Enrica Giordano Facoltà di scienze della formazione

Esempi di interferenze costruttive tra matematica e fisica nella scuola di

base

Napoli 1 marzo 2007

Studenti della SMS Cairoli di Milano

Prof.sa Paola Bonelli Majorino

Spiegare e Capire in Fisicaproposte e percorsi per l’insegnamento preuniversitario della fisica

Da una Collaborazione di Ricerca (PRIN 99) fra le Università diMilano, Napoli, Palermo, Pavia, Torino, Udine

IL PROGETTOUNO SGUARDO D’INSIEME PROPOSTE E PERCORSI

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LUCE E VISIONE

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La luce si vede?

Confondere un modello con la realtà è come andare al ristorante e mangiare il menu (A. Bloch)

La luce non si vede nel suo propagarsi, ma negli occhi entra solo luce

La luce e i modelli

La discretizzazione dello spazio:

• la propagazione rettilinea e il modello a raggi;

• la sorgente estesa come insieme di infinite sorgenti puntiformi

• Figure di luce e di ombra come sezioni degli spazi di luce e di ombra

Riempire l’ombra

Fasci di luce divergenti, forme e dimensioni delle figure di luce e di ombra, variazione della intensità luminosa con la distanza

Similitudine/omotetiaT. proiettiva

Quante e quali figure d’ombra per un quadrato

a distanza d1 il lato misura L1=2L e l'area è A1=(2L)2

a distanza d2= 2d1 il lato misura L2=3L e l'area è A2=(3L)2

a distanza d3= 3d1 il lato misura L3=6L e l'area è A3=(4L)2

…………

L’INTENSITA’ LUMINOSA E’ PERTANTO INVERSAMENTE PROPORZIONALE AL QUADRATO DELLA DISTANZA DALLA SORGENTE.

I=k/d2

Scuola Media Statale "V. Zanelli" Cusano

Milanino - classe 3°B a.s. 1998/99  

Se si tratta

di luce

"Il trapezio l'ombra a forma di trapezio non viene perché il sole manda i lati paralleli perché non si può spostare avanti e indietro come la lampadina""Sì perché la lampadina la mettevamo vicina, il sole è lontano""Il sole li manda paralleli, perché dritti sono già dritti. Con la lampadina sono dritti ma non paralleli“

(3 elementare, 8-9 anni)“Mettendo sulla tavoletta di legno una lastrina [al sole] abbiamo osservato che l’ombra cambiava cambiando la posizione della lastrina. Poggiandola su di un vertice e facendola ruotare intorno alla diagonale avevamo sempre un parallelogramma e in una posizione avevamo il rombo ed il segmento. Poggiandola su un lato e ruotandola avevamo tutti i rettangoli e in una certa posizione c’era il quadrato. In un altro movimento si avevano tutti rombi e in mezzo il quadrato. Abbiamo visto che mantenendo fera la lastrina e movendo la tavoletta, la forma dell’ombra non cambiava se muovevamo la tavoletta sullo stesso piano o facendola restare parallela al banco. Se teniamo la lastrina alzata e parallela al banco l’ombra era sempre quadrata”

(1 media, 11-12 anni)

Quante e quali figure d’ombre per una lamina quadrata

… a studiare le sezioni piane degli spazi d’ombra e dei fasci di luce (proporzionalità diretta ed inversa, trasformazioni geometriche di

figure piane, proiezioni, affinità);

Fasci di luce paralleli, forme e dimensioni delle figure di luce e di ombra, variazione della intensità

luminosa con ……..

Trasformazione affine

Sf

Un percorso per lo studio delle funzioni nella scuola secondaria di primo grado Mentre veniva affrontato il discorso in matematica, nelle ore di scienze la classe studiava problematiche ambientali (ruolo dell’atmosfera e in particolare dell’ozono rispetto alla radiazione UV) e esplorava sia indoor che outdoor problemi legati alla luce.

Il concetto di funzione e la sua rappresentazione nel piano cartesiano in seconda-terza media

I ragazzi già hanno usato il piano cartesiano nell’ambito della geometria per rappresentare poligoni, simmetrie ecc.

Possiedono già anche il concetto di corrispondenza, di corrispondenza biunivoca tra gli elementi di due insiemi. Hanno studiato in prima relazioni del tipo “è multiplo di”, “è divisore di”, “è la seconda potenza di ”, ecc.; quindi in generale corrispondenze fra un insieme x e un insieme y di numeri

y=ax2+bx+c

a,b,c assegnati si fa variare xRiportando nel piano cartesiano le coppie ordinate (x,y) otteniamo punti che individuano un arco di curva che chiamiamo parabola.

Successivamente si fanno variare i valori dei parametri e ogni volta si costruiscono la tabella e il grafico corrispondente.

y=ax2+bx+c con a>0 e a<0

y = x 2+4x+4

y = -x^2+1

y = x^2-5x+6

y = -x^2-x+6

-15,0

-10,0

-5,0

0,0

5,0

10,0

15,0

20,0

25,0

30,0

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5x

y

y=ax2 per diversi valori di a

y = x 2

y = 2x 2

y = 0,2x 2

y = -x 2

y = -2x 2

y = -0,2x 2

-20,0

-15,0

-10,0

-5,0

0,0

5,0

10,0

15,0

20,0

-4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

per valori “piccoli” di a la curva è “più larga” o anche “sale meno velocemente”;

Fenomenologia matematica

“Prof vengono belle curve perché la formula l’ha data lei”

Alcuni ragazzi pongono il problema se solo alcune forme algebriche “privilegiate” hanno un corrispondente grafico “con una forma ben precisa” Lasciar creare molte situazioni soddisfacendo la crescente curiosità di fronte a forme di curve molto diverse. (foglio elettronico ma non solo)Inventando forme algebriche con denominatori, radici quadrate ecc sorgono problemi quali: i punti di infinito, i domini, …su cui si riflette caso per caso.

il ruolo dell’esponente della variabile x

I ragazzi domandano cosa succede se eliminiamo il primo termine, ax2 .

Esaminiamo quindi le forme: y = bx+c y = bx y = cvariando i parametri e confrontando le

forme ottenute con le precedenti:

“E’ la potenza di x che piega la retta.”

Modi base di crescere e decrescere

la curva 1 A cresce sempre allo stesso modola curva 1 B cresce all’inizio meno velocemente e poi progressivamente sempre più velocementela curva 1 C cresce all’inizio più velocemente e poi progressivamente sempre meno velocemente

la curva 2 A decresce sempre allo stesso modola curva 2 B decresce all’inizio meno velocemente e poi progressivamente sempre più velocementela curva 2 C decresce all’inizio più velocemente e poi progressivamente sempre meno velocemente

Andamento crescente

Andamento decrescente

Analisi percettiva e descrizione verbale di tratti di curva crescenti e decrescenti nelle funzioni studiate e

inventate prima

Avvio alle differenze finite

A incrementi x uguali della variabile indipendente corrispondono incrementi y positivi uguali della variabile dipendente.

A incrementi x uguali della variabile indipendente corrispondono incrementi y positivi via via crescenti della variabile

dipendente.

A incrementi x uguali della variabile indipendente corrispondono incrementi y positivi via via decrescenti della variabile

dipendente.

Si è poi ampliato lo studio introducendo le seguenti funzioni per approfondire alla luce delle acquisizioni precedenti diversi modi di crescere:

y = ax, y = ax2 y= ax3 …. y= axn

spingendoci anche nello studio delle differenze seconde, terze, ecc.

Ci è sembrato poi interessante condurre anche uno studio approfondito e comparato delle funzioni y = x2 e y = 2x considerando xN per un approccio all’esponenziale.

Si considerano inizialmente per x solo numeri naturali, perché i ragazzi non conoscono la definizione di potenza con esponente razionale (e tanto meno reale).

I ragazzi spesso pensano che non siano poi tanto diversi i valori di n2 e 2n al variare di n.

Giocando con il foglio elettronico

Funzioni crescenti

E decrescenti

y=x2 y=2x

(0<x<4,2)

y=2 x

y=x 2

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

14,00

16,00

18,00

20,00

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5

studio delle differenze prime (y per x=1),

per y=x2 abbiamo la successione dei numeri dispari;

per y=2n , y= 2n+1-2n = 2n(2-1)= 2n;

la differenza é la successione delle potenze di 2.

Tra 0 e 4

y=1/x2 1/2x

(1<x<10)

y=1/x 2

y=1/2 x

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0 2 4 6 8 10 12

Per analizzare diversi modi di decrescere si sono studiate le funzioni:y = -kx +a, y = k/x y= k/x2 scelte perchè sono modi di decrescere caratteristici di varie grandezze fisiche.

Ci concentriamo quindi sull’andamento delle funzioni y=k/x2 y=k/ax (k>0; a>1).In particolare abbiamo scelto di condurre un attento esame sul modo di decrescere delle funzioni y = 1/x2 e y = 1/2x, che ci avrebbe aperto la strada alla formalizzazione dello studio della variazione dell’intensità luminosa.

DALL’ESPERIENZA QUOTIDIANA

A SITUAZIONI SPERIMENTALI CONTROLLATE

A MODELLI E TEORIE

Partenza da problemi di vita quotidiana e problematiche complesse:

il problema del buco dell’ozono.

trasparente/opaco?

Un foglio di carta è trasparente?

Il vetro del box doccia?

L’acqua?

Trasparente: lascia passare la luce o vedere attraverso?

studio prima qualitativo poi quantitativo delle variazioni dell’intensità luminosa al variare della distanza da una sorgente e al variare dello spessore del materiale attraversato, nel “laboratorio” di fisica

studio delle funzioni esponenziali nel “laboratorio” di matematica

Interferenza costruttiva tra matematica e fisica

Dalle esperienze agli esperimenti per scoprire le relazioni quantitative tra variabili e il ruolo dei parametri.

L’intensità luminosa di una macchia di luce “raccolta su uno schermo” a una certa distanza da una sorgente dipende da……

Sorgente (forma del fascio, intensità, monocromatico,…)

Mezzo interposto (natura e spessore)

Natura dello schermo

Rivelatore/occhio

La luce di un laser attraversa un numero crescente di lastrine di plexiglass

alle misure

Dalle relazioni qualitative

Intensità luminosa in funzione della distanza

distanza (cm)

35

45

55

65

75

85

95

105

115

125

135

145

155

165

175

185

195

intensità lux) 3920

1350

695

420

290

225

180

140

120

100

74

64

57

52

47

42

38

Quando la luce incontra una lastrina di plexiglass

Per ogni lastrina l’intensità della luce incidente (trascurando la parte riflessa) coincide con la intensità della luce in uscita dalla lastrina trasparente.

A parità di materiale e spessore ogni lastrina trattiene una percentuale determinata dell’intensità incidente.

L’intensità in uscita da una delle nostre lastrine è circa l’80% di quella incidente Io;

I1= (4/5) Io

I2= (4/5) I1= (4/5)2 Io

………………………………….

In= (4/5) In-1= (4/5)n Io Ix= (4/5)x Io

Cambiando materiale cambia il fattore (4/5) cambiando la sorgente cambia Io (forma fascio)

Riscaldamento su fornello e raffreddamento in ambiente di una massa d’acqua