I.E.S. Dr. Simarro (Xàtiva) Joan David Ferrandis Vila

Equacions del pla a l'espaiPer determinar un pla π necessitem un punt P(p1,p2,p3) i dos vectors directors linealment

independents {u=u1, u2, u3

v=v1, v2, v3,

de tal manera que un punt qualsevol d'aquest pla, X(x,y,z), es podrà obtenir mitjançant la igualtat vectorial (regla del paral·lelogram)

OX=OPPX ,

però com PX és coplanari amb, {u , v } (que formen base), aleshores és combinació lineal d'aquests PX=u v , i l'expressió vectorial anterior queda

Equació vectorial

Si substituïm en la igualtat anterior cada vector per les seues coordenades, operem i igualem, tenim

Equacions paramètriques

Per eliminar λ i µ, procedim plantejant un sistema de tres equacions amb dues incògnites λ i µ

{ · u1 · v1=x−p1

· u2 · v2= y−p2

· u3 · v3=z−p3

que ha de tenir solució, perquè X és un punt del pla, per tant el determinant de la matriu ampliada ha de ser zero:

1

OX=OPu v

{x=p1· u1 · v1

y=p2 · u2 · v2

z=p3 ·u3 · v3

;∈ℝ paràmetre

X

Y

Z

O

P

X

v

u

π

n

I.E.S. Dr. Simarro (Xàtiva) Joan David Ferrandis Vila

∣x−p1 u1 v1

y−p2 u2 v2

z−p3 u3 v3∣=0

I si desenvolupem el determinant per la primera columna i operem els adjunts s'obté l'equació següent:

Equació normal

i sabem que PX=OX−OP=x−p1 , y−p2 , z−p3 . Si denotem n=a , b , c , de l'equació anterior se'n dedueix que n és un vector normal (perpendicular) al pla, perquè:

n ·PX=a ,b , c ·x−p1, y−p2, z−p3=a x−p1b y−p2c x−p3=0

Si en l'equació normal eliminem els parèntesis, obtenim finalment:

Equació general o implícita

2

a x−p1b y−p2c x−p3=0

axbyczd=0