsynlighedsfunktion, som er en funktion af de ukendte

parametre, , og . Det er nemmere at arbejde med den naturlige logaritme til

sandsynlighedsfunktionen, og da denne når dens maksimale værdi på samme punkt som

den almindelige likelihood funktion, skaber det ingen problemer. Log-likelihood

funktionen, L, skrives som

(3.11)

Maximum likelihood estimaterne er de værdier af parametrene , og , der maksimerer

L. For at finde de maksimale værdier, differentieres med hensyn til , og , og disse

sættes disse =0. De partielt afledede er

(3.12)

(3.13)

28

(3.14)

når vi sætter de partielt afledede lig nul, findes maximum likelihood estimaterne, hvilke er

(3.15)

(3.16)

Covariansmatrixen estimeres ved at benytte og , og derved får vi

(3.17)

Hvor vi har at

(3.18)

Alternativt kunne man bruge OLS regression asset-by-asset, da man ved denne metode vil

opnå de samme estimater for alpha og beta, fordi der bruges den samme regres (Zm) i alle

regressionerne (Campbell et al., 1997).

Fordelingerne for estimaterne, betinget af markedets merafkast, kommer fra antagelsen

vedrørende fælles normalitet af merafkastet og IID.

(3.19)

) (3.20)

(3.21)

Hvor er som defineret i (3.18) og

Covariansen mellem og er.

29

er uafhængig af både og .

J0, J1, J2 og J3 er forskellige variationer af en test på merafkastet. Vi ønsker med alle

testene, at teste om at = 0. Vi vil videre beskrive de enkelte test hver for sig.

Med de ubegrænsede estimater, kan Wald test statistikken for H0 hypotesen formuleres. Da

CAPM holder hvis = 0, opstilles hypotesen

Imod den alternative hypotese

Hvilket betyder, at hvis vi ikke kan forkaste H0, kan vi ikke afvise CAPM med det data vi

har testet på. Hvis H0 hypotesen forkastes, afviser vi dermed at CAPM modellen holder. Vi

benytter et signifikansniveau på 5 %, hvilket betyder, at der er 5 % sandsynlighed for at

afvise H0, når denne er sand.

3.2.2 Wald test, J0

Vi benytter en Wald teststatisik, da denne test er relativt simpel, og kun kræver estimaterne

fra den ubegrænsede model (Wooldridge, 2008). Teststatistikken for Wald testen er

(3.22)

Hvis vi substituerer (3.19) for , får vi

(3.23)

Under H0-hypotesen, vil J0 følge en -fordeling, med N frihedsgrader, hvor N er antallet

af aktiver. Da er ukendt, benytter vi det konsistente maximum likelihoood estimat, , til

at teste H0 hypotesen. Dermed følger J0 kun asymptotisk når , hvilket betyder at

vi skal have mange tidsobservationer for at denne test bliver valid (Campbell et al., 1997).

30

3.2.3 Endelige stikprøvefordeling af Wald test, J1

Fra den første test, J0, fik vi, at vi måtte have en stor mængde tidsobservationer for at

kunne slutte en konklusion omkring testen. Alternativt kan vi bestemme ”den endelig”

fordeling ved at benytte teoremet af (Muirhead, 1982)

Teorem; lad m-vektoren x være normalfordelt med , lad matricen A være

fordelt, hvor og x og A er uafhængige

Således at

(3.24)

For at benytte teoremet af (Muirhead, 1982)i teststatistikken sætter vi

vi kalder den nye teststatistik J1, og denne defineres som

(3.25)

Den sidste del af (3.25) genkendes fra (3.23), da denne er Wald teststatistikken for J0. Vi

kan derfor omformulere vores test statistik til J0, ganget med en fraktil ,der ifølge teoremet

giver os den præcise test statistik

(3.26)

Med J1 behøver vi ikke længere mange tidsobservationer for at teste med Wald. Vi

benytter estimaterne fra den ubegrænsede model til testen, og tester stadig på om .

Under H0-hypotesen er J1 ubetinget F-fordelt med N frihedsgrader i tælleren og (T-N-1)

frihedsgrader i nævneren (Campbell et al., 1997).

0

31

3.2.4 Estimation af og for den begrænsede model

Den tredje test vi ønsker at udføre er en likelihood ratio test. For at lave likelihood ratio

testen, bestemmes først estimaterne for den begrænsede model, dvs. estimaterne under

. Estimaterne bestemmes ved at løse (3.13) og (3.14), men med begrænset til

0. Deraf får vi de begrænsede estimater for og , der detoneres med *

(3.27)

(3.28)

Under er fordelingerne af de begrænsede estimater

(3.29)

(3.30)

Da vi nu har både de begrænsede og ubegrænsede maximum likelihood estimater, kan vi

teste begrænsningen af Sharpe-Lintner versionen af CAPM ved brug af likelihood ratio

testen (Campbell et al., 1997).

3.2.5 Likelihood ratio test, J2

Da estimaterne fra både den ubegrænsede og begrænsede model er forholdsvis simple at

estimere, er Likelihood Ratio (LR) testen attraktiv. Denne test baseres på det samme

koncept som F-testen i en lineær model. F-testen måler en stigning i summen af kvadrede

afvigelser, når variabler udtages af modellen. LR testen er baseret på forskellen i log-

likelihood funktionen for den begrænsede og den ubegrænsede model. Ideen bag dette er,

at da Maximum Likelihood Estimationen (MLE) maksimere log-likelihood funktionen,

betyder det, at udtagne variabler, generelt fører til en mindre (eller i hvert fald ikke større)

log-likelihood. Spørgsmålet er så, om faldet i log-likelihood i stort nok til at konkludere

om de udtagene variable har betydning for modellen (Wooldridge, 2008).

Likelihood Ratio testen defineres ved

(3.31)

Hvor er log-likelihood funktionen for de ubegrænsede estimater, , og er

log-likelihood funktionen for de begrænsede estimater, . Det kan vises, at den

32

sidste del i både den begrænsede og ubegrænsede likelihood funktion fra (3.11) kan

simplificeres til NT16

, således at

(3.32)

Og

(3.33)

Dette indsættes i udtrykket for i (3.32) og dermed får vi at

(3.34)

Likelihood Ratio testen benytter, at under H0-hypotesen er

Vi kan derfor teste H0 ved brug af

(3.35)

J2 følger asymptotisk en 2

- fordeling med N frihedsgrader. J2 kan benyttes til at

undersøge, om der er en signifikant forskel mellem den begrænsede og den ubegrænsede

model for den enkelte aktie eller portefølje. Hvis der er signifikant forskel, må det betyde,

at vi ikke kan konkludere, at er forskellig fra 0 og dermed kan vi ikke afvise at CAPM

holder (Campbell et al., 1997).

16 Der afgrænses fra nærmere udledning

33

3.2.6 Forbedring af Likelihood Ratio test, J3

Den fjerde test vi vil gennemføre, er en forbedring af testen J2. Denne test er heller ikke en

eksakt test, men er et forslag til forbedring af J2. Forbedringen er en korrektion for den

endelige populationsværdi. Ved at definere J3 som modificerede teststatistik, har vi

(3.36)

Ideen med J3 er, at den er tættere på en fordeling og stikprøven derfor ikke behøver at

være så stor.

Da vi ved, at J1 er den præcise t-fordeling test, er det for et overbliks skyld relevant at se på

hvordan da andre tre test relaterer sig til denne

Da vi kender den eksakte fordeling for J1, og ikke de andre, er det muligt at undersøge hvor

forkerte J0, J2 og J3 er i forhold til J1. Dette vil vi dog ikke komme nærmere ind på i denne

opgave.

3.3 Tværsnitsregression

Indtil videre har vi testet CAPM under hypotesen = 0, dvs. at skæringen er 0. En anden

måde at teste CAPM er ved brug af tværsnitsregression, hvor de forklarede og forklarende

variable associeres med en periode eller et tidspunkt. Denne tilgang blev benyttet af (Fama

& MacBeth, 1973), og her forudsætter CAPM et lineært, positivt forhold mellem det

forventede merafkast og beta. Idéen bag dette er, at for hvert tværsnit, beregnes afkastet af

betaerne, og estimaterne regressers dernæst i tidsdimensionen. Hvis vi har observationer af

merafkastet, og for alle N aktier, kan vi til tidspunkt t estimere den simple

regressionsmodel

34

(3.37)

Hvor er en (Nx1) vektor af merafkastet for aktiverne i tidsperiode t, og er en (Nx1)

vektor af CAPM betaværdier. Ved at lave denne regression for alle t=1,…, T, får vi to

tidsserier af estimaterne og . De to tidsserier og , kan

ses som stokastiske variable af og , hvilket betyder at og .

Tværsnitsregressionstesten vurderes ikke som de tidligere tidsserietests ved at vurdere de

enkelte observationer for og , men ved at vurdere gennemsnittet af disse

observationer, defineret ved og . Implikationen af Sharpe-Lintner CAPM er dermed

at , og (Fama & MacBeth, 1973). Den første implikation betyder, at

skæringen i regressionsligningen er nul, og er den eneste forklarende variabel. Den

anden implikation betyder, at markedsrisikopræmien relateret til er positiv, dvs. at der er

en positiv sammenhæng mellem afkast og den systematiske risiko. Da afkastet er

normalfordelt og tidsmæssigt IID, vil ’erne også være normalfordelte og IID. Dette

betyder, at vi kan testes implikationerne ved brug af t-test. Hvis vi definerer som t-

statistikken, har vi at

Hvor estimaterne for og er

, (3.38)

, (3.39)

Estimaterne for betaværdierne beregnes på samme måde som for tidsserieregressionen i

(3.16).

På baggrund af disse test-statistikker kan vi udføre vores analyse. For at vi kan afvise

CAPM skal H0 hypotesen afvises

Fama-MacBeth metoden er en brugbar metode til at teste CAPM, da den kan modificeres

til at indeholde andre risikofaktorer end CAPM ’en. Ved at tilføje flere risikofaktorer, er

det muligt at undersøge, om er den eneste variabel, der forklarer tværsnitsvariation i det

forventede afkast.

35

3.4 Delkonklusion

I dette afsnit blev metoden til den empiriske undersøgelse beskrevet. Til den empiriske

undersøgelse ønsker vi at teste CAPM på baggrund af fire tidsserieregressioner, J0, J1, J2

og J3, samt en tværsnitsregression inspireret af (Fama & MacBeth, 1973). Vi ønsker at

teste om CAPM holder på det danske aktiemarked, og der blev derfor argumenteret for, at

de anvendte data også stammer fra det danske aktiemarked. De fire tidsserieregressioner er

henholdsvis en Wald test, en endelig stikprøvefordeling af en Wald test, en likelihood ratio

test og en forbedring til likelihood ratio testen, hvor der korrigeres for den endelige

populationsværdi.

36

Kapitel 4

Resultaterne af den empiriske undersøgelse

I dette afsnit vil vi præsentere resultaterne af vores empiriske undersøgelse med de fem

forskellige test beskrevet i kapitel 3. Først har vi testet på hele perioden samlet og alle

aktier. Derefter præsenterer vi resultaterne fra undersøgelsen med opdeling i 20 aktier af

gangen og opdelt i underperioder. Den tredje præsentation af resultaterne er af vores

undersøgelse med de 10 største og hernæst de 10 mindste aktier. I afsnit 4.2 vil vi

præsentere resultaterne for den empiriske undersøgelse grafisk. I Afsnit 4.3 vil vi

præsentere resultaterne fra tværsnitsregressionen og til sidst vil vi i afsnit 4.4 præsentere

resultaterne grafisk med en tendenslinje og sammenholde dette med de resultater vi har

fået i tværsnitsregressionen.

4.1 Resultaterne for J0, J1, J2 og J3

I dette afsnit vil resultaterne for de 4 test, J0, J1, J2 og J3, blive beskrevet. I afsnit 4.1.1

beskrives resultaterne for alle aktierne, i afsnit 4.1.2 for N = 20 aktier, i afsnit 4.1.3 for N

= de 10 største aktier og til sidst i afsnit 4.1.4 beskrives resultaterne for N = den 10

mindste aktier.

4.1.1 Resultaterne for N =75 aktier

I dette afsnit beskrives resultaterne af de 4 tests, J0, J1, J2 og J3, for N = 75 aktier.

Resultaterne for testene af Sharpe-Lintner versionen af CAPM med N=75 ses i tabel 4.1.

De 75 aktier er alle aktier17

på det danske aktiemarked i perioden marts 1996 til februar

2011. J1 følger en F-fordeling med 20 frihedsgrader i nominatoren og 104 frihedsgrader i

17 For definitionen af alle aktier se afsnit 3.2

Tidsperiopde J0 p-værdi J1 p-værdi J2 p-værdi J3 p-værdi

Hele perioden, T=180

3/96-2/11 314,9065 * 2,4259 * 182,0542 * 142,1034 *

*mindre end 0,005

Resultaterne er for alle tilgængelige aktier på det danske aktiemarked for hele perioden. OMXC indekset benyttes som mål for markedsporteføljen, og

den månedlige CIBOR er anvendt som mål for den risikofrie rente. Resultaterne er baseret på månedlige data fra marts 1996 til februar 2011

Tabel 4.1 Empiriske resultater for test af Sharpe-Lintner vesionen af CAPM, N=75

37

denominatoren i hele perioden. J0, J2 og J3 følger asymptotisk en 2-fordeling med 20

frihedsgrader. Denne tosidet test viser et ensidigt resultat; Ved et 5 % signifikansniveau

kan vi med 95 % sandsynlighed afvise CAPM. Denne konklusion er sikker, da valg af

signifikansniveau ikke har nogen betydning18

. Appendiks C viser de relevante kritiske

værdier for forskellige signifikansniveauer.

Da denne undersøgelse afviser CAPM, ønsker vi at undersøge, hvilken betydning det har

for konklusionen, hvis vi varierer antallet af observationer samt antallet af aktier. Vi kan

på denne måde undersøge om bestemte tidsperioder, eller bestemte typer af aktier, har

betydning for konklusionen.

4.1.2 Resultaterne for N =20 aktier

Resultaterne for testene af Sharpe-Lintner versionen af CAPM med N=20 og opdeling i

underperioder ses i tabel 4.2. J1 følger en F-fordeling med 20 frihedsgrader i nominatoren

og 39 frihedsgrader i denominatoren i underperioderne og 20, 159 frihedsgrader i hele

perioden. J0, J2 og J3 følger asymptotisk en 2-fordeling med 20 frihedsgrader. Under alle

teststatistikker bemærkes det, at den valgte periode har stor betydning for resultaterne. I

underperiode to, dvs. fra marts 2001 til februar 2006, fastholdes H0-hypotesen ved et 5 %

signifikansniveau for alle teststatistikkerne, hvilket betyder at vi med 95 % sandsynlighed

ikke kan afvise CAPM. I de resterende underperioder, dvs. henholdsvis underperiode et

(marts 1996 til februar 2001) og underperiode tre (marts 2006 til februar 2011) for alle

teststatistikkerne forkastes H0-hypotesen ved 5 % signifikansniveau, hvilket betyder at vi

med 95 % sandsynlighed kan afvise CAPM. Valg af signifikansniveau har ingen

betydning for konklusionen, da et signifikansniveau på 1 % (19

= 1 %) for J1 med 20,39

frihedsgrader har en kritisk grænse på 2,38, og et signifikansniveau på 1 % for J0, J2 og J3

med 20 frihedsgrader har en kritisk grænse på 37,57.

18 En sikker konklusion er når p-værdien er under 0,01 (Keller, 2009) 19 henviser her til P(type 1 fejl)

38

Anden underperiode adskiller sig fra de andre underperioder, idet at CAPM i denne

underperiode fastholdes. Det tyder derfor på, at der er noget i denne underperiode der gør,

at CAPM bedre kan forklare det forventede aktieafkast.

Da J0, J2 og J3 kun asymptotisk følger en 2-fordeling for T gående mod uendelig, anses

testen for hele perioden for at være den nærmeste asymptotiske tilnærmelse af den sande

værdi. I denne periode forkastes H0-hypotesen ved J1, J2 og J3 ved et 5 %

signifikansniveau, og med 95 % sandsynlighed afvises CAPM. Valg af signifikansniveau

har ligeledes ingen betydning for konklusionen, da konklusionen er den samme ved selv

et signifikansniveau på 1 %.

Resultaterne for testene af Sharpe-Lintner versionen af CAPM med N=20 og opdeling i

underperioder, er overordnet som forventet. Tidligere studier af CAPM20

har vist, at H0-

hypotesten forkastes, og CAPM derfor afvises. Vores empiriske undersøgelse har også

overvejende konkluderet, at CAPM afvises. Underperiode to viste dog det modsatte af

hvad vi havde forventet, og konklusionen på denne periode er også sikker. Dette

motiverede os i første omgang til at undersøge, om det var henholdsvis de 10 største og de

10 mindste aktier på det danske aktiemarked i perioden, inddelt efter gennemsnitlig

markedsværdi for hele perioden, der gjorde udslaget. Derfor valgte vi at udføre samme

test af Sharpe-Lintner versionen af CAPM, men med N lig med henholdsvis de 10 største

og de 10 mindste aktier på det danske aktiemarked.

4.1.3 Resultaterne for N =10 største aktier

Resultaterne for testene af Sharpe-Lintner versionen af CAPM med de 10 største aktier på

det danske aktiemarked i perioden ses i tabel 4.3.

20 Bl.a. (Campbell, MacKinlay, & Lo, 1997)

Tidsperiopde J0 p-værdi J1 p-værdi J2 p-værdi J3 p-værdi

Underperioder, T=60

3/96-2/01 151,7340 * 4,9314 * 75,6592 * 60,5273 *

3/01-2/06 28,9929 0,0879 0,9423 0,5434 23,6527 0,2579 18,9222 0,5269

3/06-2/11 104,0706 * 3,3823 * 60,3571 * 48,2857 *

Hele perioden, T=180

3/96-2/11 90,8638 * 4,0132 * 73,5587 * 68,6548 *

Tabel 4.2 Empiriske resultater for test af Sharpe-Lintner vesionen af CAPM, N=20 aktier

*mindre end 0,005

Resultaterne er for 20 aktier, de 10 største og de 10 mindste aktier på det danske aktiemarked for perioden, inddelt efter gennemsnitlig markedsværdi.

OMXC indekset benyttes som mål for markedsporteføljen, og den månedlige CIBOR er anvendt som mål for den risikofrie rente. Resultaterne er baseret

på månedlige data fra marts 1996 til februar 2011

39

Sammenlignes tabel 4.3 med tabel 4.2, er den overordnede konklusion uændret; i

underperiode to fastholdes H0-hypotesen ved et 5 % signifikansniveau for alle

teststatistikkerne, hvilket betyder at vi med 95 % sandsynlighed ikke kan afvises CAPM. I

de resterende underperioder og hele perioden for alle teststatistikkerne forkastes H0-

hypotesen, hvilket betyder at vi kan afvise CAPM. Valg af signifikansniveau har ingen

betydning for konklusionen. Overordnet set for vores empiriske undersøgelse, fastholdes

CAPM ikke i flere tilfælde for en undersøgelse for de 10 største aktier på det danske

aktiemarked, end en undersøgelse for 20 aktier.

Denne konklusion motiverede os til at lave undersøgelse for de 10 mindste aktier, da vi

ønskede at undersøge, om det udelukkende var de 10 største aktier der påvirkede

konklusionen fra tabel 4.2.

4.1.4 Resultaterne for N =10 mindste aktier

Resultaterne for undersøgelsen med de 10 mindste aktier ses i tabel 4.4. Konklusionen for

denne undersøgelse, er den samme som for de to tidligere undersøgelser; i underperiode to

fastholdes H0-hypotesen ved et 5 % signifikansniveau for alle teststatistikkerne, hvilket

betyder, at vi med 95 % sandsynlighed ikke kan afvise CAPM. I de resterende

underperioder og hele perioden for alle teststatistikkerne, forkastes H0-hypotesen, hvilket

betyder, at vi afviser CAPM. Valg af signifikansniveau har ingen betydning for

konklusionen. Ud fra vores undersøgelse kan der ikke umiddelbart konkluderes en

signifikant større effekt fra hverken de 10 største og de 10 mindste aktier på den samlede

undersøgelse.

Tabel 4.3 Empiriske resultater for test af Sharpe-Lintner vesionen af CAPM, N=10 største aktier

Tidsperiopde J0 p-værdi J1 p-værdi J2 p-værdi J3 p-værdi

Underperioder, T=60

3/96-2/01 44,9331 * 3,6695 * 33,5387 * 29,6259 *

3/01-2/06 15,2603 0,1229 1,2463 0,2867 13,5965 0,1922 12,0103 0,2844

3/06-2/11 36,8674 * 3,0108 * 28,7399 * 25,3869 *

Hele perioden, T=180

3/96-2/11 33,8862 * 3,1815 * 31,0477 * 29,8403 **mindre end 0,005

Resultaterne er for de 10 største aktier på det danske aktiemarked for perioden, inddelt efter gennemsnitlig markedsværdi. OMXC indekset benyttes

som mål for markedsporteføljen, og den månedlige CIBOR er anvendt som mål for den risikofrie rente. Resultaterne er baseret på månedlige data fra

marts 1996 til februar 2011

40

Overordnet kan vi ikke konkludere en isoleret effekt fra størrelsen af aktier. Derimod

tyder det på, at valg af underperiode har betydning for konklusionen, da CAPM ikke kan

afvises i anden underperiode for de tests udført i tabel 4.1-4, hvorimod den afvises i de

resterende underperioder, samt for hele perioden. Det forventede aktieafkast kan derfor

beskrives ud fra CAPM i denne underperiode, men ikke i de resterende perioder, og det

tyder derfor på, at der er nogle faktorer i underperiode to, der er medvirkende til, at

CAPM kan forklare det forventede aktieafkast i denne periode, hvilket den ikke kan i de

andre perioder. I figur 3.1 i kapitel 3, afsnit 3.1, ses det, at i underperiode 2, dvs. fra marts

2001 til februar 2006, er kursen for OMXC er kendetegnet ved kraftig vækst og en høj

kurs. I samme periode ses i figur 3.2 i kapitel 3, afsnit 3.1, at den risikofrie rente er

kendetegnet ved negativ vækst og et generelt lavt niveau. Dette betyder, at fra

ligning (2.46) bliver større, og dermed får SML en større hældning. Da CAPM

forudsætter, at riskopræmien er positiv, kan en større hældning på SML være

medvirkende til at CAPM ikke afvises. I underperiode et, dvs. fra marts 1996 til februar

2001, ses det i figur 3.1.at kursen for OMXC er lav, og i figur 3.2 ses det, at renten er

forholdsvis høj. Dette betyder, at værdien for fra ligning (2.46) er forholdsvis

lav, og hældningen på SML dermed også bliver forholdsmæssigt lavere. I underperiode

tre, dvs. fra marts 2006 til februar 2011, ses det i figur 3.1 og 3.2, at der er mange

kursudsving for både OMXC og for den risikofrie rente. Underperiode tre er overordnet

kendetegnet, ved at den risikofrie rente og markedsporteføljen er højere end i

underperiode to, og hældningen på SML derfor må være højere i underperiode tre end i

underperiode et. Dette ses også af p-værdierne, der for underperiode tre er højere end for

underperiode et21

. Dog er begge underperioder meget signifikante.

Da J0, J2 og J3 kun er asymptotiske tests, er de kun sande i en uendelig stor stikprøve. Da

vi kender den sande fordeling af J1, kan kvaliteten af testene bestemmes ud fra den sande

størrelse. Hvis man overordnet sammenligner de forskellige tests for de fire

undersøgelser, ses det, at resultaterne for J1 og J3 minder meget om hinanden. J1 er den

endelige populationsværdi, og denne burde derfor være den mest præcise test. J2 præsterer

21 Se evt. appendiks B.2.1 og B.2.3, B.3.1 og B.3.3, B.4.1 og B.4.3

Tabel 4.4 Empiriske resultater for test af Sharpe-Lintner vesionen af CAPM, N=10 mindste aktier

Tidsperiopde J0 p-værdi J1 p-værdi J2 p-værdi J3 p-værdi

Underperioder, T=60

3/96-2/01 116,1987 * 9,4896 * 64,6361 * 57,0952 *

3/01-2/06 13,9639 0,1746 1,1404 0,3529 12,5539 0,2497 11,0893 0,3506

3/06-2/11 34,0721 * 2,7826 0,0083 26,9830 * 23,8350 0,0081

Hele perioden, T=180

3/96-2/11 57,7601 * 5,4230 * 50,0950 * 48,1468 **mindre end 0,005

Resultaterne er for de 10 mindste aktier på det danske aktiemarked for perioden, inddelt efter gennemsnitlig markedsværdi. OMXC indekset benyttes

som mål for markedsporteføljen, og den månedlige CIBOR er anvendt som mål for den risikofrie rente. Resultaterne er baseret på månedlige data fra

marts 1996 til februar 2011

41

ved sammenligning med J1 ikke nær så godt. Det tyder altså på, at den endelige

populationskorrektion fra J2 til J3 har en positiv betydning for resultaterne. Selvom alle

testene overordnet konkludere det samme, er værdierne for J0 så langt fra dem for J1, at

det kan være svært at vurdere, hvor god en test J0 er. For at undersøge hvor forkerte de

asymptotiske tests J0, J2 og J3 er, kan man udføre en test, hvorpå man tester på p-

værdiernes afvigelser fra J1’s p-værdi. Dette er muligt, da J0, J2 og J3 er monotone

transformationer af J1, og dermed kan man finde den sande størrelse for de asymptotiske

tests. Udførelsen af denne test vil vi dog ikke komme nærmere ind på i denne opgave22

.

4.2 SML for empirisk undersøgelse

I dette afsnit har vi valgt at lave en grafisk fremstilling af resultaterne fra vores empiriske

undersøgelse af N = 20 aktier og N = 75 aktier. Ved at plotte det gennemsnitlige

månedlige merafkast i forhold til risiko, vises det, hvordan SML for vores resultater vil

komme til at se ud. Dette vil vi benytte til diskussion af de resultater vi har fået.

Figur 4.1. viser SML, hvor symbolet viser det gennemsnitlige merafkast og systematisk

risiko (1,0) for markedsporteføljen. Per definition har vi, at markedsporteføljen har en

systematisk risiko på 1. Figur 4.1.a viser for N=75 aktier og figur 4.1.b viser for N = 20

aktier. Både figur 4.1.a og figur 4.1.b viser overordnet det samme; hældningen på SML er

negativ, hvilket ikke er i overensstemmelse med CAPM, da en højere risiko dermed ikke

belønnes med et højere afkast. Dette stemmer også overens med de hidtidige resultater for

22 Se evt. (Campbell et al., 1997) for udførelse af testen

Figur 4.1: gennemsnitlig månedlig merafkast i forhold til den systematiske risiko for henholdsvis

N=75 (A) og N=20 (B) aktier på det danske aktiemarked i periode marts 1996 til februar 2011. Den

rette linje viser SML.

42

den empiriske undersøgelse, da vi overordnet konkluderede at CAPM afvises. Dette kan

skyldes, at antallet af observationer af de historiske afkast ikke giver et korrekt estimat af

fremtidige afkast. Det bemærkes, at for flere af de enkelte aktier, ligger forholdsvis højt

over eller langt under SML, hvilket indikerer, at de enkelte aktier enten er prissat for højt

eller for lavt i forhold til SML. Aktier der ligger over (under) SML har en positiv

(negativ) , hvilket betyder, at er der er et positivt (negativt) unormalt afkast, efter der er

korrigeret for den systematiske risiko.

4.3 Tværsnitsregression

Den overordnede konklusion fra tidsserieregressionstestene er, at CAPM afvises. Derfor

ønskede vi at benytte en anden metode til at teste CAPM, for at undersøge om denne

metode ville ændre på vores hidtidige konklusion. En alternativ måde at teste CAPM, er

en tværsnitsregression inspireret af (Fama & MacBeth, 1973). Afsnit 4.3.1 beskriver

resultaterne for tværsnitsregressionen for N = 20 aktier, og afsnit 4.3.2 beskriver

resultaterne for N = 75 aktier.

4.3.1 Tværsnitsregressionsresultaterne for N = 20 aktier

Resultaterne for tværsnitsregressionen med 20 aktier ses i tabel 4.5.

Resultat for viser, at med et signifikansniveau på 5 %, kan vi afvise, at skæringen,

, er lig 0. Af tabel 4.5 fremgår det ligeledes, at vi ikke kan afvise, at

markedsrisikopræmien er positiv, da t-værdien for er mindre end den kritiske

grænse. For at kunne afvise, at markedsrisikopræmien er positiv, og dermed konkludere at

H0 afvises, skal sandsynligheden for at lave type 1 fejl hæves fra 5 % til mindst 13,88 %.

Da vi afviser at , er lig 0, og det tyder derfor på at der er andet end den systematiske

risiko, , der forklarer merafkastet.

Tabel 4.5 Empiriske resultater for test af Fama & MacBeth cross-sectional regression, N=20 aktier

Tidsperiopde g0 w(g0) P-værdi g1 w(g1) p-værdi

Hele perioden, T=180

3/96-2/11 -0.027054 -6,9043 * 0,0097 1,5416 0,1249* mindre end 0,005

Resultaterne er for 20 aktier, de 10 største og de 10 mindste aktier på det danske aktiemarked for perioden, inddelt efter gennemsnitlig markedsværdi.

OMXC indekset benyttes som mål for markedsporteføljen, og den månedlige CIBOR er anvendt som mål for den risikofrie rente. Resultaterne er baseret

på månedlige data fra marts 1996 til februar 2011

43

4.3.2 Tværsnitsregressionsresultaterne for N =75 aktier

Igen ønsker vi at undersøge, om antallet af aktier har en betydning for resultaterne, og

derfor udførte vi samme test, men med alle aktier, dvs. de 75 aktier der var tilgængelige i

hele perioden, på det danske aktiemarked. Resultaterne fra denne test kan ses i tabel 4.6.

Resultaterne for tværsnitsregressionen for alle aktier på det danske aktiemarked i

perioden, afviger ikke fra resultaterne i tabel 4.5. I vores undersøgelse har antallet af

aktier altså ikke nogen betydningen for konklusionen, og vi afviser altså at skæringen, ,

er lig 0, og kan ikke afvise, at markedsrisikopræmien er positiv

Den overordnede konklusion for tværsnitsregressionerne er, at skæringen, , afvises at

være lig 0, og det kan ikke afvise, at risikopræmien er positiv.

4.4 Tendenslinje for empirisk undersøgelse

I dette afsnit vises en grafisk fremstilling af de fremkomne resultater, og disse vil blive

sammenholdt med konklusionen fra resultaterne i tværsnitregressionen. I figur 4.2 vises

en tendenslinje, for at illustrere, hvordan sammenhængen mellem merafkast og risiko

fremstår i vores empiriske undersøgelse.

(A)

Tabel 4.6 Empiriske resultater for test af Fama & MacBeth cross-sectional regression, N=75 aktier

Tidsperiopde g0 w(g0) P-værdi g1 w(g1) p-værdi

Hele perioden, T=180

3/96-2/11 -0,0315 -5,7305 * 0,0122 1,3552 0,1771

* mindre end 0,005

Resultaterne er for alle aktier på det danske aktiemarked for perioden, inddelt efter gennemsnitlig markedsværdi. OMXC indekset benyttes som mål for

markedsporteføljen, og den månedlige CIBOR er anvendt som mål for den risikofrie rente. Resultaterne er baseret på månedlige data fra marts 1996 til

februar 2011

Figur 4.2: Gennemsnitlig månedlig merafkast versus den systematiske risiko for N=75 (A) og N=20 (B)

aktier på det danske aktiemarked i periode marts 1996 til februar 2011. Den rette linje viser tendenslinjen

for aktierne.

44

Figur 4.2 opsummerer forholdet mellem det gennemsnitlige månedlige merafkast og den

systematiske risiko for alle aktier i perioden marts 1996 til februar 2011. Figur 4.2.a viser

for N=75 aktier og figur 4.2.b viser for N = 20 aktier. Hvis CAPM er valid, er forholdet

mellem de enkelte aktier lineært med en skæring på 0, hvilket ligning (2.46) antyder. Hvis

tendenslinjerne i figur 4.2.a og 4.2.b betragtes, bemærkes det, at forholdet mellem de

enkelte aktier har en positiv, lineær sammenhæng, dog er afvigelserne fra tendenslinjen

forholdsvis store. Hældningen er positiv, hvilket også er forskellige fra SML, hvor

hældningen er negativ. Dette stemmer overens med resultaterne fra tværsnitsregressionen,

hvor vi afviser at skæringen er lig 0, men hvor vi ikke kan afvise at

markedsrisikopræmien er positiv.

4.5 Delkonklusion

Det overordnede konklusion af den empiriske undersøgelse er, at H0 hypotesen, = 0,

afvises, og CAPM dermed også afvises. Der blev i dette kapitel foretages yderligere

undersøgelser, for at undersøge om valget af aktier eller tidsperiode havde en betydning

for konklusionen. Overordnet var det ikke muligt at konkludere en isoleret effekt fra

størrelsen af aktier, men derimod tyder det på, at valg af underperiode har betydning

konklusionen. Resultatet fra tværsnitsregressionen var, at vi sikkert kunne afvise, at

skæringen, , er lig 0, samt at vi ikke kunne afvise, at markedsrisikopræmien er positiv,

og at CAPM dermed ligeledes afvises. Under tværsnitsregressionen havde antallet af

aktier ligeledes ingen betydning for resultaterne.

45

Kapitel 5

Begrænsninger og svagheder ved CAPM

I dette kapitel vil vi i afsnit 5.1 starte med at diskutere implikationer og begrænsninger

ved vores empiriske undersøgelse, og komme med forbedringsforslag til denne. Denne

diskussion vil fortsætte i afsnit 5.2, hvor en alternativ model til CAPM blive beskrevet, og

fordele og ulemper ved denne vil blive holdt op imod CAPM. Til sidst vil vi i afsnit 5.3

forsøge at vurdere CAPMs anvendelse i praksis ud fra vores empiriske undersøgelse, og i

afsnit 5.4 vil vi komme med forslag til fremtidige studier.

5.1 Implikationer og begrænsninger for den empiriske

undersøgelse

Denne opgave har på den teoretiske front bidraget med at give et godt overblik over den

meste relevante teori og udledninger bag standard CAPM. På grund af opgavens omfang,

har vi måttet undlade at komme ind på andre versioner af CAPM, såsom CCAPM

(Consumption Capital asset Pricing Model) og ICAPM (Intertemporal asset Pricing

Model), der begge er udvidelser af standard CAPM. Disse emner er undladt, da formålet

med opgaven var, at give en dybdegående beskrivelse af teorien bag standard CAPM.

Den empiriske del af denne opgave har bidraget med både kvalitativ og kvantitativ bevis

for CAPMs performance. Vores empiriske undersøgelse tager udgangspunkt på det

danske aktiemarked, hvorfor vi undersøger om CAPM holder på det danske aktiemarked,

hvor antallet af tidligere undersøgelser er begrænset.

Den overordnede konklusion af den empiriske undersøgelse er, at vi afviser CAPM,

hvilket betyder, at modellen ikke er valid, til at forklare aktieafkastet på det danske

aktiemarked. Dog er der nogle potentielle begrænsninger ved den empiriske undersøgelse,

der skal tages højde for.

Den første potentielle begrænsning for den empiriske undersøgelse, vedrører de data, der

er anvendt. Når man tester en model som CAPM, er der risiko for, at de estimere værdier

af variablene der udregnes, afviger betydeligt fra de sande værdier (Fama & MacBeth,

1973). Når der i stedet for den sande markedsportefølje anvendes en proxy, kan det

medføre flere problemer. Et af problemerne er, at proxyen kan være mean-variance-

efficient, selvom den sande markedsportefølje ikke er det. Dette kan være et problem, da

enhver stikprøve af proxyen da vil vise efficiente porteføljer, der opfylder alle

implikationer i teorien. Det kan også vise sig, at den valgte proxy er inefficient. Dette

46

viser selvfølgelig ikke noget om den sande markedsporteføljes efficiens. Derudover vil de

fleste ”gode” proxyer være højt korreleret med hinanden og med den sande

markedsportefølje, ligegyldigt om de er mean-variance-efficiente eller ikke. Denne høje

korrelation vil få det til at virke som om, at den nøjagtige sammensætning ikke er vigtig,

hvilket kan føre til forskellige konklusioner (Roll, 1977).

En anden potentiel begrænsning for den empiriske undersøgelse er, at vi i vores

dataudvælgelse har valgt at benytte os af aktier frem for porteføljer. Dette kan ifølge

(Fama & MacBeth, 1973)føre til fejlestimation af betaerne. Hvis fejlledende af de

estimerede betaværdier er væsentlig mindre end perfekt korrelerede, er de estimerede

betaer af porteføljerne mere præcise estimater af den sande beta-værdi, end de estimerede

betaværdier for de individuelle aktier.

Ifølge (Fama & MacBeth, 1973) kan man minimere fejl i estimaterne af er, og dermed

korrigerer for errors-in-variables, ved brug af instrumentvariable (IV). Ved brug af IV,

benyttes historisk data til estimation af beta i en given periode, for hvert aktiv. Aktiverne

inddeles så i porteføljer efter størrelsen af disse betaværdier, og herefter udregnes en

middel værdi for hver portefølje. Hvert år rebalanceres porteføljerne på baggrund af de

nye betaværdier for perioden. Herudfra kan man således lave samme

tværsnitsregressionsanalyse, hvor porteføljernes betaværdier i hver periode er den

forklarende variabel. At vi i vores undersøgelse benytter os af aktier i stedet for

porteføljer, har derfor betydning for estimeringen af -værdierne. Vi forsøgte at danne

porteføljer, for at lave en mere præcis undersøgelse, hvor porteføljerne skulle dannes på

baggrund af markedsværdien af de enkelte aktier, og rebalanceres efter hvert år. Dette

måtte vi desværre opgive, da det ville blive et for krævende programmeringsproblem.

En yderligere kritik kan baseres på udvælgelsen af aktier. I vores undersøgelse ønskede vi,

at teste på aktier over tid, og udvælgelsen af aktier havde derfor det kriterium, at aktierne

skulle være aktive i hele den valgte periode. Denne udvælgelsesmetode kan føre til

fejlestimering af modellen, da de aktier der var med i den endelige undersøgelse, kun er

dem, der har formået at overleve fra marts 1996 indtil februar 2011. Vi kommer derfor

naturligt til at udelukke konkursramte virksomheder, og dermed virksomheder der over en

given periode har klaret sig dårligt. Dette kan ifølge (Elton, Gruber, & Blake, 1996) føre

til overestimering af modellen. De 75 aktier i vores undersøgelse udgør de overleverne fra

i alt 351 registeret i perioden.

Da vi som proxy for markedsporteføljen valgte at benytte OMXC, begrænsede vi os

hermed til at bruge prisindekset(PI) for dataene i stedet for return-indekset (RI). Dette

skyldes, at Datastream kun har data for RI fra 2001. Vi vurderede i den sammenhæng, at

det var vigtigere, at få flere tidsobservationer med i den empiriske undersøgelse, end at

bruge RI. PI defineres på datastream som prisen på egenkapital som procent af værdien

fra basisåret, korrigeret for ændringer i driftskapital. RI på Datastream defineres som PI,

korrigeret for dividende udbetalinger i forhold til aktieprisen. Et argument for at vi i vores

empiriske undersøgelse kan benytte PI i stedet for RI er, at vi arbejder med OMXC, der

47

generelt har meget små dividendeudbetalinger (Top Yields, 2011). Dette skal ses i forhold

til vores aktieafkast, der er beregnet ud fra RI. Resultaterne af vores undersøgelse

indeholder denne overflødige fejlkilde, men vi havde desværre ikke mulighed for at

overkomme dette i dataindsamlingen.

Et andet forslag til forbedring af den empiriske undersøgelse, er brug af logaritmiske

afkast23

frem for simple afkast24

. Et logaritmisk afkast er udregnet som den naturlige

logaritme til det simple afkast plus en. Det logaritmiske afkast vil derfor altid være mindre

end det simple afkast, undtagen i nul, hvor de har samme værdi. Et studie af (Burns, 2007)

foreslår, at det er en fordel at benytte simple afkast i inventeringssammenhænge,

hvorimod logaritmiske afkast er at foretrække til brug i statistisk modellering. I vores

undersøgelse kunne vi derfor med fordel have benyttet det logaritmiske afkast. Fordelen

ved brug af logaritmiske afkast er, at vi nemt kan konvertere et ekspotentielt problem til et

lineært problem. Summen af de logaritmiske afkast over et tidsinterval, giver det

logaritmiske afkast for intervallet, og gennemsnitsafkastet udregnes ved at dividere det

samlede afkast med antallet af tidsenheder i intervallet. Der er altså regnetekniske fordele

ved logaritmiske afkast i forhold til de simple afkast (Burns, 2007).

En yderlig fejl, der kan være forekommet i den empiriske undersøgelse, er et brud på

forudsætningen vedrørende IID og normalfordelte afkast og fejlled. Da den oprindelige

CAPM er en model for en enkelt periode, er det nødvendigt at tilføje nogle forudsætninger

når vi benytter modellen over tid. I den empiriske undersøgelse var det derfor nødvendigt

at antage at fejlled og afkast er normalfordelt og IID over tid. At teststatistikkerne bygger

på denne antagelse, betyder, at de er robuste over for heteroskedasticitet.

Heteroskedasticitet betyder at variansen af fejlledet, givet de forklarende variable, ikke er

konstant. Den implicitte antagelse er altså, at hvis modellen udvides til flere tidsperioder,

vil investorerne vælge den samme portefølje i hver enkelt tidsperiode. Antagelsen er

nødvendig, da homoskedasticitet er en forudsætning for at kunne udføre testene.

Antagelsen vedrørende normalfordeling er ikke nødvendig for at udlede CAPM som en

teoretisk model, men benyttes til statistiske formål. Uden denne antagelse, er den endelige

stikprøvetests egenskaber svære at udlede (Campbell et al., 1997). Der er i tidligere

undersøgelser dokumenteret afvigelse fra normalfordeling af afkast, og flere har vist, at

der er heteroskedasticitet og tidsmæssig afhængighed i aktieafkastene25

. Til trods for at

tidsmæssig afhængighed betyder, at CAPM ikke holder teoretisk, er det stadig interessant

at undersøge modellens empiriske ydeevne. Vores empiriske undersøgelse afviser

overvejende CAPM, hvilket kan skyldes, at afkastene ikke er normalfordelt og/eller IID,

og dermed ikke at CAPM ikke holder. For tilstrækkelig store datamængder er brud på

forudsætningen om normalitet dog uden betydning. Dette kan henføres til den centrale

23 Formlen for logaritmisk afkast er: :

24 Formlen for det simple afkast er : er :

25 Se bl.a. (Campbell et al., 1997; Fama, 1965; Richardson & Smith, 1993)

48

grænseværdisætning, da teststørrelserne asymptotisk følger en normalfordeling, selv

under fraværet af normalfordelte fejlled (Brooks, 2002). Ved at benytte GMM estimation

(Generalized Methods of moments) i stedet for OLS, er det muligt at undersøge hvor solid

antagelsen er, når de statistiske antagelser vedrørende IID ophæves, da GMM estimaterne

er robuste over for fejlled der ikke er IID-normale (Groenewald & Fraser, 2001). GMM er

en metode til at teste CAPM når vi ikke har IID-normale fejlled, og en sammenligning af

teststatistikkerne fra OLS og GMM kan give en indikation af konsekvensen af ikke at

have IID-normalitet (Groenewold & Fraser, 2001). Ved at benytte GMM tillades

estimation uden normalitet, men kun asymptotisk, da teststatistikken for GMM kun

asymptotisk følger en 2-fordeling. Hypotesen for at teste CAPM er den samme som

under J0-J3, og parameterestimaterne er de samme som i maximum likelihood, da

modellen er lineær. Forskellen er, at estimaterne af variansen er forskellige, og metoden er

derfor robust over for fejlled der ikke er IID-normale (Campbell et al., 1997). Beregninger

af teststatistikken baseret på GMM, kan undersøge sandsynligheden for, at afvisning af

CAPM er et resultat af heteroskedasticitet i modellen. Dog vil vi grundet opgavens

omfang ikke komme yderligere ind på anvendelse og teststatistikken for GMM. Et

alternativ til brugen af GMM-metoden, er bootstrapping. Bootstrapping er en tilgang til

statistisk interferens, hvor man forsøger at skabe en distribution på baggrund af gentagne

udtræk fra den oprindelige stikprøve. Bootstrapping metoden er baseret på en stikprøve

fra de faktiske residualer, og kan derfor hjælpe os med at overkomme problemer med

manglende IID-normalitet og problemer med små stikprøver. Dette betyder at ved en

sammenligning af J1 testen og bootstrapping testen, kan vi fokusere på problemet med

non-normalitet i ikke-asymptotisk omgivelser. Igen vil vi, grundet opgavens omfang, ikke

kommer nærmere ind på anvendelsen af bootstrapping, ligesom de relevante tests ikke vil

blive udført.

I den empiriske undersøgelse valgte vi, udover at teste CAPM ved hjælp at

tidsserieregression, også at udføre en tværsnitsregression inspireret af (Fama & MacBeth,

1973). Ulempen ved at benytte Fama-Macbeth metoden til at teste CAPM er, at -

værdierne ikke er kendte, og metoden kan derfor ikke kan anvendes direkte. Regressionen

udføres derfor med -estimater fra dataene, hvilket betyder, at der kan forekomme errors-

in-variables. Dette problem kan håndteres på to måder. Den første måde, hvilken Fama og

MacBeth også benytter sig af er, at minimere fejlledene mellem variablene ved at

gruppere aktierne i porteføljer, hvilket vil føre til mere præcise -estimater. Den anden

måde er at tilpasse standardfejl for at rette op på de fejl, der introduceres med errors-in-

varaibles. Et andet problem med tværsnitsregression er også, at det ikke er muligt at

observere markedsporteføljen(Campbell et al., 1997). (Roll & Ross, 1994) fandt, at

tværsnits OLS relationen er meget sensitiv over for valg af markedsindeks, og at

forskellige indeks kan være forholdsvis ens og tæt på den sande markedsportefølje og

stadig have signifikant forskellige tværsnitshældninger. Dette betyder, at hvis den sande

49

markedsportefølje er efficient, kan tværsnitsrelationen mellem de forventede afkast og

betaer være meget sensitive overfor selv små afvigelser i markedsproxyen fra den sande

markedsportefølje..

5.1.1 Betaværdier

I dette afsnit har vi valgt at se nærmere på fordelingen af de estimerede Beta-værdier.

Ifølge CAPM er den systematiske risiko den eneste variable faktor, der påvirker det

forventede afkast og en af forudsætningerne for at teste CAPM er, at de estimerede beta-

værdier skal følge en normalfordeling. Derfor er det interessant at undersøge, om de

estimerede beta-værdier i vores empiriske undersøgelse, også kan antages at følge en

normalfordeling. Spredningen af beta-værdierne har en betydning for

tværsnitsregressionstesten, da jo større spredning i betaværdierne, jo mindre er

standardfejlen for , og jo større bliver t-værdien, hvilket ses ud fra (5.1)

(5.1)

Jo højere t-værdi jo mindre p-værdi, hvilket betyder at en stor spredning i betaværdierne

vil medføre, at vi oftere afviser H0-hyportesen. Til tværsnitsregressionen benyttes de

estimerede beta-værdierne fra OLS regressionen. Derfor vil det være relevant at vurdere

betaværdierne, fx om der er nogle af betaværdier der er meget store eller meget små.

Disse burde udelades, da dette kan give en usandsynlig stor t-værdi grundet den spredning

mellem betaværdier, der skyldes enkelte ekstreme betaværdier. Argumentet for at de

ekstreme betaværdier burde udelades er, at de kan ligge langt fra de sande betaværdier.

50

Spredningen i betaværdierne for N = 20 aktier ses i figur 5.1. I figur 5.1.a ses et histogram

over betaværdierne, og figur 5.1.b viser et QQ-plot. Hvis vi ud fra figur 5.1.a skulle kunne

konkludere, at betaværdierne følger en normalfordeling, skal spredningen mellem disse

følge en normalfordelingskurve og spredningen i betaværdierne skal være klokkeformet.

Spredningen i betaværdierne i figur 5.1.a følger ikke umiddelbart en normalfordeling, da

spredningen er fordelt med to toppe. Dog kan det være svært at vurdere spredningen i et

histogram, og et Q-Q plot er derfor et godt alternativt redskab til at undersøge, om

betaværdierne følger en normalfordeling.

Figur 5.1.b viser Q-Q-plottet, der er plot af fraktilerne fra en standardnormalfordeling

mod de korresponderende fraktiler fra de observerede data. Hvis de observerede data

approksimativt følger en normalfordeling, vil plottet vise en ret linje med en positiv

hældning. Ud fra figur 5.1.b ses det, at betaværdierne ikke danner en ret linje, og derfor

kan der være et brud på forudsætningen om at betaværdierne følger en normalfordeling.

Overordnet for figur 5.1 kan der konkluderes, at der for de estimerede betaværdier for N =

20 aktier, kan være brud på forudsætningen om normalitet.

Videre ser vi på samme plot for betaværdierne for de 75 aktiver.

Figur 5.1: Histogram (A) og Q-Q plot (B) for betaværdierne for N = 20 aktier

51

Spredningen i betaværdierne for N = 75 aktier ses i figur 5.2. Figur 5.2.a viser et

histogram over spredningen af de estimerede betaværdier, og figur 5.2.b viser et Q-Q plot.

I figur 5.2.a ses det, at fordelingen af betaværdierne kan siges at være højreskæv. Dog vil

en angtagelse om normalitet af at de estimerede betaværdier i figur 5.2.a, end de

estimerede betaværdier i figur 5.1.a være mere korrekt.

I figur 5.2.b ses det, at de estimerede betaværdierne plottet mod fraktilerne fra en

standardnormalfordeling ikke danner en ret linje, men at denne dog er tættere på den rette

linje end figur 5.1.b. I figur 5.2 bemærkes yderligere, en enkelt ekstrem betaværdi. Denne

kunne have været udelukket fra vores empiriske undersøgelse da, som tidligere nævnt,

kan medføre en usandsynlig høj t-værdi. Overordnet for figur 5.2, kan det tilnærmelsesvis

antages, at de estimerede betaværdier for N = 75 aktier følger en normalfordeling. Ifølge

den centrale grænseværdisætning vil enhver stikprøve udtaget fra en population med

vilkårlig fordeling, være tilnærmelsesvis formalfordelt. Jo større stikprøven er, jo nærmere

kommer man en normalfordeling. Vores problem med normalitet er mindre ved når N=75

og ifølge (Wooldridge, 2008) kan problemer med normailtet overkommes med stikprøver

på over 30, givet vores forudsætning om IID.

For både figur 5.1 og figur 5.2 bemærkes det, at vi kun har positive betaværdier. Positive

betaværdier betyder, at aktivet generelt følger markedsafkastet, dvs. at de begge har en

tendens til enten at ligge over deres respektive gennemsnit, eller omvendt. En negativ

betaværdi betyder, at aktivets afkast generelt bevæger sig modsat markedsafkastet. Det

bemærkes, at der er en enkelt ekstrem betaværdi for N=75. Dette kan, som tidligere

nævnt, medføre at vi får en usandsynlig højere t-værdi, og derfor burde denne være

Figur 5.2: Histogram (A) og Q-Q plot (B) for betaværdierne for N = 75 aktier

52

ekskluderes fra undersøgelsen. At betaværdierne for den empiriske undersøgelse kun

tilnærmelsesvis følger en normalfordeling, medvirkenr til at vi fejlagtigt har afvist H0-

hypotesen, og dermed fejlagtigt har afvist CAPM.

5.2 Alternative modeller til CAPM

Den overordnede konklusion for den empiriske undersøgelse er, at CAPM afvises, og beta

derfor ikke forklarer hele tværsnittet af det forventede aktieafkast. Dette betyder, at en

eller flere faktorer burde tilføjes, for at kunne karakterisere adfærden af det forventede

aktieafkast. Derfor er det logisk at overveje flerfaktormodeller. Her eksister to

hovedteorier; Arbitrage Pricing Theory (APT), der er udviklet af (Ross, 1976) samt

Intertemporal Capital Asset Pricing Model (ICAPM) af (Merton, 1973). I dette afsnit vil

vi beskrive APT, da dette er en meget anerkendt model, og derfor vil vi afgrænse os

yderligere fra ICAPM.

5.2.1 APT

De stærke forudsætninger der er lavet i CAPM, kan være grunden til de dårlige empiriske

resultater, der er opnået. Der er lavet mange modeller siden CAPM, som alle har prøvet at

gøre op med en eller flere af disse forudsætninger. (Fama & MacBeth, 1973) gør op med

forudsætningen om, at det kun er én fælles markedsfaktor, der påvirker prisen af de

enkelte aktiver. De forsøger, med deres multifaktormodel, at medtage flere forklarende

risikomål i modellen for tværsnitsregression. Ved at tilføje flere risikomål, er det muligt at

teste på hypotesen om at beta fuldt ud beskriver tværsnitsvariationen i det forventede

afkast. At forsøge at inddrage flere risikomål, er fælles for alle multifaktormodeller. I

vores test kunne vi blandt andet have medtaget firmastørrelse i vores regression og på den

måde testet direkte på, om dette kunne have haft betydning for aktieprisfastsættelsen.

Selvom Fama-MacBeth metoden giver CAPM modellen en mere nuanceret anvendelse,

står vi stadig med et af de store problemer fra den oprindelige model. Markedsbetaerne er

ikke mulige at observere, og vi må derfor estimere dem ud fra historiske data(Campbell et

al., 1997). En model der forsøger at overkomme dette problem, er multifaktormodellen

Arbitrage Pricing Theory (APT). Den kræver, i modsætning til CAPM modellen, ikke en

observation af alle aktiver i økonomien, og vi kan derfor overkomme problemet med den

uobserverbare markedsbeta. Da APT er en multifaktormodel, har den ikke samme

forudsætning som CAPM og andre enkeltfaktormodeller, om at de enkelte aktiver kun

påvirkes af en enkelt fælles markedsfaktor, udover de aktivspecifikke faktorer. Dette er en

fordel, da APT modellen dermed kan tage højde for branchespecifikke forhold, fx at

rederiaktier er meget følsomme over for US dollaren(Christensen & Pedersen, 2009).

53

Specielt for APT modellen gælder, at den er formuleret som en ligevægtsteori baseret på

argumenter om arbitrage. Arbitrage opstår, da loven omkring en pris ikke altid holder,

dvs. at forudsætningen om at det samme aktiv kan sælges til én pris, ikke altid holder i

virkeligheden. En investor kan på den måde opnå en gevinst, uden at lave en investering,

ved at sælge et aktiv kort, og benytte pengene herfra til at finansiere et andet aktiv og

dermed opnå et positivt afkast. Arbitragehandel er risikoneutralt, men giver alligevel et

positivt afkast. I virkeligheden vil arbitragemuligheder kun være til stede i ultrakorte

perioder, idet markedsdeltagerne vil reagere på arbitragemulighederne, ved at sælge

overvurderede og købe undervurderede aktier. Udledningen af APT modellen tager

udgangspunkt i en ligevægtsmodel, og dermed udgangspunkt i at disse

arbitragemuligheder ikke eksisterer (Christensen & Pedersen, 2009) .

For en hvilken som helst multifaktormodel gælder det, at afkastet skal kunne forklares ud

fra en lineær sammenhæng mellem nogle indeks

(5.2)

hvor ai = det forventede afkast af aktie i, hvis alle indeks har værdien nul. Ij er værdien af

det j’te indeks der har en indflydelse på aktivet. bij viser hvor stor en påvirkning det j’te

indeks har på den i’te aktie. ei er et fejlled der har en middelværdi på nul og en varians

. Herudover gælder det for fejlledene at

,

hvilket betyder, at covariansen mellem og skal være nul. Dette betyder, at hvis

aktierne varierer med hinanden, skyldes det de bevægelser, der er beskrevet ud fra

indeksene i modellen. Der bør dermed ikke være andet der påvirker variationerne mellem

aktierne. Dog er det muligt at forudsætte, at hvis en investor holder en veldiversificeret

portefølje, vil residualerne asymptotisk gå mod nul. En anden forudsætning er at

Fra hvilket vi får at covariansen mellem residualet for aktie i og indeks j skal være 0.

Disse forudsætninger er implementeret for overskuelighedens skyld. Det kan ved nærmere

gennemgang vises, at hvis indeksene korrelerer, vil det være muligt at konvertere dem til

ukorrelerede indeks. Resultatet er det samme, men vi vil dog ikke komme nærmere ind på

dette, da det er matematisk mere kompliceret, end vi ønsker at vise i denne afhandling

(Elton & Gruber, 1995).

APT modellen har de empiriske fordele, at den kan medtage flere makroøkonomiske

variable. Dette kan for eksempel være pengemarkedsrenter, vækstrater der er relevante

for konjunkturcyklen, eller inflation. I CAPM modellen derimod, er der kun ét indeks med

ei

2

54

i modellen nemlig markedsindekset, og dette er derfor den eneste bestemmende faktor for

modellen. APT modellen er som følgende

(5.3)

Regressionen i (5.3) fortages for samtlige aktiver, 1,2,3…N, og vi opnår derved N

forskellige ’er og ’er. For at holde forudsætningen om, at residualerne på tværs af de

enkelte aktiver (regressionesligninger) skal være ukorrelerede, skal der medtages en tilpas

stor mængde indeks i modellen. Med andre ord skal alle de forklarende variable medtages

i regressionerne, så der ikke ender noget forklarende i fejlleddet. Dette kan gøres ved

hjælp af en faktoranalyse, der tilføjer faktorer, indtil der ikke kan opnås yderligere

forklaring ved at tilføje flere faktorer, og faktoranalysen kan dermed være med til at sikre,

at residualerne i hver regressionsligning er så tæt på 0 som muligt. Dette betyder også, at

korrelationen på tværs af de forskellige aktiver bliver så lille som mulig. Herefter kan man

regressere de faktiske afkast på betaerne, så vi får at

(5.4)

Her kan vi genkende fra CAPM modellen, som værende den risikofrie rente. Hvis vi

sammenligner (5.4) med CAPM i (2.46), vil det gælde, at hvis CAPM holder, er

. Hvis vi finder, at mere end en faktor i APT modellen er signifikant

forskellig fra nul, betyder det ikke nødvendigvis at CAPM dermed afvises. Det er kun

hvis at APT ikke vil stemme overens med CAPM. En af de mest

væsentlige forskelle mellem CAPM og APT er, at i CAPM indgår kun markedsindekset,

hvorimod at valget af indeks i APT sker vilkårligt. APT modellen giver altså et mere

nuancerede billede af det reelle marked og derfor potentielt også et mere retvisende

billede. Det der taler for CAPM modellen i forhold til APT modellen er, at CAPM er

nemmere at implementere, og dermed lettere at teste rent praktisk. For at lave empirisk

test af APT modellen, testes om nogle eller er signifikant forskellige fra 0,

hvilket i realiteten bliver en joint hypotesetest af APT modellen og den anvendte

faktoranalysemodel. I empiriske undersøgelser har det vist sig, at der er stor uenighed om

hvor mange faktorer, der skal medtages. Grunden til at mange alligevel finder APT

modellen CAPM overlegen, er, at CAPM modellen, grundet ligevægtsbetingelsen,

indeholder alle aktiver i økonomien og ikke kun de finansielle. Det betyder, at det vil være

umuligt for in investor, at indsamle data til den sande markedsportefølje, og CAPM derfor

i virkeligheden bliver en test af, om den valgte proxy er efficient. I forhold til dette

argument imod CAPM, er APT mere anvendelig, da forudsætningen om arbitrage gælder

for enhver delmængde af aktiver. Der er altså ikke behov for at finde en markedsmodel

der holder alle aktiver (Christensen & Pedersen, 2009).

0

'er

'er

55

5.3 Forslag til fremtidige studier

CAPM er en af de mest udbredte aktieprisfastsættelsesmodeller, og modellen er blevet

testet af mange forskellige studier. Alle undersøgelser er i teorien forkerte. Derfor gælder

det om at finde den undersøgelsesmetode, der er mindst forkert. Mange forskellige studier

af CAPM kommer med forslag til, hvordan modellen kan forbedres, hvilket har medført,

at vi har sat nogle overvejelser op omkring vores udvælgelsesmetode, og begrænsninger

for vores undersøgelse. I dette afsnit vil komme med nogle forslag til, hvordan fremtidige

studier kunne ændre, eller forbedre, vores empiriske undersøgelse.

Da hverken det forventede afkast eller betaværdierne er kendte, er det nødvendigt at

estimere disse værdier for at kunne benytte dem til empiriske tests. I vores empiriske

undersøgelse, testede vi kun på enkelte aktiver og ikke hele porteføljer. Mange tidligere

studier har testet på porteføljer, men tilsyneladende ikke baseret på det danske

aktiemarked. Derfor kunne det være interessant at undersøge, hvordan CAPM performer

på det danske aktiemarked, hvis der blev testet på porteføljer frem for aktier. Derudover

kunne det være interessant at undersøge effekten af at benytte andre

dataindsamlingsmetoder end de der er blevet brugt i vores undersøgelse. Fx kunne der

dannes porteføljer for hver enkel tidsperiode, hvor porteføljerne dannes ud fra

markedsværdi eller betaværdier. Det kunne ydermere være interessant, hvis man ikke

udelukkede de aktier, der ikke eksisterede i hele den valgte tidsperiode, men derimod

dannede nye porteføljer for hver tidsperiode. Et andet interessant studie kunne være, at

undersøge effekten af, at benytte data med andre tidsintervaller end vores undersøgelse, fx

timebaseret data, ugentlig data eller årlig data. At vælge det danske skattekammerbevis

som proxy for markedsporteføljen, kunne også være en interessant undersøgelse. Som

tidligere nævnt, er CAPM i mange tidligere studier blevet testet, men overordnet set

kunne det være interessant at undersøge resultaterne af disse, hvis undersøgelserne blev

baseret på det danske aktiemarked.

5.4 Delkonklusion

I dette kapitel er mulige fejlkilder til den empiriske undersøgelse blevet fundet og

diskuteret. Disse har medført nogle begrænsninger for vores undersøgelse, der kan være

medvirkende til at vi fejlagtigt har afvist CAPM. At vi fejlagtigt har afvist CAPM, kan

også skyldes, at flere faktorer skal tilføjes, for at det forventede aktieafkast kan beskrives.

Betaværdierne blev vurderet, og vi fandt, at der kan være et brud på forudsætningen om at

-værdierne følger en normalfordeling. APT modellen blev præsenteret som en alternativ

model til CAPM, da denne medtager flere faktorer, og derfor er CAPM overlegen på visse

punkter. Dog blev det også diskuteret, at APT er svær at teste empirisk og CAPM derfor

er lettere anvendelig.

56

Kapitel 6

Konklusion

Denne opgave har undersøgt CAPM, både teoretisk og empirisk. I opgaven har vi

fokuseret på at svare på de stillede undersøgelsesspørgsmål i afsnit 1.1. I dette kapitel vil

vi opsummere de hovedpunkter og konklusioner vi er kommet frem til i opgaven.

På baggrund af forudsætningerne for CAPM, blev Markowitz efficiente linje præsenteret,

og vi kom frem til, at denne er en sammensætning af alle de porteføljer, der giver det

højest forventede afkast for et givent niveau af risiko (eller laveste risiko for et givent

afkast). På baggrund af Markowitz efficiente linje blev CAPM udledt, og vi fandt, at

CAPM beskriver det forventede aktieafkast ud fra den risikofrie rente, aktivets

systematiske risiko samt afkastet på markedsporteføljen. Derudover blev der vist, at

CAPM kan benyttes til at udvælge henholdsvis over- og undervurderede aktier ved hjælp

af , da hvis > 0 er aktien overvurderet, og ligeledes hvis < 0 er aktien undervurderet.

Deraf kom vi frem til at, hvis CAPM holder ligger alle aktier på SML, og = 0.

Til den empiriske undersøgelse ønskede vi at teste CAPM på baggrund af fire

tidsserieregressioner, J0, J1, J2 o gJ3, samt en tværsnitsregression inspireret af (Fama &

MacBeth, 1973). De fire tidsserieregressioner er henholdsvis en Wald test, en endelig

stikprøvefordeling af en Wald test, en likelihood ratio test og en forbedring til likelihood

ratio testen, hvor der korrigeres for den endelige populationsværdi. Ved disse tests, testede

vi implikationen af CAPM, at i = 0 i for den fælles hypotese . Det

overordnede konklusion af den empiriske undersøgelse er, at H0 hypotesen, = 0, afvises,

og CAPM dermed også afvises som værende en model til at beskrive det forventede

aktieafkast på det danske marked. Der blev i opgaven foretaget yderligere undersøgelser,

for at undersøge om valget af aktier eller tidsperiode havde en betydning for konklusionen.

Overordnet var det ikke muligt at konkludere en isoleret effekt fra størrelsen af aktier, men

derimod tyder det på, at valg af underperiode har betydning konklusionen. Resultatet fra

tværsnitsregressionen var, at vi sikkert kunne afvise, at skæringen, , er lig 0, samt at vi

ikke kunne afvise, at markedsrisikopræmien er positiv, og at CAPM dermed ligeledes

afvises. Under tværsnitsregressionen havde antallet af aktier ligeledes ingen betydning for

resultaterne.

Mulige fejlkilder og begrænsninger af den empiriske undersøgelse blev fundet og

diskuteret, og det blev konkluderet, at disse kan være medvirkende til at CAPM fejlagtigt

blev afvist.

I den empiriske undersøgelse fandt vi, at CAPM afvises, og derfor blev APT præsenteret

som en alternativ model til CAPM. Her fandt vi, at APT var CAPM overlegen, da denne

57

medtager flere faktorer, men at APT er sværere at teste empirisk, da der er stor uenighed

om hvor mange faktorer der skal anvendes og CAPM derfor er lettere anvendelig.

58

Litteraturliste

Banz, R. W. (1981). The relationship between return and market value of common stocks.

Journal of Financial Economics, 9(1), 3-18.

Berk, J., & DeMarzo, P. (2007). Corporate finance (International ed. ed.). Boston: Pearson

Education.

Brooks, C.,1971-. (2002). Introductory econometrics for finance. New York: Cambridge

University Press.

Burns, P. (2007). Cramer vs. pseudo-cramer.

Campbell, J. Y., MacKinlay, C. A., & Lo, A. W. (1997). The econometrics of financial

markets. Princeton, N.J.: Princeton University Press.

Christensen, M.,f.1962, & Pedersen, F.,f.1947. (2009). Aktieinvestering : Teori og praktisk

anvendelse (3. udgave ed.). Kbh.: Jurist- og Økonomforbundet.

Cuthbertson, K., & Nitzsche, D. (2007). Quantitative financial economics : Stocks, bonds

and foreign exchange (2. ed. ed.). Chichester: Wiley.

Danmarks Nationalbank. (2008). Stat-ordbog.

Elton, E. J., & Gruber, M. J. (1995). Modern portfolio theory and investment analysis (5.

edition ed.). New York: John Wiley & Sons.

Elton, E. J., Gruber, M. J., & Blake, C. R. (1996). Survivorship bias and mutual fund

performance. The Review of Financial Studies, 9(4), pp. 1097-1120.

59

Fama, E. F. (1965). The behavior of stock-market prices. The Journal of Business, 38(1), pp.

34-105.

Fama, E. F., & MacBeth, J. D. (1973). Risk, return, and equilibrium: Empirical tests. The

Journal of Political Economy, 81(3), pp. 607-636.

finansrådet. (2010). Retrieved 3/30, 2011, from http://finansraadet.dk/tal--

fakta/satser/cibor/regler-for-fastsaettelse-af-cibor.aspx

Groenewald, N., & Fraser, P. (2001). The sensitivity of tests of asset pricing models to the

IID-normal assumption: Contemporaneous evidence from the US and UK stock

markets. Journal of Business Finance & Accounting, 28(5-6), 771-798.

Groenewold, N., & Fraser, P. (2001). Tests of asset-pricing models: How important is the

iid-normal assumption? Journal of Empirical Finance, 8(4), 427-449.

Gunnlaugsson, S. B. (2006). A test of the CAPM on a small stock market.6(1), 292-5.

Huang, C., & Litzenberger, R. H. (1993). Foundations for financial economics (5. printing

ed.). Englewood Cliffs, N.J.: Prentice Hall.

InvesteringsForeningsRådet. (2007). Omsætningshastighed. Retrieved 04/05, 2011, from

http://www.ifr.dk/composite-476.htm

Jensen, M. C. (1972). Capital markets: Theory and evidence. The Bell Journal of Economics

and Management Science, 3(2), pp. 357-398.

Keller, G. (2009). Managerial statistics (8. ed. ed.). Mason, Ohio: South-Western.

60

Levy, H., & Sarnat, M. (1995). Capital investment and financial decisions (5.th ed.). New

York: Prentice Hall.

Lintner, J. (1965). The valuation of risk assets and the selection of risky investments in stock

portfolios and capital budgets. The Review of Economics and Statistics, 47(1), pp. 13-

37.

Markowitz, H. M. ((1959)). Portfolio selection : Efticient diversification of investments. New

York, London:

MAYSHAR, J. (1981). Transaction costs and the pricing of assets. Journal of Finance,

36(3), 583-597.

Merton, R. C. (1973). An intertemporal capital asset pricing model. Econometrica, 41(5), pp.

867-887.

Muirhead, R. J. (1982). Aspects of multivariate statistical theory. New York: Wiley.

nasdaqomxnordic.OMXC20 position. Retrieved 3/23, 2011, from

http://www.nasdaqomxnordic.com/indeks/OMXC20stillingen/

Richardson, M., & Smith, T. (1993). A test for multivariate normality in stock returns. The

Journal of Business, 66(2), pp. 295-321.

Roll, R. (1977). A critique of the asset pricing theory's tests part I: On past and potential

testability of the theory. Journal of Financial Economics, 4(2), 129-176.

Roll, R., & Ross, S. A. (1994). On the cross-sectional relation between expected returns and

betas. The Journal of Finance, 49(1), pp. 101-121.

61

Ross, S. A. (1976). The arbitrage theory of capital asset pricing., 341-360.

Sharpe, W. F. (1964). Capital asset prices: A theory of market equilibrium under conditions

of risk. The Journal of Finance, 19(3), pp. 425-442.

Skovmand, D. (2009). An incomplete proof of the CAPM. Unpublished manuscript.

Tobin, J. (1958). Liquidity preference as behavior towards risk. The Review of Economic

Studies, 25(2), pp. 65-86.

Top Yields. (2011). Top dividend yields. Retrieved 06/04, 2011, from

http://www.topyields.nl/

Wex, M. (2006). Guide: Investeringsforeninger. Retrieved 02/28, 2011, from

http://penge.dk/investering/investeringsforeninger/guider-

investeringsforeninger/guide-investeringsforeninger/fordel

Wooldridge, J. M.,1960-. (2008). Introductory econometrics : A modern approach (4. ed.

ed.). Mason, Ohio: South-Western.

62

Appendiks A

Udledninger

A.1 Udledning af minimum variansporteføljen

Minimering af er det samme som at minimere

. Dette giver mere håndterlige

resultater.

s.t.

(1)

(2)

Optimeringsproblemet løses ved først at formulere Lagrange funktionen,

Dernæst differentieres med hensyn til w og sættes lig 0.

= (3)

Da vi ønsker at finde et udtryk for , isoleres i (3). Dette gøres ved først at gange

igennem med , og derefter isolere .

(4)

63

For at opnå vektoren for forventet afkast, ganges (4) igennem med

(5)

For at opnå et udtryk for (2), ganges (4) igennem med

(6)

Da og og er skalære, kan de defineres som henholdsvis A, B og C

Herved får vi af (5) og (1);

(7)

Af (6) fås (2);

(8)

Ved at løse (7) og (8) med hensyn til og fås;

,

64

Hvis man derefter indsætter løsningerne for og i 4 fås:

(9)

Hvor g og h er vektorer. Ligning (9) beskriver den optimale portefølje, når vi har et ønsket niveau afkast, og alle porteføljer der opfylder ligning (9) ligger på den efficiente linje (Huang & Litzenberger, 1993).

65

Appendiks B

Tabeller

66

Tabel B.1: Resultater for empirisk test af Sharpe-Lintner versionen af CAPM, N = 75 aktier,

hele perioden; marts 1996 til februar 2011.

J0 P-værdi J1 P-værdi J2 P-værdi J3 P-værdi

314.9065

0 2.4259464 0.0000153 182.05416 6.943E-11 142.10339 4.7122E-6

Aktie -værdi -værdi

1 1.345951 0.0131146 2 1.3710105 0.0137466

3 0.3722099 -0.021832

4 1.0042822 0.0004807 5 0.9629921 -0.0094

6 0.6118585 -0.004537

7 0.4073837 -0.016764

8 0.9544012 0.0214588 9 0.4514412 -0.016539

10 0.7871465 0.0198597

11 0.9042508 -0.004432 12 1.310503 0.0085382

13 0.8028498 -0.006179

14 1.1137079 0.0079731

15 0.3396452 -0.007641 16 0.5445964 -0.021262

17 0.6685978 -0.009451

18 0.6416234 -0.011669 19 0.817585 -0.003171

20 0.5446622 -0.016505

21 0.2902177 -0.01996 22 1.2580524 0.0139382

23 0.6905946 -0.008237

24 0.5138097 -0.006691

25 0.6202418 -0.015927 26 1.464532 0.0184707

27 0.6518537 -0.032532

28 1.2254245 0.0204196 29 0.5177858 -0.005071

30 0.1514628 -0.013696

31 0.2324849 -0.018521 32 0.9613002 -0.006396

33 0.63235 -0.01082

34 0.805757 -0.000341

35 0.7871256 -0.000654 36 1.3578358 0.0153976

37 0.3517996 -0.016785

38 0.7250983 -0.015769 39 1.1767313 0.0078221

67

40 1.3699054 0.0245229 41 0.4326043 -0.015529

42 0.8596423 -0.009199

43 0.4469876 -0.009696 44 0.3877647 -0.01569

45 1.3286427 0.0166623

46 0.7583618 0.0060831 47 0.6597121 -0.017783

48 0.493296 -0.011476

49 0.7627532 -0.007961

50 0.377254 -0.016588 51 0.7323823 0.0025889

52 0.5687397 -0.009502

53 0.7951777 -0.000308 54 0.8729043 0.0012703

55 1.3493517 0.0189559

56 0.2676688 -0.018054

57 0.7204364 -0.022662 58 0.9144332 -0.002652

59 1.4621241 0.0116496

60 0.2745104 -0.016036 61 0.6793609 0.0013977

62 0.9320893 0.0019911

63 1.0305666 0.0066306 64 0.5150067 -0.011496

65 0.6296611 -0.015961

66 2.1959486 0.0739054

67 0.4573804 -0.009571 68 0.4513429 -0.007703

69 0.3407761 -0.017427

70 0.7320039 -0.007584 71 0.4167127 -0.01906

72 0.5730541 -0.016432

73 0.3852086 -0.014047 74 0.2464382 -0.022696

75 0.9957824 0.010247

68

Tabel B.2.1: Resultater for empirisk test af Sharpe-Lintner versionen af CAPM, N = 20

aktier, første underperiode; marts 1996 til februar 2001.

J0 P-værdi J1 P-værdi J2 P-værdi J3 P-værdi

151.73397 0 4.9313541 0.0000105 75.659164 2.1146E-8 60.527331 5.8998E-6

Aktie

-værdi

-værdi

10 s

tørs

te a

kti

er

A P MOLLER MAERSK 'A' 1.6287486 0.0206149

A P MOLLER -MAERSK 'B' 1.5618311 0.0193185

CARLSBERG 'A' 0.3768289 -0.025187

FLSMIDTH & COMPANY 'B' 0.9974462 -0.008602

GN STORE NORD 1.6951382 0.0418832

NKT 1.2938032 0.0375169

NOVO NORDISK 'B' 0.8667937 0.0111458

ROCKWOOL 'A' 0.3915034 -0.031615

WILLIAM DEMANT HLDG. 1.2905511 0.0360332

TOPDANMARK 0.7323825 0.0035895

10

min

dst

e ak

tier

ANDERSEN & MARTINI 0.0962299 -0.033636

BIOPORTO 0.9337006 -0.021647

BRD KLEE 'B' 0.0902534 -0.03613

EXPEDIT 'B' 0.4427474 -0.02993

HVIDBJERG BANK 0.2356858 -0.02817

ASGAARD GROUP 0.8738093 0.0076425

RIAS 'B' 0.0691587 -0.034623

VICTOR INTERNATIONAL 0.1592386 -0.054176

VINDERUP BANK 0.1888217 -0.024063

VORDINGBORG BANK 0.1897572 -0.029433

69

Tabel B.2.2: Resultater for empirisk test af Sharpe-Lintner versionen af CAPM, N = 20

aktier, anden underperiode; marts 2001 til februar 2006.

J0 P-værdi J1 P-værdi J2 P-værdi J3 P-værdi

28.992911 0.087899 0,9422696 0,5434265 23,652729 0,2578908 18,922183 0,5268893

Aktie

-værdi

-værdi

10 s

tørs

te a

kti

er

A P MOLLER MAERSK 'A' 1.3578808 0.0152129

A P MOLLER -MAERSK 'B' 1.4995598 0.0172923

CARLSBERG 'A' 0.6175149 -0.009817

FLSMIDTH & COMPANY 'B' 0.9558884 0.0111982

GN STORE NORD 1.0106758 -0.006774

NKT 1.1622972 0.0148003

NOVO NORDISK 'B' 1.0757692 0.0016123

ROCKWOOL 'A' 0.6412303 0.0157913

WILLIAM DEMANT HLDG. 1.0326671 0.0040006

TOPDANMARK 0.629752 0.0086339

10

min

dst

e ak

tier

ANDERSEN & MARTINI 0.1825268 -0.005486

BIOPORTO 0.2889748 -0.026543

BRD KLEE 'B' 0.2100043 0.0131835

EXPEDIT 'B' 0.5596207 0.0050109

HVIDBJERG BANK 0.0406085 0.004671

ASGAARD GROUP 0.5894729 0.0546812

RIAS 'B' 0.2710851 -0.001118

VICTOR INTERNATIONAL 0.2202698 0.0020624

VINDERUP BANK 0.0239605 -0.008428

VORDINGBORG BANK 0.2334686 -0.002358

70

Tabel B.2.3: Resultater for empirisk test af Sharpe-Lintner versionen af CAPM, N = 20

aktier, tredje underperiode; marts 2006 til februar 2011.

J0 P-værdi J1 P-værdi J2 P-værdi J3 P-værdi

104.07055

2.337E-13 3.3822929 0.0005527 60.357118 6.2698E-6 48.285694 0.0003878

Aktie

-værdi

-værdi

10 s

tørs

te a

kti

er

A P MOLLER MAERSK 'A' 1.2168665 0.0066995

A P MOLLER -MAERSK 'B' 1.2212808 0.0070776

CARLSBERG 'A' 1.1362204 0.019763

FLSMIDTH & COMPANY 'B' 1.5253119 0.0329168

GN STORE NORD 1.6309041 0.0196626

NKT 1.4831586 0.0193578

NOVO NORDISK 'B' 0.5392537 0.0077635

ROCKWOOL 'A' 1.0717966 0.0063127

WILLIAM DEMANT HLDG. 0.82623 -0.002262

TOPDANMARK 0.6702833 -0.006578

10

min

dst

e ak

tier

ANDERSEN & MARTINI 0.6318581 -0.014268

BIOPORTO 1.0653689 0.0279113

BRD KLEE 'B' 0.507191 -0.003744

EXPEDIT 'B' 0.5649285 -0.028078

HVIDBJERG BANK 0.5020502 -0.026299

ASGAARD GROUP 0.8169347 0.0004086

RIAS 'B' 0.5552119 -0.018137

VICTOR INTERNATIONAL 0.5843028 -0.007021

VINDERUP BANK 0.6574366 -0.013872

VORDINGBORG BANK 0.2684562 -0.036621

71

Tabel B.2.4: Resultater for empirisk test af Sharpe-Lintner versionen af CAPM, N = 20

aktier, hele perioden; marts 1996 til februar 2011.

J0 P-værdi J1 P-værdi J2 P-værdi J3 P-værdi

90,863809 5.233E-11 4.0131515 3.2074E-7 73.558673 4.7301E-8 68.654761 3.0155E-7

Aktie

-værdi

-værdi

10 s

tørs

te a

kti

er

A P MOLLER MAERSK 'A' 1.3495023 0.0132591

A P MOLLER -MAERSK 'B' 1.373318 0.013889

CARLSBERG 'A' 0.8236903 -0.003084

FLSMIDTH & COMPANY 'B' 1.2552402 0.0136598

GN STORE NORD 1.4685229 0.0190523

NKT 1.3576449 0.0246822

NOVO NORDISK 'B' 0.7500716 0.006012

ROCKWOOL 'A' 0.8016626 -0.000228

WILLIAM DEMANT HLDG. 0.9971171 0.0105262

TOPDANMARK 0.6827465 0.0012222

10

min

dst

e ak

tier

ANDERSEN & MARTINI 0.4069797 -0.017124

BIOPORTO 0.7975658 -0.006748

BRD KLEE 'B' 0.3464284 -0.007516

EXPEDIT 'B' 0.5442523 -0.016574

HVIDBJERG BANK 0.359967 -0.016309

ASGAARD GROUP 0.7884991 0.0190235

RIAS 'B' 0.3860419 -0.015711

VICTOR INTERNATIONAL 0.4182349 -0.019145

VINDERUP BANK 0.3876479 -0.014199

VORDINGBORG BANK 0.2519991 -0.022659

72

Tabel B.3.1: Resultater for empirisk test af Sharpe-Lintner versionen af CAPM, N = 10

største aktier, første underperiode; marts 1996 til februar 2001.

J0 P-værdi J1 P-værdi J2 P-værdi J3 P-værdi

44.933139 2.236E-6 3.6695396 0.0010415 33.538729 0.000221 29.625877 0.000986

Aktie

-værdi

-værdi

A P MOLLER MAERSK 'A' 1.6608141 0.0232641

A P MOLLER -MAERSK 'B' 1.5857838 0.022816

CARLSBERG 'A' 0.3802711 -0.023693

FLSMIDTH & COMPANY 'B' 1.0171034 -0.007713

GN STORE NORD 1.7591486 0.0434706

NKT 1.3115336 0.0360766

NOVO NORDISK 'B' 0.8543589 0.0121139

ROCKWOOL 'A' 0.3999026 -0.029029

WILLIAM DEMANT HLDG. 1.2941848 0.0367367

TOPDANMARK 0.7234369 0.0021739

73

Tabel B.3.2: Resultater for empirisk test af Sharpe-Lintner versionen af CAPM, N = 10

største aktier, anden underperiode; marts 2001 til februar 2006.

J0 P-værdi J1 P-værdi J2 P-værdi J3 P-værdi

15.260344 0.1228545 1.2462614 0.286664 13.596528 0.1922032 12.010266 0.28437

Aktie

-værdi

-værdi

A P MOLLER MAERSK 'A' 1.324732 0.013721

A P MOLLER -MAERSK 'B' 1.4779845 0.015065

CARLSBERG 'A' 0.6355049 -0.011747

FLSMIDTH & COMPANY 'B' 0.9451302 0.0111531

GN STORE NORD 0.9264745 -0.00435

NKT 1.1608281 0.0171237

NOVO NORDISK 'B' 1.0938276 0.0015982

ROCKWOOL 'A' 0.5917319 0.0151055

WILLIAM DEMANT HLDG. 1.0827062 0.0016933

TOPDANMARK 0.6484846 0.0081266

74

Tabel B.3.3: Resultater for empirisk test af Sharpe-Lintner versionen af CAPM, N = 10

største aktier, tredje underperiode; marts 2006 til februar 2011.

J0 P-værdi J1 P-værdi J2 P-værdi J3 P-værdi

36.867405

0.0000597 3.0108381 0.0048489 28.739912 0.0013727 25.386922 0.0046584

Aktie

-værdi

-værdi

A P MOLLER MAERSK 'A' 1.2168665 0.0066995

A P MOLLER -MAERSK 'B' 1.2212808 0.0070776

CARLSBERG 'A' 1.1362204 0.019763

FLSMIDTH & COMPANY 'B' 1.5253119 0.0329168

GN STORE NORD 1.6309041 0.0196626

NKT 1.4831586 0.0193578

NOVO NORDISK 'B' 0.5392537 0.0077635

ROCKWOOL 'A' 1.0717966 0.0063127

WILLIAM DEMANT HLDG. 0.82623 -0.002262

TOPDANMARK 0.6702833 -0.006578

75

Tabel B.3.4: Resultater for empirisk test af Sharpe-Lintner versionen af CAPM, N = 10

største aktier, hele perioden; marts 1996 til februar 2011.

J0 P-værdi J1 P-værdi J2 P-værdi J3 P-værdi

33.886248

0.0001931 3.1815422 0.0009145 31.047745 0.0005762 29.840333 0.0009097

Aktie

-værdi

-værdi

A P MOLLER MAERSK 'A' 1.3495023 0.0132591

A P MOLLER -MAERSK 'B' 1.373318 0.013889

CARLSBERG 'A' 0.8236903 -0.003084

FLSMIDTH & COMPANY 'B' 1.2552402 0.0136598

GN STORE NORD 1.4685229 0.0190523

NKT 1.3576449 0.0246822

NOVO NORDISK 'B' 0.7500716 0.006012

ROCKWOOL 'A' 0.8016626 -0.000228

WILLIAM DEMANT HLDG. 0.9971171 0.0105262

TOPDANMARK 0.6827465 0.0012222

76

Tabel B.4.1: Resultater for empirisk test af Sharpe-Lintner versionen af CAPM, N = 10

mindste aktier, første underperiode; marts 1996 til februar 2001.

J0 P-værdi J1 P-værdi J2 P-værdi J3 P-værdi

116.19868

0 9.4895592 1.5631E-8 64.636061 4.758E-10 57.095187 1.2792E-8

Aktie

-værdi

-værdi

ANDERSEN & MARTINI 0.09537 -0.037436

BIOPORTO 0.915825 -0.029754

BRD KLEE 'B' 0.0953757 -0.0345

EXPEDIT 'B' 0.4687242 -0.02748

HVIDBJERG BANK 0.2623149 -0.026016

ASGAARD GROUP 0.8561063 0.0035378

RIAS 'B' 0.0707278 -0.031483

VICTOR INTERNATIONAL 0.1635308 -0.053657

VINDERUP BANK 0.1905138 -0.023936

VORDINGBORG BANK 0.1881355 -0.030041

77

Tabel B.4.2: Resultater for empirisk test af Sharpe-Lintner versionen af CAPM, N = 10

mindste aktier, anden underperiode; marts 2001 til februar 2006.

J0 P-værdi J1 P-værdi J2 P-værdi J3 P-værdi

13.963857 0.1746466 1.1403817 0.3529481 12.55392 0.2496925 11.089296 0.3506035

Aktie

-værdi

-værdi

ANDERSEN & MARTINI 0.2116145 -0.005239

BIOPORTO 0.1952291 -0.019469

BRD KLEE 'B' 0.2091736 0.0110336

EXPEDIT 'B' 0.5147942 0.0039009

HVIDBJERG BANK 0.1151218 0.0001177

ASGAARD GROUP 0.5759152 0.0516069

RIAS 'B' 0.301225 -0.002602

VICTOR INTERNATIONAL 0.2805102 -0.001377

VINDERUP BANK 0.0111376 -0.009626

VORDINGBORG BANK 0.2210652 -0.003094

78

Tabel B.4.3: Resultater for empirisk test af Sharpe-Lintner versionen af CAPM, N = 10

mindste aktier, tredje underperiode; marts 2006 til februar 2011.

J0 P-værdi J1 P-værdi J2 P-værdi J3 P-værdi

34.072055 0.0001796 2.7825512 0.0083394 26.982988 0.0026205 23.834973 0.0080507

Aktie

-værdi

-værdi

ANDERSEN & MARTINI 0.6318581 -0.014268

BIOPORTO 1.0653689 0.0279113

BRD KLEE 'B' 0.507191 -0.003744

EXPEDIT 'B' 0.5649285 -0.028078

HVIDBJERG BANK 0.5020502 -0.026299

ASGAARD GROUP 0.8169347 0.0004086

RIAS 'B' 0.5552119 -0.018137

VICTOR INTERNATIONAL 0.5843028 -0.007021

VINDERUP BANK 0.6574366 -0.013872

VORDINGBORG BANK 0.2684562 -0.036621

79

Tabel B.4.4: Resultater for empirisk test af Sharpe-Lintner versionen af CAPM, N = 10

mindste aktier, hele perioden; marts 1996 til februar 2011.

J0 P-værdi J1 P-værdi J2 P-værdi J3 P-værdi

57.760114

9.592E-9 5.423033 5.9147E-7 50.09497 2.5639E-7 48.146833 5.835E-7

Aktie

-værdi

-værdi

ANDERSEN & MARTINI 0.4069797 -0.017124

BIOPORTO 0.7975658 -0.006748

BRD KLEE 'B' 0.3464284 -0.007516

EXPEDIT 'B' 0.5442523 -0.016574

HVIDBJERG BANK 0.359967 -0.016309

ASGAARD GROUP 0.7884991 0.0190235

RIAS 'B' 0.3860419 -0.015711

VICTOR INTERNATIONAL 0.4182349 -0.019145

VINDERUP BANK 0.3876479 -0.014199

VORDINGBORG BANK 0.2519991 -0.022659

80

Tabel B 5.1: Resultater for empirisk test af Fama & MacBeth tværsnitsregressionen, N = 20

aktier, hele perioden; fra marts 1996 til februar 2011

g0 w0 P-værdi g1 w1 P-værdi

-0.027054 -6.904291 8.465E-11 0.0096501 1.5415798 0.1249417

81

Tabel B 5.2: Resultater for empirisk test af Fama & MacBeth tværsnitsregressionen, N = 75

aktier, hele perioden; fra marts 1996 til februar 2011

g0 w0 P-værdi g1 w1 P-værdi

-0.031483

-5.730474 4.1728E-8 0.0121788 1.355235 0.1770504

82

Appendiks C

Relevante kritiske værdier

J1 relevante kritiske grænser

α=5% α=1%

F20,39 1,845925185 2,382385475

F20,159 1,636968929 1,995650327

F10,39 2,083868962 2,813924976

F10,169 1,887098585 2,427400056

F75,104 1,416899385 1,637516017

J0, J2 og J3 relevante kritiske grænser

α=5% α=1%

10 frihedsgrader 18,30703805 23,20925116

20 frihedsgrader 31,41043286 37,56623475

75 frihedsgrader 96,21667082 106,392923