1

Esercizi di comunicazioni ottiche (SNR, Q, BER) Consideriamo il caso di una linea in fibra ottica lunga 100 km con attenuazione di 0,2 dB/km e dispersione cromatica compensata. Supponiamo poi di avere una trasmissione STM-64 (ovvero con cadenza di circa 10 Gb/s) alla lunghezza d’onda di 1550 nm, con modulazione binaria d’intensità di formato NRZ-OOK. La potenza trasmessa in corrispondenza dei bit 1 è pari a 1 mW (ovvero 0 dBm), mentre si annulla in corrispondenza dei bit 0. Il ricevitore è costituito da un fotodiodo PIN (efficienza 0,6) seguito da un circuito elettrico di amplificazione. Il ricevitore in questione è caratterizzato da una banda elettrica bilatera 2Bm = 10 GHz e da una potenza equivalente di rumore (NEP) di 30 pW/

!

Hz . Vogliamo determinare il valore di SNR elettrico dopo il ricevitore, il parametro di qualità Q di tale sistema di comunicazione ed il tasso di errore sul bit (BER, bit error rate). La potenza ottica di segnale (bit 1) al ricevitore in dBm vale:

!

Ps

dBm[ ] = 0 dBm " 0,2 #100 dB = " 20 dBm Tenendo conto che

!

Ps dBm[ ] = 10 " log10 Ps mW[ ]{ } si ottiene in milliWatt:

!

Ps

mW[ ] = 10

Ps dBm[ ]10 mW = 10

"2 mW

La potenza al ricevitore, dopo l’attenuazione del tratto di fibra di 100 km, è quindi di 10 µW. Valutiamo l’SNR come rapporto tra media al quadrato e varianza di fotoconteggio, cioè di numero di fotoelettroni misurati in un tempo di osservazione To pari all’inverso della banda elettrica del ricevitore (To coincide poi con la durata temporale dello slot di un bit):

!

To =1

2Bm

=1

10 GHz= 100 ps

2

Si può scrivere:

!

SNR =µ

s

2

"shot

2 +"thermal

2

La media di fotoconteggio di segnale è pari al count-rate moltiplicato per il tempo To:

!

µs

="Ps#T

o="P

s#

1

2Bm

=$

h%P

s#

1

2Bm

Tenendo presente che l’energia di un fotone alla lunghezza d’onda di 1550 nm è pari a 0,8 eV, si ottiene

!

µs

=0,6

0,8 "1,6 "10#19

"10#5"10

#10 = 4,6875 "103

La deviazione standard di conteggio dovuta allo shot-noise è uguale alla radice quadrata della media di fotoconteggio di segnale:

!

"shot

= µs

= 4,6875 #103 = 68,47

Per determinare la deviazione standard di conteggio generata dal rumore termico del ricevitore abbiamo bisogno della corrente equivalente di rumore (NEC) del ricevitore, che è il prodotto della responsivity del fotodiodo per la potenza equivalente di rumore:

!

NEC = R " NEP =#e

h$" NEP =

0,6

0,8

A

W"30

pW

Hz= 22,5

pA

Hz

La deviazione standard di conteggio dovuta al rumore termico del ricevitore è poi data da

!

"thermal

= NEC # 2Bm#1

e#T

o=

= NEC # 2Bm#1

e#

1

2Bm

=NEC

e#

1

2Bm

=22,5 #10

$12

1,6 #10$19

10$10

= 1,40625 #103

3

e si vede che il rumore termico è dominante sullo shot-noise. L’SNR elettrico è quindi

!

SNR =4687,5

2

68,472

+ 1406,252

= 11,085

Per determinare l’SNR abbiamo valutato la media di fotoconteggio di segnale e le deviazioni standard di fotoconteggio dei contributi di rumore perché queste grandezze ci servono per determinare il parametro Q, definito come:

!

Q =µ

1"µ

0

#1

+#0

Nel nostro caso di modulazione OOK-NRZ e rivelazione diretta si ha

!

µ1

= µs

µ0

= 0

"1

= µs

+"thermal

2

"0

="thermal

e quindi

!

Q =4687,5

4687,5 + 1406,252

+ 1406,25= 1,666

Si può poi determinare il BER a partire dal parametro Q utilizzando la seguente espressione:

!

BER "1

Q 2#exp $

Q2

2

%

& '

(

) *

Nel nostro sistema si ottiene quindi un tasso di errore

!

BER "1

1,666 2#exp $

1,6662

2

%

& '

(

) * " 6 +10

$2

che è troppo elevato.

4

Tipicamente si considera accettabile un BER minore o uguale a 10-9, che corrisponde ad un parametro Q maggiore o uguale di 6. Nel caso poi di modulazione OOK-NRZ e rivelazione diretta con rumore termico dominante (come in questo esercizio) un Q di 6 corrisponde ad un SNR di 144. Nel caso qui considerato abbiamo

!

µs

<<"thermal

2 da cui si vede che il rumore termico del ricevitore è dominante sul rumore shot. In tal caso valgono le approssimazioni

!

SNR =µ

s

2

"shot

2 +"thermal

2#

µs

2

"thermal

2

!

Q "µ

s

2#thermal

e quindi valgono con buona approssimazione le relazioni

!

Q "1

2SNR

SNR " 4Q2

Nel nostro esercizio otteniamo

!

SNR "µ

s

2

#thermal

2=

4687,5

1406,25

$

% &

'

( )

2

= 11,111

con un piccolo errore dello 0,2% rispetto al caso esatto. Per quanto riguarda il parametro Q risulta:

!

Q "1

2SNR = 1,667

con un errore minore dello 0,1%.

5

ATTENZIONE: in tutte le espressioni precedenti abbiamo calcolato l’SNR considerando la potenza ottica in corrispondenza del bit 1 (che è il doppio della potenza ottica media). Per risolvere l’esercizio si può anche calcolare l’SNR usando l’espressione in termini di count-rate e poi, una volta verificato che il rumore termico è dominante, determinare il parametro Q direttamente daall’SNR. Può essere istruttivo derivare questa espressione a partire da quella vista prima come rapporto tra quadrato della media e varianza di fotoconteggio.

!

SNR =µ

s

2

"shot

2 +"thermal

2=

µs

2

µs

+"thermal

2=

µs

1+"

thermal

2

µs

L’SNR limitato dal rumore shot (cioè con rumore termico trascurabile) è

!

SNRshot

= µs

="Ps

1

2Bm

=#P

s

h$

1

2Bm

L’SNR al limite quantico coincide con l’SNR limitato dal rumore shot quando l’efficienza quantica vale 1, quindi

!

SNRQL

=P

s

h"

1

2Bm

Risulta

!

SNRQL

=10

"5

0,8 #1,6 #10"19

#10"10

= 7,8125 #104

Si può scrivere poi

!

µs = SNRshot =" #SNRQL

!

SNR =" #SNRQL #1

1+$ thermal

2

µs

6

Si vede che il rumore termico deprime l’SNR rispetto al limite quantico. Introducendo il count-rate

!

ns per il segnale in corrispondenza del bit 1, si

ha

!

µs

= ns"

1

2Bm

e quindi

!

ns

= 4,6875 "1013

s#1

La varianza di fotoconteggio dovuta al rumore termico è poi

!

"thermal

2=

NEC2

e2

#1

2Bm

Introducendo la grandezza

!

nJ

=NEC

2

e2

=22,5 "10

#12

1,6 "10#19

$

% &

'

( )

2

s#1

= 1,9775 "1016

s#1

che ha le stesse dimensioni [s-1] di un count-rate, si ottiene finalmente la seguente espressione dell’SNR:

!

SNR =" #SNRQL#

1

1+n

J

ns

=" #SNRQL#

1

1+NEC

2

e2

#h$

"Ps

Sostituendo i valori numerici:

!

SNR = 0,6 "7812,5 "1

1+197,75

0,46875

= 4687,5 "1

1+ 421,87= 11,085

7

NOTA: nel caso di ricevitore costituito da una resistenza equivalente in parallelo al fotodiodo, si avrebbe una corrente equivalente di rumore pari alla radice della densità dello spettro di corrente di rumore termico (o Johnson)

!

NECR,T

= N0c

=2"T

R

Considerando poi R = 50 Ω, a temperatura ambiente, si otterrebbe

!

N0c =2"T

R=

2 #25 meV

50 $= 10

%3# 1,6 #10

-19 A

Hz= 13

pA

Hz

8

Per migliorare le prestazioni del sistema di comunicazioni ottiche descritto nell’esercizio precedente, si sostituisca il fotodiodo PIN con un fotodiodo a valanga (APD) di guadagno medio 7=g , fattore di merito F = 2 ed efficienza η = 0,6. Il circuito elettrico del ricevitore posto a valle del fotodiodo APD rimane inalterato, quindi il ricevitore ha la stessa NEC dell’esercizio precedente (mentre la NEP è divisa per g ). Si calcoli SNR, Q e BER. Possiamo calcolare l’SNR come rapporto tra il quadrato della media e la varianza del numero di fotoelettroni generati dal ricevitore in un tempo

!

To = 1 (2Bm ). Il numero medio di fotoelettroni è aumentato di un fattore 7=g , sostituendo il PIN con l’APD:

!

µs

= g "Ps

1

2Bm

= 3,28125 #104

La varianza del numero di fotoelettroni dovuta al rumore shot è :

s

m

s

2

m

s

22

shot

2

1

2

1 µ!!" gF

BPgF

BPg ===

e quindi la deviazione standard è

!

"shot

= F g µs

= 2 #7 #3,28125 #104 = 6,7777 #10

2 La deviazione standard del numero di fotoelettroni dovuta al rumore termico non cambia sostituendo il PIN con l’APD a parità di NEC:

!

"thermal

=NEC

e

1

2Bm

= 1,40625 #103

L’SNR vale poi

!

SNR =µ

s

2

"shot

2 +"thermal

2=

32812,52

677,772 + 1406,25

2= 441,81

9

ed è notevolmente aumentato rispetto al caso di fotodiodo PIN. Il rumore termico è ancora prevalente sul rumore shot, anche se quest’ultimo non è più trascurabile. Il parametro Q vale:

!

Q =µ

s

"shot

2 +"thermal

2 +"thermal

=32812,5

677,772 + 1406,25

2 + 1406,25= 11,06

Il BER è talmente basso che il sistema è in pratica error-free:

!

BER "1

11,06 2#exp $

11,062

2

%

& '

(

) * < 10

$20

Abbiamo visto che sostituendo il PIN con l’APD risulta che

2

sµ è moltiplicato per 2

g 2

shot! è moltiplicato per 22

gFg = 2

thermal! rimane inalterato e quindi

shotSNR è diviso per F

thermalSNR è moltiplicato per 2

g . L’impiego dell’APD al posto del PIN migliora l’SNR quando il rumore termico è prevalente sul rumore shot, mentre lo peggiora quando è dominante il rumore shot. Il massimo miglioramento dell’SNR (di un fattore 2

g ) si ha quando il rumore termico è dominante. Nel nostro caso si ha un miglioramento dell’SNR di un fattore circa 442/11=40 che è un po’ inferiore a 49

2=g

poiché per effetto dell’APD il rumore shot non è più trascurabile rispetto al rumore termico, anche se minore.

10

Per risolvere l’esercizio si può anche utilizzare direttamente l’espressione dell’SNR:

!

SNR =" #SNRQL#

1

F +n

J

ns

L’SNR al limite quantico vale

!

SNRQL

=P

s

h"

1

2Bm

da cui

!

SNRQL

=10

"5

1,28 #10"19

#10"10

= 7,8125 #104

Il count-rate di fotoelettroni primari, che vengono poi moltiplicati dall’APD, vale

!

ns

="Ps

=#

h$P

s=

0,6 %10&5

1,28 %10&19

s&1

= 4,6875 %1013

s&1

(NOTA: nel calcolo di ns NON devo considerare il guadagno medio dell’APD) Il parametro nJ che tiene conto del rumore elettrico introdotto dal ricevitore dopo la fotorivelazione, ed ha le dimensioni di un count-rate, vale

!

nJ

=NEC

2

g 2e

2=

22,5 "10#12

7 "1,6 "10#19

$

% &

'

( )

2

s#1

= 4,0357 "1014

s#1

Tale parametro in presenza di fotodiodo APD, rispetto al caso di fotodiodo PIN a parità di circuito elettrico di amplificazione, cioè a pari NEC, si riduce di un fattore

!

g 2 pari al quadrato del guadagno medio.

Quindi l’APD (rispetto al PIN) riduce il peso del rumore termico di un fattore

!

g 2 , mentre aumenta il peso del rumore shot di un fattore F

(excess-noise factor). Nel caso di rumore dominante di tipo termico con

11

fotodiodo PIN, allora il passaggio ad un fotodiodo APD è chiaramente vantaggioso, come in questo esempio. Sostituendo i valori numerici:

!

SNR = 0,6 "7812,5 "1

2 +421,87

49

= 4687,5 "1

2 + 8,6096= 441,82

Vediamo che il peso del rumore termico è maggiore del peso del rumore shot (8,6 contro 2), però quest’ultimo non è completamente trascurabile. Proviamo ora a valutare il Q con l’espressione approssimata, valida per rumore termico dominante:

!

Q "1

2441,82 = 10,51

Questo valore è un po’ più basso del valore esatto di 11,06 (errore per difetto del 5%), ma praticamente accettabile per una stima delle prestazioni del sistema.

12

Si consideri ora di aggiungere al sistema di comunicazioni ottiche precedente un ulteriore tratto di fibra di 100 km, in modo da avere una lunghezza complessiva del collegamento pari a 200 km. Si calcoli l’SNR elettrico al ricevitore (fotodiodo APD più amplificatore a transimpedenza con NEC=22,5 pA/

!

Hz ). Dopo 200 km di fibra l’attenuazione complessiva è di 40 dB e quindi la potenza di segnale sul bit 1 che arriva al ricevitore è di soli -40 dBm, cioè 0,1 µW. Con questo livello di potenza così basso il rumore dominante è quello termico introdotto dal circuito elettrico. Precedentemente abbiamo ottenuto un SNR di 11 nel caso di fotodiodo PIN e con una potenza al ricevitore 100 volte maggiore (solo 100 km di fibra). Riducendo la potenza ottica ricevuta di un fattore 1/100, si ha una riduzione dell’SNR di un fattore 10-4. Poi la sostituzione del PIN con l’APD, in condizione di rumore termico dominante, comporta un miglioramento dell’SNR di un fattore 49

2=g . Quindi otteniamo

054,0491011SNR

4=!!=

" che è un valore bassissimo, pertanto è praticamente impossibile ricevere il segnale ottico.

13

Per migliorare l’SNR si aggiunga al ricevitore un preamplificatore ottico di tipo EDFA con guadagno G=30 dB e fattore d’inversione di popolazione sp

n =1,5. Per filtrare l’ASE fuori dalla banda del segnale si introduca un filtro ottico di larghezza di banda Bo = 30 GHz. Si calcoli ora SNR, Q e BER nel caso sia di fotodiodo PIN che APD (più il solito circuito elettrico di amplificazione con NEC = 22,5 pA/

!

Hz ). Calcoliamo l’SNR come rapporto tra il quadrato della media e la varianza del numero di fotoelettroni in un tempo )2(1 mo BT = :

!

SNR =µ

s

2

µs

+ µASE

+µ

ASE

2

M+ 2µ

s

µASE

M+"

thermal

2

La varianza totale a denominatore è la somma dei contributi dovuti rispettivamente al rumore shot di segnale, al rumore shot di ASE, al rumore di battimento dell’ASE con se stesso, al rumore di battimento tra segnale ed ASE e al rumore termico del circuito elettrico. Il parametro M indica il numero totale di modi. Essendo in fibra ottica monomodale il numero di modi spaziali è 1. Il numero di modi temporali è il rapporto tra la banda ottica e la banda elettrica bilatera. Ci sono poi due modi di polarizzazione dato che l’ASE emesso dall’amplificatore ottico è depolarizzato. Quindi

6GHz 10

GHz 302

22

m

o =!=!=B

BM

Consideriamo dapprima il caso di fotodiodo PIN. La potenza ottica all’ingresso del fotodiodo Ps è pari alla potenza all’ingresso del preamplificatore ottico Pr moltiplicata per un fattore 1000 dato dal guadagno G. Tenendo conto dell’attenuazione di 40 dB della fibra, si ottiene una potenza di segnale d’ingresso al preamplificatore ottico, in corrispondenza dei bit 1, pari a

W10mW 110-74

r=!=

"P e quindi

W10 W1010-4-73

s=!=P

14

Il numero medio di fotoconteggi di segnale è

4104

19

m

s

m

ss107,41010

106,18,0

6,0

2

1

2

1!=!!

!!=== ""

"B

PhB

P#

$%µ

Vediamo ora di calcolare il numero medio di fotoconteggi di ASE, sapendo che la densità spettrale di potenza dell’ASE per singolo modo di polarizzazione è:

!

N sp = h" # G $1( ) # nsp Il numero medio di fotoconteggi ASE è, tenendo conti dei due modi di polarizzazione dell’ASE depolarizzato:

!

µASE =" #2N sp # Bo #1

2Bm

=$

h%# N sp # M =$ # G &1( ) # nsp # M

e quindi

3

ASE104,565,19996,0 !=!!!=µ

Valutiamo ora i vari contributi alla varianza di fotoconteggio: rumore shot 4

ASEs105 !"+ µµ

battimento ASE-ASE 62

ASE105 !"Mµ

battimento segnale-ASE

!

2µsµ

ASEM " 85 #10

6 rumore termico

!

"thermal

2 = NEC2

e2#2B

m( ) $ 2 #106

Si vede come il contributo principale sia dato dal battimento segnale-ASE, anche se non sono trascurabili né il battimento ASE-ASE né il rumore termico. Il contributo del rumore termico è comunque piccolo, inoltre il contributo del rumore shot può essere ignorato. Sostituendo nell’espressione dell’SNR si ottiene

!

SNR =4,7 "10

4( )2

85 + 5 + 2( ) "106

= 24

15

Per valutare il parametro Q, teniamo conto che

!

µ1

= µs+ µ

ASE

!

µ0

= µASE

!

"1

= µs+ µ

ASE+

µASE

2

M+ 2µ

s

µASE

M+"

thermal

2

!

"0

= µASE

+µ

ASE

2

M+"

thermal

2

Ignorando lo shot-noise si ottiene

!

Q =µ

1"µ

0

#1

+#0

=4,7 $10

4

85 + 5 + 2 $103 + 5 + 2 $10

3= 3,8

E’ interessante notare come il battimento segnale-ASE dia il contributo maggiore alla valutazione della deviazione standard di fotoconteggio per bit 1, mentre si annulli per bit 0. Il contributo maggiore alla valutazione della deviazione standard di fotoconteggio per bit 0 è invece dato dal battimento ASE-ASE. Il BER è poi in questo caso:

!

BER "1

3,8 2#exp $

3,82

2

%

& '

(

) * = 8 +10

$5

Il preamplificatore ottico ha quindi aumentato di molto il livello di segnale ricevuto dal fotodiodo PIN, ma ha anche introdotto un rumore di tipo ottico dovuto all’ASE. Nel sistema di comunicazione considerato la potenza del segnale all’ingresso del preamplificatore ottico non è comunque sufficiente per poter ottenere un BER di 10-9. La sostituzione del PIN con un APD migliora solo di poco le prestazioni. Infatti l’APD deprime di un fattore 2

1 g il contributo alla varianza di fotoconteggio dato dal rumore termico, rispetto ai contributi sia del battimento segnale-ASE che del battimento ASE-ASE. L’APD rende quindi trascurabile il rumore termico, che tuttavia nel caso del PIN era già meno rilevante dei rumori di battimento segnale-ASE ed ASE-ASE.

16

Facendo i conti ignorando anche il rumore termico, oltre che il rumore shot, si ottiene

!

SNR =4,7 "10

4( )2

85 + 5( ) "106

= 24,5

!

Q =4,7 "10

4

85 + 5 "103

+ 5 "103

= 4,0

!

BER "1

4 2#exp $

42

2

%

& '

(

) * = 3 +10

$5

Il vantaggio di usare un APD al posto di un PIN è effettivamente piccolo in presenza di un preamplificatore ottico.

17

Si possono poi determinare delle espressioni approssimate per SNR e Q nell’ipotesi di considerare per i bit 1 un rumore dominante di battimento segnale-ASE e per i bit 0 un rumore dominante di battimento ASE-ASE. Si può notare come

sµ e

ASEµ siano direttamente proporzionali al

guadagno G. Di conseguenza i contributi alla varianza dati dai termini di battimento dipendono quadraticamente da G, i contributi di shot-noise dipendono linearmente da G ed il contributo di rumore termico è indipendente da G. Per valori di guadagno elevati ( 1>>G ) si possono effettivamente trascurare lo shot-noise ed il rumore termico, ottenendo l’espressione

!

SNR "µ

s

2

µASE

2

M+ 2µ

s

µASE

M

=M

2#

µs

µASE

#1

1+µ

ASE

2µs

Per avere un’accettabile qualità di trasmissione l’SNR deve essere grande rispetto a 1, quindi

sµ grande rispetto a

ASEµ . Si può quindi considerare

l’espressione approssimata

!

SNR "M

2#

µs

µASE

Risulta poi

!

µs

="

h#P

s

1

2Bm

="

h#GP

r

1

2Bm

=" $G $ SNRQL[ ]

r

!

µASE ="

h#$ N sp $ M =" $ G %1( ) $ nsp $ M =" $G $ nsp $ M

e quindi sostituendo nell’SNR:

!

SNR "SNRQL[ ]

r

2nsp

L’SNR per un ricevitore preamplificato otticamente è con buona approssimazione dato dal rapporto tra l’SNR quantum-limited all’ingresso del preamplificatore e il doppio del fattore d’inversione di

18

popolazione. Si dice che sp2n è la cifra di rumore dell’amplificatore ottico. Il fattore sp

n può essere anche interpretato come il numero equivalente di fotoni di rumore per modo all’ingresso dell’amplificatore ottico. Nel caso di rumore ottico di tipo ASE dominante, valgono le seguenti relazioni approssimate:

!

SNR "Q2

+ M #Q

!

Q " #M

2+ SNR +

M

4

E’ possibile ricavare l’SNR richiesto per avere un dato Q e quindi un dato BER. Ad esempio per avere BER = 10-9, ovvero Q = 6, deve essere, a seconda del numero di modi:

M SNR 1 42 2 44,5 4 48 6 50,7

10 55 Ritorniamo al nostro esercizio e vediamo i risultati che si ottengono con queste espressioni approssimate. L’SNR quantum-limited relativo alla potenza ottica d’ingresso del preamplificatore ottico vale

!

SNRQL[ ]

r=

Pr

h"

1

2Bm

=10

#7

0,8 $1,6 $10#19

10#10 = 78,125

L’SNR elettrico al ricevitore è quindi approssimabile come

!

SNR "SNRQL[ ]

r

2nsp

"78

3= 26

che si discosta poco da quello ottenuto esattamente come rapporto tra media al quadrato e varianza di fotoconteggio, sia nel caso di PIN che di APD. Il parametro Q può essere calcolato poi come

19

!

Q " SNR +M

4#

M

2= 26 + 1,5 # 0,5 $ 6 = 4,02 " 4

e quindi il BER è

!

BER "1

4 2#exp $

42

2

%

& '

(

) * " 3 +10

$5

20

Per cercare di ottenere un BER di 10-9 dopo 200 km in fibra ottica, con dispersione cromatica compensata, si consideri il collegamento composto da due tratte di 100 km con alla fine di ognuna un amplificatore ottico di guadagno 20 dB, che compensa esattamente l’attenuazione della tratta, e fattore d’inversione di popolazione spn =1,5. La potenza ottica di segnale, in corrispondenza dei bit 1, all’ingresso dell’ultimo amplificatore ottico è di -20 dBm. Quindi l’SNR al limite quantico prima dell’ultimo amplificatore ottico è

!

SNRQL[ ]

r=

Pr

h"

1

2Bm

=10

#5

0,8 $1,6 $10#19

10#10 = 7,81$10

3

Quest’ultimo amplificatore introduce un rumore dovuto all’ASE, generando in uscita un numero

!

G "1( ) nsp di fotoni di ASE per modo, che vengono rivelati dal fotodiodo in aggiunta a quelli di segnale. Anche il primo amplificatore genera alla propria uscita un numero

!

G "1( ) nsp di fotoni di ASE per modo. Siccome per ogni tratta l’attenuazione della fibra è compensata esattamente dall’amplificazione finale della tratta, risulta che il numero di fotoni di ASE del primo amplificatore che arrivano al fotodiodo è proprio uguale al numero di fotoni di ASE del secondo amplificatore. Quindi, ai fini dell’SNR, il nostro collegamento composto da due tratte amplificate otticamente alla fine è equivalente ad avere una sola tratta amplificata, pur di raddoppiare il fattore sp

n dell’amplificatore ottico finale. Si ottiene:

!

SNR "SNRQL[ ]

r

2 #2nsp

=7,81#10

3

6= 1,30 #10

3

I valori di SNR e di Q sono elevatissimi ed il sistema è praticamente “error-free”.

21

Si determini ora, nel caso sempre di trasmissione OOK-NRZ a 10 Gb/s con 0 dBm di potenza trasmessa per i bit 1, la massima distanza raggiungibile per avere BER = 10-9. Si ipotizzi di avere un collegamento composto da una serie di tratte in fibra lunghe 100 km, con amplificatori ottici alla fine della tratta di guadagno 20 dB (in modo da compensare esattamente l’attenuazione) e fattore d’inversione di popolazione sp

n =2. L’ASE è poi depolarizzato ed è filtrato otticamente dopo ogni amplificatore con uno spettro idealmente rettangolare di banda Bo = 25 GHz. Detto K il numero di tratte, per calcolare l’SNR possiamo considerare il nostro sistema equivalente ad avere una sola tratta con amplificatore ottico finale di fattore d’inversione di popolazione pari a sp

nK . Si ottiene

!

SNRQL[ ]

r=

Pr

h"#

1

2Bm

=10

$5

0,8 #1,6 #10$19

10$10 = 7,81#10

3

e l’SNR elettrico al ricevitore vale, considerando dominante il rumore di battimento segnale-ASE per i bit 1 ed il rumore di battimento ASE-ASE per i bit 0:

!

SNR "SNRQL[ ]

r

K #2nsp

=7,81#10

3

4K=

1,95 #103

K

Il numero di modi è poi

5GHz 10

GHz 252

22

m

o =!=!=B

BM

Tenendo conto della relazione

!

SNR "Q2

+ M #Q risulta che per avere BER = 10-9, ovvero Q = 6, deve essere

!

SNR " 49,4 Quindi il numero massimo di tratte per garantire questo SNR è

22

!

K =1,95 "10

3

SNR=

1,95 "103

49,4= 39,5

Contando un numero intero massimo di tratte pari a 39, si ottiene la seguente massima distanza raggiungibile

!

L = 39 "100 km = 3900 km

23

Nel caso di collegamento in fibra di 200 km (attenuazione 0,2 dB/km), con modulazione binaria d’intensità di formato OOK-NRZ a 10 Gb/s e potenza trasmessa di 0 dBm per i bit 1, si consideri una rivelazione coerente omodina. L’oscillatore locale ha una potenza di 3 dBm. Si valuti SNR, Q e BER nel caso sia di fotodiodo PIN(con η = 0,7) che APD (con η = 0,7, 7=g e F = 2). In entrambi il circuito elettrico a valle dei fotodiodi ha una corrente equivalente di rumore NEC = 30 pA/

!

Hz . In generale l’SNR per rivelazione coerente omodina vale

!

SNR =" #SNRQL

omodino #1

F +nJ

nL

dove

!

nL

="PL

=#PL

h$( ) è il count-rate dell’oscillatore locale e

!

nJ

= NEC2

e2g

2( ). Inoltre compare l’SNR al limite quantico per rivelazione coerente omodina, che è il quadruplo dell’SNR per rivelazione diretta:

!

SNRQL

omodino=

4Ps

h"#

1

2Bm

In termini di numero di fotoelettroni l’SNR è esprimibile come il rapporto tra la media al quadrato e la varianza. Nell’ipotesi che la potenza ottica del segnale ricevuto sia piccola rispetto a quella dell’oscillatore locale, la varianza del numero di fotoelettroni è la somma dei due contributi dati dal rumore shot dell’oscillatore locale e dal rumore termico del circuito elettrico. Quindi

!

SNR =µ

s

2

"shot, L

2 +"thermal

2

Si può notare come la varianza del numero di fotoelettroni sia indipendente dal segnale. Questo fatto implica, ai fini del calcolo del parametro Q, che le deviazioni standard del numero di fotoelettroni rispettivamente per bit 1 e per bit 0 siano uguali tra di loro

!

"1

="0

= "shot, L

2+"

thermal

2

24

Il parametro Q è poi

!

Q =µ

1"µ

0

#1

+#0

=µ

s

2 #shot, L

2 +#thermal

2

Vale quindi la relazione

!

Q =1

2SNR

Questa relazione vale per la rivelazione diretta solo nel caso di rumore termico dominante; infatti solo nel caso di rumore shot del segnale trascurabile la varianza del numero di fotoelettroni può essere considerata indipendente dal segnale. Possiamo ora risolvere il nostro esercizio. L’SNR al limite quantico è

!

SNRQL

omodino=

4Ps

h"

1

2Bm

=4 #10

$7

0,8 #1,6 #10$19

#10$10

= 312

Si ha poi

!

nL

="PL

=#P

L

h$=

0,7 %2 %10&3

0,8 %1,6 %10&19

s&1

= 1,09 %1016

s&1

e nel caso di fotodiodo PIN

!

nJ

=NEC

2

e2

=30 "10

#12

1,6 "10#19

$

% &

'

( )

2

s-1

= 3,52 "1016

s-1

Risulta che il rumore termico è più forte del rumore shot dell’oscillatore locale. L’SNR ed il parametro Q valgono rispettivamente

!

SNR = 0,7 "312 "1

1+3,52

1,09

= 0,7 "312 "1

4,23= 52

!

Q = 0,5 " 52 = 3,61

25

Il BER vale quindi, nel caso di fotodiodo PIN

!

BER "1

3,61 2#exp $

3,612

2

%

& '

(

) * = 2 +10

$4

Sostituiamo ora il PIN con l’APD. Il guadagno dell’APD riduce il peso del rumore termico, però bisogna tener conto del parametro di merito F = 2 dell’APD. Si ottiene

!

SNR = 0,7 "312 "1

F +1

g 2"3,52

1,09

= 0,7 "312 "1

2 +1

49"3,52

1,09

= 0,7 "312 "1

2,07= 106

Con l’APD migliora l’SNR e diventa dominante il rumore shot dell’oscillatore locale. Si ha poi

!

Q = 0,5 " 106 = 5,15

!

BER "1

5,15 2#exp $

5,152

2

%

& '

(

) * = 10

$7

Il BER è diminuito con l’APD, ma è ancora maggiore di 10-9. Per migliorare ulteriormente le prestazioni del sistema si può pensare di aumentare la potenza dell’oscillatore locale. Questo aumento di potenza ridurrebbe il peso del rumore termico. Nel caso di fotodiodo PIN ci si avvicinerebbe al limite quantico (depresso dall’efficienza del fotodiodo). Invece nel caso di fotodiodo APD ci si avvicinerebbe al limite quantico depresso però da 1/F (oltre che dall’efficienza del fotodiodo). Quindi per potenze sufficientemente alte di oscillatore locale le prestazioni migliori si ottengono con il fotodiodo PIN.

26

Si aumenti la potenza dell’oscillatore locale di 10 dB rispetto all’esercizio precedente, portandola quindi a 13 dBm. Si determinino i nuovi valori di SNR, Q e BER. Nel caso di fotodiodo PIN:

!

SNR = 0,7 "312 "1

1+3,52

10 "1,09

= 0,7 "312 "1

1+ 0,32= 165

L’aumento della potenza di oscillatore locale ha reso il rumore termico inferiore al rumore shot dell’oscillatore locale e l’SNR è migliorato apprezzabilmente. Si ottiene poi:

!

Q = 0,5 " 165 = 6,42

!

BER "1

6,42 2#exp $

6,422

2

%

& '

(

) * = 0,7 +10

$10

Il BER ora è diventato minore di 10-9. Nel caso di fotodiodo APD:

!

SNR = 0,7 "312 "1

2 +1

49"

3,52

10 "1,09

= 0,7 "312 "1

2,01= 109

!

Q = 0,5 " 109 = 5,22

!

BER "1

5,22 2#exp $

5,222

2

%

& '

(

) * = 0,9 +10

$7

Poiché nel caso di APD il rumore shot dell’oscillatore locale era già dominante con una potenza di oscillatore locale di 3 dBm, l’aumento di tale potenza lascia praticamente inalterate le prestazioni del sistema. Inoltre l’aumento della potenza di oscillatore locale a 13 dBm rende nel caso di fotodiodo PIN il rumore shot di oscillatore prevalente sul rumore termico. Tenendo poi conto che nel caso di APD il rumore shot è maggiore rispetto al PIN (a causa del parametro di merito) si capisce perché le prestazioni migliori si ottengano ora con il PIN.