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行列１
～行列の基礎～
行列とは
2221
1211
aa
aa
行列＝数を縦と横に並べたもの横の並びを行、縦の並びを列という
第１列 第２列
第１行
第２行
例）２行２列の行列
2
1
v
v
n行１列の行列を「ベクトル」ともいう• 𝑎11~𝑎22 を行列の要素または成分という
• 成分は通常、実数または複素数• 行列 𝐴 の第 𝑖 行、第 𝑗 列成分を 𝐴𝑖𝑗 と表す
• 行要素の数と列要素の数が一致する行列を正方行列という
ベクトル 𝑣 の第 𝑖 行成分を 𝑣𝑖 と表す
行列の和と定数倍
ABBA
baba
baba
bb
bb
aa
aa
22222121
12121111
2221
1211
2221
1211
行列の和→対応する成分同士を足し合わせる。可換（演算の順序を変えても結果が同じ）である。
21
113
42
312)2(
11
43
20
11)1(
練習問題）以下の計算をしなさい
2221
1211
2221
1211
kaka
kaka
aa
aak 行列の定数倍
→すべての成分を定数倍する。
すべての文字は実数または複素数
(𝐴 + 𝐵)𝑖𝑗= 𝐴𝑖𝑗 + 𝐵𝑖𝑗
(𝑘𝐴)𝑖𝑗= 𝑘𝐴𝑖𝑗
行列の積２行２列×２行２列＝２行２列
２行２列×２行１列＝２行１列（→ベクトルの“変換”）
行列の積は一般に非可換である
2
1
11
32)2(
11
23
21
11)1(
練習問題）以下の計算をしなさい
(𝐴𝐵)𝑖𝑗=
𝑘=1
𝑛
𝐴𝑖𝑘𝐵𝑘𝑗
(𝐴𝑣)𝑖=
𝑗=1
𝑛
𝐴𝑖𝑗𝑣𝑗
BAAB
babababa
babababa
bb
bb
aa
aa
一般に、
2222122121221121
2212121121121111
2221
1211
2221
1211
222121
212111
2
1
2221
1211
vava
vava
v
v
aa
aa
行列の積（３行3列）
333323321331323322321231313321321131
332323221321322322221221312321221121
331323121311321322121211311321121111
333231
232221
131211
333231
232221
131211
)()()(
bababababababababa
bababababababababa
bababababababababa
bbb
bbb
bbb
aaa
aaa
aaa
BAABk
kjikij
左側の行列の第n行と右側の行列の第m列の内積が積の行列の(n,m)成分となります。（図は(2,1)成分）
一次変換
• ２次元平面上の点から点への移動（一次変換または線型変換）𝑃(𝑥, 𝑦) → 𝑄(𝑥′, 𝑦′) を行列を用いて表す。
x
y
O
練習問題）行列 によって点(1,1)はどんな点に移されるか。
20
11
dycx
byax
y
x
dc
ba
y
x
'
'
𝑄(𝑥′, 𝑦′)
𝑃(𝑥, 𝑦)
一次変換の例
（単位行列）E
10
01
恒等変換＝無変換
310
01
𝑥 軸に関する対称変換
101
10
直線 𝑦 = 𝑥 に関する対称変換
90 度回転
201
10i
x
y
x
y
x
y
𝑦 = 𝑥
O
O O
変換の合成• ２つの変換を続けて行う→結果は２つの行列の積を用いて表される。
例）ベクトル 𝑥 に行列 𝐴 で表される変換を行い、さらに変換 𝐵 を行うとき、変換後のベクトルは 𝐵𝐴 𝑥 と表される。（𝐵𝐴 が合成された変換を表す）
• 変換の順序が違うと、一般に、結果は異なる（行列の積は一般に、非可換である）
01
10
10
01
10
01
01
10
𝑥 → 𝐴𝑥 → 𝐵 𝐴𝑥 = 𝐵𝐴 𝑥
σ1 σ3 σ1σ3
𝑦 = 𝑥
O
𝑦
𝑥 O
𝑦 = 𝑥𝑦
𝑥
３つの行列𝐴, 𝐵, 𝐶についての法則
𝐴𝐵 𝐶 = 𝐴 𝐵𝐶
を結合則という。
逆行列と行列式• ある正方行列 𝐴 に対し、𝐴𝑋 = 𝑋𝐴 = 𝐸（単位行列）を満たす行列 𝑋 が存在
するとき、𝐴 を正則である、という。またこのとき 𝑋 を 𝐴 の逆行列といい、𝐴−1 と表す。 𝑨𝑨−𝟏 = 𝑨−𝟏𝑨 = 𝑬
• ふたつの正則な行列𝐴, 𝐵の積 𝐴𝐵の逆行列は、𝐵−1𝐴−1
として得られる。１
の逆行列は、ある２行２列の行列
ac
bd
AA
dc
baA
det
1
行列 𝐴 が正則である ⟺ det 𝐴 ≠ 0
練習問題）以下の行列 𝐴 は正則か？正則ならばその逆行列を求めなさい。
42
21)2(
21
11)1(
A
A
𝐝𝐞𝐭 𝑨 = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 を行列式という行列式の性質det 𝐴𝐵 = det 𝐴 det 𝐵det 𝐸 = 1
トレース𝐴 を𝑛 × 𝑛正方行列としたとき、対角成分 𝐴𝑖𝑖 の和 𝑖=1
𝑛 𝐴𝑖𝑖 を行列 𝐴 のトレース（対角和）といい、𝑻𝒓 𝑨 と表す。
例） 𝐴 =2 1 −1−1 −3 00 −2 4
のとき、𝑇𝑟 𝐴 = 2 + −3 + 4 = 3
トレースの性質（𝐴, 𝐵を正方行列とする）(1) 𝑇𝑟 𝐴 + 𝐵 = 𝑇𝑟 𝐴 + 𝑇𝑟 𝐵(2) 𝑇𝑟 𝛼𝐴 = 𝛼 𝑇𝑟 𝐴 （𝛼 は複素数）(3) 𝑇𝑟 𝐴𝐵 = 𝑇𝑟 𝐵𝐴
練習問題） 以下の行列のトレースを求めなさい。
(1) 𝐴 =2 −2 −40 1 −51 4 −3
(2) 𝐴 =𝑖 0 2 − 𝑖0 1 + 𝑖 𝑖2 + 𝑖 −𝑖 2 − 𝑖
証明(1) 𝑇𝑟 𝐴 + 𝐵 = 𝑖=1
𝑛 𝐴𝑖𝑖 + 𝐵𝑖𝑖 = 𝑖=1𝑛 𝐴𝑖𝑖 + 𝑖=1
𝑛 𝐵𝑖𝑖 = 𝑇𝑟 𝐴 + 𝑇𝑟 𝐵(2) 𝑇𝑟 𝛼𝐴 = 𝑖=1
𝑛 𝛼𝐴𝑖𝑖 = 𝛼 𝑖=1𝑛 𝐴𝑖𝑖 =𝛼 𝑇𝑟 𝐴
(3) 𝑇𝑟 𝐴𝐵 = 𝑖=1𝑛 (𝐴𝐵)𝑖𝑖= 𝑖=1
𝑛 𝑗=1𝑛 𝐴𝑖𝑗𝐵𝑗𝑖 = 𝑗=1
𝑛 𝑖=1𝑛 𝐵𝑗𝑖𝐴𝑖𝑗 = 𝑇𝑟 𝐵𝐴
転置行列• 行列 𝐴 の行と列を入れ替えた行列を転置行列といい、 𝒕𝑨 で表す。成分で表
すと、 𝑡𝐴𝑖𝑗= 𝐴𝑗𝑖
• ベクトル 𝑣 =𝑣1𝑣2
の転置行列は 𝑡𝑣 = (𝑣1 𝑣2) これらを区別するためにそれ
ぞれ、列ベクトル、行ベクトルなどという。行ベクトル𝑢 = 𝑢1 𝑢2 と列ベ
クトル𝑣 =𝑣1𝑣2
の積𝑢𝑣 ≡ 𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2を内積という。
5
1)3(
211
204
531
)2(23
51)1( AAA
練習問題）以下の行列Aの転置行列を求めなさい。
転置行列の性質(1) 𝑡 𝐴 + 𝐵 = 𝑡𝐴 + 𝑡𝐵
(2) 𝑡 𝛼𝐴 = 𝛼 𝑡𝐴
(3) 𝑡 𝐴𝐵 = 𝑡𝐵 𝑡𝐴 ∵ 𝑡(𝐴𝐵)𝑖𝑗= 𝐴𝐵 𝑗𝑖 = 𝑘=1
𝑛 𝐴𝑗𝑘𝐵𝑘𝑖 = 𝑘=1𝑛 𝑡𝐵
𝑖𝑘
𝑡𝐴𝑘𝑗= 𝑡𝐵 𝑡𝐴
𝑖𝑗
(3)’ (3)において𝐵 = 𝐴とおくと、 𝑡 𝐴2 = 𝑡𝐴2
さらに(3)を繰り返し用いると、 𝑡 𝐴𝑛 = 𝑡𝐴𝑛(𝑛 = 1,2,3,⋯ )
(4) 𝑡 𝑡𝐴 = 𝐴
(5) det 𝑡𝐴 = det𝐴
対称行列と反対称行列
• 𝒕𝑨 = 𝑨 をみたす正方行列を対称行列という（成分は通常実数）。成分表示すると、𝐴𝑗𝑖 = 𝐴𝑖𝑗
• 𝒕𝑨 = −𝑨 ( 𝑡𝐴 + 𝐴 = 0)をみたす正方行列を反対称行列（交代行列）という。成分表示すると、𝐴𝑗𝑖 = −𝐴𝑖𝑗 であるが、対角成分については 𝐴𝑖𝑖 = −𝐴𝑖𝑖 より、𝑨𝒊𝒊 = 𝟎 となる。
練習問題） 以下の行列の中から、対称行列および反対称行列をそれぞれ選んで記号で答えなさい。
（１）0 11 0
（２）0 1−1 0
（３）1 00 −1
（４）0 1 −1−1 0 11 −1 0
共役転置
• ある行列 𝐴 の行と列を入れ替えると同時にすべての要素について複素共役をとることを共役転置（エルミート共役）といい、𝑨†（ダガーと読む）で表す。成分で表すと、 𝑨†
𝒊𝒋= 𝑨𝒋𝒊∗ （ただし、*は複素共役を表す）。
共役転置の性質(1) 𝐴 + 𝐵 † = 𝐴† + 𝐵†
(2) 𝛼𝐴 † = 𝛼∗𝐴†
(3) (𝐴𝐵)†= 𝐵†𝐴†
(4) (𝐴†)†= 𝐴(5) det 𝐴† = det𝐴 ∗
i
iA
ii
iiA
ii
iiA
2)3(
31
223)2(
11
11)1(
練習問題）以下の行列𝐴の共役転置を求めなさい。
うのノルム（長さ）といをこれの平方根
の内積はと
とすると、
†
†
†
†
vvv
vvvvvvvv
vv
vvvv
vv
0|||| 2
2
2
12
*
21
*
1
*
2
*
1
2
1
エルミート行列と反エルミート行列
• 𝑨† = 𝑨 をみたす正方行列をエルミート行列という。成分表示すると、𝑨𝒋𝒊
∗ = 𝑨𝒊𝒋 である。対角成分については、𝐴𝑖𝑖∗ = 𝐴𝑖𝑖 より、𝑨𝒊𝒊 は
実数である。• 𝐴, 𝐵がエルミートならば、以下の行列もエルミートである。
𝐴 + 𝐵, 𝐴𝐵 + 𝐵𝐴, 𝑖(𝐴𝐵 − 𝐵𝐴)
• 𝑨† = −𝑨(𝐴† + 𝐴 = 0)をみたす正方行列を反エルミート行列（エルミート交代行列）という。成分表示すると、𝑨𝒋𝒊
∗ = −𝑨𝒊𝒋 である。対角成分については 𝐴𝑖𝑖
∗ = −𝐴𝑖𝑖 より、𝑨𝒊𝒊 は純虚数となる。
練習問題） 以下の行列の中から、エルミート行列および反エルミート行列をそれぞれ選んで記号で答えなさい。
（１）0 𝑖𝑖 0
（２）0 𝑖−𝑖 0
（３）𝑖 00 −𝑖
（４）0 𝑖 −𝑖−𝑖 0 𝑖𝑖 −𝑖 0
交換子積
• ２つの正方行列𝐴, 𝐵に対し、 𝐴, 𝐵 ≡ 𝐴𝐵 − 𝐵𝐴 を交換子積という。交換子積が 0（零行列） の場合、𝐴 と 𝐵 は交換する（可換である）という。
• 単位行列 𝐸 はすべての行列と交換する（ 𝐴, 𝐸 = 𝐸, 𝐴 = 0 ）• 𝐴 と 𝐴−1 は交換する。（ 𝐴, 𝐴−1 = 𝐴−1, 𝐴 = 0 ）
練習問題） 上の（１）～（６）を確かめなさい。
交換子積の性質（１） 𝐴, 𝐴 = 0（２） 𝐴, 𝐵 = −[𝐵, 𝐴]（３） 𝐴 + 𝐵, 𝐶 = 𝐴, 𝐶 + [𝐵, 𝐶]（４） 𝛼𝐴, 𝐵 = 𝛼[𝐴, 𝐵] （𝛼は複素数）（５） 𝑡 [𝐴, 𝐵] = −[ 𝑡𝐴, 𝑡𝐵]
（６） 𝐴, 𝐵 † = −[𝐴†, 𝐵†]
交換子積問題
（ヤコビ恒等式）
（定数）のとき、
は整数）（
なさい。以下を証明（計算）し
0]],[,[]],[,[]],[,[)5(
],[],[)4(
],[],[],[],[)3(
],[],[],[],[)2(
],[],[],[)'1(
],[],[],[)1(
1
121
223
2
BACACBCBA
cnBBAcBA
nBABBBABBBABA
BABBBABBBABA
BABBBABA
CABCBABCA
nn
nnnn
パウリ行列の性質
練習問題）(1)~(3)を確かめなさい
othersfor
lkjfor
lkjfor
i
i
i
i
i
i
jkl
jkkjkj
l
ljklkj
0
)3,1,2(),1,2,3(),2,3,1(),,(1
)2,1,3(),1,3,2(),3,2,1(),,(1
],[
2],[
)3(),2(),1(
)3(
)2(
)1(
1
,,
10
01,
0
0,
01
10
3
1
23113
12332
31221
2
3
2
2
2
1
321
321
）（完全反対称テンソル
（交換子積）
と書く。ただし、
をまとめて
るはエルミート行列であ
𝝈𝟏
𝝈𝟐 𝝈𝟑
タという。をクロネッカーのデル
ただし、
（反交換子）
また、
)(0
)(1
2},{
kj
kjjk
jkjkkjkj
練習問題解答
• 行列の和と定数倍（１）4 3−1 1
（２）−5 −37 2
• 行列の積 （１）4 −31 0
（２）83
• 行列の利用 （１）02
• 逆行列 （１）正則 𝐴−1 =2 1−1 −1
（２）正則でない
• トレース (1) 0 (2) 3 + 𝑖
• 転置行列 （１）1 −35 2
（２）1 −4 13 0 −15 2 −2
（３） −1 5
• 対称行列と反対称行列 対称行列は（１）と（３）、反対称行列は（２）と（４）
• 共役転置 （１）1 + 𝑖 −1 + 𝑖−1 − 𝑖 1 − 𝑖
（２）3 − 2𝑖 1 + 𝑖2 − 𝑖 3 + 𝑖
（３）
2 + 𝑖 𝑖• エルミート行列と反エルミート行列 エルミート行列は（２）と（４）、
反エルミート行列は（１）と（３）
交換子積解答
とおく。において、
のときも成立。よって、
のとき、
ると仮定すると、のとき、与式が成立す
のとき、与式は自明。帰納法を用いる。
は整数）（
を用いると、とおき、において、
とおく。において、
右辺
左辺
cBA
kn
BABBBABBBABBBA
BABBBABBBABBBA
BABBBABBABA
kn
kn
n
nBABBBABBBABA
BABBBABBBA
BABBBABBBA
BABBBABA
BC
BC
BCAABCBCABACBACABC
CAACBCBAABCABCBA
BCAABCBCA
kkkk
kkkk
kkkk
nnnn
],[)3()4(
1
],[],[],[],[
]),[],[],([],[
],[],[],[],[
1
1
],[],[],[],[)3(
],[],[],[
]),[],([],[
],[],[],[
)'1()1()2(
)1()'1(
)()(],[],[
],[)1(
221
121
1
121
22
2
223
2
